← Bahan Ajar Matematika – Power Point Integral OK banget
INTEGRAL TAK TENTU
INTEGRAL TAK TENTU
Pengertian Hitung Integral
Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung
deferensial
Misal : y = F(x) = x2
dy dF ( x ) 3x2
= f(x)
dx
dx
dF ( x )
f ( x)
dx
dF(x)= f(x) dx
Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang
Sehingga
Hal.: 2
dF(x)=f(x)dx
Integral
F(x)=
""
f ( x )dx
Adaptif
INTRGRAL TAK TENTU
Misal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalah
X4
karena turunannya
4x3 = F’(x)
X4 + 1
karena turunannya
4x3 = F(‘x)
X4 + 5
karena turunannya
4x3 = F’(x)
X4 + 50
karena turunannya
4x3 = F’(x)
X4 + c
karena turunannya
4x3 = F’(x)
Jadi anti turunan dari 4x3 adalah x4 di tambah bilangan c ( c = Konstanta)
Dengan lambang integral di tulis :
Secara um8um di tulis :
Hal.: 3
3
4 x dx x
2
c
f ( x )dx F ( x ) c
Integral
Adaptif
INTEGRAL TAK TENTU
Rumus – rumus Pengintegralan
x x 1
n
x dx
c, n 1
a.
n 1
b.
c.
d.
e.
Hal.: 4
n
n
ax
dx
a
x
dx, n 1
1
1
x
dx
x dx lx c
adx ax c
[ f ( x ) g ( x )]dx f ( x )dx g ( x )dx
Integral
Adaptif
Integral Tak Tentu
Contoh:
1. Tentukan dari
xdx
2. Integralkanlah (5x – 1)2
Penyelesaian
Penyelesaian
xdx
Hal.: 5
x n 1
= n 1 c
2
2
(
6
x
1
)
dx
=
2
(
36
x
12 x x 1)dx
=
x2
c
2
36 3 12 2
x
x x c
=
3
2
=
1
x c
2
= 12x3 – 6x2 + x + c
Integral
Adaptif
Integral Tak Tentu
3.
Tentukan
4
1
(
2
ox
4
x
10
5
x
) dx
Penyelesaian
20 3 4 2
(2ox 4 x 10 5x )dx = 5 x 2 x 10 x 5 ln x c
4
1
4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c
=
4. Tentukan
(
1
X ) dx
X
Penyelesaian
(
1
X ) dx
=
X
( x
1
2
1
2
1
2
x ) dx
3
2
2x x 2 c
=
3
2
2
x
x x c
=
3
Hal.: 6
Integral
Adaptif
INTEGRAL TERTENTU
Bentuk umum intergral tertentu
b
f ( x)dx F ( x)
a
Hal.: 7
b
a
f (b) f ( x )
a
disebut batas bawah
b
disebut batas bawah
F(x)
: fungsi hasil integral dari f(x)
F(b)
: Nilai fungsi F(x) untuk x = b
F(a)
: Nilai fungsi F(x) untuk x = a
Integral
Adaptif
INTEGRAL TERTENTU
Sifat-sifat intergral tertentu
b
1.
f ( x)dx f ( x)dx
c
2.
a
a
c
a
b
a
b
kf ( x )dx k f ( x )dx; k ( Konsanta)
a
Hal.: 8
b
f ( x ) dx 0
b
4.
b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx; a bc
a
3.
a
a
Integral
Adaptif
INTEGRAL TERTENTU
Contoh :
1
2
1.Tentukan nilai dari
3
x
dx
2. Tentukan nilai dari ( 2 x 3x 2 ) dx
0
1
Penyelesaian
2
3
x
dx
1
1
2
2
1 4
= 2 x 1
=
(2 x 3x )dx
0
1 4 1 4
.2 1
4
4
= 4= 3
Hal.: 9
Penyelesaian
= x x
31
0
= 12 13 30 2 03
=
1
4
2
=
1 1 0
2
3
4
Integral
Adaptif
LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR
Penggunaan Integral
y x2
9
Hal.: 11
Integral
Adaptif
Penggunaan Integral
Kompetensi Dasar
Menggunakan integral untuk menghitung
luas daerah dan volume benda putar.
Indikator Hasil Belajar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan
dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang
dibatasi oleh beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan
menggunakan limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas
daerah dan menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume
benda putar dari daerah yang diputar
Hal.: 12
terhadap sumbu koordinat dan
Integral
menghitungnya.
Adaptif
Runtuhnya Jembatan Tacoma,
Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli
1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena
badai yang berkekuatan 68 km/jam.
Back
Hal.: 13
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisipartisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan
menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.
Back
Hal.: 14
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda
putar jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari
juga penggunaan integral
untuk menghitung volume
benda putar.
Hal.: 15
Integral
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah
Menentukan luas daerah
Luas Daerah
Y
dengan limit jumlah dapat
diilustrasikan oleh gambar
y sin x
di samping. Langkah utama
X
yang dilakukan adalah
memartisi,
mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan
menghitung limitnya.
Home
Hal.: 16
Back
Integral
Next
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Langkah menghitung luas
y
y f (x)
daerah dengan limit jumlah
adalah:
1. Bagilah interval menjadi
selang
yang sama
panjang.
Li
f (xi )
x
0
2. Partisilah daerah
xi a
x
tersebut.
3. Masing-masing partisi
buatlah
persegi
panjang.
Home
4. Perhatikan persegi
Hal.: 17
Integral
Back
Next
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Langkah menghitung luas
y
y f (x)
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
Li
persegi panjang
7. Hitung nilai limit
jumlahnya
f (xi )
x
xi a
0
x
Luas sebuah persegi panjang: Li =
f(xi) x
Jumlah luas persegi panjang :L
f(xi) x
Home
Hal.: 18
Limit jumlah : L = lim f(xi) x
∞)
Integral
(n
Back
Next
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah
Luas Daerah
Contoh 1.
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x =
3 dengan menggunakan cara limit jumlah.
Jawab
f (x) x2
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n
buah selang yang sama panjang;
yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut
persegi panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi
panjang pada interval [xi , xi+1]
y
xi 12
dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
3(i 1) 2 3
2 23= 6/n
x2 L
= (3/n)
×
x
n
i
i 1
n
n
Li
0
x1 x2
xi
x3
n3
i 1
Home
Hal.: 19
x
3/n
Jadi xi 27
= 3i/n dan
xi + 1 = 3(i +1)/n
2
Li
xi+1 3
Back
Integral
Next
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
4. Jumlahkan luas semua
partisi
n 1 27
L
i 0
n ( n 1)( 2 n 1)
2
k
6
n
27
L 3 12 22 ... n2
n
L
n
i 1 2
3
k 1
f (x) x2
y
27 1
n(n 1)(2n 1)
n3 6
9
L (1 n1)(2 n1)
2
xi 12
5. Tentukan
Li
limitnya
9
(1 n1)(2 n1)
n 2
L lim
0
9
L (1 0)(2 0) 9
2
x1 x2
x3
xi
xi+1 3
x
3/n
Jadi luas daerah = 9
satuan
Home
Hal.: 20
Back
Integral
Next
Adaptif
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
Perhatikan gambar di bawah
ini!
y
Misalkan selang [a, b] dibagi
menjadi n bagian (lebar tidak
harus sama) dengan lebar selang
ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada
selang [xi-1, xi] diambil titik
sampel xk maka jumlah Riemann
x
0
a
b
n
dituliskan
sebagai
:x
f (x ) Δ
k1
xi-1 xk xi
xi
Selanjutnya didefinisikan
b
k
k
n
f (x) dx lim f (xk) Δxk
n k1
a
bahwa:b
Bentukf (x) dxdisebut dengan integral tertentu (Integral
a
Riemann)
Home
Hal.: 21
Back
Integral
Next
Adaptif
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan
Misalkan ff adalah
adalah fungsi
fungsi yang
yang kontinyu
kontinyu pada
pada selang
selang [a,
[a, b]
b]
dan
dan misalkan
misalkan F
F adalah
adalah anti
anti turunan
turunan dari
dari ff pada
pada selang
selang
tersebut,
tersebut,b maka
maka berlaku
berlaku ::
f (x) dx F(b) F(a)
a
Untuk
Untuk meringkas
meringkas penulisan,
penulisan, F(b)
F(b) –– F(a)
F(a) dinotasikan
dinotasikan
F(x) ab
sebagai
sebagai
Contoh 2.
2
2
Hitunglah nilai dari
6x 4x dx
1
Jawab
2
=3
2
2
6
x
4
x
dx
2x 2x2 1
1
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-
Home
Hal.: 22
1)2]
Back
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat
diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada
interval [a, b].
Jumlah Luas
y
Partisi
Berubah
Menjadi
Integral
y
f (x)
f (x)
Tentukan limitnya
n
n
b
f (x) dx
f (xi )xi
a
i 1
x
x
0
a
0
b
x
b
a
b
n
L f (x) dx lim f (xi ) xi
Home
Hal.: 23
n i 1
a
Integral
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Kegiatan pokok dalam
menghitung luas daerah dengan
y
xi
y f (x)
Li
f (xi )
integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah
partisi Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
x
xi
0
a
L f(xi) xi
a
L
5. Ambil limitnya L = lim
f(x
f (
i)x) dx
0
x
i
Home
6. Nyatakan
dalam integral
Hal.:
24
Integral
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 3.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,
dan garis x = 3
Jawab
Langkah penyelesaian :
f (x) x2
1. Gambarlah daerahnya
y
xi
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2
xi
4. Jumlahkan luasnya L
xi 2
xi2 xi
Li
5. Ambil limit jumlah luasnya
3
2
L = lim xi2 x
L
i x dx
0
3
6. Nyatakan dalam integral
33
x3
L 3
3
dan hitung nilainya
0
Home
Hal.: 25
Integral
x
0
xi
3
0 9
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 4.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2,
sumbu x,
dan garis x = 5
Jawab
y
xi
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
4xi xi 2
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
0
4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan
A -(4xj - xj2)xj
Li
xj
4
xi
0 (4x x 2)
5
xj
Aj
5. Ambil limitnya L = lim (4xi -
xi2)xi
dan A = lim -(4xj - xj2)xj
f (x) 4x x2
5
4
6. Nyatakan
dalam
integral
2
L (4x x ) dx
A (4x x 2) dx
Home 0
Hal.: 26
4
Integral
Back
Next
Adaptif
x
Menghitung Luas dengan Integral
4
L (4x x 2) dx
0
L 2x 2
L 2(4)2
y
1 3 4
x 0
3
3
1
(
4
)
3
5
0 32
64
3
xi
4xi xi 2
Li
2
xj
A (4x x ) dx
4
A 2x 2
0
1 3 5
x 4
3
A 2(5)2 31 (5)3 2(4)2 31 (4)3
A 50 125
32
3
xi
0 (4x x 2)
5
xj
x
Aj
64
3
A 61
18
3
Luasdaerah32
4
f (x) 4x x2
64
61
3
3
18
Luasdaerah13
Home
Hal.: 27
Back
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)
pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara
: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,
integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua
kurva tersebut.
Langkah
penyelesaian:
y
1. Partisi daerahnya
x
y f (x)
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ]
x
f (x) g(x)
Li
4. Jumlahkan
: L [ f(x) –
g(x) ] x
0
a
x
b
x
y g(x)
5. Ambil limitnya :
b
L = lim
–(x
g(x)
L [f (f(x)
x) g
) dx] x
Home
a
6. Nyatakan
dalam integral
Hal.:tertentu
28
Integral
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Luas Daerah
Contoh 5.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan
garis y = 2 - x
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
y 2 x
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
(2 x) x2
2
Li (2 - x - x )x
y
5
x
4
3
Li
4. Jumlahkan luasnya
L (2 - x - x2)x
y x2
2
1
5. Tentukan limit jumlah luasnya
L = lim (2 - x - x2)x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
x
3
2
1 x
0
1
2
1
L (2 x x 2) dx
Home
Hal.: 29
2
Back
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
1
L (2 x x 2) dx
2
L 2x
12
2
L 2(1)
L 2
L 2
L 5
x
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1
x3
3
2
13
3
2( 2)
4 2
1
3
4 2
8
3
( 2)2
2
5
x
( 2)3
3
(2 x) x2
Li
2
x
2
1 x
0
Back
Integral
y x2
1
3
1
4 2
4
3
8
3
Home
Hal.: 30
y
y 2 x
1
2
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Untuk kasus tertentu
y g(x)
y
pemartisian secara vertikal
y f (x)
x
menyebabkan ada dua
bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama
Li
x
Ai
0
untuk menghitungnya.
f (x) g(x)
x
a
b
2f (x)
a
b
0
a
Luas daerah
=2f (x)dx f (x) g(x) dx
Home
Hal.: 31
Back
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan
diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas
daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih
sederhana dari sebelumnya.
y g(x) x g(y)
y
y f (x) x f (y)
d
g(y) f (y)
Li
y
x
0
c
d
Luas daerah
= g(y) f (y) dy
Home
Hal.: 32
c
Integral
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 6.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y
– 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
4. Jumlahkan luasnya
L (6 - y - y2)y
6
(6 y) y2
x y2
2
y
Li
y
6
5. Tentukan limitnya
L = lim (6 - y - y2)y
2
6. Nyatakan dalam integral 2
tertentu
Luas daerah
=6 y y dy
y
0
x
x 6 y
0
Home
Hal.: 33
Back
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
2
2
Luas daerah
=6 y y dy
0
Luas daerah =6y
y
2
y
y3
2
3
0
2 23 0
6
(
2
)
Luas daerah
=
2
3
12
Luas daerah =
1 8
3
6
(6 y) y2
x y2
2
Li
y
y
6
0
x 6 y
25
Luas daerah =
3
Back
Home
Hal.: 34
Integral
x
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu
sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar.
Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda
putar dengan integral adalah:
partisi, aproksimasi,
penjumlahan, pengambilan
Gb. 4
limit, dan menyatakan dalam
integral tentu.
Home
Hal.: 35
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika
diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode
yang digunakan untuk menentukan volume benda putar
dibagi menjadi : 1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
y
y
4
3
0
x
2
x
1
x
2
Home
Hal.: 36
1
0
1
Back
Integral
2
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume mentimun
dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk
cakram.
Home
Hal.: 37
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
y
Bentuk cakram di samping
x
dapat dianggap sebagai tabung
dengan jari-jari r = f(x), tinggi h
f (x)
= x. Sehingga volumenya dapat
diaproksimasi sebagai V r2h
atau V f(x)2x.
a
x
x
y
Dengan cara jumlahkan, ambil
h=
x
limitnya, dan nyatakan dalam
integral diperoleh:
r f (x)
V f(x)2 x
x
0
2
V = lim
x
a f(x)
2
v [ f (x)] dx
0
x
Home
Hal.: 38
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Jawab
y
Langkah penyelesaian:
y
y x2 1
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
h=
x
x
1
x2 1
x
2
r x 2 1
x
x
x
jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk
Home
Hal.: 39
integral.
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
V r2h
y
V (x2 + 1)2 x
h=
x
V (x2 + 1)2 x
V = lim (x2 + 1)2
r x2 1
x
x
2
V (x 2 1)2dx
x
0
2
V (x 4 2x2 1) dx
0
5
0
2
V 1 x5 2 x3 x
3
V ( 32 16 2 0) 1311
5
3
15
Home
Hal.: 40
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Contoh 8.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh
360º.
Jawab
y
y x2
Langkah penyelesaian:
2
1. Gambarlah daerahnya
y
2. Buatlah sebuah partisi
y
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk
x
partisi
y
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
Home
integral.
Hal.: 41
r y
y
h=
y
x
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
V r2h
y
2
V (y) y
V y y
2
r y
V = lim y y
h=y
2
y
V
ydy
0
x
2
V ydy
0
V
1
2
y2
2
0
V ( 21 4 0)
V 2
Home
Hal.: 42
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotongmotongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
Home
Hal.: 43
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Menghitung volume benda
putar dengan menggunakan
metode cincin dilakukan
dengan memanfaatkan
rumus volume cincin seperti
gambar di samping, yaitu V=
Gb. 5
(R2 – r2)h
R
h
Home
Hal.: 44
r
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y
y x2
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
y=
2x
4
x
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
x
2x
x2
x
2
x
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk
Home
Hal.: 45
integral.
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cincin
y
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
y x2
y=
2x
4
x
V (4x2 – x4) x
R=2x
r=x2
V (4x2 – x4) x
V = lim (4x2 – x4) x
V
2
(4x
0
2
x
2
x
y
4
x ) dx
3 1 5 2
4
V
x x
3
5
0
V ( 32 32)
x
3
5
V (160 96)
15
V 64
15
Home
Hal.: 46
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar
disamping.
Home
Hal.: 47
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
r
r
h
h
V = 2rhΔr
2r
Home
Hal.: 48
Δr
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Contoh 10.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
y
y x2
2. Buatlah sebuah partisi
4
3. Tentukan ukuran dan bentuk
3
x
2
partisi.
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
x2
1
x
0
x
1
2
ambil limitnya, dan nyatakan
Home
dalam
Hal.: 49
bentuk integral.
Integral
Back
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
y
y x
y
2
4
4
3
x
3
x
r=x
2
2
x2
1
1
h = x2
x
0
x
1
x
2
1
V 2rhx
V 2(x)(x2)x
V 2x x
3
V = lim 2x3x
Home
Hal.: 50
2
0
1
2
2
V 2 x3 dx
0
1x
V 2 4
4
2
0
V 8
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara
horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,
maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda
putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah
sebagai
V (R2 – r2)y
berikut.
y
y
V (4 - x2)y
2
y x
4
V (4 – y)y
4
3
V = lim (4 –
3
y)y 4
V 4 y dx
R=2
2
2
r=x
0
y
1
V 4y
1
x
0
x
1
2
x
2
1
1
2
Integral
4
0
V (16 8)
V 8
Back
Home
Hal.: 51
0
1 y2
2
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Latihan (6 soal)
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Home
Hal.: 52
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 1.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C
2
x
2
0
dx
D
4
y dy
0
4
x
0
2
E
2
(4
x2) dx
4
x2) dx
0
(4
0
dx
Hal.: 53
4
0
Home
y x2
2
X
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 1.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C
2
x
2
0
dx
2
D
4
x
0
2
4
x2) dx
(4
E
0
x2) dx
0
4
y dy
(4
0
dx
y x2
4
0
2
X
Jawaban Anda Benar
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
2
Home
Hal.: 54
L (4 x2) dx ( Jawaban D )
0
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 1.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C
2
x
2
0
dx
2
(4
D
0
4
y dy
x
0
2
(4
E
0
4
4
0
x
2
x ) dx
y x2
4
4 - x2
2
x ) dx
dx
0
x
2
X
Jawaban Anda Salah
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
2
Home
Hal.: 55
L (4 x2) dx ( Jawaban D )
0
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 2.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
y 4 x2
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E 10 2/3 satuan luas
X
0
Home
Hal.: 56
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 2.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
y 4 x2
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E 10 2/3 satuan luas
X
0
Jawaban Anda Benar
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
Hal.: 57
L (4 x2) dx
1
3
x
3
2
2
L (8 83) ( 8 83)
L
2
Home
L 4x
32
3
( Jawaban E )
102
3
Back
2
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 2.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
x
y 4 x2
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E 10 2/3 satuan luas
-2
0
2
x
X
Jawaban Anda Salah
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
Hal.: 58
L (4 x2) dx
1
3
x
3
2
2
L (8 83) ( 8 83)
L
2
Home
L 4x
32
3
( Jawaban E )
102
3
Back
2
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 3.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y
A 5 satuan luas
D 9 1/3 satuan luas
B 7 2/3 satuan luas
E 10 1/3 satuan luas
y 2x
C 8 satuan luas
0
Home
Hal.: 59
X
y 8 x2
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 3.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y
A 5 satuan luas
D 9 1/3 satuan luas
B 7 2/3 satuan luas
E 10 1/3 satuan luas
y 2x
C 8 satuan luas
X
0 2
y 8 x2
Jawaban Anda Benar
L (8 – x2 -2x)
x
L 16
2
L (8 x2 2x) dx
0
Home
Hal.: 60
L 8x
1
3
x3 x2
L
28
3
8
3
4
9 31
( Jawaban D )
2
0
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 3.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y
A 5 satuan luas
D 9 1/3 satuan luas
B 7 2/3 satuan luas
E 10 1/3 satuan luas
y 2x
C 8 satuan luas
X
0 2
y 8 x2
Jawaban Anda Salah
L (8 – x2 -2x)
x
L 16
2
L (8 x2 2x) dx
0
Home
Hal.: 61
L 8x
1
3
x3 x2
L
28
3
8
3
4
9 31
( Jawaban D )
2
0
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 4.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas
B
4,5 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas
C
6 satuan luas
Home
Hal.: 62
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 4.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas
B
E
20 5/6 satuan luas
4,5 satuan luas
Y
1
X
0
C
6 satuan luas
-2
x y2
x 2 y
Jawaban Anda Benar
L [(2 – y ) – y2 ] y
L (2
1
L (2 y x2) dy
L
2
Home
Hal.: 63
L 2y
1
2
y2
1
3
y3
1
2
Integral
1
2
31) ( 4 2 83)
9
4,5
2
( Jawaban B )
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 4.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas
Y
D
10 2/3 satuan luas
1
B
4,5 satuan luas
C
6 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas 0
X
-2
x y2
x 2 y
Jawaban Anda Salah
L [(2 – y ) – y2 ] y
L (2
1
L (2 y x2) dy
L
2
Home
Hal.: 64
L 2y
1
2
y2
1
3
y3
1
2
Integral
1
2
31) ( 4 2 83)
9
4,5
2
( Jawaban B )
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 5.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
A v x dx
0
B
C
4
v x2 dx
0
Y
4
D
v 2 x x dx
E
v 2 (16 y) dy
0
2
0
0
X
4
2
v y dy
0
Home
Hal.: 65
y X
2
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 5.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
A v x dx
0
B
C
Y
4
D
v 2 x x dx
E
v 2 (16 y) dy
4
v x2 dx
0
0
y X
2
2
0
0
X
4
2
v y dy
0
Jawaban Anda Benar
V 2xx x
4
V 2 x x dx ( Jawaban D )
0
Home
Hal.: 66
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 5.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
v
x dx
A
0
B
C
4
2
v x dx
0
4
D
E
v 2 x x dx
Y
0
2
y X
2
v 2 (16 y) dy
x
0
0
2
v y dy
x
X
4
0
Jawaban Anda Salah
V 2xx x
4
V 2 x x dx ( Jawaban D )
0
Home
Hal.: 67
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 6.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
A 4 satuan volum D
B
6 satuan volum E
C
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
y X
2
0
Home
Hal.: 68
Y
X
4
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 6.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
A 4 satuan volum D
B
6 satuan volum E
C
8 satuan volum
Y
12 satuan volum
15 satuan volum
y X
2
0
X
4
Jawaban Anda Benar
V (x)2 x
4
V x dx
0
V
Home
Hal.: 69
V 8
1
2
x2
4
0
( Jawaban C )
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 6.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
Y
A 4 satuan volum D
12 satuan volum
y X
2
B
C
6 satuan volum E
15 satuan volum
x
0
8 satuan volum
x
X
4
Jawaban Anda Salah
V (x)2 x
4
V x dx
0
V
V 8
Home
Hal.: 70
1
2
x2
4
0
( Jawaban C )
Integral
Back
Next
Adaptif
Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan Integral
Selesai
Terima Kasih
Hal.: 71
Integral
Adaptif
INTEGRAL TAK TENTU
Pengertian Hitung Integral
Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung
deferensial
Misal : y = F(x) = x2
dy dF ( x ) 3x2
= f(x)
dx
dx
dF ( x )
f ( x)
dx
dF(x)= f(x) dx
Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang
Sehingga
Hal.: 2
dF(x)=f(x)dx
Integral
F(x)=
""
f ( x )dx
Adaptif
INTRGRAL TAK TENTU
Misal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalah
X4
karena turunannya
4x3 = F’(x)
X4 + 1
karena turunannya
4x3 = F(‘x)
X4 + 5
karena turunannya
4x3 = F’(x)
X4 + 50
karena turunannya
4x3 = F’(x)
X4 + c
karena turunannya
4x3 = F’(x)
Jadi anti turunan dari 4x3 adalah x4 di tambah bilangan c ( c = Konstanta)
Dengan lambang integral di tulis :
Secara um8um di tulis :
Hal.: 3
3
4 x dx x
2
c
f ( x )dx F ( x ) c
Integral
Adaptif
INTEGRAL TAK TENTU
Rumus – rumus Pengintegralan
x x 1
n
x dx
c, n 1
a.
n 1
b.
c.
d.
e.
Hal.: 4
n
n
ax
dx
a
x
dx, n 1
1
1
x
dx
x dx lx c
adx ax c
[ f ( x ) g ( x )]dx f ( x )dx g ( x )dx
Integral
Adaptif
Integral Tak Tentu
Contoh:
1. Tentukan dari
xdx
2. Integralkanlah (5x – 1)2
Penyelesaian
Penyelesaian
xdx
Hal.: 5
x n 1
= n 1 c
2
2
(
6
x
1
)
dx
=
2
(
36
x
12 x x 1)dx
=
x2
c
2
36 3 12 2
x
x x c
=
3
2
=
1
x c
2
= 12x3 – 6x2 + x + c
Integral
Adaptif
Integral Tak Tentu
3.
Tentukan
4
1
(
2
ox
4
x
10
5
x
) dx
Penyelesaian
20 3 4 2
(2ox 4 x 10 5x )dx = 5 x 2 x 10 x 5 ln x c
4
1
4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c
=
4. Tentukan
(
1
X ) dx
X
Penyelesaian
(
1
X ) dx
=
X
( x
1
2
1
2
1
2
x ) dx
3
2
2x x 2 c
=
3
2
2
x
x x c
=
3
Hal.: 6
Integral
Adaptif
INTEGRAL TERTENTU
Bentuk umum intergral tertentu
b
f ( x)dx F ( x)
a
Hal.: 7
b
a
f (b) f ( x )
a
disebut batas bawah
b
disebut batas bawah
F(x)
: fungsi hasil integral dari f(x)
F(b)
: Nilai fungsi F(x) untuk x = b
F(a)
: Nilai fungsi F(x) untuk x = a
Integral
Adaptif
INTEGRAL TERTENTU
Sifat-sifat intergral tertentu
b
1.
f ( x)dx f ( x)dx
c
2.
a
a
c
a
b
a
b
kf ( x )dx k f ( x )dx; k ( Konsanta)
a
Hal.: 8
b
f ( x ) dx 0
b
4.
b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx; a bc
a
3.
a
a
Integral
Adaptif
INTEGRAL TERTENTU
Contoh :
1
2
1.Tentukan nilai dari
3
x
dx
2. Tentukan nilai dari ( 2 x 3x 2 ) dx
0
1
Penyelesaian
2
3
x
dx
1
1
2
2
1 4
= 2 x 1
=
(2 x 3x )dx
0
1 4 1 4
.2 1
4
4
= 4= 3
Hal.: 9
Penyelesaian
= x x
31
0
= 12 13 30 2 03
=
1
4
2
=
1 1 0
2
3
4
Integral
Adaptif
LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR
Penggunaan Integral
y x2
9
Hal.: 11
Integral
Adaptif
Penggunaan Integral
Kompetensi Dasar
Menggunakan integral untuk menghitung
luas daerah dan volume benda putar.
Indikator Hasil Belajar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan
dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang
dibatasi oleh beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan
menggunakan limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas
daerah dan menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume
benda putar dari daerah yang diputar
Hal.: 12
terhadap sumbu koordinat dan
Integral
menghitungnya.
Adaptif
Runtuhnya Jembatan Tacoma,
Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli
1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena
badai yang berkekuatan 68 km/jam.
Back
Hal.: 13
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisipartisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan
menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.
Back
Hal.: 14
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda
putar jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari
juga penggunaan integral
untuk menghitung volume
benda putar.
Hal.: 15
Integral
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah
Menentukan luas daerah
Luas Daerah
Y
dengan limit jumlah dapat
diilustrasikan oleh gambar
y sin x
di samping. Langkah utama
X
yang dilakukan adalah
memartisi,
mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan
menghitung limitnya.
Home
Hal.: 16
Back
Integral
Next
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Langkah menghitung luas
y
y f (x)
daerah dengan limit jumlah
adalah:
1. Bagilah interval menjadi
selang
yang sama
panjang.
Li
f (xi )
x
0
2. Partisilah daerah
xi a
x
tersebut.
3. Masing-masing partisi
buatlah
persegi
panjang.
Home
4. Perhatikan persegi
Hal.: 17
Integral
Back
Next
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Langkah menghitung luas
y
y f (x)
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
Li
persegi panjang
7. Hitung nilai limit
jumlahnya
f (xi )
x
xi a
0
x
Luas sebuah persegi panjang: Li =
f(xi) x
Jumlah luas persegi panjang :L
f(xi) x
Home
Hal.: 18
Limit jumlah : L = lim f(xi) x
∞)
Integral
(n
Back
Next
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah
Luas Daerah
Contoh 1.
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x =
3 dengan menggunakan cara limit jumlah.
Jawab
f (x) x2
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n
buah selang yang sama panjang;
yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut
persegi panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi
panjang pada interval [xi , xi+1]
y
xi 12
dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
3(i 1) 2 3
2 23= 6/n
x2 L
= (3/n)
×
x
n
i
i 1
n
n
Li
0
x1 x2
xi
x3
n3
i 1
Home
Hal.: 19
x
3/n
Jadi xi 27
= 3i/n dan
xi + 1 = 3(i +1)/n
2
Li
xi+1 3
Back
Integral
Next
Adaptif
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
4. Jumlahkan luas semua
partisi
n 1 27
L
i 0
n ( n 1)( 2 n 1)
2
k
6
n
27
L 3 12 22 ... n2
n
L
n
i 1 2
3
k 1
f (x) x2
y
27 1
n(n 1)(2n 1)
n3 6
9
L (1 n1)(2 n1)
2
xi 12
5. Tentukan
Li
limitnya
9
(1 n1)(2 n1)
n 2
L lim
0
9
L (1 0)(2 0) 9
2
x1 x2
x3
xi
xi+1 3
x
3/n
Jadi luas daerah = 9
satuan
Home
Hal.: 20
Back
Integral
Next
Adaptif
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
Perhatikan gambar di bawah
ini!
y
Misalkan selang [a, b] dibagi
menjadi n bagian (lebar tidak
harus sama) dengan lebar selang
ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada
selang [xi-1, xi] diambil titik
sampel xk maka jumlah Riemann
x
0
a
b
n
dituliskan
sebagai
:x
f (x ) Δ
k1
xi-1 xk xi
xi
Selanjutnya didefinisikan
b
k
k
n
f (x) dx lim f (xk) Δxk
n k1
a
bahwa:b
Bentukf (x) dxdisebut dengan integral tertentu (Integral
a
Riemann)
Home
Hal.: 21
Back
Integral
Next
Adaptif
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan
Misalkan ff adalah
adalah fungsi
fungsi yang
yang kontinyu
kontinyu pada
pada selang
selang [a,
[a, b]
b]
dan
dan misalkan
misalkan F
F adalah
adalah anti
anti turunan
turunan dari
dari ff pada
pada selang
selang
tersebut,
tersebut,b maka
maka berlaku
berlaku ::
f (x) dx F(b) F(a)
a
Untuk
Untuk meringkas
meringkas penulisan,
penulisan, F(b)
F(b) –– F(a)
F(a) dinotasikan
dinotasikan
F(x) ab
sebagai
sebagai
Contoh 2.
2
2
Hitunglah nilai dari
6x 4x dx
1
Jawab
2
=3
2
2
6
x
4
x
dx
2x 2x2 1
1
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-
Home
Hal.: 22
1)2]
Back
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat
diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada
interval [a, b].
Jumlah Luas
y
Partisi
Berubah
Menjadi
Integral
y
f (x)
f (x)
Tentukan limitnya
n
n
b
f (x) dx
f (xi )xi
a
i 1
x
x
0
a
0
b
x
b
a
b
n
L f (x) dx lim f (xi ) xi
Home
Hal.: 23
n i 1
a
Integral
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Kegiatan pokok dalam
menghitung luas daerah dengan
y
xi
y f (x)
Li
f (xi )
integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah
partisi Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
x
xi
0
a
L f(xi) xi
a
L
5. Ambil limitnya L = lim
f(x
f (
i)x) dx
0
x
i
Home
6. Nyatakan
dalam integral
Hal.:
24
Integral
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 3.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,
dan garis x = 3
Jawab
Langkah penyelesaian :
f (x) x2
1. Gambarlah daerahnya
y
xi
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2
xi
4. Jumlahkan luasnya L
xi 2
xi2 xi
Li
5. Ambil limit jumlah luasnya
3
2
L = lim xi2 x
L
i x dx
0
3
6. Nyatakan dalam integral
33
x3
L 3
3
dan hitung nilainya
0
Home
Hal.: 25
Integral
x
0
xi
3
0 9
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 4.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2,
sumbu x,
dan garis x = 5
Jawab
y
xi
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
4xi xi 2
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
0
4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan
A -(4xj - xj2)xj
Li
xj
4
xi
0 (4x x 2)
5
xj
Aj
5. Ambil limitnya L = lim (4xi -
xi2)xi
dan A = lim -(4xj - xj2)xj
f (x) 4x x2
5
4
6. Nyatakan
dalam
integral
2
L (4x x ) dx
A (4x x 2) dx
Home 0
Hal.: 26
4
Integral
Back
Next
Adaptif
x
Menghitung Luas dengan Integral
4
L (4x x 2) dx
0
L 2x 2
L 2(4)2
y
1 3 4
x 0
3
3
1
(
4
)
3
5
0 32
64
3
xi
4xi xi 2
Li
2
xj
A (4x x ) dx
4
A 2x 2
0
1 3 5
x 4
3
A 2(5)2 31 (5)3 2(4)2 31 (4)3
A 50 125
32
3
xi
0 (4x x 2)
5
xj
x
Aj
64
3
A 61
18
3
Luasdaerah32
4
f (x) 4x x2
64
61
3
3
18
Luasdaerah13
Home
Hal.: 27
Back
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)
pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara
: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,
integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua
kurva tersebut.
Langkah
penyelesaian:
y
1. Partisi daerahnya
x
y f (x)
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ]
x
f (x) g(x)
Li
4. Jumlahkan
: L [ f(x) –
g(x) ] x
0
a
x
b
x
y g(x)
5. Ambil limitnya :
b
L = lim
–(x
g(x)
L [f (f(x)
x) g
) dx] x
Home
a
6. Nyatakan
dalam integral
Hal.:tertentu
28
Integral
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Luas Daerah
Contoh 5.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan
garis y = 2 - x
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
y 2 x
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
(2 x) x2
2
Li (2 - x - x )x
y
5
x
4
3
Li
4. Jumlahkan luasnya
L (2 - x - x2)x
y x2
2
1
5. Tentukan limit jumlah luasnya
L = lim (2 - x - x2)x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
x
3
2
1 x
0
1
2
1
L (2 x x 2) dx
Home
Hal.: 29
2
Back
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
1
L (2 x x 2) dx
2
L 2x
12
2
L 2(1)
L 2
L 2
L 5
x
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1
x3
3
2
13
3
2( 2)
4 2
1
3
4 2
8
3
( 2)2
2
5
x
( 2)3
3
(2 x) x2
Li
2
x
2
1 x
0
Back
Integral
y x2
1
3
1
4 2
4
3
8
3
Home
Hal.: 30
y
y 2 x
1
2
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Untuk kasus tertentu
y g(x)
y
pemartisian secara vertikal
y f (x)
x
menyebabkan ada dua
bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama
Li
x
Ai
0
untuk menghitungnya.
f (x) g(x)
x
a
b
2f (x)
a
b
0
a
Luas daerah
=2f (x)dx f (x) g(x) dx
Home
Hal.: 31
Back
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan
diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas
daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih
sederhana dari sebelumnya.
y g(x) x g(y)
y
y f (x) x f (y)
d
g(y) f (y)
Li
y
x
0
c
d
Luas daerah
= g(y) f (y) dy
Home
Hal.: 32
c
Integral
Back
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 6.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y
– 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
4. Jumlahkan luasnya
L (6 - y - y2)y
6
(6 y) y2
x y2
2
y
Li
y
6
5. Tentukan limitnya
L = lim (6 - y - y2)y
2
6. Nyatakan dalam integral 2
tertentu
Luas daerah
=6 y y dy
y
0
x
x 6 y
0
Home
Hal.: 33
Back
Integral
Next
Adaptif
Menghitung Luas dengan Integral
2
2
Luas daerah
=6 y y dy
0
Luas daerah =6y
y
2
y
y3
2
3
0
2 23 0
6
(
2
)
Luas daerah
=
2
3
12
Luas daerah =
1 8
3
6
(6 y) y2
x y2
2
Li
y
y
6
0
x 6 y
25
Luas daerah =
3
Back
Home
Hal.: 34
Integral
x
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu
sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar.
Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda
putar dengan integral adalah:
partisi, aproksimasi,
penjumlahan, pengambilan
Gb. 4
limit, dan menyatakan dalam
integral tentu.
Home
Hal.: 35
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika
diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode
yang digunakan untuk menentukan volume benda putar
dibagi menjadi : 1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
y
y
4
3
0
x
2
x
1
x
2
Home
Hal.: 36
1
0
1
Back
Integral
2
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume mentimun
dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk
cakram.
Home
Hal.: 37
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
y
Bentuk cakram di samping
x
dapat dianggap sebagai tabung
dengan jari-jari r = f(x), tinggi h
f (x)
= x. Sehingga volumenya dapat
diaproksimasi sebagai V r2h
atau V f(x)2x.
a
x
x
y
Dengan cara jumlahkan, ambil
h=
x
limitnya, dan nyatakan dalam
integral diperoleh:
r f (x)
V f(x)2 x
x
0
2
V = lim
x
a f(x)
2
v [ f (x)] dx
0
x
Home
Hal.: 38
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Jawab
y
Langkah penyelesaian:
y
y x2 1
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
h=
x
x
1
x2 1
x
2
r x 2 1
x
x
x
jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk
Home
Hal.: 39
integral.
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
V r2h
y
V (x2 + 1)2 x
h=
x
V (x2 + 1)2 x
V = lim (x2 + 1)2
r x2 1
x
x
2
V (x 2 1)2dx
x
0
2
V (x 4 2x2 1) dx
0
5
0
2
V 1 x5 2 x3 x
3
V ( 32 16 2 0) 1311
5
3
15
Home
Hal.: 40
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Contoh 8.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh
360º.
Jawab
y
y x2
Langkah penyelesaian:
2
1. Gambarlah daerahnya
y
2. Buatlah sebuah partisi
y
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk
x
partisi
y
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
Home
integral.
Hal.: 41
r y
y
h=
y
x
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cakram
V r2h
y
2
V (y) y
V y y
2
r y
V = lim y y
h=y
2
y
V
ydy
0
x
2
V ydy
0
V
1
2
y2
2
0
V ( 21 4 0)
V 2
Home
Hal.: 42
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotongmotongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
Home
Hal.: 43
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Menghitung volume benda
putar dengan menggunakan
metode cincin dilakukan
dengan memanfaatkan
rumus volume cincin seperti
gambar di samping, yaitu V=
Gb. 5
(R2 – r2)h
R
h
Home
Hal.: 44
r
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y
y x2
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
y=
2x
4
x
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
x
2x
x2
x
2
x
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk
Home
Hal.: 45
integral.
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Cincin
y
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
y x2
y=
2x
4
x
V (4x2 – x4) x
R=2x
r=x2
V (4x2 – x4) x
V = lim (4x2 – x4) x
V
2
(4x
0
2
x
2
x
y
4
x ) dx
3 1 5 2
4
V
x x
3
5
0
V ( 32 32)
x
3
5
V (160 96)
15
V 64
15
Home
Hal.: 46
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar
disamping.
Home
Hal.: 47
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
r
r
h
h
V = 2rhΔr
2r
Home
Hal.: 48
Δr
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Contoh 10.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
y
y x2
2. Buatlah sebuah partisi
4
3. Tentukan ukuran dan bentuk
3
x
2
partisi.
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
x2
1
x
0
x
1
2
ambil limitnya, dan nyatakan
Home
dalam
Hal.: 49
bentuk integral.
Integral
Back
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
y
y x
y
2
4
4
3
x
3
x
r=x
2
2
x2
1
1
h = x2
x
0
x
1
x
2
1
V 2rhx
V 2(x)(x2)x
V 2x x
3
V = lim 2x3x
Home
Hal.: 50
2
0
1
2
2
V 2 x3 dx
0
1x
V 2 4
4
2
0
V 8
Back
Integral
Next
Adaptif
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara
horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,
maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda
putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah
sebagai
V (R2 – r2)y
berikut.
y
y
V (4 - x2)y
2
y x
4
V (4 – y)y
4
3
V = lim (4 –
3
y)y 4
V 4 y dx
R=2
2
2
r=x
0
y
1
V 4y
1
x
0
x
1
2
x
2
1
1
2
Integral
4
0
V (16 8)
V 8
Back
Home
Hal.: 51
0
1 y2
2
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Latihan (6 soal)
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Home
Hal.: 52
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 1.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C
2
x
2
0
dx
D
4
y dy
0
4
x
0
2
E
2
(4
x2) dx
4
x2) dx
0
(4
0
dx
Hal.: 53
4
0
Home
y x2
2
X
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 1.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C
2
x
2
0
dx
2
D
4
x
0
2
4
x2) dx
(4
E
0
x2) dx
0
4
y dy
(4
0
dx
y x2
4
0
2
X
Jawaban Anda Benar
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
2
Home
Hal.: 54
L (4 x2) dx ( Jawaban D )
0
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 1.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C
2
x
2
0
dx
2
(4
D
0
4
y dy
x
0
2
(4
E
0
4
4
0
x
2
x ) dx
y x2
4
4 - x2
2
x ) dx
dx
0
x
2
X
Jawaban Anda Salah
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
2
Home
Hal.: 55
L (4 x2) dx ( Jawaban D )
0
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 2.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
y 4 x2
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E 10 2/3 satuan luas
X
0
Home
Hal.: 56
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 2.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
y 4 x2
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E 10 2/3 satuan luas
X
0
Jawaban Anda Benar
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
Hal.: 57
L (4 x2) dx
1
3
x
3
2
2
L (8 83) ( 8 83)
L
2
Home
L 4x
32
3
( Jawaban E )
102
3
Back
2
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 2.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
x
y 4 x2
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E 10 2/3 satuan luas
-2
0
2
x
X
Jawaban Anda Salah
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
Hal.: 58
L (4 x2) dx
1
3
x
3
2
2
L (8 83) ( 8 83)
L
2
Home
L 4x
32
3
( Jawaban E )
102
3
Back
2
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 3.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y
A 5 satuan luas
D 9 1/3 satuan luas
B 7 2/3 satuan luas
E 10 1/3 satuan luas
y 2x
C 8 satuan luas
0
Home
Hal.: 59
X
y 8 x2
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 3.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y
A 5 satuan luas
D 9 1/3 satuan luas
B 7 2/3 satuan luas
E 10 1/3 satuan luas
y 2x
C 8 satuan luas
X
0 2
y 8 x2
Jawaban Anda Benar
L (8 – x2 -2x)
x
L 16
2
L (8 x2 2x) dx
0
Home
Hal.: 60
L 8x
1
3
x3 x2
L
28
3
8
3
4
9 31
( Jawaban D )
2
0
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 3.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y
A 5 satuan luas
D 9 1/3 satuan luas
B 7 2/3 satuan luas
E 10 1/3 satuan luas
y 2x
C 8 satuan luas
X
0 2
y 8 x2
Jawaban Anda Salah
L (8 – x2 -2x)
x
L 16
2
L (8 x2 2x) dx
0
Home
Hal.: 61
L 8x
1
3
x3 x2
L
28
3
8
3
4
9 31
( Jawaban D )
2
0
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 4.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas
B
4,5 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas
C
6 satuan luas
Home
Hal.: 62
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 4.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas
B
E
20 5/6 satuan luas
4,5 satuan luas
Y
1
X
0
C
6 satuan luas
-2
x y2
x 2 y
Jawaban Anda Benar
L [(2 – y ) – y2 ] y
L (2
1
L (2 y x2) dy
L
2
Home
Hal.: 63
L 2y
1
2
y2
1
3
y3
1
2
Integral
1
2
31) ( 4 2 83)
9
4,5
2
( Jawaban B )
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 4.
Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas
Y
D
10 2/3 satuan luas
1
B
4,5 satuan luas
C
6 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas 0
X
-2
x y2
x 2 y
Jawaban Anda Salah
L [(2 – y ) – y2 ] y
L (2
1
L (2 y x2) dy
L
2
Home
Hal.: 64
L 2y
1
2
y2
1
3
y3
1
2
Integral
1
2
31) ( 4 2 83)
9
4,5
2
( Jawaban B )
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 5.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
A v x dx
0
B
C
4
v x2 dx
0
Y
4
D
v 2 x x dx
E
v 2 (16 y) dy
0
2
0
0
X
4
2
v y dy
0
Home
Hal.: 65
y X
2
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 5.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
A v x dx
0
B
C
Y
4
D
v 2 x x dx
E
v 2 (16 y) dy
4
v x2 dx
0
0
y X
2
2
0
0
X
4
2
v y dy
0
Jawaban Anda Benar
V 2xx x
4
V 2 x x dx ( Jawaban D )
0
Home
Hal.: 66
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 5.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
v
x dx
A
0
B
C
4
2
v x dx
0
4
D
E
v 2 x x dx
Y
0
2
y X
2
v 2 (16 y) dy
x
0
0
2
v y dy
x
X
4
0
Jawaban Anda Salah
V 2xx x
4
V 2 x x dx ( Jawaban D )
0
Home
Hal.: 67
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 6.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
A 4 satuan volum D
B
6 satuan volum E
C
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
y X
2
0
Home
Hal.: 68
Y
X
4
Back
Integral
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 6.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
A 4 satuan volum D
B
6 satuan volum E
C
8 satuan volum
Y
12 satuan volum
15 satuan volum
y X
2
0
X
4
Jawaban Anda Benar
V (x)2 x
4
V x dx
0
V
Home
Hal.: 69
V 8
1
2
x2
4
0
( Jawaban C )
Integral
Back
Next
Adaptif
Penggunaan Integral
Latihan
Soal 6.
Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
Y
A 4 satuan volum D
12 satuan volum
y X
2
B
C
6 satuan volum E
15 satuan volum
x
0
8 satuan volum
x
X
4
Jawaban Anda Salah
V (x)2 x
4
V x dx
0
V
V 8
Home
Hal.: 70
1
2
x2
4
0
( Jawaban C )
Integral
Back
Next
Adaptif
Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan Integral
Selesai
Terima Kasih
Hal.: 71
Integral
Adaptif