Sistem Bonus Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull
SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM
BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM
BERDISTRIBUSI WEIBULL
LILYANI SUSANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sistem Bonus-Malus
dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi
Weibull adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Lilyani Susanti
NIM G54110034
ABSTRAK
LILYANI SUSANTI. Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi
Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull. Dibimbing oleh I GUSTI
PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Sistem Bonus-Malus adalah salah satu sistem yang ditawarkan oleh suatu
perusahaan asuransi, dalam perhitungan premi risiko berdasarkan sejarah klaim dari
setiap pemegang polis. Pada karya tulis ini dijelaskan dua jenis sistem BonusMalus yang berbeda, yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus
optimal. Sistem Bonus-Malus klasik menetapkan perhitungan premi risiko bagi
setiap pemegang polis hanya berdasarkan frekuensi klaim yang diajukan.
Sedangkan sistem Bonus-Malus optimal menetapkan perhitungan premi risiko bagi
setiap pemegang polis berdasarkan frekuensi klaim dan ukuran klaim.
Kedua sistem Bonus-Malus tersebut dibandingkan, dengan frekuensi klaim dan
ukuran klaim diasumsikan masing-masing memiliki sebaran geometrik dan Weibull.
Risiko yang dihadapi oleh setiap pemegang polis berbeda-beda sehingga
banyaknya klaim dan ukuran klaim yang akan diajukan setiap pemegang polis pun
berbeda-beda. Dicari sebaran posterior dari parameter frekuensi dan ukuran klaim,
kemudian parameter tersebut diduga menggunakan metode Bayes, sehingga
diperoleh solusi kedua sistem tersebut. Solusi tersebut berupa premi yang akan
datang berdasarkan sejarah klaim dari setiap pemegang polis.
Kata kunci : Sistem Bonus-Malus, sebaran geometrik, sebaran Weibull.
ABSTRACT
LILYANI SUSANTI. Bonus-Malus Systems with Geometric Distributed Claim
Frequency and Weibull Distributed Claim Severity. Under supervision by I GUSTI
PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Bonus-Malus system is one of systems implemented by an insurance in
calculating the risk premium based on claim history from each policyholder. In
this work we discussed two different types of Bonus-Malus system namely the
classical Bonus-Malus system and the optimal Bonus-Malus systems. The
classical Bonus-Malus system sets the risk premium by taking into account only
the number of accidents of each policyholder. While the optimal Bonus-Malus
system sets the risk premium by taking into account both the frequency and the
severity of the claims of each policyholder.
Both of the Bonus-Malus systems are then compared, with the number and
size of the claims and insured persons are assumed to follow respectively a
geometric and a Weibull distributions. The risks faced by each policyholder are
different such that the number and size of the claims experienced by each
policyholder are also different. F u r t h e r m o r e , posterior distribution o f severity
and frequency claim parameters is estimated by using Bayes method. Subsequently,
solutions of both systems are obtained in term of future premium based on claim
history from each policyholder.
Keywords: Bonus-Malus systems, geometric distribution, Weibull distribution.
SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM
BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM
BERDISTRIBUSI WEIBULL
LILYANI SUSANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik
dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull
Nama
: Lilyani Susanti
NIM
: G54110034
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2014 ini ialah
asuransi, dengan judul Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim
Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. bapak Tri Susanto, ibu Tuti Gartini selaku orangtua yang sudah membesarkan,
menyayangi, mendidik dan selalu mendoakan penulis,
2. bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing I, bapak Prof
Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku pembimbing II dan ibu Dr Berlian
Setiawaty, MS selaku penguji,
3. seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak membagi ilmu
dan pengalamannya,
4. seluruh staf Departemen Matematika IPB yang telah memberikan
semangat dan doanya,
5. Abi, Sinta teman satu bimbingan yang telah memberikan masukan untuk
karya ilmiah ini,
6. Resty, Widya, Firi yang telah menjadi pembahas pada seminar tugas akhir ini,
7. sahabat belajar bareng Dinita, Ari, Arli, Widya, Dyah yang telah
memberikan doa, motivasi dan keceriaan selama masa kuliah dan penyusunan
karya ilmiah ini,
8. teman-teman Matematika 48 terimakasih atas kebersamaannya selama ini,
9. kak Risma yang telah memberikan masukan selama bimbingan berlangsung,
10. kakak-kakak S2 Matematika 51 yang telah memberikan motivasi,
11. semua pihak yang terlibat dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
kghususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2015
Lilyani Susanti
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
8
Penentuan Premi Risiko pada Sistem Bonus-Malus
Penerapan Formula Premi Risiko pada Sistem Bonus-Malus
SIMPULAN DAN SARAN
8
13
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
37
DAFTAR TABEL
1 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim
2 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran
klaim (Total ukuran klaim 7500)
3 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran
klaim (Total ukuran klaim 10000)
13
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Sebaran frekuensi klaim
Sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim
Nilai ̅ diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation
Nilai harapan dari sebaran gamma
Perolehan ̂
dengan solusi Bayes
Fungsi sebaran eksponensial
Fungsi sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran Weibull
Representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi
Nilai harapan dari sebaran posterior parameter ukuran klaim
Nilai harapan ukuran klaim
Fungsi rekursif dari
Premi risiko pada kasus
Bukti sifat fungsi Bessel termodifikasi
18
20
22
23
25
26
27
29
30
31
33
34
36
PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah
Asuransi adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan sebuah
sistem atau bisnis yang merupakan tindakan perlindungan secara finansial untuk
properti dari kejadian-kejadian yang tidak dapat diduga, yang melibatkan
pembayaran premi secara teratur sebagai ganti polis yang menjamin perlindungan
tersebut. Berbagai macam sistem digunakan oleh perusahaan asuransi untuk
menarik minat masyarakat, salah satunya adalah sistem Bonus-Malus.
Sistem Bonus-Malus adalah penentuan harga premi dalam asuransi yang
didasarkan pada riwayat klaim pemegang polis. Dalam sistem ini bonus akan
diberikan dalam bentuk pemotongan biaya premi yang harus dibayar apabila tidak
ada klaim yang diajukan pada tahun sebelumnya. Sedangkan malus diberikan
dalam bentuk penambahan biaya premi apabila ada klaim yang diajukan pada
tahun sebelumnya. Menurut Leimare (1998), setiap pemegang polis dari sebuah
risk cell akan dibagi berdasarkan kelas Bonus-Malus dan riwayat klaim mereka,
yang kemudian akan memodifikasi kelas tersebut ketika perpanjangan polis.
Sistem Bonus-Malus yang digunakan biasanya adalah sistem Bonus-Malus
klasik, sistem tersebut hanya mempertimbangkan berdasarkan frekuensi klaim
tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut. Dalam sistem ini
pemegang polis yang mendapatkan kerugian kecil atau besar mendapatkan premi
yang sama. Sistem ini sudah digunakan di beberapa negara dan beberapa
diantaranya sudah dimodifikasi agar dapat disesuaikan dengan kebutuhan
penggunaan, seperti yang sudah diteliti oleh Lemaire dan Zi (1994) di dalam
jurnalnya yang menggunakan data dari 30 perusahaan yang memberikan jasa
asuransi dari berbagai negara yang berbeda.
Salah satu kesalahan yang dilakukan perusahaan asuransi dalam sistem ini
adalah bila pemberian bonus yang besar tidak diseimbangkan dengan pemberian
malus yang sama besar. Hal ini dapat menyebabkan kerugian tidak hanya pada
pemegang polis tetapi juga kepada pihak asuransi seperti yang diteliti oleh
Ibiwoye et al. (2011). Kesalahan tersebut juga dapat mengakibatkan angka
kecelakaan kendaraan tidak menyusut dikarenakan pemegang polis menganggap
mendapatkan malus tidak memberikan dampak yang merugikan bagi mereka,
seperti yang dikemukakan oleh Mamoudvand et al. (2013).
Frangos dan Vrontos (2001) membuat sistem Bonus-Malus optimal, yaitu
sistem yang sudah dimodifikasi sehingga bukan hanya frekuensi klaim saja yang
digunakan, tetapi besar klaim dimasukkan juga ke dalam perhitungan.
Mahmoudvand dan Hassani (2009) melanjutkan penelitian tersebut dengan
membuat sistem Bonus-Malus optimal diperumum.
Pada penulisan karya ilmiah ini, penulis akan melakukan kajian sistem
Bonus-Malus dengan frekuensi klaim berdistribusi geometrik dan ukuran klaim
berdistribusi Weibull.
2
Perumusan Masalah
Salah satu hal penting bagi sistem Bonus-Malus pada suatu perusahaan
asuransi adalah penentuan premi risiko yang berdasarkan pada riwayat klaim
pemegang polis tersebut. Terdapat dua sistem Bonus-Malus yang bisa digunakan,
yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal.
Pada sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi risiko hanya didasarkan
pada frekuensi klaim tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut.
Sedangkan pada sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi risiko
didasarkan pada frekuensi dan ukuran klaim pemegang polis tersebut.
Dari beberapa uraian diatas, dapat dirumuskan beberapa masalah sebagai
berikut:
1. Bagaimana menentukan premi pada sistem Bonus-Malus klasik dan sistem
Bonus-Malus optimal dengan frekuensi klaim memiliki sebaran geometrik
dan ukuran klaim memiliki sebaran Weibull.
2. Bagaimana perbandingan premi risiko dari kedua sistem tersebut.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan premi risiko yang harus
dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi dengan sistem sistem BonusMalus klasik dan sistem Bonus-Malus dengan frekuensi klaim memiliki sebaran
geometrik dan ukuran klaim memiliki sebaran Weibull dan membandingkan
kedua sistem Bonus-Malus tersebut.
3
TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam
kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah diketahui,
tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan
semacam ini disebut percobaan acak (Hogg et al. 2014).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω
(Grimmett dan Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
dari ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi berikut:
1.
,
2. Jika
, maka
,
3. Jika
maka ⋃
(Grimmett dan Stirzaker 1992).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
[ ] pada Ω , yang memenuhi:
fungsi
1.
, Ω
,
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
untuk
∑
setiap pasangan
, maka
⋃
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah
suatu fungsi : Ω → dengan sifat { Ω: ()
}
untuk setiap
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang
terhitung dari (Grimmet dan Stirzaker 1992).
Catatan:
Suatu himpunan bilangan disebut terhitung jika terdiri atas bilangan terhingga
atau anggota dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
4
Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret
diberikan oleh:
adalah fungsi
[
] yang
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 8 (Sebaran Poisson)
Suatu peubah acak
dikatakan menyebar Poisson dengan parameter
memiliki fungsi massa peluang:
, jika
(Hogg et al. 2014).
Definisi 9 (Sebaran Geometrik)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar geometrik dengan parameter , jika
memiliki fungsi massa peluang:
dengan
(Hogg et al. 2014).
dan
Definisi 10 ( Fungsi Sebaran)
Misalkan adalah suatu peubah acak dengan ruang
peubah acak dinyatakan sebagai
Fungsi sebaran dari
(Hogg et al. 2014).
Definisi 11 (Fungsi Bessel Termodifikasi)
Jika
adalah fungsi Bessel termodifikasi dengan indeks
adalah solusi dari persamaan differensial :
dan
, maka
dapat direpresentasikan sebagai berikut:
(Abramowitz dan Stegun 1964).
∫
Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi
dapat dinyatakan sebagai
∫
sehingga fungsi sebaran
dengan
[0, ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi
kepekatan peluang dari (Grimmett dan Stirzaker 1992).
disebut fungsi
5
Definisi 13 (Sebaran Eksponensial)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter , jika
memiliki fungsi kepekatan peluang:
(Ghahramani 2005).
Definisi 14 (Sebaran Gamma)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar gamma dengan parameter
memenuhi fungsi kepekatan peluang:
dan
jika
⁄
dengan
2014).
,
dan Γ( ) > 0, dimana Γ( ) = ∫
(Hogg et al.
Definisi 15 (Sebaran Invers Gauss yang Diperumum (Generalized Inverse
Gaussian Distribution))
Suatu peubah acak dikatakan menyebar invers gauss yang diperumum, jika
memiliki fungsi kepekatan peluang:
dengan
termodifikasi dengan indeks
dan
(Tremblay 1992).
adalah
fungsi
Bessel
Definisi 16 (Sebaran Levy)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar Levy yang juga disebut sebagai sebaran
stabil dengan parameter jika memiliki fungsi kepekatan peluang:
(Ni et al. 2014).
√
Definisi 17 (Sebaran Weibull)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar Weibull dengan parameter
memiliki fungsi kepekatan peluang:
dan
jika
(Gray dan Pitts 2012).
Definisi 18 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak
dan
merupakan suatu fungsi
[ ] yang didefinisikan oleh:
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
6
Definisi 19 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Marginal)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang
bersama dari dan adalah
dan fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
adalah
∫
Definisi 20 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dan fungsi kepekatan peluang
. Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat
marginal
adalah
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 21 (Nilai Harapan)
1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
nilai harapan dari , dinotasikan dengan
adalah
maka
∑
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
maka nilai harapan dari adalah
∫
asalkan integral diatas konvergen mutlak (Hogg et al. 2014).
Definisi 22 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan
dan adalah peubah acak kontinu dan
kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat
dengan syarat
adalah
(Hogg et al. 2014).
adalah fungsi
. Nilai harapan dari
∫
Definisi 23 (Fungsi Kemungkinan (Likelihood Function))
Misalkan
adalah contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi
kepekatan peluang
dengan merupakan realisasi dari peubah acak .
Fungsi kepekatan peluang bersama dari
(fungsi kemungkinan)
adalah:
(
(Hogg et al. 2014).
7
Definisi 24 (Penduga Kemungkinan Maksimum)
Misalkan
adalah contoh acak berukuran dari suatu sebaran dengan
fungsi kepekatan peluang
. Penduga kemungkinan maksimum bagi
dinotasikan dengan ̂ adalah
yang memaksimumkan fungsi
likelihood
(Hogg et al. 2014).
Definisi 25 (Sebaran Prior)
Suatu peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan peluang bersama yang
dilambangkan dengan
dan fungsi marginal
dinamakan
sebaran prior (Arnold 1990).
Definisi 26 (Sebaran Posterior)
Misalkan peubah acak memiliki sebaran prior dengan fungsi kepekatan peluang
bersama yang dilambangkan dengan
dan memiliki fungsi
kepekatan peluang marginal
. Fungsi kepekatan peluang gabungan dari
dilambangkan dengan
dinamakan fungsi kepekatan
peluang dari sebaran posterior, dan dinyatakan dengan
∫
(Arnold 1990).
Definisi 27 (Fungsi Kerugian)
Misalkan
adalah suatu peubah acak dengan parameter
dan penduga
parameternya
. Fungsi kerugian (loss function) dari parameter tersebut
adalah:
dan
fungsi kerugian kuadratik merupakan fungsi kerugian dengan kesalahan kuadrat
dari parameter tersebut dinyatakan dengan:
(Bain dan Engelhardt 1993).
Definisi 28 (Fungsi Risiko)
Fungsi risiko adalah nilai harapan dari fungsi kerugian, yang dinyatakan sebagai
berikut:
[
]
(Bain dan Engelhardt 1993).
Definisi 29 (Solusi Bayes)
Misalkan adalah suatu parameter dengan penduga parameternya ̂ , dengan
fungsi kerugian ( ̂ dan nilai harapan fungsi tersebut [ ( ̂ ], dikatakan
solusi Bayes jika penduga parameter ̂ meminimumkan
(Hogg et al. 2014).
[ (
̂
]
∫
(
̂
8
Teorema 1 (Sifat Fungsi Bessel Termodifikasi)
fungsi Bessel termodifikasi maka untuk setiap
Misalkan
berlaku dua sifat yaitu :
,
1.
2.
(Lemaire 1995).
Bukti Teorema 1 ada pada Lampiran 13.
,
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penentuan premi risiko pada sistem Bonus-Malus
Seseorang yang menjadi pemegang polis suatu perusahaan asuransi
diharuskan membayar premi risiko atas klaim yang dibuat, penetapan besarnya
premi risiko dihitung berdasarkan sistem yang ada pada perusahaan asuransi
tersebut. Salah satu sistem yang digunakan oleh suatu perusahaan asuransi adalah
sistem Bonus-Malus.
Terdapat dua jenis sistem Bonus-Malus yaitu sistem Bonus-Malus klasik
dan sistem Bonus-Malus optimal. Kedua sistem tersebut berbeda, karena hal yang
akan mempengaruhi perhitungan premi risiko setiap pemegang polis berbeda pula.
Sistem Bonus-Malus klasik
Dalam sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi risiko yang harus
dibayarkan oleh pemegang polis asuransi hanya bergantung pada frekuensi
klaim.Frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis berbeda-beda
sehingga nilai harapan dari banyaknya klaim yang diajukan pun berbeda-beda.
Misalkan pada asuransi mobil yang memiliki portofolio yang berbeda
(heterogen), setiap pemegang polis memiliki risiko dasar yang tidak sama atas
kejadian yang dialaminya. Willmot (1993) menyebutkan bahwa sebaran Poisson
campuran memberikan hasil yang baik untuk data frekuensi klaim yang heterogen.
Maka pada karya tulis ini digunakan sebaran Poisson campuran sebagai sebaran
dari frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis tersebut yaitu
sebaran geometrik.
Parameter dari frekuensi klaim dilambangkan dengan yang menyebar
eksponensial, sehingga frekuensi klaim untuk setiap pemegang polis merupakan
sebaran geometrik. Diasumsikan banyaknya klaim yang diajukan dinyatakan
dengan yang menyebar Poisson dengan parameter .
(1)
Dengan menyatakan perbedaan risiko yang mendasari atas klaim dari setiap
pemegang polis tersebut. Asumsikan menyebar eksponensial dengan parameter
, maka fungsi kepekatan peluangnya adalah:
(2)
9
Kemudian sebaran tak bersyarat dari
yang merupakan sebaran geometrik
(diuraikan pada Lampiran 1) adalah:
dengan parameter
=∫
=∫
=
=
=
∫
∫
=
=
=
(3)
dengan
dan
.
Misalkan
menyatakan banyaknya klaim dari setiap pemegang polis
dalamtahun , dengan
. Jika total banyaknya klaim yang terjadi
∑
dalam tahun adalah
maka total banyaknya klaim dalam tahun
menyebar Poisson dengan parameter .
∏
(4)
Untuk menduga parameter dari frekuensi klaim tersebut, digunakan pendekatan
Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function). Dengan fungsi
kepekatan peluang bersama dari kumpulan klaim pemegang polis dalam tahun,
dan fungsi kepekatan peluang dari
maka diperoleh sebaran
, karena
posterior dari parameter frekuensi klaim tersebut
sehingga sebaran
proporsional dengan
posterior dari parameter frekuensi klaim dapat ditulis sebagai:
Jika ∫
, maka diperoleh
(perhitungan pada
Lampiran 2), sehingga
(5)
.
yang merupakan sebaran gamma
Misalkan penduga parameter atau banyaknya klaim pada tahun
adalah ̂
. Fungsi kerugian dari penduga parameter itu adalah ( ̂
.
̂
Penduga
yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian
tersebut [ ( ̂
] karena menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu
̂
̂
(
, didapatkan solusi Bayes ̂
sama dengan nilai
harapan dari banyaknya klaim
(dibuktikan pada Lampiran 5):
̂
(̅
̅
̅
̅
(6)
10
Nilai harapan dari sebaran gamma dibuktikan pada Lampiran 4. Nilai ̅
diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation (dijelaskan pada Lampiran 3).
Jika diasumsikan premi risiko awal pada saat
dinyatakan dengan ,
maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis pada tahun
, adalah:
(7)
̅
Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa premi risiko yang harus
dibayarkan pada tahun
hanya bergantung pada banyaknya klaim yang
diajukan setiap pemegang polis.
Sistem Bonus-Malus optimal
Dalam sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi risiko yang harus
dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi selain berdasarkan frekuensi
klaimtetapi juga berdasarkan ukuran klaim.
Ukuran klaim dilambangkan dengan
diasumsikan memiliki sebaran
eksponensial dan parameter tersebut merupakan nilai dari peubah acak yang
memiliki sebaran Levy, maka ukuran klaim memiliki sebaran Weibull dengan
. Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan . Untuk setiap
parameter
pemegang polis, menyebar eksponensial dengan parameter , fungsi kepekatan
peluangnya adalah:
(8)
dan fungsi sebarannya adalah (dibuktikan pada Lampiran 6):
.
(9)
Sebaran dari adalah Levy yang juga disebut sebagai sebaran stabil dengan
parameter yang memiliki fungsi kepekatan peluang:
(10)
Fungsi sebaran tak bersyarat dari
(diuraikan pada Lampiran 7):
√
yang merupakan sebaran Weibull adalah
∫
∫
√
√
(11)
Misalkan dinotasikan sebagai ukuran dari klaim setiap pemegang polis pada
frekuensi klaim ,
. Total ukuran klaim yang terjadi untuk setiap
∑
pemegang polis dalam tahun adalah
. Fungsi kemungkinannya
menyebar eksponensial dengan parameter ,
∑
(12)
11
Untuk menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan
menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Untuk menduga parameter dari ukuran
klaim tersebut digunakan pendekatan Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik
(quadratic loss function). Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total
ukuran klaim dari setiap polis dengan klaim sampai tahun,
, dan
fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter
ukuran klaim tersebut:
(13)
∫
(
(
∫
atau dapat ditulis sebagai berikut:
(
dengan
,
,
. Persamaan tersebut adalah bentuk dari sebaran
Invers Gauss yang diperumum. Dengan mengembalikan ke persamaan (13)
didapat:
∫ (
√
√
√
√
.
√
(
(14)
√
Integral pada bagian penyebut dapat diubah ke fungsi Bessel yang representasinya
adalah sebagai berikut:
∫
,
(15)
atau representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi (dibuktikan pada
Lampiran 8):
∫
(16)
12
Dengan mengubah integral pada persamaan (14) menjadi bentuk fungsi Bessel,
maka sebaran posteriornya adalah:
√
(
( √
atau
(17)
(
(√
dengan
,
,
.
Nilai harapan dari sebaran posterior yang merupakan sebaran Invers Gauss yang
diperumum (Gaussian Inverse Generalized) adalah (diuraikan pada Lampiran 9):
[
√
√
]
.
√
(18)
Karena pada model awal diasumsikan menyebar eksponensial dengan parameter
, maka nilai harapan yang diberikan
. Dengan mengintegralkan
dengan sebaran posterior didapatkan:
(lihat Lampiran 10).
[
√
]
(
( √
(19)
( √
Jika premi risiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim
, tetapi juga bergantung pada ukuran klaim
, maka premi
risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah:
√
(
( √
.
( √
(20)
Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel adalah:
√
√
maka fungsi rekursif dari
√
√
√
(21)
adalah (diuraikan pada Lampiran 11):
√
√
( √
(22)
13
Dari persamaan (21) dan (22) dapat dilihat bahwa premi tidak terdefinisi pada saat
ukuran klaim
atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan (
)
sehingga perlu adanya pendefinisan ulang untuk premi risiko pada kasus
(dijelaskan pada Lampiran 12):
.
(23)
Penerapan formula premi risiko pada sistem Bonus-Malus
Sistem Bonus-Malus klasik
Misalkan pada suatu perusahaan asuransi, banyaknya klaim diasumsikan
menyebar geometrik dengan parameter sebesar 1,25. Dalam perhitungan premi
risiko ini digunakan Prinsip Premi Bersih (Net Premium Principle).
Asumsikan premi risiko yang harus dibayarkan setiap pemegang polis setara
dengan tahun pertama. Misalkan premi risiko pada tahun
adalah 100. Jika
pemegang polis mengajukan satu klaim (
) di tahun pertama, maka premi
. Seorang pemegang polis
risiko yang harus dibayarkan adalah
dengan klaim (
) di tahun ke-3 (
oleh setiap pemegang polis adalah
), premi risiko yang harus dibayarkan
. Jika pemegang polis tidak
mengajukan klaim sama sekali selama tahun yang ditetapkan maka ia akan
mendapatkan bonus yang cukup tinggi. Sedangkan jika pemegang polis
mengajukan banyak klaim pada tahun pertama maka ia akan mendapatkan malus
yang cukup tinggi.
Pada tabel berikut dapat dilihat perhitungan premi risiko dalam 7 tahun
dengan variasi klaim
menggunakan persamaan (7) dengan
perangkat lunak Microsoft Excel.
Tabel 1 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim
Tahun
0
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya Klaim
0
100
56
38
29
24
20
17
15
1
2
3
4
5
111
77
59
48
40
34
30
167
115
88
71
60
52
45
222
154
118
95
80
69
61
278
192
147
119
100
86
76
333
231
176
143
120
103
91
Dari Tabel 1 dapat dilihat, bonus akan didapatkan pada tahun pertama oleh
seorang pemegang polis yang tidak mengajukan klaim, pemegang polis tersebut
akan mendapatkan bonus 44% dari premi risiko awal.
14
Sedangkan jika pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun pertama
maka pemegang polis tersebut harus membayar malus sebesar 11% dari premi
risiko awal.
Sistem Bonus-Malus optimal
Misalkan pada perusahaan asuransi seperti di aplikasi sebelumnya, kita
gunakan sistem Bonus-Malus yang dalam perhitungan premi risikonya
berdasarkan dua komponen yaitu komponen frekuensi dan ukuran klaim. Premi
risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan sistem BonusMalus optimal dihitung dengan menggunakan persamaan (20), dan apabila tidak
ada klaim yang diajukan (
) atau ukuran klaim
premi risiko dihitung
dengan menggunakan persamaan (23).
Seperti pada aplikasi sebelumnya, frekuensi klaim menyebar geometrik
dengan parameter sebesar 1,25. Total ukuran klaim diasumsikan menyebar
Weibull dengan fungsi sebaran pada persamaan (11) dan dipilih parameter
sebesar 0,05. Total ukuran klaim dipilih sebesar 7500 dan 10000, diambil dua
total ukuran klaim yang berbeda untuk membandingkan efek dari total ukuran
klim terhadap premi risiko.
Dengan ukuran klaim 7500, jika pemegang polis mengajukan satu klaim di
tahun pertama, maka ia harus membayar premi risiko sebesar 3079 (lihat Tabel 2),
jadi ia mendapatkan malus dari perusahaan asuransi tersebut. Sedangkan jika total
ukuran klaim 10000, seorang pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun
pertama, ia harus membayar premi risiko sebesar 3556 (lihat Tabel 3), ia
membayar malus yang lebih tinggi.
Pada Tabel 2 dan 3, dapat dilihat perhitungan premi risiko dari beberapa
contoh kasus pemegang polis dengan variasi klaim,
, dan total
ukuran klaim sebesar 7500 dan 10000, sampai tahun ke-7 menggunakan
persamaan (20) untuk
dan menggunakan persamaan (23) untuk
.
Tabel 2 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim
(Total ukuran klaim sebesar 7500)
Tahun
0
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya Klaim
0
640
356
246
188
152
128
110
97
1
2
3
4
5
3079
2132
1630
1320
1109
956
840
3752
2598
1986
1608
1351
1164
1023
4091
2833
2166
1753
1473
1270
1116
4232
2930
2240
1814
1523
1313
1154
4264
2952
2258
1828
1535
1323
1163
15
Tabel 3 Sistem Bonus Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim
(Total ukuran klaim sebesar 10000)
Tahun
0
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya Klaim
0
640
356
246
188
152
128
110
97
1
2
3
4
5
3556
2462
1882
1524
1280
1103
970
4444
3077
2353
1905
1600
1379
1212
4961
3435
2627
2126
1786
1540
1353
5236
3625
2772
2244
1885
1625
1428
5363
3713
2839
2298
1931
1664
1463
Dari kedua tabel di atas dapat dilihat bahwa bagi seorang pemegang polis yang
memiliki total ukuran klaim 7500, jika mengajukan satu klaim pada tahun pertama
maka ia akan membayar premi risiko yang lebih tinggi dari premi risiko awal.
Sedangkan bagi seorang pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim
sebesar 10000, jika ia mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka ia harus
membayar premi risiko yang jauh lebih tinggi dari premi risiko awal.
Kedua pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim yang berbeda akan
sama-sama mendapat bonus dari perusahaan asuransi tersebut, apabila pemegang
polis tidak mengajukan klaim sama sekali selama 7 tahun. Oleh karena itu setiap
pemegang polis membayar premi risiko yang berbeda-beda bergantung pada
banyaknya klaim dari setiap pemegang polis asuransi tersebut.
16
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Karya tulis ini telah membandingkan sistem Bonus-Malus klasik dan
sistem Bonus-Malus optimal, yang biasa digunakan beberapa perusahaan asuransi
seperti perusahaan asuransi mobil. Kedua sistem Bonus-Malus ini memiliki dasar
perhitungan premi yang berbeda.
Dapat dilihat dari aplikasinya, sistem Bonus-Malus klasik ini bisa
dikatakan tidak adil karena perhitungan premi risiko dari setiap pemegang polis
tidak bergantung pada ukuran klaim setiap pemegang polis. Sedangkan
perusahaan asuransi dengan sistem Bonus-Malus optimal cukup adil karena premi
risiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis asuransi proporsional dengan
risiko yang dihadapi. Premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang
polis dengan kerugian kecil dan besar adalah berbeda. Sistem Bonus-Malus ini
bergantung pada frekuensi dan ukuran klaim dari setiap pemegang polis.
Oleh karena itu, beban premi yang harus dibayarkan pada sistem BonusMalus optimal jauh lebih adil dibandingkan dengan sistem Bonus-Malus klasik
Saran
Penelitian ini memberikan perbandingan antara premi risiko sistem BonusMalus klasik dengan sistem Bonus-Malus optimal dengan sebaran frekuensi klaim
adalah geometrik dan sebaran ukuran klaim adalah Weibull. Telah dibuktikan
bahwa sistem Bonus-Malus optimal memberikan premi risiko yang lebih adil
karena sistem ini memperhitungkan besar atau kecil klaim yang diajukan oleh
pemegang polis. Pada penelitian ini menggunakan distribusi ukuran klaim
Weibull sehingga untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan distribusi
ukuran klaim lain. Selain itu, penelitian dapat dikembangkan dengan pembagian
kelas-kelas sesuai dengan karakteristik pemegang polis, seperti usia, jenis kelamin,
pekerjaan sehingga penentuan premi menjadi lebih adil karena karakteristik dari
setiap pemegang polis yang berbeda.
17
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz M, Stegun IA. 1964. Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover.
Albrecher H, Constantinescu C, Loisel S. 2011. Explicit ruin formulas for models
with dependence among risks. Insurance: Mathematics andEconomics
48(2):265-270.
Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Bain LJ, Engelhardt M. 1992. Introduction to Probability andMathematical
Statistics. Ed ke-2. PWS-KENT publishing Company.Boston.
Frangos NE, Vrontos SD.2001. Design of an optimal bonus–malus systems with a
frequency and a severity component on an individual basis in automobile
insurance. ASTIN Bulletin 31. 1-22.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. Ed ke-3. Prentice Hall, Inc.
New Jersey.
Gray RJ, Pitts SM. 2012. Risk Modelling in General Insurance: From Principle to
Practice. Cambridge University Press. New York.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes.Ed ke-2.
Clarendon Press.Oxford. New York.
Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed
ke-7. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Ibiwoye A, Adeleke IA, Aduloju S. 2011. Quest for optimal bonus-malus in
automobile insurance in developing economies: an actuarial prespective.
International Business Research Vol.4 No. 4.
Klugman SA, Panjer HH, Willmot GE.1949. Loss Models.John Willey &Sons.
New York.
Lemaire J. 1995. Bonus-malus Systems in Automobile Insurance. MA Kluwer
Academic Publishers. Boston.
Lemaire J. 1998. Bonus-malus systems : the european and asian approach to
merit-rating. The Society of Actuaries.
Lemaire J, Zi H. 1994. A comparative analysis of 30 bonus-malus systems. Astin
Bulletin Vol.24No. 2.
Mahmoudvand R, Hassani H. 2009. Generalized bonus-malus systems with a
frequency and a severity component on an individual basis in automobile
insurance. ASTIN Bulletin 39, 307-315.
Mahmoudvand R, Edalati A, Shokoohi F. 2013. Bonus-malus system in Iran: an
empirical evaluation. Journal of Data Science 11, 29-41.
Ni W, Constantinescu C, Pantelous AA. 2014. Bonus-malus systems with weibull
distributed claim severities. Annals of Actuarial Science 8(2): 217-233.
Tremblay L. 1992. Using the poisson inverse gaussian in bonus-malussystems.
ASTIN Bulletin 22(1): 97-106.
Willmot G. 1993. Mixed compound distributions. ASTIN Bulletin 16, 59-79.
18
LAMPIRAN
Lampiran 1 Sebaran frekuensi klaim
Sebaran tak bersyarat dari (banyaknya klaim) adalah dengan mengintegralkan
persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh:
∫
∫
∫
Dengan memisalkan
dan
maka:
∫
Dengan memisalkan kembali
Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini sehingga diperoleh:
[⏞
∫
[ ∫
]
]
Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga
diperoleh:
[⏞
[
∫
∫
]
]
19
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh
[
, dengan
[⏞
]
dan
∫
]
.
Maka yang dinyatakan sebagai frekuensi klaim dalam sistem Bonus-Malus ini
.
memiliki sebaran geometrik dengan parameter
20
Lampiran 2 Sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim
Kita gunakan pendekatan Bayes untuk menduga parameter dari sistem Bonus-Malus
klasik yaitu , dengan fungsi struktur posterior dari kumpulan frekuensi klaim
pemegang polis dalam tahun,
, maka diperoleh sebaran posterior dari
parameter frekuensi klaim tersebut :
Sebaran awal (prior distribution):
Fungsi kepekatan peluang bersama dari total frekuensi klaim adalah
∏
dan fungsi kepekatan peluang dari :
Sebaran akhir (posterior distribution) :
.
Jika
∫
∫
∫
Dengan memisalkan
dan
maka:
∫
Dengan memisalkan kembali
Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini, maka:
[⏞
[ ∫
∫
]
]
21
Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali, maka:
[⏞
∫
[
]
∫
]
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang dari persamaan di atas,
maka :
[⏞
[
∫
]
]
Sehingga diperoleh,
yang merupakan sebaran gamma
.
Dengan menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu ( ̂
diperoleh solusi Bayes:
̂
(̅
̅
Sehingga
̂
̅
̅
̅
̅
̅
̂
,
22
Lampiran 3 Nilai ̅ diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation
Pada karya tulis ini digunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk
menduga parameter terhadap . Sehingga penduga parameter terhadap
adalah :
(
∑
∏
(
(
∑
( ∑
(
Dengan MLE maka
( ∑
∑
(∑
̅
Penduga ̅
Bukti:
(
̅
memaksimumkan fungsi likelihood.
̅
memaksimumkan fungsi likelihood
Sehingga penduga parameter
terhadap
adalah ̅
23
Lampiran 4 Nilai harapan dari sebaran gamma
Jika suatu peubah acak memiliki sebaran gamma dengan parameter dan
, maka nilai harapan dari peubah acak tersebut adalah
dengan
dan
.
Bukti :
(
Fungsi kepekatan peluang dari sebaran tersebut adalah :
Maka,
∫
∫
∫
Dimisalkan
;
∫(
∫
Dengan memisalkan kembali :
Gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan tersebut:
[⏞
[ ∫
∫
]
]
24
Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga diperoleh :
[⏞
∫
]
[∫
]
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh :
[
Terbukti
[⏞
]
∫
]
25
Lampiran 5 Perolehan ̂
dengan solusi Bayes
Jika kita menggunakan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function),
penduga parameter akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian
tersebut. Maka dengan solusi Bayes, penduga parameternya sama dengan nilai
harapan dari sebaran posterior parameter tersebut.
Bukti:
Misalkan suatu peubah acak merupakan sebaran posterior dengan parameter
dan nilai penduga parameter adalah
.
Jika fungsi kerugian kuadratik dinyatakan :
[
] [
]
maka nilai harapan dari fungsi kerugian kuadratik adalah:
{ [
]
{[
]
{ [
{[
{
[
]
]
]
[
]
Karena
yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian
]]
[ [
kuadratik maka dengan turunan fungsi:
,
{ [
]
[
]
Terbukti.
[
[
[
]
]
]
[
]
Sehingga diperoleh penduga parameter tersebut sama dengan nilai harapan dari
sebaran posterior parameter tersebut.
26
Lampiran 6 Fungsi sebaran eksponensial
Jika suatu peubah acak memiliki sebaran eksponensial dengan parameter , maka
fungsi sebaran dari peubah acak adalah :
Bukti :
Fungsi kepekatan peluang dari sebaran tersebut adalah :
Sehingga fungsi sebaran dari peubah acak
adalah :
∫
∫
Terbukti.
27
Lampiran 7 Fungsi sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran Weibull
Fungsi sebaran tak bersyarat dari
(ukuran klaim) adalah dengan
mengintegralkan persamaan (9) dengan (10), sehingga diperoleh:
∫
∫
√
Dimisalkan
∫
√
Misal
√
(
√
∫(
√
Karena ∫
√
√
∫
(
√
,
(
∫
√
∫
Misal:
∫
∫
∫
(
√
(
√
(
√
√
∫
(
√
√
28
√
Misalkan juga :
∫
∫
√
√
(
(
√
(
∫
Sehingga
√
√
∫
∫
√
√
√
(
√
,
√
√
√
√
29
Lampiran 8 Representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi
Representasi integral alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi adalah :
∫
Bukti :
∫
Misal
∫
(
∫
∫
∫
∫
Misalkan
∫
Terbukti.
(
30
Lampiran 9 Nilai harapan dari sebaran posterior parameter ukuran klaim
Nilai harapan dari sebaran posterior yang merupakan sebaran Invers Gauss diperumum
(Generalized Inverse Gaussian) adalah:
[
]
[
]
√
√
∫
(√
(
(
√
Misal
√
(
(√
∫
√
.
√
√
∫
√
√
(√
,
√
)
31
Lampiran 10 Nilai harapan dari ukuran klaim
Jika misalkan model awal
diasumsikan menyebar eksponensial dengan
. Dengan
parameter
maka nilai harapan yang diberikan
mengintegralkan dengan sebaran posterior didapatkan:
[
]
( √
√
( √
Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan . Untuk setiap pemegang polis,
menyebar eksponensial dengan parameter , fungsi kepekatan peluangnya adalah:
∫
Misalkan
(
∫
∫
Untuk menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan
menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Digunakan pendekatan Bayes dengan
fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function) untuk menduga parameter dari
ukuran klaim tersebut. Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total
ukuran klaim dari setiap polis dengan klaim sampai tahun,
, dan
fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter
ukuran klaim tersebut:
√
( √
atau
dengan
,
,
.
(√
(
(
32
[
]
∫
∫
(√
∫
∫
∫
√
√
(
(√
√
Misal
∫
(
√
√
(
(√
,
√
(√
√
(√
(√
(√
( √
( √
√
√
√
33
Lampiran 11 Fungsi rekursif dari
Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel termodifikasi adalah:
√
√
maka fungsi rekursif dari
√
adalah :
√
( √
karena
( √
( √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
( √
( √
( √
√
( √
√
√
√
34
Lampiran 12 Premi pada kasus
Jika premi risiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim
, tetapi juga bergantung pada ukuran klaim
, maka premi
risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah:
√
( √
(
.
( √
(20)
Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel adalah:
(21)
√
√
maka fungsi rekursif dari
√
√
√
adalah (diuraikan pada Lampiran 11):
(22)
( √
√
√
Dari persamaan (21) dan (22) dapat dilihat bahwa premi tidak terdefinisi pada saat
ukuran klaim
atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan (
)
sehingga perlu adanya pendefinisan ulang untuk premi risiko pada kasus
.
, jika
Karena
Pada
,
√
maka
( √
( √
√
√
√
bisa diperoleh dari bentuk rekursif dari
√
( √
Premi pada saat ukuran klaim
(
):
√
√
√
√
√
( √
( √
√
atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan
( √
( √
( √
35
√
√
(
(
√
√
√
(
√
36
Lampiran 13 Bukti sifat fungsi Bessel termodifikasi
fungsi Bessel termodifikasi maka untuk setiap
Misalkan
berlaku dua sifat yaitu :
,
1.
2.
,
Bukti:
1.
∫
Misalkan
∫
∫
2.
∫
Misalkan
⏞
[
∫
[∫
[
∫
(
]
(
]
∫
[
]
]
37
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang, Banten, pada tanggal 27 Agustus 1994.
Penulis merupakan putri tunggal dari Bapak Tri Susanto, Ibu Tuti gartini. Tahun
2011, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Bawang Banjarnegara dan diterima di
Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan
Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Penulis tercatat sebagai mahasiswa
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif pada berbagai kegiatan. Penulis
tergabung dalam Biro Kewirausahaan Gugus Mahasiswa Matematika
(GUMATIKA) pada tahun 2013. Penulis juga terlibat aktif dalam kepanitiaan
Pesta Sains Nasional pada tahun 2012, Matematika Ria pada tahun 2013 dan 2014
dan IPB Mathematics Challenge pada tahun 2013. Selain itu, penulis pernah
menjadi asisten mata kuliah Persamaan Differensial Parsial pada tahun 2014 dan
Persamaan Differensial Biasa pada tahun 2015.
Selama masa kuliah, penulis mendapat beasiswa Persatuan Orang tua
Mahasiswa (POM) IPB pada tahun 2011 dan 2012, beasiswa Badan Usaha Milik
Negara (BUMN) pada tahun 2013 dan beasiswa Yayasan Toyota Astra pada tahun
2014.
BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM
BERDISTRIBUSI WEIBULL
LILYANI SUSANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sistem Bonus-Malus
dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi
Weibull adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Lilyani Susanti
NIM G54110034
ABSTRAK
LILYANI SUSANTI. Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi
Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull. Dibimbing oleh I GUSTI
PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Sistem Bonus-Malus adalah salah satu sistem yang ditawarkan oleh suatu
perusahaan asuransi, dalam perhitungan premi risiko berdasarkan sejarah klaim dari
setiap pemegang polis. Pada karya tulis ini dijelaskan dua jenis sistem BonusMalus yang berbeda, yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus
optimal. Sistem Bonus-Malus klasik menetapkan perhitungan premi risiko bagi
setiap pemegang polis hanya berdasarkan frekuensi klaim yang diajukan.
Sedangkan sistem Bonus-Malus optimal menetapkan perhitungan premi risiko bagi
setiap pemegang polis berdasarkan frekuensi klaim dan ukuran klaim.
Kedua sistem Bonus-Malus tersebut dibandingkan, dengan frekuensi klaim dan
ukuran klaim diasumsikan masing-masing memiliki sebaran geometrik dan Weibull.
Risiko yang dihadapi oleh setiap pemegang polis berbeda-beda sehingga
banyaknya klaim dan ukuran klaim yang akan diajukan setiap pemegang polis pun
berbeda-beda. Dicari sebaran posterior dari parameter frekuensi dan ukuran klaim,
kemudian parameter tersebut diduga menggunakan metode Bayes, sehingga
diperoleh solusi kedua sistem tersebut. Solusi tersebut berupa premi yang akan
datang berdasarkan sejarah klaim dari setiap pemegang polis.
Kata kunci : Sistem Bonus-Malus, sebaran geometrik, sebaran Weibull.
ABSTRACT
LILYANI SUSANTI. Bonus-Malus Systems with Geometric Distributed Claim
Frequency and Weibull Distributed Claim Severity. Under supervision by I GUSTI
PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Bonus-Malus system is one of systems implemented by an insurance in
calculating the risk premium based on claim history from each policyholder. In
this work we discussed two different types of Bonus-Malus system namely the
classical Bonus-Malus system and the optimal Bonus-Malus systems. The
classical Bonus-Malus system sets the risk premium by taking into account only
the number of accidents of each policyholder. While the optimal Bonus-Malus
system sets the risk premium by taking into account both the frequency and the
severity of the claims of each policyholder.
Both of the Bonus-Malus systems are then compared, with the number and
size of the claims and insured persons are assumed to follow respectively a
geometric and a Weibull distributions. The risks faced by each policyholder are
different such that the number and size of the claims experienced by each
policyholder are also different. F u r t h e r m o r e , posterior distribution o f severity
and frequency claim parameters is estimated by using Bayes method. Subsequently,
solutions of both systems are obtained in term of future premium based on claim
history from each policyholder.
Keywords: Bonus-Malus systems, geometric distribution, Weibull distribution.
SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM
BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM
BERDISTRIBUSI WEIBULL
LILYANI SUSANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik
dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull
Nama
: Lilyani Susanti
NIM
: G54110034
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2014 ini ialah
asuransi, dengan judul Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim
Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. bapak Tri Susanto, ibu Tuti Gartini selaku orangtua yang sudah membesarkan,
menyayangi, mendidik dan selalu mendoakan penulis,
2. bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing I, bapak Prof
Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku pembimbing II dan ibu Dr Berlian
Setiawaty, MS selaku penguji,
3. seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak membagi ilmu
dan pengalamannya,
4. seluruh staf Departemen Matematika IPB yang telah memberikan
semangat dan doanya,
5. Abi, Sinta teman satu bimbingan yang telah memberikan masukan untuk
karya ilmiah ini,
6. Resty, Widya, Firi yang telah menjadi pembahas pada seminar tugas akhir ini,
7. sahabat belajar bareng Dinita, Ari, Arli, Widya, Dyah yang telah
memberikan doa, motivasi dan keceriaan selama masa kuliah dan penyusunan
karya ilmiah ini,
8. teman-teman Matematika 48 terimakasih atas kebersamaannya selama ini,
9. kak Risma yang telah memberikan masukan selama bimbingan berlangsung,
10. kakak-kakak S2 Matematika 51 yang telah memberikan motivasi,
11. semua pihak yang terlibat dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
kghususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2015
Lilyani Susanti
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
8
Penentuan Premi Risiko pada Sistem Bonus-Malus
Penerapan Formula Premi Risiko pada Sistem Bonus-Malus
SIMPULAN DAN SARAN
8
13
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
37
DAFTAR TABEL
1 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim
2 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran
klaim (Total ukuran klaim 7500)
3 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran
klaim (Total ukuran klaim 10000)
13
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Sebaran frekuensi klaim
Sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim
Nilai ̅ diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation
Nilai harapan dari sebaran gamma
Perolehan ̂
dengan solusi Bayes
Fungsi sebaran eksponensial
Fungsi sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran Weibull
Representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi
Nilai harapan dari sebaran posterior parameter ukuran klaim
Nilai harapan ukuran klaim
Fungsi rekursif dari
Premi risiko pada kasus
Bukti sifat fungsi Bessel termodifikasi
18
20
22
23
25
26
27
29
30
31
33
34
36
PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah
Asuransi adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan sebuah
sistem atau bisnis yang merupakan tindakan perlindungan secara finansial untuk
properti dari kejadian-kejadian yang tidak dapat diduga, yang melibatkan
pembayaran premi secara teratur sebagai ganti polis yang menjamin perlindungan
tersebut. Berbagai macam sistem digunakan oleh perusahaan asuransi untuk
menarik minat masyarakat, salah satunya adalah sistem Bonus-Malus.
Sistem Bonus-Malus adalah penentuan harga premi dalam asuransi yang
didasarkan pada riwayat klaim pemegang polis. Dalam sistem ini bonus akan
diberikan dalam bentuk pemotongan biaya premi yang harus dibayar apabila tidak
ada klaim yang diajukan pada tahun sebelumnya. Sedangkan malus diberikan
dalam bentuk penambahan biaya premi apabila ada klaim yang diajukan pada
tahun sebelumnya. Menurut Leimare (1998), setiap pemegang polis dari sebuah
risk cell akan dibagi berdasarkan kelas Bonus-Malus dan riwayat klaim mereka,
yang kemudian akan memodifikasi kelas tersebut ketika perpanjangan polis.
Sistem Bonus-Malus yang digunakan biasanya adalah sistem Bonus-Malus
klasik, sistem tersebut hanya mempertimbangkan berdasarkan frekuensi klaim
tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut. Dalam sistem ini
pemegang polis yang mendapatkan kerugian kecil atau besar mendapatkan premi
yang sama. Sistem ini sudah digunakan di beberapa negara dan beberapa
diantaranya sudah dimodifikasi agar dapat disesuaikan dengan kebutuhan
penggunaan, seperti yang sudah diteliti oleh Lemaire dan Zi (1994) di dalam
jurnalnya yang menggunakan data dari 30 perusahaan yang memberikan jasa
asuransi dari berbagai negara yang berbeda.
Salah satu kesalahan yang dilakukan perusahaan asuransi dalam sistem ini
adalah bila pemberian bonus yang besar tidak diseimbangkan dengan pemberian
malus yang sama besar. Hal ini dapat menyebabkan kerugian tidak hanya pada
pemegang polis tetapi juga kepada pihak asuransi seperti yang diteliti oleh
Ibiwoye et al. (2011). Kesalahan tersebut juga dapat mengakibatkan angka
kecelakaan kendaraan tidak menyusut dikarenakan pemegang polis menganggap
mendapatkan malus tidak memberikan dampak yang merugikan bagi mereka,
seperti yang dikemukakan oleh Mamoudvand et al. (2013).
Frangos dan Vrontos (2001) membuat sistem Bonus-Malus optimal, yaitu
sistem yang sudah dimodifikasi sehingga bukan hanya frekuensi klaim saja yang
digunakan, tetapi besar klaim dimasukkan juga ke dalam perhitungan.
Mahmoudvand dan Hassani (2009) melanjutkan penelitian tersebut dengan
membuat sistem Bonus-Malus optimal diperumum.
Pada penulisan karya ilmiah ini, penulis akan melakukan kajian sistem
Bonus-Malus dengan frekuensi klaim berdistribusi geometrik dan ukuran klaim
berdistribusi Weibull.
2
Perumusan Masalah
Salah satu hal penting bagi sistem Bonus-Malus pada suatu perusahaan
asuransi adalah penentuan premi risiko yang berdasarkan pada riwayat klaim
pemegang polis tersebut. Terdapat dua sistem Bonus-Malus yang bisa digunakan,
yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal.
Pada sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi risiko hanya didasarkan
pada frekuensi klaim tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut.
Sedangkan pada sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi risiko
didasarkan pada frekuensi dan ukuran klaim pemegang polis tersebut.
Dari beberapa uraian diatas, dapat dirumuskan beberapa masalah sebagai
berikut:
1. Bagaimana menentukan premi pada sistem Bonus-Malus klasik dan sistem
Bonus-Malus optimal dengan frekuensi klaim memiliki sebaran geometrik
dan ukuran klaim memiliki sebaran Weibull.
2. Bagaimana perbandingan premi risiko dari kedua sistem tersebut.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan premi risiko yang harus
dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi dengan sistem sistem BonusMalus klasik dan sistem Bonus-Malus dengan frekuensi klaim memiliki sebaran
geometrik dan ukuran klaim memiliki sebaran Weibull dan membandingkan
kedua sistem Bonus-Malus tersebut.
3
TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam
kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah diketahui,
tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan
semacam ini disebut percobaan acak (Hogg et al. 2014).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω
(Grimmett dan Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
dari ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi berikut:
1.
,
2. Jika
, maka
,
3. Jika
maka ⋃
(Grimmett dan Stirzaker 1992).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
[ ] pada Ω , yang memenuhi:
fungsi
1.
, Ω
,
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
untuk
∑
setiap pasangan
, maka
⋃
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah
suatu fungsi : Ω → dengan sifat { Ω: ()
}
untuk setiap
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang
terhitung dari (Grimmet dan Stirzaker 1992).
Catatan:
Suatu himpunan bilangan disebut terhitung jika terdiri atas bilangan terhingga
atau anggota dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
4
Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret
diberikan oleh:
adalah fungsi
[
] yang
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 8 (Sebaran Poisson)
Suatu peubah acak
dikatakan menyebar Poisson dengan parameter
memiliki fungsi massa peluang:
, jika
(Hogg et al. 2014).
Definisi 9 (Sebaran Geometrik)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar geometrik dengan parameter , jika
memiliki fungsi massa peluang:
dengan
(Hogg et al. 2014).
dan
Definisi 10 ( Fungsi Sebaran)
Misalkan adalah suatu peubah acak dengan ruang
peubah acak dinyatakan sebagai
Fungsi sebaran dari
(Hogg et al. 2014).
Definisi 11 (Fungsi Bessel Termodifikasi)
Jika
adalah fungsi Bessel termodifikasi dengan indeks
adalah solusi dari persamaan differensial :
dan
, maka
dapat direpresentasikan sebagai berikut:
(Abramowitz dan Stegun 1964).
∫
Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi
dapat dinyatakan sebagai
∫
sehingga fungsi sebaran
dengan
[0, ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi
kepekatan peluang dari (Grimmett dan Stirzaker 1992).
disebut fungsi
5
Definisi 13 (Sebaran Eksponensial)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter , jika
memiliki fungsi kepekatan peluang:
(Ghahramani 2005).
Definisi 14 (Sebaran Gamma)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar gamma dengan parameter
memenuhi fungsi kepekatan peluang:
dan
jika
⁄
dengan
2014).
,
dan Γ( ) > 0, dimana Γ( ) = ∫
(Hogg et al.
Definisi 15 (Sebaran Invers Gauss yang Diperumum (Generalized Inverse
Gaussian Distribution))
Suatu peubah acak dikatakan menyebar invers gauss yang diperumum, jika
memiliki fungsi kepekatan peluang:
dengan
termodifikasi dengan indeks
dan
(Tremblay 1992).
adalah
fungsi
Bessel
Definisi 16 (Sebaran Levy)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar Levy yang juga disebut sebagai sebaran
stabil dengan parameter jika memiliki fungsi kepekatan peluang:
(Ni et al. 2014).
√
Definisi 17 (Sebaran Weibull)
Suatu peubah acak dikatakan menyebar Weibull dengan parameter
memiliki fungsi kepekatan peluang:
dan
jika
(Gray dan Pitts 2012).
Definisi 18 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak
dan
merupakan suatu fungsi
[ ] yang didefinisikan oleh:
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
6
Definisi 19 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Marginal)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang
bersama dari dan adalah
dan fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
adalah
∫
Definisi 20 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dan fungsi kepekatan peluang
. Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat
marginal
adalah
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 21 (Nilai Harapan)
1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
nilai harapan dari , dinotasikan dengan
adalah
maka
∑
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
maka nilai harapan dari adalah
∫
asalkan integral diatas konvergen mutlak (Hogg et al. 2014).
Definisi 22 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan
dan adalah peubah acak kontinu dan
kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat
dengan syarat
adalah
(Hogg et al. 2014).
adalah fungsi
. Nilai harapan dari
∫
Definisi 23 (Fungsi Kemungkinan (Likelihood Function))
Misalkan
adalah contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi
kepekatan peluang
dengan merupakan realisasi dari peubah acak .
Fungsi kepekatan peluang bersama dari
(fungsi kemungkinan)
adalah:
(
(Hogg et al. 2014).
7
Definisi 24 (Penduga Kemungkinan Maksimum)
Misalkan
adalah contoh acak berukuran dari suatu sebaran dengan
fungsi kepekatan peluang
. Penduga kemungkinan maksimum bagi
dinotasikan dengan ̂ adalah
yang memaksimumkan fungsi
likelihood
(Hogg et al. 2014).
Definisi 25 (Sebaran Prior)
Suatu peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan peluang bersama yang
dilambangkan dengan
dan fungsi marginal
dinamakan
sebaran prior (Arnold 1990).
Definisi 26 (Sebaran Posterior)
Misalkan peubah acak memiliki sebaran prior dengan fungsi kepekatan peluang
bersama yang dilambangkan dengan
dan memiliki fungsi
kepekatan peluang marginal
. Fungsi kepekatan peluang gabungan dari
dilambangkan dengan
dinamakan fungsi kepekatan
peluang dari sebaran posterior, dan dinyatakan dengan
∫
(Arnold 1990).
Definisi 27 (Fungsi Kerugian)
Misalkan
adalah suatu peubah acak dengan parameter
dan penduga
parameternya
. Fungsi kerugian (loss function) dari parameter tersebut
adalah:
dan
fungsi kerugian kuadratik merupakan fungsi kerugian dengan kesalahan kuadrat
dari parameter tersebut dinyatakan dengan:
(Bain dan Engelhardt 1993).
Definisi 28 (Fungsi Risiko)
Fungsi risiko adalah nilai harapan dari fungsi kerugian, yang dinyatakan sebagai
berikut:
[
]
(Bain dan Engelhardt 1993).
Definisi 29 (Solusi Bayes)
Misalkan adalah suatu parameter dengan penduga parameternya ̂ , dengan
fungsi kerugian ( ̂ dan nilai harapan fungsi tersebut [ ( ̂ ], dikatakan
solusi Bayes jika penduga parameter ̂ meminimumkan
(Hogg et al. 2014).
[ (
̂
]
∫
(
̂
8
Teorema 1 (Sifat Fungsi Bessel Termodifikasi)
fungsi Bessel termodifikasi maka untuk setiap
Misalkan
berlaku dua sifat yaitu :
,
1.
2.
(Lemaire 1995).
Bukti Teorema 1 ada pada Lampiran 13.
,
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penentuan premi risiko pada sistem Bonus-Malus
Seseorang yang menjadi pemegang polis suatu perusahaan asuransi
diharuskan membayar premi risiko atas klaim yang dibuat, penetapan besarnya
premi risiko dihitung berdasarkan sistem yang ada pada perusahaan asuransi
tersebut. Salah satu sistem yang digunakan oleh suatu perusahaan asuransi adalah
sistem Bonus-Malus.
Terdapat dua jenis sistem Bonus-Malus yaitu sistem Bonus-Malus klasik
dan sistem Bonus-Malus optimal. Kedua sistem tersebut berbeda, karena hal yang
akan mempengaruhi perhitungan premi risiko setiap pemegang polis berbeda pula.
Sistem Bonus-Malus klasik
Dalam sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi risiko yang harus
dibayarkan oleh pemegang polis asuransi hanya bergantung pada frekuensi
klaim.Frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis berbeda-beda
sehingga nilai harapan dari banyaknya klaim yang diajukan pun berbeda-beda.
Misalkan pada asuransi mobil yang memiliki portofolio yang berbeda
(heterogen), setiap pemegang polis memiliki risiko dasar yang tidak sama atas
kejadian yang dialaminya. Willmot (1993) menyebutkan bahwa sebaran Poisson
campuran memberikan hasil yang baik untuk data frekuensi klaim yang heterogen.
Maka pada karya tulis ini digunakan sebaran Poisson campuran sebagai sebaran
dari frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis tersebut yaitu
sebaran geometrik.
Parameter dari frekuensi klaim dilambangkan dengan yang menyebar
eksponensial, sehingga frekuensi klaim untuk setiap pemegang polis merupakan
sebaran geometrik. Diasumsikan banyaknya klaim yang diajukan dinyatakan
dengan yang menyebar Poisson dengan parameter .
(1)
Dengan menyatakan perbedaan risiko yang mendasari atas klaim dari setiap
pemegang polis tersebut. Asumsikan menyebar eksponensial dengan parameter
, maka fungsi kepekatan peluangnya adalah:
(2)
9
Kemudian sebaran tak bersyarat dari
yang merupakan sebaran geometrik
(diuraikan pada Lampiran 1) adalah:
dengan parameter
=∫
=∫
=
=
=
∫
∫
=
=
=
(3)
dengan
dan
.
Misalkan
menyatakan banyaknya klaim dari setiap pemegang polis
dalamtahun , dengan
. Jika total banyaknya klaim yang terjadi
∑
dalam tahun adalah
maka total banyaknya klaim dalam tahun
menyebar Poisson dengan parameter .
∏
(4)
Untuk menduga parameter dari frekuensi klaim tersebut, digunakan pendekatan
Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function). Dengan fungsi
kepekatan peluang bersama dari kumpulan klaim pemegang polis dalam tahun,
dan fungsi kepekatan peluang dari
maka diperoleh sebaran
, karena
posterior dari parameter frekuensi klaim tersebut
sehingga sebaran
proporsional dengan
posterior dari parameter frekuensi klaim dapat ditulis sebagai:
Jika ∫
, maka diperoleh
(perhitungan pada
Lampiran 2), sehingga
(5)
.
yang merupakan sebaran gamma
Misalkan penduga parameter atau banyaknya klaim pada tahun
adalah ̂
. Fungsi kerugian dari penduga parameter itu adalah ( ̂
.
̂
Penduga
yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian
tersebut [ ( ̂
] karena menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu
̂
̂
(
, didapatkan solusi Bayes ̂
sama dengan nilai
harapan dari banyaknya klaim
(dibuktikan pada Lampiran 5):
̂
(̅
̅
̅
̅
(6)
10
Nilai harapan dari sebaran gamma dibuktikan pada Lampiran 4. Nilai ̅
diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation (dijelaskan pada Lampiran 3).
Jika diasumsikan premi risiko awal pada saat
dinyatakan dengan ,
maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis pada tahun
, adalah:
(7)
̅
Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa premi risiko yang harus
dibayarkan pada tahun
hanya bergantung pada banyaknya klaim yang
diajukan setiap pemegang polis.
Sistem Bonus-Malus optimal
Dalam sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi risiko yang harus
dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi selain berdasarkan frekuensi
klaimtetapi juga berdasarkan ukuran klaim.
Ukuran klaim dilambangkan dengan
diasumsikan memiliki sebaran
eksponensial dan parameter tersebut merupakan nilai dari peubah acak yang
memiliki sebaran Levy, maka ukuran klaim memiliki sebaran Weibull dengan
. Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan . Untuk setiap
parameter
pemegang polis, menyebar eksponensial dengan parameter , fungsi kepekatan
peluangnya adalah:
(8)
dan fungsi sebarannya adalah (dibuktikan pada Lampiran 6):
.
(9)
Sebaran dari adalah Levy yang juga disebut sebagai sebaran stabil dengan
parameter yang memiliki fungsi kepekatan peluang:
(10)
Fungsi sebaran tak bersyarat dari
(diuraikan pada Lampiran 7):
√
yang merupakan sebaran Weibull adalah
∫
∫
√
√
(11)
Misalkan dinotasikan sebagai ukuran dari klaim setiap pemegang polis pada
frekuensi klaim ,
. Total ukuran klaim yang terjadi untuk setiap
∑
pemegang polis dalam tahun adalah
. Fungsi kemungkinannya
menyebar eksponensial dengan parameter ,
∑
(12)
11
Untuk menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan
menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Untuk menduga parameter dari ukuran
klaim tersebut digunakan pendekatan Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik
(quadratic loss function). Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total
ukuran klaim dari setiap polis dengan klaim sampai tahun,
, dan
fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter
ukuran klaim tersebut:
(13)
∫
(
(
∫
atau dapat ditulis sebagai berikut:
(
dengan
,
,
. Persamaan tersebut adalah bentuk dari sebaran
Invers Gauss yang diperumum. Dengan mengembalikan ke persamaan (13)
didapat:
∫ (
√
√
√
√
.
√
(
(14)
√
Integral pada bagian penyebut dapat diubah ke fungsi Bessel yang representasinya
adalah sebagai berikut:
∫
,
(15)
atau representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi (dibuktikan pada
Lampiran 8):
∫
(16)
12
Dengan mengubah integral pada persamaan (14) menjadi bentuk fungsi Bessel,
maka sebaran posteriornya adalah:
√
(
( √
atau
(17)
(
(√
dengan
,
,
.
Nilai harapan dari sebaran posterior yang merupakan sebaran Invers Gauss yang
diperumum (Gaussian Inverse Generalized) adalah (diuraikan pada Lampiran 9):
[
√
√
]
.
√
(18)
Karena pada model awal diasumsikan menyebar eksponensial dengan parameter
, maka nilai harapan yang diberikan
. Dengan mengintegralkan
dengan sebaran posterior didapatkan:
(lihat Lampiran 10).
[
√
]
(
( √
(19)
( √
Jika premi risiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim
, tetapi juga bergantung pada ukuran klaim
, maka premi
risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah:
√
(
( √
.
( √
(20)
Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel adalah:
√
√
maka fungsi rekursif dari
√
√
√
(21)
adalah (diuraikan pada Lampiran 11):
√
√
( √
(22)
13
Dari persamaan (21) dan (22) dapat dilihat bahwa premi tidak terdefinisi pada saat
ukuran klaim
atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan (
)
sehingga perlu adanya pendefinisan ulang untuk premi risiko pada kasus
(dijelaskan pada Lampiran 12):
.
(23)
Penerapan formula premi risiko pada sistem Bonus-Malus
Sistem Bonus-Malus klasik
Misalkan pada suatu perusahaan asuransi, banyaknya klaim diasumsikan
menyebar geometrik dengan parameter sebesar 1,25. Dalam perhitungan premi
risiko ini digunakan Prinsip Premi Bersih (Net Premium Principle).
Asumsikan premi risiko yang harus dibayarkan setiap pemegang polis setara
dengan tahun pertama. Misalkan premi risiko pada tahun
adalah 100. Jika
pemegang polis mengajukan satu klaim (
) di tahun pertama, maka premi
. Seorang pemegang polis
risiko yang harus dibayarkan adalah
dengan klaim (
) di tahun ke-3 (
oleh setiap pemegang polis adalah
), premi risiko yang harus dibayarkan
. Jika pemegang polis tidak
mengajukan klaim sama sekali selama tahun yang ditetapkan maka ia akan
mendapatkan bonus yang cukup tinggi. Sedangkan jika pemegang polis
mengajukan banyak klaim pada tahun pertama maka ia akan mendapatkan malus
yang cukup tinggi.
Pada tabel berikut dapat dilihat perhitungan premi risiko dalam 7 tahun
dengan variasi klaim
menggunakan persamaan (7) dengan
perangkat lunak Microsoft Excel.
Tabel 1 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim
Tahun
0
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya Klaim
0
100
56
38
29
24
20
17
15
1
2
3
4
5
111
77
59
48
40
34
30
167
115
88
71
60
52
45
222
154
118
95
80
69
61
278
192
147
119
100
86
76
333
231
176
143
120
103
91
Dari Tabel 1 dapat dilihat, bonus akan didapatkan pada tahun pertama oleh
seorang pemegang polis yang tidak mengajukan klaim, pemegang polis tersebut
akan mendapatkan bonus 44% dari premi risiko awal.
14
Sedangkan jika pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun pertama
maka pemegang polis tersebut harus membayar malus sebesar 11% dari premi
risiko awal.
Sistem Bonus-Malus optimal
Misalkan pada perusahaan asuransi seperti di aplikasi sebelumnya, kita
gunakan sistem Bonus-Malus yang dalam perhitungan premi risikonya
berdasarkan dua komponen yaitu komponen frekuensi dan ukuran klaim. Premi
risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan sistem BonusMalus optimal dihitung dengan menggunakan persamaan (20), dan apabila tidak
ada klaim yang diajukan (
) atau ukuran klaim
premi risiko dihitung
dengan menggunakan persamaan (23).
Seperti pada aplikasi sebelumnya, frekuensi klaim menyebar geometrik
dengan parameter sebesar 1,25. Total ukuran klaim diasumsikan menyebar
Weibull dengan fungsi sebaran pada persamaan (11) dan dipilih parameter
sebesar 0,05. Total ukuran klaim dipilih sebesar 7500 dan 10000, diambil dua
total ukuran klaim yang berbeda untuk membandingkan efek dari total ukuran
klim terhadap premi risiko.
Dengan ukuran klaim 7500, jika pemegang polis mengajukan satu klaim di
tahun pertama, maka ia harus membayar premi risiko sebesar 3079 (lihat Tabel 2),
jadi ia mendapatkan malus dari perusahaan asuransi tersebut. Sedangkan jika total
ukuran klaim 10000, seorang pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun
pertama, ia harus membayar premi risiko sebesar 3556 (lihat Tabel 3), ia
membayar malus yang lebih tinggi.
Pada Tabel 2 dan 3, dapat dilihat perhitungan premi risiko dari beberapa
contoh kasus pemegang polis dengan variasi klaim,
, dan total
ukuran klaim sebesar 7500 dan 10000, sampai tahun ke-7 menggunakan
persamaan (20) untuk
dan menggunakan persamaan (23) untuk
.
Tabel 2 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim
(Total ukuran klaim sebesar 7500)
Tahun
0
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya Klaim
0
640
356
246
188
152
128
110
97
1
2
3
4
5
3079
2132
1630
1320
1109
956
840
3752
2598
1986
1608
1351
1164
1023
4091
2833
2166
1753
1473
1270
1116
4232
2930
2240
1814
1523
1313
1154
4264
2952
2258
1828
1535
1323
1163
15
Tabel 3 Sistem Bonus Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim
(Total ukuran klaim sebesar 10000)
Tahun
0
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya Klaim
0
640
356
246
188
152
128
110
97
1
2
3
4
5
3556
2462
1882
1524
1280
1103
970
4444
3077
2353
1905
1600
1379
1212
4961
3435
2627
2126
1786
1540
1353
5236
3625
2772
2244
1885
1625
1428
5363
3713
2839
2298
1931
1664
1463
Dari kedua tabel di atas dapat dilihat bahwa bagi seorang pemegang polis yang
memiliki total ukuran klaim 7500, jika mengajukan satu klaim pada tahun pertama
maka ia akan membayar premi risiko yang lebih tinggi dari premi risiko awal.
Sedangkan bagi seorang pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim
sebesar 10000, jika ia mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka ia harus
membayar premi risiko yang jauh lebih tinggi dari premi risiko awal.
Kedua pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim yang berbeda akan
sama-sama mendapat bonus dari perusahaan asuransi tersebut, apabila pemegang
polis tidak mengajukan klaim sama sekali selama 7 tahun. Oleh karena itu setiap
pemegang polis membayar premi risiko yang berbeda-beda bergantung pada
banyaknya klaim dari setiap pemegang polis asuransi tersebut.
16
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Karya tulis ini telah membandingkan sistem Bonus-Malus klasik dan
sistem Bonus-Malus optimal, yang biasa digunakan beberapa perusahaan asuransi
seperti perusahaan asuransi mobil. Kedua sistem Bonus-Malus ini memiliki dasar
perhitungan premi yang berbeda.
Dapat dilihat dari aplikasinya, sistem Bonus-Malus klasik ini bisa
dikatakan tidak adil karena perhitungan premi risiko dari setiap pemegang polis
tidak bergantung pada ukuran klaim setiap pemegang polis. Sedangkan
perusahaan asuransi dengan sistem Bonus-Malus optimal cukup adil karena premi
risiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis asuransi proporsional dengan
risiko yang dihadapi. Premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang
polis dengan kerugian kecil dan besar adalah berbeda. Sistem Bonus-Malus ini
bergantung pada frekuensi dan ukuran klaim dari setiap pemegang polis.
Oleh karena itu, beban premi yang harus dibayarkan pada sistem BonusMalus optimal jauh lebih adil dibandingkan dengan sistem Bonus-Malus klasik
Saran
Penelitian ini memberikan perbandingan antara premi risiko sistem BonusMalus klasik dengan sistem Bonus-Malus optimal dengan sebaran frekuensi klaim
adalah geometrik dan sebaran ukuran klaim adalah Weibull. Telah dibuktikan
bahwa sistem Bonus-Malus optimal memberikan premi risiko yang lebih adil
karena sistem ini memperhitungkan besar atau kecil klaim yang diajukan oleh
pemegang polis. Pada penelitian ini menggunakan distribusi ukuran klaim
Weibull sehingga untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan distribusi
ukuran klaim lain. Selain itu, penelitian dapat dikembangkan dengan pembagian
kelas-kelas sesuai dengan karakteristik pemegang polis, seperti usia, jenis kelamin,
pekerjaan sehingga penentuan premi menjadi lebih adil karena karakteristik dari
setiap pemegang polis yang berbeda.
17
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz M, Stegun IA. 1964. Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover.
Albrecher H, Constantinescu C, Loisel S. 2011. Explicit ruin formulas for models
with dependence among risks. Insurance: Mathematics andEconomics
48(2):265-270.
Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Bain LJ, Engelhardt M. 1992. Introduction to Probability andMathematical
Statistics. Ed ke-2. PWS-KENT publishing Company.Boston.
Frangos NE, Vrontos SD.2001. Design of an optimal bonus–malus systems with a
frequency and a severity component on an individual basis in automobile
insurance. ASTIN Bulletin 31. 1-22.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. Ed ke-3. Prentice Hall, Inc.
New Jersey.
Gray RJ, Pitts SM. 2012. Risk Modelling in General Insurance: From Principle to
Practice. Cambridge University Press. New York.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes.Ed ke-2.
Clarendon Press.Oxford. New York.
Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed
ke-7. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Ibiwoye A, Adeleke IA, Aduloju S. 2011. Quest for optimal bonus-malus in
automobile insurance in developing economies: an actuarial prespective.
International Business Research Vol.4 No. 4.
Klugman SA, Panjer HH, Willmot GE.1949. Loss Models.John Willey &Sons.
New York.
Lemaire J. 1995. Bonus-malus Systems in Automobile Insurance. MA Kluwer
Academic Publishers. Boston.
Lemaire J. 1998. Bonus-malus systems : the european and asian approach to
merit-rating. The Society of Actuaries.
Lemaire J, Zi H. 1994. A comparative analysis of 30 bonus-malus systems. Astin
Bulletin Vol.24No. 2.
Mahmoudvand R, Hassani H. 2009. Generalized bonus-malus systems with a
frequency and a severity component on an individual basis in automobile
insurance. ASTIN Bulletin 39, 307-315.
Mahmoudvand R, Edalati A, Shokoohi F. 2013. Bonus-malus system in Iran: an
empirical evaluation. Journal of Data Science 11, 29-41.
Ni W, Constantinescu C, Pantelous AA. 2014. Bonus-malus systems with weibull
distributed claim severities. Annals of Actuarial Science 8(2): 217-233.
Tremblay L. 1992. Using the poisson inverse gaussian in bonus-malussystems.
ASTIN Bulletin 22(1): 97-106.
Willmot G. 1993. Mixed compound distributions. ASTIN Bulletin 16, 59-79.
18
LAMPIRAN
Lampiran 1 Sebaran frekuensi klaim
Sebaran tak bersyarat dari (banyaknya klaim) adalah dengan mengintegralkan
persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh:
∫
∫
∫
Dengan memisalkan
dan
maka:
∫
Dengan memisalkan kembali
Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini sehingga diperoleh:
[⏞
∫
[ ∫
]
]
Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga
diperoleh:
[⏞
[
∫
∫
]
]
19
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh
[
, dengan
[⏞
]
dan
∫
]
.
Maka yang dinyatakan sebagai frekuensi klaim dalam sistem Bonus-Malus ini
.
memiliki sebaran geometrik dengan parameter
20
Lampiran 2 Sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim
Kita gunakan pendekatan Bayes untuk menduga parameter dari sistem Bonus-Malus
klasik yaitu , dengan fungsi struktur posterior dari kumpulan frekuensi klaim
pemegang polis dalam tahun,
, maka diperoleh sebaran posterior dari
parameter frekuensi klaim tersebut :
Sebaran awal (prior distribution):
Fungsi kepekatan peluang bersama dari total frekuensi klaim adalah
∏
dan fungsi kepekatan peluang dari :
Sebaran akhir (posterior distribution) :
.
Jika
∫
∫
∫
Dengan memisalkan
dan
maka:
∫
Dengan memisalkan kembali
Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini, maka:
[⏞
[ ∫
∫
]
]
21
Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali, maka:
[⏞
∫
[
]
∫
]
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang dari persamaan di atas,
maka :
[⏞
[
∫
]
]
Sehingga diperoleh,
yang merupakan sebaran gamma
.
Dengan menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu ( ̂
diperoleh solusi Bayes:
̂
(̅
̅
Sehingga
̂
̅
̅
̅
̅
̅
̂
,
22
Lampiran 3 Nilai ̅ diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation
Pada karya tulis ini digunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk
menduga parameter terhadap . Sehingga penduga parameter terhadap
adalah :
(
∑
∏
(
(
∑
( ∑
(
Dengan MLE maka
( ∑
∑
(∑
̅
Penduga ̅
Bukti:
(
̅
memaksimumkan fungsi likelihood.
̅
memaksimumkan fungsi likelihood
Sehingga penduga parameter
terhadap
adalah ̅
23
Lampiran 4 Nilai harapan dari sebaran gamma
Jika suatu peubah acak memiliki sebaran gamma dengan parameter dan
, maka nilai harapan dari peubah acak tersebut adalah
dengan
dan
.
Bukti :
(
Fungsi kepekatan peluang dari sebaran tersebut adalah :
Maka,
∫
∫
∫
Dimisalkan
;
∫(
∫
Dengan memisalkan kembali :
Gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan tersebut:
[⏞
[ ∫
∫
]
]
24
Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga diperoleh :
[⏞
∫
]
[∫
]
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh :
[
Terbukti
[⏞
]
∫
]
25
Lampiran 5 Perolehan ̂
dengan solusi Bayes
Jika kita menggunakan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function),
penduga parameter akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian
tersebut. Maka dengan solusi Bayes, penduga parameternya sama dengan nilai
harapan dari sebaran posterior parameter tersebut.
Bukti:
Misalkan suatu peubah acak merupakan sebaran posterior dengan parameter
dan nilai penduga parameter adalah
.
Jika fungsi kerugian kuadratik dinyatakan :
[
] [
]
maka nilai harapan dari fungsi kerugian kuadratik adalah:
{ [
]
{[
]
{ [
{[
{
[
]
]
]
[
]
Karena
yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian
]]
[ [
kuadratik maka dengan turunan fungsi:
,
{ [
]
[
]
Terbukti.
[
[
[
]
]
]
[
]
Sehingga diperoleh penduga parameter tersebut sama dengan nilai harapan dari
sebaran posterior parameter tersebut.
26
Lampiran 6 Fungsi sebaran eksponensial
Jika suatu peubah acak memiliki sebaran eksponensial dengan parameter , maka
fungsi sebaran dari peubah acak adalah :
Bukti :
Fungsi kepekatan peluang dari sebaran tersebut adalah :
Sehingga fungsi sebaran dari peubah acak
adalah :
∫
∫
Terbukti.
27
Lampiran 7 Fungsi sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran Weibull
Fungsi sebaran tak bersyarat dari
(ukuran klaim) adalah dengan
mengintegralkan persamaan (9) dengan (10), sehingga diperoleh:
∫
∫
√
Dimisalkan
∫
√
Misal
√
(
√
∫(
√
Karena ∫
√
√
∫
(
√
,
(
∫
√
∫
Misal:
∫
∫
∫
(
√
(
√
(
√
√
∫
(
√
√
28
√
Misalkan juga :
∫
∫
√
√
(
(
√
(
∫
Sehingga
√
√
∫
∫
√
√
√
(
√
,
√
√
√
√
29
Lampiran 8 Representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi
Representasi integral alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi adalah :
∫
Bukti :
∫
Misal
∫
(
∫
∫
∫
∫
Misalkan
∫
Terbukti.
(
30
Lampiran 9 Nilai harapan dari sebaran posterior parameter ukuran klaim
Nilai harapan dari sebaran posterior yang merupakan sebaran Invers Gauss diperumum
(Generalized Inverse Gaussian) adalah:
[
]
[
]
√
√
∫
(√
(
(
√
Misal
√
(
(√
∫
√
.
√
√
∫
√
√
(√
,
√
)
31
Lampiran 10 Nilai harapan dari ukuran klaim
Jika misalkan model awal
diasumsikan menyebar eksponensial dengan
. Dengan
parameter
maka nilai harapan yang diberikan
mengintegralkan dengan sebaran posterior didapatkan:
[
]
( √
√
( √
Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan . Untuk setiap pemegang polis,
menyebar eksponensial dengan parameter , fungsi kepekatan peluangnya adalah:
∫
Misalkan
(
∫
∫
Untuk menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan
menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Digunakan pendekatan Bayes dengan
fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function) untuk menduga parameter dari
ukuran klaim tersebut. Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total
ukuran klaim dari setiap polis dengan klaim sampai tahun,
, dan
fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter
ukuran klaim tersebut:
√
( √
atau
dengan
,
,
.
(√
(
(
32
[
]
∫
∫
(√
∫
∫
∫
√
√
(
(√
√
Misal
∫
(
√
√
(
(√
,
√
(√
√
(√
(√
(√
( √
( √
√
√
√
33
Lampiran 11 Fungsi rekursif dari
Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel termodifikasi adalah:
√
√
maka fungsi rekursif dari
√
adalah :
√
( √
karena
( √
( √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
( √
( √
( √
√
( √
√
√
√
34
Lampiran 12 Premi pada kasus
Jika premi risiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim
, tetapi juga bergantung pada ukuran klaim
, maka premi
risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah:
√
( √
(
.
( √
(20)
Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel adalah:
(21)
√
√
maka fungsi rekursif dari
√
√
√
adalah (diuraikan pada Lampiran 11):
(22)
( √
√
√
Dari persamaan (21) dan (22) dapat dilihat bahwa premi tidak terdefinisi pada saat
ukuran klaim
atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan (
)
sehingga perlu adanya pendefinisan ulang untuk premi risiko pada kasus
.
, jika
Karena
Pada
,
√
maka
( √
( √
√
√
√
bisa diperoleh dari bentuk rekursif dari
√
( √
Premi pada saat ukuran klaim
(
):
√
√
√
√
√
( √
( √
√
atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan
( √
( √
( √
35
√
√
(
(
√
√
√
(
√
36
Lampiran 13 Bukti sifat fungsi Bessel termodifikasi
fungsi Bessel termodifikasi maka untuk setiap
Misalkan
berlaku dua sifat yaitu :
,
1.
2.
,
Bukti:
1.
∫
Misalkan
∫
∫
2.
∫
Misalkan
⏞
[
∫
[∫
[
∫
(
]
(
]
∫
[
]
]
37
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang, Banten, pada tanggal 27 Agustus 1994.
Penulis merupakan putri tunggal dari Bapak Tri Susanto, Ibu Tuti gartini. Tahun
2011, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Bawang Banjarnegara dan diterima di
Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan
Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Penulis tercatat sebagai mahasiswa
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif pada berbagai kegiatan. Penulis
tergabung dalam Biro Kewirausahaan Gugus Mahasiswa Matematika
(GUMATIKA) pada tahun 2013. Penulis juga terlibat aktif dalam kepanitiaan
Pesta Sains Nasional pada tahun 2012, Matematika Ria pada tahun 2013 dan 2014
dan IPB Mathematics Challenge pada tahun 2013. Selain itu, penulis pernah
menjadi asisten mata kuliah Persamaan Differensial Parsial pada tahun 2014 dan
Persamaan Differensial Biasa pada tahun 2015.
Selama masa kuliah, penulis mendapat beasiswa Persatuan Orang tua
Mahasiswa (POM) IPB pada tahun 2011 dan 2012, beasiswa Badan Usaha Milik
Negara (BUMN) pada tahun 2013 dan beasiswa Yayasan Toyota Astra pada tahun
2014.