Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus Malus Optimal dengan Menggunakan Sebaran Hofmann
PEMBANGUNAN SISTEM BONUS MALUS PRAKTIS DARI SISTEM
BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN SEBARAN
HOFMANN
HERU
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
18
Lampiran 6 Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien
A.
Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk �1 = 0.05461
19
20
21
22
23
24
B.
Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk �2 = 0.24599
25
26
27
28
29
30
C.
Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk �3 = 0.95618
31
32
33
34
35
36
Lampiran 7 Penghitungan premi sistem bonus malus optimal dengan nilai � = 0,1,2,3,4 dan
� = 1,2,3, … ,10
37
38
39
40
41
42
43
Lampiran 8 Penghitungan nilai peluang �(�, �, �) yang digunakan dalam program Lingo 11
untuk mencari premi sistem bonus malus praktis dalam Lampiran 9
44
�=0
�=1
45
46
47
48
�=2
49
50
51
52
53
54
�=3
55
56
57
58
59
60
�=4
61
62
63
64
65
66
Lampiran 9 Program Lingo 11 untuk menyelesaikan masalah pengoptimum sehingga diperoleh
premi setiap kelas
untuk �1 = 0.05461
MODEL:
sets:
banyakklaim/0,1,2,3,4/;
tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/;
kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:C,etakhingga,enol,e2transien,e4transien;
links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w;
links2(banyakklaim,tahunklaim):P;
endsets
DATA:
w=0 0 0 0.856303 0 0 0 0 0 0 0 0.733255 0 0 0 0 0 0 0 0.627889 0 0 0 0 0 0 0
0.537663 0 0 0 0 0 0 0 0 0.460403 0 0 0 0 0 0 0 0 0.394244 0 0 0 0 0 0 0 0
0.337593 0 0 0 0 0 0 0 0 0.289082 0 0 0 0 0 0 0 0 0.247542 0 0 0 0 0 0 0 0
0.211971 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.132839 0 0 0 0 0 0 0 0.11375 0.11375
0 0 0 0 0 0 0.0974049 0.0974049 0.0974049
0 0 0 0 0 0.0834081 0.0834081
0.0834081 0.0834081 0 0 0 0 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0 0
0 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0 0 0.052371
0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0 0.0448455 0.0448455
0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013
0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663
0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832
0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0
0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871
0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385
0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865
0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923
0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931
0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753
0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613
0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0
0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633
0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0
0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056
0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872
0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983
0.000154025 0.00107817 0.00292647 0.00569892 0.00939551 0.0140163 0.0195611
0.0260302 0.0334234 0.00105514 0.00250595 0.00488 0.00804541 0.0120022 0.0167503
0.0222897 0.0286205 0.0357427 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000206637 0 0 0 0 0 0 0
0.0000176944 0.000265416 0 0 0 0 0 0 0.0000151518 0.000227276 0.000984864 0 0 0 0
0 0.0000129745 0.000194618 0.000843343 0.00227054 0 0 0 0 0.0000111101 0.000166652
0.000722157 0.00194427 0.00409963 0 0 0 0.00000951362 0.000142704 0.000618385
0.00166488 0.00351053 0.00638364 0 0 0.00000814654 0.000122198 0.000529525
0.00142565
0.00300607
0.00546633
0.00900193
0
0.00000697591
0.000104639
0.000453434 0.00122078 0.00257411 0.00468084 0.00770838 0.0118242 0.00000597349
0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251
0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221
0.00867013 0.0126088 0.0175909;
P=83 71 62 55 40 45 41 38 53 33
158 136 119 106 96 87 80 74 68 64
232 199 175 156 140 128 117 108 101 94
305 262 230 205 185 168 154 143 133 124
377 325 285 254 229 209 192 177 164 154;
etakhingga=
0.646049,0.0362619,0.0382972,0.0404467,0.042717,0.0451146,0.0476468,0.0503212,0.05
31457;
enol= 0.5729,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516;
e2transien=
0.62327,0.0702882,0.037744,0.0395371,0.0409716,0.0384613,0.0462611,0.0503212,0.053
1457;
e4transien=
0.655637,0.0354463,0.0367324,0.0344818,0.0414746,0.0451146,0.0476468,0.0503212,0.0
531457;
ENDDATA
MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum(tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)C(i))^2)));
@for(kelas(i):@gin(C(i)));
C(5)=100;
C(2)>=C(1);
C(3)>=C(2);
C(4)>=C(3);
67
C(5)>=C(4);
C(6)>=C(5);
C(7)>=C(6);
C(8)>=C(7);
C(9)>=C(8);
@sum(kelas(i):etakhingga(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):enol(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e2transien(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e4transien(i)*C(i))>=100;
Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas
Local optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
C( 1)
C( 2)
C( 3)
C( 4)
C( 5)
C( 6)
C( 7)
C( 8)
C( 9)
untuk �2 = 0.24599
12617.16
12617.16
0.000000
122
2394
Value
94.00000
94.00000
94.00000
97.00000
100.0000
115.0000
119.0000
125.0000
135.0000
Reduced Cost
250.4333
45.42039
39.42183
30.43267
0.000000
18.21178
18.02513
17.47924
22.02185
MODEL:
sets:
banyakklaim/0,1,2,3,4/;
tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/;
kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:C,etakhingga,enol,e2transien,e4transien;
links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w;
links2(banyakklaim,tahunklaim):P;
endsets
DATA:
w=0 0 0 0.856303 0 0 0 0 0 0 0 0.733255 0 0 0 0 0 0 0 0.627889 0 0 0 0 0 0 0
0.537663 0 0 0 0 0 0 0 0 0.460403 0 0 0 0 0 0 0 0 0.394244 0 0 0 0 0 0 0 0
0.337593 0 0 0 0 0 0 0 0 0.289082 0 0 0 0 0 0 0 0 0.247542 0 0 0 0 0 0 0 0
0.211971 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.132839 0 0 0 0 0 0 0 0.11375 0.11375
0 0 0 0 0 0 0.0974049 0.0974049 0.0974049 0 0 0 0 0 0.0834081 0.0834081 0.0834081
0.0834081 0 0 0 0 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0 0 0
0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0 0 0.052371 0.052371
0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0 0.0448455 0.0448455 0.0448455
0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013 0.0384013
0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663 0.0328832
0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832
0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0
0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871
0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385
0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865
0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923
0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931
0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753
0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613
0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0
0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633
0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0
0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056
0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872
0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983
0.000154025 0.00107817 0.00292647 0.00569892 0.00939551 0.0140163 0.0195611
0.0260302 0.0334234 0.00105514 0.00250595 0.00488 0.00804541 0.0120022 0.0167503
0.0222897 0.0286205 0.0357427 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000206637 0 0 0 0 0 0 0
0.0000176944 0.000265416 0 0 0 0 0 0 0.0000151518 0.000227276 0.000984864 0 0 0 0
0 0.0000129745 0.000194618 0.000843343 0.00227054 0 0 0 0 0.0000111101 0.000166652
0.000722157 0.00194427 0.00409963 0 0 0 0.00000951362 0.000142704 0.000618385
0.00166488 0.00351053 0.00638364 0 0 0.00000814654 0.000122198 0.000529525
0.00142565
0.00300607
0.00546633
0.00900193
0
0.00000697591
0.000104639
0.000453434 0.00122078 0.00257411 0.00468084 0.00770838 0.0118242 0.00000597349
68
0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251
0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221
0.00867013 0.0126088 0.0175909;
P=83 71 62 55 40 45 41 38 53 33
158 136 119 106 96 87 80 74 68 64
232 199 175 156 140 128 117 108 101 94
305 262 230 205 185 168 154 143 133 124
377 325 285 254 229 209 192 177 164 154;
etakhingga=
0.139747,0.0389737,0.0498429,0.0637434,0.0815206,0.104256,0.133331,0.170515,0.2180
7;
enol= 0.5729,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516;
e2transien=
0.425055,0.0479349,0.0257406,0.0269634,0.0279416,0.0262297,0.031549,0.170515,0.218
07;
e4transien=
0.304931,0.0164858,0.0170839,0.0160372,0.0192895,0.104256,0.133331,0.170515,0.2180
7;
ENDDATA
MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum(tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)C(i))^2)));
@for(kelas(i):@gin(C(i)));
C(5)=100;
C(2)>=C(1);
C(3)>=C(2);
C(4)>=C(3);
C(5)>=C(4);
C(6)>=C(5);
C(7)>=C(6);
C(8)>=C(7);
C(9)>=C(8);
@sum(kelas(i):etakhingga(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):enol(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e2transien(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e4transien(i)*C(i))>=100;
Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas
Local optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
C( 1)
C( 2)
C( 3)
C( 4)
C( 5)
C( 6)
C( 7)
C( 8)
C( 9)
untuk �3 = 0.95618
12599.09
12599.09
0.000000
10
484
Value
93.00000
93.00000
93.00000
100.0000
100.0000
118.0000
122.0000
127.0000
137.0000
Reduced Cost
245.2390
43.87363
37.50249
37.55159
0.000000
21.97938
23.03758
21.85152
27.66657
MODEL:
sets:
banyakklaim/0,1,2,3,4/;
tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/;
kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:C,etakhingga,enol,e2transien,e4transien;
links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w;
links2(banyakklaim,tahunklaim):P;
endsets
DATA:
w=0 0 0 0.856303 0 0 0 0 0 0 0 0.733255 0 0 0 0 0 0 0 0.627889 0 0 0 0 0 0 0
0.537663 0 0 0 0 0 0 0 0 0.460403 0 0 0 0 0 0 0 0 0.394244 0 0 0 0 0 0 0 0
0.337593 0 0 0 0 0 0 0 0 0.289082 0 0 0 0 0 0 0 0 0.247542 0 0 0 0 0 0 0 0
0.211971 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.132839 0 0 0 0 0 0 0 0.11375 0.11375
0 0 0 0 0 0 0.0974049 0.0974049 0.0974049 0 0 0 0 0 0.0834081 0.0834081 0.0834081
0.0834081 0 0 0 0 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0 0 0
0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0 0 0.052371 0.052371
0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0 0.0448455 0.0448455 0.0448455
69
0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013 0.0384013
0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663 0.0328832
0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832
0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0
0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871
0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385
0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865
0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923
0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931
0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753
0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613
0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0
0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633
0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0
0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056
0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872
0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983
0.000154025 0.00107817 0.00292647 0.00569892 0.00939551 0.0140163 0.0195611
0.0260302 0.0334234 0.00105514 0.00250595 0.00488 0.00804541 0.0120022 0.0167503
0.0222897 0.0286205 0.0357427 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000206637 0 0 0 0 0 0 0
0.0000176944 0.000265416 0 0 0 0 0 0 0.0000151518 0.000227276 0.000984864 0 0 0 0
0 0.0000129745 0.000194618 0.000843343 0.00227054 0 0 0 0 0.0000111101 0.000166652
0.000722157 0.00194427 0.00409963 0 0 0 0.00000951362 0.000142704 0.000618385
0.00166488 0.00351053 0.00638364 0 0 0.00000814654 0.000122198 0.000529525
0.00142565
0.00300607
0.00546633
0.00900193
0
0.00000697591
0.000104639
0.000453434 0.00122078 0.00257411 0.00468084 0.00770838 0.0118242 0.00000597349
0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251
0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221
0.00867013 0.0126088 0.0175909;
P=83 71 62 55 40 45 41 38 53 33
158 136 119 106 96 87 80 74 68 64
232 199 175 156 140 128 117 108 101 94
305 262 230 205 185 168 154 143 133 124
377 325 285 254 229 209 192 177 164 154;
etakhingga=0.000476311,0.000762925,0.00198493,0.00516428,0.0134361,0.0349572,0.090
9496,0.236627,0.615642;
enol= 0.5729,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516;
e2transien=0.102703,0.0115821,0.00621949,0.00651495,0.00675132,0.00633767,0.007622
94,0.236627,0.615642;
e4transien=
0.0178023,0.000962462,0.000997382,0.000936273,0.00112615,0.0349572,0.0909496,0.236
627,0.615642;ENDDATA
MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum(tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)C(i))^2)));
@for(kelas(i):@gin(C(i)));
C(5)=100;
C(2)>=C(1);
C(3)>=C(2);
C(4)>=C(3);
C(5)>=C(4);
C(6)>=C(5);
C(7)>=C(6);
C(8)>=C(7);
C(9)>=C(8);
@sum(kelas(i):etakhingga(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):enol(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e2transien(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e4transien(i)*C(i))>=100;
Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas
Local optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
C( 1)
C( 2)
C( 3)
C( 4)
12599.09
12599.09
0.000000
10
482
Value
93.00000
93.00000
93.00000
100.0000
Reduced Cost
245.2390
43.87363
37.50249
37.55159
70
C(
C(
C(
C(
C(
5)
6)
7)
8)
9)
100.0000
118.0000
122.0000
127.0000
137.0000
0.000000
21.97938
23.03758
21.85152
27.66657
71
Lampiran 10
A.
Algoritme Lemaire untuk menghitung retensi limit optimal dari pemegang polis
dalam sistem bonus malus dengan �1 = 0.05461
Retensi limit optimal untuk � = 0
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
B.
Retensi limit optimal untuk � > 0
94
95
ABSTRAK
HERU. Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus Malus Optimal dengan
Menggunakan Sebaran Hofmann. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN
MANGKU.
Sistem bonus malus praktis lebih mudah diaplikasikan dalam dunia nyata karena jumlah kelas
yang berhingga. Premi sistem bonus malus praktis dapat dihitung dengan cara meminimumkan
jarak antara premi sistem bonus malus praktis dengan premi sistem bonus malus optimal yang
bersesuaian. Premi sistem bonus malus optimal dapat dihitung menggunakan sebaran Hofmann.
Prinsip nilai harapan merupakan salah satu prinsip yang digunakan untuk menghitung premi
sistem bonus malus optimal. Terdapat sistem bonus malus yang hanya mempertimbangkan
banyaknya klaim tanpa mempertimbangkan besaran klaim. Fenomena pemegang polis tidak
melaporkan klaim yang berukuran kecil karena ingin mendapatkan bonus disebut kelaparan bonus.
Retensi limit optimal berfungsi sebagai indikator layak atau tidaknya suatu biaya klaim dilaporkan
ke perusahaan. Nilai retensi limit suatu sistem bonus malus praktis dapat dihitung untuk setiap
kelasnya. Algoritme Lemaire digunakan untuk menghitung nilai retensi limit optimal tersebut.
Kata kunci: sebaran Hofmann, sistem bonus malus optimal, sistem bonus malus praktis, kelaparan
bonus, algoritme Lemaire.
ABSTRACT
HERU. Construction of a Practical Bonus Malus System from an Optimal Bonus Malus System
by Using the Hofmann Distribution. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and I
WAYAN MANGKU.
A practical bonus malus system is more easily applied in the real world because it has a finite
number of classes. Premium of a practical bonus malus system can be calculated by minimizing
the distance between the premium of a practical bonus malus system and the premium of its
corresponding optimal bonus malus system. Premium of an optimal bonus malus system can be
calculated using the Hofmann distribution. The expected value principle is one of the principles to
calculate the premium of an optimal bonus malus system. There is a bonus malus system that
considers only the number of claims without considering the amount of the claims. The
phenomenon that policyholders are not reporting small claims because they want to get a bonus is
called bonus hunger. Optimal retention limit serves as an indicator of the viability whether the
claims should be reported or not to the company. The value of retention limit of a practical bonus
malus system can be calculated for each class. The Lemaire’s algorithm was used to calculate the
optimal retention limit.
Keywords: Hofmann distribution, optimal bonus malus system, practical bonus malus system,
hunger for bonus, Lemaire’s algorithm.
PEMBANGUNAN SISTEM BONUS MALUS PRAKTIS DARI SISTEM
BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN SEBARAN
HOFMANN
HERU
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul Skripsi : Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus
Malus Optimal dengan Menggunakan Sebaran Hofmann
Nama
: Heru
NIM
: G54080078
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 19651218 199002 1 001
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 19620305 198703 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta
shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu
penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta: Ayah, Ibu, dan adikku yang selalu memberikan doa, motivasi, dukungan,
kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya, serta keluarga besar baik dari Ayah maupun dari
Ibu terima kasih atas doanya.
2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing I, terima kasih atas semua ilmu,
waktu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing II, terima kasih atas semua ilmu,
waktu, saran, dan motivasinya selama penulisan skripsi ini.
4. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu, waktu, saran dan
motivasinya.
5. Semua dosen Departemen Matematika FMIPA IPB, terimakasih atas semua ilmu dan nasihat
yang diberikan.
6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni,
dan lainnya, terima kasih atas bantuan dan motivasinya.
7. Sahabat Chevron Geothermal Salak: Pak Dali, Pak Gita, Mas Ferdes, Mas Reza, Mas Hasan,
Mas Fahri, Irpan, Ka Zaenal, Ka Haikal, Ka Ikhwan, Rhandy, Rizky, Esih, Yani, Nandi, Mella,
dan lainnya.
8. Sahabat Beasiswa Perfetti Vanmelle: Pak Anang, Bu Nuning, Pak Ari, Bu Risa, Sarwanto,
Didin, Erna, Miftah, Siti, Dina, Arina, Aisyah, dan lainnya.
9. Kakak-kakak Matematika angkatan 42, 43, dan 44: Ka Iput, Ka Kabil, Ka endru, Ka Nyoman,
Ka Ruhiyat, Ka Iam, Ka Ririh, Ka Lingga, Ka Abe, Ka Fajar, Ka Wahyu, Ka Wenti dan
lainnya, terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya.
10. Teman-teman Matematika angkatan 45: Herlan, Prama, Rian, Bram, Khafidz, Kunedi, Wijay,
Haryanto, Ari, Dono, Irwan, Ridwan, Hadi, Fikri, Ali, Irma, Rianiko, Ito, Beni, Izzudin,
Risman, Wahidi, Chastro, Arbi, Hendri, Dimas, Nurul, Dini, Nova, Agustina, Putri, Devita,
Anisa, Haya, Isna, Vivi, Wulan, Fenny, Aci, Bolo, Gita, Mega, Ana, Yunda, Fitriyah, Anggun,
Tiwi, Pipin, Ade, Finata, Fuka, Dewi, Mya, Rini, Meidina, dan lainnya, terima kasih atas doa,
semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya.
11. Adik-adik Matematika angkatan 46: Yoyok, Dio, Rio, Dayat, Andri, Galih, avendi, Rudi,
Syaepul, Dian, Ihsan, Hendra, Fenny, Windi, Irma, Desyi, Tita, Dita, Ivon, Mirna, Melisa,
Rahmi, dan lainnya, terimakasih atas dukungan dan doanya.
12. Sahabat kontrakan 178: Umar, Watri, Joni, Adit, Hisar, Wendi dan Enduy, terima kasih atas
doa, semangat, dukungan, kebersamaan, dan bantuannya.
13. Sahabat Sainstek BEM FMIPA IPB: Budi, Aya, Erna, Desi, Santia, Dio, Meita, Helen dan
Hana, terima kasih atas motivasi dan kebersamaannya.
14. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh
karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari semua pihak. Semoga
karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan terutama ilmu matematika.
Bogor, Desember 2012
Heru
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 25 Oktober 1989 dari bapak Nana dan ibu Ojah.
Penulis merupakan putra pertama dari dua bersaudara.
Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kabandungan dan pada tahun yang sama diterima
sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri
(SNMPTN). Penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Kalkulus II (S-1)
pada semester ganjil tahun akademik 2010-2011, asisten dosen mata kuliah Persamaan Diferensial
Biasa (S-1) pada semester genap tahun akademik 2010-2011, serta asisten dosen mata kuliah
Persamaan Diferensial Parsial (S-1) pada semester ganjil tahun akademik 2011-2012. Selama
kuliah penulis mendapatkan beasiswa dari Chevron Geothermal Salak, Ltd.
Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah menjadi Staf Departemen
Keilmuan Gumatika (Gugusan Mahasiswa Matematika) Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor pada periode 2009-2010 dan Staf Departemen Sains
dan Teknologi Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Pertanian Bogor pada periode 2010-2011. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam
beberapa kegiatan kepanitiaan antara lain: Kepala Divisi Logistik dan Transportasi Pekan Ilmiah
Mahasiswa FMIPA IPB tahun 2011, Kepala Divisi Publikasi, Dekorasi dan Dokumentasi IPB
OPEN (Kompetisi Catur Nasional) tahun 2010, Tim khusus Matematika Ria tahun 2010, serta Staf
Divisi Logistik dan Transportasi Pesta Sains IPB tahun 2011.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ...................................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. viii
I
PENDAHULUAN .............................................................................................................
1.1 Latar Belakang ..........................................................................................................
1.2 Tujuan .......................................................................................................................
1
1
1
II
LANDASAN TEORI .........................................................................................................
2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .......................................................................
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran .............................................................................
2.3 Nilai Harapan, Ragam, dan Momen ..........................................................................
2.4 Fungsi Kemungkinan ................................................................................................
2.5 Proses Stokastik dan Rantai Markov .........................................................................
2
2
2
3
4
4
III
HASIL DAN PEMBAHASAN .........................................................................................
3.1 Sistem Bonus Malus Lama dan Sistem Bonus Malus Praktis ...................................
3.2 Sebaran Hofmann ......................................................................................................
3.3 Sistem Bonus Malus Optimal ....................................................................................
3.4 Kelaparan Bonus dan Sebaran Frekuensi Klaim Aktual ...........................................
3.5 Sistem Bonus Malus Praktis ......................................................................................
3.6 Tahapan untuk Menemukan Premi Sistem Bonus Malus Praktis ..............................
3.7 Algoritme Lemaire untuk Penentuan Retensi Limit Optimal ....................................
5
5
6
6
7
8
9
10
IV SIMPULAN .......................................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................
LAMPIRAN ...............................................................................................................................
12
12
13
vii
DAFTAR TABEL
Halaman
1
Premi sistem bonus malus saat ini ......................................................................................
5
2
Sebaran frekuensi klaim teramati .....................................................................................
5
3
Kerangka sistem bonus malus optimal ..............................................................................
6
4
Nilai premi yang pararel dengan nilai premi sistem bonus malus optimal ........................
8
5
Premi sistem bonus malus optimal ....................................................................................
9
6
Sistem bonus malus praktis untuk �1 = 0.05461 ..............................................................
9
8
Sistem bonus malus praktis untuk �2 = 0.24599
9
Sistem bonus malus praktis untuk �3 = 0.95618 .............................................................
Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus
10
10
dengan �1 = 0.05461 dan � = 0 .....................................................................................
dengan �1 = 0.05461 dan � > 0 .....................................................................................
11
7
...........................................................
10
10
Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
Pembuktian hasil integral pada sebaran Hofmann .............................................................
14
2
Analisis sebaran Hofmann untuk � = 0 dan � = 1 ...........................................................
15
3
Pembuktian rumus untuk premi posterior ..........................................................................
4
Penghitungan nilai parameter sebaran Hofmann dengan pemasangan tiga momen
pertama dari sebaran Poisson Campuran Nonparametrik dan sebaran Hofmann .............
5
16
16
Pendugaan Kemungkinan Maksimum untuk mencari sebaran frekuensi klaim
yang dilaporkan beserta peluangnya .................................................................................
17
6
Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien ........................................................
18
7
Penghitungan premi sistem bonus malus optimal ..............................................................
36
8
43
9
Penghitungan nilai peluang �(�, �, �) ................................................................................
Program LINGO 11 untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman ................................
66
10
Algoritme Lemaire untuk menghitung retensi limit optimal dari pemegang polis ...........
71
viii
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Asuransi merupakan perjanjian antara
dua pihak, yaitu pihak tertanggung dan
pihak penanggung. Pihak penanggung
memiliki kewajiban untuk menanggung
segala bentuk kerugian, kecelakaan,
kerusakan atau kehilangan keuntungan yang
dialami pihak tertanggung. Sementara itu,
pihak tertanggung memiliki kewajiban untuk
membayar sejumlah uang yang merupakan
imbalan untuk pihak penanggung karena
pihak penanggung telah menjadi tempat
pengalihan resiko dari pihak tertanggung.
Sejumlah uang yang dibayarkan oleh pihak
tertanggung kepada pihak penanggung
secara berkala disebut premi asuransi.
Sistem asuransi juga dilengkapi oleh aturanaturan yang mengikat kedua belah pihak.
Aturan-aturan ini disebut polis asuransi.
Perkembangan ilmu aktuaria semakin
memperkaya sistem asuransi yang dianut
oleh perusahaan-perusahaan asuransi. Salah
satu sistem asuransi yang sudah terkenal
adalah sistem bonus malus.
Sistem bonus malus merupakan sistem
asuransi dimana besarnya premi yang
dibayarkan pihak tertanggung kepada pihak
penanggung berubah sesuai dengan banyak
klaim yang diajukan oleh pihak tertanggung
pada periode sebelumnya. Jika periode
sekarang pemegang polis tidak mengajukan
klaim maka pemegang polis mendapat bonus
pada periode berikutnya. Namun, jika
periode
sekarang
pemegang
polis
mengajukan klaim maka pemegang polis
mendapatkan
malus
pada
periode
berikutnya. Sistem bonus malus juga
dilengkapi oleh pembagian kelas premi.
Kelas premi ini berbanding lurus dengan
besarnya premi yang harus dibayarkan oleh
pihak tertanggung. Dengan kata lain,
semakin tinggi kelas premi maka semakin
besar premi yang harus dibayarkan oleh
pihak tertanggung dan semakin rendah kelas
premi maka semakin rendah pula premi yang
harus dibayarkan oleh pihak tertanggung.
Karya
ilmiah
ini
menjelaskan
pembangunan sistem bonus malus praktis.
Sistem bonus malus praktis lebih mudah
diaplikasikan dalam dunia nyata karena
jumlah kelas yang hingga. Sebaran Hofmann
yang dipilih sebagai sebaran untuk
membangun tabel bonus malus optimal juga
dibahas dalam karya ilmiah ini. Perlu
diketahui bahwa untuk mendapatkan tabel
bonus malus praktis diperlukan tabel bonus
malus optimal. Rujukan utama dari karya
ilmiah ini adalah jurnal karangan Paris dan
Walhin (2001) yang berjudul “ The Practical
Replacement of a Bonus-Malus System”.
Meskipun demikian, sebagian metode
pemecahan masalah dalam karya ilmiah ini
tidak sama dengan jurnal rujukan tersebut.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
sebagai berikut.
1. Mempelajari penentuan premi pada
sistem bonus malus optimal dengan
menggunakan sebaran Hofmann.
2. Mempelajari penentuan premi pada
sistem bonus malus praktis dari
sistem bonus malus optimal.
3. Mempelajari
pengaruh
sebaran
transien dan sebaran stasioner
terhadap sistem bonus malus praktis.
4. Mempelajari Algoritme Lemaire
untuk menghitung retensi limit
optimal.
II LANDASAN TEORI
2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali
dilakukan pengulangan yang dilakukan
dalam kondisi yang sama. Semua
kemungkinan hasil yang akan muncul adalah
diketahui, tetapi hasil pada percobaan
berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat.
Percobaan semacam ini disebut percobaan
acak.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan
hasil dari suatu percobaan acak disebut
ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu
kejadian � adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-� adalah suatu himpunan ℱ yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
dari ruang contoh Ω, yang memenuhi
kondisi berikut:
1.
2.
3.
∅ ∈ ℱ,
Jika � ∈ ℱ maka �� ∈ ℱ,
Jika �1 , �2 , … ∈ ℱ maka ⋃∞
�=1 �� ∈
ℱ.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah Medan-� dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
fungsi �: ℱ → [0,1] pada (Ω, ℱ) yang
memenuhi:
1.
2.
�(∅) = 0, �(Ω) = 1,
adalah
Jika
�1 , �2 , … ∈ ℱ
himpunan yang saling lepas yaitu
�� ∩ �� = ∅ untuk setiap pasangan
� ≠ �,
maka
�(⋃∞
�=1 �� ) =
∞
∑�=1 �(�� ).
(Grimmett & Stirzaker 1992)
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
fungsi �: Ω → ℝ dengan sifat {� ∈
Ω: X(�) ≤ x} ∈ ℱ untuk setiap � ∈ ℝ.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 6 (Fungsi Sebaran)
Misalkan � adalah suatu peubah acak
dengan ruang contoh Ω. Misalkan kejadian
� = (−∞, �] ⊂ Ω maka peluang dari
kejadian � adalah
�� (�) = �(� ≤ �) = �� (�).
Fungsi �� disebut fungsi sebaran dari
peubah acak �.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 7 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak � dikatakan diskret jika
nilainya hanya pada himpunan bagian yang
terhitung dari ℝ.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Catatan:
Suatu himpunan
terhitung jika �
bilangan
atau
dikorespondensikan
bulat positif.
bilangan � disebut
terdiri atas terhingga
anggota
�
dapat
1-1 dengan bilangan
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak � dikatakan kontinu jika
ada fungsi �� (�) sehingga fungsi sebaran
�
�� (�) = � �� (�)��,
−∞
� ∈ ℝ dengan �: ℝ → [0, ∞) adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi � disebut fungsi
kepekatan peluang dari �.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 9 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak
diskret � adalah fungsi �: ℝ → [0,1] yang
diberikan oleh
�� (�) = �(� = �).
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 5 (Peubah Acak)
Definisi 10 (Fungsi Sebaran Bersama Dua
Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah Medan-� dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak � adalah suatu
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak
� dan � merupakan suatu fungsi �: ℝ2 →
[0,1] yang didefinisikan sebagai
3
��� (�, �) = �(� ≤ �, � ≤ �).
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang
Bersama dan Marjinal)
Misalkan � dan � peubah acak diskret,
maka fungsi massa peluang bersama dari �
dan � adalah
��� (�, �) =
� 2 ��� (�, �)
,
����
dan fungsi massa peluang marjinal dari
peubah acak � adalah
�� (�) = � ��� (�, �).
�
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 12 (Fungsi Kepekatan Peluang
Bersyarat)
Jika � dan � adalah peubah acak kontinu
dan fungsi kepekatan peluang marjinal dari
� adalah �� (�) > 0 maka fungsi kepekatan
peluang bersyarat dari � dengan syarat
� = � adalah
��� (�, �)
.
��|� (�|�) =
�� (�)
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 13 (Sebaran Poisson)
Suatu peubah acak � dikatakan
menyebar Poisson dengan parameter �, jika
memiliki fungsi massa peluang:
�� (�, �) =
dengan � > 0.
� −� ��
; � = 0,1,2, …,
�!
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Sebaran Binomial Negatif)
Suatu peubah acak � dikatakan
menyebar
Binomial
Negatif dengan
parameter � dan �, dinotasikan BN(�, �) jika
memiliki fungsi massa peluang
�� (�) = �[� = �] = �
�+�−1 � �
�� � ;
�
� = 0,1,2, .. dengan � > 0, 0 < � < 1 dan
� = 1 − �.
(Hogg et al. 2005)
2.3 Nilai Harapan, Ragam dan Momen
Definisi 15 (Nilai Harapan)
1. Jika � adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang �� (�),
maka nilai harapan dari �, didefinisikan
sebagai
�(�) = � � �� (�),
�
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika � adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang �� (�),
maka nilai harapan dari � adalah
∞
�(�) = � ��� (�)��,
asalkan integral
mutlak.
−∞
di
atas
konvergen
(Hogg et al. 2005)
Definisi 16 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan � dan � adalah peubah acak
kontinu dan ��|� (�|�) adalah fungsi
kepekatan peluang bersyarat dari � dengan
syarat � = �, maka nilai harapan dari �
dengan syarat � = � adalah
∞
�[�|� = �] = � ���|� (�|�)��.
−∞
(Hogg et al. 2005)
Definisi 17 (Ragam)
Ragam dari peubah acak � adalah nilai
harapan kuadrat selisih antara � dengan nilai
harapannya. Secara matematis dapat
dituliskan sebagai
���(�) = �[(� − �[�])2 ]
= �[� 2 ] − (�[�])2 .
(Hogg et al. 2005)
4
Definisi 18 (Momen)
2.4 Fungsi Kemungkinan
1. Jika � adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang �� (�),
maka momen ke-� dari �, didefinisikan
sebagai
Definisi 20 (Fungsi Kemungkinan)
�(�
2.
�)
∞
= � ��� �� (�� ),
�=1
jika jumlah di atas konvergen. Jika
jumlah di atas divergen, maka momen
ke-� dari peubah acak � adalah tidak
ada.
Jika � adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang �� (�),
maka momen ke-� dari � didefinisikan
sebagai
�(�
�)
∞
= � � � �� (�)�� ,
−∞
jika integral di atas konvergen. Jika
integral di atas divergen, maka momen
ke-� dari peubah acak � adalah tidak
ada.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 19 (Fungsi Pembangkit Momen)
Fungsi pembangkit momen dari suatu
peubah acak � didefinisikan sebagai
�� (�) = �(� �� )
untuk � ∈ ℜ sehingga nilai harapan di atas
ada.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Misalkan �1 , … , �� adalah nilai contoh
acak dari suatu sebaran dengan fungsi
kepekatan peluang �(�; �), maka fungsi
kepekatan peluang bersama dari �1 , … . , ��
yang merupakan fungsi kemungkinannya
adalah
�(�) = �(�1 ; �)�(�2 ; �) … �(�� ; �).
(Hogg et al. 2005)
Definisi 21 (Penduga Kemungkinan
Maksimum)
Misalkan �1 , … , �� adalah nilai contoh
acak berukuran � dari suatu sebaran dengan
fungsi kepekatan peluang �(�; �). Penduga
kemungkinan maksimum bagi � dinotasikan
dengan
��
adalah
nilai
�
yang
memaksimumkan
fungsi
kemungkinan
�(�1 , … . , �� ; �).
(Hogg et al. 2005)
2.5 Proses Stokastik dan Rantai Markov
Definisi 22 (Proses Stokastik)
Proses stokastik didefinisikan sebagai
himpunan peubah acak {�� : � � �} untuk
himpunan indeks � yang terhitung atau
{�(�): � � �}
berhingga,
atau
untuk
himpunan indeks � yang tak terhitung.
(Ghahramani 2005)
Definisi 23 (Rantai Markov)
Sebuah proses stokastik {�� : � =
0, 1, … } dengan ruang state terbatas atau tak
terbatas yg terhitung disebut rantai markov,
jika untuk semua �, �, �0 , … , ��−1 ∈ �, dan
� = 0,1,2, …,
�(��+1 = �|�� = �, ��−1 = �� −1 , … , �0 = �0 )
= �(��+1 = �|�� = �).
(Ghahramani 2005)
III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Sistem Bonus Malus Lama dan Sistem
Bonus Malus Praktis
Sistem bonus malus praktis terdiri dari
sebuah tabel yang berisi kelas premi
sebanyak �. Tingkat premi berhubungan erat
dengan setiap kelas dalam tabel tersebut.
Premi di kelas rendah tidak lebih besar
dibanding premi di kelas tinggi. Pertama kali
masuk dalam sistem bonus malus pemegang
polis berada di kelas dengan tingkat premi
100%. Kemudian, untuk periode berikutnya
kelas yang diduduki pasti berubah. Jika tidak
ada klaim maka pada periode berikutnya
pemegang polis menempati kelas yang lebih
rendah. Hal ini berarti pemegang polis
membayar premi 100% ke bawah. Premi di
bawah 100% berarti pemegang polis
mendapatkan bonus. Sebaliknya, jika ada
klaim maka pada periode berikutnya
pemegang polis menempati kelas yang lebih
tinggi sehingga pemegang polis membayar
premi 100% ke atas. Premi di atas 100%
berarti pemegang polis mendapatkan malus.
Sebuah aturan menentukan pergerakan
pemegang polis dalam sistem bonus malus
sesuai dengan banyak klaim yang dilaporkan
oleh pemegang polis ke perusahaan setiap
tahun. Aturan ini disebut aturan transisi.
Dalam karya ilmiah ini disusun sebuah
metodologi yang bertujuan untuk mengubah
suatu sistem bonus malus. Beberapa contoh
numerik digunakan untuk menjelaskan
metodologi tersebut.
Misalkan sistem bonus malus saat ini
diasumsikan sebagai berikut.
- Banyak kelas � adalah 9. Kelas minimum
adalah 0 dan kelas maksimum adalah 8.
- Pintu masuk sistem bonus malus adalah
kelas 4.
- Jika pemegang polis tidak mengajukan
klaim pada tahun tertentu maka
pemegang polis turun sebanyak satu
kelas pada tahun berikutnya.
- Jika pemegang polis mengajukan klaim
maka pemegang polis naik sebanyak tiga
kelas tiap satu klaim.
Tabel 1. Premi sistem bonus malus saat ini
1
2
3
4
5
� 0
80
90
95
100 150
�� 75
�
��
6
7
8
-
-
-
170
185
250
-
-
-
Kemudian, sistem bonus malus baru
diasumsikan sebagai berikut.
- Banyak kelas � adalah 9. Kelas minimum
adalah 0 dan kelas maksimum adalah 8.
- Pintu masuk sistem bonus malus adalah
kelas 4.
- Jika pemegang polis tidak mengajukan
klaim pada tahun tertentu maka
pemegang polis turun sebanyak satu
kelas pada tahun berikutnya.
- Jika pemegang polis mengajukan klaim
maka pemegang polis menempati kelas 8
(tanpa melihat banyaknya klaim yang
diajukan).
Tingkat premi untuk sistem bonus malus
baru tersebut (sistem bonus malus praktis)
perlu dicari.
Tabel 2. Sebaran frekuensi klaim teramati
Banyak
Banyak Pemegang
Kecelakaan
Polis
0
103704
1
14075
2
1766
3
255
4
45
5
6
6
2
6
3.2 Sebaran Hofmann
Berdasarkan Paris dan Walhin (1999b),
pembangunan sistem bonus malus optimal
bersifat tidak halus jika menggunakan
sebaran Poisson Campuran Nonparametrik.
Oleh karena itu, pembangunan sistem bonus
malus optimal dalam karya ilmiah ini
menggunakan prinsip nilai harapan dengan
fungsi peluang yang menggunakan sebaran
Hofmann.
Sebaran Hofmann didefinisikan sebagai
berikut.
Π(0, �) = � −� (�) ,
(� + 1)�(� + 1, �)
�
�� �
Γ(� + �)
��
�
�
� �(� − �, �)
=
�
(1 + ��)
Γ(�)�! 1 + ��
�=0
�
,
� ′ (�) =
(1 + ��)�
�(0) = 0.
Pendefinisian sebaran Hofmann di atas
menggunakan fungsi rekursif pada algoritme
Panjer. Pendefinisian sebaran Hofmann
tersebut dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu
dengan menggunakan bentuk turunan fungsi.
Sebaran Hofmann yang didefinisikan dalam
bentuk turunan fungsi
adalah sebagai
berikut.
Π(0, �) = � −� (�) ,
��
Π(�, �) = (−1)� Π (�) (0, �); � = 1,2, …,
�!
�
′
(�)
�
=
,
(1 + ��)�
�(0) = 0.
Turunan ke- � dari peluang Π(0, �) adalah
Π (�) (0, �). Jika bentuk � ′ (�) diintegralkan
maka dihasilkan �(�) sebagai berikut.
�(�)
��
;� = 0
⎧
�
⎪
ln(1 + ��)
;� = 1
=
�
�
⎨
⎪
[(1 + ��)1−� − 1] ; � ���������.
⎩�(1 − �)
′
Hasil penghitungan integral � (�) dapat
dilihat pada Lampiran 1.
Jika sebaran Hofmann ini dianalisis untuk
� = 0 maka sebaran ini menjadi sebaran
Poisson. Kemudian, untuk � = 1 sebaran ini
menjadi sebaran Binomial Negatif (Paris dan
Walhin (1999b)). Analisis sebaran Hofmann
untuk � = 0 dan � = 1 dapat dilihat pada
Lampiran 2.
3.3 Sistem Bonus Malus Optimal
Sistem bonus malus itu hanya tergantung
pada banyak kecelakaan yang disebabkan
oleh sesuatu yang diasuransikan pada periode
sebelumnya (Paris & Walhin (1999b)).
Sistem bonus malus optimal dipengaruhi
banyak klaim dan banyak tahun yang
teramati. Pada umumnya, banyak klaim �(�)
pada selang (0, �] dianggap sebagai proses
Poisson Campuran dengan fungsi peluang
sebagai berikut.
(Λ�)�
,
�!
∞
�
(λ�)
ℙ[�(�) = �] = Π(�, �) = � � −λ�
dU(λ),
�!
0
dengan Λ adalah peubah acak dengan fungsi
sebaran �(�).
ℙ[�(�) = �|Λ] = Π(�, �|Λ) = � −Λ�
Informasi yang mengandung banyak
kecelakaan selama � tahun pertama sangat
diperlukan untuk menghitung premi pada
tahun ke-� (premi posterior). Premi posterior
itu adalah
�[�(� + 1) − �(�)|�(�) = �]
� + 1 �(� + 1, �)
.
= �(Λ|�(�) = �) =
�(�, �)
�
Pembuktian dari rumus premi posterior dapat
dilihat pada Lampiran 3. Rumus premi
posterior ini menggunakan prinsip premi nilai
harapan.
Selanjutnya, premi prior ditetapkan
sebesar 100% sehingga disusun sebuah tabel
bonus malus optimal yang terdiri dari dua
entri, yaitu entri � dan entri �. Entri �
menyatakan banyak tahun yang diamati dan
entri � menyatakan banyak klaim yang
diamati. Dalam karya ilmiah ini dipilih nilai
� = 1,2, … ,10 dan � = 0,1, … ,4. Nilai premi
dalam tabel bonus malus optimal untuk setiap
� dan � ditulis dengan rumus sebagai berikut:
100 �+1 �(�+1,�)
.
(3.1)
�(�,�) =
�Λ
�
�(� ,�)
Tabel 3. Kerangka sistem bonus malus
optimal
�/�
1
2
2
�(0,1)
�(1,1)
�(2,1)
�(3,1)
�(4,1)
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
10
0
�(0,2)
�(0,10)
�(1,2)
3
�(2,2)
4
�(3,2)
�(1,10) �(2,10) �(3,10)
�(4,2)
�(4,10)
Nilai �(�, �) untuk menghitung premi
sistem bonus malus optimal dihitung
berdasarkan sebaran Hofmann. Namun,
masalahnya adalah sebaran frekuensi klaim
yang dilaporkan menggunakan sebaran
Poisson Campuran Nonparametrik sehingga
parameter sebaran Hofmann (�, �, dan �)
dicari dengan pemasangan tiga momen
pertama dari sebaran Poisson Campuran
Nonparametrik dan sebaran Hofmann, yaitu:
�
� �� �� = �,
� =1
7
�
� �� �� ��� + 1� = � + ��� + �2 ,
� =1
�
� �� �� ��� 2 + 3�� + 1� = �(� + ���)
� =1
+�(1 + �)2 + ���(1 + �) + (1 + �)�� 2 �.
Dengan menggunakan rumus tersebut maka
diperoleh nilai � = 0.2223, � = 0.1897, � =
1.0452. Uraian untuk memperoleh nilai
parameter sebaran Hofmann ini dapat dilihat
pada Lampiran 4.
Perhatikan
bahwa
rumus
untuk
menghitung premi dalam tabel bonus malus
optimal di atas berdasarkan prinsip nilai
harapan. Prinsip premi lainnya juga dapat
digunakan untuk menyusun tabel bonus
malus optimal. Dalam Paris dan Walhin
(1999b), prinsip utilitas nol dengan sebuah
fungsi utilitas eksponensial digunakan untuk
menyusun tabel bonus malus optimal.
Sedangkan, dalam Paris dan Walhin (1999a),
tabel bonus malus optimal diperoleh dengan
menggunakan sebaran kerugian ekponensial.
Namun, contoh numerik menunjukan bahwa
penghitungan premi bonus malus optimal
dengan menggunakan berbagai prinsip premi
tersebut tidak menghasilkan tabel yang
berbeda secara signifikan.
3.4 Kelaparan Bonus dan Sebaran
Frekuensi Klaim Aktual
Jika perusahaan asuransi menggunakan
sistem bonus malus yang bebas dari besaran
klaim maka seorang pemegang polis
cenderung untuk tidak melaporkan klaim
yang berukuran kecil. Hal ini berarti
pemegang polis lebih memilih untuk
menanggung resiko daripada melaporkannya
ke perusahaan asuransi sehingga harus
membayar premi yang lebih tinggi pada
periode berikutnya karena mendapatkan
malus. Lemaire (1977) menyebutkan fakta
seperti ini adalah kelaparan bonus.
Algoritme Lemaire (1977) memberikan
retensi optimal dari pengendara sebagai
fungsi tingkat preminya. Algoritme itu
memiliki hipotesis-hipotesis sebagai berikut.
- Sebuah sistem bonus malus terdiri dari �
kelas � = 0, … . , � − 1.
- Frekuensi
klaim
pemegang
polis
menyebar Poisson dengan nilai harapan �.
- Sebaran besaran klaim adalah � dengan
fungsi sebaran kumulatif adalah �� (�).
- Ramalan tingkat diskon untuk masa depan
dilambangkan dengan �.
- Waktu tersisa hingga pembayaran premi
berikutnya adalah 1 − � dengan 0 ≤ � < 1.
Sebagai contoh numerik berkaitan hipotesis
algoritme tersebut maka digunakan data,
nilai, atau asumsi sebagai berikut.
- Sistem bonus malus diberikan pada Tabel
6.
- Sebaran besaran klaim � adalah menyebar
eksponensial dengan nilai harapan �:
�� (�) = � 1 − �
0
�
−
�
;� ≥ 0
; � < 0.
- Sebaran besaran klaim aktual adalah
eksponensial dengan parameter � = 84.86,
1
� = 6%, dan � = .
2
- Proporsi �� , � = 1, … , � tetap sama baik
frekuensi klaim aktual maupun yang
teramati.
Misalkan �� adalah parameter Poisson dari
pemegang polis ke-� untuk peubah acak yang
merepresentasikan banyak klaim yang
dilaporkan dalam sistem bonus malus saat ini.
Berdasarkan data sebaran frekuensi klaim
yang teramati pada Tabel 2 maka diperoleh
�1 = 0.05461, �2 = 0.24599, �3 = 0.95618,
�1 = 0.56189, �2 = 0.41463, �3 = 0.02348.
Uraian ini dapat dilihat pada Lampiran 5.
Nilai-nilai tersebut memiliki arti bahwa
dalam sistem bonus malus ini terdapat tiga
jenis pengendara dengan penjelasan bahwa
56% pengendara menunjukkan frekuensi
klaim sebesar 0.05461, sekitar 41%
pengendara menunjukkan frekuensi klaim
sebesar 0.24599 dan sekitar 2% menunjukkan
frekuensi klaim sebesar 0.95618. Pada
umumnya ada � jenis pengendara. Dalam
karya ilmiah ini dibahas tiga jenis
pengendara.
Penghitungan sebaran stasioner dan
sebaran transien dalam karya ilmiah ini
menggunakan asumsi bahwa dalam satu
tahun banyaknya kecelakaan itu menyebar
Poisson. Karena terdapat tiga jenis
pengendara maka diperoleh tiga jenis sebaran
stasioner dan tiga jenis sebaran transien.
Adapun rumus-rumus yang dipakai dalam
penghitungan sebaran stasioner dan sebaran
transien adalah sebagai berikut.
�∞ (�) = lim� →∞ (� � )� �0 (�) ; �0 diberikan,
�� (�) = (� � )� �0 (�),
keterangan:
�� : transpos dari matriks transisi,
�∞ (�): sebaran stasioner untuk � tertentu,
�� (�): sebaran transien
BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN SEBARAN
HOFMANN
HERU
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
18
Lampiran 6 Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien
A.
Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk �1 = 0.05461
19
20
21
22
23
24
B.
Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk �2 = 0.24599
25
26
27
28
29
30
C.
Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk �3 = 0.95618
31
32
33
34
35
36
Lampiran 7 Penghitungan premi sistem bonus malus optimal dengan nilai � = 0,1,2,3,4 dan
� = 1,2,3, … ,10
37
38
39
40
41
42
43
Lampiran 8 Penghitungan nilai peluang �(�, �, �) yang digunakan dalam program Lingo 11
untuk mencari premi sistem bonus malus praktis dalam Lampiran 9
44
�=0
�=1
45
46
47
48
�=2
49
50
51
52
53
54
�=3
55
56
57
58
59
60
�=4
61
62
63
64
65
66
Lampiran 9 Program Lingo 11 untuk menyelesaikan masalah pengoptimum sehingga diperoleh
premi setiap kelas
untuk �1 = 0.05461
MODEL:
sets:
banyakklaim/0,1,2,3,4/;
tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/;
kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:C,etakhingga,enol,e2transien,e4transien;
links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w;
links2(banyakklaim,tahunklaim):P;
endsets
DATA:
w=0 0 0 0.856303 0 0 0 0 0 0 0 0.733255 0 0 0 0 0 0 0 0.627889 0 0 0 0 0 0 0
0.537663 0 0 0 0 0 0 0 0 0.460403 0 0 0 0 0 0 0 0 0.394244 0 0 0 0 0 0 0 0
0.337593 0 0 0 0 0 0 0 0 0.289082 0 0 0 0 0 0 0 0 0.247542 0 0 0 0 0 0 0 0
0.211971 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.132839 0 0 0 0 0 0 0 0.11375 0.11375
0 0 0 0 0 0 0.0974049 0.0974049 0.0974049
0 0 0 0 0 0.0834081 0.0834081
0.0834081 0.0834081 0 0 0 0 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0 0
0 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0 0 0.052371
0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0 0.0448455 0.0448455
0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013
0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663
0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832
0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0
0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871
0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385
0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865
0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923
0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931
0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753
0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613
0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0
0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633
0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0
0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056
0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872
0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983
0.000154025 0.00107817 0.00292647 0.00569892 0.00939551 0.0140163 0.0195611
0.0260302 0.0334234 0.00105514 0.00250595 0.00488 0.00804541 0.0120022 0.0167503
0.0222897 0.0286205 0.0357427 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000206637 0 0 0 0 0 0 0
0.0000176944 0.000265416 0 0 0 0 0 0 0.0000151518 0.000227276 0.000984864 0 0 0 0
0 0.0000129745 0.000194618 0.000843343 0.00227054 0 0 0 0 0.0000111101 0.000166652
0.000722157 0.00194427 0.00409963 0 0 0 0.00000951362 0.000142704 0.000618385
0.00166488 0.00351053 0.00638364 0 0 0.00000814654 0.000122198 0.000529525
0.00142565
0.00300607
0.00546633
0.00900193
0
0.00000697591
0.000104639
0.000453434 0.00122078 0.00257411 0.00468084 0.00770838 0.0118242 0.00000597349
0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251
0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221
0.00867013 0.0126088 0.0175909;
P=83 71 62 55 40 45 41 38 53 33
158 136 119 106 96 87 80 74 68 64
232 199 175 156 140 128 117 108 101 94
305 262 230 205 185 168 154 143 133 124
377 325 285 254 229 209 192 177 164 154;
etakhingga=
0.646049,0.0362619,0.0382972,0.0404467,0.042717,0.0451146,0.0476468,0.0503212,0.05
31457;
enol= 0.5729,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516;
e2transien=
0.62327,0.0702882,0.037744,0.0395371,0.0409716,0.0384613,0.0462611,0.0503212,0.053
1457;
e4transien=
0.655637,0.0354463,0.0367324,0.0344818,0.0414746,0.0451146,0.0476468,0.0503212,0.0
531457;
ENDDATA
MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum(tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)C(i))^2)));
@for(kelas(i):@gin(C(i)));
C(5)=100;
C(2)>=C(1);
C(3)>=C(2);
C(4)>=C(3);
67
C(5)>=C(4);
C(6)>=C(5);
C(7)>=C(6);
C(8)>=C(7);
C(9)>=C(8);
@sum(kelas(i):etakhingga(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):enol(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e2transien(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e4transien(i)*C(i))>=100;
Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas
Local optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
C( 1)
C( 2)
C( 3)
C( 4)
C( 5)
C( 6)
C( 7)
C( 8)
C( 9)
untuk �2 = 0.24599
12617.16
12617.16
0.000000
122
2394
Value
94.00000
94.00000
94.00000
97.00000
100.0000
115.0000
119.0000
125.0000
135.0000
Reduced Cost
250.4333
45.42039
39.42183
30.43267
0.000000
18.21178
18.02513
17.47924
22.02185
MODEL:
sets:
banyakklaim/0,1,2,3,4/;
tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/;
kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:C,etakhingga,enol,e2transien,e4transien;
links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w;
links2(banyakklaim,tahunklaim):P;
endsets
DATA:
w=0 0 0 0.856303 0 0 0 0 0 0 0 0.733255 0 0 0 0 0 0 0 0.627889 0 0 0 0 0 0 0
0.537663 0 0 0 0 0 0 0 0 0.460403 0 0 0 0 0 0 0 0 0.394244 0 0 0 0 0 0 0 0
0.337593 0 0 0 0 0 0 0 0 0.289082 0 0 0 0 0 0 0 0 0.247542 0 0 0 0 0 0 0 0
0.211971 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.132839 0 0 0 0 0 0 0 0.11375 0.11375
0 0 0 0 0 0 0.0974049 0.0974049 0.0974049 0 0 0 0 0 0.0834081 0.0834081 0.0834081
0.0834081 0 0 0 0 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0 0 0
0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0 0 0.052371 0.052371
0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0 0.0448455 0.0448455 0.0448455
0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013 0.0384013
0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663 0.0328832
0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832
0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0
0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871
0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385
0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865
0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923
0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931
0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753
0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613
0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0
0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633
0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0
0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056
0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872
0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983
0.000154025 0.00107817 0.00292647 0.00569892 0.00939551 0.0140163 0.0195611
0.0260302 0.0334234 0.00105514 0.00250595 0.00488 0.00804541 0.0120022 0.0167503
0.0222897 0.0286205 0.0357427 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000206637 0 0 0 0 0 0 0
0.0000176944 0.000265416 0 0 0 0 0 0 0.0000151518 0.000227276 0.000984864 0 0 0 0
0 0.0000129745 0.000194618 0.000843343 0.00227054 0 0 0 0 0.0000111101 0.000166652
0.000722157 0.00194427 0.00409963 0 0 0 0.00000951362 0.000142704 0.000618385
0.00166488 0.00351053 0.00638364 0 0 0.00000814654 0.000122198 0.000529525
0.00142565
0.00300607
0.00546633
0.00900193
0
0.00000697591
0.000104639
0.000453434 0.00122078 0.00257411 0.00468084 0.00770838 0.0118242 0.00000597349
68
0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251
0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221
0.00867013 0.0126088 0.0175909;
P=83 71 62 55 40 45 41 38 53 33
158 136 119 106 96 87 80 74 68 64
232 199 175 156 140 128 117 108 101 94
305 262 230 205 185 168 154 143 133 124
377 325 285 254 229 209 192 177 164 154;
etakhingga=
0.139747,0.0389737,0.0498429,0.0637434,0.0815206,0.104256,0.133331,0.170515,0.2180
7;
enol= 0.5729,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516;
e2transien=
0.425055,0.0479349,0.0257406,0.0269634,0.0279416,0.0262297,0.031549,0.170515,0.218
07;
e4transien=
0.304931,0.0164858,0.0170839,0.0160372,0.0192895,0.104256,0.133331,0.170515,0.2180
7;
ENDDATA
MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum(tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)C(i))^2)));
@for(kelas(i):@gin(C(i)));
C(5)=100;
C(2)>=C(1);
C(3)>=C(2);
C(4)>=C(3);
C(5)>=C(4);
C(6)>=C(5);
C(7)>=C(6);
C(8)>=C(7);
C(9)>=C(8);
@sum(kelas(i):etakhingga(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):enol(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e2transien(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e4transien(i)*C(i))>=100;
Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas
Local optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
C( 1)
C( 2)
C( 3)
C( 4)
C( 5)
C( 6)
C( 7)
C( 8)
C( 9)
untuk �3 = 0.95618
12599.09
12599.09
0.000000
10
484
Value
93.00000
93.00000
93.00000
100.0000
100.0000
118.0000
122.0000
127.0000
137.0000
Reduced Cost
245.2390
43.87363
37.50249
37.55159
0.000000
21.97938
23.03758
21.85152
27.66657
MODEL:
sets:
banyakklaim/0,1,2,3,4/;
tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/;
kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:C,etakhingga,enol,e2transien,e4transien;
links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w;
links2(banyakklaim,tahunklaim):P;
endsets
DATA:
w=0 0 0 0.856303 0 0 0 0 0 0 0 0.733255 0 0 0 0 0 0 0 0.627889 0 0 0 0 0 0 0
0.537663 0 0 0 0 0 0 0 0 0.460403 0 0 0 0 0 0 0 0 0.394244 0 0 0 0 0 0 0 0
0.337593 0 0 0 0 0 0 0 0 0.289082 0 0 0 0 0 0 0 0 0.247542 0 0 0 0 0 0 0 0
0.211971 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.132839 0 0 0 0 0 0 0 0.11375 0.11375
0 0 0 0 0 0 0.0974049 0.0974049 0.0974049 0 0 0 0 0 0.0834081 0.0834081 0.0834081
0.0834081 0 0 0 0 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0 0 0
0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0 0 0.052371 0.052371
0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0 0.0448455 0.0448455 0.0448455
69
0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013 0.0384013
0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663 0.0328832
0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832
0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0
0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871
0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385
0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865
0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923
0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931
0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753
0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613
0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0
0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633
0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0
0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056
0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872
0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983
0.000154025 0.00107817 0.00292647 0.00569892 0.00939551 0.0140163 0.0195611
0.0260302 0.0334234 0.00105514 0.00250595 0.00488 0.00804541 0.0120022 0.0167503
0.0222897 0.0286205 0.0357427 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000206637 0 0 0 0 0 0 0
0.0000176944 0.000265416 0 0 0 0 0 0 0.0000151518 0.000227276 0.000984864 0 0 0 0
0 0.0000129745 0.000194618 0.000843343 0.00227054 0 0 0 0 0.0000111101 0.000166652
0.000722157 0.00194427 0.00409963 0 0 0 0.00000951362 0.000142704 0.000618385
0.00166488 0.00351053 0.00638364 0 0 0.00000814654 0.000122198 0.000529525
0.00142565
0.00300607
0.00546633
0.00900193
0
0.00000697591
0.000104639
0.000453434 0.00122078 0.00257411 0.00468084 0.00770838 0.0118242 0.00000597349
0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251
0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221
0.00867013 0.0126088 0.0175909;
P=83 71 62 55 40 45 41 38 53 33
158 136 119 106 96 87 80 74 68 64
232 199 175 156 140 128 117 108 101 94
305 262 230 205 185 168 154 143 133 124
377 325 285 254 229 209 192 177 164 154;
etakhingga=0.000476311,0.000762925,0.00198493,0.00516428,0.0134361,0.0349572,0.090
9496,0.236627,0.615642;
enol= 0.5729,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516;
e2transien=0.102703,0.0115821,0.00621949,0.00651495,0.00675132,0.00633767,0.007622
94,0.236627,0.615642;
e4transien=
0.0178023,0.000962462,0.000997382,0.000936273,0.00112615,0.0349572,0.0909496,0.236
627,0.615642;ENDDATA
MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum(tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)C(i))^2)));
@for(kelas(i):@gin(C(i)));
C(5)=100;
C(2)>=C(1);
C(3)>=C(2);
C(4)>=C(3);
C(5)>=C(4);
C(6)>=C(5);
C(7)>=C(6);
C(8)>=C(7);
C(9)>=C(8);
@sum(kelas(i):etakhingga(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):enol(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e2transien(i)*C(i))>=100;
@sum(kelas(i):e4transien(i)*C(i))>=100;
Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas
Local optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
C( 1)
C( 2)
C( 3)
C( 4)
12599.09
12599.09
0.000000
10
482
Value
93.00000
93.00000
93.00000
100.0000
Reduced Cost
245.2390
43.87363
37.50249
37.55159
70
C(
C(
C(
C(
C(
5)
6)
7)
8)
9)
100.0000
118.0000
122.0000
127.0000
137.0000
0.000000
21.97938
23.03758
21.85152
27.66657
71
Lampiran 10
A.
Algoritme Lemaire untuk menghitung retensi limit optimal dari pemegang polis
dalam sistem bonus malus dengan �1 = 0.05461
Retensi limit optimal untuk � = 0
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
B.
Retensi limit optimal untuk � > 0
94
95
ABSTRAK
HERU. Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus Malus Optimal dengan
Menggunakan Sebaran Hofmann. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN
MANGKU.
Sistem bonus malus praktis lebih mudah diaplikasikan dalam dunia nyata karena jumlah kelas
yang berhingga. Premi sistem bonus malus praktis dapat dihitung dengan cara meminimumkan
jarak antara premi sistem bonus malus praktis dengan premi sistem bonus malus optimal yang
bersesuaian. Premi sistem bonus malus optimal dapat dihitung menggunakan sebaran Hofmann.
Prinsip nilai harapan merupakan salah satu prinsip yang digunakan untuk menghitung premi
sistem bonus malus optimal. Terdapat sistem bonus malus yang hanya mempertimbangkan
banyaknya klaim tanpa mempertimbangkan besaran klaim. Fenomena pemegang polis tidak
melaporkan klaim yang berukuran kecil karena ingin mendapatkan bonus disebut kelaparan bonus.
Retensi limit optimal berfungsi sebagai indikator layak atau tidaknya suatu biaya klaim dilaporkan
ke perusahaan. Nilai retensi limit suatu sistem bonus malus praktis dapat dihitung untuk setiap
kelasnya. Algoritme Lemaire digunakan untuk menghitung nilai retensi limit optimal tersebut.
Kata kunci: sebaran Hofmann, sistem bonus malus optimal, sistem bonus malus praktis, kelaparan
bonus, algoritme Lemaire.
ABSTRACT
HERU. Construction of a Practical Bonus Malus System from an Optimal Bonus Malus System
by Using the Hofmann Distribution. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and I
WAYAN MANGKU.
A practical bonus malus system is more easily applied in the real world because it has a finite
number of classes. Premium of a practical bonus malus system can be calculated by minimizing
the distance between the premium of a practical bonus malus system and the premium of its
corresponding optimal bonus malus system. Premium of an optimal bonus malus system can be
calculated using the Hofmann distribution. The expected value principle is one of the principles to
calculate the premium of an optimal bonus malus system. There is a bonus malus system that
considers only the number of claims without considering the amount of the claims. The
phenomenon that policyholders are not reporting small claims because they want to get a bonus is
called bonus hunger. Optimal retention limit serves as an indicator of the viability whether the
claims should be reported or not to the company. The value of retention limit of a practical bonus
malus system can be calculated for each class. The Lemaire’s algorithm was used to calculate the
optimal retention limit.
Keywords: Hofmann distribution, optimal bonus malus system, practical bonus malus system,
hunger for bonus, Lemaire’s algorithm.
PEMBANGUNAN SISTEM BONUS MALUS PRAKTIS DARI SISTEM
BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN SEBARAN
HOFMANN
HERU
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul Skripsi : Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus
Malus Optimal dengan Menggunakan Sebaran Hofmann
Nama
: Heru
NIM
: G54080078
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 19651218 199002 1 001
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 19620305 198703 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta
shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu
penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta: Ayah, Ibu, dan adikku yang selalu memberikan doa, motivasi, dukungan,
kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya, serta keluarga besar baik dari Ayah maupun dari
Ibu terima kasih atas doanya.
2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing I, terima kasih atas semua ilmu,
waktu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing II, terima kasih atas semua ilmu,
waktu, saran, dan motivasinya selama penulisan skripsi ini.
4. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu, waktu, saran dan
motivasinya.
5. Semua dosen Departemen Matematika FMIPA IPB, terimakasih atas semua ilmu dan nasihat
yang diberikan.
6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni,
dan lainnya, terima kasih atas bantuan dan motivasinya.
7. Sahabat Chevron Geothermal Salak: Pak Dali, Pak Gita, Mas Ferdes, Mas Reza, Mas Hasan,
Mas Fahri, Irpan, Ka Zaenal, Ka Haikal, Ka Ikhwan, Rhandy, Rizky, Esih, Yani, Nandi, Mella,
dan lainnya.
8. Sahabat Beasiswa Perfetti Vanmelle: Pak Anang, Bu Nuning, Pak Ari, Bu Risa, Sarwanto,
Didin, Erna, Miftah, Siti, Dina, Arina, Aisyah, dan lainnya.
9. Kakak-kakak Matematika angkatan 42, 43, dan 44: Ka Iput, Ka Kabil, Ka endru, Ka Nyoman,
Ka Ruhiyat, Ka Iam, Ka Ririh, Ka Lingga, Ka Abe, Ka Fajar, Ka Wahyu, Ka Wenti dan
lainnya, terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya.
10. Teman-teman Matematika angkatan 45: Herlan, Prama, Rian, Bram, Khafidz, Kunedi, Wijay,
Haryanto, Ari, Dono, Irwan, Ridwan, Hadi, Fikri, Ali, Irma, Rianiko, Ito, Beni, Izzudin,
Risman, Wahidi, Chastro, Arbi, Hendri, Dimas, Nurul, Dini, Nova, Agustina, Putri, Devita,
Anisa, Haya, Isna, Vivi, Wulan, Fenny, Aci, Bolo, Gita, Mega, Ana, Yunda, Fitriyah, Anggun,
Tiwi, Pipin, Ade, Finata, Fuka, Dewi, Mya, Rini, Meidina, dan lainnya, terima kasih atas doa,
semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya.
11. Adik-adik Matematika angkatan 46: Yoyok, Dio, Rio, Dayat, Andri, Galih, avendi, Rudi,
Syaepul, Dian, Ihsan, Hendra, Fenny, Windi, Irma, Desyi, Tita, Dita, Ivon, Mirna, Melisa,
Rahmi, dan lainnya, terimakasih atas dukungan dan doanya.
12. Sahabat kontrakan 178: Umar, Watri, Joni, Adit, Hisar, Wendi dan Enduy, terima kasih atas
doa, semangat, dukungan, kebersamaan, dan bantuannya.
13. Sahabat Sainstek BEM FMIPA IPB: Budi, Aya, Erna, Desi, Santia, Dio, Meita, Helen dan
Hana, terima kasih atas motivasi dan kebersamaannya.
14. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh
karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari semua pihak. Semoga
karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan terutama ilmu matematika.
Bogor, Desember 2012
Heru
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 25 Oktober 1989 dari bapak Nana dan ibu Ojah.
Penulis merupakan putra pertama dari dua bersaudara.
Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kabandungan dan pada tahun yang sama diterima
sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri
(SNMPTN). Penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Kalkulus II (S-1)
pada semester ganjil tahun akademik 2010-2011, asisten dosen mata kuliah Persamaan Diferensial
Biasa (S-1) pada semester genap tahun akademik 2010-2011, serta asisten dosen mata kuliah
Persamaan Diferensial Parsial (S-1) pada semester ganjil tahun akademik 2011-2012. Selama
kuliah penulis mendapatkan beasiswa dari Chevron Geothermal Salak, Ltd.
Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah menjadi Staf Departemen
Keilmuan Gumatika (Gugusan Mahasiswa Matematika) Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor pada periode 2009-2010 dan Staf Departemen Sains
dan Teknologi Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Pertanian Bogor pada periode 2010-2011. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam
beberapa kegiatan kepanitiaan antara lain: Kepala Divisi Logistik dan Transportasi Pekan Ilmiah
Mahasiswa FMIPA IPB tahun 2011, Kepala Divisi Publikasi, Dekorasi dan Dokumentasi IPB
OPEN (Kompetisi Catur Nasional) tahun 2010, Tim khusus Matematika Ria tahun 2010, serta Staf
Divisi Logistik dan Transportasi Pesta Sains IPB tahun 2011.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ...................................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. viii
I
PENDAHULUAN .............................................................................................................
1.1 Latar Belakang ..........................................................................................................
1.2 Tujuan .......................................................................................................................
1
1
1
II
LANDASAN TEORI .........................................................................................................
2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .......................................................................
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran .............................................................................
2.3 Nilai Harapan, Ragam, dan Momen ..........................................................................
2.4 Fungsi Kemungkinan ................................................................................................
2.5 Proses Stokastik dan Rantai Markov .........................................................................
2
2
2
3
4
4
III
HASIL DAN PEMBAHASAN .........................................................................................
3.1 Sistem Bonus Malus Lama dan Sistem Bonus Malus Praktis ...................................
3.2 Sebaran Hofmann ......................................................................................................
3.3 Sistem Bonus Malus Optimal ....................................................................................
3.4 Kelaparan Bonus dan Sebaran Frekuensi Klaim Aktual ...........................................
3.5 Sistem Bonus Malus Praktis ......................................................................................
3.6 Tahapan untuk Menemukan Premi Sistem Bonus Malus Praktis ..............................
3.7 Algoritme Lemaire untuk Penentuan Retensi Limit Optimal ....................................
5
5
6
6
7
8
9
10
IV SIMPULAN .......................................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................
LAMPIRAN ...............................................................................................................................
12
12
13
vii
DAFTAR TABEL
Halaman
1
Premi sistem bonus malus saat ini ......................................................................................
5
2
Sebaran frekuensi klaim teramati .....................................................................................
5
3
Kerangka sistem bonus malus optimal ..............................................................................
6
4
Nilai premi yang pararel dengan nilai premi sistem bonus malus optimal ........................
8
5
Premi sistem bonus malus optimal ....................................................................................
9
6
Sistem bonus malus praktis untuk �1 = 0.05461 ..............................................................
9
8
Sistem bonus malus praktis untuk �2 = 0.24599
9
Sistem bonus malus praktis untuk �3 = 0.95618 .............................................................
Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus
10
10
dengan �1 = 0.05461 dan � = 0 .....................................................................................
dengan �1 = 0.05461 dan � > 0 .....................................................................................
11
7
...........................................................
10
10
Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
Pembuktian hasil integral pada sebaran Hofmann .............................................................
14
2
Analisis sebaran Hofmann untuk � = 0 dan � = 1 ...........................................................
15
3
Pembuktian rumus untuk premi posterior ..........................................................................
4
Penghitungan nilai parameter sebaran Hofmann dengan pemasangan tiga momen
pertama dari sebaran Poisson Campuran Nonparametrik dan sebaran Hofmann .............
5
16
16
Pendugaan Kemungkinan Maksimum untuk mencari sebaran frekuensi klaim
yang dilaporkan beserta peluangnya .................................................................................
17
6
Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien ........................................................
18
7
Penghitungan premi sistem bonus malus optimal ..............................................................
36
8
43
9
Penghitungan nilai peluang �(�, �, �) ................................................................................
Program LINGO 11 untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman ................................
66
10
Algoritme Lemaire untuk menghitung retensi limit optimal dari pemegang polis ...........
71
viii
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Asuransi merupakan perjanjian antara
dua pihak, yaitu pihak tertanggung dan
pihak penanggung. Pihak penanggung
memiliki kewajiban untuk menanggung
segala bentuk kerugian, kecelakaan,
kerusakan atau kehilangan keuntungan yang
dialami pihak tertanggung. Sementara itu,
pihak tertanggung memiliki kewajiban untuk
membayar sejumlah uang yang merupakan
imbalan untuk pihak penanggung karena
pihak penanggung telah menjadi tempat
pengalihan resiko dari pihak tertanggung.
Sejumlah uang yang dibayarkan oleh pihak
tertanggung kepada pihak penanggung
secara berkala disebut premi asuransi.
Sistem asuransi juga dilengkapi oleh aturanaturan yang mengikat kedua belah pihak.
Aturan-aturan ini disebut polis asuransi.
Perkembangan ilmu aktuaria semakin
memperkaya sistem asuransi yang dianut
oleh perusahaan-perusahaan asuransi. Salah
satu sistem asuransi yang sudah terkenal
adalah sistem bonus malus.
Sistem bonus malus merupakan sistem
asuransi dimana besarnya premi yang
dibayarkan pihak tertanggung kepada pihak
penanggung berubah sesuai dengan banyak
klaim yang diajukan oleh pihak tertanggung
pada periode sebelumnya. Jika periode
sekarang pemegang polis tidak mengajukan
klaim maka pemegang polis mendapat bonus
pada periode berikutnya. Namun, jika
periode
sekarang
pemegang
polis
mengajukan klaim maka pemegang polis
mendapatkan
malus
pada
periode
berikutnya. Sistem bonus malus juga
dilengkapi oleh pembagian kelas premi.
Kelas premi ini berbanding lurus dengan
besarnya premi yang harus dibayarkan oleh
pihak tertanggung. Dengan kata lain,
semakin tinggi kelas premi maka semakin
besar premi yang harus dibayarkan oleh
pihak tertanggung dan semakin rendah kelas
premi maka semakin rendah pula premi yang
harus dibayarkan oleh pihak tertanggung.
Karya
ilmiah
ini
menjelaskan
pembangunan sistem bonus malus praktis.
Sistem bonus malus praktis lebih mudah
diaplikasikan dalam dunia nyata karena
jumlah kelas yang hingga. Sebaran Hofmann
yang dipilih sebagai sebaran untuk
membangun tabel bonus malus optimal juga
dibahas dalam karya ilmiah ini. Perlu
diketahui bahwa untuk mendapatkan tabel
bonus malus praktis diperlukan tabel bonus
malus optimal. Rujukan utama dari karya
ilmiah ini adalah jurnal karangan Paris dan
Walhin (2001) yang berjudul “ The Practical
Replacement of a Bonus-Malus System”.
Meskipun demikian, sebagian metode
pemecahan masalah dalam karya ilmiah ini
tidak sama dengan jurnal rujukan tersebut.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
sebagai berikut.
1. Mempelajari penentuan premi pada
sistem bonus malus optimal dengan
menggunakan sebaran Hofmann.
2. Mempelajari penentuan premi pada
sistem bonus malus praktis dari
sistem bonus malus optimal.
3. Mempelajari
pengaruh
sebaran
transien dan sebaran stasioner
terhadap sistem bonus malus praktis.
4. Mempelajari Algoritme Lemaire
untuk menghitung retensi limit
optimal.
II LANDASAN TEORI
2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali
dilakukan pengulangan yang dilakukan
dalam kondisi yang sama. Semua
kemungkinan hasil yang akan muncul adalah
diketahui, tetapi hasil pada percobaan
berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat.
Percobaan semacam ini disebut percobaan
acak.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan
hasil dari suatu percobaan acak disebut
ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu
kejadian � adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-� adalah suatu himpunan ℱ yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
dari ruang contoh Ω, yang memenuhi
kondisi berikut:
1.
2.
3.
∅ ∈ ℱ,
Jika � ∈ ℱ maka �� ∈ ℱ,
Jika �1 , �2 , … ∈ ℱ maka ⋃∞
�=1 �� ∈
ℱ.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah Medan-� dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
fungsi �: ℱ → [0,1] pada (Ω, ℱ) yang
memenuhi:
1.
2.
�(∅) = 0, �(Ω) = 1,
adalah
Jika
�1 , �2 , … ∈ ℱ
himpunan yang saling lepas yaitu
�� ∩ �� = ∅ untuk setiap pasangan
� ≠ �,
maka
�(⋃∞
�=1 �� ) =
∞
∑�=1 �(�� ).
(Grimmett & Stirzaker 1992)
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
fungsi �: Ω → ℝ dengan sifat {� ∈
Ω: X(�) ≤ x} ∈ ℱ untuk setiap � ∈ ℝ.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 6 (Fungsi Sebaran)
Misalkan � adalah suatu peubah acak
dengan ruang contoh Ω. Misalkan kejadian
� = (−∞, �] ⊂ Ω maka peluang dari
kejadian � adalah
�� (�) = �(� ≤ �) = �� (�).
Fungsi �� disebut fungsi sebaran dari
peubah acak �.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 7 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak � dikatakan diskret jika
nilainya hanya pada himpunan bagian yang
terhitung dari ℝ.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Catatan:
Suatu himpunan
terhitung jika �
bilangan
atau
dikorespondensikan
bulat positif.
bilangan � disebut
terdiri atas terhingga
anggota
�
dapat
1-1 dengan bilangan
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak � dikatakan kontinu jika
ada fungsi �� (�) sehingga fungsi sebaran
�
�� (�) = � �� (�)��,
−∞
� ∈ ℝ dengan �: ℝ → [0, ∞) adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi � disebut fungsi
kepekatan peluang dari �.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 9 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak
diskret � adalah fungsi �: ℝ → [0,1] yang
diberikan oleh
�� (�) = �(� = �).
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 5 (Peubah Acak)
Definisi 10 (Fungsi Sebaran Bersama Dua
Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah Medan-� dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak � adalah suatu
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak
� dan � merupakan suatu fungsi �: ℝ2 →
[0,1] yang didefinisikan sebagai
3
��� (�, �) = �(� ≤ �, � ≤ �).
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang
Bersama dan Marjinal)
Misalkan � dan � peubah acak diskret,
maka fungsi massa peluang bersama dari �
dan � adalah
��� (�, �) =
� 2 ��� (�, �)
,
����
dan fungsi massa peluang marjinal dari
peubah acak � adalah
�� (�) = � ��� (�, �).
�
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 12 (Fungsi Kepekatan Peluang
Bersyarat)
Jika � dan � adalah peubah acak kontinu
dan fungsi kepekatan peluang marjinal dari
� adalah �� (�) > 0 maka fungsi kepekatan
peluang bersyarat dari � dengan syarat
� = � adalah
��� (�, �)
.
��|� (�|�) =
�� (�)
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 13 (Sebaran Poisson)
Suatu peubah acak � dikatakan
menyebar Poisson dengan parameter �, jika
memiliki fungsi massa peluang:
�� (�, �) =
dengan � > 0.
� −� ��
; � = 0,1,2, …,
�!
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Sebaran Binomial Negatif)
Suatu peubah acak � dikatakan
menyebar
Binomial
Negatif dengan
parameter � dan �, dinotasikan BN(�, �) jika
memiliki fungsi massa peluang
�� (�) = �[� = �] = �
�+�−1 � �
�� � ;
�
� = 0,1,2, .. dengan � > 0, 0 < � < 1 dan
� = 1 − �.
(Hogg et al. 2005)
2.3 Nilai Harapan, Ragam dan Momen
Definisi 15 (Nilai Harapan)
1. Jika � adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang �� (�),
maka nilai harapan dari �, didefinisikan
sebagai
�(�) = � � �� (�),
�
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika � adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang �� (�),
maka nilai harapan dari � adalah
∞
�(�) = � ��� (�)��,
asalkan integral
mutlak.
−∞
di
atas
konvergen
(Hogg et al. 2005)
Definisi 16 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan � dan � adalah peubah acak
kontinu dan ��|� (�|�) adalah fungsi
kepekatan peluang bersyarat dari � dengan
syarat � = �, maka nilai harapan dari �
dengan syarat � = � adalah
∞
�[�|� = �] = � ���|� (�|�)��.
−∞
(Hogg et al. 2005)
Definisi 17 (Ragam)
Ragam dari peubah acak � adalah nilai
harapan kuadrat selisih antara � dengan nilai
harapannya. Secara matematis dapat
dituliskan sebagai
���(�) = �[(� − �[�])2 ]
= �[� 2 ] − (�[�])2 .
(Hogg et al. 2005)
4
Definisi 18 (Momen)
2.4 Fungsi Kemungkinan
1. Jika � adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang �� (�),
maka momen ke-� dari �, didefinisikan
sebagai
Definisi 20 (Fungsi Kemungkinan)
�(�
2.
�)
∞
= � ��� �� (�� ),
�=1
jika jumlah di atas konvergen. Jika
jumlah di atas divergen, maka momen
ke-� dari peubah acak � adalah tidak
ada.
Jika � adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang �� (�),
maka momen ke-� dari � didefinisikan
sebagai
�(�
�)
∞
= � � � �� (�)�� ,
−∞
jika integral di atas konvergen. Jika
integral di atas divergen, maka momen
ke-� dari peubah acak � adalah tidak
ada.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 19 (Fungsi Pembangkit Momen)
Fungsi pembangkit momen dari suatu
peubah acak � didefinisikan sebagai
�� (�) = �(� �� )
untuk � ∈ ℜ sehingga nilai harapan di atas
ada.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Misalkan �1 , … , �� adalah nilai contoh
acak dari suatu sebaran dengan fungsi
kepekatan peluang �(�; �), maka fungsi
kepekatan peluang bersama dari �1 , … . , ��
yang merupakan fungsi kemungkinannya
adalah
�(�) = �(�1 ; �)�(�2 ; �) … �(�� ; �).
(Hogg et al. 2005)
Definisi 21 (Penduga Kemungkinan
Maksimum)
Misalkan �1 , … , �� adalah nilai contoh
acak berukuran � dari suatu sebaran dengan
fungsi kepekatan peluang �(�; �). Penduga
kemungkinan maksimum bagi � dinotasikan
dengan
��
adalah
nilai
�
yang
memaksimumkan
fungsi
kemungkinan
�(�1 , … . , �� ; �).
(Hogg et al. 2005)
2.5 Proses Stokastik dan Rantai Markov
Definisi 22 (Proses Stokastik)
Proses stokastik didefinisikan sebagai
himpunan peubah acak {�� : � � �} untuk
himpunan indeks � yang terhitung atau
{�(�): � � �}
berhingga,
atau
untuk
himpunan indeks � yang tak terhitung.
(Ghahramani 2005)
Definisi 23 (Rantai Markov)
Sebuah proses stokastik {�� : � =
0, 1, … } dengan ruang state terbatas atau tak
terbatas yg terhitung disebut rantai markov,
jika untuk semua �, �, �0 , … , ��−1 ∈ �, dan
� = 0,1,2, …,
�(��+1 = �|�� = �, ��−1 = �� −1 , … , �0 = �0 )
= �(��+1 = �|�� = �).
(Ghahramani 2005)
III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Sistem Bonus Malus Lama dan Sistem
Bonus Malus Praktis
Sistem bonus malus praktis terdiri dari
sebuah tabel yang berisi kelas premi
sebanyak �. Tingkat premi berhubungan erat
dengan setiap kelas dalam tabel tersebut.
Premi di kelas rendah tidak lebih besar
dibanding premi di kelas tinggi. Pertama kali
masuk dalam sistem bonus malus pemegang
polis berada di kelas dengan tingkat premi
100%. Kemudian, untuk periode berikutnya
kelas yang diduduki pasti berubah. Jika tidak
ada klaim maka pada periode berikutnya
pemegang polis menempati kelas yang lebih
rendah. Hal ini berarti pemegang polis
membayar premi 100% ke bawah. Premi di
bawah 100% berarti pemegang polis
mendapatkan bonus. Sebaliknya, jika ada
klaim maka pada periode berikutnya
pemegang polis menempati kelas yang lebih
tinggi sehingga pemegang polis membayar
premi 100% ke atas. Premi di atas 100%
berarti pemegang polis mendapatkan malus.
Sebuah aturan menentukan pergerakan
pemegang polis dalam sistem bonus malus
sesuai dengan banyak klaim yang dilaporkan
oleh pemegang polis ke perusahaan setiap
tahun. Aturan ini disebut aturan transisi.
Dalam karya ilmiah ini disusun sebuah
metodologi yang bertujuan untuk mengubah
suatu sistem bonus malus. Beberapa contoh
numerik digunakan untuk menjelaskan
metodologi tersebut.
Misalkan sistem bonus malus saat ini
diasumsikan sebagai berikut.
- Banyak kelas � adalah 9. Kelas minimum
adalah 0 dan kelas maksimum adalah 8.
- Pintu masuk sistem bonus malus adalah
kelas 4.
- Jika pemegang polis tidak mengajukan
klaim pada tahun tertentu maka
pemegang polis turun sebanyak satu
kelas pada tahun berikutnya.
- Jika pemegang polis mengajukan klaim
maka pemegang polis naik sebanyak tiga
kelas tiap satu klaim.
Tabel 1. Premi sistem bonus malus saat ini
1
2
3
4
5
� 0
80
90
95
100 150
�� 75
�
��
6
7
8
-
-
-
170
185
250
-
-
-
Kemudian, sistem bonus malus baru
diasumsikan sebagai berikut.
- Banyak kelas � adalah 9. Kelas minimum
adalah 0 dan kelas maksimum adalah 8.
- Pintu masuk sistem bonus malus adalah
kelas 4.
- Jika pemegang polis tidak mengajukan
klaim pada tahun tertentu maka
pemegang polis turun sebanyak satu
kelas pada tahun berikutnya.
- Jika pemegang polis mengajukan klaim
maka pemegang polis menempati kelas 8
(tanpa melihat banyaknya klaim yang
diajukan).
Tingkat premi untuk sistem bonus malus
baru tersebut (sistem bonus malus praktis)
perlu dicari.
Tabel 2. Sebaran frekuensi klaim teramati
Banyak
Banyak Pemegang
Kecelakaan
Polis
0
103704
1
14075
2
1766
3
255
4
45
5
6
6
2
6
3.2 Sebaran Hofmann
Berdasarkan Paris dan Walhin (1999b),
pembangunan sistem bonus malus optimal
bersifat tidak halus jika menggunakan
sebaran Poisson Campuran Nonparametrik.
Oleh karena itu, pembangunan sistem bonus
malus optimal dalam karya ilmiah ini
menggunakan prinsip nilai harapan dengan
fungsi peluang yang menggunakan sebaran
Hofmann.
Sebaran Hofmann didefinisikan sebagai
berikut.
Π(0, �) = � −� (�) ,
(� + 1)�(� + 1, �)
�
�� �
Γ(� + �)
��
�
�
� �(� − �, �)
=
�
(1 + ��)
Γ(�)�! 1 + ��
�=0
�
,
� ′ (�) =
(1 + ��)�
�(0) = 0.
Pendefinisian sebaran Hofmann di atas
menggunakan fungsi rekursif pada algoritme
Panjer. Pendefinisian sebaran Hofmann
tersebut dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu
dengan menggunakan bentuk turunan fungsi.
Sebaran Hofmann yang didefinisikan dalam
bentuk turunan fungsi
adalah sebagai
berikut.
Π(0, �) = � −� (�) ,
��
Π(�, �) = (−1)� Π (�) (0, �); � = 1,2, …,
�!
�
′
(�)
�
=
,
(1 + ��)�
�(0) = 0.
Turunan ke- � dari peluang Π(0, �) adalah
Π (�) (0, �). Jika bentuk � ′ (�) diintegralkan
maka dihasilkan �(�) sebagai berikut.
�(�)
��
;� = 0
⎧
�
⎪
ln(1 + ��)
;� = 1
=
�
�
⎨
⎪
[(1 + ��)1−� − 1] ; � ���������.
⎩�(1 − �)
′
Hasil penghitungan integral � (�) dapat
dilihat pada Lampiran 1.
Jika sebaran Hofmann ini dianalisis untuk
� = 0 maka sebaran ini menjadi sebaran
Poisson. Kemudian, untuk � = 1 sebaran ini
menjadi sebaran Binomial Negatif (Paris dan
Walhin (1999b)). Analisis sebaran Hofmann
untuk � = 0 dan � = 1 dapat dilihat pada
Lampiran 2.
3.3 Sistem Bonus Malus Optimal
Sistem bonus malus itu hanya tergantung
pada banyak kecelakaan yang disebabkan
oleh sesuatu yang diasuransikan pada periode
sebelumnya (Paris & Walhin (1999b)).
Sistem bonus malus optimal dipengaruhi
banyak klaim dan banyak tahun yang
teramati. Pada umumnya, banyak klaim �(�)
pada selang (0, �] dianggap sebagai proses
Poisson Campuran dengan fungsi peluang
sebagai berikut.
(Λ�)�
,
�!
∞
�
(λ�)
ℙ[�(�) = �] = Π(�, �) = � � −λ�
dU(λ),
�!
0
dengan Λ adalah peubah acak dengan fungsi
sebaran �(�).
ℙ[�(�) = �|Λ] = Π(�, �|Λ) = � −Λ�
Informasi yang mengandung banyak
kecelakaan selama � tahun pertama sangat
diperlukan untuk menghitung premi pada
tahun ke-� (premi posterior). Premi posterior
itu adalah
�[�(� + 1) − �(�)|�(�) = �]
� + 1 �(� + 1, �)
.
= �(Λ|�(�) = �) =
�(�, �)
�
Pembuktian dari rumus premi posterior dapat
dilihat pada Lampiran 3. Rumus premi
posterior ini menggunakan prinsip premi nilai
harapan.
Selanjutnya, premi prior ditetapkan
sebesar 100% sehingga disusun sebuah tabel
bonus malus optimal yang terdiri dari dua
entri, yaitu entri � dan entri �. Entri �
menyatakan banyak tahun yang diamati dan
entri � menyatakan banyak klaim yang
diamati. Dalam karya ilmiah ini dipilih nilai
� = 1,2, … ,10 dan � = 0,1, … ,4. Nilai premi
dalam tabel bonus malus optimal untuk setiap
� dan � ditulis dengan rumus sebagai berikut:
100 �+1 �(�+1,�)
.
(3.1)
�(�,�) =
�Λ
�
�(� ,�)
Tabel 3. Kerangka sistem bonus malus
optimal
�/�
1
2
2
�(0,1)
�(1,1)
�(2,1)
�(3,1)
�(4,1)
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
10
0
�(0,2)
�(0,10)
�(1,2)
3
�(2,2)
4
�(3,2)
�(1,10) �(2,10) �(3,10)
�(4,2)
�(4,10)
Nilai �(�, �) untuk menghitung premi
sistem bonus malus optimal dihitung
berdasarkan sebaran Hofmann. Namun,
masalahnya adalah sebaran frekuensi klaim
yang dilaporkan menggunakan sebaran
Poisson Campuran Nonparametrik sehingga
parameter sebaran Hofmann (�, �, dan �)
dicari dengan pemasangan tiga momen
pertama dari sebaran Poisson Campuran
Nonparametrik dan sebaran Hofmann, yaitu:
�
� �� �� = �,
� =1
7
�
� �� �� ��� + 1� = � + ��� + �2 ,
� =1
�
� �� �� ��� 2 + 3�� + 1� = �(� + ���)
� =1
+�(1 + �)2 + ���(1 + �) + (1 + �)�� 2 �.
Dengan menggunakan rumus tersebut maka
diperoleh nilai � = 0.2223, � = 0.1897, � =
1.0452. Uraian untuk memperoleh nilai
parameter sebaran Hofmann ini dapat dilihat
pada Lampiran 4.
Perhatikan
bahwa
rumus
untuk
menghitung premi dalam tabel bonus malus
optimal di atas berdasarkan prinsip nilai
harapan. Prinsip premi lainnya juga dapat
digunakan untuk menyusun tabel bonus
malus optimal. Dalam Paris dan Walhin
(1999b), prinsip utilitas nol dengan sebuah
fungsi utilitas eksponensial digunakan untuk
menyusun tabel bonus malus optimal.
Sedangkan, dalam Paris dan Walhin (1999a),
tabel bonus malus optimal diperoleh dengan
menggunakan sebaran kerugian ekponensial.
Namun, contoh numerik menunjukan bahwa
penghitungan premi bonus malus optimal
dengan menggunakan berbagai prinsip premi
tersebut tidak menghasilkan tabel yang
berbeda secara signifikan.
3.4 Kelaparan Bonus dan Sebaran
Frekuensi Klaim Aktual
Jika perusahaan asuransi menggunakan
sistem bonus malus yang bebas dari besaran
klaim maka seorang pemegang polis
cenderung untuk tidak melaporkan klaim
yang berukuran kecil. Hal ini berarti
pemegang polis lebih memilih untuk
menanggung resiko daripada melaporkannya
ke perusahaan asuransi sehingga harus
membayar premi yang lebih tinggi pada
periode berikutnya karena mendapatkan
malus. Lemaire (1977) menyebutkan fakta
seperti ini adalah kelaparan bonus.
Algoritme Lemaire (1977) memberikan
retensi optimal dari pengendara sebagai
fungsi tingkat preminya. Algoritme itu
memiliki hipotesis-hipotesis sebagai berikut.
- Sebuah sistem bonus malus terdiri dari �
kelas � = 0, … . , � − 1.
- Frekuensi
klaim
pemegang
polis
menyebar Poisson dengan nilai harapan �.
- Sebaran besaran klaim adalah � dengan
fungsi sebaran kumulatif adalah �� (�).
- Ramalan tingkat diskon untuk masa depan
dilambangkan dengan �.
- Waktu tersisa hingga pembayaran premi
berikutnya adalah 1 − � dengan 0 ≤ � < 1.
Sebagai contoh numerik berkaitan hipotesis
algoritme tersebut maka digunakan data,
nilai, atau asumsi sebagai berikut.
- Sistem bonus malus diberikan pada Tabel
6.
- Sebaran besaran klaim � adalah menyebar
eksponensial dengan nilai harapan �:
�� (�) = � 1 − �
0
�
−
�
;� ≥ 0
; � < 0.
- Sebaran besaran klaim aktual adalah
eksponensial dengan parameter � = 84.86,
1
� = 6%, dan � = .
2
- Proporsi �� , � = 1, … , � tetap sama baik
frekuensi klaim aktual maupun yang
teramati.
Misalkan �� adalah parameter Poisson dari
pemegang polis ke-� untuk peubah acak yang
merepresentasikan banyak klaim yang
dilaporkan dalam sistem bonus malus saat ini.
Berdasarkan data sebaran frekuensi klaim
yang teramati pada Tabel 2 maka diperoleh
�1 = 0.05461, �2 = 0.24599, �3 = 0.95618,
�1 = 0.56189, �2 = 0.41463, �3 = 0.02348.
Uraian ini dapat dilihat pada Lampiran 5.
Nilai-nilai tersebut memiliki arti bahwa
dalam sistem bonus malus ini terdapat tiga
jenis pengendara dengan penjelasan bahwa
56% pengendara menunjukkan frekuensi
klaim sebesar 0.05461, sekitar 41%
pengendara menunjukkan frekuensi klaim
sebesar 0.24599 dan sekitar 2% menunjukkan
frekuensi klaim sebesar 0.95618. Pada
umumnya ada � jenis pengendara. Dalam
karya ilmiah ini dibahas tiga jenis
pengendara.
Penghitungan sebaran stasioner dan
sebaran transien dalam karya ilmiah ini
menggunakan asumsi bahwa dalam satu
tahun banyaknya kecelakaan itu menyebar
Poisson. Karena terdapat tiga jenis
pengendara maka diperoleh tiga jenis sebaran
stasioner dan tiga jenis sebaran transien.
Adapun rumus-rumus yang dipakai dalam
penghitungan sebaran stasioner dan sebaran
transien adalah sebagai berikut.
�∞ (�) = lim� →∞ (� � )� �0 (�) ; �0 diberikan,
�� (�) = (� � )� �0 (�),
keterangan:
�� : transpos dari matriks transisi,
�∞ (�): sebaran stasioner untuk � tertentu,
�� (�): sebaran transien