Sistem Bonus-Malus dengan Banyak Klaim Berdistribusi Geometrik dan Besar Kerugian Berdistribusi Weibull Terpotong

SISTEM BONUS-MALUS DENGAN BANYAK KLAIM
BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN BESAR KERUGIAN
BERDISTRIBUSI WEIBULL TERPOTONG

DIAN NURITA SANTI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul “Sistem Bonus-Malus
dengan Banyak Klaim Berdistribusi Geometrik dan Besar Kerugian Berdistribusi
Weibull Terpotong”  adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi
manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015

Dian Nurita Santi
G551130241

RINGKASAN
DIAN NURITA SANTI. Sistem Bonus-Malus dengan Banyak Klaim Berdistribusi
Geometrik dan Besar Kerugian Berdistribusi Weibull Terpotong. Dibimbing oleh I
GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Asuransi merupakan salah satu cara untuk mengurangi kerugian finansial
dengan menyalurkan risiko kerugian dari seseorang ke badan lainnya, contohnya
asuransi kendaraan bermotor. Penentuan harga premi risiko asuransi kendaraan
bermotor berdasarkan data yang diketahui asuransi di masa lalu (experience rating).
Sistem experience rating seperti ini dikenal sebagai sistem Bonus-Malus.
Berdasarkan sistem Bonus-Malus, pemegang polis yang telah mengajukan satu atau
lebih klaim akan dikenakan kenaikan premi risiko (malus), sedangkan bagi
pemegang polis yang tidak mengajukan klaim akan diberikan penghargaan berupa
penurunan premi risiko (bonus) di periode pembayaran premi risiko berikutnya.
Sistem Bonus-Malus dikatakan optimal jika seimbang secara finansial bagi

perusahaan asuransi dan adil bagi para pemegang polis. Sehingga pada penentuan
premi risiko tidak hanya berdasarkan banyak klaim tetapi juga berdasarkan besar
kerugian yang ditimbulkan.
Penelitian ini menggabungkan sistem Bonus-Malus yang telah dibahas oleh
Mert dan Saykan (2005) dan Ni et al. (2014). Namun, penentuan premi risiko pada
sistem Bonus-Malus tersebut diterapkan untuk besar kerugian pemegang polis yang
ditanggung seluruhnya oleh perusahaan asuransi. Pada kenyataannya tidak semua
besar kerugian yang diajukan pemegang polis dapat ditanggung oleh perusahaan
asuransi. Ketika perusahaan asuransi menetapkan batas maksimum besar kerugian
yang ditanggung, maka perlu memodifikasi model distribusi besar kerugian
menjadi distribusi besar kerugian terpotong. Distribusi banyak klaim yang
digunakan adalah geometrik yang merupakan gabungan dari distribusi Poisson dan
eksponensial. Sedangkan distribusi besar kerugian yang digunakan oleh Ni et al.
(2014) dimodifikasi menjadi distribusi besar kerugian terpotong yaitu Weibull
terpotong. Distribusi Weibull terpotong merupakan gabungan distribusi
eksponensial terpotong dan Levy. Penelitian ini juga membandingkan premi risiko
antara besar kerugian yang ditanggung penuh dan besar kerugian yang ditanggung
dengan batas maksimum santunan.
Berdasarkan hasil pembahasan, diperoleh simpulan bahwa persamaan premi
risiko dengan batas kerugian maksimum adalah


B 3 c N  u  K  n 

K  1   2 N  u  K  n   K  2
Premi t 1 

,
B
  t 
c


c
N
u
K
n




 K1

2


dengan adalah total banyak klaim, adalah batas maksimum yang mampu
ditanggung perusahaan asuransi, adalah total besar kerugian di bawah batas ,
adalah banyak klaim di bawah batas , ��− / adalah fungsi Bessel dengan indeks
− / , � adalah parameter distribusi banyak klaim, dan adalah parameter
distribusi besar kerugian. Persamaan premi risiko periode selanjutnya menunjukkan
bahwa premi risiko bergantung pada banyak klaim, waktu, dan total besar kerugian.
Premi risiko sistem Bonus-Malus dengan komponen besar kerugian berdasarkan







distribusi Weibull sama besarnya dengan premi risiko berdasarkan distribusi

Weibull terpotong ketika besar kerugian lebih kecil dari batas maksimum kerugian.
Sedangkan, premi risiko berdasarkan distribusi Weibull menjadi lebih mahal dari
premi risiko berdasarkan distribusi Weibull terpotong ketika besar kerugian lebih
besar dari batas maksimum kerugian. Semakin kecil kerugian menyebabkan
semakin sedikit premi risiko yang dibayarkan dan semakin besar kerugian berakibat
semakin besar premi risiko yang dibayarkan.
Kata kunci:

premi risiko, experience rating, sistem Bonus-Malus, Levy,
geometrik, Weibull, Weibull terpotong

SUMMARY
DIAN NURITA SANTI. Bonus-Malus System with the Claim Frequency
Distribution is Geometric and the Severity Distribution is Truncated Weibull.
Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Insurance is one way to denigrate financial loss by channeling the risk of loss
of the person to another entity, for example automobile insurance. The risk premium
of the automobile insurance is determined by insurance that is known data in the
past (experience rating). System experience rating could call as Bonus-Malus
system. In the Bonus-Malus system, policyholders who has submitted one or more

claims will be subjected to a risk premium increase (malus), whereas for
policyholders who did not file a claim would be rewarded with a decrease in risk
premium (bonus) in the next premium payment period. Bonus-Malus system is said
to be optimal if it is financially balanced for insurance companies and fair for
policyholders. That is, the determination of the risk premium is not only based on
the claims frequency but also based on the severity.
In this study, we used the Bonus-Malus system by Mert and Saykan (2005)
and Ni et al. (2014). But, previous research concern with the determination of the
risk premium Bonus-Malus system which is applied to all of the severity that
guaranteed by the insurance company. In fact, all of the severity proposed by
policyholder could not be covered by insurance company. When an insurance
company sets a maximum bound of the severity incurred, it is necessary to modify
the model of the severity distribution into the truncated severity distribution. The
claim frequency is geometric distribution as a combination of Poisson and
exponential distribution. While, the severity distribution by Ni et al. (2014)
modified to be the severity distribution with maximum bound is truncated Weibull
distribution. Truncated Weibull distribution is a combination of truncated
exponential and Levy distribution. In this study, we also compared the risk premium
between the full severity and the severity with the maximum bound.
The result shows that the risk premium equation with maximum bound is


B 3 c N  u  K  n 




K


2
N
u
K
n


K 1 
2

Premium t 1 


,
B
  t 
c


c
N
u
K
n



1
 K

2



where is the total claim frequency, is the maximum bound that covered by
insurance company, is the total severity which is lower than bound , is the
claim frequency which is lower than bound , ��− / is the Bessel function with
index − / , � is the parameter of the claim frequency distribution, and is the
parameter of the severity distribution. The risk premium equation for the next
period shows that the risk premium depends on the claim frequency, time period,
and the total severity. The risk premium of Bonus-Malus system with the severity
component based on Weibull distribution is equal to the risk premium based on
truncated Weibull distribution when the severity component are less than the
maximum bound of severity. Whereas, the risk premium based on Weibull
distribution are more expensive than that based on truncated Weibull distribution
when the severity are greater than the maximum bound of severity. The smaller of







the severity, the less of the risk premium to be paid and the greater of the severity,
the greater of the risk premium must be paid.
Keywords: the risk premium, experience rating, Bonus-Malus system, Levy
distribution, geometric distribution, Weibull distribution, truncated
Weibull distribution

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

SISTEM BONUS-MALUS DENGAN BANYAK KLAIM
BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN BESAR KERUGIAN
BERDISTRIBUSI WEIBULL TERPOTONG

DIAN NURITA SANTI

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr Berlian Setiawaty, MS

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga karya ilmiah yang berjudul
“Sistem Bonus-Malus dengan Banyak Klaim Berdistribusi Geometrik dan Besar
Kerugian Berdistribusi Weibull Terpotong” ini dapat terselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
dan Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku pembimbing, atas kesediaan
dan kesabaran untuk membimbing dan membagi ilmunya kepada penulis dalam
penyusunan karya ilmiah ini. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan sebesarbesarnya kepada seluruh Dosen Departemen Matematika IPB yang telah mengasuh
dan mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan studi,
serta seluruh staf Departemen Matematika IPB atas bantuan, pelayanan, dan
kerjasamanya selama ini.
Ucapan terima kasih yang tulus dan penghargaan yang tak terhingga juga
penulis ucapkan kepada Ayahanda dan Ibunda tercinta Widjiatmoko dan Tanem
yang telah membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang demi
keberhasilan penulis selama menjalani proses pendidikan, juga kakak tersayang
Aloysius Beni Ditya Havian serta keluarga besarku atas doa dan semangatnya.
Terakhir tak lupa penulis juga menyampaikan terima kasih kepada seluruh
mahasiswa Pascasarjana Departemen Matematika Terapan atas segala bantuan dan
kebersamaannya selama menghadapi masa-masa terindah maupun tersulit dalam
menuntut ilmu, serta semua pihak yang telah banyak membantu dan tak sempat
penulis sebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang
membutuhkan.

Bogor, Agustus 2015

Dian Nurita Santi

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian

1
2
2

TINJAUAN PUSTAKA
Pengertian Asuransi
Sistem Bonus-Malus dengan Banyak Klaim
Sistem Bonus-Malus Optimal
METODE PENELITIAN

2
3
4
6

HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Distribusi Besar Kerugian
Simulasi Numerik Sistem Bonus-Malus

7
14

SIMPULAN

18

DAFTAR PUSTAKA

18

LAMPIRAN

20

RIWAYAT HIDUP

38

DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6

Banyak klaim
Besar kerugian dan banyak klaim data sebenarnya
Besar kerugian dan banyak klaim dengan u = 2300
Hasil perhitungan harga premi risiko dengan total besar kerugian 8000
Hasil perhitungan harga premi risiko dengan total besar kerugian 10000
Hasil perhitungan harga premi risiko dengan u = 2300

15
15
15
16
16
17

DAFTAR LAMPIRAN
1 Beberapa Definisi dan Teorema
2 Bukti Beberapa Persamaan
3 Program R

20
28
34

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Berbagai persoalan hidup sering kali dialami dalam kehidupan sehari-hari,
salah satunya kemungkinan sering tertimpa kerugian dalam menjalani aktifitas
keseharian. Banyaknya risiko yang terjadi karena faktor bencana maupun faktor
manusia membuat manusia mulai memikirkan harta dan jiwa mereka. Untuk
mengurangi beban tersebut, maka seseorang membuat perjanjian yang memberikan
kerugian-kerugian dimaksud kepada badan atau pihak lainnya yang juga terbuka
dengan kerugian-kerugian tersebut. Perjanjian ini dikenal sebagai kontrak asuransi
atau polis. Asuransi adalah sebuah sistem untuk mengurangi kerugian finansial
dengan menyalurkan risiko kerugian dari seseorang ke badan atau pihak lainnya.
Tujuan pembelian dari suatu produk asuransi adalah untuk menutup kerugian
finansial karena bahaya yang mungkin merugikan seseorang.
Secara garis besar, bidang asuransi terdiri dari dua kategori yaitu asuransi
jiwa dan asuransi non jiwa. Asuransi jiwa adalah asuransi yang memberikan
santunan dalam jumlah tertentu yang berhubungan dengan hidup matinya seseorang.
Sedangkan asuransi non jiwa adalah asuransi yang memberikan ganti rugi kepada
tertanggung yang menderita kerugian barang atau benda miliknya, contohnya
asuransi kendaraan bermotor. Salah satu sistem dalam penentuan premi risiko
asuransi kendaraan bermotor adalah sistem Bonus-Malus.
Sistem Bonus-Malus adalah suatu sistem dimana pemegang polis yang telah
mengajukan satu atau lebih klaim akan dikenakan kenaikan premi risiko (malus),
sedangkan bagi pemegang polis yang tidak mengajukan klaim akan diberikan
penghargaan berupa penurunan premi risiko (bonus) di periode pembayaran premi
risiko berikutnya (Denuit et al. 2007). Sistem Bonus-Malus dikatakan optimal jika
seimbang secara finansial bagi perusahaan asuransi, yaitu total bonus sama dengan
total malus dan adil bagi para pemegang polis yaitu setiap pemegang polis
membayar premi risiko yang proporsional dengan risiko yang terjadi.
Dionne dan Vanasse (1989) membahas sistem Bonus-Malus dengan
komponen banyak klaim berdistribusi binomial negatif. Sedangkan Tremblay
(1992) membahas sistem Bonus-Malus dengan komponen banyak klaim
berdistribusi Poisson inverse Gaussian untuk meminimumkan risiko penanggung.
Frangos dan Vrontos (2001) menyebutkan bahwa sistem Bonus-Malus dengan
komponen banyak klaim tidak optimal karena pemegang polis yang mengajukan
kerugian kecil maupun besar akan membayarkan premi risiko yang sama. Sehingga
diperlukan sistem Bonus-Malus yang penentuan premi risiko tidak hanya
berdasarkan komponen banyak klaim tetapi juga besar kerugian. Frangos dan
Vrontos (2001) serta Mahmoudvand dan Hassani (2009) menggunakan sistem
Bonus-Malus berdasarkan distribusi binomial negatif untuk banyaknya klaim dan
distribusi pareto untuk besar kerugian. Mert dan Saykan (2005) menganalisis sistem
Bonus-Malus dengan banyaknya klaim menggunakan distribusi geometrik dan
besar kerugian menggunakan distribusi pareto. Selanjutnya penentuan harga premi
risiko oleh Ni et al. (2014) yang menerapkan sistem Bonus-Malus dengan distribusi
binomial negatif pada komponen banyak klaim dan distribusi Weibull pada besar
kerugian.

2
Perumusan Masalah
Penelitian ini menggabungkan sistem Bonus-Malus yang telah dibahas oleh
Mert dan Saykan (2005) dan Ni et al. (2014). Namun, sistem Bonus-Malus
penelitian tersebut diterapkan untuk besar kerugian pemegang polis yang
ditanggung seluruhnya oleh perusahaan asuransi. Pada kenyataannya tidak semua
besar kerugian yang diajukan pemegang polis dapat ditanggung oleh perusahaan
asuransi. Ketika perusahaan asuransi menetapkan batas maksimum besar kerugian
yang ditanggung, maka perlu memodifikasi model distribusi besar kerugian yang
telah diteliti oleh Ni et al. (2014) menjadi distribusi besar kerugian terpotong.
Berdasarkan uraian tersebut, dapat dirumuskan beberapa masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan premi risiko pada sistem Bonus-Malus dengan banyak
klaim berdistribusi geometrik dan besar kerugian berdistribusi Weibull
terpotong.
2. Bagaimana perbandingan premi risiko antara besar kerugian yang ditanggung
penuh dan besar kerugian yang ditanggung dengan batas maksimum santunan.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian perumusan masalah, tujuan yang akan dicapai pada
penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menentukan persamaan premi risiko sistem Bonus-Malus dengan banyak klaim
berdistribusi geometrik dan besar kerugian berdistribusi Weibull.
2. Membandingkan premi risiko antara besar kerugian yang ditanggung penuh dan
besar kerugian yang ditanggung dengan batas maksimum santunan.

TINJAUAN PUSTAKA
Pengertian Asuransi
Pengertian asuransi secara umum adalah menyerahkan pertanggungan risiko
kepada penanggung yaitu perusahaan asuransi untuk jangka waktu dan perjanjianperjanjian yang telah disepakati. Definisi asuransi menurut Kitab Undang-Undang
Hukum  Dagang  (KUHD)  Pasal  246  disebutkan  bahwa  “Asuransi atau
Pertanggungan adalah suatu perjanjian yang mana seorang penanggung
mengikatkan diri kepada seorang tertanggung, dengan menerima suatu premi, untuk
memberikan penggantian kepadanya karena suatu kerugian atau kehilangan
keuntungan yang diharapkan, yang mungkin akan diderita karena suatu peristiwa
yang tak tertentu”. Kerugian risiko yang dibayarkan oleh pihak asuransi kepada
pihak tertanggung disebut klaim (Bowers et al. 1997). Pembayaran klaim ini sesuai
ketentuan yang tertulis pada kontrak polis. Sedangkan premi risiko asuransi adalah
sejumlah uang yang dibayarkan oleh seorang pemegang polis kepada perusahaan
asuransi sehubungan dengan adanya perjanjian pertanggungan yang dituangkan
dalam polis asuransi.

3
Sistem Bonus-Malus dengan Banyak Klaim
Sistem Bonus-Malus dengan banyak klaim merupakan sistem penentuan
premi risiko yang hanya berdasarkan banyaknya klaim. Banyaknya klaim yang
diajukan oleh setiap pemegang polis berbeda (heterogen), karena setiap pemegang
polis memiliki risiko yang tidak sama untuk kejadian yang dialami. Klugman et al.
(2012) menyebutkan bahwa distribusi campuran cocok untuk memodelkan data
yang heterogen pada asuransi kendaraan bermotor. Dionne dan Vanasse (1989),
Tremblay (1992) menggunakan distribusi campuran Poisson sebagai distribusi dari
banyak klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis.
Fungsi distribusi banyak klaim dari setiap pemegang polis diasumsikan
berdistribusi Poisson yang dituliskan sebagai berikut:
e   k
(2.1)
P k |   
, k  0,1, 2,...;   0 ,
k!
dengan menyatakan rata-rata banyak klaim yang diajukan dari setiap pemegang
polis dan k adalah banyaknya klaim yang diajukan.
Dionne dan Vanasse (1989) mengasumsikan parameter persamaan (2.1)
berdistribusi gamma dengan parameter
dan . Fungsi kepekatan peluang
parameter adalah
1
f    
  1e /  ,   0,   0, dan   0 .
(2.2)
   
Berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh fungsi massa peluang banyak
klaim sebagai berikut:


 k    1    1 
(2.3)
P k   

 
 .
k

  1    1  
Persamaan (2.3) menunjukkan bahwa fungsi kepekatan peluang berdistribusi
binomial negatif dengan parameter
dan . Adapun premi risiko periode
selanjutnya diperoleh dari persamaan sebagai berikut:
 aˆ  Yi 
Pi t 1  M it 1 
,
 aˆ  i 
k

it 1  exp  xij   ui ,
t

i  i ,
j

(2.4)

j 1
t

Yi  Yi j ,
j 1

dengan adalah premi risiko dasar yang telah ditentukan, ̇ �+ adalah estimasi
rata-rata jumlah kecelakaan pemegang polis ke-i periode + ,
adalah
karakteristik pemegang polis ke-i periode ke-j, adalah vektor koefisien, adalah
informasi yang hilang pemegang polis ke-i, �̂ adalah parameter yang diperoleh dari
estimasi likelihood distribusi binomial negatif, ̅� adalah total rata-rata kecelakaan
pemegang polis ke-i selama t periode, ̅� adalah total banyak kecelakaan pemegang
polis ke-i selama t periode.

4
Tremblay (1992) mengasumsikan parameter persamaan (2.1) berdistribusi
generalised inverse Gaussian dengan parameter
dan . Fungsi kepekatan
peluang parameter adalah

f   



     2 


 2  



e
,   0,   0, dan   0.
(2.5)
2 3
Berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.5) dihasilkan fungsi kepekatan peluang banyak
klaim sebagai berikut:




1 1 2  1 k 




(2.6)
P k   e
.
Persamaan (2.6) menunjukkan bahwa fungsi kepekatan peluang berdistribusi
Poisson inverse Gaussian dengan parameter dan . Adapun persamaan premi
risiko periode selanjutnya dituliskan sebagai berikut:
K   '/  ' 
,
Pt 1  k1 , k2 ,, kt    ' v 1
K v   '/  ' 

' 

1
1



(2.7)

,

 2t

1
,
1  2 t
dengan �+ adalah fungsi Bessel berindeks + . Persamaan (2.7) menunjukkan
bahwa premi risiko periode selanjutnya berdasarkan banyak klaim yang diajukan
selama periode waktu t.

'  

Sistem Bonus-Malus Optimal
Sistem Bonus-Malus optimal adalah sistem penentuan premi risiko tidak
hanya berdasarkan banyak klaim tetapi juga besar kerugian dari setiap klaim.
Frangos dan Vrontos (2001), Mert dan Saykan (2005), Mahmoudvand dan Hassani
(2009), Ni et al. (2014) mengasumsikan besar kerugian berdistribusi campuran
eksponensial dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut.
f  X  x |     e  x , x  0,
(2.8)
dengan x merupakan besar kerugian dan � adalah parameter distribusi besar
kerugian.
Frangos dan Vrontos (2001), Mert dan Saykan (2005), serta Mahmoudvand
dan Hassani (2009) mengasumsikan parameter � persamaan (2.8) berdistribusi
inverse gamma dengan parameter dan . Fungsi kepekatan peluang parameter �
adalah
1  m /
e
m
f   
,   0, s  0, dan m  0.
(2.9)
s 1
 
  Γ s
m

5
Berdasarkan persamaan (2.8) dan (2.9) diperoleh fungsi kepekatan peluang besar
kerugian sebagai berikut:
 s 1

f  x   s ms  x  m 
, x  0.
(2.10)
Persamaan (2.10) menunjukkan bahwa fungsi kepekatan peluang besar kerugian
berdistribusi pareto dengan parameter dan .
Frangos dan Vrontos (2001) membuat sistem Bonus-Malus optimal
berdasarkan distribusi binomial negatif untuk banyak klaim dan distribusi pareto
untuk besar kerugian. Pada penelitian tersebut digunakan tiga persamaan untuk
menghitung premi risiko periode selanjutnya, yaitu
K
(2.11)
Pt 1 
,
t 
K
  K  m   k 1xk 
Pt 1 
,
(2.12)
t   s  K 1 


K
1 t
   t K j   s  1  j 1 exp  di j  j    k 1X i ,k

i
1 t
j 1
t

, (2.13)
Pt 1   exp  cij  j  
   t exp  cij   
t j 1
s  K 1


dengan dan � adalah parameter distribusi banyak klaim, m dan s adalah parameter
distribusi besar kerugian, adalah total banyak klaim, t adalah periode waktu,
adalah besar kerugian ke-k,
dan
adalah vector karakteristik individu ke-i
periode ke-j,
dan adalah vektor koefisien periode ke- j.
Sistem Bonus-Malus persamaan (2.11) digunakan untuk menghitung premi
risiko hanya berdasarkan banyak klaim yang berdistribusi binomial negatif.
Penentuan premi risiko persamaan (2.11) telah dijelaskan pada penelitian Dionne
dan Vanasse (1989). Sedangkan, sistem Bonus-Malus berdasarkan banyak klaim
dan besar kerugian menggunakan persamaan (2.12) dan (2.13). Persamaan (2.13)
merupakan perhitungan premi risiko yang menggabungan secara simultan
karakteristik individu, jumlah kecelakaan, dan besar kerugian dari setiap
kecelakaan.
Mert dan Saykan (2005) menggunakan sistem Bonus-Malus dengan banyak
klaim berdistribusi geometrik dan besar kerugian berdistribusi pareto. Banyak
klaim pada penelitian ini mengasumsikan parameter
persamaan (2.1)
berdistribusi eksponensial seperti persamaan (2.8). Berdasarkan persamaan (2.1)
dan (2.8) dihasilkan fungsi kepekatan peluang banyak klaim berdistribusi
geometrik sebagai berikut:

  1 

 1.
P k  

 , 0
 1   1 
 1
k

(2.14)

Fungsi kepekatan peluang besar kerugian yang digunakan pada penelitian ini sama
seperti persamaan (2.10). Adapun model premi risiko yang digunakan adalah
K  1 m   k 1xk
.
Pt 1 
t   s  K 1
K

(2.15)

6
Persamaan (2.15) menunjukkan bahwa premi risiko yang dibayarkan bergantung
pada parameter distribusi geometrik � , parameter distribusi pareto ( dan ),
K

periode waktu , total banyak klaim (K), dan total besar kerugian ( xk ).
k 1

Ni et al. (2014) menganalisis besar kerugian berdasarkan distribusi
eksponensial dengan parameter �. Parameter � diasumsikan berdistribusi Levy
dengan dengan parameter . Fungsi kepekatan peluang parameter � adalah
 c2 
c
exp    ,   0 dan c  0.
f   
(2.16)
2 3
 4 
Berdasarkan persamaan (2.8) dan (2.16) diperoleh fungsi kepekatan peluang besar
kerugian sebagai berikut:
c x ec x
f  x 
, x  0.
(2.17)
2x
Persamaan (2.17) menunjukkan bahwa fungsi kepekatan peluang berdistribusi
Weibull dengan parameter − , .
Penentuan premi risiko sistem Bonus-Malus oleh Ni et al. (2014) dengan
distribusi binomial negatif pada banyak klaim dan distribusi Weibull pada besar
kerugian adalah

B 3 c M 

 K 2 M K2
Pt 1 
(2.18)

,
t   c B 1 c M 
K
2


 2
Pt 1 | M 0 
(2.19)
 ,
t    c2 
dengan M adalah total besar kerugian, �� − / adalah fungsi Bessel dengan indeks
− / , dan adalah parameter distribusi Weibull. Premi risiko persamaan
(2.19) digunakan ketika tidak ada klaim yang diajukan, sedangkan persamaan
(2.18) digunakan untuk menghitung premi risiko jika ada klaim yang diajukan.







METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini, difokuskan penyelesaian premi risiko yang melibatkan
banyak klaim dan besar kerugian terpotong dari setiap pemegang polis.
Diasumsikan bahwa banyak klaim dari setiap pemegang polis saling bebas dengan
besar kerugian dari setiap klaim. Berikut langkah-langkah umum yang dilakukan.
1. Memodifikasi distribusi besar kerugian yang sudah ada menjadi distribusi
terpotong.
2. Membandingkan dan melakukan simulasi numerik dari hasil distribusi
modifikasi premi risiko antara besar kerugian yang ditanggung penuh dan besar
kerugian yang ditanggung dengan batas maksimum santunan.

7

HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Distribusi Besar Kerugian
Perhitungan premi risiko sistem Bonus-Malus optimal yang wajib dibayarkan
oleh setiap pemegang polis asuransi didasarkan pada komponen banyak klaim dan
besar kerugian yang ditimbulkan akibat kecelakaan. Model komponen banyak
klaim yang digunakan seperti pada penelitian Mert dan Saykan (2005) yaitu
menggunakan distribusi geometrik yang merupakan gabungan dari distribusi
Poisson dan eksponensial. Estimasi rata-rata banyak klaim periode selanjutnya
adalah

K 1
ˆ
t 1  E   | K    u  |k1 , k2 , , kt  d  
,
(4.1)
 t
0
t

dengan K  ki menyatakan total banyak klaim selama

periode dan

i 1

� menyatakan banyak klaim dari setiap pemegang polis periode waktu ke- �,
� = , , … , . Persamaan (4.1) menunjukkan bahwa premi risiko yang harus
dibayarkan pada periode + dengan banyak klaim � , � , … , �� , hanya
bergantung pada total banyak klaim (K) yang diajukan setiap pemegang polis dan
periode waktu (t). Bukti persamaan (4.1) tersaji dalam lampiran.
Model besar kerugian berdasarkan Ni et al. (2014) menggunakan distribusi
Weibull. Estimasi rata-rata besar kerugian periode selanjutnya dengan besar
kerugian
, , … , � dan total besar kerugian
selama periode waktu t
menggunakan bagian dari persamaan (2.18) yaitu







B
c M
 2 M  K  32
.
t 1  
 c  B

 K1 c M

ˆ

(4.2)

2

Persamaan (4.2) menunjukkan bahwa estimasi rata-rata besar kerugian periode
selanjutnya bergantung pada total besar kerugian (M) dan banyak klaim (K) selama
t periode.
Sistem Bonus-Malus besar kerugian pada penelitian Ni et al. (2014) tidak
mempertimbangkan besar kerugian maksimum yang mampu ditanggung
perusahaan asuransi, sehingga model tersebut perlu dimodifikasi dengan besar
kerugian yang terpotong. Ketika perusahaan asuransi hanya mampu menanggung
besar kerugian dari setiap pemegang polis sebesar , maka besar kerugian yang
ditanggung perusahaan asuransi di atas nilai adalah sebesar . Besar kerugian
diasumsikan berdistribusi campuran eksponensial terpotong dengan Levy.
Misalkan besar kerugian dari setiap pemegang polis adalah x dan berdistribusi
eksponensial terpotong, maka fungsi kepekatan peluangnya adalah
 e  x , 0  x  u
f  X  x |      u
,
,x u
e
dan fungsi distribusi kumulatifnya adalah

8
1  e  x , 0  x  u
F  X  x |   
.
,x u
 1
Parameter � diasumsikan berdistribusi
dengan parameter c yang memiliki
fungsi kepekatan peluang:


c

 Θ    

c2
4

e  ,    0.
2  3
Fungsi distribusi kumulatif besar kerugian untuk 0  x  u adalah


F  x   F  X  x |     Θ    d
0





  1 e

 x



0




0

c
2  3




0

c
2  3

e

c
2  3


c2
4

e





c2
4



d   e

d

 x



0

e



c2
4



d  
0

c
2  3

c
2  3

e

e



 c2


 x 
 4


c2
4

d

d .

(4.3)

Misalkan


2
0

c

 3

e



c2
4

d  1,

c2
c2
d
d ,




4 2
2 3
ketika   0     dan       0, maka persamaan (4.3) dapat dituliskan
menjadi



0

F  x  1 


c
 c2 
2  2
 4 

3

e


 c2  
  2   2  x 

4  



 c2 
  3  d .
 2 

Keterangan:
a

0

b

b

 f  x  dx  lim  f  x  dx  lim   f  x  dx   lim  f  x  dx.
b 



b 

b

b 

a

a

Persamaan (4.4) menjadi


F ( x)  1  
0



 1 
0

c
 c2 
2  2
 4 

3

e


 c2  
  2   2  x 


 4  


c3
3

 c 
3
2
 2 

2



e

 c2 
  3  d
 2 


c2 x 
  2  2 
4 


d

(4.4)

9


2

 1 



0

e


c2 x 
  2  2 
4 


c2 x
a0
4

d ,

   2  a 


2 


2

(4.5)
e
d .
 0
Selanjutnya, untuk menyelesaikan persamaan (4.5) digunakan persamaan berikut
 1

   2  a 


2 


I  e

d

0

    a 

 


2

 e
0

    a 

 



a
d   

 


2

 e

    a 

 


2

d  e

0

0

    a 

 


2

 e
0

    a 

 


d  e
0

    a 

 


 e
0

2

2


a
  2  d
  
 a
 2  d
 


a
1  2  d  .
 


(4.6)

Misalkan
g  

a



  ,   ,

dg
a
 1  2  0.

d
Penyelesaian persamaan (4.6) adalah

2 
a
1
I   e  g 1  2 
dg



a


 1

2 
  


  e g dg   .
2



Langkah berikutnya diperlukan penyelesaikan bentuk lain dari persamaan
    a 

 


(4.6) sedemikian sehingga didapat penyelesaian dari persamaan e

2

d .

0

Misalkan



a

 d  

2

d ,
a
ketika   0    dan      0 , maka persamaan (4.6) dapat dituliskan
menjadi

10
    a 

 


2

    a 

 


I  e

2

 a
 2  d 
 

d   e

0

0

    a 

 


2

0  a   
 




 e

2

 a   2 
 2   
 d

a





d   e


0

    a 

 


2

    a 

 


 e

2

 a   2 
 2   
 d
a
  

d   e

0

0

    a 

 


2

    a 

 


 e

2

d   e

d

0

0

    a 

 


2

    a 

 


 e

2

d   e

0

d

0

    a 

 


2

 2e

d .

0

    a 

 


2

Karena I  2e

d dan I   , maka diperoleh penyelesaian persamaan

0

(4.6) sebagai berikut:
    a 

 


2

    a 

 


I  2e

2

d  e

0

0

    a 

 



a
1  2  d
  

2

2e

d  

0

    a 

 


e

2



d 

.
2
Persamaan (4.5) dijabarkan kembali sebagai berikut:
   2  a 

2
2 
F  x  1
e    d .

 0
0

2

 1
 1
 1

2

     a   2 a

 




0

2

e

     a 

 
2 a




e

2

e2



 1  e2

e
0

a

d

a


2

2

d

11

 1 e

2

c2 x
4

 1  ec x .
Fungsi distribusi kumulatif besar kerugian terpotong adalah


F  x   F  X  x|    Θ    d
0



 
a 
2
1
exp     2  2   d , 0  x  u




 
 0
 
,x u

1

1  e  c x , 0  x  u

,x u
 1


 x 2
  2  , 0  x  u

(4.7)
 1  e  c 
,xu

1

Fungsi distribusi kumulatif persamaan (4.7) merupakan fungsi distribusi Weibull
terpotong dengan parameter − , .
Besar kerugian { , , … , � } dari setiap pemegang polis sebanyak klaim,
besar kerugian untuk 0  xi  u adalah klaim, maka banyaknya kerugian untuk
xi  u adalah K  n klaim. Misalkan merupakan total besar kerugian untuk
1

n

0  xi  u maka N   xi . dan total besar kerugian dari

klaim adalah

i 1

K

n

 x   x  u  K  n  N  u  K  n.
i

i

i 1

Fungsi kepekatan peluang bersama

i 1

untuk besar kerugian sebanyak
K

n

K n

klaim adalah

 f  x |     e   e 
i 1

i

 xi

i 1

 u

i 1

n

  ne



 e
n

  xi
i 1


 



e  u  K  n 

n



i 1



xi u  K  n  


.
  ne 
Estimasi parameter besar kerugian dengan pendekatan Bayes, diperoleh fungsi
distribusi posterior sebagai berikut:
 N  u  K  n 

f  x |    
 
  f  x |     d
K

  | x1 , x2 ,, xK

i



i 1
K

0

i 1

i

12



3
2

n


 n



3
2

0

c
2 
c
2 

e
e

 c2


   N  u  K  n   
 4


 c2


   N  u  K  n   
4




K n n 

 2

3  c    N  u  K  n   
 4



2

 K n n

 2

3  c    N  u  K  n   
 4



2






0

 K n
 K n

d

e

e

d



3  c    N  u  K  n   
 4



2
2





K

e

 2

3  c    N  u  K  n   
 K
 4



2
0



e

.

(4.8)

d

Memodifikasi persamaan (4.8) sedemikian sehingga diperoleh

  | x1 , x2 ,, xK  



c


 2 N  u  K  n 




c


 2 N  u  K  n 





c


 2 N  u  K  n 





 2 N  u  K  n  

 0 

c



K





3
2

3
2

K

 2

3  c    N  u  K  n   
 4



2

 K

 2

3  c    N  u  K  n   
 4



2





e

0



2 N  u  K  n
c

K

1

 K  
2


1

 K  
2




c


 2 N  u  K  n 


  2 N  u  K  n  

 0 

c



1

 K  
2


K

e

1

 K  
2


e

d

 2

3  c    N  u  K  n   
 4



2

e

 c N  u  K  n   2 N  u  K  n 

c






c
2
2 N  u  K  n   





K

d

 2

3  c    N  u  K  n   
 4



2

e

 c N  u  K  n   2 N  u  K  n 

c







2
c
2 N  u  K  n   



 2 N  u  K  n 
e
d



c


(4.9)
Bentuk integral pada bagian penyebut persamaan (4.9) dapat diselesaikan dengan
menggunakan fungsi Bessel sebagai berikut:
Bv  x  

Penyelesaian persamaan (4.9), yaitu



x

1

1 v 1  2  y  y 
y e
dy.
2 0

.

13
1

 K  


  2  K  3  4c    N u  K  n  
c



 2e 
 2 N  u  K  n 

.
  | x1 , x2 ,, xK   
2B 1 c N  u  K  n 
K

2

2





Estimasi rata-rata besar kerugian periode selanjutnya  t 1 menggunakan
fungsi kerugian kuadrat, jika diketahui besar kerugian , , … , � selama periode
waktu t dan K klaim adalah
1

 K  

  2  K  3  4c    N u  K  n  

c



 2e 



1 2 N  u  K  n 
d
ˆt 1   

2B 1 c N  u  K  n 
o
K

2

2





1

 K  

  2  K  5  4c    N u  K  n  

c



 2e 
  2 N u K n 


d

2B 1 c N  u  K  n 
o
K

2

2





1

 K  

  2   K  3  1  4c    N u  K  n   

c



  2 e 
  2 N u K n 



d
2B 1 c N  u  K  n 
o
K

B


K

B

K

3
2
1
2

c
c

2

2








N  u  K  n 
2 N  u  K  n 



c
N  u  K  n  

3 

 K  1

  2   K  3  1  4c    N u  K  n  

c



  2 e 
  2 N u K n 



d
o
2B 3 c N  u  K  n 
K

B


K

B

K

3
2
1
2

c
c

2



2






N  u  K  n 
2 N  u  K  n 




c
N  u  K  n 

1

 K  

  2   K  1  1  4c    N u  K  n  

c



  2 e 
  2 N u K n 




d
o
2B 3 c N  u  K  n 
K

2



2



14
B


K

B

K

3
2
1
2

c
c




N  u  K  n 
2 N  u  K  n 



c
N  u  K  n  








 2 N  u  K  n   BK  3 c N  u  K  n 
2

.


B
c
c
N
u
K
n




1

 K
2

(4.10)

Persamaan (4.10) menunjukkan bahwa estimasi rata-rata besar kerugian periode
selanjutnya bergantung pada total besar kerugian ( +
− ) dan banyak
klaim ( ) selama t periode. Ketika ≤ +
−
maka estimasi rata-rata
besar kerugian  t 1 persamaan (4.2) memberikan hasil yang sama besarnya dengan

persamaan (4.10). Sedangkan untuk
> +
− , maka estimasi  t 1
persamaan (4.2) lebih besar dari persamaan (4.10).
Premi risiko periode t +1 berdasarkan banyak klaim � , � , … , �� dan besar
kerugian , , … , � yang wajib dibayarkan oleh pemegang polis untuk besar
kerugian yang tidak terpotong adalah

B 3 c M 

K 1   2 M  K  2
(4.11)
Premi t 1 

 
.
  t  c  B 1 c M 
K
2


Sedangkan, premi risiko periode t +1 dengan besar kerugian yang terpotong adalah











B 3 c N  u  K  n
K  1   2 N  u  K  n   K  2
Premi t 1 


  t 
c
 BK  1 c N  u  K  n 

2


 
.

 

(4.12)

Persamaan (4.11) dan (4.12) menunjukkan bahwa premi risiko periode selanjutnya
bergantung pada banyak klaim, periode waktu, dan besar kerugian. Besar kerugian
persamaan (4.11) adalah sebesar . Sedangkan, besar kerugian persamaan (4.12)
terbagi menjadi dua bagian yaitu besar kerugian yang berada di bawah batas
maksimum kerugian sebesar
dan besar kerugian di atas batas maksimum
kerugian sebesar
− . Ketika besar kerugian
=
maupun
+
−
= atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan
= ,
perhitungan premi risiko persamaan (4.11) dan (4.12) tidak terdefinisi sehingga
perlu dianalisis ulang. Analisis premi risiko untuk besar kerugian
+
−
= disajikan dalam lampiran dan hasilnya sebagai berikut:
1  2
(4.13)
Premit 1| N u  K  n 0 
 .
t    c2 
Premi risiko persamaan (4.13) menunjukkan bahwa semakin bertambahnya waktu
(t), semakin kecil harga premi risiko ketika tidak ada klaim yang diajukan.
Simulasi Numerik Sistem Bonus-Malus
Banyak klaim menyebar geometrik dengan parameter � � + − , � = . .
Besar kerugian diasumsikan menyebar Weibull dengan parameter − =
.
,

15
= .
. Batas maksimum yang ditanggung perusahaan asuransi adalah
=
. Premi risiko yang dihitung untuk bulan = , , … , dan banyak klaim
= , ,…, .
Tabel 1 Banyak klaim
Banyak klaim
Jumlah kejadian
Total klaim
0
48
0
1
29
29
2
12
24
3
11
33
4
9
36
5
6
30
6
3
18
7
1
7
8
1
8
Total

120

185

Tabel 2 Besar kerugian dan banyak klaim data sebenarnya
Besar kerugian
Banyak klaim
0-50
52
50-100
14
100-200
22
200-400
23
400-800
22
800-1600
23
1600-3200
19
3200-6400
6
6400-12800
1
12800-25600
3
Tabel 3 Besar kerugian dan banyak klaim dengan u = 2300
Besar kerugian
Banyak klaim
10-49
52
50-129
20
130-249
27
250-409
13
410-609
12
610-849
11
850-1129
9
1130-1449
7
1450-1809
10
1809-2299
6
>2300
18

16
Tabel 1 menunjukkan data banyak klaim dari 0 hingga 8, serta jumlah
kejadian dan total klaim. Tabel 2 menunjukkan banyak klaim dari besar kerugian
yang diajukan oleh para pemegang polis. Pada tabel terlihat bahwa banyak klaim
terbesar pada rentang 0 hingga 50. Sedangkan, Tabel 3 menunjukkan data besar
kerugian dan banyak klaim yang telah terpotong besar kerugiannya. Besar kerugian
10-49 memiliki banyak klaim terbanyak yaitu sebesar 52.
Sistem Bonus-Malus tanpa Distribusi Terpotong
Sistem Bonus-Malus tanpa distribusi terpotong, perhitungan premi risiko
yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis menggunakan persamaan (4.11)
jika terdapat klaim yang diajukan, sedangkan apabila tidak ada klaim yang diajukan
menggunakan persamaan (4.13). Total besar kerugian yang digunakan adalah 8000
dan 10000.
Tabel 4 Hasil perhitungan harga premi risiko dengan total besar kerugian 8000
Bulan
Banyak klaim (K)
(t)
0
1
2
3
4
5
493
0
296 2752 3398 3749 3918 3980
1
211 1966 2427 2678 2798 2843
2
164 1529 1888 2083 2176 2211
3
134 1251 1544 1704 1781 1809
4
114 1058 1307 1442 1507 1531
5
99 917 1133 1250 1306 1327
6
87 809 999 1103 1152 1171
7
Tabel 5 Hasil perhitungan harga premi risiko dengan total besar kerugian 10000
Bulan
Banyak klaim (K)
(t)
0
1
2
3
4
5
493
0
296 3077 3871 4347 4612 4744
1
211 2198 2765 3105 3294 3389
2
164 1709 2151 2415 2562 2636
3
134 1399 1760 1976 2096 2156
4
114 1183 1489 1672 1774 1825
5
99 1026 1290 1449 1537 1581
6
87 905 1139 1279 1356 1395
7
Tabel 4 dan 5 menunjukkan bahwa premi risiko yang dibayarkan pemegang
polis bervariasi. Ketika tidak ada klaim yang diajukan selama kontrak polis berlaku
maka premi risiko yang dibayarkan semakin sedikit seiring bertambahnya waktu.
Contohnya, di awal bulan pemegang polis membayarkan premi risiko sebesar 493
dan ketika selama 7 bulan berturut-turut tidak mengajukan klaim maka premi risiko
yang dibayarkan menurun bertahap hingga level 87. Jika pada bulan pertama
pemegang polis mengajukan dua klaim dengan besar kerugian 8000 maka
diwajibkan membayar premi risiko sebesar 3398 yang dapat dilihat pada Tabel 4.
Selanjutnya bulan kedua, pemegang polis yang mengajukan satu klaim dengan
besar kerugian 2000 maka banyak klaim selama dua bulan menjadi 3 klaim dan

17
total besar kerugian menjadi 10000, pemegang polis diwajibkan membayar premi
risiko sebesar 3105 yang dapat dilihat pada Tabel 5.
Sistem Bonus-Malus dengan Distribusi Terpotong
Sistem Bonus-Malus dengan distribusi terpotong, perhitungan premi risiko
yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis menggunakan persamaan (4.12)
jika terdapat klaim yang diajukan, sedangkan apabila tidak ada klaim yang diajukan
menggunakan persamaan (4.13). Besar kerugian
diasumsikan sebagai besar
kerugian di bawah batas maksimum yaitu
.
Tabel 6 Hasil perhitungan harga premi risiko dengan u = 2300
Banyak klaim (K)
0
1
2
3
Bulan
Banyak klaim kurang dari u (n)
(t)
0
1
0
1
2
0
1
2
3
493
0
296 1476 973 2439 1986 1443 3393 2940 2441 1879
1
211 1054 695 1742 1419 1031 2424 2100 1744 1342
2
164 820 541 1355 1104 802 1885 1633 1356 1044
3
134 671 442 1109 903 656 1542 1336 1110 854
4
114 568 374 938 764 555 1305 1131 939 723
5
99 492 324 813 662 481 1131 980 814 626
6
87 434 286 717 584 425 998 865 718 553
7
Tabel 6 Hasil perhitungan harga premi risiko dengan u = 2300 (lanjutan)
Banyak klaim (K)
4
5
Bulan
Banyak klaim kurang dari u (n)
(t)
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
1
4341 3881 3393 2868 2299 5284 4818 4331 3820 3282
2
3101 2772 2423 2049 1642 3774 3441 3093 2729 2344
3
2412 2156 1885 1594 1277 2936 2677 2406 2122 1823
4
1973 1764 1542 1304 1045 2402 2190 1969 1736 1492
5
1670 1493 1305 1103 884 2032 1853 1666 1469 1262
6
1447 1294 1131 956 766 1761 1606 1444 1273 1094
7
1277 1142 998 844 676 1554 1417 1274 1124 965

5
2711
1936
1506
1232
1043
904
797

Tabel 6 menunjukkan bahwa di awal bulan pemegang polis membayarkan
premi risiko awal sebesar 493, apabila pada bulan pertama tidak mengajukan klaim
maka pembayaran premi risiko berkurang menjadi 296. Ketika pada bulan pertama
pemegang polis mengajukan klaim sebanyak satu kali maka diwajibkan membayar
sebesar 1476 jika klaim yang diajukan lebih dari 2300. Sedangkan jika klaim yang
diajukan dibawah 2300 maka premi risiko yang wajib dibayarkan sebesar 973.
Perhitungan premi risiko dengan distribusi Weibull dan Weibull terpotong
memberikan hasil yang bervariasi sesuai dengan besar kerugian yang diajukan.
Pada awal bulan dan saat tidak mengajukan klaim, premi risiko yang dibayarkan
berdasarkan distribusi Weibull dan Weibull terpotong sama besarnya. Ketika besar

18
kerugian
≤ +
− , maka premi risiko berdasarkan distribusi besar
kerugian Weibull akan sama besarnya dengan premi risiko berdasarkan distribusi
Weibull terpotong. Sedangkan untuk besar kerugian > +
− , premi
risiko berdasarkan distribusi besar kerugian Weibull lebih mahal daripada premi
risiko berdasarkan distribusi Weibull terpotong.

SIMPULAN
Penelitian ini telah membahas sistem Bonus-Malus optimal dengan besar
kerugian yang terpotong, bergantung pada kemampuan perusahaan asuransi dalam
memberikan santunan kepada pemegang polis. Berdasarkan hasil pembahasan,
diperoleh simpulan bahwa persamaan premi risiko dengan batas kerugian
maksimum adalah
Premit+ =

+
�+

(

√ +

−

)

�� −

�� −

√ +
√ +

−
−

,

(
)
dengan adalah total banyak klaim, adalah batas maksimum yang mampu
ditanggung perusahaan asuransi, adalah total besar kerugian di bawah batas ,
adalah banyak klaim di bawah batas , ��− / adalah fungsi Bessel dengan indeks
− / , � adalah parameter distribusi banyak klaim, dan adalah parameter
distribusi besar kerugian. Persamaan premi risiko periode selanjutnya menunjukkan
bahwa premi risiko bergantung pada banyak klaim, waktu, dan total besar kerugian.
Premi risiko sistem Bonus-Malus dengan komponen besar kerugian berdasarkan
distribusi Weibull sama besarnya dengan premi risiko berdasarkan distribusi
Weibull terpotong ketika besar kerugian lebih kecil dari batas maksimum kerugian
( ≤ +
− ). Sedangkan, premi risiko berdasarkan distribusi Weibull
menjadi lebih mahal dari premi risiko berdasarkan distribusi Weibull terpotong
ketika besar kerugian lebih besar dari batas maksimum kerugian
( > +
− ). Semakin besar kerugian yang ditimbulkan maka semakin
besar pula premi risiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis dan sebaliknya
untuk kerugian yang semakin kecil.

DAFTAR PUSTAK