Estimator Bayes Dan Maksimum Likelihood Untuk Data Berdistribusi Weibull

(1)

ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL

SKRIPSI

SUMI SRIARDINA YUSARA

100823018

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

(2)

ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SUMI SRIARDINA YUSARA 100823018

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2012

(3)

PERSETUJUAN

Judul : ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM

LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL

Kategori : SKRIPSI

Nama : SUMI SRIARDINA YUSARA

Nomor Induk Mahasiswa : 100823018

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PERNGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juli 2012

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Gim Tarigan, M.Si. Drs. Rachmad Sitepu, M.Si. NIP 19550202 198601 1 001 NIP 19530418 198703 1 001

Diketahui / Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Tulus, M.Si.

(4)

PERNYATAAN

ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya,

Medan, Juli 2012

SUMI SRIARDINA YUSARA 100823018

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI

WEIBULL” tepat pada waktunya.

Selama penyusunan skripsi ini penulis memperoleh bantuan dan bimbingan, untuk itu pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU

2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Sc selaku Ketua Departemen FMIPA USU

3. Bapak Drs. Rachmad Sitepu, M.Si selaku pembimbing 1 pada penulisan skripsi ini, yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku pembimbing 2 pada penulisan skripsi ini, yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, yang telah bersedia menjadi dosen penguji skripsi. 5. Seluruh Staff pengajar di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara khususnya Jurusan Matematika.

6. Ayahanda Ir. H. Muhammad Yusuf Koto dan Ibunda tercinta Hj. Zahara, yang telah membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang dan cinta dari kecil hingga saat ini, memberi motivasi dan restu serta materi yang tak ternilai dengan apapun. Suami tercinta Avir Riyaldi, ST yang selalu memberi doa serta semangat dan anakku tersayang yang masih berada di dalam kandungan dan selalu setia mendampingi penulis. Abang dan adik tersayang Andi Yusara, Novia Pramudita Yusara dan Najwa Salsabilla Yusara yang selalu memberikan dukungan dalam penyelesaian skripsi ini.

7. Semua sahabat-sahabat penulis Desi Mulyani, Uci Supriana, Eka Kurniati Hasibuan, Septina Rumahorbo dan semua teman-teman seperjuangan di Ekstensi Matematika Statistika yang telah memberi semangat.

(6)

Atas segala bantuan dan budi baik semua pihak penulis ucapkan terima kasih, semoga Allah SWT memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua. Amin ya

rabbal’alamin.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada semua pihak yang memerlukan.

Medan, Juli 2012 Penulis

SUMI SRIARDINA YUSARA 100823018

(7)

ABSTRAK

Uji waktu hidup atau kehandalan adalah salah satu analisis statistik yang sering digunakan dalam kehidupan manusia baik dalam Industri maupun kesehatan. Untuk menentukan Estimasi parameter populasi dapat ditentukan menggunakan pendekatan bayes. Estimator yang diperoleh dengan pendekatan bayes disebut Estimator Bayes. Dan estimasi yang menggunakan pendekatan Likelihood dinamakan Estimator Maksimum Likelihood. Salah Satu distribusi yang digunakan dalam analisis data uji waktu hidup adalah distribusi weibull. Sebagai contoh permasalahan pada perusahaan mainan jack-in-the-box untuk menguji tahan hidup mainan tersebut.

(8)

ABSTRACT

Lifetime or reliability analysis is one of the statistical analysis that is often used in people's lives both in industry and healthcare. To determine the population parameter estimates can be determined using a Bayesian approach. Estimator obtained by Bayes approach called Bayes Estimator. And estimation using an approach called Likelihood Estimator Maximum Likelihood. One of the distribution used in the analysis of lifetime test data are Weibull distribution. For example, problems with the company's jack-in-the-box to test the survival of the toy.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 5

1.6 Manfaat Penelitian 5

1.7 Metode Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI 6

2.1 Peluang 6

2.2 Peubah Acak 8

2.2.1 Fungsi Kepadatan Peluang (f.k.p) 8

2.2.2 F.k.p. dari Peubah Acak Kontinu 9

2.3 Ekspektasi Matematik 10

2.4 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator 10 2.5 Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup 12

2.6 Fungsi Densitas Peluang (f.d.p.) f(t) 13

2.7Fungsi Survivor S(t) 13

2.8Fungsi Hazard h(t) 14

2.9 Sampel Lengkap 16

2.10 Distribusi Weibull 17

2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood 17

2.12 Fungsi Gamma 18

2.13 Fungsi Beta 19

BAB 3 PEMBAHASAN 20

3.1 Estimator Bayes untuk Rata-rata Tahan Hidup dari Data Uji Hidup Berdistribusi Weibull dengan Sampel Lengkap 20 3.2 Estimator Maximum Likelihood (MLE) untuk Rata-rata Tahan Hidup dari Data Uji Hidup Berdistribusi Weibull 23

(10)

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 27

4.1 Kesimpulan 27

4.2 Saran 27

(11)

ABSTRAK

(12)

ABSTRACT

(13)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam pembicaraan statistik, jawaban yang diinginkan adalah jawaban untuk ruang lingkup yang lebih luas, yakni populasi. Tetapi objek dari studi ini menggunakan sampel pada umumnya yang merupakan bagian dari populasi. Hasil-hasil perhitungan berdasarkan data sampel disebut statistik. Selanjutnya dalam teori estimasi, statistik ini disebut estimator (penaksir) suatu parameter populasi.

Estimasi parameter populasi antara lain dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan Bayes. Pada metode bayes, nilai parameternya berasal dari suatu distribusi.

Selain metode Bayes terdapat juga Metode Maximum Likelihood. Metode ini digunakan untuk menaksir nilai parameter bila distribusi populasi diketahui. Secara konsep prosedur metode maksimum likelihood sangat sederhana dan metode ini lebih umum digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter berdistribusi weibull.

Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit atau sampai terjangkitnya suatu penyakit. Data tahan hidup diperoleh dari percobaan uji hidup. Data ini dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I, dan data tersensor tipe II. Berbentuk data lengkap jika semua benda dalam percobaan diuji sampai

(14)

percobaan berjalan selama waktu yang ditentukan, serta berbentuk data tersensor tipe II jika observasi diakhiri setelah sejumlah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982: 43).

Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa distribusi yang dapat digunakan untuk menggambarkan waktu hidup antara lain Distribusi Eksponensial, Distribusi Weibull, Distribusi Gamma, Distribusi Rayleigh, dan lain-lain (Lawless, 1982: 26). Di antara beberapa distribusi tersebut, dalam skripsi ini dipilih fungsi tahan hidup berdistribusi Weibull.

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan maka penulis mengambil judul

“ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL”

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, permasalahan yang diajukan dalam studi ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana bentuk estimator bayes untuk data berdistribusi Weibull.

2. Bagaimana bentuk estimator maksimum likelihood (MLE) untuk data berdistribusi Weibull.

1.3.Batasan Masalah

Dalam penelitian ini memiliki batasan-batasan masalah sebagai berikut: 1. Untuk simulasi studi ini digunakan data berdistribusi Weibull

(15)

2. Estimator yang digunakan adalah Estimator Bayes dan Estimator Maksimum Likelihood (MLE)

1.4. Tinjauan Pustaka

Dalam uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji.

Metode Maksimum Likelihood

Misalkan x variabel random dengan p.d.f f(x;θ), dimana parameter θ tidak diketahui. Misalkan X1, X2, …, Xn menjadi nilai yang diobservasi di dalam suatu sampel random

yang besarnya n. Maka fungsi likelihood sampel tersebut adalah L(θ) = f(x1;θ). f(x2;θ). …. f(xn;θ)

θ merupakan nilai estimator maksimum likelihood. Fungsi likelihood lebih cocok apabila dikerjakan dengan menggunakan natural logaritma dan dinotasikan dengan ln L(θ).

Metode Bayes

Misalkan θ1, θ2,..., θn adalah suatu himpunan dari parameter-parameter yang memiliki

distribusi yaitu f(θi). Maka itulah yang disebut dengan probabilitas prior dan distribusinya disebut distribusi prior. Sedangkan X adalah data observasi yang baru diperoleh.

adalah fungsi dari parameter yang disebut posterior. merupakan konstanta karena merupakan total probabilitas dari

(16)

dimana:

untuk diskrit

untuk kontinu Distribusi Weibull

Analisa Weibull adalah suatu metode yang digunakan untuk memperkirakan probabilitas mesin peralatan berdasarkan atas data yang ada. Distribusi ini sangat berguna karena menggunakan sampel yang sedikit dan kemampuannya dapat menun jukkan bentuk distribusi data yang terbaik. Alasan pemakaian metode weibull dalam pemeliharaan mesin/ peralatan adalah dikarenakan untuk memprediksikan kerusakan sehingga dapat dihitung keandalan mesin/ peralatan, dan dapat meramalkan kerusakan yang akan terjadi walaupun belum terjadi kerusakan sebelumnya.

Distribusi Weibull secara luas digunakan untuk berbagai masalah keteknikan karena kegunaannya yang bermacam-macam. Pada dasarnya distribusi weibull ini dimaksudkan untuk menggambarkan keadaan optimal dari suatu mesin atau peralatan baik perbagiannya ataupun komponen komponennya.

f.k.p untuk waktu kegagalan t berdistribusi Weibull dengan parameter θ dinyatakan sebagai berikut:

adapun fungsi tahan hidup dari distribusi Weibull adalah:

sedangkan fungsi kegagalan dari distribusi Weibull adalah:

Dimana:

t = waktu

θ = parameter skala p = parameter bentuk

(17)

1.5. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah mengetahui bentuk Estimator Bayes dan Estimator Maksimum Likelihood (MLE) untuk berdistribusi Weibull.

1.6. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah untuk masukan sebagai alternatif pemilihan dalam persoalan estimasi (dalam statistika).

1. Mengetahui cara mengestimasi menggunakan metode bayes dan maksimum likelihood.

2. Mengembangkan dan menerapkan statistika dengan metode bayes dan maksimum likelihood serta memperlihatkan penggunaannya.

3. Sebagai alternatif pemilihan dalam persoalan estimasi (dalam statistika).

4. Memberikan manfaat untuk bidang ilmu yang berkaitan dengan uji hidup, seperti industri, kedokteran dan lain-lain.

1.7. Metode Penelitian

Metode Penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Untuk menentukan konsep-konsep dasar yang diperkirakan akan mengantarkan ke pemecahan masalah yaitu bentuk estimator Bayes dan estimator Maksimum Likelihood (MLE) untuk berdistribusi Weibull.

1. Melakukan studi literatur menggunakan metode bayes dan maksimum likelihood

2. Memaparkan pengertian dari metode bayes dan maksimum likelihood

3. Menentukan langkah-langkah dalam menentukan estimator bayes dan estimator maksimum likelihood.

(18)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti peluang,peubah acak, bayes, likelihood, dan distribusi weibull.

2.1. Peluang

Definisi 1

Eksperimen-eksperimen yang memiliki karakteristik tersebut, selanjutnya disebut eksperimen acak. Kemudian, himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen acak disebut ruang sampel (sample space) dan diberi lambang S.

(Djauhari, 1990: 3)

Contoh 1:

Misalkan kita melakukan eksperimen, melantunkan sebuah dadu, dan setelah jatuh ke tanah, kita amati bagian atasnya. Hasilnya yang mungkin dari eksperimen ini bisa muncul 1,2,3,4,5,ataupun 6. Jika dianggap bahwa eksperimen tersebut dapat dilakukan berulang-ulang pada kondisi yang sama, maka eksperimen tersebut merupakan eksperimen acak. Ruang sampelnya S = {1,2,3,4,5,6}.

(19)

Definisi 2

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

(Walpole, 1986 : 4) Contoh 2:

Misalkan A = {t | 0 ≤t < 5} himpunan bagian ruang sampel S = {t | t ≥ 0}, t menyatakan

umur (dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan A menyatakan kejadian bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun ke lima.

Definisi 3

Koleksi himpunan A ≠ yang tertutup terhadap komplemen dan irisan hingga disebut lapangan.

(Djauhari, 1990: 16)

Definisi 4

Koleksi himpunan A ≠ yang tertutup terhadap komplemen dan irisan terbilang disebut lapangan sigma.

(Djauhari, 1990: 16)

Definisi 5

Misalkan S ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A suatu lapangan sigma yang terdiri atas himpunan bagian dari S. Peluang adalah fungsi P dari A pada [0, 1] yang bersifat:

i. P(A) ≥ 0 untuk setiap A di A ii. P(S) = 1

iii. , untuk setiap … di A dimana bila

i≠j.

(20)

Teorema 1

Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

Keterangan:

P(A) = peluang kejadian A

n(A) = banyaknya harapan muncul A N = banyaknya kejadian

(Walpole, 1986: 17)

2.2. Peubah Acak

Definisi 6

Diketahui S adalah ruang sampel. Fungsi X dari S ke R dinamakan peubah acak. Jelajah (range) dari X yakni = {x|x = X(c), c di S}dinamakan ruang peubah acak X atau ruang dari X.

(Djauhari, 1990: 28)

2.2.1 Fungsi Kepadatan Peluang (f.k.p)

F.k.p. dari Peubah Acak Diskrit Definisi 7

Misalkan A ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi A terbilang. Fungsi f dari A ke dalam R yang bersifat:

(21)

ii. = 1

dinamakan fungsi kepadatan peluang (f.k.p.) dari peubah acak diskrit X. Jika peubah acak X diskrit dengan f.k.p f(x), maka peluang suatu A diberikan oleh:

P(X = x) = f(x)

(Djauhari, 1990: 41)

Definisi 8

Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh

F(x) = P(X ≤ x) =

(Walpole, 1986: 38)

2.2.2 F.k.p. dari Peubah Acak Kontinu

Definisi 9

Misalkan A ruang peubah acak kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi: i. f(x) ≥ 0, untuk setiap x

ii.

dinamakan f.k.p. dari peubah acak kontinu X.

Jika peubah acak kontinu X memiliki f.k.p. f(x) = 0 maka peluang suatu peristiwa A diberikan oleh

P(A) =

(Djauhari, 1990: 42)

Definisi 10

Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh

(22)

F(x) = P(X ≤ x) =

(Walpole, 1986: 44)

2.3 Ekspektasi Matematik

Definisi 11

Misalkan u(x) suatu fungsi dari X. Besaran

(jika ada), dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari u(x).

(Djauhari, 1990: 66)

2.4 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator

Bila dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi sampel, dalam pendekatan Bayes di samping informasi sampel juga diperlukan informasi tentang parameter.

Definisi 12

Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi prior.

(23)

Definisi 13

Distribusi bersyarat θ jika diberikan observasi sampel X disebut distribusi posterior θ dari diberikan X dan dinyatakan dengan ( ).

(Soejoeti, 1988)

Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi matematikanya tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan distribusi prior sekawan.

Definisi 14

Misalkan F adalah klas dari distribusi peluang dengan fkp f(x ; θ). Klas P dari distribusi prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior berada dalam P untuk semua f F, semua prior dalam P dan semua x X.

Tiga sifat yang merupakan sifat yang disenangi bagi keluarga prior sekawan adalah : 1. Secara matematik dapat ditelusuri, yaitu cukup mudah untuk menentukan

distribusi posterior dari distribusi prior dan fungsi likelihood yang dipunyai, menghasilkan distribusi posterior yang juga anggota sekawan yang sama, sehingga tidak sulit menggunakan teorema Bayes berturut-turut, serta mudah dihitung nilai harapannya.

2. Keluasannya, yaitu keluarga distribusi sekawan meliputi distribusi dengan parameter-parameter yang berbeda, sehingga mewakili berbagai macam informasi prior yang berbeda.

3. Mudah diinterpretasikan, yaitu keluarga distribusi sekawan dapatdengan mudah diinterpretasikan oleh orang yang mempunyai informasi prior tersebut.

(24)

Definisi 15

Misalkan …, sampel random dari fungsi probabilitas f(x;θ).

Statistik …, dikatakan cukup (sufien) untuk θ apabila untuk semua

θ dan semua hasil yang mungkin, fungsi probabilitas …, jika diketahui w tidak tergantung pada θ , baik dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu.

Untuk menentukan statistik cukup biasanya tidak menggunakan definisi 15, tetapi lebih mudah mengerjakannya dengan kriteria Fisher-Neyman.

(Soejoeti, 1990)

Teorema 2 (Kriteria Fisher-Neyman)

Misalkan …, sampel random dari fungsi probabilitas f(x;θ). Statistik

…, dikatakan cukup untuk θ jika dan hanya jika fungsi probabilitas bersama …, terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas W dan suatu fungsi lain yang hanya tergantung pada θ. Yakni W cukup jika dan hanya jika

(Soejoeti, 1990)

Teorema 3

Jika T adalah statistik cukup untuk θ dengan fungsi kepadatan peluang g(t;θ) maka (θ|x) = (θ|t) =

, dengan distribusi prior untuk dan m(t) fungsi probabilitas

marginal untuk t.

(Berger, 1980: 93)

2.5 Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup

Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya

(25)

interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit atau sampai terjangkitnya suatu penyakit. Variabel random non negatif waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf “T”, dan akan membentuk suatu distribusi.

Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut.

2.6 Fungsi Densitas Peluang (f.d.p.) f(t)

Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu pada suatu interval yang kecil (t, t + t) persatuan waktu. Fungsi densitas peluang (f.d.p) dinyatakan dengan f(t).

... (2.1)

Fungsi distribusi kumulatif pada waktu t untuk suatu individu adalah probabilitas bahwa suatu individu mengalami kegagalan sebelum waktu t atau pada interval waktu [0, ].

… (2.2)

2.7 Fungsi Survivor S(t)

Fungsi survivor adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari waktu t dengan t > 0. Fungsi survivor dinyatakan dengan S(t).

… (2.3)

Mengacu pada ilustrasi di depan:

(26)

Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-komponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi reliabilitas. S(t) merupakan fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan S(0) = 1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan S( ) = lim S(t) = 0, artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0.

2.8 Fungsi Hazard h(t)

Fungsi hazard adalah suatu fungsi yang menunjukkan tingkat kegagalan atau resiko dalam interval (t, t + Dt) dan diketahui bahwa individu tersebut telah bertahan hidup selama waktu t.

Fungsi hazard dinyatakan dengan:

fungsi hazard dapat pula dinyatakan oleh dua buah fungsi yaitu fungsi survivor dan fungsi densitas peluang

… (2.4)

Teorema 4

Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T 0, dan f(t) merupakan f.d.p serta S(t) merupakan fungsi survivor, maka

(27)

Bukti:

Dari (2.2) dan (2.3) maka

sehingga,

Teorema 5

Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T 0 dan S(t) merupakan fungsi survivor dan h(r) menyatakan fungsi hazard maka

Bukti.

Berdasarkan teorema 4 diketahui bahwa

dan persamaan (2.4)

dengan menggunakan salah satu sifat S(t) bahwa S(0) = 1, maka

(28)

Akibat Teorema 5

Berdasarkan teorema 4 dan teorema 5, f(t) dapat dinyatakan dalam h(t) sebagai

Bukti:

Keterangan:

f(t) = fungsi densitas peluang

F(t) = fungsi distribusi kumulatif peluang h(t) = fungsi kegagalan (Hazard)

S(t) = fungsi kehandalan (Survivor) t = waktu

Dari teorema 4 dan teorema 5 serta akibat dari teorema 5 di atas, dapat dilihat bahwa ketiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu f(t), S(t), dan h(t) saling berhubungan satu dengan yang lainnya.

2.9 Sampel Lengkap

(29)

2.10 Distribusi Weibull

Definisi 16

F.k.p untuk waktu kegagalan T berdistribusi Weibull dengan parameter θ dinyatakan sebagai

(Sinha, 1979: 136)

Penerapan distribusi Weibull pada analisis uji hidup antara lain dilakukan oleh Kao (1959) dengan menerapkan distribusi Weibull dalam uji hidup tabung elektron, kemudian Leiblain dan Zeln (1956) melakukan penelitian penerapan distribusi ini dalam bidang rekayasa (Zanzawi, 1996:7). Selanjutnya banyak peneliti yang mengembangkannya antara lain Thomas dan Wilson (1972).(Lawless, 1982:145), Pandey dan Malik (1989).

2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood

Menurut William W. Hines dan Douglas C. Montgomery (1990: 268), sebuah metode yang paling baik untuk memperoleh sebuah estimator yang tunggal adalah metode maksimum likelihood. Karena secara konsep prosedur metode maksimum likelihood sangat sederhana dan metode ini lebih umum digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter distribusi waktu hidup.

Definisi 17

Misalkan x variabel random dengan p.d.f f(x;θ), dimana parameter θ tidak diketahui. Misalkan …, menjadi nilai yang diobservasi di dalam suatu sampel random yang besarnya n. Maka fungsi likelihood sampel tersebut adalah

L(θ) = f( ;θ). f( ;θ). …. f( ;θ)

(30)

merupakan nilai maksimum likelihood estimator atau dengan kata lain maksimum likelihood adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood lebih cocok apabila dikerjakan dengan menggunakan natural logaritma dan dinotasikan dengan ln L(θ).

2.12 Fungsi Gamma

Definisi 18

Fungsi gamma dengan notasi Γ (n) didefinisikan sebagai berikut: Γ

Ekspansikan hanya berlaku untuk n>0, dan integral adalah konvergen. Fungsi gamma banyak membantu dalam memecahkan persoalan-persoalan integral.

Teorema 6 Γ

Bukti:

Γ Γ

(31)

2.13 Fungsi Beta

Definisi 19

Fungsi beta dengan notasi B(m,n) didefinisikan sebagai:

dimana m>0 dan n>0

Fungsi beta banyak membantu dalam memecahkan persoalan-persoalan integral.

Teorema 7

Hubungan fungsi gamma dengan fungsi beta.

Bukti:

Misalkan :

θ sinθ dθ

Untuk

(32)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1. Estimator Bayes untuk Rata-rata Tahan Hidup dari Data Uji Hidup Berdistribusi Weibull dengan Sampel Lengkap

Misalkan ada n benda yang tahan hidupnya berdistribusi Weibull mempunyai f.k.p

diuji tahan hidupnya sampai semua unit gagal atau mati.

Misalkan distribusi prior untuk θ adalah

Keterangan:

= fungsi kepadatan peluang distribusi weibull

p = parameter bentuk = parameter skala

= fungsi kepadatan peluang distribusi gamma c = parameter bentuk distribusi gamma

(33)

Jika adalah sampel random dari f.k.p dari distribusi Weibull, maka fungsi likelihoodnya adalah

t berdistribusi Weibull maka menurut teorema 3 distribusi posterior untuk θ adalah

...(3.1) dengan,

(34)

...(3.2)

Dengan menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2), maka distribusi posterior untuk θ adalah

Berdasarkan persamaan (3.3) dan teorema 4 diperoleh estimator bayes dari θ adalah

(35)

Jadi, estimator bayes dari untuk distribusi Weibull dengan sampel lengkap adalah

3.2. Estimator Maximum Likelihood (MLE) untuk Rata-rata Tahan Hidup dari Data Uji Hidup Berdistribusi Weibull

Selain menggunakan metode estimator Bayesian, untuk memperoleh estimator tunggal dapat menggunakan metode maksimum likelihood.

Fungsi likelihood untuk distribusi Weibull adalah

Selanjutnya fungsi log likelihood dari persamaan di atas adalah:

(36)

Jadi, MLE untuk dari distribusi Weibull adalah

Contoh :

Suatu sampel dari 20 observasi diuji ketahanannya. Sampel berdistribusi Weibull dengan p = 4,25 adalah sebagai berikut.

19,8 16,8 13,9 22,1 20,6

23,2 10,5 18,2 14,1 13,2

14,5 19,9 17,9 12,2 9,4

(37)

1. Tentukan estimator bayes untuk dengan nilai a = 400.000 dan c = 4,25 pada distribusi priornya!

2. Tentukan MLE untuk !

Penyelesaian:

Diketahui:

data berdistribusi Weibull

n = 20, p = 4,25, a = 400.000, c = 4,25 Ditanyakan:

1. Estimator Bayes untuk 2. MLE untuk

Jawab:

= (19,8)4,25 + (16,8) 4,25 + (13,9) 4,25 + (22,1) 4,25 + (20,6) 4,25 + (23,2)4,25 + (10,5) 4,25 + (18,2) 4,25 + (14,1) 4,25 + (13,2) 4,25 + (14,5)4,25 + (19,9) 4,25 + (17,9) 4,25 + (12,2) 4,25 + (9,4) 4,25 + (26,1)4,25 + (20) 4,25 + (20) 4,25 + (26,6) 4,25 + (7) 4,25

= 324.210,5 + 161.274 + 72.079,7 + 517.210,3 + 383.650,4 + 635.805 + 21.880,3 + 226.622,7 + 76.591,6 + 57.868,1 + 86.260,9 + 331.226,6 + 211.166.6+ 41.402,7 + 13.670,7 +

1.048.871,1+ 338358.8 + 338358,8 + 1.136.964,6 + 3.905,4

(38)

Jadi, estimator bayes = =

= 301.368,9772

(39)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat diambil simpulan sebagai berikut. 1. Estimasi parameter populasi dapat dilakukan dengan pendekatan Bayes dengan

parameter suatu distribusi.

2. Untuk populasi yang distribusinya diketahui, penaksiran parameter akan lebih efektif bila menggunakan metode Maksimum Likelihood

3. Estimator Bayes dan Maksimum Likelihood dapat sebagai alternative dalam persoalan estimasi.

4.2. Saran

Untuk menghitung rata-rata tahan hidup dari data uji hidup berditribusi weibull sebaiknya menggunakan Estimator Maksimum Likelihood karena metode ini lebih mudah dan sangat sederhana.

(40)

DAFTAR PUSTAKA

Berger, J. O. 1980. Statistical Decision Theory. New York: Springer Verlang.

Djauhari, Maman A.1990. Statistika Matematik. Bandung: FMIPA ITB.

Hines, William W dan Montgomery D C. 1990. Probabilitas dan statistic dalam ilmu rekayasa dan manajemen. Jakarta : Universitas Indonesia

Lawless, J. F. 1982. Statistical Model and Methods for Life Time Data. New York: John Wiley and Sons.

Robert V. Hogg dan Elliot A. Tanis. 1997. Probability and Statistical Inference. United States of America

Sinha, S.K, dkk. 1979. Life Testing and Reliability Estimation. New Delhi: Wiley Eastern limited.

Suparman L.A. 1989.Statistik Matematik. Jakarta: Rajawali Pers

Surjadi, P. A. 1976. Pendahuluan Teori kemungkinan dan Statistika. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Walpole, Ronald E. Dan Myes, Raymond H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuan. Bandung: ITB Bandung

(1)

Jadi, estimator bayes dari untuk distribusi Weibull dengan sampel lengkap adalah

3.2. Estimator Maximum Likelihood (MLE) untuk Rata-rata Tahan Hidup dari Data Uji Hidup Berdistribusi Weibull

Selain menggunakan metode estimator Bayesian, untuk memperoleh estimator tunggal dapat menggunakan metode maksimum likelihood.

Fungsi likelihood untuk distribusi Weibull adalah

Selanjutnya fungsi log likelihood dari persamaan di atas adalah:

(2)

Jadi, MLE untuk dari distribusi Weibull adalah

Contoh :

Suatu sampel dari 20 observasi diuji ketahanannya. Sampel berdistribusi Weibull dengan p = 4,25 adalah sebagai berikut.

19,8 16,8 13,9 22,1 20,6

23,2 10,5 18,2 14,1 13,2

14,5 19,9 17,9 12,2 9,4

(3)

1. Tentukan estimator bayes untuk dengan nilai a = 400.000 dan c = 4,25 pada distribusi priornya!

2. Tentukan MLE untuk !

Penyelesaian:

Diketahui:

data berdistribusi Weibull

n = 20, p = 4,25, a = 400.000, c = 4,25 Ditanyakan:

1. Estimator Bayes untuk 2. MLE untuk

Jawab:

= 324.210,5 + 161.274 + 72.079,7 + 517.210,3 + 383.650,4 + 635.805 + 21.880,3 + 226.622,7 + 76.591,6 + 57.868,1 + 86.260,9 + 331.226,6 + 211.166.6+ 41.402,7 + 13.670,7 +

1.048.871,1+ 338358.8 + 338358,8 + 1.136.964,6 + 3.905,4

(4)

Jadi, estimator bayes = =

= 301.368,9772

(5)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat diambil simpulan sebagai berikut. 1. Estimasi parameter populasi dapat dilakukan dengan pendekatan Bayes dengan

parameter suatu distribusi.

2. Untuk populasi yang distribusinya diketahui, penaksiran parameter akan lebih efektif bila menggunakan metode Maksimum Likelihood

3. Estimator Bayes dan Maksimum Likelihood dapat sebagai alternative dalam persoalan estimasi.

4.2. Saran

Untuk menghitung rata-rata tahan hidup dari data uji hidup berditribusi weibull sebaiknya menggunakan Estimator Maksimum Likelihood karena metode ini lebih mudah dan sangat sederhana.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Berger, J. O. 1980. Statistical Decision Theory. New York: Springer Verlang.

Djauhari, Maman A.1990. Statistika Matematik. Bandung: FMIPA ITB.

Hines, William W dan Montgomery D C. 1990. Probabilitas dan statistic dalam ilmu rekayasa dan manajemen. Jakarta : Universitas Indonesia

Lawless, J. F. 1982. Statistical Model and Methods for Life Time Data. New York: John Wiley and Sons.

Robert V. Hogg dan Elliot A. Tanis. 1997. Probability and Statistical Inference. United States of America

Sinha, S.K, dkk. 1979. Life Testing and Reliability Estimation. New Delhi: Wiley Eastern limited.

Suparman L.A. 1989.Statistik Matematik. Jakarta: Rajawali Pers

Surjadi, P. A. 1976. Pendahuluan Teori kemungkinan dan Statistika. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Walpole, Ronald E. Dan Myes, Raymond H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistik

untuk Insinyur dan Ilmuan. Bandung: ITB Bandung

Estimator Bayes Dan Maksimum Likelihood Untuk Data Berdistribusi Weibull