Gambar 2.4 Elemen 2 dimensi
c. Elemen tiga dimensi, terdiri dari:
Elemen tetrahedron
Elemen parallelepiped Sama seperti tipe-tipe elemen yang telah disebutkan sebelumnya, kecuali
untuk orde linier, elemen-elemen ini dapat memiliki sisi yang berbentuk kurva. Pada simulasi ini elemen yang dipilih adalah elemen tetrahedron.
a b
c Gambar 2.5 Elemen 3 dimensi
2.3.1 Metode Elemen Hingga Pada Kasus Analisis Struktur
Pemecahan solusi metode elemen hingga, yaitu dengan menggunakan elemen-elemen untuk memodelkan struktur keseluruhan. Persamaan umum yang
digunakan untuk menggambarkan kuantitas nodal-nodal elemen tersebut adalah: {F} [K] = {u}
2.1
Universitas Sumatera Utara
Dengan {f} adalah gaya-gaya yang bekerja pada nodal-nodal, {u} adalah perpindahan pada nodal dan [k] adalah matriks kekauan elemen [k]. Terdapat tiga
metoda yang digunakan untuk menurunkan persamaan elemen, yaitu: 1.
Metoda Persamaan Langsung atau “Direct Formulation” Pada metoda ini, matriks kekakuan elemen dan persamaan elemen
didapatkan dengan menurunkan persamaan kesetimbangan pada setiap nodal untuk mendapatkan hubungan gaya dan perpindahan nodal. Metoda ini mudah
digunakan pada model-model yang sederhana, dengan jumlah elemen yang sedikit. Akan sangat sulit menggunakan metoda ini pada geometri yang cukup
rumit, dengan jumlah nodal yang sangat banyak. Oleh sebab itu metoda ini tidak digunakan untuk jumlah elemen yang banyak.
2. Metode Energi
Metoda energi merupakan metoda yang cukup banyak digunakan. Terdapat tiga jenis metoda energi dalam analisis elemen hingga, yaitu:
- Virtual Work - Prinsip variasi
- Teorema Castigliano Pendekatan energi potensial minimal merupakan metoda yang lebih
mudah untuk diadaptasi pada konfigurasi-konfigurasi yang cukup rumit, seperti elemen plane strainstress, elemen axisymetric, elemen plate bending, elemen
shell, dan elemen solid. Energi potensial minimal menggunakan fungsi variasi, yaitu fungsi dari fungsi lain. fx,y merupakan fungsi dari dua variabel x dan y,
dan merupakan fungsi dari f. π = π x,y
2.2 Pada permasalahan struktur, total energi potensial pada struktur tersebut
adalah p yang dapat dituliskan sebagai fungsi dari variabel perpindahan p=d1,d2,d3,…,dn. Subskrip n menunjukkan derajat kebebasan benda. Total
energi potensial dapat didefinisikan seperti pada persamaan 2.2 di bawah ini : π
p
= energi starin + energi potensial
Universitas Sumatera Utara
π
p
= U+W 2.3
Dimana U adalah energi potensial karena gaya dalam yang menyebabkan timbulnya strain, sementara W adalah energi potensial karena gaya luar yang
menyebabkan timbulnya deformasi pada benda. Persamaan kesetimbangan akan terpenuhi jika nilai energi potensial adalah konstan. Persamaan tersebut akan
stabil jika nilai statis adalah minimal, dimana perubahan energi potensial total terhadap perubahan perpindahan adalah nol.
Gambar 2.6 Model Elemen 3 Dimensi Dari gambar 2.6 dapat diturunkkan energi strain total dan energi potensial karena
gaya luar sebagai berikut;
∫
=
v T
dV U
ε σ
2 1
2.4
∑ ∫
∫
− −
− =
i T
i S
T V
T
P u
TdS u
fdV u
W 2.5
Dari persamaan di atas maka nilai π
p
adalah
∑ ∫
∫
− −
=
i i
T i
S T
V T
p
P u
TdS u
dV ε
σ π
2 1
2.6 Dimana
u = [u,v,w]
T
; deformasi titik x u
i
= [u,v,w]
i T
; deformasi pada nodal i
Universitas Sumatera Utara
f = [f
x
, f
y
, f
z
]
T
; gaya terdistribusi tiap satuan volume T = [T
x
, T
y
, T
z
]
T
; gaya tiap satuan luas P
i
= [P
x
, P
y
, P
z
]
T
; gaya pada nodal i σ = [σ
x
, σ
y
, σ
z
, τ
yz
, τ
xz
, τ
xy
] ε = [ε
x
, ε
y
, ε
z
, γ
yz
, γ
xz
, γ
xy
,]
3. Metoda Weighted Residual
Metoda ini digunakan apabila variasi perumusan atau fungsi tidak didefinisikan secara jelas. Metoda Galerkin merupakan metoda yang
menggunakan metoda ini.
4. Elemen tetrahedral Elemen Tetrahedral adalah elemen tiga dimensi yang sangat simpel untuk
menyelesaikan persoalan-persoalan mekanika stuktur. Seperti yang terlihat pada gambar 2.7, dapat dimisalkan bentuk tiap elemenya berbentuk
tetrahedral.
Gambar 2.7 Elemen Tetrahedral. Gambar 2.7 merupakan elemen tetrahedral dengan 3 dimensi, yang
memiliki 4 node untuk 1 elemen.
a. Pemilihan Fungsi Displacement
Pemilihan fungsi displacement dapat dilakukan dengan memperhatikan
Universitas Sumatera Utara
urutan penomoran, dimana nomor yang terakhir = 4 ditentukan lebih dahulu. Nomor-nomor lainnya ditentukan searah dengan kebalikan jarum jam.
Displacement = {q}
{q} =
4 4
4 1
w v
u .
. 1
1 w
v u
2.7
Fungsi displacement {q} u, v, w harus merupakan fungsi linier karena hanya ada dua node yang membatasi sebuah rusuk elemen. Masing-masing fungsi
displacement tersebut adalah ux,y,z = a
1
+ a
2x
+ a
3y
+ a
4z
vx,y,z = a
5
+ a
6x
+ a
7y
+ a
8z
wx,y,z = a
9
+ a
10x
+ a
11y
+ a
12z
2.8 dengan syarat batas: pada x,y,z, u = u
1
pada x,y,z, u = u
2
dan seterusnya dihasilkan:
}] [{
6 1
4 4
4 4
4 3
3 3
3 3
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
u z
y x
u z
y x
u z
y x
u z
y x
v u
δ γ
β α
δ γ
β α
δ γ
β α
δ γ
β α
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
}] [{
6 1
4 4
4 4
4 3
3 3
3 3
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
v z
y x
v z
y x
v z
y x
v z
y x
v v
δ γ
β α
δ γ
β α
δ γ
β α
δ γ
β α
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
2.9
}] [{
6 1
4 4
4 4
4 3
3 3
3 3
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
w z
y x
w z
y x
w z
y x
w z
y x
v w
δ γ
β α
δ γ
β α
δ γ
β α
δ γ
β α
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
Dimana 6v dihitung dari harga determinan berikut ini.
Universitas Sumatera Utara
=
4 4
4 3
3 3
2 2
2 1
1 1
z y
x 1
z y
x 1
z y
x 1
z y
x 1
6v
2.10
V menyatakan volume dari elemen tetrahedra. Koefisien α
i
, β
i
, γ
i
, δ
i
, i = 1,2,3,4 dalam persamaan 2.11 diberikan sebagai berikut:
=
4 4
4 3
3 3
2 2
2 1
z y
x z
y x
z y
x
α
− =
4 4
3 3
2 2
1
z y
1 z
y 1
z y
1
β
=
4 4
3 3
2 2
1
z x
1 z
x 1
z x
1
γ
− =
4 4
3 3
2 2
1
y x
1 y
x 1
y x
1
δ
− =
4 4
4 3
3 3
1 1
1 2
z y
x z
y x
z y
x
α
− =
4 4
3 3
1 1
2
z y
1 z
y 1
z y
1
β
− =
4 4
3 3
1 1
2
z x
1 z
x 1
z x
1
γ
=
4 4
3 3
1 1
2
y x
1 y
x 1
y x
1
δ
=
4 4
4 2
2 2
1 1
1 3
z y
x z
y x
z y
x
α
− =
4 4
2 2
1 1
3
z y
1 z
y 1
z y
1
β
Universitas Sumatera Utara
=
4 4
2 2
1 1
3
z x
1 z
x 1
z x
1
γ
− =
4 4
2 2
1 1
2
y x
1 y
x 1
y x
1
δ
− =
3 3
3 2
2 2
1 1
1 4
z y
x z
y x
z y
x
α
− =
3 3
2 2
1 1
4
z y
1 z
y 1
z y
1
β
− =
3 3
2 2
1 1
4
z x
1 z
x 1
z x
1
γ
=
3 3
2 2
1 1
2
y x
1 y
x 1
y x
1
δ 2.11
Fungsi displacement dalam kaitannya dengan fungsi bentuk N ditulis sehingga persamaan 2.11, dapat disederhanakan menjadi:
=
4 4
4 3
3 3
2 2
2 1
1 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
N N
N N
N N
N N
N
w v
u w
v u
w v
u w
v u
N N
N w
v u
2.12
Dimana,
v z
y x
N 6
1 1
1 1
1
δ γ
β α
+ +
+ =
Universitas Sumatera Utara
v z
y x
N 6
2 2
2 2
2
δ γ
β α
+ +
+ =
v z
y x
N 6
3 3
3 3
3
δ γ
β α
+ +
+ =
v z
y x
N 6
4 4
4 4
4
δ γ
β α
+ +
+ =
2.13
b. Menentukan Strain-Displacement dan Hubungan StressStrain
Strain dari elemen untuk kasus stress tiga dimensi diberikan dalam persamaan berikut ini:
{ }
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
=
=
z u
x w
y w
z v
x v
y u
z w
y v
x u
zx yz
xy z
y x
γ γ
γ ε
ε ε
ε 2.14
Dikalikan dengan matriks [B], strain dinyatakan sebagai:
{ }
[ ]
{ }
q B
= ε
2.15 Dimana
[ ]
=
− −
− −
4 3
2 1
B B
B B
B 2.16
Sub matriks
− 1
B adalah:
Universitas Sumatera Utara
=
−
x z
y z
y z
y x
N N
N N
N N
N N
B
, 1
, 1
, 1
, 1
x 1,
, 1
, 1
, 1
, 1
1
N 2.17
Catatan:
1. Indeks huruf dibelakang koma menyatakan differensial dari N
1
terhadap x. 2.
Untuk sub matrik lain
− −
− 4
3 2
, ,
B B
B
tinggal mengganti indeks 1 pada persamaan 2.16 berturut-turut dengan 2,3 dan 4.
Dengan memasukkan harga N
i
dari persamaan 2.13 i = 1,2,3,4 ke persamaan
2.17 diperoleh sub matrik:
=
−
6 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
β δ
γ δ
β γ
δ γ
β
v B
2.18
Demikian pula untuk sub matriks
− 2
B ,
− 3
B ,
− 4
B Maka hubungan stress-strain diberikan melaui persamaan
{
σ} = [c] {ε}
2.19
2.3.2 Regangan Pada Bidang Tiga Dimensi
