106
1 2
x 2
x 1
1 1
u u
1 dx
du du
dy dx
dy
2 2
- p
- p
- -
= -
- =
=
Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut
1. y = arcsinp-x 3.
x arccos
x 2
cos y =
2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x
4.8 Turunan fungsi Eksponen
Jika y = fx = e
x
maka
= =
x f
dx dy
e
x
4.36 Bukti :
e
x
didefinisikan sebagai
n n
x 1
n lim
ú û
ù ê
ë é
+ ¥
®
Dengan menggunakan teorema binomial didapat :
n n
x 1
ú û
ù ê
ë é
+
=
L n
x 3
1 .
2 n
1 n
n n
x 2
1 .
1 n
n n
x 1
1 n
1 .
n n
x n
1
3 3
n 2
2 n
1
+ ú
û ù
ê ë
é -
- +
ú û
ù ê
ë é
- +
ú û
ù ê
ë é
- +
ú û
ù ê
ë é
- -
n n
x 1
ú û
ù ê
ë é
+
=
L x
3 n
2 1
n 1
1 x
2 n
1 1
x 1
3 2
+ -
- +
- +
+ n
n x
1 n
lim ú
û ù
ê ë
é +
¥ ®
=
ú û
ù ê
ë é
+ -
- +
- +
+ ¥
® L
x 3
n 2
1 n
1 1
x 2
n 1
1 x
1 n
lim
3 2
e
x
=
L 3
x 2
x x
1
3 2
+ +
+ +
4.37 Sehingga : e =
L L
+ +
+ +
= +
+ +
+ 3
1 2
1 1
1 3
1 2
1 1
1
3 2
4.38 Jika y = fx = e
x
Maka
x 1
e e
lim x
e e
lim x
x f
x x
f lim
x f
dx dy
x x
x x
x x
x x
D -
= D
- =
D -
D +
= =
D ®
D D
+ ®
D ®
D
Karena e
x
=
L 3
x 2
x x
1
3 2
+ +
+ +
, maka e
Dx
–
1 =
L 3
x 2
x x
3 2
+ D
+ D
+ D
Sehingga
x 1
e e
lim
x x
x
D -
D ®
D
=
x 2
x x
e 3
x 2
x 1
e lim
= ú
ú û
ù ê
ê ë
é +
D +
D +
® D
L
terbukti
Jika y = e
u
dan u = fx maka
dx du
e dx
dy
u
=
4.39 Bukti : y = e
u u
e du
dy =
u = fx
x f
dx du
=
107
dx du
e dx
du du
dy dx
dy
u
= =
terbukti
Contoh 4.22
Jika y =
bx a
e 2
-
-
, tentukan
dx dy
Penyelesaian : Misal : u = a – bx
dx du
= -b
bx a
bx a
be b
e dx
dy
- -
- =
- =
4.9 Turunan fungsi logaritma
Jika y = fx = ln x maka
= =
x f
dx dy
x 1
4.40 Bukti :
y = fx = ln x
x x
x 1
ln lim
x x
ln x
x ln
lim x
x f
x x
f lim
x f
dx dy
x x
x
D ú
û ù
ê ë
é D
+ =
D -
D +
= D
- D
+ =
=
® D
® D
® D
= ú
û ù
ê ë
é D
+ D
=
® D
x x
1 ln
x 1
lim
x
= ú
û ù
ê ë
é D
+ D
=
® D
x x
1 ln
x x
lim x
1
x x
x x
x x
1 ln
lim x
1
D ®
D
ú û
ù ê
ë é
D +
=
Berdasarkan teorema binomial maka :
L +
ú û
ù ê
ë é D
ú û
ù ê
ë é
- D
ú û
ù ê
ë é
D +
ú û
ù ê
ë é D
ú û
ù ê
ë é
D +
= ú
û ù
ê ë
é D
+
- D
- D
D D
2 x
x 1
1 x
x x
x 1
x x
1 x
x 1
x x
1
2 2
x x
1 x
x x
x x
x
Jadi :
ú ú
ú ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ê
ê ê
ë é
+ ú
û ù
ê ë
é D ú
û ù
ê ë
é -
D ú
û ù
ê ë
é D
+ ú
û ù
ê ë
é D ú
û ù
ê ë
é D
+ =
ú û
ù ê
ë é
D +
- D
- D
D ®
D D
® D
L 2
x x
1 1
x x
x x
1 x
x 1
x x
1 ln
lim x
1 x
x 1
ln lim
x 1
2 2
x x
1 x
x x
x x
x x
x
ú ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ê
ë é
+ ú
û ù
ê ë
é D
- ú
û ù
ê ë
é D
- +
ú û
ù ê
ë é
D -
+ +
= ú
û ù
ê ë
é D
+
® D
D ®
D
L 3
x x
2 1
x x
1 2
x x
1 1
1 ln
lim x
1 x
x 1
ln lim
x 1
x x
x x
x 1
1 x
1 e
ln x
1 3
1 2
1 1
1 ln
x 1
= =
= ú
û ù
ê ë
é +
+ +
+ =
L
terbukti
108
Jika y = ln u dan u = fx maka
dx du
u 1
dx dy
=
4.41 Bukti : y = ln u
u 1
du dy
=
u = fx
x f
dx du
= dx
du u
1 dx
du du
dy dx
dy =
=
terbukti
Contoh 4.23
Jika y = e
2x
ln
x 3
1
tentukan
dx dy
Penyelesaian : Misal : u = e
2x
v = ln
x 3
1
x 2
e 2
dx du
= x
1 dx
dv =
ú û
ù ê
ë é
+ =
+ =
+ =
x 1
x 3
1 ln
2 e
x 1
e x
3 1
ln e
2 dx
dv .
u v
. dx
du dx
dy
x 2
x 2
x 2
Jika y = fx =
a
log x maka
= =
x f
dx dy
x a
ln 1
4.42 Bukti :
y =
a
log x ® a
y
= x y ln a = ln x
® y =
x ln
a ln
1 x
a ln
1 dx
dy =
terbukti
Jika y =
a
log u dan u = fx maka
dx du
u a
ln 1
dx dy
=
4.43 Bukti :
y =
a
log u ®
u a
ln 1
du dy
= dx
du .
u a
ln 1
dx du
. du
dy dx
dy =
=
terbukti
Contoh 4.24
Jika y =
7
log3-5x tentukan
dx dy
Penyelesaian : Misal : u = 3 – 5x
®
5 dx
du -
= x
5 3
7 ln
5 dx
du u
a ln
1 dx
dy -
- =
=
109
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut
1. y = xe
3x
4. y =
x 4
2
e x
3 ln
x
7. y =
x 4
ln e
x 3
1
10. y =
x ln
e e
x 5
ln x
x x
-
2. y =
x 3
e 2
2 x
3 -
5. y =
x 2
x
e e
x 4
ln x
+
8. y =
x 2
3 5
e x
1 log
3
-
-
3. y = x
3
ln2x 6. y =
x 6
5 x
3 ln
2 -
9. y =
x 4
log e
x
3 bx
a 3
-
4.10 Turunan fungsi hiperbolik
Jika y = fx = sinhx maka
= =
x f
dx dy
coshx 4.44
Bukti : y = fx = sinhx =
e e
2 1
x x
-
- x
f dx
dy =
=
e e
2 1
x x
-
+
= coshx terbukti
Jika y = sinh u dan u = fx maka
= dx
dy
cosh u
dx du
4.45 Bukti :
y = sinh u ®
u cosh
du dy
= dx
du u
cosh dx
du .
du dy
dx dy
= =
terbukti
Contoh 4.25
Jika y = 3 sinh
x 5
1
, tentukan
dx dy
Penyelesaian : Misal : u =
x 5
1
y = 3 sinh u
5 1
dx du
= u
cosh 3
du dy
=
110
x 3
1 cosh
5 3
5 1
u cosh
3 dx
du du
dy dx
dy =
= =
Jika y = fx = coshx maka
= =
x f
dx dy
sinhx 4.46
Bukti : y = fx = coshx =
e e
2 1
x x
-
+ x
f dx
dy =
=
e e
2 1
x x
-
-
= sinhx terbukti
Jika y = cosh u dan u = fx maka
= dx
dy
sinh u
dx du
4.47 Bukti :
y = cosh u ®
u sinh
du dy
= dx
du u
sinh dx
du .
du dy
dx dy
= =
terbukti Contoh 4.26
Jika y = cosh 1-2x, tentukan
dx dy
Penyelesaian : Misal : u = 1-2x
y = cosh u
2 dx
du -
=
u sinh
= du
dy 2
1 sinh
2 u-2
sinh x
dx du
du dy
dx dy
- -
= =
=
Jika y = fx = tanhx maka
= =
x f
dx dy
sech
2
x 4.48
Bukti : y = fx = tanhx =
x cosh
x sinh
x f
dx dy
=
=
x cosh
x sinh
x cosh
x cosh
x sinh
x sinh
x cosh
x cosh
2 2
2 2
- =
-
=
x h
sec x
cosh 1
2 2
=
terbukti
Jika y = tanh u dan u = fx maka
= dx
dy
sech
2
u
dx du
4.49 Bukti :
111
y = tanh u ®
u h
sec du
dy
2
= dx
du u
h sec
dx du
. du
dy dx
dy
2
= =
terbukti
Contoh 4.27
Jika y = tanh a+bx, tentukan
dx dy
Penyelesaian : Misal : u = a+bx
y = tanh u
b dx
du =
u h
sec du
dy
2
= bx
a h
sec b
ub h
sec dx
du du
dy dx
dy
2 2
+ =
= =
Jika y = fx = cothx maka
= =
x f
dx dy
-csch
2
x 4.50
Bukti : y = fx = cothx =
x sinh
x cosh
x f
dx dy
=
=
x sinh
x cosh
x sinh
x sinh
x cosh
x cosh
x sinh
x sinh
2 2
2 2
- =
-
=
x h
csc x
sinh 1
2 2
- =
-
terbukti Jika y = coth u dan u = fx maka
= dx
dy
- csch
2
u
dx du
4.51 Bukti : y = tanh u
®
u h
csc du
dy
2
- =
dx du
u h
csc dx
du .
du dy
dx dy
2
- =
=
terbukti
Contoh 4.28
Jika y = coth a+bt, tentukan
dt dy
Penyelesaian : Misal : u = a+bt
y = coth u
b dt
du =
u h
csc du
dy
2
- =
bt a
h csc
b ub
h csc
dt du
du dy
dt dy
2 2
+ -
= -
= =
Jika y = fx = sechx maka
= =
x f
dx dy
-csch
2
x 4.52
Bukti : y = fx = sechx =
x cosh
1
112
Misal u = 1 ®
dx du
=
V = coshx ®
x sinh
dx dv
=
2
v dx
dv .
u v
. dx
du dx
dy -
= =
2
x cosh
x sinh
1 x
cosh -
=
x cosh
x sinh
2
-
= - tanhx sechx terbukti
Jika y = sech u dan u = fx maka
= dx
dy
- tanhu sechu
dx du
4.53 Bukti : y = sech u
®
u h
sec u
tanh du
dy -
= dx
du u
sech u
tanh dx
du .
du dy
dx dy
- =
=
terbukti
Contoh 4.29
Jika y = 2sech
x 5
1 3
1 -
, tentukan
dt dy
Penyelesaian : Misal : u =
x 5
1 3
1 -
y = 2 sech u
5 1
dx du
- =
sechu u
tanh du
dy -
= x
5 1
3 1
sech x
5 1
3 1
tanh 5
2 5
1 sechu-
u tanh
2 dt
du du
dy dt
dy -
- =
- =
=
y = fx = cschx maka
= =
x f
dx dy
-csch x cothx 4.54
Bukti : y = fx = sechx =
x sinh
1
Misal u = 1 ®
dx du
=
V = sinhx ®
x cosh
dx dv
=
2
v dx
dv .
u v
. dx
du dx
dy -
= =
2
x sinh
x cosh
1 x
sinh -
=
x sinh
x cosh
2
-
= - cothx cschx terbukti
Jika y = csch u dan u = fx maka
= dx
dy
- cothu cschu
dx du
4.55 Bukti :
y = csch u ®
u h
csc u
coth du
dy -
=
113
dx du
u csch
u coth
dx du
. du
dy dx
dy -
= =
terbukti
Contoh 4.30
Jika y = -3csch
x 2
1 5
1 +
, tentukan
dt dy
Penyelesaian : Misal : u =
x 2
1 5
1 +
y = -3 csch u
2 1
dx du
= cschu
u coth
3 du
dy =
x 2
1 5
1 sech
x 2
1 5
1 coth
2 3
2 1
cschu u
coth 3
dt du
du dy
dt dy
+ +
= =
=
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut
1. y = sinh2-3x 6. y =
x 2
1 coth
c bx
ax
2
+ +
+
2. y = cosha
2
x – b 7. y =
x 2
h sec
e
ax -
3. y = x
2
sinh5x 8. y =
x 5
4 ln
x 3
h sec
-
4. y = e
mx
cosh2x 9. y =
1 -
cschx x
5 1
3
5. y = ln2-x tanh3x 10. y =
bx -
cscha e
x 3
1
4.11 Turunan fungsi hiperbolik invers