Turunan fungsi Eksponen Turunan fungsi logaritma

106 1 2 x 2 x 1 1 1 u u 1 dx du du dy dx dy 2 2 - p - p - - = - - = = Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut 1. y = arcsinp-x 3. x arccos x 2 cos y = 2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x

4.8 Turunan fungsi Eksponen

Jika y = fx = e x maka = = x f dx dy e x 4.36 Bukti : e x didefinisikan sebagai n n x 1 n lim ú û ù ê ë é + ¥ ® Dengan menggunakan teorema binomial didapat : n n x 1 ú û ù ê ë é + = L n x 3 1 . 2 n 1 n n n x 2 1 . 1 n n n x 1 1 n 1 . n n x n 1 3 3 n 2 2 n 1 + ú û ù ê ë é - - + ú û ù ê ë é - + ú û ù ê ë é - + ú û ù ê ë é - - n n x 1 ú û ù ê ë é + = L x 3 n 2 1 n 1 1 x 2 n 1 1 x 1 3 2 + - - + - + + n n x 1 n lim ú û ù ê ë é + ¥ ® = ú û ù ê ë é + - - + - + + ¥ ® L x 3 n 2 1 n 1 1 x 2 n 1 1 x 1 n lim 3 2 e x = L 3 x 2 x x 1 3 2 + + + + 4.37 Sehingga : e = L L + + + + = + + + + 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 2 4.38 Jika y = fx = e x Maka x 1 e e lim x e e lim x x f x x f lim x f dx dy x x x x x x x x D - = D - = D - D + = = D ® D D + ® D ® D Karena e x = L 3 x 2 x x 1 3 2 + + + + , maka e Dx – 1 = L 3 x 2 x x 3 2 + D + D + D Sehingga x 1 e e lim x x x D - D ® D = x 2 x x e 3 x 2 x 1 e lim = ú ú û ù ê ê ë é + D + D + ® D L terbukti Jika y = e u dan u = fx maka dx du e dx dy u = 4.39 Bukti : y = e u u e du dy = u = fx x f dx du = 107 dx du e dx du du dy dx dy u = = terbukti Contoh 4.22 Jika y = bx a e 2 - - , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal : u = a – bx dx du = -b bx a bx a be b e dx dy - - - = - =

4.9 Turunan fungsi logaritma

Jika y = fx = ln x maka = = x f dx dy x 1 4.40 Bukti : y = fx = ln x x x x 1 ln lim x x ln x x ln lim x x f x x f lim x f dx dy x x x D ú û ù ê ë é D + = D - D + = D - D + = = ® D ® D ® D = ú û ù ê ë é D + D = ® D x x 1 ln x 1 lim x = ú û ù ê ë é D + D = ® D x x 1 ln x x lim x 1 x x x x x x 1 ln lim x 1 D ® D ú û ù ê ë é D + = Berdasarkan teorema binomial maka : L + ú û ù ê ë é D ú û ù ê ë é - D ú û ù ê ë é D + ú û ù ê ë é D ú û ù ê ë é D + = ú û ù ê ë é D + - D - D D D 2 x x 1 1 x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 2 2 x x 1 x x x x x x Jadi : ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é + ú û ù ê ë é D ú û ù ê ë é - D ú û ù ê ë é D + ú û ù ê ë é D ú û ù ê ë é D + = ú û ù ê ë é D + - D - D D ® D D ® D L 2 x x 1 1 x x x x 1 x x 1 x x 1 ln lim x 1 x x 1 ln lim x 1 2 2 x x 1 x x x x x x x x ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú û ù ê ë é D - ú û ù ê ë é D - + ú û ù ê ë é D - + + = ú û ù ê ë é D + ® D D ® D L 3 x x 2 1 x x 1 2 x x 1 1 1 ln lim x 1 x x 1 ln lim x 1 x x x x x 1 1 x 1 e ln x 1 3 1 2 1 1 1 ln x 1 = = = ú û ù ê ë é + + + + = L terbukti 108 Jika y = ln u dan u = fx maka dx du u 1 dx dy = 4.41 Bukti : y = ln u u 1 du dy = u = fx x f dx du = dx du u 1 dx du du dy dx dy = = terbukti Contoh 4.23 Jika y = e 2x ln x 3 1 tentukan dx dy Penyelesaian : Misal : u = e 2x v = ln x 3 1 x 2 e 2 dx du = x 1 dx dv = ú û ù ê ë é + = + = + = x 1 x 3 1 ln 2 e x 1 e x 3 1 ln e 2 dx dv . u v . dx du dx dy x 2 x 2 x 2 Jika y = fx = a log x maka = = x f dx dy x a ln 1 4.42 Bukti : y = a log x ® a y = x y ln a = ln x ® y = x ln a ln 1 x a ln 1 dx dy = terbukti Jika y = a log u dan u = fx maka dx du u a ln 1 dx dy = 4.43 Bukti : y = a log u ® u a ln 1 du dy = dx du . u a ln 1 dx du . du dy dx dy = = terbukti Contoh 4.24 Jika y = 7 log3-5x tentukan dx dy Penyelesaian : Misal : u = 3 – 5x ® 5 dx du - = x 5 3 7 ln 5 dx du u a ln 1 dx dy - - = = 109 Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut 1. y = xe 3x 4. y = x 4 2 e x 3 ln x 7. y = x 4 ln e x 3 1 10. y = x ln e e x 5 ln x x x - 2. y = x 3 e 2 2 x 3 - 5. y = x 2 x e e x 4 ln x + 8. y = x 2 3 5 e x 1 log 3 - - 3. y = x 3 ln2x 6. y = x 6 5 x 3 ln 2 - 9. y = x 4 log e x 3 bx a 3 - 4.10 Turunan fungsi hiperbolik Jika y = fx = sinhx maka = = x f dx dy coshx 4.44 Bukti : y = fx = sinhx = e e 2 1 x x - - x f dx dy = = e e 2 1 x x - + = coshx terbukti Jika y = sinh u dan u = fx maka = dx dy cosh u dx du 4.45 Bukti : y = sinh u ® u cosh du dy = dx du u cosh dx du . du dy dx dy = = terbukti Contoh 4.25 Jika y = 3 sinh x 5 1 , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal : u = x 5 1 y = 3 sinh u 5 1 dx du = u cosh 3 du dy = 110 x 3 1 cosh 5 3 5 1 u cosh 3 dx du du dy dx dy = = = Jika y = fx = coshx maka = = x f dx dy sinhx 4.46 Bukti : y = fx = coshx = e e 2 1 x x - + x f dx dy = = e e 2 1 x x - - = sinhx terbukti Jika y = cosh u dan u = fx maka = dx dy sinh u dx du 4.47 Bukti : y = cosh u ® u sinh du dy = dx du u sinh dx du . du dy dx dy = = terbukti Contoh 4.26 Jika y = cosh 1-2x, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal : u = 1-2x y = cosh u 2 dx du - = u sinh = du dy 2 1 sinh 2 u-2 sinh x dx du du dy dx dy - - = = = Jika y = fx = tanhx maka = = x f dx dy sech 2 x 4.48 Bukti : y = fx = tanhx = x cosh x sinh x f dx dy = = x cosh x sinh x cosh x cosh x sinh x sinh x cosh x cosh 2 2 2 2 - = - = x h sec x cosh 1 2 2 = terbukti Jika y = tanh u dan u = fx maka = dx dy sech 2 u dx du 4.49 Bukti : 111 y = tanh u ® u h sec du dy 2 = dx du u h sec dx du . du dy dx dy 2 = = terbukti Contoh 4.27 Jika y = tanh a+bx, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal : u = a+bx y = tanh u b dx du = u h sec du dy 2 = bx a h sec b ub h sec dx du du dy dx dy 2 2 + = = = Jika y = fx = cothx maka = = x f dx dy -csch 2 x 4.50 Bukti : y = fx = cothx = x sinh x cosh x f dx dy = = x sinh x cosh x sinh x sinh x cosh x cosh x sinh x sinh 2 2 2 2 - = - = x h csc x sinh 1 2 2 - = - terbukti Jika y = coth u dan u = fx maka = dx dy - csch 2 u dx du 4.51 Bukti : y = tanh u ® u h csc du dy 2 - = dx du u h csc dx du . du dy dx dy 2 - = = terbukti Contoh 4.28 Jika y = coth a+bt, tentukan dt dy Penyelesaian : Misal : u = a+bt y = coth u b dt du = u h csc du dy 2 - = bt a h csc b ub h csc dt du du dy dt dy 2 2 + - = - = = Jika y = fx = sechx maka = = x f dx dy -csch 2 x 4.52 Bukti : y = fx = sechx = x cosh 1 112 Misal u = 1 ® dx du = V = coshx ® x sinh dx dv = 2 v dx dv . u v . dx du dx dy - = = 2 x cosh x sinh 1 x cosh - = x cosh x sinh 2 - = - tanhx sechx terbukti Jika y = sech u dan u = fx maka = dx dy - tanhu sechu dx du 4.53 Bukti : y = sech u ® u h sec u tanh du dy - = dx du u sech u tanh dx du . du dy dx dy - = = terbukti Contoh 4.29 Jika y = 2sech x 5 1 3 1 - , tentukan dt dy Penyelesaian : Misal : u = x 5 1 3 1 - y = 2 sech u 5 1 dx du - = sechu u tanh du dy - = x 5 1 3 1 sech x 5 1 3 1 tanh 5 2 5 1 sechu- u tanh 2 dt du du dy dt dy - - = - = = y = fx = cschx maka = = x f dx dy -csch x cothx 4.54 Bukti : y = fx = sechx = x sinh 1 Misal u = 1 ® dx du = V = sinhx ® x cosh dx dv = 2 v dx dv . u v . dx du dx dy - = = 2 x sinh x cosh 1 x sinh - = x sinh x cosh 2 - = - cothx cschx terbukti Jika y = csch u dan u = fx maka = dx dy - cothu cschu dx du 4.55 Bukti : y = csch u ® u h csc u coth du dy - = 113 dx du u csch u coth dx du . du dy dx dy - = = terbukti Contoh 4.30 Jika y = -3csch x 2 1 5 1 + , tentukan dt dy Penyelesaian : Misal : u = x 2 1 5 1 + y = -3 csch u 2 1 dx du = cschu u coth 3 du dy = x 2 1 5 1 sech x 2 1 5 1 coth 2 3 2 1 cschu u coth 3 dt du du dy dt dy + + = = = Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut 1. y = sinh2-3x 6. y = x 2 1 coth c bx ax 2 + + + 2. y = cosha 2 x – b 7. y = x 2 h sec e ax - 3. y = x 2 sinh5x 8. y = x 5 4 ln x 3 h sec - 4. y = e mx cosh2x 9. y = 1 - cschx x 5 1 3 5. y = ln2-x tanh3x 10. y = bx - cscha e x 3 1

4.11 Turunan fungsi hiperbolik invers