90
Jadi : x
x fx
- x
f lim
m
1 1
x x
1
- =
®
4.3 Karena x
1
– x = h, maka h
fx -
h x
f lim
m
h
+ =
®
4.4 Jika dimisalkan h = Dx, maka
x fx
- x
x f
lim m
x
D D
+ =
® D
4.5 Persamaan 4.3 sd 4.5 adalah kemiringan garis
l
pada titik x, fx
Contoh 4.1 Diketahui fx = 3x
2
+ 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik a,a
2
Penyelesaian : x
fx -
x x
f lim
m
x
D D
+ =
® D
x 5
x 3
5 x
3 x
x 6
x 3
lim x
5 3x
- 5
x x
3 lim
2 2
2 x
2 2
x
D -
- +
D +
D +
= D
- +
D +
=
® D
® D
x 6
x 3
x 6
lim
x
= D
+ =
® D
Jadi m = 6x Persamaan garis singgung : y = mx + n
Karena garis singgung melalui titik a,a
2
maka : persamaan menjadi :m = 6a
persamaan menjadi : a
2
= 6a
2
+ n. Sehingga n = -5a
2
Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a
2
4.2 Turunan
Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4
berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan fx menjadi turunan fx atau f’x.
Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva fx di titik x,fx
. Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk :
x x
x f
x f
lim x
f
1 1
x x
1
- -
=
®
, jika nilai limitnya ada 4.6
Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti fx dapat didifferensiasikan differensiable pada x. Maka dikatakan fx mempunyai turunan pada x.
Differensiasi fx
f’x Gambar 4.4
91
Contoh 4.2 Jika fx = 2x
2
+ 5x – 7, tentukan f’x, f’c dan f’3 Penyelesaian :
fx = 2x
2
+ 5x – 7 fx+Dx = 2x+Dx
2
+ 5x+Dx – 7 = 2x
2
+ 4xDx +2Dx
2
+ 5x + 5Dx – 7 fx+Dx – fx = 4xDx + 2Dx
2
+ 5Dx 5
x 4
5 x
2 x
4 lim
x x
5 x
2 x
x 4
lim x
x f
x x
f lim
x f
x 2
x x
+ =
+ D
+ =
D D
+ D
+ D
= D
- D
+ =
® D
® D
® D
Jadi : 5
x 4
x f
+ =
5 c
4 c
f +
= 17
5 3
4 3
f =
+ =
4.3 Notasi turunan
Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh
matematikawan Perancis Louis Lagrange 1646 – 1716. Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi
kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dydx, dydz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan
antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = fx, maka : dydx = f’x.
4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x.
Bukti : Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan
differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :
Jika : x
x f
x x
f lim
x
D -
D +
® D
ada, maka x
x f
x x
f lim
x f
x
D -
D +
=
® D
fx+Dx-fx= x
x x
f x
x f
D ·
D -
D +
x lim
. x
x f
x x
f lim
x f
x x
f lim
x x
x
D D
- D
+ =
- D
+
® D
® D
® D
=f’x . 0 = 0 Sehingga :
x f
lim x
x f
lim
x x
® D
® D
= +
D ®
x f
x f
lim
x
=
® D
terbukti Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis
f differensiable pada x.
4.5 Teorema-teorema
4.5.1 Turunan bilangan konstan
Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :
92
y = fx = c maka x
f dx
dy =
= 4.7
Bukti : fx = c ; fx+Dx = c
x x
f x
x f
lim x
f
x dx
dy
D -
D +
= =
® D
= x
c c
lim
x
= D
-
® D
terbukti
4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :
y = fx = kx
n
maka
1 n
knx x
f dx
dy
-
= =
4.8 Bukti :
fx = kx
n
fx+Dx = kx+Dx
n
Dengan mengunakan teorema binomial didapat : kx+Dx
n
=
n x
kn 1
n x
1 -
kn 2
x x
1 n
kn 1
x knx
kx
n 1
- n
2 2
n 1
n n
D +
- D
+ +
D -
+ D
+
- -
L
1 n
x
knx x
x f
x x
f lim
x f
dx dy
- ®
D
= D
- D
+ =
=
terbukti Contoh 4.3
Tentukan turunan pertama dari fx = 5x
7
Penyelesaian :
6 1
7
x 35
x 7
5 x
f dx
dy =
= =
-
4.5.3 Aturan penjumlahan
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
y = hx = fx + gx maka x
g x
f dx
dy +
= 4. 9
Bukti : hx = fx + gx
hx+Dx = fx+Dx + gx+Dx
h’x = x
x g
x f
x x
g x
x f
lim x
x h
x x
h lim
x x
D -
- D
+ +
D +
= D
- D
+
® D
® D
= x
g x
f x
x x
g lim
x x
f x
x f
lim
x x
+ =
D D
+ +
D -
D +
® D
® D
terbukti
Contoh 4.4 Diketahui y = 5x
6
+ 2x
-3
93
Tentukan dx
dy Penyelesaian :
fx = 5x
6
gx = 2x
-3
f’x = 30x
5
g’x = -6x
-4
= dx
dy f’x + g’x = 30x
5
– 6x
-4
4.5.4 Aturan perkalian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan
sebagai :
y = hx = fx.gx maka x
g x
f x
g x
f dx
dy +
= 4.10
Bukti : h’x =
x x
g .
x f
x x
g .
x x
f lim
x
D -
D +
D +
® D
= x
x g
. x
f x
g .
x x
f x
g .
x x
f x
x g
. x
x f
lim
x
D -
D +
+ D
+ -
D +
D +
® D
= x
x g
x x
g x
x f
lim
x
D -
D +
D +
® D
+ x
x f
x x
f x
g lim
x
D -
D +
® D
= fx.g’x + gx.f’x terbukti
Contoh 4.5 Diketahui y = 3x
5
+ 2x
-2
7x+3 Tentukan
dx dy
Penyelesaian : fx = 3x
5
+ 2x
-2
gx = 7x+3 f’x = 15x
4
– 4x
-3
g’x = 7 dx
dy = f’x.gx + g’x.fx = 15x
4
-4x
-3
7x+3 + 3x
5
+ 2x
-2
7 = 105x
5
-28x
-2
+45x
4
– 12x
-3
+21x
5
+ 14x
-2
= 126x
5
+ 45x
4
- 14x
-2
– 12x
-3
4.5.5 Aturan pembagian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
y = hx = x
g x
f maka
[ ]
2
x g
x g
x f
x g
x f
dx dy
- =
4.11 Bukti :
94
hx = x
g x
f ; hx+Dx =
x x
g x
x f
D +
D +
h’x = x
x g
x f
x x
g x
x f
lim x
x h
x x
h lim
x x
D -
D +
D +
= D
- D
+
® D
® D
= x
g .
x x
g .
x x
f .
x x
g x
x f
. x
g lim
x
D +
D D
+ -
D +
® D
= x
g .
x x
g .
x x
g .
x f
x f
. x
x g
x g
. x
f x
x f
. x
g lim
x
D +
D +
D +
- -
D +
® D
= x
g .
x x
g .
x x
f x
x f
x g
lim
x
D +
D -
D +
® D
- x
g .
x x
g .
x x
g x
x g
x f
lim
x
D +
D -
D +
® D
= ú
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ê ë
é D
+ D
- D
+
® D
x g
. x
x g
x x
f x
x f
x g
lim
x
- ú
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ê ë
é D
+ D
- D
+
® D
x g
. x
x g
x x
g x
x g
x f
lim
x
=
[ ]
2
x g
x f
. x
g x
f .
x g
- terbukti
Contoh 4.6 Tentukan h’x jika hx =
3 2
4
x 4
x 3
x 2
- Penyelesaian :
fx = 2x
4
– 3x
2
f’x = 8x
3
– 6x gx = 4x
3
g’x = 12x
2
h’x =
2 3
2 2
4 3
3 2
x 4
x 12
x 3
x 2
x 4
x 6
x 8
] x
g [
x g
. x
f x
g .
x f
- -
- =
-
=
6 4
6 6
4 6
4 6
16 12
8 16
36 24
24 32
x x
x x
x x
x x
+ =
+ -
-
=
2 2
4 3
2 x
x +
4.5.6 Turunan fungsi komposisi
Jika y = fu dan u = gx maka dx
du du
dy dx
dy =
4.12 Bukti :
Jika y = fu dan u = gx maka y = fgx. Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai f
o
gx. u = gx
Du= gx+Dx – gx ® gx+Dx = gx + Du = u + Du Jadi Du ® 0 maka Dx ® 0
y = fgx Dy = fgx+Dx – fgx
95
x x
g f
x x
g f
x y
D -
D +
= D
D u
u x
x g
f x
x g
f D
D D
- D
+ =
= D
D x
y x
u u
u f
u u
f D
D D
- D
+ ®
= D
D
® D
x y
lim
x
dx dy
x u
u u
f u
u f
lim
x
= D
D D
- D
+
® D
dx du
du dy
x u
lim .
u u
f u
u f
lim dx
dy
x x
= D
D D
- D
+ =
® D
® D
terbukti
Persamaan 4.12 disebut aturan rantai Contoh 4.7
Tentukan dx
dy jika y = 4x
3
+ 5x
2
– x + 4
3
Penyelesaian : Misal u = 4x
3
+ 5x
2
– x + 4 y = u
3
1 x
10 x
12 dx
du
2
- +
=
2
u 3
du dy
= 1
x 10
x 12
u 3
dx du
du dy
dx dy
2 2
- +
= =
2 2
3 2
4 x
x 5
x 4
1 x
10 x
12 3
+ -
+ -
+ =
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut
1. ft = at
2
– bt + 7 6. fx =
ú û
ù ê
ë é
+ ú
û ù
ê ë
é x
1 5
x 4
3x -
x 4
5 2. fx = 3x
-5
+
3 2
x 5
7. gt = at
2
+bt+c
2
3at–7
5
3. gx = ú
û ù
ê ë
é +
2 x
x 2
8. hw =
c w
2 aw
b +
-
4. hx =
2
x 1
5 x
4 ú
û ù
ê ë
é +
9. vt =
3 d
ct 2
bt 2
at -
-
5. wx =
3
3 2x
- x
4 7
ú û
ù ê
ë é
+ 10. gt =
3 -
t 3
2t t
2
+
4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri
Jika y = fx = sin x maka x
cos x
f dx
dy =
= 4.13
Bukti : x
x sin
x x
sin lim
x x
f x
x f
lim x
f dx
dy
x x
D -
D +
= D
- D
+ =
=
® D
® D
96
x x
sin x
sin x
cos x
cos x
sin lim
x
D -
D +
D =
® D
x x
sin x
cos 1
x cos
x sin
lim
x
D D
+ -
D =
® D
ú û
ù ê
ë é
D D
+ D
- D
® D
= x
x sin
x cos
x 1
x cos
x sin
x lim
x x
sin lim
x cos
x 1
x cos
lim x
sin
x x
D D
+ D
- D
=
® D
® D
= sinx0 + cosx1 = cosx terbukti Jika y = sin u dan u = fx maka
dx du
u cos
dx dy
=
4.14 Bukti :
y = sin u
u cos
du dy
=
u = fx
x f
dx du
= dx
du u
cos dx
du du
dy dx
dy =
=
terbukti
Jika y = fx = cos x maka
x sin
x f
dx dy
- =
=
4.15 Bukti :
x x
cos x
x cos
x lim
x x
f x
x f
x lim
x f
dx dy
D -
D +
® D
= D
- D
+ ®
D =
=
x x
cos x
sin x
sin x
cos x
cos x
lim D
- D
- D
® D
=
x x
sin x
sin 1
x cos
x cos
x lim
D D
- -
D ®
D =
ú û
ù ê
ë é
D D
- D
- D
® D
= x
x sin
x sin
x 1
x cos
x cos
x lim
x x
sin x
lim x
sin x
1 x
cos x
lim x
cos D
D ®
D -
D -
D ®
D =
= cosx0 - sinx1 = -sinx terbukti
Jika y = cos u dan u = fx maka
dx du
u sin
dx dy
- =
4.16 Bukti :
y = cos u
u sin
du dy
- =
u = fx
x f
dx du
=
97
dx du
u sin
dx du
du dy
dx dy
- =
=
terbukti
Contoh 4.8
Jika y = sinp-2x, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u = p - 2x y = sin u
2 dx
du -
= u
cos du
dy =
x 2
cos 2
2 u
cos dx
du du
dy dx
dy -
p -
= -
= =
Contoh 4.9 Jika y =
2 x
cos
tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u =
2 x
y = cos u
2 1
dx du
= u
sin du
dy -
= 2
x sin
2 1
- 2
1 u
sin dx
du du
dy dx
dy =
- =
=
Contoh 4.10
Jika y = sin2x cos3x, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u = sin 2x v = cos 3x
x 2
cos 2
dx du
= 3x
sin 3
dx dv
- =
x 3
sin 3
x 2
sin x
3 cos
x 2
cos 2
dx dv
u v
. dx
du dx
dy -
+ =
+ =
x 3
sin .
x 2
sin 3
x 3
cos .
x 2
cos 2
- =
Contoh 4.11
Jika y =
x 4
cos x
3 sin
, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u = sin 3x v = cos 4x
x 3
cos 3
dx du
= 4x
sin 4
dx dv
- =
2 x
4 cos
x 4
sin 4
x 3
sin x
4 cos
x 3
cos 3
2 v
dx dv
. u
v .
dx du
dx dy
- -
= -
=
x 4
cos x
4 sin
. x
3 sin
4 x
4 cos
. x
3 cos
3
2
+ =
98
Jika y = fx = tan x maka x
sec x
f dx
dy
2
= =
4.16 Bukti :
y = tan x = x
cos x
sin u = sin x
v = cos x x
cos dx
du =
x sin
dx dv
- =
2
v dx
dv .
u v
. dx
du dx
dy -
= =
2
x cos
x sin
x sin
x cos
x cos
- -
= x
cos x
sin x
cos
2 2
2
+ =
x sec
x cos
1
2 2
= terbukti
Jika y = tan u maka dx
du u
sec dx
dy
2
= 4.17
Bukti : y = tan u
u sec
du dy
2
= u = fx
x f
dx du
=
dx du
u sec
dx du
du dy
dx dy
2
= =
terbukti
Contoh 4.12
Jika y = 5 tan 3x, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u = 3x y = 5 tan u 3
dx du
= u
sec 5
du dy
2
= x
3 sec
15 u
sec 15
3 u
sec 5
dx du
du dy
dx dy
2 2
2
= =
= =
Jika y = fx = cot x maka x
csc x
f dx
dy
2
- =
= 4.18
Bukti : y = cot x =
x sin
x cos
u = cos x v = sin x
x sin
dx du
- =
x cos
dx dv
=
99
2
v dx
dv .
u v
. dx
du dx
dy -
= =
2
x sin
x cos
x cos
x sin
x sin
- -
= x
sin x
cos x
sin
2 2
2
+ -
= x
csc x
sin 1
2 2
- =
- terbukti
Jika y = cot u maka dx
du u
csc dx
dy
2
- =
4.19 Bukti :
y = cot u u
csc du
dy
2
- =
u = fx
x f
dx du
=
dx du
u csc
dx du
du dy
dx dy
2
- =
= terbukti
Contoh 4.13
Jika y = x
3 1
cot 2
1 , tentukan
dx dy
Penyelesaian : Misal u =
x 3
1 y =
u cot
2 1
3 1
dx du
= u
csc 2
1 du
dy
2
- =
x 3
1 csc
6 1
u csc
6 1
3 1
u csc
2 1
dx du
du dy
dx dy
2 2
2
- =
- =
- =
=
Jika y = fx = sec x maka tanx
x sec
x f
dx dy
= =
4.20 Bukti :
y = sec x = x
cos 1
u = 1 v = cos x
dx du
= x
sin dx
dv -
=
2
v dx
dv .
u v
. dx
du dx
dy -
= =
2
x cos
x sin
1 x
cos -
- =
tanx x
sec x
2 cos
x sin
=
terbukti
100
Jika y = sec u maka dx
du tanu
u sec
dx dy
= 4.21
Bukti : y = sec u
tanu u
sec du
dy =
u = fx
x f
dx du
=
dx du
u tan
u sec
dx du
du dy
dx dy
= =
terbukti Jika y = fx = csc x maka
cotx x
csc x
f dx
dy -
= =
4.22 Bukti :
y = csc x = x
sin 1
u = 1 v = sin x
dx du
= x
cos dx
dv =
2
v dx
dv .
u v
. dx
du dx
dy -
= =
2
x sin
x cos
1 x
sin -
=
cotx x
csc x
2 sin
x cos
- =
-
terbukti
Jika y = csc u maka dx
du cotu
u csc
dx dy
- =
4.23 Bukti :
y = csc u cotu
u csc
du dy
- =
u = fx
x f
dx du
=
dx du
u cot
u csc
dx du
du dy
dx dy
- =
= terbukti
Contoh 4.15
Jika y = x
csc 3
1 -
p , tentukan
dx dy
Penyelesaian : Misal u = p-x y =
u csc
3 1
1 dx
du -
= cotu
u csc
3 1
du dy
- =
x -
cot x
csc 3
1 cotu
u csc
3 1
1 cotu
u csc
3 1
dx du
du dy
dx dy
p -
p =
= -
- =
= Soal-soal
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut PR : 2, 5, 6 9
1. fx = 3
2 x
sin p
- 6. fx =
x 3
csc
4
- p
101
2. fx = cos 3
x 2
- p
7. gt = t
cos t
2 sin
2 1
p 3. gx = tan
3
x 8. hw =
bw cos
aw sin
- p
p -
4. hx = cot
3
x 9. vt =
t b
cos t
2 sin
at
2
- -
5. wx = 3
2 x
sec
5
p -
10. gt =
t 3
sin cos2t
t sin
4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers
Jika y = fx = arcsin x maka
2 x
1 1
x f
dx dy
- =
=
4.24 Bukti :
y = arcsinx ® sin y = x ®
1 dx
dx dx
dy y
cos =
=
®
y cos
1 dx
dy =
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini sin y = x
cos y =
2
x 1 -
2
x 1
1 dx
dy -
=
terbukti
2
x 1 -
Jika y = arcsin u dan u = fx maka
dx du
u 1
1 dx
dy
2
- =
4.25 Bukti :
y = arcsin u ®
2
u 1
1 du
dy -
= dx
du u
1 1
dx du
. du
dy dx
dy
2
- =
=
terbukti
Contoh 4.16
Jika y =
x 3
1 arcsin
8 3
-
, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u =
x 3
1 -
y =
u arcsin
8 3
1 x y
102
3 1
dx du
- =
2
u 1
1 8
3 du
dy -
=
2 2
x 9
1 1
8 1
3 1
u 1
1 8
3 dx
du du
dy dx
dy -
- =
ú û
ù ê
ë é
- -
= =
Jika y = fx = arccos x maka
2
x 1
1 x
f dx
dy -
- =
=
4.26 Bukti :
y = arccosx ® cos y = x ®
1 dx
dx dx
dy y
sin =
= -
®
y sin
1 dx
dy -
=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini cos y = x
sin y =
2
x 1 -
2
x 1
1 dx
dy -
- =
terbukti
2
x 1 -
x
Jika y = arccos u dan u = fx maka
dx du
u 1
1 dx
dy
2
- -
=
4.27 Bukti :
y = arccos u ®
2
u 1
1 du
dy -
- =
dx du
u 1
1 dx
du .
du dy
dx dy
2
- -
= =
terbukti
Contoh 4.17
Jika y =
2x arccos
3 -
, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u = 2x y =
u arccos
3 -
2 dx
du =
2
u 1
1 3
du dy
- =
2 2
x 4
1 6
2 u
1 1
3 dx
du du
dy dx
dy -
= -
= =
1 y
103
Jika y = fx = arctan x maka
2
x 1
1 x
f dx
dy +
= =
4.28 Bukti :
y = arctanx ® tan y = x ® sec
2
y
1 dx
dx dx
dy =
=
®
y sec
1 dx
dy
2
=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini tan y = x
sec
2
y =
2
x 1 -
2
x 1 +
x
2
x 1
1 dx
dy -
=
terbukti 1
Jika y = arctan u dan u = fx maka
dx du
u 1
1 dx
dy
2
+ =
4.29 Bukti : y = arctan u
®
2
u 1
1 du
dy +
= dx
du u
1 1
dx du
. du
dy dx
dy
2
+ =
=
terbukti
Contoh 4.18
Jika y =
x 3
1 arctan
5 3
, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u =
x 3
1
y =
u arctan
5 3
3 1
dx du
=
2
u 1
1 5
3 du
dy +
=
x 9
1 1
5 1
3 1
u 1
1 5
3 dx
du du
dy dx
dy
2 2
+ =
ú û
ù ê
ë é
+ =
=
Jika y = fx = arccot x maka
2
x 1
1 x
f dx
dy +
- =
=
4.30 Bukti : y = arccotx
® cot y = x ® -csc
2
y
1 dx
dx dx
dy =
=
®
y csc
1 dx
dy
2
- =
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini cot y = x
csc
2
y =
2
x 1 +
2
x 1 +
1 y
104
2
x 1
1 dx
dy +
- =
terbukti x
Jika y = arccot u dan u = fx maka
dx du
u 1
1 dx
dy
2
+ -
=
4.31 Bukti : y = arccot u
®
2
u 1
1 du
dy +
- =
dx du
u 1
1 dx
du .
du dy
dx dy
2
+ -
= =
terbukti
Contoh 4.19
Jika y = 2 arccot 3x, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u = 3x y = 2 arccot u
3 dx
du =
2
u 1
1 2
du dy
+ -
=
2 2
x 9
1 6
3 u
1 1
2 dx
du du
dy dx
dy +
- =
+ -
= =
Jika y = fx = arcsec x maka
1 x
x 1
x f
dx dy
2
- =
=
4.32 Bukti : y = arcsecx
® sec y = x ® secy tany
1 dx
dx dx
dy =
=
®
y tan
y sec
1 dx
dy -
=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini sec y = x
sec y tan y =
1 x
x
2
-
x
1 x
2
- 1
x x
1 dx
dy
2
- -
=
terbukti 1
Jika y = arcsec u dan u = fx maka
dx du
1 u
u 1
dx dy
2
- =
4.33 Bukti : y = arcsec u
®
1 u
u 1
du dy
2
- =
dx du
1 u
u 1
dx du
. du
dy dx
dy
2
- =
=
terbukti y
y
105
Contoh 4.20
Jika y = arcsec
x 2
- p
, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u =
x 2
- p
y = arcsec u
1 dx
du -
= 1
u u
1 du
dy
2
- =
1 x
2 x
2 1
1 1
u u
1 dx
du du
dy dx
dy
2 2
- -
p -
p -
= -
- =
=
Jika y = fx = arccsc x maka
1 x
x 1
x f
dx dy
2
- -
= =
4.34 Bukti :
y = arccscx ® csc y = x ® -csc y cot y
1 dx
dx dx
dy =
=
®
y cot
y csc
1 dx
dy -
=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini csc y = x
csc y cot y =
1 x
x
2
-
x 1
1 x
x 1
dx dy
2
- -
=
terbukti
1 x
2
-
Jika y = arcsec u dan u = fx maka
dx du
1 u
u 1
dx dy
2
- -
=
4.35 Bukti : y = arccsc u
®
1 u
u 1
du dy
2
- -
= dx
du 1
u u
1 dx
du .
du dy
dx dy
2
- -
= =
terbukti
Contoh 4.21
Jika y = arccsc
2 x
p -
, tentukan dx
dy Penyelesaian :
Misal u =
2 x
p -
y = arccsc u
1 dx
du =
1 u
u 1
du dy
2
- -
=
y
106
1 2
x 2
x 1
1 1
u u
1 dx
du du
dy dx
dy
2 2
- p
- p
- -
= -
- =
=
Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut
1. y = arcsinp-x 3.
x arccos
x 2
cos y =
2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x
4.8 Turunan fungsi Eksponen