Turunan Turunan fungsi-fungsi trigonometri

90 Jadi : x x fx - x f lim m 1 1 x x 1 - = ® 4.3 Karena x 1 – x = h, maka h fx - h x f lim m h + = ® 4.4 Jika dimisalkan h = Dx, maka x fx - x x f lim m x D D + = ® D 4.5 Persamaan 4.3 sd 4.5 adalah kemiringan garis l pada titik x, fx Contoh 4.1 Diketahui fx = 3x 2 + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik a,a 2 Penyelesaian : x fx - x x f lim m x D D + = ® D x 5 x 3 5 x 3 x x 6 x 3 lim x 5 3x - 5 x x 3 lim 2 2 2 x 2 2 x D - - + D + D + = D - + D + = ® D ® D x 6 x 3 x 6 lim x = D + = ® D Jadi m = 6x Persamaan garis singgung : y = mx + n Karena garis singgung melalui titik a,a 2 maka : persamaan menjadi :m = 6a persamaan menjadi : a 2 = 6a 2 + n. Sehingga n = -5a 2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a 2

4.2 Turunan

Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan fx menjadi turunan fx atau f’x. Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva fx di titik x,fx . Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk : x x x f x f lim x f 1 1 x x 1 - - = ® , jika nilai limitnya ada 4.6 Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti fx dapat didifferensiasikan differensiable pada x. Maka dikatakan fx mempunyai turunan pada x. Differensiasi fx f’x Gambar 4.4 91 Contoh 4.2 Jika fx = 2x 2 + 5x – 7, tentukan f’x, f’c dan f’3 Penyelesaian : fx = 2x 2 + 5x – 7 fx+Dx = 2x+Dx 2 + 5x+Dx – 7 = 2x 2 + 4xDx +2Dx 2 + 5x + 5Dx – 7 fx+Dx – fx = 4xDx + 2Dx 2 + 5Dx 5 x 4 5 x 2 x 4 lim x x 5 x 2 x x 4 lim x x f x x f lim x f x 2 x x + = + D + = D D + D + D = D - D + = ® D ® D ® D Jadi : 5 x 4 x f + = 5 c 4 c f + = 17 5 3 4 3 f = + =

4.3 Notasi turunan

Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange 1646 – 1716. Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dydx, dydz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = fx, maka : dydx = f’x. 4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti : Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu : Jika : x x f x x f lim x D - D + ® D ada, maka x x f x x f lim x f x D - D + = ® D fx+Dx-fx= x x x f x x f D · D - D + x lim . x x f x x f lim x f x x f lim x x x D D - D + = - D + ® D ® D ® D =f’x . 0 = 0 Sehingga : x f lim x x f lim x x ® D ® D = + D ® x f x f lim x = ® D terbukti Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x. 4.5 Teorema-teorema

4.5.1 Turunan bilangan konstan

Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai : 92 y = fx = c maka x f dx dy = = 4.7 Bukti : fx = c ; fx+Dx = c x x f x x f lim x f x dx dy D - D + = = ® D = x c c lim x = D - ® D terbukti 4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai : y = fx = kx n maka 1 n knx x f dx dy - = = 4.8 Bukti : fx = kx n fx+Dx = kx+Dx n Dengan mengunakan teorema binomial didapat : kx+Dx n = n x kn 1 n x 1 - kn 2 x x 1 n kn 1 x knx kx n 1 - n 2 2 n 1 n n D + - D + + D - + D + - - L 1 n x knx x x f x x f lim x f dx dy - ® D = D - D + = = terbukti Contoh 4.3 Tentukan turunan pertama dari fx = 5x 7 Penyelesaian : 6 1 7 x 35 x 7 5 x f dx dy = = = -

4.5.3 Aturan penjumlahan

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = hx = fx + gx maka x g x f dx dy + = 4. 9 Bukti : hx = fx + gx hx+Dx = fx+Dx + gx+Dx h’x = x x g x f x x g x x f lim x x h x x h lim x x D - - D + + D + = D - D + ® D ® D = x g x f x x x g lim x x f x x f lim x x + = D D + + D - D + ® D ® D terbukti Contoh 4.4 Diketahui y = 5x 6 + 2x -3 93 Tentukan dx dy Penyelesaian : fx = 5x 6 gx = 2x -3 f’x = 30x 5 g’x = -6x -4 = dx dy f’x + g’x = 30x 5 – 6x -4 4.5.4 Aturan perkalian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = hx = fx.gx maka x g x f x g x f dx dy + = 4.10 Bukti : h’x = x x g . x f x x g . x x f lim x D - D + D + ® D = x x g . x f x g . x x f x g . x x f x x g . x x f lim x D - D + + D + - D + D + ® D = x x g x x g x x f lim x D - D + D + ® D + x x f x x f x g lim x D - D + ® D = fx.g’x + gx.f’x terbukti Contoh 4.5 Diketahui y = 3x 5 + 2x -2 7x+3 Tentukan dx dy Penyelesaian : fx = 3x 5 + 2x -2 gx = 7x+3 f’x = 15x 4 – 4x -3 g’x = 7 dx dy = f’x.gx + g’x.fx = 15x 4 -4x -3 7x+3 + 3x 5 + 2x -2 7 = 105x 5 -28x -2 +45x 4 – 12x -3 +21x 5 + 14x -2 = 126x 5 + 45x 4 - 14x -2 – 12x -3

4.5.5 Aturan pembagian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = hx = x g x f maka [ ] 2 x g x g x f x g x f dx dy - = 4.11 Bukti : 94 hx = x g x f ; hx+Dx = x x g x x f D + D + h’x = x x g x f x x g x x f lim x x h x x h lim x x D - D + D + = D - D + ® D ® D = x g . x x g . x x f . x x g x x f . x g lim x D + D D + - D + ® D = x g . x x g . x x g . x f x f . x x g x g . x f x x f . x g lim x D + D + D + - - D + ® D = x g . x x g . x x f x x f x g lim x D + D - D + ® D - x g . x x g . x x g x x g x f lim x D + D - D + ® D = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é D + D - D + ® D x g . x x g x x f x x f x g lim x - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é D + D - D + ® D x g . x x g x x g x x g x f lim x = [ ] 2 x g x f . x g x f . x g - terbukti Contoh 4.6 Tentukan h’x jika hx = 3 2 4 x 4 x 3 x 2 - Penyelesaian : fx = 2x 4 – 3x 2 f’x = 8x 3 – 6x gx = 4x 3 g’x = 12x 2 h’x = 2 3 2 2 4 3 3 2 x 4 x 12 x 3 x 2 x 4 x 6 x 8 ] x g [ x g . x f x g . x f - - - = - = 6 4 6 6 4 6 4 6 16 12 8 16 36 24 24 32 x x x x x x x x + = + - - = 2 2 4 3 2 x x +

4.5.6 Turunan fungsi komposisi

Jika y = fu dan u = gx maka dx du du dy dx dy = 4.12 Bukti : Jika y = fu dan u = gx maka y = fgx. Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai f o gx. u = gx Du= gx+Dx – gx ® gx+Dx = gx + Du = u + Du Jadi Du ® 0 maka Dx ® 0 y = fgx Dy = fgx+Dx – fgx 95 x x g f x x g f x y D - D + = D D u u x x g f x x g f D D D - D + = = D D x y x u u u f u u f D D D - D + ® = D D ® D x y lim x dx dy x u u u f u u f lim x = D D D - D + ® D dx du du dy x u lim . u u f u u f lim dx dy x x = D D D - D + = ® D ® D terbukti Persamaan 4.12 disebut aturan rantai Contoh 4.7 Tentukan dx dy jika y = 4x 3 + 5x 2 – x + 4 3 Penyelesaian : Misal u = 4x 3 + 5x 2 – x + 4 y = u 3 1 x 10 x 12 dx du 2 - + = 2 u 3 du dy = 1 x 10 x 12 u 3 dx du du dy dx dy 2 2 - + = = 2 2 3 2 4 x x 5 x 4 1 x 10 x 12 3 + - + - + = Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut 1. ft = at 2 – bt + 7 6. fx = ú û ù ê ë é + ú û ù ê ë é x 1 5 x 4 3x - x 4 5 2. fx = 3x -5 + 3 2 x 5 7. gt = at 2 +bt+c 2 3at–7 5 3. gx = ú û ù ê ë é + 2 x x 2 8. hw = c w 2 aw b + - 4. hx = 2 x 1 5 x 4 ú û ù ê ë é + 9. vt = 3 d ct 2 bt 2 at - - 5. wx = 3 3 2x - x 4 7 ú û ù ê ë é + 10. gt = 3 - t 3 2t t 2 +

4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri

Jika y = fx = sin x maka x cos x f dx dy = = 4.13 Bukti : x x sin x x sin lim x x f x x f lim x f dx dy x x D - D + = D - D + = = ® D ® D 96 x x sin x sin x cos x cos x sin lim x D - D + D = ® D x x sin x cos 1 x cos x sin lim x D D + - D = ® D ú û ù ê ë é D D + D - D ® D = x x sin x cos x 1 x cos x sin x lim x x sin lim x cos x 1 x cos lim x sin x x D D + D - D = ® D ® D = sinx0 + cosx1 = cosx terbukti Jika y = sin u dan u = fx maka dx du u cos dx dy = 4.14 Bukti : y = sin u u cos du dy = u = fx x f dx du = dx du u cos dx du du dy dx dy = = terbukti Jika y = fx = cos x maka x sin x f dx dy - = = 4.15 Bukti : x x cos x x cos x lim x x f x x f x lim x f dx dy D - D + ® D = D - D + ® D = = x x cos x sin x sin x cos x cos x lim D - D - D ® D = x x sin x sin 1 x cos x cos x lim D D - - D ® D = ú û ù ê ë é D D - D - D ® D = x x sin x sin x 1 x cos x cos x lim x x sin x lim x sin x 1 x cos x lim x cos D D ® D - D - D ® D = = cosx0 - sinx1 = -sinx terbukti Jika y = cos u dan u = fx maka dx du u sin dx dy - = 4.16 Bukti : y = cos u u sin du dy - = u = fx x f dx du = 97 dx du u sin dx du du dy dx dy - = = terbukti Contoh 4.8 Jika y = sinp-2x, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = p - 2x y = sin u 2 dx du - = u cos du dy = x 2 cos 2 2 u cos dx du du dy dx dy - p - = - = = Contoh 4.9 Jika y = 2 x cos tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 2 x y = cos u 2 1 dx du = u sin du dy - = 2 x sin 2 1 - 2 1 u sin dx du du dy dx dy = - = = Contoh 4.10 Jika y = sin2x cos3x, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = sin 2x v = cos 3x x 2 cos 2 dx du = 3x sin 3 dx dv - = x 3 sin 3 x 2 sin x 3 cos x 2 cos 2 dx dv u v . dx du dx dy - + = + = x 3 sin . x 2 sin 3 x 3 cos . x 2 cos 2 - = Contoh 4.11 Jika y = x 4 cos x 3 sin , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = sin 3x v = cos 4x x 3 cos 3 dx du = 4x sin 4 dx dv - = 2 x 4 cos x 4 sin 4 x 3 sin x 4 cos x 3 cos 3 2 v dx dv . u v . dx du dx dy - - = - = x 4 cos x 4 sin . x 3 sin 4 x 4 cos . x 3 cos 3 2 + = 98 Jika y = fx = tan x maka x sec x f dx dy 2 = = 4.16 Bukti : y = tan x = x cos x sin u = sin x v = cos x x cos dx du = x sin dx dv - = 2 v dx dv . u v . dx du dx dy - = = 2 x cos x sin x sin x cos x cos - - = x cos x sin x cos 2 2 2 + = x sec x cos 1 2 2 = terbukti Jika y = tan u maka dx du u sec dx dy 2 = 4.17 Bukti : y = tan u u sec du dy 2 = u = fx x f dx du = dx du u sec dx du du dy dx dy 2 = = terbukti Contoh 4.12 Jika y = 5 tan 3x, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 3x y = 5 tan u 3 dx du = u sec 5 du dy 2 = x 3 sec 15 u sec 15 3 u sec 5 dx du du dy dx dy 2 2 2 = = = = Jika y = fx = cot x maka x csc x f dx dy 2 - = = 4.18 Bukti : y = cot x = x sin x cos u = cos x v = sin x x sin dx du - = x cos dx dv = 99 2 v dx dv . u v . dx du dx dy - = = 2 x sin x cos x cos x sin x sin - - = x sin x cos x sin 2 2 2 + - = x csc x sin 1 2 2 - = - terbukti Jika y = cot u maka dx du u csc dx dy 2 - = 4.19 Bukti : y = cot u u csc du dy 2 - = u = fx x f dx du = dx du u csc dx du du dy dx dy 2 - = = terbukti Contoh 4.13 Jika y = x 3 1 cot 2 1 , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = x 3 1 y = u cot 2 1 3 1 dx du = u csc 2 1 du dy 2 - = x 3 1 csc 6 1 u csc 6 1 3 1 u csc 2 1 dx du du dy dx dy 2 2 2 - = - = - = = Jika y = fx = sec x maka tanx x sec x f dx dy = = 4.20 Bukti : y = sec x = x cos 1 u = 1 v = cos x dx du = x sin dx dv - = 2 v dx dv . u v . dx du dx dy - = = 2 x cos x sin 1 x cos - - = tanx x sec x 2 cos x sin = terbukti 100 Jika y = sec u maka dx du tanu u sec dx dy = 4.21 Bukti : y = sec u tanu u sec du dy = u = fx x f dx du = dx du u tan u sec dx du du dy dx dy = = terbukti Jika y = fx = csc x maka cotx x csc x f dx dy - = = 4.22 Bukti : y = csc x = x sin 1 u = 1 v = sin x dx du = x cos dx dv = 2 v dx dv . u v . dx du dx dy - = = 2 x sin x cos 1 x sin - = cotx x csc x 2 sin x cos - = - terbukti Jika y = csc u maka dx du cotu u csc dx dy - = 4.23 Bukti : y = csc u cotu u csc du dy - = u = fx x f dx du = dx du u cot u csc dx du du dy dx dy - = = terbukti Contoh 4.15 Jika y = x csc 3 1 - p , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = p-x y = u csc 3 1 1 dx du - = cotu u csc 3 1 du dy - = x - cot x csc 3 1 cotu u csc 3 1 1 cotu u csc 3 1 dx du du dy dx dy p - p = = - - = = Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut PR : 2, 5, 6 9 1. fx = 3 2 x sin p - 6. fx = x 3 csc 4 - p 101 2. fx = cos 3 x 2 - p 7. gt = t cos t 2 sin 2 1 p 3. gx = tan 3 x 8. hw = bw cos aw sin - p p - 4. hx = cot 3 x 9. vt = t b cos t 2 sin at 2 - - 5. wx = 3 2 x sec 5 p - 10. gt = t 3 sin cos2t t sin 4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers Jika y = fx = arcsin x maka 2 x 1 1 x f dx dy - = = 4.24 Bukti : y = arcsinx ® sin y = x ® 1 dx dx dx dy y cos = = ® y cos 1 dx dy = Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini sin y = x cos y = 2 x 1 - 2 x 1 1 dx dy - = terbukti 2 x 1 - Jika y = arcsin u dan u = fx maka dx du u 1 1 dx dy 2 - = 4.25 Bukti : y = arcsin u ® 2 u 1 1 du dy - = dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 - = = terbukti Contoh 4.16 Jika y = x 3 1 arcsin 8 3 - , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = x 3 1 - y = u arcsin 8 3 1 x y 102 3 1 dx du - = 2 u 1 1 8 3 du dy - = 2 2 x 9 1 1 8 1 3 1 u 1 1 8 3 dx du du dy dx dy - - = ú û ù ê ë é - - = = Jika y = fx = arccos x maka 2 x 1 1 x f dx dy - - = = 4.26 Bukti : y = arccosx ® cos y = x ® 1 dx dx dx dy y sin = = - ® y sin 1 dx dy - = Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini cos y = x sin y = 2 x 1 - 2 x 1 1 dx dy - - = terbukti 2 x 1 - x Jika y = arccos u dan u = fx maka dx du u 1 1 dx dy 2 - - = 4.27 Bukti : y = arccos u ® 2 u 1 1 du dy - - = dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 - - = = terbukti Contoh 4.17 Jika y = 2x arccos 3 - , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 2x y = u arccos 3 - 2 dx du = 2 u 1 1 3 du dy - = 2 2 x 4 1 6 2 u 1 1 3 dx du du dy dx dy - = - = = 1 y 103 Jika y = fx = arctan x maka 2 x 1 1 x f dx dy + = = 4.28 Bukti : y = arctanx ® tan y = x ® sec 2 y 1 dx dx dx dy = = ® y sec 1 dx dy 2 = Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini tan y = x sec 2 y = 2 x 1 - 2 x 1 + x 2 x 1 1 dx dy - = terbukti 1 Jika y = arctan u dan u = fx maka dx du u 1 1 dx dy 2 + = 4.29 Bukti : y = arctan u ® 2 u 1 1 du dy + = dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 + = = terbukti Contoh 4.18 Jika y = x 3 1 arctan 5 3 , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = x 3 1 y = u arctan 5 3 3 1 dx du = 2 u 1 1 5 3 du dy + = x 9 1 1 5 1 3 1 u 1 1 5 3 dx du du dy dx dy 2 2 + = ú û ù ê ë é + = = Jika y = fx = arccot x maka 2 x 1 1 x f dx dy + - = = 4.30 Bukti : y = arccotx ® cot y = x ® -csc 2 y 1 dx dx dx dy = = ® y csc 1 dx dy 2 - = Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini cot y = x csc 2 y = 2 x 1 + 2 x 1 + 1 y 104 2 x 1 1 dx dy + - = terbukti x Jika y = arccot u dan u = fx maka dx du u 1 1 dx dy 2 + - = 4.31 Bukti : y = arccot u ® 2 u 1 1 du dy + - = dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 + - = = terbukti Contoh 4.19 Jika y = 2 arccot 3x, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 3x y = 2 arccot u 3 dx du = 2 u 1 1 2 du dy + - = 2 2 x 9 1 6 3 u 1 1 2 dx du du dy dx dy + - = + - = = Jika y = fx = arcsec x maka 1 x x 1 x f dx dy 2 - = = 4.32 Bukti : y = arcsecx ® sec y = x ® secy tany 1 dx dx dx dy = = ® y tan y sec 1 dx dy - = Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini sec y = x sec y tan y = 1 x x 2 - x 1 x 2 - 1 x x 1 dx dy 2 - - = terbukti 1 Jika y = arcsec u dan u = fx maka dx du 1 u u 1 dx dy 2 - = 4.33 Bukti : y = arcsec u ® 1 u u 1 du dy 2 - = dx du 1 u u 1 dx du . du dy dx dy 2 - = = terbukti y y 105 Contoh 4.20 Jika y = arcsec x 2 - p , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = x 2 - p y = arcsec u 1 dx du - = 1 u u 1 du dy 2 - = 1 x 2 x 2 1 1 1 u u 1 dx du du dy dx dy 2 2 - - p - p - = - - = = Jika y = fx = arccsc x maka 1 x x 1 x f dx dy 2 - - = = 4.34 Bukti : y = arccscx ® csc y = x ® -csc y cot y 1 dx dx dx dy = = ® y cot y csc 1 dx dy - = Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini csc y = x csc y cot y = 1 x x 2 - x 1 1 x x 1 dx dy 2 - - = terbukti 1 x 2 - Jika y = arcsec u dan u = fx maka dx du 1 u u 1 dx dy 2 - - = 4.35 Bukti : y = arccsc u ® 1 u u 1 du dy 2 - - = dx du 1 u u 1 dx du . du dy dx dy 2 - - = = terbukti Contoh 4.21 Jika y = arccsc 2 x p - , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 2 x p - y = arccsc u 1 dx du = 1 u u 1 du dy 2 - - = y 106 1 2 x 2 x 1 1 1 u u 1 dx du du dy dx dy 2 2 - p - p - - = - - = = Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut 1. y = arcsinp-x 3. x arccos x 2 cos y = 2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x

4.8 Turunan fungsi Eksponen