91
Contoh 4.2 Jika fx = 2x
2
+ 5x – 7, tentukan f’x, f’c dan f’3 Penyelesaian :
fx = 2x
2
+ 5x – 7 fx+Dx = 2x+Dx
2
+ 5x+Dx – 7 = 2x
2
+ 4xDx +2Dx
2
+ 5x + 5Dx – 7 fx+Dx – fx = 4xDx + 2Dx
2
+ 5Dx 5
x 4
5 x
2 x
4 lim
x x
5 x
2 x
x 4
lim x
x f
x x
f lim
x f
x 2
x x
+ =
+ D
+ =
D D
+ D
+ D
= D
- D
+ =
® D
® D
® D
Jadi : 5
x 4
x f
+ =
5 c
4 c
f +
= 17
5 3
4 3
f =
+ =
4.3 Notasi turunan
Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh
matematikawan Perancis Louis Lagrange 1646 – 1716. Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi
kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dydx, dydz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan
antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = fx, maka : dydx = f’x.
4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x.
Bukti : Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan
differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :
Jika : x
x f
x x
f lim
x
D -
D +
® D
ada, maka x
x f
x x
f lim
x f
x
D -
D +
=
® D
fx+Dx-fx= x
x x
f x
x f
D ·
D -
D +
x lim
. x
x f
x x
f lim
x f
x x
f lim
x x
x
D D
- D
+ =
- D
+
® D
® D
® D
=f’x . 0 = 0 Sehingga :
x f
lim x
x f
lim
x x
® D
® D
= +
D ®
x f
x f
lim
x
=
® D
terbukti Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis
f differensiable pada x.
4.5 Teorema-teorema
4.5.1 Turunan bilangan konstan
Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :
92
y = fx = c maka x
f dx
dy =
= 4.7
Bukti : fx = c ; fx+Dx = c
x x
f x
x f
lim x
f
x dx
dy
D -
D +
= =
® D
= x
c c
lim
x
= D
-
® D
terbukti
4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :
y = fx = kx
n
maka
1 n
knx x
f dx
dy
-
= =
4.8 Bukti :
fx = kx
n
fx+Dx = kx+Dx
n
Dengan mengunakan teorema binomial didapat : kx+Dx
n
=
n x
kn 1
n x
1 -
kn 2
x x
1 n
kn 1
x knx
kx
n 1
- n
2 2
n 1
n n
D +
- D
+ +
D -
+ D
+
- -
L
1 n
x
knx x
x f
x x
f lim
x f
dx dy
- ®
D
= D
- D
+ =
=
terbukti Contoh 4.3
Tentukan turunan pertama dari fx = 5x
7
Penyelesaian :
6 1
7
x 35
x 7
5 x
f dx
dy =
= =
-
4.5.3 Aturan penjumlahan
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
y = hx = fx + gx maka x
g x
f dx
dy +
= 4. 9
Bukti : hx = fx + gx
hx+Dx = fx+Dx + gx+Dx
h’x = x
x g
x f
x x
g x
x f
lim x
x h
x x
h lim
x x
D -
- D
+ +
D +
= D
- D
+
® D
® D
= x
g x
f x
x x
g lim
x x
f x
x f
lim
x x
+ =
D D
+ +
D -
D +
® D
® D
terbukti
Contoh 4.4 Diketahui y = 5x
6
+ 2x
-3
93
Tentukan dx
dy Penyelesaian :
fx = 5x
6
gx = 2x
-3
f’x = 30x
5
g’x = -6x
-4
= dx
dy f’x + g’x = 30x
5
– 6x
-4
4.5.4 Aturan perkalian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan
sebagai :
y = hx = fx.gx maka x
g x
f x
g x
f dx
dy +
= 4.10
Bukti : h’x =
x x
g .
x f
x x
g .
x x
f lim
x
D -
D +
D +
® D
= x
x g
. x
f x
g .
x x
f x
g .
x x
f x
x g
. x
x f
lim
x
D -
D +
+ D
+ -
D +
D +
® D
= x
x g
x x
g x
x f
lim
x
D -
D +
D +
® D
+ x
x f
x x
f x
g lim
x
D -
D +
® D
= fx.g’x + gx.f’x terbukti
Contoh 4.5 Diketahui y = 3x
5
+ 2x
-2
7x+3 Tentukan
dx dy
Penyelesaian : fx = 3x
5
+ 2x
-2
gx = 7x+3 f’x = 15x
4
– 4x
-3
g’x = 7 dx
dy = f’x.gx + g’x.fx = 15x
4
-4x
-3
7x+3 + 3x
5
+ 2x
-2
7 = 105x
5
-28x
-2
+45x
4
– 12x
-3
+21x
5
+ 14x
-2
= 126x
5
+ 45x
4
- 14x
-2
– 12x
-3
4.5.5 Aturan pembagian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
y = hx = x
g x
f maka
[ ]
2
x g
x g
x f
x g
x f
dx dy
- =
4.11 Bukti :
94
hx = x
g x
f ; hx+Dx =
x x
g x
x f
D +
D +
h’x = x
x g
x f
x x
g x
x f
lim x
x h
x x
h lim
x x
D -
D +
D +
= D
- D
+
® D
® D
= x
g .
x x
g .
x x
f .
x x
g x
x f
. x
g lim
x
D +
D D
+ -
D +
® D
= x
g .
x x
g .
x x
g .
x f
x f
. x
x g
x g
. x
f x
x f
. x
g lim
x
D +
D +
D +
- -
D +
® D
= x
g .
x x
g .
x x
f x
x f
x g
lim
x
D +
D -
D +
® D
- x
g .
x x
g .
x x
g x
x g
x f
lim
x
D +
D -
D +
® D
= ú
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ê ë
é D
+ D
- D
+
® D
x g
. x
x g
x x
f x
x f
x g
lim
x
- ú
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ê ë
é D
+ D
- D
+
® D
x g
. x
x g
x x
g x
x g
x f
lim
x
=
[ ]
2
x g
x f
. x
g x
f .
x g
- terbukti
Contoh 4.6 Tentukan h’x jika hx =
3 2
4
x 4
x 3
x 2
- Penyelesaian :
fx = 2x
4
– 3x
2
f’x = 8x
3
– 6x gx = 4x
3
g’x = 12x
2
h’x =
2 3
2 2
4 3
3 2
x 4
x 12
x 3
x 2
x 4
x 6
x 8
] x
g [
x g
. x
f x
g .
x f
- -
- =
-
=
6 4
6 6
4 6
4 6
16 12
8 16
36 24
24 32
x x
x x
x x
x x
+ =
+ -
-
=
2 2
4 3
2 x
x +
4.5.6 Turunan fungsi komposisi
