UKURAN VARIABILITAS [Compatibility Mode]
Ukuran Variabilitas Data
Juang Sunanto
Ukuran Variabilitas
•
•
•
•
•
Range (jangkauan)
Rata-rata simpangan (simpangan rata-rata)
Simpangan standar (Standard Deviation)
Nilai standar
Koefisien variabilitas
A
70
65
60
60
60
65
70
65
75
60
B
75
50
40
45
20
85
80
90
80
85
Rata-rata=65
Range A = 60-75
Range B =90-20
Ukuran Penyebaran (variabilitas)
Adalah suatu ukuran yang
menyatakanseberapa besar nilai-nilai data
berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran
pusatnya atau seberapa besar penyimpengan
nilai-nilai data dengan nilai pusatnya
Range (R)
5, 8, 9, 7, 9, 5, 6, 10
R = 10-5 = 5
Kelas
Frekuensi
1– 5
5 – 10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
31 -- 35
36 – 40
2
7
13
27
22
17
8
3
Nilai tengah kelas ke -1 = 3
Nilai tengah kelas ke-8 = 38
R = 38 – 3 = 35
Simpangan rata-rata
Adalah suatu simpangan nilai unit observasi terhadap rata-rata
n
SR =
∑ X −X
i =1
n
ST = simpangan rata − rata
X = nilai rata − rata
X
i
= data ke − i
n = banyaknya data
4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
n
∑x
X =
i =1
i
n
4+5+6+7+7+7+8+8+9+9
X =
10
70
X =
=7
10
n
SR =
SR =
SR =
∑ X −X
i =1
n
4 − 7 + 5 − 7 + 6 − 7 ... + 9 − 7
10
12
=1,2
10
Kelas
Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 - 86
87 – 9 3
94 -- 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah
50
f X
∑
SR =
∑f
i
i
i
−X
Nilai
f
X
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah
50
X
i
i
55
62
69
76
83
90
97
fX
i
i
110
372
483
1520
664
360
291
X
i
−X
f X −X
i
21
14
7
0
7
14
21
42
84
49
0
56
56
63
3800
f x
∑
=
∑ f
i
i
i
3800
X =
= 76
50
i
350
f X
∑
SR =
∑f
i
i
−X
i
350
SR =
=7
50
Simpangan Standar
X
Jika :
1
,
X
2
X
,
3
, ...
X
n
nilai data
X = rata − rata
(X − X ) (X
2
S
2
=
1
S
=
2− X
) (X
3− X
+
) (X
+
n+ X
)
S
2
)
2
n
n
2
+
2
(
∑ X i− X
i =1
n
)
n
2
S=
(
∑ X i− X
i =1
n
2
= var iasi
2
S = simpangan s tan dar
X
i
= nilai ke − i
X = nilai rata − rata
n = banyaknya data
3, 5, 5, 6, 7, 8, 8
X
X
i
3
5
5
6
7
8
8
i
(X − X )
2
−X
i
-3
-1
-1
0
1
2
2
9
1
1
0
1
4
4
(
∑ X i− X
n
S
2
S=
=
(
∑ X i− X
i =1
n
S
2
)
2
=
20
= 2,86
7
= 2,86 = 1,69
)
2
=
20
75, 70, 80, 65, 65, 65, 80, 85, 70, 60, 70, 70
Misal X0 = 70
X
i
Xi− Xo
( X i − X 0)
2
2
S
75
70
80
65
65
65
80
85
70
60
70
70
5
0
10
-5
-5
-5
10
15
0
-10
0
0
25
0
100
25
25
25
100
225
0
100
0
0
15
625
∑ ( X i − X 0) − n [∑ ( X i − X 0)]
2
=
1
n
1
2
.15
2
12
S =
12
606,25
2
=
= 50,53
S
12
625 −
S=
S
2
= 50,53 = 7,11
2
Nilai
Frekuensi
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah
50
(
f i X i)
−
2
∑ f Xi
i
S=
2
∑f
∑f
i
−1
i
Nilai
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
Xi
55
62
69
76
83
90
97
fi
2
6
7
20
8
4
3
fixi
110
372
483
1520
664
360
291
xi2
fixi2
3025
3844
4761
5776
6889
8100
9409
6050
23064
33327
115520
55112
32400
28227
∑ f Xi
50
3800
293700
2
i
S=
−
∑f
∑f
i
i
−1
(3800)
293700 −
2
S=
S=
Jumlah
( f i X i)
2
50
49
293700 − 288,800
= 100 = 10
49
Nilai
Xi
ci
ci2
fi
ci2fi
cifi
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
55
62
69
76
83
90
97
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
2
6
7
20
8
4
3
18
24
7
0
8
16
27
-6
-12
-7
0
8
8
9
50
100
0
Jumlah
k
2
p
n ∑ ci
S=
n
i =1
f
i
(
− ∑ ci
f i)
7
S=
50(100) − (0)2
50
7
7
S=
5000 = .70,7 = 9,9
50
50
2
Koefisien Variasi
S
K = x100%
X
KV = koefisien var iasi
S = simpangan s tan dar
X = rata − rata
Jika KV makin kecil datanya makin seragam (homogen), sebaliknya
Jia KV makin besar datanya makin hiterogen
Kelompok A
Kelompok B
Rata-rata = 70
S = 4,5
Rata-rata = 60
S = 5,1
K=
4,5
x 100% = 6,4%
70
K=
5,1
x 100% = 8,5%
60
Nilai Standar (angka Baku)
Nilai standar (angka baku) adalah perubahan yang dipergunakan untuk
Membandingkan dua buah keadaan atau lebih.
Angka baku yang lazim dipergunakan adalah Z skor
x− X
Z=
S
Z = nilais tan dar
x = nilai tertentu
X = rata − rata
S = simpangans tan dar
Nilai matematika 65
Rata-rata 60
Simpangan standar 12
Nilai bahsa 75
Rata-rata 70
Simpangan standar 15
65 − 60 5
Z=
=
= 0,42
12
12
75 − 70 5
Z=
=
= 0,33
15
15
Ukuran Kemiringan
Koefisien kemiringan I
SK =
Koefisien kemiringan II
X −Mo
SK =
X −Me
S
SK = koefisien kemiringan
M
o
= mod us
M
e
S = simpangan s tan dar
X = rata − rata
= median
S
Rata-rata = 45,2
Modus = 43,7
S = 19,59
45,2 − 43,7
SK =
= 0,08
19,59
SK=0,08 (positif) berarti sebaran datanya miring ke kanan
Rata-rata = 76,6
Median = 77,3
S = 12,98
76,6 − 77,3
SK =
= −0,05
12,98
Karena koefisien kemiringannya negatif, model kurvanya miring ke kiri
Kurtosis
Adalah keruncingan kurva. Berdasarkan keruncingan kurva dapat
dfigolongkan menjadi tiga golongan:
Kurva Leptokurtik
Kurva Mesokurtik
Kurva Platikurtik
Untuk menentukan jenis kurva tersebut dapat digunakan koefisien kurtosis
yang disebut α4
Untuk data tidak dikelompokkan
m
=
α
S
4
α
4
4
n
1
= ∑
n i =1
(X
= koefisien kurtosis
x = nilai
i
4
data ke − i
X = rata − rata
n = banyaknya data
S = simpangan s tan dar
i
−X
S
4
)
4
Untuk data dikelompokkan
m
=
α
S
4
4
4
α
4
=
f (x − X )
S
4
i
i
4
= koefisien kurtosis
x = nilai
i
1 n
∑
n i =1
data ke − i
X = rata − rata
n = banyaknya data
S = simpangan s tan dar
fi = frekuensi kelas ke − i
Nilai
f
Xi
Xi-X
(Xi-X)⁴
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
2
6
7
20
8
4
3
55
62
69
76
83
90
97
-21
-14
-7
0
7
14
21
194481
38416
2401
0
2401
38416
194481
Jumlah
50
Rata-rata = 76
S = 10
N = 50
fi (Xi-X)⁴
388962
230496
16807
0
19208
153664
583443
1392580
α4 =
4
m
S
4
1
.1392580
= 50
= 2,78
10000
Karena α4 kurang dari 3, maka kurvanya platikurtik
Juang Sunanto
Ukuran Variabilitas
•
•
•
•
•
Range (jangkauan)
Rata-rata simpangan (simpangan rata-rata)
Simpangan standar (Standard Deviation)
Nilai standar
Koefisien variabilitas
A
70
65
60
60
60
65
70
65
75
60
B
75
50
40
45
20
85
80
90
80
85
Rata-rata=65
Range A = 60-75
Range B =90-20
Ukuran Penyebaran (variabilitas)
Adalah suatu ukuran yang
menyatakanseberapa besar nilai-nilai data
berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran
pusatnya atau seberapa besar penyimpengan
nilai-nilai data dengan nilai pusatnya
Range (R)
5, 8, 9, 7, 9, 5, 6, 10
R = 10-5 = 5
Kelas
Frekuensi
1– 5
5 – 10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
31 -- 35
36 – 40
2
7
13
27
22
17
8
3
Nilai tengah kelas ke -1 = 3
Nilai tengah kelas ke-8 = 38
R = 38 – 3 = 35
Simpangan rata-rata
Adalah suatu simpangan nilai unit observasi terhadap rata-rata
n
SR =
∑ X −X
i =1
n
ST = simpangan rata − rata
X = nilai rata − rata
X
i
= data ke − i
n = banyaknya data
4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
n
∑x
X =
i =1
i
n
4+5+6+7+7+7+8+8+9+9
X =
10
70
X =
=7
10
n
SR =
SR =
SR =
∑ X −X
i =1
n
4 − 7 + 5 − 7 + 6 − 7 ... + 9 − 7
10
12
=1,2
10
Kelas
Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 - 86
87 – 9 3
94 -- 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah
50
f X
∑
SR =
∑f
i
i
i
−X
Nilai
f
X
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah
50
X
i
i
55
62
69
76
83
90
97
fX
i
i
110
372
483
1520
664
360
291
X
i
−X
f X −X
i
21
14
7
0
7
14
21
42
84
49
0
56
56
63
3800
f x
∑
=
∑ f
i
i
i
3800
X =
= 76
50
i
350
f X
∑
SR =
∑f
i
i
−X
i
350
SR =
=7
50
Simpangan Standar
X
Jika :
1
,
X
2
X
,
3
, ...
X
n
nilai data
X = rata − rata
(X − X ) (X
2
S
2
=
1
S
=
2− X
) (X
3− X
+
) (X
+
n+ X
)
S
2
)
2
n
n
2
+
2
(
∑ X i− X
i =1
n
)
n
2
S=
(
∑ X i− X
i =1
n
2
= var iasi
2
S = simpangan s tan dar
X
i
= nilai ke − i
X = nilai rata − rata
n = banyaknya data
3, 5, 5, 6, 7, 8, 8
X
X
i
3
5
5
6
7
8
8
i
(X − X )
2
−X
i
-3
-1
-1
0
1
2
2
9
1
1
0
1
4
4
(
∑ X i− X
n
S
2
S=
=
(
∑ X i− X
i =1
n
S
2
)
2
=
20
= 2,86
7
= 2,86 = 1,69
)
2
=
20
75, 70, 80, 65, 65, 65, 80, 85, 70, 60, 70, 70
Misal X0 = 70
X
i
Xi− Xo
( X i − X 0)
2
2
S
75
70
80
65
65
65
80
85
70
60
70
70
5
0
10
-5
-5
-5
10
15
0
-10
0
0
25
0
100
25
25
25
100
225
0
100
0
0
15
625
∑ ( X i − X 0) − n [∑ ( X i − X 0)]
2
=
1
n
1
2
.15
2
12
S =
12
606,25
2
=
= 50,53
S
12
625 −
S=
S
2
= 50,53 = 7,11
2
Nilai
Frekuensi
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah
50
(
f i X i)
−
2
∑ f Xi
i
S=
2
∑f
∑f
i
−1
i
Nilai
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
Xi
55
62
69
76
83
90
97
fi
2
6
7
20
8
4
3
fixi
110
372
483
1520
664
360
291
xi2
fixi2
3025
3844
4761
5776
6889
8100
9409
6050
23064
33327
115520
55112
32400
28227
∑ f Xi
50
3800
293700
2
i
S=
−
∑f
∑f
i
i
−1
(3800)
293700 −
2
S=
S=
Jumlah
( f i X i)
2
50
49
293700 − 288,800
= 100 = 10
49
Nilai
Xi
ci
ci2
fi
ci2fi
cifi
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
55
62
69
76
83
90
97
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
2
6
7
20
8
4
3
18
24
7
0
8
16
27
-6
-12
-7
0
8
8
9
50
100
0
Jumlah
k
2
p
n ∑ ci
S=
n
i =1
f
i
(
− ∑ ci
f i)
7
S=
50(100) − (0)2
50
7
7
S=
5000 = .70,7 = 9,9
50
50
2
Koefisien Variasi
S
K = x100%
X
KV = koefisien var iasi
S = simpangan s tan dar
X = rata − rata
Jika KV makin kecil datanya makin seragam (homogen), sebaliknya
Jia KV makin besar datanya makin hiterogen
Kelompok A
Kelompok B
Rata-rata = 70
S = 4,5
Rata-rata = 60
S = 5,1
K=
4,5
x 100% = 6,4%
70
K=
5,1
x 100% = 8,5%
60
Nilai Standar (angka Baku)
Nilai standar (angka baku) adalah perubahan yang dipergunakan untuk
Membandingkan dua buah keadaan atau lebih.
Angka baku yang lazim dipergunakan adalah Z skor
x− X
Z=
S
Z = nilais tan dar
x = nilai tertentu
X = rata − rata
S = simpangans tan dar
Nilai matematika 65
Rata-rata 60
Simpangan standar 12
Nilai bahsa 75
Rata-rata 70
Simpangan standar 15
65 − 60 5
Z=
=
= 0,42
12
12
75 − 70 5
Z=
=
= 0,33
15
15
Ukuran Kemiringan
Koefisien kemiringan I
SK =
Koefisien kemiringan II
X −Mo
SK =
X −Me
S
SK = koefisien kemiringan
M
o
= mod us
M
e
S = simpangan s tan dar
X = rata − rata
= median
S
Rata-rata = 45,2
Modus = 43,7
S = 19,59
45,2 − 43,7
SK =
= 0,08
19,59
SK=0,08 (positif) berarti sebaran datanya miring ke kanan
Rata-rata = 76,6
Median = 77,3
S = 12,98
76,6 − 77,3
SK =
= −0,05
12,98
Karena koefisien kemiringannya negatif, model kurvanya miring ke kiri
Kurtosis
Adalah keruncingan kurva. Berdasarkan keruncingan kurva dapat
dfigolongkan menjadi tiga golongan:
Kurva Leptokurtik
Kurva Mesokurtik
Kurva Platikurtik
Untuk menentukan jenis kurva tersebut dapat digunakan koefisien kurtosis
yang disebut α4
Untuk data tidak dikelompokkan
m
=
α
S
4
α
4
4
n
1
= ∑
n i =1
(X
= koefisien kurtosis
x = nilai
i
4
data ke − i
X = rata − rata
n = banyaknya data
S = simpangan s tan dar
i
−X
S
4
)
4
Untuk data dikelompokkan
m
=
α
S
4
4
4
α
4
=
f (x − X )
S
4
i
i
4
= koefisien kurtosis
x = nilai
i
1 n
∑
n i =1
data ke − i
X = rata − rata
n = banyaknya data
S = simpangan s tan dar
fi = frekuensi kelas ke − i
Nilai
f
Xi
Xi-X
(Xi-X)⁴
52-58
59-65
66-72
73-79
80-86
87-93
94-100
2
6
7
20
8
4
3
55
62
69
76
83
90
97
-21
-14
-7
0
7
14
21
194481
38416
2401
0
2401
38416
194481
Jumlah
50
Rata-rata = 76
S = 10
N = 50
fi (Xi-X)⁴
388962
230496
16807
0
19208
153664
583443
1392580
α4 =
4
m
S
4
1
.1392580
= 50
= 2,78
10000
Karena α4 kurang dari 3, maka kurvanya platikurtik