Fungsi Gamma Fungsi Beta Penerapan fungs
!
"
!
#
% &
#
#
$
#
$
#
$
&
'
#
'
(
#
!!
41
n
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
Γ (n)
1,0000
0,9514
0,9182
0,8975
0,8873
0,8862
0,8935
0,9086
0,9314
0,9618
1,0000
41
!!
41
Γ(n)
b
∞
Γ (n ) =
x
n −1
−x
e dx = lim
0
konvergen untuk n>0
b→ ∞
x
0
n −1
−x
e dx
!!
41
∞
Γ (1) =
x
1 −1
−x
e dx
0
b
= lim
b→ ∞
x
e dx
−x
e dx
0
[
= lim − e
b→ ∞
−x
0
b
= lim
b→ ∞
1 −1
]
−x b
0
[
= lim − e
b→ ∞
−b
+e
0
]= 1
!!
41
∞
Γ (2) =
x
2 −1
−x
e dx
0
b
1
= lim
b→ ∞
−x
x e dx
0
= ..........
!!
41
Γ(n+1) = n Γ (n)
dimana Γ(1) = 1
1. Γ(2) = Γ(1+1) = 1 Γ(1) = 1.
2. Γ(3) = Γ(2+1) = 2 Γ(2) = 2.
3. Γ(3/2) = Γ( ½ +1) = ½ Γ(½).
!!
41
Γ(n+1) = n!
dimana Γ(1) = 1
1. Γ(2) = Γ(1+1) = 1" = 1.
2. Γ(3) = Γ(2+1) = 2" = 2.
3. Γ(4) = Γ(3+1) = 3" = 6.
!!
41
#$ % &
4. Γ(6)
5. Γ(5)/Γ(3)
6. Γ(6)/'Γ(3)
41
!!
!
Γ(n) = (n-1) . (n-2) . … α Γ(α
α)
dimana 0 < α < 1
1. Γ(3/2) = (1/2) Γ (1/2)
2. Γ(7/2) = (5/2)(3/2)(1/2)Γ(1/2)
3. Γ(5/3) = (2/3)Γ(2/3).
41
!!
!
Γ ( n + 1)
Γ (n ) =
n
$
Γ (n + m )
Γ (n ) =
n ( n − 1)...
! (%
41
!!
3
1
Γ − +1
Γ −
3
2
2
Γ −
=
=
3
3
2
−
−
2
2
1
1
Γ
Γ
2
2
=
=
3
1
3
−
−
2
2
4
1
Γ − +1
2
=
3
1
−
−
2
2
41
5
Γ −
2
!!
5
3
Γ −
+1
Γ −
Γ
2
2
=
=
=
5
5
−
−
−
2
2
1
1
Γ −
Γ −
+
2
2
=
=
5
3
5
3
−
−
−
−
2
2
2
2
1
1
Γ
Γ
2
2
=
=
15
5
3
1
−
−
−
−
8
2
2
2
3
−
+1
2
5
3
−
2
2
1
1
−
2
!!
41
Γ ( 12) =
π
Γ ( n ) = ( n − 1)!
Γ ( n + 1)
Γ (n ) =
n
π
Γ ( n ) Γ (1 − n ) =
sin n π
!!
41
( 2)
1.
Γ 5
2.
Γ − 1
(
)
2
)
2
Γ (1 )
2
3.
( 2)
Γ (1 )
2
4.
Γ (3 )Γ (2 , 5 )
Γ (5 , 5 )
Γ 5
(
Γ − 1
3.
( 3)
5 Γ (2 )
3
6Γ 8
5.
!!
41
"
∞
6
1 . Hitung
−2x
x e
dx
0
J awab :
Misalkan
2x = y → dx = 1 2 dy
bila x = 0, maka y = 0
bila x = ∞ , maka y = ∞
∞
∞
6
x e
−2x
dx =
∞
(
1
6
2
y) e
−y
1
2
dy =
0
0
(
1
=(
=(
) y e
2
−y
dy
2
)
7
∞
6
y e
−y
dy = (
1
2
)
7
0
1
6
0
∞
1
7
0
) Γ (7) = 6!
7
2
y
2
7
= 45
8
7 -1
e
−y
dy
!!
41
∞
2 . Hitung
y e
−y
3
dy
3
dengan substitusi
y =x
0
3
J awab :
∞
y e
0
−y
2
Misalkan
y = x → dx = 3y dy
bila x = 0, maka y = 0
bila x = ∞ , maka y = ∞
∞
3
1
dy =
x
3
e
-x
1
0
1
=
3
1
=
3
3 x
∞
x
0
∞
x
0
1 −2
6
3
1 −1
2
e
∞
1
e
-x
-x
2
dx =
3
1
dx =
3
1
x
6
e
-x
3x
0
∞
x
− 12
1
e
-x
dx
0
1
1
1
dx = Γ ( 2 ) =
3
3
π
2
dx
3
!!
41
1
3 . Hitung
dx
- ln x
dengan substitusi
− ln x = u
0
J awab :
-u
-u
Misalkan
− ln x = u → x = e
→ d x = - e du
Bila x = 0, maka u = ∞ dan bila x = 1, maka u = 0
1
0
dx
- ln x
0
=
∞
∞
-u
- e du
u
u
=
0
− 12
e
-u
0
u
=
− 12
(− e
-u
) du
∞
du = Γ ( 1 2 ) =
π
#
4%2%
#
$
1
B(m , n ) =
x
m −1
(1 − x )
0
konvergen untuk m > 0 dan n > 0.
Sifat: B(m,n) = B(n,m)
Bukti: … … …
n −1
dx
42
$
1
B(m , n ) =
x
m −1
(1 − x )
n −1
dx
0
1
(1 − y )
=
m −1
n −1
dx
m −1
dx
(y)
0
1
(y)
=
n −1
(1 − y )
0
= B(n , m )
∴ Terbukti
42
$
&
Γ (m ) Γ (n )
B(m , n ) =
Γ (m + n )
42
$
1 #$
B(3,5)
) * (+
Γ (3) Γ (5 ) Γ (3) Γ (5 )
B ( 3,5 ) =
=
= ......
Γ (3 + 5)
Γ (8 )
42
$
' #$
B(5 , 2).
) * (+
, #$
B(3/2 , 2).
) * (+
#$
B(1/3 , 2/3).
) * (+
$
42
"
1
4
1 . Hitung
3
x (1 − x ) dx
0
Jawab :
1
1
4
3
x (1 − x ) dx =
0
x
5 -1
(1 − x )
4 −1
dx
0
= B (5,4 )
Γ (5) Γ (4)
4! 3!
=
=
Γ (5 + 4)
8!
1
=
280
$
42
2
2
x dx
2−x
2 . Hitung
0
Jawab : Misalkan
2
0
2
x dx
=
2−x
1
x = 2u
2
1
dx = 2 du
→
2
( 2 u ) 2 du
8 u du
=
2 − 2u
2 1− u
0
0
2
1
1
− 12
8
u du
2
=
= 4 2
u (1 − u )
du
2 0 1− u
0
= 4 2 B (3, 1 2 ) = ...
$
42
"
a
3 . Hitung
y
0
4
2
a −y
2
dy
LATIHAN
1 . Hitung
Γ (3) Γ ( 3 2 )
b).
Γ (9 2)
Γ (7 )
a).
2 Γ ( 4 ) Γ (3)
∞
4
2 . Hitung
x e
−x
dx
0
∞
4
3 . Hitung
x e
− x
dx
0
4 . Hitung
a). B ( 3 2 , 2)
b). B ( 1 3 , 2 3 )
1
2
5 . Hitung
3
x (1 − x ) dx
0
4
6 . Hitung
u
0
3/2
( 4 - u)
5/2
du
"
!
#
% &
#
#
$
#
$
#
$
&
'
#
'
(
#
!!
41
n
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
Γ (n)
1,0000
0,9514
0,9182
0,8975
0,8873
0,8862
0,8935
0,9086
0,9314
0,9618
1,0000
41
!!
41
Γ(n)
b
∞
Γ (n ) =
x
n −1
−x
e dx = lim
0
konvergen untuk n>0
b→ ∞
x
0
n −1
−x
e dx
!!
41
∞
Γ (1) =
x
1 −1
−x
e dx
0
b
= lim
b→ ∞
x
e dx
−x
e dx
0
[
= lim − e
b→ ∞
−x
0
b
= lim
b→ ∞
1 −1
]
−x b
0
[
= lim − e
b→ ∞
−b
+e
0
]= 1
!!
41
∞
Γ (2) =
x
2 −1
−x
e dx
0
b
1
= lim
b→ ∞
−x
x e dx
0
= ..........
!!
41
Γ(n+1) = n Γ (n)
dimana Γ(1) = 1
1. Γ(2) = Γ(1+1) = 1 Γ(1) = 1.
2. Γ(3) = Γ(2+1) = 2 Γ(2) = 2.
3. Γ(3/2) = Γ( ½ +1) = ½ Γ(½).
!!
41
Γ(n+1) = n!
dimana Γ(1) = 1
1. Γ(2) = Γ(1+1) = 1" = 1.
2. Γ(3) = Γ(2+1) = 2" = 2.
3. Γ(4) = Γ(3+1) = 3" = 6.
!!
41
#$ % &
4. Γ(6)
5. Γ(5)/Γ(3)
6. Γ(6)/'Γ(3)
41
!!
!
Γ(n) = (n-1) . (n-2) . … α Γ(α
α)
dimana 0 < α < 1
1. Γ(3/2) = (1/2) Γ (1/2)
2. Γ(7/2) = (5/2)(3/2)(1/2)Γ(1/2)
3. Γ(5/3) = (2/3)Γ(2/3).
41
!!
!
Γ ( n + 1)
Γ (n ) =
n
$
Γ (n + m )
Γ (n ) =
n ( n − 1)...
! (%
41
!!
3
1
Γ − +1
Γ −
3
2
2
Γ −
=
=
3
3
2
−
−
2
2
1
1
Γ
Γ
2
2
=
=
3
1
3
−
−
2
2
4
1
Γ − +1
2
=
3
1
−
−
2
2
41
5
Γ −
2
!!
5
3
Γ −
+1
Γ −
Γ
2
2
=
=
=
5
5
−
−
−
2
2
1
1
Γ −
Γ −
+
2
2
=
=
5
3
5
3
−
−
−
−
2
2
2
2
1
1
Γ
Γ
2
2
=
=
15
5
3
1
−
−
−
−
8
2
2
2
3
−
+1
2
5
3
−
2
2
1
1
−
2
!!
41
Γ ( 12) =
π
Γ ( n ) = ( n − 1)!
Γ ( n + 1)
Γ (n ) =
n
π
Γ ( n ) Γ (1 − n ) =
sin n π
!!
41
( 2)
1.
Γ 5
2.
Γ − 1
(
)
2
)
2
Γ (1 )
2
3.
( 2)
Γ (1 )
2
4.
Γ (3 )Γ (2 , 5 )
Γ (5 , 5 )
Γ 5
(
Γ − 1
3.
( 3)
5 Γ (2 )
3
6Γ 8
5.
!!
41
"
∞
6
1 . Hitung
−2x
x e
dx
0
J awab :
Misalkan
2x = y → dx = 1 2 dy
bila x = 0, maka y = 0
bila x = ∞ , maka y = ∞
∞
∞
6
x e
−2x
dx =
∞
(
1
6
2
y) e
−y
1
2
dy =
0
0
(
1
=(
=(
) y e
2
−y
dy
2
)
7
∞
6
y e
−y
dy = (
1
2
)
7
0
1
6
0
∞
1
7
0
) Γ (7) = 6!
7
2
y
2
7
= 45
8
7 -1
e
−y
dy
!!
41
∞
2 . Hitung
y e
−y
3
dy
3
dengan substitusi
y =x
0
3
J awab :
∞
y e
0
−y
2
Misalkan
y = x → dx = 3y dy
bila x = 0, maka y = 0
bila x = ∞ , maka y = ∞
∞
3
1
dy =
x
3
e
-x
1
0
1
=
3
1
=
3
3 x
∞
x
0
∞
x
0
1 −2
6
3
1 −1
2
e
∞
1
e
-x
-x
2
dx =
3
1
dx =
3
1
x
6
e
-x
3x
0
∞
x
− 12
1
e
-x
dx
0
1
1
1
dx = Γ ( 2 ) =
3
3
π
2
dx
3
!!
41
1
3 . Hitung
dx
- ln x
dengan substitusi
− ln x = u
0
J awab :
-u
-u
Misalkan
− ln x = u → x = e
→ d x = - e du
Bila x = 0, maka u = ∞ dan bila x = 1, maka u = 0
1
0
dx
- ln x
0
=
∞
∞
-u
- e du
u
u
=
0
− 12
e
-u
0
u
=
− 12
(− e
-u
) du
∞
du = Γ ( 1 2 ) =
π
#
4%2%
#
$
1
B(m , n ) =
x
m −1
(1 − x )
0
konvergen untuk m > 0 dan n > 0.
Sifat: B(m,n) = B(n,m)
Bukti: … … …
n −1
dx
42
$
1
B(m , n ) =
x
m −1
(1 − x )
n −1
dx
0
1
(1 − y )
=
m −1
n −1
dx
m −1
dx
(y)
0
1
(y)
=
n −1
(1 − y )
0
= B(n , m )
∴ Terbukti
42
$
&
Γ (m ) Γ (n )
B(m , n ) =
Γ (m + n )
42
$
1 #$
B(3,5)
) * (+
Γ (3) Γ (5 ) Γ (3) Γ (5 )
B ( 3,5 ) =
=
= ......
Γ (3 + 5)
Γ (8 )
42
$
' #$
B(5 , 2).
) * (+
, #$
B(3/2 , 2).
) * (+
#$
B(1/3 , 2/3).
) * (+
$
42
"
1
4
1 . Hitung
3
x (1 − x ) dx
0
Jawab :
1
1
4
3
x (1 − x ) dx =
0
x
5 -1
(1 − x )
4 −1
dx
0
= B (5,4 )
Γ (5) Γ (4)
4! 3!
=
=
Γ (5 + 4)
8!
1
=
280
$
42
2
2
x dx
2−x
2 . Hitung
0
Jawab : Misalkan
2
0
2
x dx
=
2−x
1
x = 2u
2
1
dx = 2 du
→
2
( 2 u ) 2 du
8 u du
=
2 − 2u
2 1− u
0
0
2
1
1
− 12
8
u du
2
=
= 4 2
u (1 − u )
du
2 0 1− u
0
= 4 2 B (3, 1 2 ) = ...
$
42
"
a
3 . Hitung
y
0
4
2
a −y
2
dy
LATIHAN
1 . Hitung
Γ (3) Γ ( 3 2 )
b).
Γ (9 2)
Γ (7 )
a).
2 Γ ( 4 ) Γ (3)
∞
4
2 . Hitung
x e
−x
dx
0
∞
4
3 . Hitung
x e
− x
dx
0
4 . Hitung
a). B ( 3 2 , 2)
b). B ( 1 3 , 2 3 )
1
2
5 . Hitung
3
x (1 − x ) dx
0
4
6 . Hitung
u
0
3/2
( 4 - u)
5/2
du