PENENTUAAN SELANG DUGAAN PARAMETER RATA-RATA MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II
ABSTRAK
PENENTUAAN SELANG DUGAAN PARAMETER RATA-RATA
MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II
Oleh
DICA YULYANA
Reliabilitas suatu sistem adalah peluang suatu sistem beroperasi dalam interval
waktu tertentu sesuai dengan ketentuan yang diharapkan. Data yang digunakan
pada analisis masa hidup sistem adalah data tersensor tipe II dan distribusi yang
digunakan distribusi Eksponensial. Parameter dari distribusi ini umumnya tidak
diketahui sehingga perlu diduga menggunakan Metode Maximum Likelihood.
Metode ini merupakan salah satu metode penduga parameter yang konsep
penduganya adalah dengan memaksimalkan fungsi kemungkinan. Data masa
hidup sistem disimulasikan dengan sofwere R dari 25 data dengan pengulangan
1000 menggunakan metode bootstrap untuk sampel 10, 30, 50, 100 dengan ratarata parameter awal 1046,48. Hasil simulasi menunjukan ukuran sampel dan
banyaknya pengulangan cukup mempengaruhi parameter yang dihasilkan.
Semakin besar sampel dan pengulangannya, pada umumnya akan semakin dekat
dengan parameter sampel awal.
Kata kunci : Distribusi Eksponensial, Maksimum Likelihood, Tersensor Tipe
II, Bootstrap.
PENENTUAN SELANG DUGAAN PARAMETER
RATA-RATA MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI
EKSPONENSIAL UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II
(Skripsi)
DICA YULYANA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DAFTAR GAMBAR
Gambar
1.
2.
3.
4.
Grafik Theta_duga
Grafik Theta_duga
Grafik Theta_duga
Grafik Theta_duga
Halaman
(̂
(̂
(̂
(̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
) untuk n10................................... 39
) untuk n30.................................. 39
) untuk n50.................................. 40
) untuk n100.................................. 40
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ..... .............................................................................
DAFTAR GAMBAR ... ...........................................................................
X
XI
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ..............................................................
1.2 Perumusan Masalah ....................................................................
1.3 Tujuan Penulisan .........................................................................
1.4 Manfaat Penelitian ......................................................................
1
3
3
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Peluang ................................................................
2.2 Peubah Acak ...............................................................................
2.3 Distribusi Peluang .......................................................................
2.4 Fungsi Pembangkit Momen ........................................................
2.5 Konsep Dasar dan Fungsi Reliabilitas ......................................
2.6 Fungsi Densitas Peluang .............................................................
2.7 Fungsi Kegagalan ........................................................................
2.8 Tipe Tersensor Data ....................................................................
2.9 Proses Poisson .............................................................................
2.10 Distribusi Gamma .....................................................................
2.11 Distribusi Eksponensial.............................................................
2.12 Distribusi Khi Kuadrat .............................................................
2.13 Statistik Cukup ..........................................................................
2.14 Metode Kemungkinan Maksimum (Maksimum
Likelihood Estimation Method) ..................................................
2.15 Metode Bootstrap .....................................................................
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .....................................................
3.2 Metode Penelitian........................................................................
5
6
6
7
8
9
10
11
12
15
17
20
22
22
23
26
26
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Masa Hidup Distribusi Eksponensial .........................................
4.2 Interval Konfidensi untuk Rata-rata
Waktu Tahan Hidup ..... .............................................................
4.3 Aplikasi Masa Hidup Sistem yang Berdistribusi
Eksponensial....... ......................................................................
4.4 Simulasi Selang Kepercayaan ....................................................
BAB V KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan .................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
28
35
36
39
42
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Tabel 1 Data waktu kegagalan (jam) ................................................ 36
2. Tabel 2 Data waktu kegagalan (jam) setelah tersensor tipe II ......... 37
MOTO
“ maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan “
(Al-Insyirah : 5)
“saya tidak tahu akan seperti apa takdir anda, tetapi satu
hal yang saya tahu : orang-orang diantara anda yang akan
benar-benar bahagia adalah mereka yang akan mencari dan
menemukan cara untuk melayani”
(Albert Schweitzer)
“manisnya keberhasilan akan menghapus pahitnya
kesabaran. Nikmatnya kemenangan melenyapkan letihnya
perjuangan. Menuntaskan pekerjaan dengan baik akan
melenyapkan lelahnya jerih payah”
(Dr.Aidh Al Qarni”
“Sukses itu tergantung kadar lelahmu“
(Dica Yulyana)
PERSEMBAHAN
Dengan rasa syukur kepada Allah SWT atas segala ridho dan berkatNya serta
kerendahan hati kupersembahkan karya sederhana ini kepada semua orang yang
senantiasa mendukung dan mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Wan, mak, wo dian, adik dani dan data yang sangat kusayangi yang dengan
tulus memberikan semangat serta dukungan dan doa demi keberhasilanku.
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu hadir. Terimakasih atas kebersamaan,
kecerian, dan dukungan kepada penulis.
Almamaterku tercinta ......... “Universitas Lampung”
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Krui, Pesisir Barat pada tanggal 29 September
1991. Penulis merupakan anak kedua dari empat bersaudara, dari
pasangan bapak Hi. Zamlan dan ibu Yusnalaini, adik dari Dian
Zonalia, kakak dari Dani Aredotama dan Data Adiafatra.
Penulis memulai pendidikan Sekolah Dasar di SD N 2 Bumi Waras Krui Pesisir
Barat pada tahun 2004. Sekolah menengah pertama di MTS NU Krui Pesisir Barat
pada tahun 2007. Kemudian Sekolah menengah atas di MAN Krui Pesisir Barat
pada tahun 2010.
Pada tahun 2010, penulis mendaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
jalur PKAB. Selama menuntut ilmu di perkuliahan penulis juga aktif dalam
kegiatan kemahasiswaan tingkat jurusan dan fakultas. Penulis tercatat pernah
menjabat sebagai Bendahara Umum PanSus pada tahun 2011, Anggota Gematika
2010-2011, Anggota AMAR 2010-2011, Anggota Magang Natural 2010-2011,
Anggota Bidang Kaderisasi HIMATIKA periode 2011-2012, Anggota Bidang
Kaderisasi ROIS periode 2011-2012, Anggota Dana dan Usaha NATURAL
periode 2010-2011, Kepala Biro Kesekertariatan NATURAL 2011-2012,
Pimpinan Usaha NATURAL periode 2012-2013. Pada bulan Januari tahun 2013,
penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Kabupaten Pringsewu,
Kecamatan Pagelaran Utara, pekon Fajar Mulia. Pada bulan Juli tahun 2013,
penulis melakukan Kerja Praktek (KP) di Badan Pusat Statistik Propinsi Lampung
dibagian Produksi.
SANWACANA
Puji syukur kepada allah SWT atas izin serta ridho-Nya penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penentuan Selang Dugaan Parameter
Rata-Rata Masa Hidup Sistem Yang Berdistribusi Eksponensial Pada Data
Tersensor Tipe II ”. Shalawat teriring salam kepada junjungan nabi besar
Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua
pengikutnya.
Penulisan skripsi ini juga tidak terlepas dari dukungan, bimbingan, kritik dan
saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1.
Bapak Drs. Rudi Ruswandi, Msi., selaku pembimbing utama yang senantiasa
memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis.
2.
Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang selalu sabar
dalam memberi pengarahan, semangat dan bahkan dukungan.
3.
Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan kritik,
saran dan masukan kepada penulis
4.
Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembimbing akademik yang selalu
memberikan masukan yang begitu luar biasa kepada penulis.
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada
penulis.
8.
Untuk kedua orang tua tercinta “wan dan mak, wo Dian Zonalia, adik Dani
Aredotama dan adik Data Adiafatra ” terimakasih telah menjadi semangat,
dukungan dan doa yang tak pernah henti.
9.
Sahabat-sahabat seperjuangan dalam berbagi suka dan duka dalam merangkai
mimpi Dian Asmarawati, Vitri Aprilla H, Siti Fatimah, Reni Permatasari,
Marry Juzmiyanti, Wulandari, Rena Renteta, Ridho dan Herman.
10. Vinny, Reka, Yepta yang tidak pernah sungkan membagi ilmunya dan
mengajarkan kepada penulis.
11. Teman-teman kosan yang kini menjadi keluarga baru penulis Selvita Sari,
Desi Ardila, Mia Meisiska, Imawati, Marlia Eka Putri, Ni Wayan Sayu
Waktini, Desi Damayanti, Pepi Elian, Dian Setya Rini dan Titin.
12. Candra Firdaus yang selalu memberi semangat kepada penulis.
13. Keluarga Besar HIMATIKA dan UKMF Natural Universitas Lampung.
14. Teman-teman Matematika 2010 yang luar biasa memberikan pengalaman,
kebersamaan serta keceriaan.
15. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Februari 2015
Penulis,
Dica Yulyana
1
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Semua alat atau komponen dari suatu sistem mempunyai masa hidup atau disebut
juga umur suatu alat. Umur suatu alat ini pada dasarnya ada dua macam yaitu
umur teknis yang akan melibatkan waktu yang terletak antara mulai pakai suatu
alat sampai alat itu tidak bisa digunakan lagi karena rusak dan umur ekonomis
yang melibatkan waktu mulai dipakai suatu alat sampai alat tersebut secara
ekonomis tidak berfungsi lagi. Untuk menganalisis umur suatu alat ini digunakan
analisis uji hidup. Analisis masa hidup merupakan peristiwa kegagalan yang dapat
berupa tidak berfungsinya benda tersebut secara optimal atau mati. Secara
matematis, masa hidup disebut juga variabel random dengan nilai non negatif.
Reliabilitas suatu sistem adalah peluang suatu sistem beroperasi dalam interval
waktu tertentu sesuai dengan ketentuan yang diharapkan. Sebelum reliabilitas
suatu sistem diukur, maka kondisi lingkungan, alat ukur, operator yang
melakukan pengukuran harus dalam kondisi yang normal sehingga reliabilitas
suatu sistem tidak dipengaruhi faktor lain. Reliabilitas suatu sistem dapat
ditentukan melalui fungsi reliabilitas, ekspektasi masa hidup, fungsi hazard dan
rasio kegagalan yang masing-masing melibatkan konsep peluang yang kemudian
diterapkan kedalam bentuk distribusi peluang.
2
Data pada analisis masa hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I
dan data tersensor tipe II. Data disebut lengkap jika data diamati secara utuh. Data
tersensor tipe I merupakan data masa hidup yang dihasilkan setelah penelitian
berjalan selama waktu yang telah ditentukan. Sedangkan data tersensor tipe II
merupakan data hasil penelitian yang dihentikan setelah sejumlah kematian atau
kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982).
Data tersensor tipe II merupakan banyak kegagalan yang ditetapkan dari jumlah n.
Dengan kata lain jika total sampel berukuran n, maka percobaan akan dihentikan
sampai diperoleh r kegagalan, sehingga penelitian yang dilakukan dapat
menghemat waktu dan biaya.
Beberapa distribusi yang sering digunakan untuk data tersensor adalah distribusi
Poisson, distribusi Eksponensial, distribusi Gamma dan distribusi Weibull.
Jumlah kegagalan dari sebuah percobaan merupakan proses Poisson dengan
waktu kegagalan
dari unit percobaan mengikuti distribusi Eksponensial,
sedangkan waktu dari
unit percobaan merupakan distribusi Gamma. Dalam
penelitian ini, penulis menggunakan distribusi masa hidup Eksponensial, atau data
masa hidup mengikuti distribusi Eksponensial untuk menghitung waktu kegagalan
dalam sebuah percobaan yang akan diamati.
Parameter dari distribusi ini umumnya tidak diketahui sehingga perlu diduga.
Terdapat beberapa metode untuk menduga parameter seperti metode Kuadrat
Terkecil untuk distribusi yang tidak diketahui, metode Momen untuk sampel yang
kecil, metode Bayes yang harus diketahui distribusi awalnya dan metode
3
Maximum Likelihood untuk sampel yang besar. Metode Maximum Likelihood ini
merupakan salah satu metode penduga parameter yang konsep penduganya adalah
dengan memaksimalkan fungsi kemungkinan. Metode ini lebih sering digunakan
untuk menduga parameter pada data tersensor yang distribusi peluangnya
diketahui.
1.2 Perumusan Masalah
Dari latar belakang di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi
ini adalah penentuan selang dugaan parameter rata-rata masa hidup suatu sistem
yang berdistribusi Eksponensial untuk data tersensor tipe II menggunakan metode
Maximum Likelihood Estimation (MLE).
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mendapatkan selang dugaan parameter dengan menggunakan Maximum
Likelihood Estimation (metode kemungkinan maksimum) pada masa
hidup suatu sistem yang berdistribusi Eksponensial untuk data tersensor
tipe II.
2. Melakukan simulasi pada selang dugaan masa hidup suatu sistem yang
berdistribusi Eksponensial dengan data sensor tipe II.
4
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah memberikan sumbangan pemikiran bagi
peneliti lain mengenai selang dugaan parameter dengan menggunakan Maximum
Likelihood Estimation (Metode Kemungkinan Maksimum) pada masa hidup suatu
sistem yang berdistribusi Eksponensial dengan data sensor tipe II.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Peluang
Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E
adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah
rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel atau :
Dimana
dan
berturut-turut adalah banyaknya titik kejadian dan ruang
sampel. Aksioma dan sifat-sifat peluang :
1.
2.
3.
4. Untuk kejadian A dan B
5. Jika kejadian A dan B saling asing maka
6. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
7. Peluang Bersyarat
|
;
6
2.2 Peubah Acak
Misalkan
fungsi
adalah sebuah percobaan dengan ruang sampelnya . Sebuah ruang
yang menetapkan setiap anggota
ke sebuah bilangan real
dinamakan peubah acak (Herhyanto, 2009).
Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari
yaitu (ruang hasil
tak berhingga tapi dapat dihitung, maka
nilai yang mungkin dari
) berhingga atau
dinamakan peubah acak diskrit. Nilai-
bisa ditulis sebagai:
Jika nilai-nilai yang mungkin dari
(yaitu ruang hasil
interval pada garis bilangan real, maka
) merupakan sebuah
dinamakan peubah acak kontinu.
2.3 Distribusi Peluang
Jika X adalah peubah acak diskrit, maka
range
dinamakan fungsi peluang dari
untuk setiap
Nilai fungsi peluang dari
dalam
yaitu
harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
a.
b. ∑
Kumpulan pasangan yang diurutkan
dinamakan distribusi peluang dari
Bentuk umum dari fungsi peluang ada dua kemungkinan, yaitu berupa
konstanta dan berupa fungsi dari nilai peubah acak.
Misalnya
adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan
bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari , jika nilai-nilainya,
yaitu
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
7
a.
b. ∫
c.
∫
2.4 Fungsi Pembangkit Momen
Jika
adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit
momen dari
(dinotasikan dengan
) didefinisikan sebagai:
Untuk
Definisi 2.1: Fungsi Pembangkit Momen Diskrit
Jika X adalah peubah acak diskrit dan
, maka fungsi pembangkit momen dari
adalah nilai fungsi peluang dari
di
didefinisikan sebagai:
∑
Definisi 2.2: Fungsi Pembangkit Momen Kontinu
Jika X adalah peubah acak kontinu dan
adalah nilai fungsi densitas dari
, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai:
di
8
∫
2.5 Konsep Dasar dan Fungsi Reliabilitas
Keterandalan (Reliabilitas) adalah ukuran suatu komponen atau peralatan untuk
beroperasi terus–menerus tanpa adanya gangguan atau kerusakan. Menurut
Patrick (2001) practical reliability merupakan probabilitas sebuah komponen atau
suatu sistem untuk dapat beroperasi sesuai dengan fungsi yang diinginkan untuk
suatu periode waktu tertentu ketika digunakan untuk dibawah kondisi operasional
tertentu.
Fungsi-fungsi pada distribusi uji hidup sistem merupakan suatu fungsi yang
menggunakan variabel random waktu hidup suatu sistem. Variabel random waktu
hidup suatu sistem biasanya dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk
suatu distribusi. Distribusi waktu hidup dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi
Reliabilitas R(t), fungsi densitas peluang f(t) dan fungsi kegagalan/fungsi hazard
h(t). Ketiga fungsi tersebut ekuivalen secara matematik, yang berarti jika salah
satu dari ketiga fungsi tersebut diketahui, maka fungsi yang lain dapat diturunkan.
Keterandalan (reliabilitas) adalah peluang suatu produk akan beroperasi dengan
baik untuk periode yang telah ditetapkan di bawah kondisi yang ditentukan,
seperti suhu dan tegangan, tanpa kegagalan (Cox & Oakes 1984). Keterandalan
Dirumuskan sebagai:
R(t) = P (objek hidup lebih dari waktu t)
=P(T>t)
9
= 1- P (objek gagal sebelum waktu t)
= 1- P (T ≤ t )
R(t) merupakan fungsi keterandalan, probabilitas bahwa kegagalan tidak akan
terjadi sebelum t, atau probabilitas bahwa waktu kerusakan lebih besar atau sama
dengan t.
2.6 Fungsi Densitas Peluang
Waktu tahan hidup T mempunyai fungsi densitas peluang yang dinotasikan
dengan f(t) dan didefinisikan sebagai peluang kegagalan suatu objek pada interval
(t,t +
per satuan waktu. Fungsi densitas peluang dinyatakan sebagai :
]
[
[
]
Yang mempunyai sifat sebagai berikut :
∫
Fungsi
disebut fungsi densitas peluang bagi variabel random kontinu T bila ruas
daerah dibawah kurva dan diatas sumbu –t sama dengan 1, dan bila ruas daerah
dibawah kurva antara
dan b (Walpole, 1995).
menyatakan peluang T terletak antara a
10
2.7 Fungsi Kegagalan (Fungsi Hazard)
Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan h(t) dan
didefinisikan sebagai peluang suatu objek gagal di dalam interval waktu (t, t+ t)
dengan diketahui bahwa objek tersebut masih hidup selama waktu t (David,
1996). Fungsi kegagalannya dinyatakan dengan:
|
[
]
[
]
[
]
]
[
[
]
11
2.8 Tipe Data Tersensor
Sensor dilakukan untuk memperpendek waktu percobaan karena untuk mengukur
waktu kegagalan atau kematian objek memerlukan waktu yang lama dan biaya
yang tidak sedikit. Dalam uji ketahanan terdapat tiga jenis sensor (Lee, 1992),
yaitu:
1.
Sensor Tipe I
Sensor tipe I adalah tipe penyensoran di mana percobaan akan dihentikan setelah
mencapai waktu T yang telah ditentukan untuk mengakhiri semua n individu yang
masuk pada waktu yang sama. Berakhirnya waktu uji T menjelaskan waktu sensor
uji, dengan kata lain jika tidak terdapat individu yang hilang secara tiba-tiba,
maka waktu tahan hidup observasi tersensor sama dengan lama waktu
pengamatan.
2. Sensor Tipe II
Sensor tipe II adalah tipe penyensoran di mana sampel ke-r merupakan jumlah
kegagagalan yang ditetapkan. Dengan kata lain jika total sampel berukuran n,
maka percobaan akan dihentikan sampai diperoleh r kegagalan. Semua unit uji n
masuk pada waktu yang sama. Pada sensor tipe II, jika tidak terdapat individu
yang hilang, maka waktu tahan hidup observasi tersensor sama dengan waktu
tahan hidup observasi tidak tersensor. Kelebihan dari sensor ini adalah dapat
menghemat waktu dan biaya.
3. Sensor Tipe III
Dalam sensor tipe III ini, individu atau unit uji masuk ke dalam percobaan pada
waktu yang berlainan selama periode waktu tertentu. Beberapa unit uji mungkin
12
gagal/mati sebelum pengamatan berakhir sehingga waktu tahan hidupnya dapat
diketahui dengan pasti. Kemungkinan kedua adalah unit uji keluar sebelum
pengamatan berakhir, atau kemungkinan ketiga adalah unit uji tetap hidup sampai
batas waktu terakhir pengamatan. Untuk objek yang hilang, waktu tahan hidupnya
adalah sejak masuk dalam pengamatan sampai dengan waktu terakhir sebelum
hilang. Untuk unit uji yang tetap hidup, waktu tahan hidupnya adalah dari mulai
masuk pengamatan sampai waktu pengamatan berakhir. Penyensoran data dapat
disebabkan oleh beberapa hal, antara lain:
a. Data hilang
b. Data keluar (withdrawls)
c. Berakhir waktu pengamatan
Percobaan juga dapat dilakukan tanpa menggunakan ketiga tipe penyensoran
tersebut, yaitu dengan sampel lengkap. Sampel lengkap berarti bahwa nilai
kegagalan dari semua unit sampel yang diobservasi dapat diketahui. Percobaan
akan berhenti jika semua sampel yang diamati mengalami kegagalan.
2.9 Proses Poisson
Definisi 2.3: Proses Poisson (Stationary independent increments)
Suatu proses menghitung
parameter
jika memenuh:
dikatakan proses poisson dengan
13
(S.Osaki, 1992)
Peluang bahwa ada k kejadian pada interval
berlaku:
∑
| dari definisi 2.3, untuk
|
Karena proses poisson stationer, maka:
|
Untuk sebarang
Definisi 2.4: Proses Poisson (independent increments)
Suatu proses menghitung
parameter
jika memenuh:
dikatakan proses poisson dengan
14
Maka:
Teorema 1:
Jika jumlah kegagalan mengikuti distribusi Poisson maka suatu variabel random
waktu antar kegagalan mengikuti distribusi Eksponensial.
Fungsi peluang distribusi Poisson dengan parameter
adalah:
{
Bukti:
.
fungsi distribusi kumulatif dari t
Jika suatu variabel random waktu antar kedua kegagalan berurutan dimisalkan T,
Maka:
∫
Atau menggunakan
sebagai fungsi distribusi kumulatif dari T diperoleh:
15
Maka fungsi densitasnya adalah:
{
Dari fungsi densitas distribusi Eksponensial dengan parameter
diatas, maka
diperoleh fungsi pembangkit momen:
∫
∫
]
diperoleh dari turunan pertama fungsi pembangkit momen, sehingga:
Maka:
Jadi waktu kegagalan yang berurutan mengikuti distribusi Eksponensial dengan
rata-rata dan varian
2.10
Distribusi Gamma
Menurut Herhyanto (2009) peubah acak
dikatakan berdistribusi Gamma, jika
dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk :
{
16
Peubah acak
yang berdistribusi Gamma disebut juga peubah acak gamma.
Peubah acak
yang berdistribusi Gamma dapat dinotasikan dengan
artinya peubah acak
Peubah acak
berdistribusi Gamma dengan parameter
yang berdistribusi Gamma dengan parameter
.
bisa juga
ditulis sebagai:
Fungsi pembangkit momen distribusi Gamma berdasarkan definisi pembangkit
momen kontinu adalah :
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Misalnya :
Untuk
[( )
[( )
]
]
sehingga
17
∫(
)
∫
Maka
2.11
diperoleh
fungsi
pembangkit
momen
distribusi
Gamma
adalah
Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
Fungsi Densitas Eksponensial:
{
dengan
⁄
adalah rata-rata waktu kegagalan dan t adalah waktu percobaan.
Fungsi distribusi kumulatif distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
⁄
⁄
18
⁄
∫
⁄
⁄
⁄
Fungsi tahan hidupnya adalah:
⁄
Fungsi kegagalannya adalah:
(Lee, 1992).
berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
∫
( )
∫
∫
∫
( )
⁄
⁄
19
∫
∫
Misalkan:
Maka:
∫
∫
]
]
( )
⁄
⁄
20
Maka diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Eksponensial adalah
2.12 Distribusi Khi-Kuadrat
Distribusi Khi-kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
Fungsi Densitas Khi-kuadrat
Peubah acak
dikatakan berdistribusi khi-kuadrat, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk :
{
Peubah acak
berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khi-kuadrat.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat adalah
artinya peubah acak
Peubah acak
berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas
.
bisa juga
ditulis sebagai :
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi khi-kuadrat adalah :
21
∫
∫
∫
∫
∫
∫
[(
)]
∫
∫
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat adalah
22
2.13 Statistik Cukup
Statistik cukup untuk parameter
adalah statistik dalam arti tertentu dapat
menyerap semua informasi tentang
adalah statistic cukup untuk
pada sampel
yang termuat dalam sampel. Bila
maka setiap inferensi tentang
hanya melalui
harus tergantung
.
Definisi :
|
Ini berarti dapat mengganti
|
|
dengan
ataupun
|
adalah densitas dari
tanpa kehilangan informasi.
Maksud dari definisi diatas yaitu : bila
dan
statistik cukup untuk
rasio =
|
|
|
adalah densitas dari
bila untuk setiap
, maka
adalah
dalam ruang sampel ,
tidak bergantung pada
2.14 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation )
Metode kemungkinan maksimum adalah metode untuk menduga satu sebaran
dengan memilih dugaan-dugaan yang nilai-nilai parameternya diduga dengan
memaksimalkan fungsi kemungkinannya, metode kemungkinan maksimum
23
merupakan salah satu metode yang paling sering digunakan untuk mencari nilai
estimasi dari suatu parameter.
Menurut Nar Herhyanto (2003), misalkan
diskrit dengan fungsi kepekatan peluang
parameter yang tidak diketahui. Misalkan
berukuran
adalah peubah acak kontinu atau
, dengan
adalah salah satu
merupakan sampel acak
maka fungsi kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak itu
adalah:
Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak
diketahui . Biasanya untuk mempermudah penganalisaan, fungsi kemungkinan
diberi log natural ( ). Penduga kemungkinan maksimum dari
yang memaksimalkan fungsi
adalah nilai
.
2.15 Metode Bootstrap
Pertama kali bootstrap diperkenalkan oleh Efron pada tahun 1979 untuk
mengetahui sebaran statistik sampel yang tidak diketahui pengamatanpengamatan bebas menyebar secara identik. Bootstrap merupakan metode
resampling untuk inferensia statistik yang biasa digunakan untuk menduga selang
kepercayaan, tetapi juga digunakan untuk menduga bias dan menduga ragam atau
menentukan hipotesis.
Metode bootstrap dapat diterapkan untuk kasus nonparametrik maupun
parametrik. Dalam kedua kasus tersebut, inferensia didasarkan pada suatu
24
observasi sampel acak berukuran n dan berdistribusi identik (Efron dan
Tibshirani, 1993).
Definisi 2.5
Jika
sampel acak dari suatu populasi maka variabel
adalah sampel acak bootstrap yaitu sampel yang diperoleh dari X
,
secara acak dengan pengembalian. Variabel
bersyarat terhadap X. Tanda
,
bebas dan berdistribusi
mengindikasi bahwa
tetapi hasil resampel, berarti titik data
,
bukan himpunan data X
adalah sampel acak berukuran
n dengan pengembalian dari populasi n
,
=
(Efron dan Tibshirani, 1993).
Dalam kasus nonparametrik, distribusi sampel
yang tidak diketahui,
diambil dari distribusi populasi
disebut distribusi empiris dari X yaitu distribusi yang
mempunyai peluang 1/n untuk setiap titik pada X. Sedangkan untuk kasus
parametrik distribusi
diketahui. Dalam kedua kasus tersebut
diambil dengan
resampling dari distribusi sample asli X (Efron dan Tibshirani, 1993).
Prinsip
dasar
dalam
pembentukan
sampel
dengan
metode
bootstrap
nonparametrik adalah sebagai berikut:
1. Konstruksi distribusi peluang sampel, yaitu
dengan setiap unsur dalam
populasi memiliki kesempatan yang sama untuk diikutsertakan kedalam
sampel sehingga setiap titik
memiliki peluang untuk terpilih
sebesar 1/n, dengan kata lain anggota sampel diambil dengan
pengembalian.
25
2. Dengan
tetap, ambil sampel acak berukuran n dari populasi dengan
pengambalian sebut
, dengan
, sehingga
akan menyebar
identik i=1,2,3, ... , n sampel ini disebut sampel bootstrap
,
3.
.
merupakan himpunan pasangan terurut (X,
sampling
X,
bootstrap
(
. Aproksimasi
X,
) atau disebut distribusi
dengan distribusi sampling
)
Untuk menjelaskan metode bootstrap secara umum pandang
besaran yang tergantung dari sampel X=
X,
) dan distribusi peluang
sampel f. Berdasarkan Teorema Limit Pusat, pada kasus nonparametrik
diambil
√
̂
dengan
(Efron dan Tibshirani, 1993).
̂ adalah statistik untuk
26
III. METODOLOGI PENELITIAN
3. 1
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Ganjil Tahun Akademik 2014/2015,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2
Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur yang
diperoleh dari buku-buku atau media secara sistematis, kemudian melakukan
simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang didapat.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut :
1. Menentukan model Reliabilitas distribusi Eksponensial untuk data
tersensor tipe II
2. Menduga parameter
distribusi
Eksponensial
dengan metode
kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) pada data
tersensor tipe II
a. Membentuk fungsi Kemungkinan Maksimum distribusi Eksponensial
tersensor tipe II
27
b. Memaksimumkan fungsi yang diperoleh untuk mendapatkan dugaan
parameter
c. Dugaan parameter yang diperoleh dari metode kemungkinan maksimum
dengan mencari turunan pertama dari logaritma natural terhadap
parameter-parameter yang akan diduga dan menyamakannya dengan
nol.
d. Dari dugaan parameter akan dicari variannya
3. Menentukan interval konvidensi untuk rata-rata waktu tahan hidup
4. Aplikasi Masa hidup sistem yang berdistrbusi Eksponensial pada
pengujian sistem Wireless
a. Melakukan uji kecocokan data dengan distribusi Eksponensial
b. Menentukan inferensia statistika pada pengujian sistem Wireless
c. Interval konfidensi
̂
5. Simulasi Masa Hidup Sistem pada distribusi Eksponensial menggunakan
R i386 3.0.2. dengan metode bootstrap pada sampel n10, n30, n50 dan
n100.
BAB V
KESIMPULAN
Dari pembahasan dan analisis yang telah dilakukan, maka akan diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Model masa hidup normal pada distribusi Eksponensial dengan rata-rata
kegagalan dan varians adalah:
Rata-rata kegagalan pada kondisi normal adalah:
̂
∑
∑
Varians yang diperoleh dari rata-rata kegagalan adalah:
( ̂)
∑
∑
2. Berdasarkan aplikasi dan simulasi yang dilakukan dengan menggunakan
data sistem wirelles diperoleh nilai ̂
3. Pada metode bootstrap yang diperoleh dengan menggunakan aplikasi R
i386
3.0.2
ukuran
sampel
dan
banyaknya
pengulangan
cukup
mempengaruhi parameter yang dihasilkan. Semakin besar sampel dan
pengulangannya, pada umumnya akan semakin dekat dengan parameter
sampel awal.
DAFTAR PUSTAKA
Collet, David. 1996. Modeling survival data in medical research. London:
Chapman & Hall.
Cox DR & Oakes D. 1984. Analysis of Survival Data. London: Chapman & Hall.
Efron, B and Tibshirani, R.J.1993. An Introduction to The Bootstrap. New YorkLondon:Chapman & Hall.
Lawless, J.F. 1982. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Canada:
John Wiley & Sons, Inc.
Lee, E.T. 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis, John Wiley &
Sons, Inc., Canada.
Herhyanto, Nar. 2003. Statistika Matematika Lanjutan. Bandung: Pustaka Setia.
Herhyanto, Nar. 2009. Penghantar Statistika Matematika. Bandung:
CV.YRAMA WIDYA.
Http://www.goodreads.com/author/show/1472011.Shunji_Osaki
Diakses pada 19 mei 2013
O’Connor, Patrick D.T. 2001. Practical Reliability Engineering, Fourth Edition,
Jonh Wileg & Sons Ltd. England.
Walpole, Ronald E. 1995. Pengantar Statistika, Edisi ketiga. Jakarta: Gramedia
Pustaka Utama.
PENENTUAAN SELANG DUGAAN PARAMETER RATA-RATA
MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II
Oleh
DICA YULYANA
Reliabilitas suatu sistem adalah peluang suatu sistem beroperasi dalam interval
waktu tertentu sesuai dengan ketentuan yang diharapkan. Data yang digunakan
pada analisis masa hidup sistem adalah data tersensor tipe II dan distribusi yang
digunakan distribusi Eksponensial. Parameter dari distribusi ini umumnya tidak
diketahui sehingga perlu diduga menggunakan Metode Maximum Likelihood.
Metode ini merupakan salah satu metode penduga parameter yang konsep
penduganya adalah dengan memaksimalkan fungsi kemungkinan. Data masa
hidup sistem disimulasikan dengan sofwere R dari 25 data dengan pengulangan
1000 menggunakan metode bootstrap untuk sampel 10, 30, 50, 100 dengan ratarata parameter awal 1046,48. Hasil simulasi menunjukan ukuran sampel dan
banyaknya pengulangan cukup mempengaruhi parameter yang dihasilkan.
Semakin besar sampel dan pengulangannya, pada umumnya akan semakin dekat
dengan parameter sampel awal.
Kata kunci : Distribusi Eksponensial, Maksimum Likelihood, Tersensor Tipe
II, Bootstrap.
PENENTUAN SELANG DUGAAN PARAMETER
RATA-RATA MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI
EKSPONENSIAL UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II
(Skripsi)
DICA YULYANA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DAFTAR GAMBAR
Gambar
1.
2.
3.
4.
Grafik Theta_duga
Grafik Theta_duga
Grafik Theta_duga
Grafik Theta_duga
Halaman
(̂
(̂
(̂
(̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
) untuk n10................................... 39
) untuk n30.................................. 39
) untuk n50.................................. 40
) untuk n100.................................. 40
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ..... .............................................................................
DAFTAR GAMBAR ... ...........................................................................
X
XI
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ..............................................................
1.2 Perumusan Masalah ....................................................................
1.3 Tujuan Penulisan .........................................................................
1.4 Manfaat Penelitian ......................................................................
1
3
3
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Peluang ................................................................
2.2 Peubah Acak ...............................................................................
2.3 Distribusi Peluang .......................................................................
2.4 Fungsi Pembangkit Momen ........................................................
2.5 Konsep Dasar dan Fungsi Reliabilitas ......................................
2.6 Fungsi Densitas Peluang .............................................................
2.7 Fungsi Kegagalan ........................................................................
2.8 Tipe Tersensor Data ....................................................................
2.9 Proses Poisson .............................................................................
2.10 Distribusi Gamma .....................................................................
2.11 Distribusi Eksponensial.............................................................
2.12 Distribusi Khi Kuadrat .............................................................
2.13 Statistik Cukup ..........................................................................
2.14 Metode Kemungkinan Maksimum (Maksimum
Likelihood Estimation Method) ..................................................
2.15 Metode Bootstrap .....................................................................
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .....................................................
3.2 Metode Penelitian........................................................................
5
6
6
7
8
9
10
11
12
15
17
20
22
22
23
26
26
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Masa Hidup Distribusi Eksponensial .........................................
4.2 Interval Konfidensi untuk Rata-rata
Waktu Tahan Hidup ..... .............................................................
4.3 Aplikasi Masa Hidup Sistem yang Berdistribusi
Eksponensial....... ......................................................................
4.4 Simulasi Selang Kepercayaan ....................................................
BAB V KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan .................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
28
35
36
39
42
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Tabel 1 Data waktu kegagalan (jam) ................................................ 36
2. Tabel 2 Data waktu kegagalan (jam) setelah tersensor tipe II ......... 37
MOTO
“ maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan “
(Al-Insyirah : 5)
“saya tidak tahu akan seperti apa takdir anda, tetapi satu
hal yang saya tahu : orang-orang diantara anda yang akan
benar-benar bahagia adalah mereka yang akan mencari dan
menemukan cara untuk melayani”
(Albert Schweitzer)
“manisnya keberhasilan akan menghapus pahitnya
kesabaran. Nikmatnya kemenangan melenyapkan letihnya
perjuangan. Menuntaskan pekerjaan dengan baik akan
melenyapkan lelahnya jerih payah”
(Dr.Aidh Al Qarni”
“Sukses itu tergantung kadar lelahmu“
(Dica Yulyana)
PERSEMBAHAN
Dengan rasa syukur kepada Allah SWT atas segala ridho dan berkatNya serta
kerendahan hati kupersembahkan karya sederhana ini kepada semua orang yang
senantiasa mendukung dan mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Wan, mak, wo dian, adik dani dan data yang sangat kusayangi yang dengan
tulus memberikan semangat serta dukungan dan doa demi keberhasilanku.
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu hadir. Terimakasih atas kebersamaan,
kecerian, dan dukungan kepada penulis.
Almamaterku tercinta ......... “Universitas Lampung”
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Krui, Pesisir Barat pada tanggal 29 September
1991. Penulis merupakan anak kedua dari empat bersaudara, dari
pasangan bapak Hi. Zamlan dan ibu Yusnalaini, adik dari Dian
Zonalia, kakak dari Dani Aredotama dan Data Adiafatra.
Penulis memulai pendidikan Sekolah Dasar di SD N 2 Bumi Waras Krui Pesisir
Barat pada tahun 2004. Sekolah menengah pertama di MTS NU Krui Pesisir Barat
pada tahun 2007. Kemudian Sekolah menengah atas di MAN Krui Pesisir Barat
pada tahun 2010.
Pada tahun 2010, penulis mendaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
jalur PKAB. Selama menuntut ilmu di perkuliahan penulis juga aktif dalam
kegiatan kemahasiswaan tingkat jurusan dan fakultas. Penulis tercatat pernah
menjabat sebagai Bendahara Umum PanSus pada tahun 2011, Anggota Gematika
2010-2011, Anggota AMAR 2010-2011, Anggota Magang Natural 2010-2011,
Anggota Bidang Kaderisasi HIMATIKA periode 2011-2012, Anggota Bidang
Kaderisasi ROIS periode 2011-2012, Anggota Dana dan Usaha NATURAL
periode 2010-2011, Kepala Biro Kesekertariatan NATURAL 2011-2012,
Pimpinan Usaha NATURAL periode 2012-2013. Pada bulan Januari tahun 2013,
penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Kabupaten Pringsewu,
Kecamatan Pagelaran Utara, pekon Fajar Mulia. Pada bulan Juli tahun 2013,
penulis melakukan Kerja Praktek (KP) di Badan Pusat Statistik Propinsi Lampung
dibagian Produksi.
SANWACANA
Puji syukur kepada allah SWT atas izin serta ridho-Nya penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penentuan Selang Dugaan Parameter
Rata-Rata Masa Hidup Sistem Yang Berdistribusi Eksponensial Pada Data
Tersensor Tipe II ”. Shalawat teriring salam kepada junjungan nabi besar
Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua
pengikutnya.
Penulisan skripsi ini juga tidak terlepas dari dukungan, bimbingan, kritik dan
saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1.
Bapak Drs. Rudi Ruswandi, Msi., selaku pembimbing utama yang senantiasa
memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis.
2.
Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang selalu sabar
dalam memberi pengarahan, semangat dan bahkan dukungan.
3.
Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan kritik,
saran dan masukan kepada penulis
4.
Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembimbing akademik yang selalu
memberikan masukan yang begitu luar biasa kepada penulis.
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada
penulis.
8.
Untuk kedua orang tua tercinta “wan dan mak, wo Dian Zonalia, adik Dani
Aredotama dan adik Data Adiafatra ” terimakasih telah menjadi semangat,
dukungan dan doa yang tak pernah henti.
9.
Sahabat-sahabat seperjuangan dalam berbagi suka dan duka dalam merangkai
mimpi Dian Asmarawati, Vitri Aprilla H, Siti Fatimah, Reni Permatasari,
Marry Juzmiyanti, Wulandari, Rena Renteta, Ridho dan Herman.
10. Vinny, Reka, Yepta yang tidak pernah sungkan membagi ilmunya dan
mengajarkan kepada penulis.
11. Teman-teman kosan yang kini menjadi keluarga baru penulis Selvita Sari,
Desi Ardila, Mia Meisiska, Imawati, Marlia Eka Putri, Ni Wayan Sayu
Waktini, Desi Damayanti, Pepi Elian, Dian Setya Rini dan Titin.
12. Candra Firdaus yang selalu memberi semangat kepada penulis.
13. Keluarga Besar HIMATIKA dan UKMF Natural Universitas Lampung.
14. Teman-teman Matematika 2010 yang luar biasa memberikan pengalaman,
kebersamaan serta keceriaan.
15. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Februari 2015
Penulis,
Dica Yulyana
1
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Semua alat atau komponen dari suatu sistem mempunyai masa hidup atau disebut
juga umur suatu alat. Umur suatu alat ini pada dasarnya ada dua macam yaitu
umur teknis yang akan melibatkan waktu yang terletak antara mulai pakai suatu
alat sampai alat itu tidak bisa digunakan lagi karena rusak dan umur ekonomis
yang melibatkan waktu mulai dipakai suatu alat sampai alat tersebut secara
ekonomis tidak berfungsi lagi. Untuk menganalisis umur suatu alat ini digunakan
analisis uji hidup. Analisis masa hidup merupakan peristiwa kegagalan yang dapat
berupa tidak berfungsinya benda tersebut secara optimal atau mati. Secara
matematis, masa hidup disebut juga variabel random dengan nilai non negatif.
Reliabilitas suatu sistem adalah peluang suatu sistem beroperasi dalam interval
waktu tertentu sesuai dengan ketentuan yang diharapkan. Sebelum reliabilitas
suatu sistem diukur, maka kondisi lingkungan, alat ukur, operator yang
melakukan pengukuran harus dalam kondisi yang normal sehingga reliabilitas
suatu sistem tidak dipengaruhi faktor lain. Reliabilitas suatu sistem dapat
ditentukan melalui fungsi reliabilitas, ekspektasi masa hidup, fungsi hazard dan
rasio kegagalan yang masing-masing melibatkan konsep peluang yang kemudian
diterapkan kedalam bentuk distribusi peluang.
2
Data pada analisis masa hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I
dan data tersensor tipe II. Data disebut lengkap jika data diamati secara utuh. Data
tersensor tipe I merupakan data masa hidup yang dihasilkan setelah penelitian
berjalan selama waktu yang telah ditentukan. Sedangkan data tersensor tipe II
merupakan data hasil penelitian yang dihentikan setelah sejumlah kematian atau
kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982).
Data tersensor tipe II merupakan banyak kegagalan yang ditetapkan dari jumlah n.
Dengan kata lain jika total sampel berukuran n, maka percobaan akan dihentikan
sampai diperoleh r kegagalan, sehingga penelitian yang dilakukan dapat
menghemat waktu dan biaya.
Beberapa distribusi yang sering digunakan untuk data tersensor adalah distribusi
Poisson, distribusi Eksponensial, distribusi Gamma dan distribusi Weibull.
Jumlah kegagalan dari sebuah percobaan merupakan proses Poisson dengan
waktu kegagalan
dari unit percobaan mengikuti distribusi Eksponensial,
sedangkan waktu dari
unit percobaan merupakan distribusi Gamma. Dalam
penelitian ini, penulis menggunakan distribusi masa hidup Eksponensial, atau data
masa hidup mengikuti distribusi Eksponensial untuk menghitung waktu kegagalan
dalam sebuah percobaan yang akan diamati.
Parameter dari distribusi ini umumnya tidak diketahui sehingga perlu diduga.
Terdapat beberapa metode untuk menduga parameter seperti metode Kuadrat
Terkecil untuk distribusi yang tidak diketahui, metode Momen untuk sampel yang
kecil, metode Bayes yang harus diketahui distribusi awalnya dan metode
3
Maximum Likelihood untuk sampel yang besar. Metode Maximum Likelihood ini
merupakan salah satu metode penduga parameter yang konsep penduganya adalah
dengan memaksimalkan fungsi kemungkinan. Metode ini lebih sering digunakan
untuk menduga parameter pada data tersensor yang distribusi peluangnya
diketahui.
1.2 Perumusan Masalah
Dari latar belakang di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi
ini adalah penentuan selang dugaan parameter rata-rata masa hidup suatu sistem
yang berdistribusi Eksponensial untuk data tersensor tipe II menggunakan metode
Maximum Likelihood Estimation (MLE).
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mendapatkan selang dugaan parameter dengan menggunakan Maximum
Likelihood Estimation (metode kemungkinan maksimum) pada masa
hidup suatu sistem yang berdistribusi Eksponensial untuk data tersensor
tipe II.
2. Melakukan simulasi pada selang dugaan masa hidup suatu sistem yang
berdistribusi Eksponensial dengan data sensor tipe II.
4
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah memberikan sumbangan pemikiran bagi
peneliti lain mengenai selang dugaan parameter dengan menggunakan Maximum
Likelihood Estimation (Metode Kemungkinan Maksimum) pada masa hidup suatu
sistem yang berdistribusi Eksponensial dengan data sensor tipe II.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Peluang
Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E
adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah
rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel atau :
Dimana
dan
berturut-turut adalah banyaknya titik kejadian dan ruang
sampel. Aksioma dan sifat-sifat peluang :
1.
2.
3.
4. Untuk kejadian A dan B
5. Jika kejadian A dan B saling asing maka
6. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
7. Peluang Bersyarat
|
;
6
2.2 Peubah Acak
Misalkan
fungsi
adalah sebuah percobaan dengan ruang sampelnya . Sebuah ruang
yang menetapkan setiap anggota
ke sebuah bilangan real
dinamakan peubah acak (Herhyanto, 2009).
Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari
yaitu (ruang hasil
tak berhingga tapi dapat dihitung, maka
nilai yang mungkin dari
) berhingga atau
dinamakan peubah acak diskrit. Nilai-
bisa ditulis sebagai:
Jika nilai-nilai yang mungkin dari
(yaitu ruang hasil
interval pada garis bilangan real, maka
) merupakan sebuah
dinamakan peubah acak kontinu.
2.3 Distribusi Peluang
Jika X adalah peubah acak diskrit, maka
range
dinamakan fungsi peluang dari
untuk setiap
Nilai fungsi peluang dari
dalam
yaitu
harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
a.
b. ∑
Kumpulan pasangan yang diurutkan
dinamakan distribusi peluang dari
Bentuk umum dari fungsi peluang ada dua kemungkinan, yaitu berupa
konstanta dan berupa fungsi dari nilai peubah acak.
Misalnya
adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan
bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari , jika nilai-nilainya,
yaitu
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
7
a.
b. ∫
c.
∫
2.4 Fungsi Pembangkit Momen
Jika
adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit
momen dari
(dinotasikan dengan
) didefinisikan sebagai:
Untuk
Definisi 2.1: Fungsi Pembangkit Momen Diskrit
Jika X adalah peubah acak diskrit dan
, maka fungsi pembangkit momen dari
adalah nilai fungsi peluang dari
di
didefinisikan sebagai:
∑
Definisi 2.2: Fungsi Pembangkit Momen Kontinu
Jika X adalah peubah acak kontinu dan
adalah nilai fungsi densitas dari
, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai:
di
8
∫
2.5 Konsep Dasar dan Fungsi Reliabilitas
Keterandalan (Reliabilitas) adalah ukuran suatu komponen atau peralatan untuk
beroperasi terus–menerus tanpa adanya gangguan atau kerusakan. Menurut
Patrick (2001) practical reliability merupakan probabilitas sebuah komponen atau
suatu sistem untuk dapat beroperasi sesuai dengan fungsi yang diinginkan untuk
suatu periode waktu tertentu ketika digunakan untuk dibawah kondisi operasional
tertentu.
Fungsi-fungsi pada distribusi uji hidup sistem merupakan suatu fungsi yang
menggunakan variabel random waktu hidup suatu sistem. Variabel random waktu
hidup suatu sistem biasanya dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk
suatu distribusi. Distribusi waktu hidup dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi
Reliabilitas R(t), fungsi densitas peluang f(t) dan fungsi kegagalan/fungsi hazard
h(t). Ketiga fungsi tersebut ekuivalen secara matematik, yang berarti jika salah
satu dari ketiga fungsi tersebut diketahui, maka fungsi yang lain dapat diturunkan.
Keterandalan (reliabilitas) adalah peluang suatu produk akan beroperasi dengan
baik untuk periode yang telah ditetapkan di bawah kondisi yang ditentukan,
seperti suhu dan tegangan, tanpa kegagalan (Cox & Oakes 1984). Keterandalan
Dirumuskan sebagai:
R(t) = P (objek hidup lebih dari waktu t)
=P(T>t)
9
= 1- P (objek gagal sebelum waktu t)
= 1- P (T ≤ t )
R(t) merupakan fungsi keterandalan, probabilitas bahwa kegagalan tidak akan
terjadi sebelum t, atau probabilitas bahwa waktu kerusakan lebih besar atau sama
dengan t.
2.6 Fungsi Densitas Peluang
Waktu tahan hidup T mempunyai fungsi densitas peluang yang dinotasikan
dengan f(t) dan didefinisikan sebagai peluang kegagalan suatu objek pada interval
(t,t +
per satuan waktu. Fungsi densitas peluang dinyatakan sebagai :
]
[
[
]
Yang mempunyai sifat sebagai berikut :
∫
Fungsi
disebut fungsi densitas peluang bagi variabel random kontinu T bila ruas
daerah dibawah kurva dan diatas sumbu –t sama dengan 1, dan bila ruas daerah
dibawah kurva antara
dan b (Walpole, 1995).
menyatakan peluang T terletak antara a
10
2.7 Fungsi Kegagalan (Fungsi Hazard)
Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan h(t) dan
didefinisikan sebagai peluang suatu objek gagal di dalam interval waktu (t, t+ t)
dengan diketahui bahwa objek tersebut masih hidup selama waktu t (David,
1996). Fungsi kegagalannya dinyatakan dengan:
|
[
]
[
]
[
]
]
[
[
]
11
2.8 Tipe Data Tersensor
Sensor dilakukan untuk memperpendek waktu percobaan karena untuk mengukur
waktu kegagalan atau kematian objek memerlukan waktu yang lama dan biaya
yang tidak sedikit. Dalam uji ketahanan terdapat tiga jenis sensor (Lee, 1992),
yaitu:
1.
Sensor Tipe I
Sensor tipe I adalah tipe penyensoran di mana percobaan akan dihentikan setelah
mencapai waktu T yang telah ditentukan untuk mengakhiri semua n individu yang
masuk pada waktu yang sama. Berakhirnya waktu uji T menjelaskan waktu sensor
uji, dengan kata lain jika tidak terdapat individu yang hilang secara tiba-tiba,
maka waktu tahan hidup observasi tersensor sama dengan lama waktu
pengamatan.
2. Sensor Tipe II
Sensor tipe II adalah tipe penyensoran di mana sampel ke-r merupakan jumlah
kegagagalan yang ditetapkan. Dengan kata lain jika total sampel berukuran n,
maka percobaan akan dihentikan sampai diperoleh r kegagalan. Semua unit uji n
masuk pada waktu yang sama. Pada sensor tipe II, jika tidak terdapat individu
yang hilang, maka waktu tahan hidup observasi tersensor sama dengan waktu
tahan hidup observasi tidak tersensor. Kelebihan dari sensor ini adalah dapat
menghemat waktu dan biaya.
3. Sensor Tipe III
Dalam sensor tipe III ini, individu atau unit uji masuk ke dalam percobaan pada
waktu yang berlainan selama periode waktu tertentu. Beberapa unit uji mungkin
12
gagal/mati sebelum pengamatan berakhir sehingga waktu tahan hidupnya dapat
diketahui dengan pasti. Kemungkinan kedua adalah unit uji keluar sebelum
pengamatan berakhir, atau kemungkinan ketiga adalah unit uji tetap hidup sampai
batas waktu terakhir pengamatan. Untuk objek yang hilang, waktu tahan hidupnya
adalah sejak masuk dalam pengamatan sampai dengan waktu terakhir sebelum
hilang. Untuk unit uji yang tetap hidup, waktu tahan hidupnya adalah dari mulai
masuk pengamatan sampai waktu pengamatan berakhir. Penyensoran data dapat
disebabkan oleh beberapa hal, antara lain:
a. Data hilang
b. Data keluar (withdrawls)
c. Berakhir waktu pengamatan
Percobaan juga dapat dilakukan tanpa menggunakan ketiga tipe penyensoran
tersebut, yaitu dengan sampel lengkap. Sampel lengkap berarti bahwa nilai
kegagalan dari semua unit sampel yang diobservasi dapat diketahui. Percobaan
akan berhenti jika semua sampel yang diamati mengalami kegagalan.
2.9 Proses Poisson
Definisi 2.3: Proses Poisson (Stationary independent increments)
Suatu proses menghitung
parameter
jika memenuh:
dikatakan proses poisson dengan
13
(S.Osaki, 1992)
Peluang bahwa ada k kejadian pada interval
berlaku:
∑
| dari definisi 2.3, untuk
|
Karena proses poisson stationer, maka:
|
Untuk sebarang
Definisi 2.4: Proses Poisson (independent increments)
Suatu proses menghitung
parameter
jika memenuh:
dikatakan proses poisson dengan
14
Maka:
Teorema 1:
Jika jumlah kegagalan mengikuti distribusi Poisson maka suatu variabel random
waktu antar kegagalan mengikuti distribusi Eksponensial.
Fungsi peluang distribusi Poisson dengan parameter
adalah:
{
Bukti:
.
fungsi distribusi kumulatif dari t
Jika suatu variabel random waktu antar kedua kegagalan berurutan dimisalkan T,
Maka:
∫
Atau menggunakan
sebagai fungsi distribusi kumulatif dari T diperoleh:
15
Maka fungsi densitasnya adalah:
{
Dari fungsi densitas distribusi Eksponensial dengan parameter
diatas, maka
diperoleh fungsi pembangkit momen:
∫
∫
]
diperoleh dari turunan pertama fungsi pembangkit momen, sehingga:
Maka:
Jadi waktu kegagalan yang berurutan mengikuti distribusi Eksponensial dengan
rata-rata dan varian
2.10
Distribusi Gamma
Menurut Herhyanto (2009) peubah acak
dikatakan berdistribusi Gamma, jika
dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk :
{
16
Peubah acak
yang berdistribusi Gamma disebut juga peubah acak gamma.
Peubah acak
yang berdistribusi Gamma dapat dinotasikan dengan
artinya peubah acak
Peubah acak
berdistribusi Gamma dengan parameter
yang berdistribusi Gamma dengan parameter
.
bisa juga
ditulis sebagai:
Fungsi pembangkit momen distribusi Gamma berdasarkan definisi pembangkit
momen kontinu adalah :
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Misalnya :
Untuk
[( )
[( )
]
]
sehingga
17
∫(
)
∫
Maka
2.11
diperoleh
fungsi
pembangkit
momen
distribusi
Gamma
adalah
Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
Fungsi Densitas Eksponensial:
{
dengan
⁄
adalah rata-rata waktu kegagalan dan t adalah waktu percobaan.
Fungsi distribusi kumulatif distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
⁄
⁄
18
⁄
∫
⁄
⁄
⁄
Fungsi tahan hidupnya adalah:
⁄
Fungsi kegagalannya adalah:
(Lee, 1992).
berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
∫
( )
∫
∫
∫
( )
⁄
⁄
19
∫
∫
Misalkan:
Maka:
∫
∫
]
]
( )
⁄
⁄
20
Maka diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Eksponensial adalah
2.12 Distribusi Khi-Kuadrat
Distribusi Khi-kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
Fungsi Densitas Khi-kuadrat
Peubah acak
dikatakan berdistribusi khi-kuadrat, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk :
{
Peubah acak
berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khi-kuadrat.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat adalah
artinya peubah acak
Peubah acak
berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas
.
bisa juga
ditulis sebagai :
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi khi-kuadrat adalah :
21
∫
∫
∫
∫
∫
∫
[(
)]
∫
∫
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat adalah
22
2.13 Statistik Cukup
Statistik cukup untuk parameter
adalah statistik dalam arti tertentu dapat
menyerap semua informasi tentang
adalah statistic cukup untuk
pada sampel
yang termuat dalam sampel. Bila
maka setiap inferensi tentang
hanya melalui
harus tergantung
.
Definisi :
|
Ini berarti dapat mengganti
|
|
dengan
ataupun
|
adalah densitas dari
tanpa kehilangan informasi.
Maksud dari definisi diatas yaitu : bila
dan
statistik cukup untuk
rasio =
|
|
|
adalah densitas dari
bila untuk setiap
, maka
adalah
dalam ruang sampel ,
tidak bergantung pada
2.14 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation )
Metode kemungkinan maksimum adalah metode untuk menduga satu sebaran
dengan memilih dugaan-dugaan yang nilai-nilai parameternya diduga dengan
memaksimalkan fungsi kemungkinannya, metode kemungkinan maksimum
23
merupakan salah satu metode yang paling sering digunakan untuk mencari nilai
estimasi dari suatu parameter.
Menurut Nar Herhyanto (2003), misalkan
diskrit dengan fungsi kepekatan peluang
parameter yang tidak diketahui. Misalkan
berukuran
adalah peubah acak kontinu atau
, dengan
adalah salah satu
merupakan sampel acak
maka fungsi kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak itu
adalah:
Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak
diketahui . Biasanya untuk mempermudah penganalisaan, fungsi kemungkinan
diberi log natural ( ). Penduga kemungkinan maksimum dari
yang memaksimalkan fungsi
adalah nilai
.
2.15 Metode Bootstrap
Pertama kali bootstrap diperkenalkan oleh Efron pada tahun 1979 untuk
mengetahui sebaran statistik sampel yang tidak diketahui pengamatanpengamatan bebas menyebar secara identik. Bootstrap merupakan metode
resampling untuk inferensia statistik yang biasa digunakan untuk menduga selang
kepercayaan, tetapi juga digunakan untuk menduga bias dan menduga ragam atau
menentukan hipotesis.
Metode bootstrap dapat diterapkan untuk kasus nonparametrik maupun
parametrik. Dalam kedua kasus tersebut, inferensia didasarkan pada suatu
24
observasi sampel acak berukuran n dan berdistribusi identik (Efron dan
Tibshirani, 1993).
Definisi 2.5
Jika
sampel acak dari suatu populasi maka variabel
adalah sampel acak bootstrap yaitu sampel yang diperoleh dari X
,
secara acak dengan pengembalian. Variabel
bersyarat terhadap X. Tanda
,
bebas dan berdistribusi
mengindikasi bahwa
tetapi hasil resampel, berarti titik data
,
bukan himpunan data X
adalah sampel acak berukuran
n dengan pengembalian dari populasi n
,
=
(Efron dan Tibshirani, 1993).
Dalam kasus nonparametrik, distribusi sampel
yang tidak diketahui,
diambil dari distribusi populasi
disebut distribusi empiris dari X yaitu distribusi yang
mempunyai peluang 1/n untuk setiap titik pada X. Sedangkan untuk kasus
parametrik distribusi
diketahui. Dalam kedua kasus tersebut
diambil dengan
resampling dari distribusi sample asli X (Efron dan Tibshirani, 1993).
Prinsip
dasar
dalam
pembentukan
sampel
dengan
metode
bootstrap
nonparametrik adalah sebagai berikut:
1. Konstruksi distribusi peluang sampel, yaitu
dengan setiap unsur dalam
populasi memiliki kesempatan yang sama untuk diikutsertakan kedalam
sampel sehingga setiap titik
memiliki peluang untuk terpilih
sebesar 1/n, dengan kata lain anggota sampel diambil dengan
pengembalian.
25
2. Dengan
tetap, ambil sampel acak berukuran n dari populasi dengan
pengambalian sebut
, dengan
, sehingga
akan menyebar
identik i=1,2,3, ... , n sampel ini disebut sampel bootstrap
,
3.
.
merupakan himpunan pasangan terurut (X,
sampling
X,
bootstrap
(
. Aproksimasi
X,
) atau disebut distribusi
dengan distribusi sampling
)
Untuk menjelaskan metode bootstrap secara umum pandang
besaran yang tergantung dari sampel X=
X,
) dan distribusi peluang
sampel f. Berdasarkan Teorema Limit Pusat, pada kasus nonparametrik
diambil
√
̂
dengan
(Efron dan Tibshirani, 1993).
̂ adalah statistik untuk
26
III. METODOLOGI PENELITIAN
3. 1
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Ganjil Tahun Akademik 2014/2015,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2
Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur yang
diperoleh dari buku-buku atau media secara sistematis, kemudian melakukan
simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang didapat.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut :
1. Menentukan model Reliabilitas distribusi Eksponensial untuk data
tersensor tipe II
2. Menduga parameter
distribusi
Eksponensial
dengan metode
kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) pada data
tersensor tipe II
a. Membentuk fungsi Kemungkinan Maksimum distribusi Eksponensial
tersensor tipe II
27
b. Memaksimumkan fungsi yang diperoleh untuk mendapatkan dugaan
parameter
c. Dugaan parameter yang diperoleh dari metode kemungkinan maksimum
dengan mencari turunan pertama dari logaritma natural terhadap
parameter-parameter yang akan diduga dan menyamakannya dengan
nol.
d. Dari dugaan parameter akan dicari variannya
3. Menentukan interval konvidensi untuk rata-rata waktu tahan hidup
4. Aplikasi Masa hidup sistem yang berdistrbusi Eksponensial pada
pengujian sistem Wireless
a. Melakukan uji kecocokan data dengan distribusi Eksponensial
b. Menentukan inferensia statistika pada pengujian sistem Wireless
c. Interval konfidensi
̂
5. Simulasi Masa Hidup Sistem pada distribusi Eksponensial menggunakan
R i386 3.0.2. dengan metode bootstrap pada sampel n10, n30, n50 dan
n100.
BAB V
KESIMPULAN
Dari pembahasan dan analisis yang telah dilakukan, maka akan diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Model masa hidup normal pada distribusi Eksponensial dengan rata-rata
kegagalan dan varians adalah:
Rata-rata kegagalan pada kondisi normal adalah:
̂
∑
∑
Varians yang diperoleh dari rata-rata kegagalan adalah:
( ̂)
∑
∑
2. Berdasarkan aplikasi dan simulasi yang dilakukan dengan menggunakan
data sistem wirelles diperoleh nilai ̂
3. Pada metode bootstrap yang diperoleh dengan menggunakan aplikasi R
i386
3.0.2
ukuran
sampel
dan
banyaknya
pengulangan
cukup
mempengaruhi parameter yang dihasilkan. Semakin besar sampel dan
pengulangannya, pada umumnya akan semakin dekat dengan parameter
sampel awal.
DAFTAR PUSTAKA
Collet, David. 1996. Modeling survival data in medical research. London:
Chapman & Hall.
Cox DR & Oakes D. 1984. Analysis of Survival Data. London: Chapman & Hall.
Efron, B and Tibshirani, R.J.1993. An Introduction to The Bootstrap. New YorkLondon:Chapman & Hall.
Lawless, J.F. 1982. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Canada:
John Wiley & Sons, Inc.
Lee, E.T. 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis, John Wiley &
Sons, Inc., Canada.
Herhyanto, Nar. 2003. Statistika Matematika Lanjutan. Bandung: Pustaka Setia.
Herhyanto, Nar. 2009. Penghantar Statistika Matematika. Bandung:
CV.YRAMA WIDYA.
Http://www.goodreads.com/author/show/1472011.Shunji_Osaki
Diakses pada 19 mei 2013
O’Connor, Patrick D.T. 2001. Practical Reliability Engineering, Fourth Edition,
Jonh Wileg & Sons Ltd. England.
Walpole, Ronald E. 1995. Pengantar Statistika, Edisi ketiga. Jakarta: Gramedia
Pustaka Utama.