9
Bab III Metode Penelitian
A. Materi Bahan Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian matematis dan komputasi, yang dikerjakan dengan cara melakukan analisis matematis menggunakan penarikan kesimpulan secara deduktif. Kesimpu-
lan dari hasil penalaran deduktif bersifat determinitif, bukan probabilistik, sehingga tidak di- perlukan pengujian hipotesis secara statistika. Hasil-hasil komputasi digunakan untuk
mengkonfirmasikan hasil-hasil analisis matematis. Oleh karena itu, materi penelitian ini berupa definisi, aksioma, dan fakta-fakta matematika
lain dalam metode numerik, khususnya konsep-konsep yang terkait dengan polinomial dan interpolasi. Informasi-informasi tersebut biasanya terdapat di dalam buku-buku teks matema-
tika secara umum, atau Metode Numerik khususnya, dan jurnal-jurnal matematika dan atau metode numerik. Selain informasi tercetak, juga terdapat informasi online, yakni Internet,
yang merupakan sumber informasi melimpah untuk mendukung kegiatan penelitian. Analisis matematis penalaran deduktif dilakukan di atas kertas, sehingga diperlukan kertas
dan pena untuk melakukan penelitian ini. Komputasi dilakukan dengan menggunakan bantuan komputer dan program komputer software. Program komputer yang akan disusun untuk
menghitung koefisien-koefisien dan nilai-nilai polinomial interpolasi ditulis dengan menggu- nakan software MATLAB, yang merupakan paket spesifik matematika yang cocok untuk ke-
perluan komputasi numerik. Penelitian ini tidak memerlukan instrumen yang berupa angket, formulir, soal-soal tes, dan
alat-alat pengambilan data statistika sejenis. Dalam penelitian ini tidak diperlukan data statis- tika yang diperoleh dengan menggunakan instrumen-instrumen penelitian tersebut maupun
data statistika sekunder.
B. Cara Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian matematika yang bersifat deduktif. Kesimpulan- kesimpulan yang diperoleh merupakan hasil proses penalaran secara deduktif berdasarkan
fakta-fakta matematika yang berupa definisi, aksioma, notasi matematika, dan teorema- teorema yang sudah dibuktikan. Dalam penelitian ini tidak dilakukan analisis statistiks untuk
pengambilan kesimpulan, sehingga tidak diperlukan populasi dan pengambilan sampel. Secara terperinci, langkah-langkah penelitian ini meliputi:
1. Pengumpulan definisi dan aksioma yang diperlukan, khususnya tentang pengertian inter- polasi dan polinomial interpolasi;
2. Analisis deduktif untuk mendapatkan polinomial interpolasi dalam bentuk baku; 3. Analisis deduktif untuk mendapatkan polinomial interpolasi Newton;
4. Analisis deduktif untuk mendapatkan polinomial interpolasi Lagrange; 5. Analisis deduktif untuk menunjukkan kesamaan polinomial interpolasi dalam bentuk
Newton dan Lagrange dengan bentuk baku; 6. Analisis deduktif untuk mendapatkan galat hampiran nilai fungsi dengan menggunakan
polinomial interpolasi;
10 7. Analisis deduktif untuk membandingkan efektivitas dan efisiensi ketiga bentuk polinomial
interpolasi untuk menghitung hampiran nilai fungsi; 8. Penyusunan program MATLAB yang dapat digunakan untuk menentukan koefisien-
koefisien dan menghitung nilai polinomial interpolasi; dan 9. Penggunaan program-program MATLAB tersebut untuk menyelesaikan beberapa masalah
interpolasi dan membandingkan hasilnya dengan nilai-nilai fungsi yang sebenarnya.
11
Bab IV Hasil Penelitian
A. Eksistensi dan Ketunggalan Polinomial Interpolasi
Misalkan diketahui himpunan
1 n +
titik:
{ , | 1,2,3,...,
1; jika
}
i i
i j
x y i
n x
x i
j =
+ ¹
¹
. Titik-titik tersebut berlainan. Kita akan membentuk suatu polinomial
P x
berderajad kurang
atau sama dengan
n
yang menginterpolasikan
1 n +
titik tersebut, yakni memenuhi: , untuk
1, 2, 3,..., 1
i i
P x y
i n
= =
+ .
Untuk tujuan ini kita pilih polinomial bentuk Lagrange 4, yang ternyata memenuhi
1 1,
1 1,
1, jika ,
1,2,3,..., 1
0, jika
n i
i i
i k n
i k
i k
i i k
x x
i k
L x i
n i
k x
x
+ = ¹
+ = ¹
- í
= ïïï
= =
= +
ìï ¹
ïïî -
Õ Õ
,
sehingga
1 1
untuk 1,2,3,...,
1.
n n
i i
i k
k k
R x y L x
y i
n
+ =
= =
= +
å
Ini menunjukkan bahwa polinomial
n
R x menginterpolasikan
1 n +
titik yang diketahui ter- sebut. Selanjutnya, dari 4 terlihat bahwa
k
L x merupakan hasilkali
n
faktor linier, sehing-
ga ia merupakan suatu polinomial berderajad tepat
n
. Dengan demikian
n
R x juga
merupakan suatu polinomial berderajad tepat
n
karena ia merupakan jumlah
1 n +
poli-
nomial berderajad tepat
n
.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa terdapat sedikitnya sebuah polinomial berderajad kurang atau sama dengan
n
yang menginterpolasikan
1 n +
titik di atas. Sementara itu, dari Akibat 2
dapat diketahui bahwa terdapat paling banyak sebuah polinomial berderajad kurang atau sa- ma dengan n yang menginterpolasikan
1 n +
titik berlainan. Kesimpulan dari kedua hal tersebut dinyatakan dalam teorema berikut ini.
Teorema 2 Eksistensi dan Ketunggalan Polinomial Interpolasi Terdapat tepat sebuah polinomial berderajad kurang atau sama dengan
n
yang menginter- polasikan
1 n +
titik berlainan
{ , | 1,2,3,...,
1; jika
}
i i
i j
x y i
n x
x i
j =
+ ¹
¹
. Polinomi- al interpolasi ini dapat dinyatakan dalam bentuk Lagrange 4.
Selanjutnya akan ditinjau polinomial baku 1 dan polinomial Newton 3. Dari 1 diperoleh, untuk
1,2,3,..., 1
k n
= +
,
2 1
2 3
1
...
n n
n k
k k
k k
P x a
a x a x
a x
y
+
= +
+ +
+ =
karena koefisien-koefisien
k
a merupakan penyelesaian dari 2. Sistem persamaan linier 2 dijamin mempunyai penyelesaian karena matriks koefisiennya merupakan matriks
12
Vandermonde non-singular, mengingat
1 2
3 1
...
n
x x
x x
+
¹ ¹
¹ ¹
sehingga setiap persamaan bebas terhadap persamaan-persamaan yang lain. Jadi, polinomial bentuk baku
n
P x
yang didefinisikan pada 1 menginterpolasikan
1 n +
tersebut di atas. Jelas bahwa
n
P x
berderajad kurang atau sama dengan
n
. Berikutnya, akan ditinjau polinomial Newton 3. Sekarang akan ditunjukkan bahwa 3 be-
nar-benar menginterpolasikan
1 n +
titik tersebut di atas. Untuk tujuan ini diperlukan lemma di bawah ini.
Lemma 4 Rumus Eksplisit Selisih Terbagi Newton
Jika diketahui
1 n +
titik berlainan
{ , | 1,2,3,...,
1; jika
}
i i
i j
x y i
n x
x i
j =
+ ¹
¹
den- gan
k k
y f x
= untuk
1,2,3,..., 1
k n
= +
, maka
1 1
1 2
3 1
1 1,
[ , , ,..., ,
]
n k
n n
n k
j k
j j k
y f x x x
x x x
x
+ +
+ =
= ¹
= -
å Õ
. 24
Bukti:
Bukti 24 dapat diberikan secara induktif terhadap nilai-nilai
n
. Untuk
1 n =
, diperoleh
2 1
2 1
1 2
1 2
2 1
2 1
1 2
2 1
[ , ]
f x f x
y y
y y
f x x x
x x
x x
x x
x -
- =
= =
+ -
- -
-
. Misalkan 24 berlaku untuk
n r
=
, yakni
1 1
1 2
3 1
1 1,
[ , , ,..., , ]
r k
r r
r k
j k
j j k
y f x x x
x x x
x
+ +
+ =
= ¹
= -
å Õ
.
Selanjutnya, untuk
1 n
r =
+
kita lihat
2 3
2 1
2 1
1 2
3 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2, 1,
2 2
1 2
1 1
2 1
1 1
[ , ,..., ]
[ , ,..., ]
[ , , ,..., ]
1
1
r r
r r
r r
k k
r r
k k
r j
j k
k j
j k j
j k r
r r
j j
f x x x
f x x x
f x x x x
x x
y y
x x
x x
x x
y x
x x
x y
x x
x x
+ +
+ +
+ +
+ +
= =
+ =
¹ =
¹
+ +
=
- =
- í
ü ï
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
ï =
- ì
ý ï
ï -
ï ï
- -
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
î þ
- -
- -
= +
- -
å å
Õ Õ
Õ
2 2
2 1,
2 3
3 1
3 2
2 2
1 2
2 1,
3 2
...
r j
j j
r r
r r
j j
r j
j j
x x
y x
x x
x y
x x
x x
+ +
= ¹
+ +
+ +
+ =
¹ =
íïï ï
é ù
ï ê
ú ë
û ïïì
ïï -
ïïïïî üïï
ï é
ù -
- -
ï ê
ú ë
û ïï
+ +
+ ýï
ï -
- ïïïïþ
Õ
Õ Õ
13
2 1
2 3
2 2
2 1
2 3
2 2
1 2
3 1
2 1,
2 1,
3 2
2 1
1,
[ , , ,..., ]
...
.
r r
r r
r r
j r
j j
j j
j j
j j
j r
k r
k j
k j
j k
y y
y y
f x x x x
x x
x x
x x
x x
y x
x
+ +
+ +
+ +
= =
= ¹
= ¹
+ +
= =
¹
= +
+ +
+ -
- -
- =
-
Õ Õ
Õ Õ
å Õ
Perhitungan di atas dilakukan dengan mengelompokkan suku-suku yang memuat y
1
, y
2
, y
3
, …, y
r+2
.
Sekarang akan dibuktikan teorema di bawah ini.
Teorema 3 Keberadaaan Polinomial Interpolasi Newton
Jika diketahui
1 n +
titik berlainan
{ , | 1,2,3,...,
1; jika
}
i i
i j
x y i
n x
x i
j =
+ ¹
¹
den- gan
k k
y f x
= untuk
1,2,3,..., 1
k n
= +
, maka polinomial
n
Q x
yang menginterpolasikan
1 n +
titik tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
1 1
2 3
1 1
[ , , ,..., ]
n n
i n
n i
Q x Q
x f x x x
x x
x
- +
=
= +
-
Õ
25 dengan
1 n
Q x
-
menginterpolasikan ,
k k
x y untuk
1, 2, 3,..., k
n =
.
Bukti:
n
Q x adalah polinomial berderajad kurang atau sama dengan n dengan
n k
k
Q x y
= untuk
1,2,3,..., 1
k n
= +
dan
1 n
Q x
-
adalah polinomial berderajad kurang atau sama dengan
1 n -
dengan
1 n
k k
Q x
y
-
= untuk
1, 2, 3,..., k
n =
. Selanjutnya, definisikan polinomial
1 n
n
g x Q x
Q x
-
= -
. Jelas bahwa
g x adalah suatu polinomial berderajad paling tinggi
n
, dan mempunyai akar
1 2
3
, , ,...,
n
x x x x , karena
1 n
n k
k k
k k
g x Q x
Q x
y y
-
= -
= -
= untuk
1, 2, 3, . . . k
n =
. Dengan demikian
g x dapat dituliskan dalam bentuk
1 n
n k
k
g x A
x x
=
= -
Õ
untuk suatu konstanta pengali
n
A lihat Lemma 1 dan Lemma 2, sehingga
1 1
n n
n n
k k
Q x Q
x A
x x
- =
= +
-
Õ
. Jadi,
n
A
merupakan koefisien
n
x
mengingat
1 n
Q x
-
berderajad kurang atau sama dengan
1 n -
dan
n
Q x
adalah polinomial berderajad kurang atau sama dengan
n
. Sementara itu, pada Teorema 2 sudah dibuktikan bahwa polinomial interpolasi bersifat tunggal dan dapat
dinyatakan dalam bentuk Lagrange 4. Koefisien
n
x pada polinomial interpolasi bentuk La-
14 grange 4 adalah
1 1
1 1,
n k
n k
j k
j j k
y x
x
+ +
= =
¹
-
å Õ
. Mengingat ketunggalan polinomial interpolasi, maka
dengan menggunakan hasil pada Lemma 4 diperoleh
1 1
1 2
3 1
1 1,
[ , , ,..., ]
n k
n n
n k
j k
j j k
y A
f x x x x
x x
+ +
+ =
= ¹
= =
-
å Õ
,
dan 25 pun telah terbukti.
Dengan memperhatikan persyaratan polinomial 25, jelaslah bahwa polinomial
n
Q x
tidak lain adalah polinomial Newton 3. Dari syarat-syarat
n
Q x
pada Teorema 3 dapat diketahui fakta-fakta sebagai berikut:
1.
1 1
1
Q x y
= dan
1 2
2
Q x y
= 2.
2 1
1 2
2 2
2 3
3
, , dan
Q x y
Q x y
Q x y
= =
= 3. Oleh karena
n
Q x
adalah polinomial berderajad kurang atau sama dengan
n
yang dapat dibentuk secara rekursif dengan rumus 25 dan koefisien
n
x
pada
n
Q x
adalah
1 2
3
[ , , ,..., ]
k k
A f x x x
x =
¸ yang tidak lain adalah koefisien
n
x
pada polinomial interpolasi Newton 3, maka 25 identik dengan 3.
Jadi polinomial interpolasi Newton 3 menginterpolasikan
1 n +
titik berlainan sebagaimana dimaksudkan semula, yakni
{ , | 1,2,3,...,
1; jika
}
i i
i j
x y i
n x
x i
j =
+ ¹
¹
, dan dapat di- peroleh recara rekursif dengan rumus 25, dengan polinomial interpolasi awal
1 1
1 1
2
[ , ]
Q x y
x x f x x
= +
- dan
k k
y f x
= , untuk
1,2,3,..., 1
k n
= +
. Dari uraian di atas telah jelas bahwa baik polinomial bentuk baku 1, polinomial Newton 3,
maupun polinomial bentuk Lagrange 4 menginterpolasikan
1 n +
titik yang dimaksud se-
mula. Jadi menurut Teorema 2, bahwa polinomial interpolasi tunggal, ketiga polinomial ter- sebut identik.
B. Galat pada Polinomial Interpolasi
Misalkan f adalah fungsi riil yang didenfinisikan pada suatu interval
[ , ] I
a b =
, dan misalkan
n
P x
adalah polinomial interpolasi berderajad kurang atau sama dengan
n
yang meng- interpolasikan
1 n +
titik berlainan pada I , yakni
{ , | ,
1,2,3,..., 1;
jika }
i i
i i
j
x f x x
I i n
x x
i j
Î =
+ ¹
¹
.
Galat interpolasi
n
e x pada polinomial interpolasi
n
P x
diberikan oleh
n n
e x f x
P x =
-
. 26
Sudah tentu dari persyaratan polinomial interpolasi kita tahu bahwa
n i
e x =
untuk
1,2,3,..., 1
i n
= +
. Permasalahannya bagaimana mengetahui nilai galat
n
e x untuk seba- rang
x I
Î
.
15 Misalkan
x I
Î
dan berlainan dengan
1 2
3 1
, , ,...,
n
x x x x
+
. Apabila
1 n
P x
+
adalah polinomial berderajad kurang atau sama dengan
1 n +
yang menginterpolasikan
1 2
3 1
, , ,...,
,
n
x x x x
x
+
, maka
1 n
P x
f x
+
= , sedangkan menurut 25,
1 1
1 2
1 1
[ , ,..., , ]
n n
i n
n i
P x
P x f x x
x x
x x
+ +
+ =
= +
-
Õ
, sehingga
1 1
1 2
1 1
[ , ,..., , ]
n n
i n
n i
f x P
x P x
f x x x
x x
x
+ +
+ =
= =
+ -
Õ
r .
Jadi,
1 1
2 1
1 2
1 1
[ , ,..., , ]
, ,
, ,...,
n n
i n
n i
e x f x x
x x
x x
x I x
x x x
+ +
+ =
= -
Î ¹
Õ
. 27
Ruas kanan pada 27 memperlihatkan bahwa galat polinomial interpolasi mirip suku terak- hir dalam polinomial interpolasi Newton.
Untuk menghitung galat 27 diperlukan informasi nilai
f x , guna menghitung
1 2
1
[ , ,..., , ]
n
f x x x
x
+
. Akan tetapi, seperti ditunjukkan pada Lemma 3, bahwa selisih terbagi Newton dapat dihitung menggunakan turunan. Teorema berikut merupakan generalisasi
Lemma 3.
Teorema 4 Hubungan Selisih Terbagi Newton dan Turunan
Misalkan f adalah fungsi riil yang kontinyu dan mempunyai turunan sampai ke-
1 n +
yang kontinyu pada suatu interval
[ , ] I
a b =
. Jika
1 2
3 1
, , ,...,
n
x x x x
+
adalah
1 n +
titik berlainan pada I , maka terdapat
, a b
x Î
sedemikian hingga
1 2
3 1
[ , , ,..., ]
n n
f f x x x
x n
x
+
= .
28
Bukti: Untuk kasus
1 dan 2
n n
= =
kebenaran 28 sudah ditunjukkan pada Lemma 3. Untuk membuktikan kasus umum, misalkan
n
P x adalah polinomial berderajad kurang atau sama
dengan n yang menginterpolasikan
1 2
3 1
, , ,...,
n
x x x x
+
. Selanjutnya, didefinisikan fungsi g ,
1 1
n n
i i
g t f t
P t C
t x
+ =
= -
- -
Õ
,
t I
Î
, dengan
C
adalah suatu konstanta yang hendak dicari. Mengingat
n i
i
f x P x
= , maka
i
g x =
untuk
1,2,3,..., 1
i n
= +
. Misalkan
C
dipilih sedemikian hingga
g x =
untuk suatu
x I
Î
yang berlainan dengan
1 n +
titik yang diketahui, yakni
1 1
n n
i i
f x P x
C x
x
+ =
- =
-
Õ
. 29
Jadi
1 2
1
0 untuk , ,...,
,
n
g t t
x x x
x
+
= =
. Dari definisinya dapat diketahui bahwa fungsi g kontinyu dan mempunyai turunan sampai ke-
1 n +
yang kontinyu, karena f demikian dan
16
n
P x
adalah polinomial berderajad kurang atau sama dengan
n
. Jadi kita dapat mengguna- kan teorema Rolle secara berulang pada
1
, , ,...,
n
g g g g
+
. Akhirnya, dapat ditemukan suatu
, a b
x Î
yang memenuhi
1 1
1 1
1 1
1
|
n n
n n
n n
i n
t i
d g
f P
C t
x dt
x
x x
x
+ +
+ +
+ +
= =
= =
- -
-
Õ
. Selanjutnya, karena
n
P t adalah polinomial berderajad kurang atau sama dengan
n
, maka turunan ke-
1 n +
-nya pastilah nol. Demikian pula,
1 1
n i
i
t x
+ =
-
Õ
merupakan suatu polinomial berderajad tepat
1 n +
de-ngan koefisien
1 n
t
+
adalah 1, maka turunan ke-
1 n +
-nya adalah
1 n +
. Dengan demikian diperoleh
1 1
1
n n
g f
n C
x x
+ +
= =
- -
+ atau
1
1
n
f C
n x
+
= +
. Apabila hasil terakhir dimasukkan ke dalam 29 maka diperoleh
1 1
1
1
n n
n i
i
f f x
P x n
x x
x
+ +
=
- =
+ -
Õ
atau
1 1
1
1
n n
n i
i
f e x
x x
n x
+ +
=
= -
+
Õ
, ,
i
x I x
x Î
¹ .
30 Jika rumus galat 30 digabung dengan rumus galat 27 maka diperoleh
1 1
1 1
2 1
1 2
1 1
1
[ , ,..., , ]
, ,
, ,..., 1
n n
n i
i n
n i
i
f x
x f x x
x x
x x
x I x
x x x
n x
+ +
+ +
+ =
=
- =
- Î
¹ +
Õ Õ
atau
1 1
2 1
[ , ,..., , ]
1
n n
f f x x
x x
n x
+ +
= +
. Dengan menuliskan
1 n
x x
+
= dan rumus terakhir diterapkan pada
1 n +
titik pertama, maka diperoleh 28.
Dari bukti di atas ternyata telah diperoleh rumus lain untuk menghitung galat polinomial in-
terpolasi, yakni persamaan 30. Dari rumus 30 dapat dihitung batas-batas galat polinomial interpolasi.
C. Perhitungan dalam Polinomial Interpolasi
Kategori