INTERPOLASI: METODE POLINOMIAL NDD (NEWTON’S DIVIDED DIFFERENCE)

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

INTERPOLASI: METODE
POLINOMIAL NDD
(NEWTON’S DIVIDED
DIFFERENCE)
Pertemuan ke-11:
13 Desember 2012

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

1

Apa Interpolasi?
2

Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), …… (xn,yn), nilai “y”
diperoleh pada “x” yang tidak diketahui nilainya.

Gambar 1 Interpolasi data diskrit.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Interpolan
3



Bentuk polinomial merupakan interpolan yang
paling sering dipilih karena mudah untuk
melakukan:
 Evaluasi
 Turunan,

dan

 Integral

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Interpolasi Linier Metode NDD
4



Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), dan bentuk
interpolan linier yang melalui data tersebut adalah
f1 ( x)  b0  b1 ( x  x0 )



dengan
b0  f ( x0 )
f ( x1 )  f ( x0 )
b1 
x1  x0

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Contoh 1
5

Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan
kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Linier
Metode NDD.
Table 1 Data kecepatan dan waktu

t , s 

vt , m/s 

0

0

10

227.04

15

362.78

20

517.35

22.5

602.97

30

901.67

Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu
untuk Contoh 1
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Interpolasi Linier Metode NDD
6

v(t )  b0  b1 (t  t 0 )

517.35

550

500

t0  15;  v(t0 )  362.78
t1  20;  v(t1 )  517.35

ys
f ( range)





f x de sire d

400

b0  v(t0 )  362.78

v(t1 )  v(t0 )
b1 
 30.914
t1  t0

450

362.78

350
10

12

14

x s  10
0

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

16

18

x s  range x de sire d

20

22

24
x s  10
1

Interpolasi Linier Metode NDD

517.35

7

550

500
ys
f ( range)





450

f x de sire d

400

362.78

350
10

12

x s  10

v(t )  b0  b1 (t  t 0 )

0

14

16

18

20

22

x s  range x de sire d

 362.78  30.914(t  15), 15  t  20

At t  16
v(16)  362.78  30.914(16  15)

 393.69 m/s
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

24
x s  10
1

Interpolasi Quadratic Metode NDD
8

Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), dan (x2,y2), bentuk interpolan kuadrat
yang melalui data tersebut adalah

f 2 ( x)  b0  b1 ( x  x0 )  b2 ( x  x0 )( x  x1 )
b0  f ( x0 )

f ( x1 )  f ( x0 )
b1 
x1  x0
f ( x 2 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x0 )

x 2  x1
x1  x0
b2 
x 2  x0
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Contoh 2
9

Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan
kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Kuadrat
Metode NDD.
Table 1 Data kecepatan dan waktu

t , s 

vt , m/s 

0

0

10

227.04

15

362.78

20

517.35

22.5

602.97

30

901.67

Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu
untuk Contoh 1
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Interpolasi KuadratMetode NDD
10

517.35

550

500

450

t 0  10, v(t 0 )  227.04

ys
400
f ( range)





f x de sire d

t1  15, v(t1 )  362.78

350

300

t 2  20, v(t 2 )  517.35

250

227.04

200

10
10

12

14

16

x s  range x de sire d

18

20
20

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Interpolasi KuadratMetode NDD
11

b0  v(t 0 )
 227.04
v(t )  v(t 0 ) 362.78  227.04
b1  1

t1  t 0
15  10
 27.148

v(t 2 )  v(t1 ) v(t1 )  v(t 0 )

t 2  t1
t1  t 0
b2 
t 2  t0
30.914  27.148

10
 0.37660

517.35  362.78 362.78  227.04

20  15
15  10

20  10

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Quadratic Interpolation (contd)
12

v(t )  b0  b1 (t  t 0 )  b2 (t  t 0 )(t  t1 )
 227.04  27.148(t  10)  0.37660(t  10)(t  15),

10  t  20

At t  16,
v(16)  227.04  27.148(16  10)  0.37660(16  10)(16  15)  392.19 m/s

Nilai kesalahan perkiraan dari hasil interpoasi linier dan kuadrat yaitu :

a



392.19  393.69
x100
392.19
= 0.38502 %
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Bentuk Umum: Interpolasi Kuadrat
Metode NDD
13

f 2 ( x)  b0  b1 ( x  x0 )  b2 ( x  x0 )( x  x1 )
dimana
b0  f [ x0 ]  f ( x0 )
b1  f [ x1 , x0 ] 

f ( x1 )  f ( x 0 )
x1  x0

f ( x 2 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x0 )

x 2  x1
x1  x0
f [ x 2 , x1 ]  f [ x1 , x0 ]
b2  f [ x 2 , x1 , x0 ] 

x 2  x0
x 2  x0

Ditulis kembali menjadi
f 2 ( x)  f [ x0 ]  f [ x1 , x0 ]( x  x0 )  f [ x2 , x1 , x0 ]( x  x0 )( x  x1 )
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Bentuk Umum
14

Untuk (n  1) titik data, x0 , y0 , x1 , y1 ,......, xn1 , y n1 , xn , y n 
yang dituliskan sebagai
f n ( x)  b0  b1 ( x  x0 )  ....  bn ( x  x0 )( x  x1 )...( x  xn1 )
dimana
b0  f [ x0 ]

b1  f [ x1 , x0 ]
b2  f [ x2 , x1 , x0 ]


bn1  f [ xn1 , xn2 ,...., x0 ]
bn  f [ xn , xn1 ,...., x0 ]

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Bentuk Umum
15

Bentuk polinomial derjat tiga dari ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), dan ( x3 , y3 ), adalah
f 3 ( x)  f [ x0 ]  f [ x1 , x0 ]( x  x0 )  f [ x2 , x1 , x0 ]( x  x0 )( x  x1 )
 f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]( x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )
b0
x0

f ( x0 )

b1
f [ x1 , x0 ]

x1

b2
f [ x2 , x1 , x0 ]

f ( x1 )

f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]

f [ x2 , x1 ]
x2

f [ x3 , x2 , x1 ]

f ( x2 )
f [ x3 , x 2 ]

x3

b3

f ( x3 )
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Contoh 3
16

Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan
kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Kubik
Metode NDD.
Table 1 Data kecepatan dan waktu

t , s 

vt , m/s 

0

0

10

227.04

15

362.78

20

517.35

22.5

602.97

30

901.67

Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu
untuk Contoh 1
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Contoh 3
17

Profil kecepatan untuk polinomial derajat tiga

v(t )  b0  b1 (t  t 0 )  b2 (t  t 0 )(t  t1 )  b3 (t  t 0 )(t  t1 )(t  t 2 )
Diperlukan 4 titik data yang terdekat dengan t = 16
t0  10,

v(t 0 )  227.04

t1  15,

v(t1 )  362.78

t 2  20,

v(t 2 )  517.35

t 3  22.5, v(t 3 )  602.97

Diperoleh nilai dari konstanta yaitu:
b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347×10−3
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Contoh 3
18

b0
t0  10

b1

227.04

b2

27.148

t1  15,

362.78

5.4347 103

30.914

t2  20,

b3

0.37660

517.35

0.44453
34.248

t3  22.5,

602.97

b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347×10−3
Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Contoh 3
19

Maka
v (t )  b0  b1 (t  t 0 )  b2 (t  t 0 )(t  t1 )  b3 (t  t 0 )(t  t1 )(t  t 2 )
 227.04  27.148( t  10)  0.37660(t  10)(t  15)
 5.4347 * 10 3 (t  10)(t  15)(t  20)

Pada t = 16
v (16)  227.04  27.148(16  10)  0.37660(16  10)(16  15)
 5.4347 * 10 3 (16  10)(16  15)(16  20)
 392.06 m/s

The absolute relative approximate error a obtained is
a



392.06  392.19
x100
392.06

= 0.033427
%
Dr.Eng.
Agus S. Muntohar

Perbandingan Hasil
20

Pangkat
Polinomial:
v (t=16) m/s
Kesalahan relatif

1

2

3

393.69

392.19

392.06

---------- 0.38502 % 0.033427 %

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Distance from Velocity Profile
21

Find the distance covered by the rocket from t=11s to
t=16s ?
v (t )  227.04  27.148(t  10)  0.37660( t  10)( t  15)
 5.4347 * 10 (t  10)( t  15)( t  20)
3

 4.2541  21.265t  0.13204t 2  0.0054347t 3
So
16

s16  s11   v t dt
11

16

  (  4.2541  21.265t  0.13204t 2  0.0054347t 3 ) dt
11

16


t2
t3
t4 
  4.2541t  21.265  0.13204  0.0054347 
2
3
4  11

 1605 m

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

10  t  22.5
10  t  22.5

Acceleration from Velocity Profile
22

Find the acceleration of the rocket at t=16s given that

v(t )  4.2541  21.265t  0.13204t 2  0.0054347t 3
a(t ) 

d
d
v(t )   4.2541  21.265t  0.13204t 2  0.0054347t 3 
dt
dt
 21.265  0.26408t  0.016304t 2
a(16)  21.265  0.26408(16)  0.016304(16) 2
 29.664 m / s 2

Dr.Eng. Agus S. Muntohar