Data Pengamatan Pengaturan MCMC Estimasi Parameter

MAKALAH 2 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 � , , , �, �|� = � �|�, � ∙ � �| ∙ � , , , dimana � �|�, � adalah fungsi likelihood dan � , , adalah distribusi prior pada , , . Selanjutnya ditetapkan prior seperti berikut: ~�xp , ~� , , = � , � , dimana prior a , b tersebut dipilih untuk memenuhi kendala-kendala model. Sekarang dipunyai distribusi gabungan yaitu � , , , �|� ∝ − � − �xp {− − � � } ∙ �� [Γ ] −� ∏ + � �− − � � − � �= �xp {− � � + � �− � � } ∏ � � −�− � �= �xp − � � ∙ �xp{− } ∙ − − − ∙ � − �xp − � . atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh ln � , , , �|� ∝ ln − − ln � − − � � + � ln − � ln Γ − ∑ ln + � �− � �= − ∑ ln � � � �= − ∑ � � + � �− � � � �= − + ∑ ln � � � �= − ∑ � � − � �= − + − ln + − ln − + � − ln − � . 1 Pembangkitan parameter a Berdasarkan persamaan 1, log distribusi posterior untuk a dinyatakan oleh = ln � | , �, � − ln − − � � − ∑ ln + � �− � �= − ∑ � � + � �− � � � �= − Masalah yang muncul di sini yaitu posterior tersebut tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, a dibangkitkan menggunakan metode Independence Chain Metropolis –Hastings IC-MH yang diperkenalkan oleh Tierney 1994 seperti berikut: Langkah 1 : Menentukan proposal untuk a , yaitu ∗ ~� , ] ∗ , � ∗ Langkah 2 : Menghitung rasio � , ∗ = � ∗ | , � � | , � . Langkah 3 : Membangkitkan dari distribusi seragam [ , ]. Langkah 4 : Jika min{ , � , ∗ }, maka proposal diterima, jika tidak, maka proposal ditolak. Rata-rata ∗ dan variansi � ∗ dicari dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus lihat Albert 2009. Modus ̂ dari , artinya ′ ̂ = , dicari menggunakan metode bagi dua. Selanjutnya diambil ∗ = ̂ dan � ∗ = −[ ′′ ̂ ] − . Masalahnya adalah ′′ ̂ bisa bernilai positif, karena itu diambil � ∗ = −[� ̂ ] − dengan � ̂ = min {− . , ′′ ̂ }. Pembangkitan parameter b Berdasarkan persamaan 1, log distribusi posterior untuk b dinyatakan oleh = ln � | , �, � ∝ ln − − − � � − ∑ ln + � �− � �= − ∑ � � + � �− � � � �= + − ln + − ln − , yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu nilai parameter b dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a . Pembangkitan nilai parameter Berdasarkan persamaan 1, log distribusi posterior untuk dinyatakan oleh = ln � | , , �, � ∝ � ln − � ln Γ − ∑[ln � � + � � − ] � �= + � − ln − � , Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, parameter dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a , dimana proposalnya yaitu ∗ ~� [ , ] � ∗ , � � ∗ . Pembangkitan nilai vektor parameter z Berdasarkan persamaan 1, distribusi posterior untuk z dinyatakan oleh � �| , , , � ∝ � −�+ − �xp − − � + � ∏ � � −�+ − �xp {− � � + + � �− + � �− � � } � �= . Dalam kasus ini, � bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi invers gamma , yaitu � ~� + , − � + , � � ~� + , � � + + � �− + � �− , untuk = , … , �. Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC untuk model dalam studi ini yaitu i Inisialisasi a , b , dan . ii Membangkitkan sampel z secara langsung. iii Membangkitkan sampel dengan metode IC-MH. iv Membangkitkan sampel a dengan metode IC-MH. v Membangkitkan sampel b dengan metode IC-MH. vi Menghitung variansi volatility kuadrat: � � = + � �− .

1. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Data Pengamatan

Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli Euro EUR, Japanese Yen JPY, dan US Dollar USD terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu software Matlab 2012a. Lihat Safrudin dkk. 2015 untuk plot runtun waktu untuk returns dan statistik deskriptif.

4.2 Pengaturan MCMC

Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000 iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N = 10000, disimpan untuk menghitug rata-rata posterior , simpangan baku, interval Bayes, numerical standard error NSE, dan diagnosa konvergensi. Di sini, dipilih interval highest posterior density HPD yang disajikan oleh Chen dan Shao 1999 sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi dilakukan dengan menghitung integrated autocorrelation time IACT, lihat Geweke 2005, untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas seberapa cepat konvergensi simulasi. Sementara itu konvergensi rantai Markov diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke 1992 dan NSE dihitung menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke 2005. Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan prior dimana = , = . , = , � = dan � = . . Untuk nilai-nilai awal parameter ditetapkan = = . dan v = 20.

4.3 Estimasi Parameter

Tabel 1, 2 dan 3 meringkas hasil simulasi posterior parameter dalam model ARCH1, dimana returns error berdistribusi Student-t , berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. p-value yang berasosiasi dengan Geweke’s convergence diagnostic G-CD mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai- nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC- MH adalah sangat efisien. Tabel 1. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap IDR. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95. Parameter a b v Mean 0.0547 0.2180 5.1708 SD 0.0030 0.0414 0.5779 LB 0.0495 0.1386 4.0913 UB 0.0598 0.2998 6.3289 IACT 8.1819 5.9936 22.9946