REFERENSI T1 662011001 Full text

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, parameter dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a , dimana proposalnya yaitu ∗ ~� [ , ] � ∗ , � � ∗ . Pembangkitan nilai vektor parameter z Berdasarkan persamaan 1, distribusi posterior untuk z dinyatakan oleh � �| , , , � ∝ � −�+ − �xp − − � + � ∏ � � −�+ − �xp {− � � + + � �− + � �− � � } � �= . Dalam kasus ini, � bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi invers gamma , yaitu � ~� + , − � + , � � ~� + , � � + + � �− + � �− , untuk = , … , �. Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC untuk model dalam studi ini yaitu i Inisialisasi a , b , dan . ii Membangkitkan sampel z secara langsung. iii Membangkitkan sampel dengan metode IC-MH. iv Membangkitkan sampel a dengan metode IC-MH. v Membangkitkan sampel b dengan metode IC-MH. vi Menghitung variansi volatility kuadrat: � � = + � �− .

1. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Data Pengamatan

Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli Euro EUR, Japanese Yen JPY, dan US Dollar USD terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu software Matlab 2012a. Lihat Safrudin dkk. 2015 untuk plot runtun waktu untuk returns dan statistik deskriptif.

4.2 Pengaturan MCMC

Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000 iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N = 10000, disimpan untuk menghitug rata-rata posterior , simpangan baku, interval Bayes, numerical standard error NSE, dan diagnosa konvergensi. Di sini, dipilih interval highest posterior density HPD yang disajikan oleh Chen dan Shao 1999 sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi dilakukan dengan menghitung integrated autocorrelation time IACT, lihat Geweke 2005, untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas seberapa cepat konvergensi simulasi. Sementara itu konvergensi rantai Markov diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke 1992 dan NSE dihitung menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke 2005. Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan prior dimana = , = . , = , � = dan � = . . Untuk nilai-nilai awal parameter ditetapkan = = . dan v = 20.

4.3 Estimasi Parameter

Tabel 1, 2 dan 3 meringkas hasil simulasi posterior parameter dalam model ARCH1, dimana returns error berdistribusi Student-t , berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. p-value yang berasosiasi dengan Geweke’s convergence diagnostic G-CD mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai- nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC- MH adalah sangat efisien. Tabel 1. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap IDR. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95. Parameter a b v Mean 0.0547 0.2180 5.1708 SD 0.0030 0.0414 0.5779 LB 0.0495 0.1386 4.0913 UB 0.0598 0.2998 6.3289 IACT 8.1819 5.9936 22.9946 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 NSE 0.0000 0.0009 0.0233 G-CD – 0.0063 0.0686 0.1160 p-value 0.9949 0.9453 0.9076 CPU time detik: 313.795 Tabel 2. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli USD terhadap IDR. Parameter a b v Mean 0.0078 0.3809 3.1140 SD 0.0004 0.0497 0.2386 LB 0.0069 0.2882 2.6469 UB 0.0087 0.4832 3.5717 IACT 1.0000 5.3140 10.0292 NSE 0.0000 0.0011 0.0070 G-CD – 0.0059 – 0.0003 – 0.1576 p-value 0.9953 0.9998 0.8747 CPU time detik: 295.673 Tabel 3. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli EUR terhadap IDR. Parameter A b v Mean 0.0546 0.1612 10.4858 SD 0.0026 0.0353 1.6553 LB 0.0502 0.0958 7.6162 UB 0.0595 0.2339 13.9917 IACT 12.2060 5.2695 66.3636 NSE 0.0000 0.0007 0.0799 G-CD 0.0045 0.0408 0.3283 p-value 0.9964 0.9674 0.7427 CPU time detik: 285.506 Plot sampel posterior dan histogram distribusi posterior parameter-parameter a dan b ditampilkan berturut-turut pada Gambar 1 dan Gambar 2. Plot sampel mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata posterior , yang berarti bahwa sampel telah bercampur dengan baik good mixing . Gambar 1. Plot sampel untuk parameter a , b , dan v pada model ARCH1 untuk returns kurs beli JPY atas, USD tengah, dan EUR bawah terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014. Gambar 2. Histogram distribusi posterior parameter a , b , dan v pada model ARCH1 untuk returns kurs beli JPY atas, USD tengah, dan EUR bawah terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014. Penyimpangan returns dari asumsi normalitas dinyatakan oleh . Derajat kebebasan mengambil nilai dari 4 sampai 7 untuk JPY, dari sampai 4 untuk USD, dan dari 7 sampai 14 untuk EUR, mengindikasikan bukti kuat adanya karakteristik distribusi Student-t pada ketiga data pengamatan. Sementara itu, dalam kasus data kurs beli JPY dan EUR, estimasi parameter a dan b adalah serupa dengan estimasi dari ARCH1 yang berdistribusi normal di Safrudin dkk. 2015. Terkait dengan volatility , rata-rata posterior untuk variansi volatility kuadrat returns disajikan dalam Gambar 3. Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR berturut-turut yaitu dari 0.0550 sampai 0.8084, dari 0.0078 sampai 0.6505, dan dari 0.0546 sampai 0.3584, dimana rata-ratanya berturut-turut yaitu 0.0835, 0.0254, 0.0686. Nilai variansi tertinggi terjadi pada periode September 2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD, dan September 2011 untuk EUR. Dibandingkan dengan hasil di Safrudin dkk. 2015, pada data JPY menunjukkan perbedaan periode untuk variansi tertinggi. Jadi, model volatility untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturut- turut: � � = . + . � �− , � � = . + . � �− , � � = . + . � �− . 5000 10000 0.04 0.06 0.08 a 5000 10000 0.5 b 5000 10000 4 6 8  5000 10000 6 8 10 x 10 -3 5000 10000 0.2 0.4 0.6 5000 10000 2 3 4 5000 10000 0.04 0.06 0.08 5000 10000 0.2 5000 10000 5 10 15 20 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 Gambar 3. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

2. KESIMPULAN

Studi ini menyajikan model ARCH1 dengan returns error berdistribusi Student-t untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. Algoritma MCMC yang efisien dibangun untuk membangkitkan sampel dari distribusi posterior model. Hasil empiris menunjukkan bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi Student-t pada ketiga data tersebut. Model yang disajikan dalam studi ini bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi Student-t yang umum, seperti non-central Student-t dan generalized skew Student-t yang mengakomodasi heavy tails dan skewness . Lebih lanjut model bisa diperluas ke model GARCH.

3. REFERENSI

1. Bollerslev, T. 1987. A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return, Review of Economics and Statistics , 69, 542 –547. 2. Casella, G. dan Berger R., L. 2002. Statistical inference , Thomson Learning, Duxbury. 3. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. 1999. Monte Carlo estimation of Bayesian credible and HPD intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics , 8, 69 –92. 4. Engle, R. F. 1982. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of the united kingdom inflation. Econometrica , 50, 987 –1007. 5. Geweke, J. 1992. Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments, Bayesian Statistics 4 eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan A. F. M. Smith, 169 –194. 6. Geweke, J. 2005. Contemporary Bayesian econometrics and statistics . John Wiley Sons. 7. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L. 2007. Bayesian econometri methods . Cambridge University Press, New York. 8. Nugroho, D. B. 2014. Realized stocastic volatility model using generalized student’s t -error distributions and power transformations , Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan. 9. Tierney, L. 1994. Markov chain for exploring posterior distributions. Annals of Statistics , 22 4, 1701 –1762. 10. Tsay, R. S., 2010. Analysis of financial time series . John Willey and Sons, Inc. New York. LAMPIRAN Lampiran 1. Skema MCMC untuk model ARCH berdistribusi Student-t 1. Inisialisasi a , b , dan . 2. Pembangkitan �| , , , �. Distribusi posterior bersyarat untuk z diberikan oleh � �| , , , � ∝ � −�+ − �xp − − � + � ∏ � � −�+ − �xp {− � � + + � �− + � �− � � } � �= . Dalam kasus ini, � bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi inverse gamma , yaitu � ~� �+ , − � + � dan � � ~� �+ , � � + + � �− � + � �− , untuk = , … , �. 3. Pembangkitan |� Distribusi posterior bersyarat untuk v diberikan oleh � |� ∝ � �� [Γ � ] −� ∏ � � − � − � �= �xp − � � � � − �xp − � . Nilai dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, yang mana proposal untuk yaitu ∗ ~� [ , ] � ∗ , � � ∗ dan probabilitas penerimaannya yaitu min { , � ∗| � � | � } . Diambil logaritma distribusi posterior bersyarat untuk : = ln � |� ∝ � ln − � ln Γ − ∑[ln � � + � � − ] � �= + � − ln − � , Dicari modus posterior ̂ dari , artinya bahwa ′ ̂ = , berdasarkan metode bagi dua. Rata-rata � ∗ dan variansi � � ∗ ditentukan dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus atau modus hampiran. Dicatat bahwa derivatif pertama dan kedua dari berturut-turut yaitu ′ = � [ln + − ψ ] − ∑[ln � � + � � − ] � �= + � − − � , dimana ψ � = � lnΓ � �� , dan ′′ = � − � ψ ′ − � − .