Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
langkah Nugroho,
2014, yaitu
membangun rantai Markov dan menggunakan metode Monte Carlo untuk meringkas
distribusi
posterior
pada parameter sebagai keluaran MCMC.
Dimisalkan � = � , � , … , �
�
dan � =
� , � , … , �
�
. Berdasarkan Teorema Bayes lihat Koop dkk. 2007, distribusi gabungan
untuk model di atas yaitu � , , �|� = � �|� ∙ � , ,
dimana � �|� adalah fungsi
likelihood
dan � , adalah distribusi
prior
pada , .
Untuk memenuhi kendala parameter
a
dan
b
, ditetapkan
prior
seperti berikut: ~�xp
dan ~� , ,
maka dipunyai distribusi gabungan yaitu � , , �|�
∝ ∏ �
� −
�xp {−
�
�
�
�
}
� �=
∙ �xp{− } ∙
−
−
−
= −
�xp {− − �
} ∏
+ �
�− −
∙ �xp {−
�
�
+ �
�−
}
� �=
∙ �xp{− } ∙
−
−
−
. atau dengan pengambilan logaritma natural
diperoleh ln � , |�
∝ ln −
− − �
− ∑ ln + �
�− �
�=
− ∑ �
�
+ �
�− �
�=
− + − ln +
− ln − .
1
Pembangkitan nilai parameter
a
Berdasarkan persamaan 1, log distribusi
posterior
untuk
a
dinyatakan oleh = ln � | , �
∝ − ln − − �
− ∑ ln + �
�− �
�=
− ∑ �
�
+ �
�− �
�=
− . Masalah yang muncul di sini yaitu
posterior
tersebut tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu
a
dibangkitkan menggunakan metode
Independence Chain
Metropolis –Hastings
IC-MH yang
diperkenalkan oleh Tierney 1994 seperti berikut:
Langkah 1
: Menentukan proposal untuk
a
, yaitu
∗
~�
, ]
∗
, �
∗
Langkah 2
: Menghitung rasio � ,
∗
= �
∗
| , � � | , � .
Langkah 3
: Membangkitkan dari distribusi seragam
[ , ].
Langkah 4
: Jika min{ , � ,
∗
}, maka proposal diterima, jika tidak, maka proposal
ditolak. Rata-rata
∗
dan variansi �
∗
dicari dengan menggunakan metode yang didasarkan
pada tingkah laku distribusi di sekitar modus lihat Albert 2009. Modus
̂ dari ,
artinya ′ ̂ = , dicari menggunakan
metode bagi dua. Selanjutnya diambil
∗
= ̂ dan
�
∗
= −[ ′′ ̂ ]
−
. Masalahnya adalah ′′ ̂ bisa bernilai positif, karena itu diambil
�
∗
= −[� ̂ ]
−
dengan � ̂ = min {− .
, ′′ ̂ }.
Pembangkitan nilai parameter
b
Berdasarkan persamaan 1, log distribusi
posterior
untuk
b
dinyatakan oleh
= ln � | , � ∝ − ln −
− − �
− ∑ ln + �
�− �
�=
− ∑ �
�
+ �
�− �
�=
+ − ln + −
ln − , yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.
Karena itu nilai parameter
b
dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada
pembangkitan nilai parameter
a
. Metode MCMC mensimulasi suatu nilai
baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa
nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC yaitu
i
Inisialisasi
a
dan
b
.
ii
Membangkitkan sampel
a
dengan metode IC-MH.
iii
Membangkitkan sampel
b
dengan metode IC-MH.
iv
Menghitung variansi
volatility
kuadrat: �
�
= + �
�−
.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
1. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Data Pengamatan
Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli
Euro
EUR,
Japanese Yen
JPY, dan
US Dollar
USD terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009
sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini
penghitungan dilakukan dengan alat bantu
software
Matlab 2012a.
Gambar 1
menampilkan
plot
runtun waktu untuk
returns
dan Tabel 1 menyajikan statistik deskriptif.
Gambar 1.
Plot
runtun waktu
returns
harian untuk kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari
2009 sampai Desember 2014.
Tabel 1. Statistik deskriptif dari
returns
harian untuk kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadar Rupiah dari Januari
2009 sampai Desember 2014.
Mata Uang
Mean
SD
JB Test
normali tas
LB Q test
auto korelasi
JPY
–
0.004 0.363
tidak normal
tidak ada korelasi
USD
–
0.004 0.215
tidak normal
ada korelasi EUR
0.000 0.294
tidak normal
tidak ada korelasi
4.2 Pengaturan MCMC
Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000
iterasi pertama dihilangkan dan sisanya,
N
= 10000, disimpan untuk menghitug rata-rata
posterior
, simpangan baku, interval Bayes,
numerical standard error
NSE, dan diagnosa konvergensi. Di sini, dipilih interval
highest posterior density
HPD yang disajikan oleh Chen dan Shao 1999 sebagai pendekatan
untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi dilakukan dengan menghitung
integrated autocorrelation time
IACT, lihat Geweke 2005, untuk mengetahui berapa banyak
sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas
seberapa cepat
konvergensi simulasi.
Sementara itu konvergensi rantai Markov diperiksa berdasarkan pada uji
z-score
Geweke 1992 dan
NSE dihitung menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke 2005.
Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan
prior
dimana = , =
. , dan = . Untuk nilai-nilai awal
parameter ditetapkan =
= . .
4.3 Estimasi Parameter
Tabel 2, 3 dan 4 meringkas hasil simulasi
posterior
parameter dalam model ARCH1 berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD,
dan EUR terhadap Rupiah.
p-value
yang berasosiasi dengan Geweke’s
convergence diagnostic
G-CD mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-
nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC- MH adalah sangat efisien.
Tabel 2. Ringkasan hasil simulasi
posterior
untuk data kurs beli JPY terhadap Rupiah. LB dan UB menyatakan
berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95.
Parameter
a b
Matlab 0.0994
0.2619
Mean
0.1022 0.2548
SD 0.0050
0.0464 LB
0.0928 0.1648
UB 0.1121
0.3446 IACT
1.4620 1.2613
NSE 0.0000
0.0005 G-CD
0.0036 0.0648
p-value
0.9971 0.9484
CPU
time
detik: 131.14
Tabel 3. Ringkasan hasil simulasi
posterior
untuk data kurs beli USD terhadap Rupiah.
Parameter
a b
Matlab 0.0237
0.6532
Mean
0.0244 0.6255
SD 0.0012
0.0682 LB
0.0220 0.4903
UB 0.0267
0.7547 IACT
1.0000 1.0000
500 1000
1500 -2
2 JPY
k u
rs b
e li
500 1000
1500 -2
2 USD
k u
rs b
e li
500 1000
1500 -2
2 EUR
waktu k
u rs
b e
li
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
NSE 0.0000
0.0006 G-CD
– 0.0036 – 0.0260
p-value
0.9971 0.9792
CPU
time
detik: 137.72
Tabel 4. Ringkasan hasil simulasi
posterior
untuk data kurs beli EUR terhadap Rupiah
Parameter
a B
Matlab 0.0704
0.1878
Mean
0.0713 0.1900
SD 0.0030
0.0372 LB
0.0650 0.1186
UB 0.0771
0.2630 IACT
1.0000 1.0000
NSE 0.0000
0.0004 G-CD
– 0.0159 0.0047
p-value
0.9873 0.9962
CPU
time
detik: 148.27
Plot
sampel
posterior
dan histogram distribusi
posterior
parameter-parameter
a
dan
b
ditampilkan berturut-turut pada Gambar 2 dan Gambar 3.
Plot
sampel mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata
posterior
, yang berarti bahwa sampel telah bercampur dengan baik
good mixing
.
Gambar 2.
Plot
sampel untuk parameter
a
dan
b
pada model ARCH1 untuk
returns
kurs beli JPY atas, USD tengah, dan EUR bawah terhadap Rupiah dari Januari
2009 sampai Desember 2014. Gambar 3. Histogram distribusi
posterior
parameter
a
dan
b
pada model ARCH1 untuk
returns
kurs beli JPY atas, USD tengah, dan EUR bawah terhadap Rupiah
dari Januari 2009 sampai Desember 2014.
Terkait dengan estimasi parameter, hasil menunjukkan bahwa nilai estimasi
a
dan
b
serupa dengan hasil yang diperoleh dari penggunaan fungsi garchp,q di Matlab. Rata-
rata
posterior
untuk variansi
volatility
kuadrat
returns
disajikan dalam Gambar 4. Diperoleh bahwa variansi untuk
returns
kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap rupiah
berturut-turut yaitu 0.102 –0.984, 0.024–1.080,
dan 0.071
–0.430, dimana rata-ratanya berturut-turut yaitu 0.136, 0.053, 0.088. Nilai
variansi tertinggi terjadi pada periode April 2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD,
dan September 2011 untuk EUR.
Gambar 4.
Plot
runtun waktu variansi untuk
returns
kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari
2009 sampai Desember 2014.
Jadi, model
volatility
untuk
returns
kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah
berturut-turut: �
�
= . + .
�
�−
, �
�
= . + .
�
�−
, �
�
= . + .
�
�−
.
5000 10000
0.08 0.1
0.12 a
5000 10000
0.2 0.4
b
5000 10000
0.02 0.025
0.03 5000
10000 0.5
1
5000 10000
0.06 0.07
0.08 5000
10000 0.2
0.4
0.05 0.1
0.15 500
1000 1500
a
0.2 0.4
0.6 0.8
500 1000
1500 b
0.015 0.02
0.025 0.03
500 1000
1500 0.2
0.4 0.6
0.8 1
500 1000
0.06 0.07
0.08 0.09
500 1000
0.1 0.2
0.3 0.4
500 1000
1500
500 1000
1500 0.5
1 JPY
t 2
500 1000
1500 1
2 USD
t 2
500 1000
1500 0.5
EUR
waktu
t 2
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
2. KESIMPULAN
Studi ini menyajikan model ARCH1 untuk
returns
kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah. Algoritma MCMC yang
efisien dibangun untuk membangkitkan sampel dari distribusi
posterior
model. Hasil empiris
menunjukkan bahwa
rata-rata
volatility
untuk
returns
kurs beli JPY adalah yang tertinggi.
Model yang disajikan dalam studi ini bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi tak
normal untuk
returns error
. Selain itu, model bisa diperluas ke model GARCH.
3. REFERENSI
1. Albert, J. 2009.
Bayesian computation with R
, 2nd ed., Springer. 2.
Carlin, B. P., dan Chib, S. 1995. Bayesian model choice via Markov
chain Monte Carlo methods,
Journal of The Royal Statistical Society,
57 3,
473 –484.
3. Casella, G. dan Berger R., L. 2002.
Statistical inference
, Thomson
Learning, Duxbury. 4.
Chen, M. H. dan Shao, Q. M. 1999. Monte Carlo estimation of Bayesian
credible and
HPD intervals.
Journal of Computational and Graphical Statistics
, 8, 69 –92.
5. Engle, R. F. 1982. Autoregressive
conditional heteroskedasticity
with estimates
of the variance of the united kingdom inflation.
Econometrica
, 50, 987 –1007.
6. Geweke, J. 1992. Evaluating the
accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments,
Bayesian Statistics 4
eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan
A. F. M. Smith, 169 –194.
7. Geweke, J. 2005.
Contemporary Bayesian econometrics and statistics
. John Wiley Sons.
8. Jones, C. P., and Wilson, J. W. 1989.
Is stock price volatility increasing?,
Financial Analysts Journal,
45 6, 20 –
26. 9.
Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L. 2007.
Bayesian econometri methods
. Cambridge University Press, New York.
10. Muklis, I. 2011. Analisis volatilitas
nilai tukar mata uang Rupiah terhadap dolar.
Journal of Indonesian Apllied Economics,
5 2, 172 –182.
11. Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A.
2012. Analisis volatilitas saham perusahaa go public dengan metode
ARCH GARCH.
Jurnal Sains dan Seni ITS
, 1, 1, D259 D264.
12. Nugroho, D. B. 2014.
Realized stocastic
volatility model
using
generalized student’s
t
-error distributions
and power
transformations
, Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan.
13. Tierney, L. 1994. Markov chain for
exploring posterior
distributions.
Annals of
Statistics
,
22 4, 1701
–1762. 14.
Tsay, R. S., 2010.
Analysis of financial time series
. John Willey and Sons, Inc. New York.
MAKALAH 2
