TURUNAN FUNGSI BEBERAPA VARIABEL

6.4 Turunan Fungsi Implisit

Persamaan f(x,y,z) = 0 adalah fungsi implisit dalam ruang tiga dimensi. Untuk menghitung dz maka dx

variabel z dan x diturunkan terhadap x dengan menganggap y konstan, dan untuk menghitung dz maka dy variabel z dan y diturunkan terhadap y dengan menganggap x konstan.

Contoh: dz

2 2 1. Hitung 3 dan dari persamaan implisit xyz + x z – 2y z – xy + 2 = 0 dx

dz

dy dz

2 2 Jawab : yz + xy 2 + 2xz + x dz – 6y z dz –y=0

(xy + x 2 – 6y 2 z 2 ) dz = y – yz – 2xz maka

3 2 +x dz 2 dz – 4yz – 6y z 2 –x=0

dy

dy

dy

2 2 2 dz

3 dz

x − xz − 4 yz 3

(xy + x – 6y z )

= x – xz – 4yz

maka

dy

dx

xy + x 2 − 6 y 2 z 2

2 2 2. Hitung 2 dz 2 dan dari persamaan implisit xy sin z + x cos z–y – xy = 0 dx

dz

dy

2 2 2 Jawab : y 2 sin z + xy cos z dz + 2xcos z – 2x cos z sin z dz –y=0

dx

dx

2 2 2 (xy 2 cos z – 2x cos z sin z) dz =y–y sin z – 2xcos z

dx

maka z dz 2 sin z 2 x cos 2

maka dz =

6.5 Bidang Singgung dan Garis Normal

Persamaan bidang yang menyinggung fungsi z = f(x, y) di titik T (x 0 ,y 0 ,z 0 ) adalah:  z 

∂ ∂ z  − z o =   ( x − x o ) +   ( y − y  

o ) ∂ garis normal x T

bidang singgung Sedangkan, persamaan garis normalnya adalah:

X = ( x o , y o , z o ) + t N T(x 0 ,y 0 , dimana:

z)

X = vektor garis normal t

= parameter bidang permukaan  z 

z = f(x, y) N = (1, 0,  ∂  ) X (0, 1, ∂  ∂ x 

Gambar 6.8 Bidang Singgung

X = perkalian cross (silang) vektor dan Garis Normal Contoh:

Diketahui bidang permukaan z = x 3 +x 2 y+y 3 +y 2 x + 1. Tentukan :

a. Persamaan bidang singgung melalui titik T (1, 1, 5) pada permukaan tersebut.

b. Persamaan garis normal Jawab:

a. ∂ z

= 3x + 2xy + y maka  ∂  =3+2+1=6 ∂ x

=x + 3y + 2xy maka ∂  ∂ =1+3+2=6 y

 ∂ y   T

maka persamaan bidang singgung:  z 

 ( y − y o )

z – 5 = 6 (x – 1) + 6 (y – 1) maka z = 6x + 6y – 7

b. Persamaan garis normal : X = ( x o , y o , z o ) + t N

X = (1, 1, 5) + t (– 6, – 6, 1) dengan t = parameter

6.6 Menentukan Jenis Titik Ekstrim

Jika titik T (x 0 ,y 0 ,z 0 ) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku  ∂ z 

serta diskriminan fungsi f = ∆ , dimana 2 ∂ 2  2 ∂ 2 f f

maka berlaku ketentuan sebagai berikut:

1. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan

< 0 atau ∂

< 0, maka T adalah titik maksimum

∂ 2 f ∂ 2 2. Jika di T berlaku f ∆ > 0, dan

> 0 atau

> 0, maka T adalah titik minimum

3. Jika di T berlaku ∆ < 0, maka T bukan titik ekstrim

4. Jika di T berlaku ∆ = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T

Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x 2 +y 2

Jawab: Hitung turunan parsialnya, yaitu: ∂ z

∂ x 2 ∂ y 2  ∂ x ∂ y  Titik stasioner didapat dari z ∂

= 0 dan ∂ z = 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y = 0,

sedangkan z = x 2 +y 2 = 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner (0, 0, 0). Tentukan jenis titik stasioner ini, ∂ 2 maksimum atau minimum. Di titik (0, 0, 0) diperoleh z

= 2 > 0 maka sesuai ketentuan di

atas, disimpulkan titik tersebut minimum.

6.7 Turunan Parsial Fungsi Parameter

Jika diketahui suatu fungsi z = f (x, y) dimana x = f(t) dan y = f(t) maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah:

Contoh

1. Tentukan ∂ z

2 2 jika z 2 – 3xy + 2yz + 5 = 0, x = t – 5t +7, dan y = sin t ∂ t

Jawab : Persamaan di atas adalah persamaan implisit. Diturunkan diperoleh: ∂ z

3 2z y – 3y + 2y =0 → (2z + 2y) = 3y → =

2 z + 2 y 2z ∂ z

3 – 3x + 2z + 2y x =0 (2z + 2y) = 3x – 2z ∂

2. Diketahui suatu persamaan volume silinder v = π R 2 T, dimana R = jari-jari lingkaran silinder dan T = tinggi silinder Jika pada silinder itu berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,3 cm/detik, dan jari-jarinya bertambah dengan T kecepatan 0,5 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume silinder pada saat

R tingginya 10 cm dan jari-jari 7 cm.

Silinder

∂ Jawab: v = v R T maka = 2 RT dan = π R 2 sedangkan

∂ T = – 0,3 cm/dt dan ∂ R = 0,5 cm/dt ∂ t

Jadi kecepatan berubahnya volume silinder ∂ v

= 2 π RT 0,5 + π 2 R (– 0,3)

untuk T = 10 cm dan R = 7 cm maka v ∂

=2 π 7 10 0,5 – π 7 2 0,3 = (70 – 14,7) π = 55,3 π cm 3 /dt

6.8 Diferensial Total

Jika z = f (x, y) maka diferensial total dari fungsi tersebut adalah dz = ∂ z dx

+ z ∂ dy ∂ x

Artinya, jika pada x terjadi perubahan sebesar dx dan pada y terjadi perubahan sebesar dy maka pada z akan terjadi perubahan sebesar dz sebesar persamaan di atas.

Contoh:

1. Di lapangan akan dibuat empat persegi panjang dengan panjang 421 m dan lebar 314 m, setelah dipatok dan diukur kembali, diperoleh data baru panjangnya berubah menjadi 421,02 m dan lebarnya menjadi 313,97 m. Berapa perubahan (kesalahan) yang terjadi pada luasnya? Jawab: Luas = panjang x lebar. Misal Luas = L, panjang = x, dan lebar = y, maka L = xy

∂ L = y dan ∂ L = x, dx = 421,02 – 421 = 0,02 m dan dy = 313,97 – 314 = – 0,03 m ∂ x

∂ L dL = 2 dx + dy = y dx + x dy = 314 . 0,02 + 421 (– 0,03) = – 6,35 m ∂ x

2. Tentukan nilai taksiran ( 4 , 02 ) 1 , 1 sampai 3 desimal. Jawab :

Ambil harga bulat, x = 4 maka dx = 4,02 – 4 = 0,02 dan y = 1 maka dy = 1,1 – 1 = 0,1 Fungsi tersebut adalah z = x y

∂ turunan parsialnya z = y x y − 1 0 = 1. 4 z = 1 dan ∂

dy = y x y − 1 dx + x ln x dy = 1. 0,02 + 4 ln 4. 0,1 ≈ 0,575

∂ x ∂ y Jadi 1 ( 4 , 02 ) 1 , 1 =4 + dz = 4 + 0,575 = 4,575

Check : 4,02 1,1 = 4,620071092

TUGAS MANDIRI BAB VI

Tugas Subbab 6.3

Tentukan turunan parsial untuk fungsi berikut:

x 2 + y 2 5. z = arctan

8. z = x y

3. z = y 6. z =

9. Diketahui z = z x + y , buktikan x

10. Diketahui z = ln x 2 2 ∂ z

+ y , buktikan x

Tugas Subbab 6.4

Tentukan turunan parsial tingkat dua dan tiga untuk semua soal 1 – 8 di atas

Tugas Subbab 6.5

1. Tentukan turunan z dan ∂ dari ysin(xz) – 2 tan x + y cos 2 x + xsin 3 z=0 ∂ x

2. Diketahui persamaan ∂ = xy – xz + yz. Tentukan turunan z dan ∂ z

e y + z log xy

3. Diketahui suatu persamaan implisit x 2 z – 3yz 2 =–2

Hitung , , ∂

∂ di titik (1, 1, 1) x

Tugas Subbab 6.6

1. Diketahui persamaan z = x + y dan titik T (1, 1, 2) terletak pada permukaan tersebut.

Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T.

3 2. Idem, persamaan z = x 2 – 2xy + y dan titik T (1, – 1, 4)

3. Idem, persamaan z = x 2 + y 2 dan titik T (4, – 3, 5)

4. Idem, persamaan z = y −

dan titik T (1, – 1, 2)

5. Idem, persamaan z = x

dan titik T (2, – 1, 2)

Tugas Subbab 6.7

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya (jika ada) untuk fungsi-fungsi berikut:

volume 108 cm 3

2 c. z = x 2 +y + 3xy Z

2. Akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm 3 .

Berapa ukuran kotak tersebut agar luas permukaannya minimum?

Tugas Subbab 6.8

1. Tentukan z ∂ ∂ jika t

2. Jika pada suatu kerucut berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cm/detik, jari-jari bertambah dengan kecepatan 0,3 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume kerucut pada saat tingginya 15 cm dan jari-jari 10 cm.

, dimana x = jari-jari lingkaran alas kerucut dan y = tinggi kerucut.

Petunjuk : Volume kerucut v = 1 x 2 y

Kecepatan berubahnya volume = ∂ V ∂ = V ∂ x

Tugas Subbab 6.9

1. Tentukan diferensial total dari

c. z = e − y

a. z = x y + 2xy

b. z = arctan

d. z = x ( x 2 + y 2 ) 2

2. Akan dibuat segitiga siku-siku seperti gambar dengan x = 6 meter

dan y = 8 meter. Pada pengukuran x terdapat kesalahan 0,25 cm x dan pada pengukuran y terdapat kesalahan – 0,125 cm.

y Berapa kesalahan pada z?

3. Dalam suatu pengukuran untuk menentukan luas segitiga ABC,

C diperoleh data sbb:

x = 152 m dengan kesalahan dx = 2 cm

y = 210 m dengan kesalahan dy = 2 cm

θ o = 60 dengan kesalahan d θ = 0,5 .

B Jika luas L = 1 x y sin , tentukan besar kesalahan luas dL

dengan menggunakan perhitungan diferensial total ∂ L

dL = L

dx + ∂ dy + ∂ L d θ

Catatan: besaran sudut harus diubah dalam bentuk radian

Sumber Pustaka

1. Purcell, E.J., dan D. Varberg, 1987, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Alih Bahasa: I.N. Susila, B. Kartasasmita, dan Rawuh, Penerbit Erlangga, Jakarta

2. Soemartojo, N., 1988, Kalkulus, Penerbit Erlangga, Jakarta