Matematika aritmatika dan logika (2)
UNI 612105 BOBOT 3(3-0) SEMESTER I OLEH YOHANNES
NIP. 195204071986031001
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG AGUSTUS 2012
KATA PENGANTAR
Matematika adalah ilmu dasar dalam bidang keteknik-sipilan. Banyak permasalahan teknik sipil yang dapat diatasi dengan pendekatan matematika. Oleh karena itu penguasaan bidang ilmu ini sangat penting bagi seorang mahasiswa teknik sipil.
Diktat ini disusun sesuai dengan kurikulum 2012 bagi mahasiswa S1 Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Lampung untuk memudahkan pemahaman dalam perkuliahan, walaupun tidak menutup kemungkinan dipergunakan juga oleh para alumni atau teknisi yang berkepentingan dengan masalah matematika. Diktat ini berisi penjelasan singkat mengenai konsep matematika disertai tuntunan praktis dalam contoh-contoh perhitungan. Rumus-rumus yang ditampilkan tidak diuraikan penjabarannya secara rinci namun hanya dibahas penggunaannya saja. Oleh karena itu, jika ingin mempelajari Matematika lebih mendalam, dianjurkan mempelajari buku teks lainnya.
Terima kasih penulis sampaikan kepada para rekan dosen dan mahasiswa yang memberi saran dan kritik demi penyempurnaan buku ini. Semoga diktat ini bermanfaat.
Bandarlampung, 16 Agustus 2012 Penulis,
Yohannes
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 1.1
1 Gambar 1.2
Sketsa Bilangan Real ……………………………………………
1 Gambar 1.3
Skala Bilangan ……………………………………………
1 Gambar 1.4
Interval Hingga ……………………………………………
1 Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = – x + |x| ……..….……………………………
Interval tak Hingga ……………………………………………
5 Gambar 2.2
6 Gambar 2.3
Grafik Fungsi f(x) ……………………………………………
6 Gambar 2.4
Grafik Fungsi f(x) ……………………………………………
7 Gambar 2.5
Segitiga ABC ……………………………………………
7 Gambar 2.6
Fungsi y = sin x ……………………………………………
7 Gambar 2.7
Fungsi y = cos x ……………………………………………
8 Gambar 2.8
Fungsi y = tan x ……………………………………………
8 Gambar 2.9
Grafik y = 2sin ½ (x + 1/3 π ) ………………....................….
8 Gambar 3.1
Grafik y = sin2x dan y = cosx .………………....................….
10 Gambar 4.1 Gradien Garis Singgung ............………………………...……
Sketsa Limit Barisan ……………………………………………
17 Gambar 4.2
18
Fungsi Naik, Stasioner dan Fungsi Turun .……………………
18
3 Gambar 4.3 2 Grafik Fungsi y = x +x ……………………………………….
3 Gambar 4.4 Grafik Fungsi y = x 2 –x – 8x + 2 …………................………
19 Gambar 6.1 Paraboloida Eliptik
31 Gambar 6.2 Bola pusat di (0, 0,0) jari-jari r ...........……….…………………...
……………………………………………
31 Gambar 6.3
31 Gambar 6.4
Elipsoida berpusat di (0, 0, 0) …….................…………………
32 Gambar 6.5
Hiperboloida berdaun satu ……….................…………………
32 Gambar 6.6
Silinder Parabolik ……………………………………………
32 Gambar 6.7
Hiperboloida berdaun dua ……………..........…………………
32 Gambar 6.8
Kerucut Eliptik ……………………………………………
32
Bidang Singgung dan Garis Normal ..........…………………
BAB I SISTEM BILANGAN
1.1 Himpunan Bilangan Real
Himpunan bilangan real terdiri atas bilangan rasional dan irrasional. Rincian terlihat pada gambar 1.1 bil. bulat positip : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….
bil. bulat bil. asli : 1, 2, 3, 4, 5, ….
Bilangan bil. bulat negatip : – 1, – 2, – 3, – 4…. bil. prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….
rasional
Bilangan real
bil. pecahan ,
a dan b bulat
b Bilangan irrasional : √ 2= 1,4242...., π = 3,14159....., dll.
Gambar 1.1 Sketsa Bilangan Real
Dikenal juga bilangan imajiner yaitu √ –1. Paduan bilangan real dan bilangan imajiner disebut bilangan kompleks. Ditulis a + b √ –1, dimana a dan b bilangan real. Bila i = √ –1 maka ditulis menjadi a + bi.
Sifat-sifat urutan bilangan:
1. Trikotomi : jika x dan y suatu bilangan, berlaku: x < y atau x = y atau x > y
2. Transitif : jika x < y dan y < z maka x < z
3. Penambahan : jika x < y jika dan hanya jika x + z < y + z
4. Perkalian : jika z positip maka x < y jika dan hanya jika xz < yz jika z negatip maka x < y jika dan hanya jika xz > yz
Skala bilangan merupakan penampilan secara grafis dari himpunan bilangan real oleh simbol titik-titik pada sebuah garis. Garis tersebut dinamakan garis bilangan. Setiap bilangan dinyatakan hanya oleh satu titik, dan demikian pula sebuah titik hanya mewakili sebuah bilangan. Jika a dan b adalah dua bilangan berbeda dan a < b, maka a terletak di sebelah kiri b pada garis bilangan tersebut.
Gambar 1.2 Skala Bilangan
Interval bilangan dapat dibedakan atas interval hingga dan interval tak hingga.
a. Interval hingga: jika a dan b adalah dua bilangan real berbeda dimana a < b, himpunan bilangan x antara a dan b dikatakan memiliki interval hingga. Titik a dan b disebut titik ujung interval.:
o Terbuka
o Tertutup
o Semi Terbuka
b atau a ≤ x < b
a b a b a b a b interval terbuka
interval tertutup
interval semi terbuka
interval semi terbuka
Gambar 1.3 Interval Hingga
b. Interval tak hingga: jika a sebuah bilangan real, maka himpunan bilangan x yang memenuhi x <
a, x ≤
a, x >
a, atau x ≥
a, dikatakan memiliki interval tak hingga.
a a interval tak hingga x < a interval tak hingga x ≥ a Gambar 1.4 Interval Tak Hingga
1.2 Pertidaksamaan
Pernyataan a <
b, dan a ≥ b disebut pertidaksamaan dengan beberapa ketentuan, yaitu: (1)
b, a >
b, a ≤
0 jika dan hanya jika a positip (2)
0 jika dan hanya jika a negatip (3)
0 jika dan hanya jika – a < 0 (4)
0 jika dan hanya jika – a > 0 (5)
jika a <
b dan b <
c, maka a < c
(6) jika a <
b dan c bilangan real, maka a + c < b+c (7)
jika a <
b dan c <
d, maka a + c < b+d
(8) jika a <
b dan c bilangan positip, maka ac < bc (9)
jika a <
b dan c bilangan negatip, maka ac > bc
(10) jika 0 < a < b dan 0 < c <
d, maka ac < bd
Teorema: | x | < a jika dan hanya jika – a < x <
a dimana a > 0
| x | > a jika dan hanya jika x < – a atau x > a
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut
1. –5 ≤ 2x + 6 <
4 Jawab: – 11 ≤ 2x < –2 → – 11/2 ≤ x < – 1 HP : { x : – 11/2 ≤ x < –1}
2. 2 x –x <
0 Titik pemecah x = – 2 dan x = 3 +
6 Jawab: faktorisasi (x – 3)(x + 2) <
berdasarkan skema garis bilangan itu diperoleh
≤ x HP : { x : – 2 <
3. 3x 2 –x–2 >
0 , titik pemecah x = - 2/3 dan x = 1 +
0 Jawab: faktorisasi (3x + 2)(x – 1) >
berdasarkan skema garis bilangan itu diperoleh
HP : { x : x – 2/3 atau x 1}
4. − 1 ≥ 0 Jawab: x + 2
Jangan mengalikan kedua ruas dengan x+2, sebab angka pengali itu bisa positip atau negatip, Ttitik pemecahnya yaitu x = – 2 dan x = 1.
untuk x = 1, nilainya 0 dan x = – 2, nilainya ∞ HP : { x : x
– 2 atau x
2 x 5. 5 − ≤
1 Jawab: x − 2 Jangan mengalikan kedua ruas dengan x – 2, tapi pindahkan angka 1 ke ruas kiri
pertidaksamaan di atas dapat difaktorisasi menjadi x(x – 1)(x – 4) ≤
0, sehingga terdapat 3 titik pemecah yaitu x = 0, x = 1, dan x = 4. Buat garis bilangan.
HP : { x : x ≤
0 atau 1 ≤ x ≤ 4}
7. (x + 1)(x – 1) 2 (x – 3) ≤
0 Jawab: Ada 3 titik pemecah, yaitu x = – 1, x = 1, dan x = 3 + 0 –
HP : { x : – 1 ≤ x ≤ 3}
8. Sebuah halaman berbentuk persegi panjang memerlukan pagar sepanjang 200 meter. Panjang salah satu sisinya adalah x meter. Nyatakan luas L sebagai fungsi dari x. Tentukan pula daerah dari x. Jawab:
pagar Panjang pagar = 200 m. Jika lebar = x m, panjang = 100 – x m.
Luas y = panjang x lebar = x (100 – x).
halaman
0 dan 100 – x > 0 atau x < 100 100 – x
Fungsi L = x(100 – x) syarat x >
Daerah x adalah 0 < x < 100 meter.
9. Sebuah kertas berukuran 10 x 14 cm akan dibuat kotak terbuka bagian atasnya. lalu kertas tersebut digunting ujung-ujungnya berbentuk bujur sangkar bersisi x. Nyatakan volume kotak itu sebagai fungsi x dan tentukan daerah x. Jawab:
14 cm Berdasarkan sketsa di samping diperoleh:
V = panjang x lebar x tinggi
V = (14 – 2x)(10 – 2x) x = 4(7 – x)(5 – x) x
14 – 2x
syarat volume >
0 atau V >
4(7 – x)(5 – x) x >
0 Titik pemecah x = 0, x = 5, dan x = 7.
7 tidak mungkin sebab panjang = 14 – 2x akan menjadi negatip. Jadi daerah x adalah 0 < x < 5
HP { x : 0 < x <
5 atau x >
7 } Namun x >
1.3 Harga Mutlak
Harga mutlak | x | dari bilangan real x didefinisikan sebagai : | x | = x jika x ≥
0 dan
| x | = – x jika x < 0
Contoh :
1. Tentukan harga x yang memenuhi | 3x + 2 | =5 Jawab: untuk 3x + 2 = 5, diperoleh x = 1
untuk – (3x + 2) = 5, atau – 3x – 2 = 5, diperoleh x = – 7/3 Jadi HP: { x: x = 1 atau x = – 7/3 }
2. Tentukan harga x yang memenuhi | 2x – 1 | = | 4x + 3 | Jawab: untuk 2x – 1 = 4x + 3, diperoleh x = – 2
untuk – (2x – 1) = 4x + 3, diperoleh x = – 1/3 Jadi HP: { x: x = – 2 atau x = – 1/3 }
3. Tentukan harga x yang memenuhi | 5x + 4 | =– 3 Jawab: Tidak ada harga x yang memenuhi sebab harga mutlak tidak mungkin negatip
4. Tentukan harga x yang memenuhi | x–5 | <4
Jawab: | x–5 | < 4 sama dengan – 4 < x–5 < 4 → 1 < x < 9.
Jadi HP: { x: 1 < x < 9}
5. Hitung: 13 + | –1–4 | –3– | –8 | jawab: 13 + | –1–4 | –3– | –8 | = 13 + 5 – 3 – 8 = 7
6. Selesaikan | 3x – 5 | ≥ 1
Jawab: untuk 3x – 5 ≤ – 1 diperoleh x ≤ 4/3 dan untuk 3x – 5 ≥
1 diperoleh x ≥ 2
TUGAS MANDIRI BAB I
Tugas Subbab 1.1
Tugas Subbab 1.2
1. Tentukan nilai yang memenuhi
2. Suatu persegi panjang, panjangnya lebih 3 cm daripada lebarnya. Jika lebarnya x cm dan luasnya minimum 15 cm 2 , tentukan sistem pertidaksamaannya.
3. 2 Jika y = 2x + 1 dan x – 8x + 15 <
0, tentukan nilai y yang memenuhi.
7. Selesaikan ( x − 1 )( 2 x + 4 ) < 1 13. Selesaikan (x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2)
3 8. x Selesaikan − x 3 ≥ 1
0 14. Selesaikan x −
9. Selesaikan
< 0 15. Selesaikan
Tugas Subbab 1.3
1. Jika | 2x – 3 | < 1 dan 2x <
3, tentukan x
2. Jika | 2 x–2 | <4 | x–2 | + 12, tentukan x
3. Jika 2 | –x + 2x – 2 | < 2, tentukan x
4. Jika | 2x + 1 | < | 2x – 3 | , tentukan x
5. Jika x ≥ 1 dan x | x–1 | + | x | | x–1 | ≤ 2x, tentukan x
6. Jika 3 > 1 dimana x ≠ 1/2 , tentukan x. 2 x − 1
7. Jika 0 < | x–3 | ≤ 3, tentukan x
8. Tentukan himpunan penyelesaian untuk ketidak samaan berikut
a. x
− 1 2 ≤ 6 b. − 3 > 6
5 3 c. x 2 +
> 1 d. + 1 ≤ 4
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK
2.1 Pengertian Fungsi
Definisi : Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut. x disebut variabel bebas dan y = f(x) disebut variabel tak bebas.
Contoh :
1. Diketahui f(x) = x – 2x, tentukan
Jawab:
f(4) = 4 2 – 2.4 = 16 – 8 = 8
f(4+h) = (4+h) 2 – 2(4+h) = 16 + 8h + h 2 – 8 – 2h = 8 + 6h + h 2
=6+h
1 g ( 2. Diketahui g(x) = a , tentukan + h ) − g ( a )
Jawab: + −
h h = ( a + h ) a h = − a 2 + ah
3. Jika f(x) = x 2 – x maka tentukan f(x – 1)
2 2 Jawab f(x – 1) = (x – 1) 2 – (x – 1) = x – 2x + 1 – x + 1 = x – 3x + 2 Bila daerah asal tidak dirinci, berarti daerah asal itu adalah himpunan bilangan real terbesar, dimana
aturan fungsi itu bermakna dan memberi nilai bilangan real. Daerah asal itu disebut daerah asal alamiah. Contoh:
1. Tentukan daerah asal alamiah untuk (a) f(x) = 1
(b) g(t) =
Jawab: (a)
daerah asal alamiah fungsi tersebut adalah x = seluruh bilangan real untuk x ≠ 3. (b)
agar tidak menjadi bilangan imajiner, syaratnya 9 – t 2 ≥ 0.
(3 + t)(3-t) ≥
0. Titik pemecah t = – 3 dan t = 3, diperoleh – 3 ≤ t ≤ 3.
Jadi daerah asal adalah HP: {t: – 3 ≤ t ≤ 3}
2. Diketahui : Daerah asal x = { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2} dan fungsi y = – x + | x | Tentukan : daerah hasil fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya
Jawab: y=–x+|x|
sumbu y
–3 6 6 Fungsi y = – x + x
sumbu x
2 0 Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = – x + x
2.2 Menggambar Grafik
Beberapa fungsi khusus yang sering dijumpai adalah:
a. Fungsi identitas : f(x) = x
b. Fungsi konstan : f(x) = a dimana a = konstanta
c. Fungsi modulus (nilai mutlak) : f(x) = x jika x ≥ 0
–x jika x < 0
d. Fungsi tangga :
0 jika 0 ≤ x < 1
f(x) =
1 jika 1 ≤ x < 2
2 jika 2 ≤ x < 3
e. Fungsi linier : f(x) = ax + b, dimana a dan b konstanta
f. Fungsi kuadrat : f(x) = ax 2 + bx + c, dimana a, b, dan c konstanta
Contoh :
1. Gambarkan grafik dari fungsi x + 1 jika x > 3 f(x) =
2 jika – 2
2x + 3 jika x < –2
4 5 Gambar 2.2 Grafik Fungsi f(x)
2. Gambarkan grafik fungsi –x
untuk – 3 ≤ x ≤ –1 y=
x 2 – 2 untuk – 1 < x ≤ 2 4 Y
x+1 untuk 2 < x ≤ 3
3 4 Gambar 2.3 Grafik Fungsi f(x)
2. Suatu fungsi linier f: x 2 → x + c , memetakan 6 ke 5. Tentukan x sehingga f(x) = 0
Jawab: Fungsi linier tersebut dapat ditulis menjadi y = 2
Memetakan 6 ke 5, artinya untuk x = 6 didapat y = 5. Dengan memasukkan nilai x dan y ke fungsi tersebut diperoleh 5 = 2/3. 6 + c atau c = 1.
2 2 Jadi persamaan tersebut adalah y = 3
x + 1 . Jika f(x) = 0, maka
x + 1 = 0, didapatkan x = –
2.3 Fungsi Trigonometri
Untuk mempelajari fungsi trigonometri, perlu diulang kembali rumus-rumus trigonometri : sin 2 x + cos 2 x=1
1 + tan 2 x = sec 2 x
1 + cot 2 x = csc 2 x
Rumus penjumlahan
Rumus pengurangan
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y
cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y tan x + tan y
tan x − tan y tan(x + y) =
1 + tan x tan y Rumus sudut ganda
1 − tan x tan y
tan(x – y) =
Rumus perkalian
1 sin x cos y = 1 {sin(x+y) + sin(x – y)} sin x sin y = {cos(x+y) – cos(x – y)}
1 cos x sin y = 1 {sin(x+y) – sin(x – y)} cos x cos y = {cos(x+y) + cos(x – y)}
Rumus faktor x y
γ Rumus Sinus
Rumus Cosinus
2 2 Gambar 2.4 Segitiga ABC 2 c = a + b – 2 ab cos γ Persamaan
a. Jika sin x = sin a, maka .
b. Jika cos x = cos a, maka x = a + k.360 o x = a + k.360 o
0 0 o x = (180 – a) + k.360 x = – a + k.360
c. Jika tan x = tan a, maka x = a + k.180 o d. Jika cot x = cot a, maka x = a + k.180
a. Fungsi Sinus :
Bentuk sederhana : y = sin x dimana: x dalam satuan sudut atau radian X
oo
y dalam satuan jarak
270 360 Gambar 2.5 Fungsi y = sin x
b. Fungsi Cosinus
Bentuk sederhana : y = cos x
X dimana: x dalam satuan sudut atau radian
270 o 360 o y dalam satuan jarak
90 o
180 o
Gambar 2.6 Fungsi y = cos x Gambar 2.6 Fungsi y = cos x
Bentuk sederhana : y = tan x 180 0 360 0 X dimana: x dalam satuan sudut atau radian
0 0 90 0 0 y dalam satuan jarak 270
Gambar 2.7 Fungsi y = tan x Contoh :
1. Gambarkan sketsa grafik y = 2 sin 1 ( x + 1 )
untuk interval 0 o ≤ ≤ 360 .
Jawab: 1/3 π = 60 o
xy
0 o 1 210 o 1,414
90 o 1,932 300 o
180 o 1,732
Gambar 2.8 Grafik y = 2 sin 1 ( x + 1 π )
2. Tentukan titik potong persamaan y = sin 2x dan y = cos x dalam interval 0 o x 360 ≤ o ≤ . Gambarkan sketsa kedua grafik dan titik potongnya.
Jawab Bila kedua persamaan di atas dipotongkan diperoleh sin 2x = cos x atau sin 2 x = sin (90 o – x) berdasarkan persamaan di atas diperoleh
a. 2x = 90 o – x + k.360 didapat 3x = 90 + k.360 atau x = 30 + k.120 untuk k = 0 maka x = 30 o dan y = 0,866, untuk k = 1 maka x = 150 o dan y = – 0,866
untuk k = 2 maka x = 270 o dan y = 0
b. 2x = 180 o – (90 o – x) + k.360 o didapat 2x = 90 o + x + k.360 o atau x = 90 o + k.360 o untuk k = 0 maka x = 90 o dan y = 0
Jadi himpunan titik potong adalah { (30 o , 0,866), (90 o , 0), (150 o , – 0,866), (270 o , 0) } Penggambaran grafiknya sbb y = sin 2x
360 o 0 120 o – 0,866
Gambar 2.9 Grafik y = sin 2x dan y = cos x
TUGAS MANDIRI BAB II
Tugas Subbab 2.1
1. Diketahui f ( x ) = − , hitung f(0), f(2a), dan f( )
2. Jika f(x) = − , hitunglah f(0) + 6f(2)
x + 6 Tentukan daerah asal dari:
3. Jika f(x) =
, tentukan f(2) + 6 f(–3)
Tugas Subbab 2.2
1. Gambarkan sketsa grafik
2. Gambarkan sketsa grafik
3. Gambarkan sketsa grafik
f(x) =
2x – x jika
4. Gambarkan sketsa grafik x
jika
x ≤ –2
f(x) = 3 x –1
Tugas Subbab 2.3
A. Gambarkan sketsa grafik untuk 0 0 < x < 360
4. y = 1 – cos 2x 0 5. x = sin 2y – 3 untuk 0 < y < 180
B. Tentukan himpunan x untuk persamaan berikut
1. sin x = 0,5 untuk – 180 0 x 180 0 4. sin x = cos 2x untuk 0 o x 360 < 0 < < <
2. cos x = 0 2 untuk 0 < x < 720 5. tan 2x = 1 3 untuk 0 < x < 180
C. Tentukan titik potong antara antara fungsi-fungsi berikut
1. y = sin 2x dengan y = cos x untuk – 180 0 < x < 180 0
2. y = sin
1 x dengan y = cos 0 1 x untuk 0 < x < 720
3. y = sin x + 1 dan y = – sin x – 1 untuk 0 o 360 < 0 x <
4. y = sin 3x dan y = 0 3 untuk 0 < x < 360
BAB III LIMIT
3.1 Limit Fungsi Aljabar
Limit Barisan. Jika terdapat suatu barisan 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, …….., 2 – 1 /n, lalu diplotkan pada garis bilangan, maka untuk n sangat besar mendekati tak hingga, nilainya akan mendekati 2. Dikatakan bahwa limit barisan adalah 2 atau ditulis:
lim u n = lim ( 2 − 1 / n ) = 2
Gambar 3.1 Sketsa Limit Barisan
Limit Fungsi. Jika diketahui fungsi f(x) = x 2 , maka untuk x mendekati 2, fungsi akan bernilai 4. Bila fungsi itu disajikan dalam tabel akan terlihat sebagai berikut
Perhatikan, saat x semakin mendekati dua, maka y semakin mendekati 4. Secara matematis dituliskan sebagai
: lim f ( x ) = lim x 2 =4 x → 2 x → 2
Perhatian! Pernyataan x a berarti x ≠ a
Limit Kiri dan Limit Kanan
Jika x mendekati a dari kiri, ditulis x – → a disebut limit kiri
Jika x mendekati a dari kanan, ditulis x + → a disebut limit kanan
misalnya x – → 2 maka nilai a = 1,9 1,99 1,999 1,9999 dan seterusnya
+ x → 2 maka nilai a = 2,1 2,01 2,001 2,0001 dan seterusnya mendekati 2 dari kiri
mendekati 2 dari kanan
Gambar 3.2 Limit kiri dan limit kanan Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit jika limit kiri dan limit kanan ada dan bernilai sama.
lim f ( x ) ada, berarti fungsi mempunyai limit kiri x → a − lim f ( x ) ada, berarti fungsi mempunyai limit kanan x → a + Jadi, lim f ( x ) ada, berarti fungsi mempunyai limit kiri dan kanan dan bernilai limit sama
Contoh :
1. Tentukan limit untuk barisan berikut:
3, 5/2, 7/3, 9/4, 11/5, …….., 2+1/n, ……… Jawab : lim u n = lim ( 2 + 1 ) = 2
x 3 − 27 ( x − 3 )( x 2 + 3 x + 9 )
lim =
2. lim
= lim
x → 3 x 2 − 9 x → 3 ( x − 3 )( x + 3 )
3. Selidiki lim
Untuk x → 0 , maka lim
Untuk x 1 → 0 + 1 , maka
lim
Karena limit kiri ≠ limit kanan, maka lim = tidak ada
3.2 Limit Fungsi Trigonometri
Dalam limit fungsi trigonometri dinyatakan persamaan sebagai berikut: lim
Contoh: Hitunglah lim 1 − cos 2 x
1 (m + n)(m – n)
3.3 Kontinuitas
Fungsi f(x) disebut kontinu di x = x 0 , jika
a. f(x 0 ) terdefinisi
b. lim f(x) ada x → x o
syarat fungsi kontinu
c. lim f(x) = f(x 0 )
x → x o Contoh :
Selidiki apakah fungsi berikut kontinu. Jika tidak, di titik mana fungsi tersebut diskontinu. 3 x untuk x 1
1. Fungsi f ( x )
= 3 − x untuk x > 1
Jawab: Melihat fungsi di atas, titik yang perlu diselidiki adalah di x = 1
a. Fungsi f(x 0 ) = f(1) = 3 + 1 = 4 → fungsi tersebut ada untuk x = 1
b. lim f(x) =
lim
3 + x = 4 (limit kiri)
lim
f(x) =
lim
3 – x = 2 (limit kanan)
x → x 0 x → 1 + Karena limit kiri ≠ limit kanan, berarti tidak ada limit (syarat kedua tidak terpenuhi)
Kesimpulan : fungsi tersebut diskontinu di x = 1 x 2 4
2. Fungsi f ( x ) = −
x − 2 Titik yang perlu diselidiki adalah x = 2 dan x = – 2
Jawab:
Untuk x = 2
a. Fungsi f(x 0 ) = f(2) =
= tak terdefinisi
syarat pertama tak terpenuhi. Jadi, fungsi diskontinu di x = 2 Untuk x = – 2
a. Fungsi f(x 4 ) = f(–2) = − 4 0
= 0 → fungsi tersebut ada untuk x = – 2
+ )( − 2 ) = lim (x + 2) = 0
b. lim f(x) =
lim
= lim
c. lim f(x) = f(x 0 ) = 0
x → x 0 Karena memenuhi ketiga syarat, maka fungsi kontinu di x = – 2
3. Fungsi f(x) =
untuk x ≠ 1
6 untuk x = 1
Jawab: Titik yang perlu diselidiki adalah x = 1
a. Fungsi f(x 0 ) = f(1) = 6
x 2 + 4 x − 5 ( x + 5 )( x 1 )
b. lim f(x) = lim
= lim
c. lim f(x) = f(x 0 ) = 6
x → x 0 Kesimpulan, karena memenuhi ketiga syarat, fungsi kontinu di x = 1
TUGAS MANDIRI BAB III
Tugas Subbab 3.1
Tugas Subbab 3.2
Hitunglah: tan x sin x
Tugas Subbab 3.3
Selidiki kontinuitas fungsi-fungsi berikut dan gambarkan sketsa grafiknya x 3 − 8 2 x + 3 untuk x ≤ 1
1. f ( x ) = untuk x
2 ≠ 2 2. f(x) = 8 − 3 x untuk 1 < x < 2 x − 4
3 untuk x = 2
x + 3 untuk x ≥ 2
2 9 x − 4 x 2 − 4 x + 3. f(x) = 3 4. f ( x ) = untuk x ≠ 3
2 untuk x = 3
x 4 − 16 x 2 x − 2
5. f(x) =
6. f(x) =
7. f(x) = −
8. f(x) =
BAB IV TURUNAN / DIFERENSIAL
4.1 Definisi Turunan
Turunan fungsi y = f(x) terhadap x di titik x = x 0 didefinisikan sebagai:
lim = lim ∆ = lim
0 0 jika limitnya ada dan ditulis sebagai f’(x). ∆ x → 0 ∆ x
Contoh :
1. Tentukan dy untuk fungsi y = x 3 –x 2 – 4 di titik x = 0 dan x = – 1
dx Jawab:
2 Untuk x = 0, dy = 3 (0) – 2(0) = 0 dan x = 1, = 3 (–1) 2 – 2(–1) = 5
dx x = 0 dx x = − 1
2. Carilah turunan dari fungsi y = 1
di titik x = 1 dan x = 3
1 1 Jawab: y + 1 ∆ y= → ∆ y= –
3. Lintasan dengan persamaan s = t 2 + 3t. Hitunglah kecepatan sesaat waktu t = 2 Jawab :
Kecepatan sesaat = ds = 2t + 3. Untuk t = 2, maka = 2.2 + 3 = 7
Jadi kecepatan sesaat = 7 satuan kecepatan
4. Lintasan dengan persamaan s = (3t 2 + 5) m dengan waktu t berubah dari 2 sampai 3 detik. Hitunglah kecepatan rata-rata.
{ 3 ( t + ∆ t ) 2 + 5 } − ( 3 t 2 5 ) Jawab : Kecepatan rata-rata =
= 6t + 3 ∆ t
∆ untuk t = 2 dan t s
1 = 3 maka ∆ t = 3 – 2 = 1. Kecepatan rata-rata = ∆ = 6.2 +3.1 = 15 m/s t
4.2 Turunan Fungsi Aljabar
a. Turunan Fungsi y = ax n Jika diketahui suatu fungsi f(x) = ax n , maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah:
a ( x h ) n ax n
f’(x) = lim
= lim
ah untuk n = 1, yaitu f(x) = ax, maka f’(x) = lim
2 lim a ( x + h ) 2 − ax 2 lim ax 2 2 axh untuk n = 2, yaitu f(x) = ax
+ ah 2 − ax , maka f’(x) = 2
dan seterusnya f(x) = ax,
turunannya
f’(x) = a
f(x) = ax 2 , turunannya
f’(x) = 2ax
3 f(x) = ax 2 , turunannya f’(x) = 3ax
Jadi: f(x) = ax n-1 , turunannya f’(x) = nax
Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut
4 − 1 1. f(x) = 4 2 x Jawab : f(x) = 2 x 3 . f’(x) = 2. x = x 3 =
3 3 3 3x
2. f(x) =
Jawab : f(x) = ( x − 1 ) x
Jadi f’(x) = − 1 x 2
b. Turunan Fungsi dari Fungsi
Jika y = f(u) dan u = g(x), maka y = f{g(x)} adalah fungsi dari x. Jika y fungsi yang dapat diturunkan terhadap u dan u dapat diturunkan terhadap x, maka y = f{g(x)} adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x.
Demikian pula, jika y = f(t) sedangkan x = g(t), maka turunan y terhadap x
Contoh : dy
u 1. Hitunglah 1 untuk fungsi y = −
, dimana u =
dx
dy
( Jawab : u = + 1 ) − ( u − 1 )
2 2 = du = dan =
du
dx
2 1 Jadi 1 = . = . =
dy dy du
dx du dx
2. Hitunglah untuk fungsi y =
c. Turunan Fungsi Lebih Tinggi
Jika y = f(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, turunannya disebut turunan pertama. Jika turunan pertama dapat diturunkan lagi maka turunannya disebut turunan kedua.
d 2 y Ditulis
, y”, atau f”(x) dx 2
Demikian seterusnya turunan dari turunan kedua disebut turunan ketiga dinyatakan dengan
d 3 y , y”’, atau f’”(x), ..................... dan seterusnya dx 3
Contoh:
Jika y = 4x –x + 6x – 7x + 8 Tentukan
dx 3
dy
Jawab : = 16x – 3x + 12x – 7,
d. Turunan Fungsi Implisit
Persamaan f(x,y) = 0 pada suatu daerah tertentu menentukan y sebagai fungsi implisit dari x. Turunan y’ dapat diperoleh dengan salah satu cara berikut:
a. Jika mungkin, ubahlah fungsi implisit tersebut menjadi fungsi eksplisit y = g(x). Kemudian turunkan dengan cara biasa.
b. Pikirkan y sebagai fungsi x. Turunkan persamaan implisit tersebut terhadap x dan persamaan yang diperoleh diselesaikan untuk y’. Proses penurunan ini disebut penurunan implisit.
Contoh: Hitung dy dari persamaan implisit xy + x – 2y – 1 = 0 dx dy
− ( y + 1 Jawab : x ) +y+1–2 = 0, → (x – 2) = – (y + 1) → = dx
4.3 Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri y = sin x dapat diperoleh sebagai berikut:
f’(x) = − f x )
f’(x) = lim
2 2 = lim cos
= cos x
Dengan cara yang sama, dapat pula dihitung turunan f’(x) untuk y = cos x, y = tan x, dan seterusnya.
Berikut adalah hasil turunan dari fungsi trigonometri:
1. Fungsi y = sin u dy = cos u 4. Fungsi y = cot u = – csc 2 → du → u
2. Fungsi y = cos u du → = – sin u 5. Fungsi y = sec u → = tan u sec u
3. Fungsi y = tan u du → = sec 2 u 6. Fungsi y = csc u → = – cot u csc u
dx Contoh : Hitunglah dy untuk fungsi-fungsi berikut
1. y = x dy 2 sin x Jawab : = 2x sin x + x 2 cos x dx
2 2 2. y = tan dy (3x – 2) Jawab : = 2 tan(3x 2 – 2) sec 2 (3x 2 – 2) (6x) = 12x tan(3x 2 – 2) sec 2 (3x 2 – 2)
dx
sin 3. sin y + cos x = 1 x Jawab : cos y – sin x = 0
− 2 sin 2 4. sin y = cos 2x x Jawab : cos y = – 2sin 2x
5. x cos y = sin(x+y) Jawab : cos y – x sin y dy = cos(x+y) + cos(x+y)
{– x sin y – cos(x+y)}
dy
dy
= – cos y + cos(x+y) → =
cos y − cos( x + y )
dx
dx
x sin y + cos( x + y )
4.4 Gradien Garis Singgung
y = f(x)
f(x+h)
Q(x+h, f(x+h))
Titik P(x, f(x)) adalah sebarang titik yang terletak pada kurva y = f(x). Garis singgung kurva pada titik P adalah
garis lurus melalui P dengan gradien m, dimana: f(x)
P(x, f(x))
garis singgung
f ( x h ) f ( x m = f’(x) = ) =
dy
lim
, jika limit itu ada.
dx
0 x x+h Gambar 4.1 Gradien Garis Singgung
Contoh soal:
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 3 x 2 − 5 x di titik (1, – 2).
dy
Jawab: Gradien garis singgung kurva m = = 6x – 5. Pada titik (1, – 2), maka m = 6.1 – 5 = 1
dx
Persamaan garis garis singgung dengan m = 1 dan melalui (1, – 2) adalah: y–y 1 = m (x – x 1 ) → y – (– 2) = 1 (x – 1) → y = x – 3 adalah pers. garis singgung tsb.
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2 x 2 − x + 3 sejajar garis y = 3x – 2 Jawab:
Gradien garis singgung kurva m dy
= 4x – 1 sejajar berarti m
1 =m 2
dx
Gradien garis y = x – 3 adalah m 2 = 3 4x – 1 = 3, atau x = 1
Untuk x = 1, maka pada kurva y = 2 x 2 − x + 3 didapat y = 4. Jadi titik singgungnya (1,4) PGS yang diminta adalah: y – 4 = 3 (x – 1) → y = 3x + 1
3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x melalui titik (– 4, 0) Jawab: Kurva y = dy , gradien garis singgung m =
dx
Pers. garis menyinggung kurva di (x, 1 x ), melalui (– 4, 0) dengan m =
2 –y 1 = m (x 2 –x 1 )
(– 4 – x) kedua ruas dikalikan x , didapat
– 2x = – 4 – x sehingga – x = – 4 atau x = 4
1 Untuk titik singgung x = 4 didapat y = 1
4 = 2, dan m =
1 Jadi, pers. garis singgungnya: y – 2 = 1 (x – 4) atau y = x+1
4.5 Fungsi Naik, Stasioner, dan Fungsi Turun
f’(x 0 )=0
titik
f’(x 0 )=0
stasioner minimum
stationer
Ada 3 keadaan kurva berkaitan sifat turunannya, yaitu:
0, fungsi y = f(x) naik di titik x = x 0 naik
f’(x 0 ) > 0 1. Jika f’(x 0 ) >
2. Jika f’(x 0 ) <
turun
0, fungsi y = f(x) turun di titik x = x 0 f’(x 0 ) < 0 3. Jika f’(x 0 ) = 0, fungsi y = f(x) stationer di titik x = x 0
y = f(x) titik stasioner
titik
maksimum f’(x 0 )=0
belok
Gambar 4.2 Fungsi Naik, Stasioner, dan Fungsi Turun Terdapat juga tiga keadaan titik stasioner berkaitan dengan turunan kedua fungsi, yaitu:
a. Jika f’(x 0 ) = 0 dan f”(x 0 ) >
0, maka titik stasioner (x 0 ,y 0 ) adalah titik minimum
b. Jika f’(x 0 ) = 0 dan f”(x 0 ) <
0, maka titik stasioner (x 0 ,y 0 ) adalah titik maksimum
c. Jika f’(x 0 ) = 0 dan f”(x 0 ) = 0, maka titik stasioner (x 0 ,y 0 ) adalah titik belok
Contoh soal :
1. Tentukan titik-titik ekstrim pada persamaan y = x 3 +x 2 . Gambarkan sketsanya Jawab:
Turunan fungsi f’(x) = 3x 2 + 2x = x (3x + 2)
Titik ekstrim terjadi jika f’(x) = 0, sehingga x (3x + 2) = 0. Didapat x = 0 atau x = – 2/3. Untuk x = 0, maka y = 0, untuk x = – 2/3, maka y = 4/27 Jadi titik ekstrim terdapat pada titik (0, 0) dan titik (– 2/3, 4/27)
Untuk menyelidiki jenis titik ekstrim tersebut dihitung f”(x) = 6x + 2 Untuk titik (0, 0) diperoleh f”(x) = 2 >
0, titik tersebut adalah titik minimum
Untuk titik (– 2/3, 4/27) diperoleh f”(x) = – 2 <
0, titik tersebut adalah titik maksimum Sketsa grafik untuk kurva tersebut sebagai berikut
titik maksimum
titik minimum (0, 0)
3 Gambar 4.3 Grafik y = x 2 +x
3 2. Diketahui persamaan y = x 2 –x – 8x + 2. Tentukan interval fungsi y naik dan turun. Gambarkan sketsa grafiknya
Jawab:
3 2 dy
y=x dy –x – 8x + 2, fungsi naik jika > 0 dan fungsi turun jika < 0
= 3x – 2x – 8 = (3x + 4) (x – 2). Titik pemecah x = − dan x = 2 dx
Fungsi naik saat dy >
0 dan fungsi turun saat f’(x ) < 0
dx Dari sketsa di samping diperoleh kesimpulan bahwa
+ Fungsi naik untuk x 4 < − atau x > 2 4 2
3 − 3 Fungsi turun untuk 4 − < x < 2
Untuk menyelidiki sifat titik x = −
dan x = 2, maka dihitung
= 6x – 2
3 dx 2
Untuk x = − diperoleh
0, maka titik tersebut adalah titik maksimum
3 dx 2 d 2 y
Untuk x = 2 diperoleh
0, maka titik tersebut adalah titik minimum
dx 2
4 Untuk x = 230 − , didapat y = dan untuk x = 2, didapat y = – 10.
4 Jadi ( 230 − , ) adalah titik maksimum, sedangkan (2, – 10) adalah titik minimum
3 27 Sketsa grafik untuk kurva tersebut sebagai berikut
(-4/3, 230/27)
2 titik maksimum y=x 3 –x – 8x + 2
(2, – 10) titik minimum
3 Gambar 4.4 Grafik y = x 2 –x – 8x + 2
3. Bagilah bilangan 150 menjadi 2 bagian sehingga perkalian bagian pertama dengan kuadrat bagian kedua menjadi bernilai maksimum. Tentukan nilai kedua bilangan itu.
Jawab : Misalnya bilangan bagian kedua = x, maka bagian pertama = 150 – x
Jadi fungsinya menjadi f(x) = (150 – x) x 2 . Fungsi ini harus bernilai maksimum. Harga ekstrim terjadi jika f’(x) = 0, sehingga 300 x – 3 x 2 =0 Persamaan menjadi 3x (100 – x) = 0 didapat x = 0 dan x = 100. (x = 0 tidak memenuhi)
f”(x) = 300 – 6x, untuk x = 100, maka f”(x) = – 300 <
0, jadi x = 100 bernilai maksimum. Jadi bilangan bagian pertama = 150 – 100 = 50 dan bagian kedua = 100.
TUGAS MANDIRI BAB IV
Tugas Subbab 4.1
1. Hitung ∆ y
jika diberikan y = x 2 + 4x dan x berubah dari 0,7 menjadi 0,85. ∆ x
2. Tentukan kecepatan rata-rata jika t berubah dari 2 sampai 5 detik dan s = (2t 2 + 5t – 3) m.
3. Tentukan turunan dari y =
4. Tentukan kemiringan dari kurva y = 4 di titik x = 1
5. Tentukan kemiringan garis singgung parabola y = – x 2 + 5x – 6 di titik parabola memotong sumbu x.
Tugas Subbab 4.2
1. Tentukan dy dari fungsi berikut dx
2. Tentukan turunan dy dari dx
, a konstan
h. y =
l.
3. Tentukan turunan dy dari fungsi implisit berikut dx
a. x 2 y − xy 3 + 3 x 2 + 2 y 2 = 0 c. y = xy + xy e. xy 3 − x 2 y + x 2 − 5 x + 6 = 0 x 3 − y
b. = 2 d. x 4 3 y 4 x 3 + 3 − y = 5 x + 1
4. Diketahui f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 24 x + 5 . Jika f’(x) <
0, tentukan nilai x
5. Tentukan turunan pertama dan kedua dari persamaan berikut:
a. x 3 y xy 3 + = 2 untuk x = 1
b. x + xy + y = 2
Tugas Subbab 4.3
x sin 1. y = x 1 tan x sin 2x 4. y = x (3 x + 4 cos x) 7. y = 10. y =
sin x + cos x
sin x + cos x
2. y = cos 4 x
sin x
1 − sin 4 x
5. y =
x + sin x
8. y =
sin x + cos x
sin x cos 3. y = x tan x 6. y = +
x sin x
1 + cos x
9. y =
sin x + cos x
Tugas Subbab 4.4
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva :
1. y = 2x 2 + 3 sejajar garis 8x – y + 3 = 0
2. y = 9 – x 2 melalui titik di luar kurva (0, 11)
3. y = melalui titik di luar kurva (1, – 2)
4. y = 3 x melalui titik singgung (8,2)
5. y = x (x – 1) (x – 2) di titik potong kurva dengan sumbu X.
6. y = (4x – 3) 2 – 1 tegak lurus garis x + 2y – 11 = 0
3 7. Tentukan kedudukan titik-titik pada kurva y = 2 x 2 + 13 x + 5x + 9 dimana garis singgung di titik-titik tersebut melalui (0, 0)
8. Jika garis singgung pada kurva y = ( a + b ) x di titik (4, 8) x
mempunyai gradien 2, tentukan harga a dan b
Tugas Subbab 4.5
1. Selidiki apakah persamaan y = 1 mempunyai nilai maksimum atau minimum.
Tentukan pula interval fungsi y naik atau turun. Gambarkan sketsa grafiknya.
2. Selidiki fungsi y = 3 x 4 10 x 3 − 2 − 12 x + 60 x − 7 untuk titik belok, interval fungsi naik atau turun, serta titik maksimum dan minimum. Gambarkan sketsa grafiknya
3. Sebatang kawat 60 meter dipotong menjadi 2. Satu potong dibentuk menjadi lingkaran dan potongan kedua menjadi bujur sangkar. Agar luas kedua bentuk itu maksimum, tentukan panjang masing- masing potongan kawat tersebut.
4. Selembar karton berukuran 100 x 140 cm akan dibuat menjadi sebuah kotak tanpa tutup. Setiap sudut karton dipotong berbentuk bujur sangkar. Jika ingin diperoleh volume kotak maksimum, tentukan tinggi kotak tersebut.
4 + 35 x + 25 ), harga jual total Rp (50 – 2 1 x). Berapa buah televisi harus diproduksi per hari agar keuntungannya maksimum?
5. Ongkos produksi x buah TV per hari Rp ( 1 x 2
6. Diberikan y = 1 x 3 1 x 2 6 3 x + 2 − + 8 . Tentukan titik-titik kritis, interval y naik dan turun, dan nilai maksimum dan minimum. Gambarkan sketsa grafiknya.
7. Tunjukkan bahwa y = x 3 – 8 tidak memiliki titik maksimum maupun minimum.
8. Tunjukkan bahwa y = x 5 + 20 x – 6 adalah fungsi naik untuk semua nilai x.
9. Tunjukkan bahwa y = 1 – x 3 –x 7 adalah fungsi turun untuk semua nilai x.
10. Jika dalam sebuah lingkaran berjari-jari r akan digambarkan sebuah trapesium yang alasnya 2r dengan luas maksimum, buktikan luas trapesium itu = 3 r 2 3 .
11. Tentukan titik maksimum dan minimum dari 2x 2 – 4xy + 3y 2 – 8x + 8y – 1 = 0.
12. Tentukan nilai absolut maksimum dan minimum dari y = (x – 3) 2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 4.
13. Tentukan persamaan garis melalui titik (3, 4) yang memotong kuadran pertama dalam bentuk segitiga dengan luas minimum
BAB V TURUNAN FUNGSI TRANSENDEN
5.1 Pendahuluan
Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transenden. Fungsi transenden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik
5.2 Fungsi Logaritma Natural
Dalam matematika dikenal bentuk logaritma natural : ln x = e log x
dimana :
e= lim ( 1 ) + n = lim ( 1 + k ) 1 / k = 2,7182818284589…….
bilangan e adalah irasional dan tak terukur
Telah dibuktikan secara matematis bahwa fungsi y = ln x turunannya 1 =
dy
dx
Secara umum, jika y = ln u maka turunannya dy = 1 du
dx
u dx
Catatan : Aturan dalam logaritma natural mirip logaritma biasa, yaitu:
a. ln (ab) = ln a + ln b b c. ln a = b ln a
b. ln a = ln a – ln b
d. ln e = 1
b Contoh soal: Tentukan turunan dari
1 2 2 ( 6 2. y = ln {2x x (4x – 1) Jawab: =
3. y = ln (x – 1) 2 Jawab : y = ln (x – 1) 2 = 2 ln (x – 1) Jadi dy =
dx
b. Diferensiasi menggunakan logaritma natural
Diferensiasi secara logaritmik adalah membuat kedua ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga menjadi ln y = ln f(x). Kedua ruas lalu diturunkan menjadi:
1 dy
1 dy
f ' ( x ) diperoleh
y dx f ( x )
dx
Contoh soal: Tentukan turunan dari
3 7 2 1. y = (x 3 + 1) (2 – x ) Jawab:
3 7 2 3 3 ln y = ln(x 2 +1) (2 – x ) atau ln y = 7 ln (x + 1) + 3 ln (2 – x ) 1 dy
dx
( x 3 1 ) 6 ( 2 x 2 ) 2 + 3 − { } = 3x (– 9x + 14x – 2)
= ( x 3 1 ) 7 ( 2 x 2 ) 3 42 x 2 − 21 x 4 − 6 x 4 − 6 x
2. y = − x
Jawab: 3 ( x + 1 ) 2
ln y = 1 ln 2 ( 1 − x 2 ) − ln ( x + 1 ) → 6 ln y = 3 ln ( 1 x 2 ) 4 ln ( x 1 ) lalu kedua ruas diturunkan
c. Diferensiasi Fungsi y = a log x
y = log x sama dengan a = x, atau ln a = ln x → y ln a = ln x → y= ln a = konstan
ln x
ln a
Untuk y = 1 log x = maka =
a ln x
dy
ln a dx
x ln a
1 du Secara umum, untuk y = log u, turunannya =
Contoh soal: Tentukan turunan dari
2 1. y = x log (x – 1) Jawab: =
5.3 Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen ada dua jenis, yaitu y = e u atau y = e dan y = a atau y = a Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku:
a x =e sehingga ln a = x ln a Catatan
x x ln a
e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler.
a. Turunan fungsi y = e x
Fungsi y = e x diubah menjadi ln y = ln e → ln y = x ln e → ln y = x.
1 dy
dy Jika fungsi tersebut diturunkan didapat, x = 1 atau = y =e
y dx
dx
Jadi y = e dy x
dy
maka du = e atau secara umum y = e u maka u = e
Contoh Soal : Tentukan turunan dari 2
Jawab: = e .( −
dy
dx dx
Fungsi y = a x diubah menjadi ln y = ln a x → ln y = x ln a. Jika diturunkan didapat,
1 dy = dy ln a atau = x y ln a = a ln a y dx
dx Jadi dy y=a x turunannya adalah
= x a ln a
dx dy
du y=a u turunannya adalah a = u ln a
dx
dx
Contoh soal:
Tentukan turunan dari y = 2 4 x − 1 Jawab: y= 2 4 x − 1 maka turunannya dy = 2 4 x − 1 ln 2 . 4 = 2 4 x + 1 ln 2
dx
c. Turunan fungsi y = x h(x) dan f(x) = g(x) Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu:
a Fungsi pangkat : y = x a atau y = u dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap
Fungsi eksponen : y = e u atau y = e dan y = a atau y = a dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel Namun, fungsi y = x x dan f(x) = g(x) h(x) bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok
dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural.
Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut
1. y = x x Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan
1 dy x dy = ln x + = ln x + 1 Jadi
2. y = x x − 2 x → ln y = (x 2 – 2x) ln x diturunkan
y dx = − +
1 dy ( 2 x 2 ) ln x ( x 2 2 x ) 1
dy
2 = x x − 2 x (2x ln x – 2 ln x + x – 2) dx
Contoh soal esai:
1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000?
Jawab: Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan dA = laju pertumbuhan bakteri,
dt
dA maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai dA = k.A atau = k dt.
dt
Kedua ruas diintegralkan menjadi: ∫ dA = ∫
menghasilkan ln A = kt + C atau A = e kt + C 1 = e kt e 1 C 1
k dt
Jika e C 1 = C, didapat persamaan A = C kt e
Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e 0 , didapat C = 1000 Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e 0 , didapat C = 1000 Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka
Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776, 1.000.000 = 1.000 e 0 , 05776 t → e 0 , 05776 t = 1000 → 0,05776 t = ln 1000 ln 1000
t= = 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit
2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e 0,0001t . Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 0 0 menjadi 25 0 .
Jawab:
L = 60 e 0,0001t turunannya adalah = 60 e . 0,0001
0,0001t
dL
dt
Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e 0,0001t dt
0 0 0 0 Diketahui t 0
1 =0 ,t 2 = 25 , maka dt = 25 –0 = 25 , maka
dL = 0,006 e 0,0001x0
25 = 0,150 meter
5.4 Fungsi Inversi Trigonometri
Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut:
a. y = arc sin x jika dan hanya jika siny = x untuk – π /2 ≤ y ≤ π /2
b. y = arc cos x jika dan hanya jika cos y = x untuk 0 ≤ y ≤ π
c. y = arc tan x jika dan hanya jika tan y = x untuk – π /2 < y < π /2
d. y = arc cot x jika dan hanya jika cot y = x
untuk 0 < y < π
e. y = arc sec x jika dan hanya jika sec y = x untuk – π ≤ y ≤ – π /2, 0 ≤ y < π /2
f. y = arc csc x jika dan hanya jika csc y = x untuk – π ≤ y ≤ – π /2, 0 < y ≤ π /2
a. Turunan Fungsi y = arc sin x
dy y = arc sin x 1 → sin y = x, kedua ruas diturunkan cos y dy = dx atau =
x maka,
dx cos y
1 x 2 dy
Jadi untuk y = arc sin x turunannya adalah
Secara umum y = arc sin u turunannya adalah
= dx
2 1 dx − u
b. Turunan Fungsi y = arc cos x
dy − y = arc cos x 1 → cos y = x, kedua ruas diturunkan – sin y dy = dx atau = dx
Jadi untuk y = arc cos x turunannya adalah 1 = −
dx
1 du Secara umum y = arc cos u turunannya adalah
dy
dx
1 − u 2 dx 1 − u 2 dx
y dy = dx atau 1 =
y = arc tan x → tan y = x, kedua ruas diturunkan sec 2 dy
Jadi untuk y = arc tan x turunannya adalah 1 =
Secara umum y = arc tan u turunannya adalah
u 2 + 1 dx
d. Turunan Fungsi y = arc cot x
2 dy y = arc cot x 1 → cot y = x, kedua ruas diturunkan csc y dy = dx atau − = dx csc 2 y
x 2 + 1 cot y = x dan csc y =
1 dy − 1 − maka, 1
yx
dx csc 2 y
Jadi: y = arc cot x turunannya adalah 1 = –
dy
dx
1 Secara umum y = arc cot u turunannya adalah du = –
e. Turunan Fungsi y = arc sec x
dy y = arc sec x 1 → sec y = x, kedua ruas diturunkan sec y tan y dy = dx atau =
dx sec y tan y x
sec y = x maka tan y =
− 1 dy
1 dx sec y tan y
Jadi: y = arc sec x turunannya adalah
1 Secara umum y = arc sec u turunannya adalah du =
dx
dx
f. Turunan Fungsi y = arc csc x
csc y = x, kedua ruas diturunkan – csc y cot y dy = dx atau dy − y = arc csc x 1 → = dx csc y cot y
csc y = x maka cot y =
1 dy
x − 1 dx csc y cot y
Jadi: y = arc csc x turunannya adalah 1 = –
dy
dx
1 Secara umum y = arc csc u turunannya adalah du = –
dy
dx
u u 2 − dx 1
Contoh : Tentukan turunan dari 1 x
1. y = arc cot + 2. y = x a 2 − x x 2 + a 2 arc sin 1 − x
a Jawab:
1. Menurut rumus jika y = arc cot u maka dy = –
2 1 1 1 − 2 x 2 Misal u =
5.5 Fungsi Hiperbolik
a. Definisi fungsi hiperbolik
1. Sinus hiperbolik :
sinh x =
2. Cosinus hiperbolik :
cosh x =
2 sinh x
3. Tangent hiperbolik :
tanh x =
cosh x
4. Cotangent hiperbolik : coth x = cosh x = e + e
sinh x
5. Secant hiperbolik : 1 sech x =
cosh x
e x − e − x Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa: Fungsi Hiperbolik
6. Cosecant hiperbolik :
csch x =
sinh x
Fungsi Trigonometri
1 a. tanh x = 1 tan x =
coth x cot x
b. cosh 2 x – sinh 2 x = 1
cos 2 x + sin 2 x = 1
2 2 2 c. 1 – tanh 2 x = sech x 1 + tan x = sec x
d. 1 – coth 2 x = – csch 2 x
1 + cot 2 x = csc 2 x
b. Turunan Fungsi Hiperbolik
a. y = sinh x =
dy
= cosh x
2 dx
b. y = cosh x =
dy
= sinh x
2 dx
e dy
c. y = tanh x = 2 =
= sech 2
+ x e dx + x e dx
dy
− dx
= – csch x
2 dy
e. y = sech x =
= – sech x tanh x
dx
− 2 ( e x + e − x f. y = csch x = )
2 dy
= – csch x coth x
dx
Secara umum: dy
a. y = sinh u du → = cosh u d. y = coth u → = – csch 2 u dx
b. y = cosh u du → = sinh u e. y = sech u → = – sech u tanh u dx
c. y = tanh u du → = sech u f. y = csch u → = – csch u coth u dx
2 du
dy
dx Contoh : Tentukan turunan dari
dx
dx
2 1. y = tanh (1 – x 2 ) Jawab : = – 2x sech (1 – x )
2 dy
dx dy
cosh 2. y = ln (sinh x) x Jawab : = = coth x
dx
sinh x
4 x + 1 dy
3. y = tanh ( 4 ) Jawab : = sec h 2 ( 4 x + 1 )
5 dx
5.6 Fungsi Inversi Hiperbolik
1 1. y = arc sinh u du =
1 2. y = arc cosh u du =
3. y = arc tanh u 2 = dimana u < 1
4. y = arc coth u 2 = dimana u > 1
dx 1 − u 2 dx
1 5. y = arc sech u du
dy
dx =
dimana 0 < u < 1
u 1 u 2 − dx
6. y = arc csch u dy
− 1 du
dimana u
1 1. Buktikan jika y = arc sinh u, turunannya du =
1 Bukti: Misal u = sinh y, maka du cosh
dx = cosh y dx
dy
dx
2 2 cosh 2 y = 1 + sinh y=1+u maka cosh y =
1 Jadi du = terbukti dx
dy
u 2 + dx 1
TUGAS MANDIRI BAB V
Tugas Subbab 5.2
A. Tentukan turunan dari:
1. y = ln {(4x 2 + 3) (2x – 1)}
B. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut
C. Tentukan turunan dari
a 1. y = 2 log (3x – 5)
4. y = log (ln x)
2. y = log ( 2 x 5 ) + 2 5. y = ln (log x)
3. y = 5 log sin 2 x
Tugas Subbab 5.3
a. Tentukan turunan dari fungsi berikut
b. Tentukan turunan dari
c. Tentukan turunan dari
d. Soal esai: Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah
penduduk mencapai 100.000?
Tugas Subbab 5.4
Tentukan turunan dari
3. y = x x arccos 7. y = x 11. ln (x+y) = arc tan x
2 2 sin x
4. y = arc tan 3 8. y = arc sin (x-1)
Tugas Subbab 5.5
A. Buktikan
1. cosh x + sinh x = e x 6. cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x
-x
2. cosh x – sinh x = e 7. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
sinh 2 1 cosh 3. x x − 1 = 8. sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
2 tanh 4. tanh 2x = x
9. cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
1 + tanh 2 x
5. cosh 2 1 x cosh x + 1 =
B. Tentukan turunan dari
1. y = x sech x 2 4. y = csch 2 (x 2 + 1) x
2. y = ln cosh x
5. y = a cosh
3. y= tanh x + 1
Tugas Subbab 5.6
1. Buktikan turunan fungsi inversi hiperbolik no 2 – 6 di atas.
2. Buktikan persamaan 8 – 10
BAB VI TURUNAN FUNGSI BEBERAPA VARIABEL
6.1 Geometri Fungsi Dua Variabel
Persamaan z = f(x, y) atau F(x, y, z) = 0 bila dilukiskan pada ruang 3 dimensi dengan sistem koordinat XYZ, umumnya berbentuk permukaan. Untuk melukiskan permukaan, perlu diperhatikan 4 hal, yaitu:
1. Daerah definisi dan rentang fungsi f tersebut.
2. Sifat simetri fungsi f tersebut.
3. Kurva perpotongan dengan bidang koordinat (XOY, XOZ, dan YOZ) dengan memasukkan • nilai z = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOY • nilai y = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOZ • nilai x = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang YOZ
4. Perpotongan dengan bidang lainnya, misal dengan bidang sejajar bidang XOY pada jarak z 0 didapat dengan memasukkan z = z 0 , bidang sejajar bidang XOZ pada jarak y 0 didapat dengan memasukkan y = y 0 , atau bidang sejajar bidang YOZ pada jarak x 0 didapat dengan memasukkan x = x 0 . Kurva perpotongan disebut level kurva dan proyeksinya pada bidang koordinat disebut garis kontur.
Contoh :
a. Gambarkan permukaan 4 x 2 +y 2 =z
2 Jawab : Pers. tsb diubah menjadi z = 4 x 2 +y Dalam bentuk z = f(x, y), daerah definisi Df adalah bidang XOY. Nilai z selalu positip sebab variabel x dan y dalam bentuk kuadrat. Rentang fungsi Rf
2 adalah z 2 ≥ 0. Level kurva didapat dari persamaan 4x + y = c dimana c bilangan riel > 0, ini persamaan elips pada z = c. Untuk y = 0, didapat z = 4 x 2 yaitu persamaan parabola pada bidang
XOZ. Untuk x = 0, didapat z = y 2 yaitu persamaan parabola pada bidang YOZ. Bentuk lukisannya sebagai berikut:
Pada z = c, kurva berbentuk elips
Permukaan ini disebut
Pada y = 0, z = 4 x , dan
x = 0, z = y 2 , kurva berbentuk
paraboloida eliptik
parabola
Z Gambar 6.1 Paraboloida Eliptik
b. Gambarkan permukaan x 2 +y 2 +z 2 =r 2
Jawab : Persamaan itu dilukiskan sebagai bola dengan pusat di Y (0,0,0) dan jari-jari r. Untuk x = 0, persamaan memotong bidang
2 2 2 X ( 0, 0, 0)
YOZ menjadi y + z = r berupa lingkaran, untuk y = 0
2 2 memotong bidang XOZ menjadi x 2 + z = r berupa lingkaran,
Gambar 6.2 Bola pusat lingkaran.
untuk z = 0 memotong bidang XOY menjadi x 2 +y 2 = r 2 berupa
di (0, 0, 0) dan jari-jari r
c. Gambarkan permukaan
= 1 dimana a, b, dan c positip, dan a = b
Jawab :
Perpotongannya dengan bidang koordinat
• XOY, dengan z = 0 adalah
a = b, membentuk persamaan lingkaran
X (0, 0, 0)
• XOZ, dengan y = 0 adalah
a 2 c 2 Gambar 6.3 Elipsoida y 2 z 2 berpusat di (0, 0, 0)
• YOZ, dengan x = 0 adalah
keduanya membentuk persamaan elips. Jadi persamaan tersebut berbentuk elipsoida (elips putaran) keduanya membentuk persamaan elips. Jadi persamaan tersebut berbentuk elipsoida (elips putaran)
1 dimana a, b, dan c positip, dan a = b
c 2 Z Jawab : Perpotongan persamaan itu dengan bidang:
• XOY, dengan z = 0 adalah 2 + 2 = 1 Y
untuk a = b, membentuk persamaan lingkaran
• XOZ, dengan y = 0 adalah
y 2 z 2 Gambar 6.4 Hiperboloida • YOZ, dengan x = 0 adalah
berdaun satu
keduanya membentuk persamaan hiperbola. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk hiperboloida berdaun satu.
e. Gambarkan permukaan z = y 2
Jawab : Persamaan itu tidak memiliki variabel x, artinya nilai x dapat diambil sembarang. Perpotongan dengan
Y bidang YOZ dengan x = 0 tetap adalah z = y 2 yaitu
berupa parabola. Permukaannya berbentuk silinder
parabolik Gambar 6,5 Silinder parabolik
f. Gambarkan permukaan
= 1 dimana a, b,
Y dan c positip, dan a = b
Jawab: Persamaan tersebut menghasilkan gambar
sebagaimana tercantum di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
Gambar 6.6 Hiperboloida berdaun dua
g. Gambarkan permukaan
dimana a, b,
dan c positip, dan a = b
Jawab : Persamaan tersebut menghasilkan gambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
Gambar 6.7 Kerucut eliptik
6.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Variabel
Turunan parsial dari fungsi z = f(x, y) adalah: ∂
= turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(x t ,y t ,z t ) dimana y dianggap konstan
= turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(x t ,y t ,z t ) dimana x dianggap konstan ∂ y T Contoh:
Tentukan turunan parsial dari:
∂ = 2y
a. z = x 2
+y 2 Jawab :
= 2x dan
b. z = xy Jawab :
∂ =x
= y dan
6.3 Turunan Parsial Lebih Tinggi
Turunan parsial tingkat dua fungsi z = f(x, y) terbagi atas 4 macam, yaitu:
Turunan parsial tingkat tiga fungsi z = f(x, y) terbagi atas 8 macam, yaitu: ∂ 3 f ∂ ∂ ∂ f
Contoh soal : Tentukan semua turunan parsial tingkat dua untuk fungsi:
a. z = x sin z 2 y Jawab : ∂
b. z = sin (xy) Jawab : ∂ z
= y cos (xy) dan z ∂
= x cos (xy),
=–y 2 sin (xy),
2 2 ∂ 2 z z z =–x 2 sin (xy), ∂
= cos (xy) – xy sin (xy) y ∂ 2
= cos (xy) – xy sin (xy), dan