PENGUKURAN BUNGA DANA PADA SIMPANAN

Email : husnaarifahuny.ac.id 14

5.5 PENGUKURAN BUNGA DANA PADA SIMPANAN

Sebuah masalah yang signifikan dalam kerja praktek adalah penentuan tingkat yield yang diperoleh oleh dana investasi. Ingat bahwa definisi utama dari tingkat bunga efektif diberikan dalam bagian 1.3 diasumsikan bahwa sisa pokok tetap konstan sepanjang periode dan bahwa semua bunga yang diperoleh dibayarkan pada akhir periode. Dalam prakteknya asumsi ini sering tidak terpenuhi. Hal ini umum untuk dana yang akan ditambah dengan deposito utama yang baru, dikurangi dengan penarikan pokok dan ditambah dengan pendapatan bunga berkali-kali sepanjang periode, sering dengan interval yang tidak teratur. Beberapa metode harus diturunkan untuk situasi ini untuk menentukan tingkat bunga yang efektif. Tingkat bunga efektif diperoleh dari dana yang lebih satu ukuran periode. A = jumlah dana pada awal periode B = jumlah dana pada akhir periode I = jumlah bunga yang diperoleh selama periode tersebut C t = jumlah bersih pokok memberikan kontribusi pada waktu t positif atau negative, dimana 0≤t≤1 C = jumlah total bersih dari sumbangan pokok selama periode positif atau negative = = jumlah bunga yang diterima oleh 1 yang diinvestasikan pada saat b selama periode berikut panjang a , dimana a≥0, b≥0, dan a+b≤1 Dana pada akhir periode harus sama dengan dana pada awal periode ditambah jumlah pokok bersih ditambah jumlah bunga yang diperoleh = + + � 5.9 Untuk menjadi konsisten dengan definisi tingkat bunga efektif yang diberikan pada bagian 1.3, kami akan mengasumsikan bahwa i diterima pada akhir periode. Selanjutnya, nilai persamaan yang tepat untuk bunga yang lebih dari peri ode, 0≤t≤1, adalah � = + . 1 − 5.10 Email : husnaarifahuny.ac.id 15 Sayangnya, rumus 5.10 tidak dalam bentuk yang dapat langsung diselesaikan untuk i. Perlu untuk menemukan nilai-nilai untuk itu. Dengan asumsi bunga majemuk seluruh periode, kita mempunyai 1 − = 1 + 1 − − 1 5.11 Kita dapat mengganti rumus 5.11 ke 5.10 untuk memperoleh persamaan yang tepat untuk i. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan iterasi. Jaminan bagian 5.3 bahwa tingkat dana ditemukan oleh iterasi yang akan menjadi khusus selama saldo dana tidak pernah menjadi negatif. Untuk formula yang lebih sederhana, kita asumsikan bahwa 1 − = 1 − 5.12 Substitusi persamaan 5.12 ke persamaan 5.10 � = + . 1 − � = + . 1 − � = + . 1 − = � + . 1− 5.13 Pembilang dari rumus 5.13 adalah jumlah bunga yang diperoleh dari dana tersebut . Penyebut dapat diartikan sebagai jumlah rata-rata pokok yang diinvestasikan dan sering disebut paparan terkait dengan i . Meskipun rumus 5.13 tidak menghasilkan tingkat suku bunga efektif karena asumsi bunga sederhana , hal ini umumnya akan menghasilkan hasil yang cukup dekat dengan tingkat bunga efektif sejati selama ′ kecil dalam kaitannya dengan a. Namun , jika ′ tidak kecil dalam kaitannya dengan a , maka kesalahan dapat menjadi signifikan . Rumus 5.13 adalah bentuk yang dapat dihitung langsung . Namun , istilah penjumlahan pada penyebut sering agak sulit. Oleh karena itu , asumsi penyederhanaan lbih lanjut sering dibuat yaitu deposito pokok dan penarikan terjadi selama periode. Dengan demikian , kita Email : husnaarifahuny.ac.id 16 menganggap bahwa sumbangan utama bersih terjadi pada saat t = 12 . Jika asumsi ini dibuat , maka rumus 5.13 menjadi = � + 0.5 = � +0.5 − −� dari formula 5.9 = � + 0.5 − 0.5 − 0.5� = � 0.5 +0.5 −0.5� dikalikan 2 = 2 � + −� 5.14 Gambar 5.3 merupakan ilustrasi dari diagram waktu untuk formula 5.14 Gambar 5.3 diagram waktu untuk formula 5.14 Rumus 5.14 merupakan formula penting yang banyak digunakan dalam praktek untuk menghitung angka yang diperoleh dari bunga , misalnya telah digunakan oleh regulator asuransi untuk menghitung tingkat imbal hasil pada investasi aset perusahaan asuransi . Hal ini merupakan formula yang sangat sesuai, karena hanya melibatkan A , B , dan I yang sudah tersedia . Namun , harus diingat bahwa hal itu mengasumsikan bahwa sumbangan utama bersih terjadi pada saat t = 12 . Jika asumsi ini tidak dibenarkan , maka lebih tepat tapi masih perkiraan rumus 5.13 harus digunakan . Dalam beberapa kasus adalah mungkin untuk mengembangkan versi yang disederhanakan dari rumus 5.13 yang akan lebih akurat daripada rumus 5.14 . Misalnya, jika A C I 12 1 B Email : husnaarifahuny.ac.id 17 diketahui bahwa sumbangan utama bersih terjadi pada saat k rata-rata, 0 k 1, maka generalisasi dari rumus 5.14 diberikan oleh = � + 1− − 1− � 5.15 Derivasi formula 5.15 yang tersisa sebagai latihan. Rumus 5.15 menjadi rumus 5.14 ketika k = 12. Namun, jika kita tahu bahwa sumbangan utama bersih terjadi pada tanggal 1 april, maka untuk perhitungan tahun kalender penggunaan rumus 5.15 dengan k = 14 harus menghasilkan jawaban yang unggul rumus 5.14 Rumus 5.12 terlihat sangat mirip dengan bunga sederhana sebagaimana didefinisikan dalam bagian 1.4. Namun, dapat ditunjukkan bahwa keduanya tidak setara dengan mempertimbangkan bentuk � bawah setiap asumsi. Sebagaimana didefinisikan dalam bagian 1.4, fungsi akumulasi untuk bunga sederhana diberikan oleh = 1 + 1.5 Ini ekuivalen dengan asumsi bahwa = 5.16 Ekspresi untuk � , di bawah ini merupakan asumsi ini diberikan oleh rumus 1.34 � = 1+ 1.34 Untuk versi bunga sederhana didefinisikan oleh rumus 5.12 kita miliki � 1 = 1 + = 1 + 1 − atau � 1 = log [1 + 1 − ] Dan membedakan sehubungan dengan t � = 1+ 1− , ≤ ≤ 1 5.17 Email : husnaarifahuny.ac.id 18 Jelas rumus-rumus 1.34 dan 5.17 tidak setara dalam kenyataannya, hal ini hanya sama untuk t = 12. Di samping itu, perlu dicatat bahwa formula 1.34 merupakan penurunan fungsi t, sedangkan rumus 5.17 adalah peningkatan fungsi t Hal ini mungkin untuk mengembangkan hasil analog dana di mana pembayaran dilakukan terus menerus. Biarkan b t menjadi saldo dana yang be redar pada waktu t, 0≤t≤n, dan menganggap bahwa sumbangan + - sedang dilakukan terus menerus pada waktu yang tepat t pada tingkat C t per periode. Maka versi umum formula 5.6 diberikan oleh = 1 + + 1 + − 5.18 Pada dasarnya, rumus 5.18 mengatakan bahwa saldo dana pada akhir periode pengukuran n adalah sama dengan saldo dana awal akumulasi dengan bunga untuk n periode, ditambah dengan nilai akumulasi dari semua pembayaran intervensi + - dalam jumlah C t dt akumulasi dengan bunga akhir periode n. Versi umum formula 5.18 kemudian akan diberikan oleh = � + � 5.19 Persamaan diferensial berikut dikaitkan dengan rumus 5.19 = � + 5.20 Rumus 5.20 memiliki interpretasi lisan yang menarik. Sisi kiri adalah perubahan laju sesaat saldo dana pada waktu t. Sisi kanan adalah tingkat atribut sesaat perubahan dua faktor : 1 bunga pada kekuatan � pada saldo dana b t . 2 tingkat sumbangan + - dana pada waktu yang tepat t. Derivasi formula 5.20 yang tersisa sebagai latihan Contoh 5.7 Pada awal tahun dana investasi didirikan dengan setoran awal sebesar 1000. Deposit baru 500 dibuat pada akhir empat bulan. Penarikan dari 200 dan 100 masing-masing dibuat pada akhir enam bulan dan delapan bulan. Jumlah dana pada akhir tahun adalah 1272. Tentukan perkiraan tingkat bunga efektif yang diperoleh oleh dana sepanjang tahun. I=1272-1000+500-200-100=72 Email : husnaarifahuny.ac.id 19 = 72 1000 + 2 3 . 500 − 1 2 . 200 − 1 3 . 100 = 72 1200 = 0.06 6 Contoh 5.8 Tentukan tingkat efektif bunga yang diperoleh selama tahun kalender oleh perusahaan asuransi dengan data sebagai berikut Aset, awal tahun ………………………………………………………… 10,000,000 Pendapatan premi …………………………………………………………. 1,000,000 Pendapatan investasi bruto ……………………………………………… 530,000 Manfaat polis ………………………………………………………………….. 420,000 Biaya investasi ………………………………………………………………….. 20,000 Biaya lainnya ………………………………………………………………….. 180,000 Itu adalah praktik konvensional untuk mengimbangi biaya investasi terhadap pendapatan investasi bruto. Dengan demikian, kita memiliki yang berikut A = 10,000,000 B = 10,000,000 + 1,000,000 + 530,000 – 420,000 – 20,000 – 180,000 = 10,910,000 I = 530,000 – 20,000 = 510,000 = 2 510,000 10,000,000 + 10,910,000 − 510,000 = 0.05 5

5.6 TINGKAT WAKTU TERTIMBANG PADA BUNGA