adalah versi diperpanjang persamaan Einstein, yang disebut hubungan energi- momentum relativistik.
:
� = �
2
�
4
+ �
2
�
2
1 2
Di sini pc
2
istilah merupakan kuadrat dari norma Euclidean panjang vektor total dari vektor berbagai momentum dalam sistem, yang mengurangi dengan kuadrat
besar momentum sederhana, jika hanya satu partikel dianggap. Untuk foton dimana m= 0,persamaan tereduksi menjadi E = pc.
2.6 Persamaan Dirac
Dalam fisika, lebih khusus mekanika kuantum relativistik, persamaan Dirac adalah persamaan gelombang, yang dirumuskan oleh fisikawan Inggris Paul Dirac
pada tahun 1928. Ini memberikan deskripsi dasar spin ½ partikel, seperti elektron, konsisten dengan kedua prinsip-prinsip mekanika kuantum dan teori relativitas
khusus, dan adalah teori pertama sepenuhnya untunk memperhitungkan relativitas dalam konteks mekanika kuantum. Ini menyumbang rincian halus dari spektrum
hidrogen dalam cara yang sama sekali ketat. Persamaan ini juga tersirat adanya suatu bentuk baru dari materi, antimateri,
penemuan sampai sekarang yang tak terduga dan tidak teramati dan benar-benar mendahului eksperimental. Hal ini juga memberikan pembenaran teoritis untuk
pengenalan beberapa komponen fungsi gelombang dalam teori fenomenologis Pauli dari spin. Penjelasan Dirac sendiri tentang spin menghasilkan penyatuan mekanika
kuantum dan relativitas, dan akhirnya penemuan positron merupakan salah satu kemenangan besar dalam fisika teori.
2.6.1 Hamiltonian Dirac
Hamiltonian sistem partikel dengan massa � dan memiliki momentum
secara relativistik klasik dipresentasikan dengan
2
= �
�
�
2
+ �
2
�
4
2.1 yang merupakan ekspresi energi relativistik. Apabila persamaan 2.1 diatas dikalikan
dengan persamaan gelombang � maka
2
� = �
�
�
2
+ �
2
�
4
� =
� � + ��
2
2.2 Dimana x merupakan koordinat ruang waktu,
= ,
1
,
2
,
3
. Dengan momentum dalam ruang tiga dimensi
� =
1
+
2
+
3
, sehingga =
�
�
�
2
+
1 2
+
2 2
+
3 2
1 2
= ��,
1
,
2
,
3
2.3 Maka Hamiltonian pada persamaan 2.2 dapat ditulis
= � �
�
�
2
+
1 2
+
2 2
+
3 2
1 2
= �
2.4 Persamaan diatas adalah Hamiltonian sistem relativistik dengan diketahui
bahwa energi total dan momentum adalah suatu operator yang bekerja pada suatu fungsi. Sehingga persamaan diatas harus dioperasikan dengan suatu fungsi yaitu
fungsi gelombang � ,dan dengan defenisi
4
=
�
2.5
4
adalah momentum baru yang termodifikasi, sehingga persamaan 2.4 menjadi
4
� = �
4
− �
�
�
2
+
1 2
+
2 2
+
3 2
1 2
� = 0 2.6
Persamaan diatas memenuhi hubungan antara energi dan momentum.
2.4.2 Matrik Dirac
Tensor adalah geometri untuk memperluas pengertian skalar, vector dan matriks. Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang
membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.
Matrik Dirac adalah massa partikel yang komponen energi dan momentumnya yang dituliskan dalam bentuk vektor dimensi empat dikalikan suatu matrik.
Salah satu sifat matrik Dirac antara lain
1 2
=
2 2
=
3 3
=
2
= 1 2.7
Dimana dan
merupakan sinar yang dihasilkan karena adanya partikel dan antipartikel yang saling bertumbukan.
Dari persamaan kuantum relativistik Dirac yaitu �ħ
� �
= ��
2
+ �ħ��
�
= �ħ� �
�
+ ��
2
2.8
Jika dioperasikan dengan fungsi gelombang � dan dengan sifat matrik Dirac
serta didefenisikan matriks gama yaitu
�
= − �
�
= − �
− � 0 dan
=
4
= 2.9
Dimana gamma dalam hal ini yaitu sinar yang dihasilkan karena adanya partikel dan antipartikel yang saling bertumbukan.
Maka persamaan dapat ditulis menjadi
�
� +
�� ħ
�
4 �
� �
�
� = 0 2.10
Perubahan ini terjadi karena adanya penambahan sifat matriks Dirac dan didefenisikan dengan matriks gamma.
Jika dinotasikan a.
�
=
�
,
4
b.
� � �
=
� �
+
� �
+
� �
−
� �
� �
2.11
c.
� � �
=
� � �
,
� � 4
Karena matrik
berorde empat maka fungsi gelombang � haruslah matrik kolom
4x1.
� = �1
�2 �3
�4 2.12
Matrik diatas sering disebut bispinor spinor Dirac. Dengan menggunakan defenisi pada persamaan 2.10 didefenisikan konjugat hermit
a. � = �
+
b.
� � �
+
=
� � �
2.13
c.
� � 4
+
= −
� � 4
2.3 Persamaan Dirac Dalam Pengaruh Medan Magnetik
