Ruang Vektor Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear
Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan
⊂ . Jika himpunan terhadap operasi – operasi yang sama dengan operasi
– operasi di bagian juga merupakan ruang vektor atas ℱ, maka
disebut ruang vektor bagian vector sub-space dari .
Teorema 2.2.2 Darmawijaya, 2007
Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan
≠ �. Himpunan merupakan ruang vektor bagian jika dan hanya jika untuk setiap
, ∈ dan
, ∈ ℱ berlaku +
∈ .
Teorema 2.2.3 Darmawijaya, 2007
Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � masing – masing ruang vektor bagian maka
+ � = { + ∶ ∈ , ∈ �}, Juga merupakan ruang vektor bagian yang memuat dan
� sebagai ruang vektor bagiannya.
Teorema 2.2.4 Darmawijaya, 2007
Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � ⊂ masing – masing ruang vektor bagian
dan � = {�}, maka untuk setiap ∈
+ � terdapat dengan tunggal ∈ dan
∈ � sehingga
= + .
Teorema 2.2.5 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapanngan ℱ. Jika ,
∈ dan , , ∈ ℱ untuk setiap � =
, , … , maka benar bahwa i
∑ + ∑
= ∑ +
= =
=
, ii
∑
=
= ∑
=
, iii
∑
=
= ∑
=
, dan iv
∑
=
∑
=
= ∑ ∑
= =
.
Teorema 2.2.6 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Jika , , …
∈ , maka = [ , , … , ]
merupakan ruang vektor bagian .
Teorema 2.2.7 Darmawijaya, 2007
Jika ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ , maka [ ] merupakan ruang vektor bagian .
Lebih lanjut,
[ ] merupakan ruang vektor terkecil yang memuat M. Definisi 2.2.8 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan
ℱ. Vektor – vektor , , … ,
∈ atau { , , … , } ⊂ dikatakan bebas linier liniearly independent jika , , … ,
∈ ℱ dan +
+ ⋯ + = �
berakibat =
= ⋯ = = .
Teorema 2.2.9 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … ,
∈ tak bebas linier jika dan hanya jika terdapat
� dengan �
sehingga vektor merupakan kombinasi linier
− vektor – vektor lainnya.
Akibat 2..2.10 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … ,
∈ bebas linier jika dan hanya jika untuk setiap
�, �
.
Vektor bukan merupakan kombinasi linier
− vektor – vektor lainnya.
Teorema 2.2.11 Darmawijaya, 2007
Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , bebas linier jika dan
hanya jika setiap persamaan
∑ = ∑
= =
berakibat = untuk setiap �.
2.3 Basis dan Dimensi Definisi 2.3.1 Darmawijaya, 2007
Ruang vektor dikatakan terbangkitkan secara hinggafinitely generated jika ada vektor –
vektor , , … ,
∈ sehinggga = [ , , … , ]. Dalam keadaan seperti itu,
{ , , … , } disebut pembangkit generator ruang vektor .
Definisi 2.3.2 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor . Himpunan ℬ ⊂ dikatakan bebas linier jika setiap himpunan bagian
hingga di dalam B bebas linier.
Definisi 2.3.3 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan
ℱ. Himpunan ℬ ⊂ disebut basis base
jika ℬ bebas linier dan = [ℬ].
Teorema 2.3.4 Darmawijaya, 2007
Ruang vektor terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika mempunyai
basis hingga. Teorema 2.3.5 Darmawijaya, 2007
Diketahui ruang vektor dan ℬ ⊂ basis. Banyaknya anggota ℬ disebut dimensi ruang vektor
,ditulis dim . Jika banyaknya anggota ℬ hingga maka dikatakan berdimensi hingga dan
jika banyaknya anggota ℬ tak hingga maka dikatakan berdimensi tak hingga.
Teorema 2.3.6 Darmawijaya, 2007
Jika ruang vektor berdimensi , maka setiap + vektor di dalam tak bebas linier.
Akibat 2.3.7 Darmawijaya, 2007
Jika { , , … , } dan { , , … , } masing – masing basis untuk ruang vektor , maka =
.