Analisis Survival dalam Memodelkan Selang Kelahiran Anak Pertama di Indonesia
ANALISIS SURVIVAL DALAM MEMODELKAN SELANG
KELAHIRAN ANAK PERTAMA DI INDONESIA
RAHMAT HIDAYAT
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Survival dalam
Memodelkan Selang Kelahiran Anak Pertama di Indonesia adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Rahmat Hidayat
NIM G551120131
RINGKASAN
RAHMAT HIDAYAT. Analisis survival dalam memodelkan selang kelahiran
anak pertama di Indonesia. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ENDAR
HASAFAH NUGRAHANI.
Banyak hal yang terjadi dalam kehidupan kita yang berkaitan dengan waktu.
Waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa yang dianggap
menarik disebut dengan waktu survival. Salah satu contoh data survival adalah
selang kelahiran anak pertama. Selang kelahiran anak pertama didefinisikan
sebagai selisih antara umur pernikahan dan umur kelahiran anak pertama. Pada
kenyataannya panjang selang kelahiran anak pertama dari tiap wanita menikah
tidaklah sama. Berdasarkan penelitian yang ada, selang kelahiran anak pertama
ditentukan oleh berbagai faktor sosial dan budaya, seperti tempat tinggal, tingkat
pendidikan, umur perkawinan, status bekerja, serta faktor fisiologi. Sebagian
wanita menikah telah melahirkan anak pertama beberapa bulan setelah
perkawinan sehingga data yang diperoleh merupakan data lengkap, namun
sebagian lainnya belum mempunyai anak pertama sehingga data yang diperoleh
berupa data tersensor. Menganalisis data yang mengandung data tersensor
menggunakan metode biasa akan menimbulkan bias, sehingga untuk mengurangi
bias tersebut diperlukan suatu metode tertentu, yang disebut analisis survival.
Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan menentukan
metode analisis terbaik bagi data selang kelahiran anak pertama, dan mempelajari
faktor-faktor yang dominan mempengaruhi selang kelahiran anak pertama.
Penelitian ini dilakukan dalam dua langkah, langkah pertama melakukan
analisis terhadap perilaku model yang biasa digunakan dalam analisis survival.
Untuk melihat perilaku model ini digunakan salah satu tekhnik residual dalam
analisis survival yaitu residual Cox-Snell. Untuk melihat perilaku model ini
digunakan data survival berdistribusi eksponensial dan Weibull yang kemudian
dimanipulasi dengan penambahan error. Langkah kedua adalah menggunakan
hasil pada langkah pertama untuk memodelkan data selang kelahiran anak
pertama di Indonesia.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode Cox proporsinal hazard cukup
handal dalam memodelkan suatu data survival, sehingga data tentang selang
kelahiran anak pertama di Indonesia dimodelkan dengan metode Cox proporsional
hazard. Untuk menguji apakah metode ini memang cocok untuk memodelkan data
selang kelahiran anak pertama di Indonesia dilakukan uji terhadap asumsi
proporsional terhadap setiap kovariat yang digunakan. Hasil uji menunjukkan
bahwa salah satu kovariat yang diteliti tidak memenuhi asumsi proporsional, yaitu
kovariat umur pernikahan, sehingga data kembali dimodelkan dengan
menggunakan metode Cox extended. Hasil menunjukkan bahwa peubah tempat
tinggal, lulus SD, lulus SMP, lulus SMA, dan umur pernikahan merupakan
peubah yang berpengaruh nyata terhadap risiko individu melahirkan anak
pertama. Dari nilai hazard ratio terlihat bahwa individu yang bertempat tinggal di
kota memiliki risiko melahirkan anak pertama lebih kecil dibandingkan individu
yang bertempat tinggal di desa sebesar 0.719 kali, serta riwayat pendidikan
individu yang lulus SD, lulus SMP, dan lulus SMA atau lebih akan menaikkan
risiko melahirkan anak pertama berturut-turut sebesar 1.730, 2.648, 4.235 kalinya
individu yang memiliki riwayat pendidikan rendah atau tidak lulus SD. Setiap
penambahan usia pernikahan sebesar satu tahun maka akan meningkatkan risiko
melahirkan anak pertama sebesar 7.1% dengan tingkat penurunan yang semakin
mengecil pada t yang meningkat.
Kata kunci: sensor, analisis survival, Cox proporsional hazard, Cox extended
SUMMARY
RAHMAT HIDAYAT. Survival Analysis Modeling of Birth Interval of The First
Child in Indonesia. Supervised by HADI SUMARNO and ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI.
Many things happen in our lives that relates to time. The time from the
beginning of the observation until the occurrence of an event that is considered
attractive is called the survival time. First birth interval is one of an example of
survival data. First birth interval is defined as the difference in the age of marriage
and age group should first child's birth. In fact the first birth interval length of
each married woman is not the same. Based on existing research, the first birth
interval is determined by a variety of social and cultural factors such as: place of
residence, education level, marital age, working status and physiological factors.
Most married women has given birth to her first child a few months after the
marriage so that the data obtained is the complete data, but others do not have a
first child so that the data obtained in the form of data censored. To analyze the
data contain censored data using ordinary methods would lead to bias, so as to
reduce the bias that required a certain method survival analysis.
Based on the above, this study aims to determine the best method for the
analysis of the first birth interval data, and study the dominant factors affecting
the birth of her first child intervals.
The research method used is a literature study, the first step to analyze the
behavior of the model used in survival analysis. To see the behavior of this model
is one of the techniques used in the survival analysis residual namely Cox-Snell
residuals. To see the behavior of the model used exponentially distributed survival
data and weibul are then manipulated by the addition of an error. The second step
is to use the results of the first step to model the interval data first child in
Indonesia.
The results showed that the method of Cox hazard proporsinal quite reliable
in modeling the survival data. Because this method is considered to be quite
reliable, the data on the first birth interval in Indonesia modeled by Cox
proportional hazard method. To test whether this method is suitable for modeling
the data interval first child in Indonesia is carried out to test the assumption of
proportional to each covariate were used. The test results showed that one of the
covariates under study did not meet the proportional assumption that the
covariates of age, so that the data re-modeled using the extended Cox method. The
results showed that the variables residence, finished elementary school, junior
high school graduation, high school graduation, and age are variables that
significantly affect an individual's risk first child. Hazard ratio of values seen that
individuals who reside in the city are at risk first child less than individuals who
reside in the village by 0.719 times, and the history of education of individuals
who graduated from elementary school, junior high school graduate, and
graduated from high school or more will increase the risk of giving birth the first
child in a row at 1.730, 2.648, 4.235 time individuals who have a history of low
education or elementary school. Each additional year of age will increase the risk
of having a first child at 7.1% with a much smaller rate of decline is increasing at t,
after about several years of age enhancement will reduce the risk of marriage first
child was 3.8%.
Keywords: sensors, survival analysis, Cox proportional hazards, Cox extended
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISIS SURVIVAL DALAM MEMODELKAN SELANG
KELAHIRAN ANAK PERTAMA DI INDONESIA
RAHMAT HIDAYAT
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA
Judul Tesis : Analisis Survival dalam Memodelkan Selang Kelahiran Anak
Pertama di Indonesia
Nama
: Rahmat Hidayat
NIM
: G551120131
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Ketua
Dr Ir Endar H. Nugrahni, MS
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr. Ir. Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian:
(19 Juni 2014)
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2013 ini ialah
analisis survival, dengan judul Analisis Survival dalam Memodelkan Selang
Kelahiran Anak Pertama di Indonesia.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa bantuan-bantuan dan arahan-arahan
dari kedua pembimbing sangat membantu dalam menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku
pembimbing I dan Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku pembimbing
II.
Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Prof Dr Ir Herry Suhardiyanto, MSc selaku Rektor Institut Pertanian Bogor.
2. Dr Ir Dahrul Syah, MSc Agr selaku Dekan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor.
3. Dr Jaharuddin selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan sekaligus
sebagai Pembimbing II.
4. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji luar komisi pembimbing.
5. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika.
6. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Unggulan.
7. Badan Kependudukan dan Keluarga Berencana Nasional (BKKBN).
8. Orang tua, saudara dan seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan
dan mendoakan untuk keberhasilan studi bagi penulis.
9. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman angkatan
tahun 2012 di program studi S2 Matematika Terapan.
10. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
serta wawasan kita semua.
Bogor, Juli 2014
Rahmat Hidayat
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vii
DAFTAR GAMBAR
vii
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
1
1
1
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Data Survival
Jenis-Jenis Penyensoran pada Data Survival
Fungsi Survival
Fungsi Kepekatan Peluang
Fungsi Hazard
Fungsi Likelihood
Akaikes Information Criterion(AIC)
Uji Hipotesis
Interval Kelahiran Anak Pertama
Sebaran Eksponensial
Model Eksponensial dengan Penyertaan Kovariat
Distribusi Weibull
Model Weibull dengan Penyertaan Kovariat
Model Cox Proporsional Hazard
Simulasi
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
6
7
7
7
8
3 METODE
Data
Definisi Operasional
8
8
8
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Perilaku Model
Proses Simulasi
Data Survival Weibull
Analisis Selang Kelahiran Anak Pertama di Indonesia
Model Cox Proporsional Hazard dan Cox Extended
Pendugaan Parameter
Hazard Ratio
Hasil Analisis
Interpretasi
9
9
10
13
15
16
16
18
19
22
5 SIMPULAN
Simpulan
22
22
DAFTAR PUSTAKA
24
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
Pendugaan parameter dengan metode parametrik ekponensial dan Cox
proporsional hazard
Pendugaan parameter dengan metode parametrik Weibull dan Cox
proporsional hazard
Hasil uji logrank untuk melihat perbedaan tingkat survival kelahiran
anak pertama kovariat tempat tinggal
Pendugaan parameter, nilai-p, dan hazard ratio dengan menggunakan
model Cox proporsional hazard
Korelasi dan nilai-p peubah penjelas
Nilai AIC model
Pendugaan parameter, nilai-p, dan hazard ratio dengan menggunakan
model Cox extended
12
15
20
20
21
21
21
DAFTAR GAMBAR
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival eksponensial tanpa
penambahan error dengan model analisis survival parametrik
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival eksponensial tanpa
penambahan error dengan model analisis survival Cox proporsional
hazard.
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival eksponensial dengan
penambahan error dengan model analisis survival parametrik
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival eksponensial dengan
penambahan error dengan model analisis survival Cox proporsional
hazard.
Grafik perbandingan MSE dari model eksponensial dan Cox
proporsional hazard
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival Weibull tanpa
penambahan error dengan model analisis survival parametrik
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival Weibull tanpa
penambahan error dengan model analisis survival Cox proporsional
hazard.
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival Weibull dengan
penambahan error dengan model analisis survival parametrik
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival Weibull dengan
penambahan error dengan model analisis survival Cox proporsional
hazard.
Grafik perbandingan MSE dari model Weibull dan Cox proporsional
hazard
Fungsi survival metode Kaplan-Meier untuk peubah bebas daerah
tempat tinggal
11
11
11
11
12
13
13
14
14
14
19
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Hasil sensus penduduk menunjukkan bahwa jumlah penduduk Indonesia
adalah 237,6 juta jiwa tahun 2010. Angka tersebut menempatkan Indonesia pada
urutan keempat dari negara yang berpenduduk paling besar di dunia setelah
Republik Rakyat Cina, India, dan Amerika Serikat. Tidak hanya di Indonesia, di
berbagai negara di dunia menganggap bahwa masalah kepadatan penduduk
merupakan masalah yang harus ditangani karena akan memberikan dampak
negatif bagi negara itu sendiri.
Dalam demografi ada tiga hal yang sangat berpengaruh, yaitu kematian
(mortality), perpindahan (migration), dan kelahiran (fertility). Selang kelahiran
anak pertama dapat digunakan sebagai salah satu indikator dari fertilitas. Interval
kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur perkawinan dengan umur
kelahiran anak pertama. Pada kenyataannya panjang selang kelahiran anak
pertama dari tiap wanita menikah tidaklah sama. Berdasarkan penelitian yang ada,
interval kelahiran anak pertama ditentukan oleh berbagai faktor sosial dan budaya
serta faktor fisiologi. Menurut Ibrohim (1994) ada beberapa faktor yang
mempengaruhi selang kelahiran anak pertama antar lain daerah tempat tinggal,
tingkat pendidikan, umur, pengetahuan tentang alat kontrasepsi dan status bekerja.
Sebagian wanita menikah telah melahirkan anak pertama beberapa bulan setelah
perkawinan sehingga data yang diperoleh merupakan data lengkap, namun
sebagian lainnya belum mempunyai anak yakni data tersensor. Dengan demikian
selang kelahiran anak pertama merupakan salah satu contoh dari data survival.
Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan
sampai terjadinya sesuatu peristiwa. Ciri khas dari data survival adalah survival
time (waktu bertahan hidup) seringkali tidak dapat diamati secara lengkap
(tersensor). Jika semua kejadian yang diharapkan terjadi, dan dapat diamati
secara utuh maka beberapa metode analisis bisa dilakuakan, namun data survival
bersifat sensor (Clark et al. 2003).
Perumusan Masalah
Menganalisis data survival menggunakan metode biasa tidak cocok karena
akan menimbulkan bias. Untuk mengurangi bias tersebut diperlukan suatu metode
tertentu untuk menganalisisnya, yaitu analisis survival.
Tujuan Penelitian
Oleh karena itu, tujuan dari penelitian ini adalah untuk memodelkan selang
kelahiran anak pertama di Indonesia dengan menggunakan analisis survival serta
menganalisis faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi selang kelahiran anak
pertama di Indonesia.
2
Manfaat Penelitian
1. Bagi keilmuan, dapat menyumbangkan suatu model interval kelahiran
anak pertama di Indonesia
2. Bagi pengambil kebijakan seperti BKKBN, sebagai bahan pertimbangan
dalam menentukan prioritas kebijakan yang akan diambil.
2 TINJAUAN PUSTAKA
Data Survival
Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal
pengamatan sampai dengan terjadinya suatu peristiwa, peristiwa itu dapat berupa
kematian, respon, timbul gejala, dan lain-lain. Data survival dapat diamati secara
lengkap (data tidak tersensor) dan tidak lengkap (data tersensor) (Lee dan Wang
2003).
Data survival digunakan untuk mempelajari waktu survival seorang pasien
atau waktu survival binatang percobaan. Namun seiring dengan kemajuan
pengetahuan, data survival banyak diaplikasikan dalam dunia industri dan dunia
bisnis. Beberapa contoh analisis survival data non-medical adalah kegagalan atau
kerusakan komponen mesin, lama bertahannya baterai laptop, dan waktu
seseorang setelah lulus untuk mendapat pekerjaan.
Allison (2010) menyatakan bahwa beberapa penelitian menganggap analisis
data survival semata-mata menggunakan dua metode statistika konvensional,
asumsi tersebut benar jika waktu survival dari semua subjek diketahui secara pasti,
meskipun pada kenyataanya tidak. Sehingga membutuhkan tekhnik statistik yang
baru. Salah satu pengembangan dari tekhnik tersebut yaitu ketika objek amatan
tidak bisa diamat secara utuh, karena adanya individu yang hilang ataupun dengan
alasan lain, sehingga tidak dapat diambil datanya atau sampai akhir pengamatan
individu tersebut belum mengalami peristiwa. Jika berada dalam kondisi
sebaliknya maka disebut data tidak tersensor.
Jenis-Jenis Penyensoran pada Data Survival
Ada tiga macam penyensoran yang sering digunakan dalam eksperimen
waktu survival, yaitu sebagai berikut:
1. Sampel lengkap (tidak tersensor), jika semua komponen yang diuji telah mati
atau gagal, maka eksperimen akan dihentikan.
2. Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu
yang bersamaan, dan pengujian akan dihentikan setelah batas waktu yang
ditentukan.
3. Sensor tipe II, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu
yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan objek di
antaranya gagal atau mati dengan
(Collet 1994).
3
Fungsi Survival
Fungsi survival adalah peluang individu dapat bertahan hingga atau lebih
dari waktu t yang didefinisikan sebagai berikut:
Fungsi survival juga adalah integral fungsi
Dimana
kepekatan peluang
∫
.
Fungsi Kepekatan Peluang
Fungsi kepekatan peluang didefinisikan sebagai limit dari peluang individu
mengalami kejadian dalam interval t sampai .
Fungsi Hazard
Fungsi hazard yaitu fungsi yang menyatakan peluang seseorang mengalami
risiko atau kejadian seperti kegagalan atau meninggal pada waktu t dengan syarat
bahwa seseorang itu telah bertahan hingga waktu t, fungsinya diberikan Cox pada
tahun 1972:
.
Dari definisi di atas diperoleh hubungan antara fungsi survival dengan
fungsi hazard.
Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat, diperoleh:
Persamaan di atas diintegralkan dari 0 sampai t dengan S(0)=1 yaitu
∫
4
(Collet 2003).
Fungsi Likelihood
Misalkan
adalah peubah acak yang saling bebas dari sebaran
yang mempunyai fungsi kepekatan peluang
dengan parameter . Fungsi
likelihood adalah fungsi kepekatan peluang bersama
yang merupakan fungsi dari yang dinotasikan dengan
∏
Penduga
yang memaksimumkan fungsi likelihood dapat dicari dengan
menentukan solusi dari persamaan
∑
Akaikes Information Criterion(AIC)
AIC merupakan salah satu ukuran untuk pemilihan model regresi terbaik yang
diperkenalkan oleh Hirotugu Akaike pada tahun 1973. Metode tersebut didasarkan
pada maximum likelihood estimation (Latif et al. 2008), dengan persamaan
̂
̂
dengan merupakan fungsi likelihood, q jumlah parameter , dan konstanta yang
ditentukan. Nilai α yang sering digunakan yaitu antara 2 dan 6 (Collet 2003).
Uji Hipotesis
Uji hipotesis adalah suatu aturan yang digunakan untuk menerima atau
menolak suatu hipotesis dari hasil amatan yang diperoleh. Hipotesa mengenai
populasi yang akan kita terima kebenarannya sampai ada bukti untuk menolaknya
dinamakan hipotesis nol (null hypotesis, H0). Apabila hipotesis ini ditolak
kebenarannya, maka ada hipotesis lain yang kita anggap benar, yaitu hipotesis
tandingan (Alternatife hypotesis, H1).
Dalam peumusan H1 dikenal dua macam hipotesis yaitu:
a. Hipotesis eka arah
1.
2.
b. Hipotesis dwi arah
Untuk menolak atau menerima hipotesis nol maka terlebih dahulu
ditentukan taraf nyata . Taraf nyata adalah peluang menolak hipotesis nol saat
5
hipotesis nol benar. Hipotesis ditolak pada saat berada di daerah kritis yang
disebut sebagai daerah penolakan H0 (Hogg dan Craig 1995).
Interval Kelahiran Anak Pertama
Interval kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur kelahiran anak
pertama (L) dengan umur perkawinan pertama (K), yaitu L-K.
Sebaran Eksponensial
Peneliti biasanya memilih sebaran eksponensial untuk model data survival
karena metode statistiknya sederhana. Distribusi exponensial ditandai dengan
fungsi hazard yang konstan
Fungsi kepekatan peluang dan fungsi survival-nya adalah
(Lawless 2002)
Semakin besar nilai menyebabkan risiko yang tinggi dan waktu survival
yang singkat. Sebaliknya semakin kecil nilai menyebabkan risiko yang kecil
dan waktu survival-nya panjang.
Sifat-sifat distribusi eksponensial:
1.
∫
dimana
Bukti:
∫
(
( )
2.
Bukti:
∫
∫ (
)
∫
)
∫
6
[
∫
]
∫
[
3.
Bukti:
∫
(
)]
∫
∫
∫
[
4.
]
, nilai hazard konstan.
Model Eksponensial dengan Penyertaan Kovariat
Waktu survival dapat dianalisis dengan menggunakan accelerated failure
time (AFT) model. Dalam waktu survival model ini mengasumsikan bahwa
hubungan logaritma dari waktu survival T dan kovariat adalah linear dan dapat
ditulis
∑
�
dengan
, j=1,2,...,p adalah kovariat,
koefisien
adalah
parameter skala dan � adalah error.
Love et al. 2003 menjelaskan bahwa untuk penyertaan kovariat dalam
distribusi eksponensial, kita menggunakan persamaan di atas dan menggunakan
sehingga diperoleh
∑
�
�
7
∑
dengan
. T adalah distribusi eksponensial dengan fungsi
hazard, fungsi kepekatan, dan fungsi survival berturut-turut
∑
)]
[ (
Distribusi Weibull
Sebaran
Weibull
memiliki
fungsi
memiliki fungsi survival
kepekatan
peluang
dan fungsi
hazard
Model Weibull dengan Penyertaan Kovariat
Model Weibull dengan penyertaan kovaraiat memiliki fungsi hazard, fungsi
kepekatan, dan fungsi survival berturut-turut
.
(
(
)
)
)
(
(
)
Model Cox Proporsional Hazard
Cox dan Oakes (1984) menyatakan dalam analisis data survival, metode
paramatrik digunakan apabila bentuk distribusi survival-nya diketahui. Meskipun
demikian dalam prakteknya bentuk pasti dari distribusinya kadang tidak diketahui
dan kita mungkin tidak menemukan model yang tepat. Oleh karena itu,
menggunakan metode parametrik untuk melakukan analisis terhadap data survival
sangat terbatas, sehingga dikembangkan model baru untuk menangani hal
tersebut. Model Cox proporsional hazard adalah model yang biasa digunakan.
Model ini tidak memerlukan pengetahuan tentang bentuk distribusi.
Cox proporsional hazard adalah model yang biasa digunakan untuk
pendekatan multivariat untuk analisis data (Brandburn et al. 2003). Model ini
memiliki ciri bahwa individu yang berbeda memiliki fungsi hazard yang
proporsional yakni
, rasio fungsi hazard dari dua individu
dengan penyertaan kovariat
(
) dan
(
)
adalah konstan. Ini artinya bahwa rasio dari resiko kegagalan dari dua individu
adalah sama tidak bergantung pada seberapa lama mereka bertahan. Cox (1972)
menjelaskan bahwa bentuk umum dari model Cox proportional hazard adalah:
(
).
dengan adalah kovariat, tetapi ia tidak membuat asumsi tentang bentuk dari
yang disebut dengan baseline fungsi hazard karena itu adalah nilai dari
fungsi hazard saat
Ketika menggunakan kovariat
8
dimasukkan ke dalam baseline fungsi hazard . Fungsi hazard untuk beberapa
pasangan kovariat yang berbeda dan dapat dibandingkan dengan menggunakan
hazard rasio.
{ (
)}
.
HR =
Simulasi
Dalam penelitian ini simulasi dilakukan dengan membangkitkan data yang
berdistribusi eksponensial dan Weibull dengan menggunakan software statistik
untuk melihat model mana yang sesuai untuk memodelkan data tersebut.
3 METODE
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah hasil Survei Demografi
dan Kesehatan Indonesia (SDKI) tahun 2012. Sampel yang digunakan adalah data
pada dua provinsi yaitu Jawa Barat dan Daerah Istimewa Yogyakarta sebagai
representasi dari daerah yang tingkat fertilitasnya tinggi dan rendah. Data dibatasi
hanya untuk interval kelahiran anak pertama, dari wanita yang menikah untuk
pertama kali.
Definisi Operasional
Peubah tak bebas yang digunakan dalam penelitian ini adalah interval
kelahiran anak pertama wanita yang menikah untuk pertama kali. Sedangkan
peubah bebas yang diduga mempengaruhi interval kelahiran anak pertama adalah:
a. Tempat tinggal, dikelompokkan dalam unit wilayah administrasi terkecil
yaitu daerah perkotaan dan pedesaan/ kelurahan. Tempat tinggal dibedakan
menjadi dua kategori, yaitu desa = 0 dan kota = 1.
b. Pendidikan, sekolah adalah sekolah formal mulai dari pendidikan dasar,
menengah dan tinggi, termasuk pendidikan yang disamakan. Tidak lulus SD
adalah mereka yang tidak pernah mengikuti pendidikan formal atau pernah di
SD tetapi tidak sampai mendapatkan tanda kelulusan. Pendidikan tertinggi
dibagi menjadi empat kategori, yaitu tidak lulus SD =0, lulus SD = 1, lulus
SMP = 2, dan lulus SMA atau lebih = 3.
c. Status pekerjaan, bekerja adalah kegiatan melakukan pekerjaan dengan
maksud memperoleh atau membantu memperoleh penghasilan atau
keuntungan selama paling sedikit satu jam dalam semimggu berturut-turut
dan tidak terputus (termasuk pekerja keluarga tanpa upah yang membantu
dalam usaha/kegiatan ekonomi). Status pekerjaan dikategorikan menjadi dua,
yaitu tidak bekerja = 0 dan bekerja = 1.
d. Pengetahuan tentang alat kontrasepsi, yaitu tidak tau = 0 dan tau=1.
e. Umur pernikahan
9
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Perilaku Model
Saat sebuah model digunakan dalam penaksiran data survival adalah sangat
penting untuk melakukan pengujian kelayakan apakah model yang kita gunakan
sudah cocok untuk memodelkan data tersebut (Ortega et al. 2010). Ada beberapa
metode yang sering digunakan dalam pengujian kelayakan model ini, salah
satunya adalah metode grafik. Menaksir kelayakan suatu model (goodness of fit)
dengan residual adalah salah satu metode grafik yang dapat digunakan dalam
analisis survival. Selain itu juga,untuk memastikannya dilakukan uji terhadap
Mean Squared Error (MSE).
Residual yang paling banyak diaplikasikan secara luas dalam data analisis
survival adalah residual Cox-Snell, yang didefinisikan secara khusus oleh Cox dan
Snell (Collet 2003). Residual Cox-Snell
untuk individu ke-i dengan waktu
̂
dengan pendugaan
survival t dan kovariat didefenisikan sebagai
akumulasi fungsi hazard berdasarkan model proporsional hazard. Jika tersensor
maka
juga tersensor.
Misalkan dibentuk fungsi hazard dengan subjek i, i=1, 2,…,n seperti di
bawah ini:
̂
̂
̂
dengan
̂
̂
̂
̂
dengan hazard kumulatif:
̂
∫̂
∫
(̂
)̂
(̂
)∫ ̂
(̂ )̂
Berdasarkan persamaan di atas diperoleh residual Cox-Snell pada model
Cox proportional hazard untuk subjek ke-i dan waktu ke adalah:
(̂ )̂
adalah estimasi dari baseline fungsi hazard kumulatif pada waktu
dengan ̂
Pada analisis parametrik, model failure time lebih dikenal sebagai
“accelerated failure model”. Accelerated model untuk adalah:
�
dengan
n
= jumlah data
�
= peubah acak dengan distribusi probabilitas yang sama
= variabel terikat
= parameter tidak diketahui dengan
=variabel penjelas.
Untuk model parametrik, residual Cox-Snell didefinisikan sama dengan
residual Cox-Snell pada model Cox proportional hazard. Perbedaan mendasarnya
adalah fungsi survival dan fungsi hazard-nya merupakan fungsi parametrik yang
bergantung pada distribusi yang diadopsi dari waktu survival (Collet 2003).
10
dengan
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
keterangan:
̂ �
= fungsi survival dari � pada model parametrik
̂
= koefisien estimasi dari
̂ ̂
= nilai estimasi dari dan
Pada model Weibull, fungsi survival adalah:
.
Untuk model eksponensial, fungsi survival sama seperti pada model Weibull
dengan skala parameter ditentukan sama dengan satu.
Menurut Pocock et al. 2002 dalam metode grafik ini, jika model yang kita
gunakan sesuai, maka grafik akan mengikuti garis 450. Keakuratan sebuah model
dapat juga dilihat dari tingkat penyimpangan data dari garis 450 (Terry 2000).
Untuk memastikan perbandingan model parametrik dan Cox proporsional hazard
maka juga diamati Mean Squared Error (MSE) dari setiap residual hasil simulasi.
Dalam statistik, mean squared error adalah satu dari beberapa metode estimasi
untuk mengukur perbedaan antara nilai pendugaan dan nilai sebenarnya (Rady
2011). Perbedaan terjadi karena adanya keacakan atau karena pendugaan model
tidak sesuai. Adapun rumus untuk menghitung MSE adalah
̂ (Kumar 2011).
∑
Proses Simulasi
Data survival eksponensial
Proses simulasi data survival yang berdistribusi eksponensial dilakukan
dengan tahap-tahap sebagai berikut:
Tahap I
1. Membangkitkan data survival yang berdistribusi eksponensial
2. Penyertaan status pengamatan (sensor/ lengkap) sebagai ciri khas dari
analisis survival
3. Data survival hasil bangkitan beserta status pengamatan kemudian
dianalisis dengan residual Cox-Snell untuk model parametrik eksponensial
dan dengan menggunakan model Cox proporsional hazard.
Tahap II
1. Membangkitkan data survival yang berdistribusi eksponensial dengan
penambahan error
2. Penyertaan status pengamatan (sensor/ lengkap) sebagai ciri khas dari
analisis survival
3. Data survival hasil bangkitan beserta status pengamatan kemudian
dianalisis dengan residual Cox-Snell untuk model parametrik eksponensial
dan dengan menggunakan model Cox proporsional hazard.
4. Mengulangi langkah 1-3 dengan penambahan error yang bereda-beda.
11
Tahap III
Perbandingan grafik hasil analisis
Tahap IV
Melihat prilaku model berdasarkan Mean Squared Error (MSE).
Setelah dilakukan simulasi berulang kali, beberapa Gambar ditampilkan
ditampilkan sebagai berikut,
Gambar 1 Grafik residual Cox-Snell Gambar 2 Grafik residual Cox-Snell
untuk
data
survival
untuk
data
survival
eksponensial
tanpa
eksponensial
tanpa
penambahan error dengan
penambahan error dengan
model analisis survival
model analisis survival
parametrik
Cox proporsional hazard.
Gambar 3 Grafik residual Cox-Snell Gambar 4 Grafik residual Cox-Snell
untuk
data
survival
untuk
data
survival
eksponensial
dengan
eksponensial
dengan
penambahan error dengan
penambahan error dengan
model analisis survival
model analisis survival
parametrik
Cox proporsional hazard.
12
Dari beberapa gambar yang ditampilkan di atas terlihat bahwa saat data
survival berdistribusi eksponensial murni, maka baik analisis data survival model
parametrik eksponensial maupun Cox proposional hazard keduanya dapat mem-fit
data dengan baik. Namun jika dibandingkan, terlihat model parametrik
eksponensial lebih baik dari Cox proporsional hazard. Dalam simulasi lanjutan
yaitu data bangkitan dengan penambahan error, model parametrik eksponensial
terlihat kurang cocok lagi dalam memodelkan data survival tersebut, sebaliknya
model Cox proporsional hazard tetap dapat mem-fit data dengan baik.
Hasilnya MSE-nya dapat ditampilkan pada Gambar di bawah ini
Ket:
error=0 (eksponen murni)
error=1 (eksp + � %
error=2 (eksp + � %
dst
Gambar 5 Grafik perbandingan MSE dari model eksponensial dan Cox
proporsional hazard
Dari Gambar 5 dapat terlihat bahwa sebelum data survival yang
berdistribusi eksponensial ditambahkan error, maka model parametrik
eksponensial lebih baik dibandingkan model Cox proporsional hazard. Setelah
data survival yang berdistribusi eksponensial dimanipulasi dengan penambahan
error kemudian dianalisis dengan menggunakan model parametrik eksponensial
maka terlihat error-nya semakin meningkat yang menjelaskan bahwa model
tersebut kurang cocok. Sebaliknya apabila data survival dengan manipulasi
tersebut dianalisis dengan model Cox proporsional hazard maka terlihat dari
gambar bahwa error yang terjadi bersifat konsisten dan error-nya kecil.
Salah satu kelompok data yang dibangkitkan dengan penambahan error
yang masih bisa ditolerir (error kecil) diolah untuk melihat sejauh mana
perbedaan kedua metode(eksponensial dan Cox proporsional hazard) tersebut
dalam menduga parameter terhadap kovariat. Hasilnya disajikan sebagai berikut
Tebel 1 Pendugaan parameter dengan metode parametrik eksponensial dan
Cox proporsional hazard
Variable
Parameter Estimation
Standard Error
Hazard Ratio
Kov
1.4049
0.2021
4.0751
(eksponensial)
kov
1.38046
0.25391
3.977
(Cox PH)
Dari tabel di atas terlihat bahwa perbedaan hasil pendugaan parameter
antara metode parametrik dan Cox proporsional hazard tidak berbeda jauh yakni
13
1.4049 (SE=0.2021) dan 1.38046 (SE=0.25391). Artinya metode Cox
proporsional hazard dapat dengan baik menduga parameter dari data dengan
distribusi eksponensial.
Data Survival Weibull
Proses simulasi data survival yang berdistribusi Weibull dilakukan dengan
tahap-tahap sebagai berikut:
Tahap I
1. Membangkitkan data survival yang berdistribusi Weibull
2. Penyertaan status pengamatan (sensor/ lengkap) sebagai ciri khas dari
analisis survival
3. Data survival hasil bangkitan beserta status pengamatan kemudian
dianalisis dengan residual Cox-Snell untuk
model parametrik
eksponensial dan dengan menggunakan model Cox proporsional hazard.
Tahap II
1. Membangkitkan data survival yang berdistribusi Weibull dengan
penambahan error
2. Penyertaan status pengamatan (sensor/ lengkap) sebagai ciri khas dari
analisis survival
3. Data survival hasil bangkitan beserta status pengamatan kemudian
dianalisis dengan residual Cox-Snell untuk
model parametrik
eksponensial dan dengan menggunakan model Cox proporsional hazard.
4. Mengulangi langkah 1-3 dengan penambahan error yang bereda-beda.
Tahap III
Perbandingan grafik hasil analisis
Tahap IV
Melihat prilaku model berdasarkan Mean Squared Error (MSE).
Setelah dilakukan simulasi berulang kali, beberapa Gambar ditampilkan
ditampilkan sebagai berikut.
Gambar 6 Grafik residual Cox-Snell Gambar 7 Grafik residual Cox-Snell
untuk
data
survival
untuk data survival Weibull
Weibull
tanpa
dengan penambahan error
penambahan error dengan
dengan model analisis
model analisis survival
survival Cox proporsional
parametrik
hazard.
14
Gambar 8 Grafik residual Cox-Snell Gambar 9 Grafik residual Cox-Snell
untuk
data
survival
untuk data survival Weibull
Weibull
dengan
dengan penambahan error
penambahan error dengan
dengan model analisis
model analisis survival
survival Cox proporsional
parametrik
hazard.
Dari beberapa gambar yang ditampilkan di atas terlihat bahwa saat data
survival berdistribusi Weibull murni, maka baik analisis data survival model
parametrik Weibull maupun Cox proposional hazard keduanya dapat mem-fit data
dengan baik. Namun jika dibandingkan, terlihat model parametrik Weibull lebih
baik dari Cox proporsional hazard. Dalam simulasi lanjutan yaitu data bangkitan
dengan penambahan error, model parametrik weibull terlihat kurang cocok lagi
dalam memodelkan data survival tersebut, sebaliknya model Cox proporsional
hazard tetap dapat mem-fit data dengan baik. Hasilnya MSE-nya dapat
ditampilkan pada gambar di bawah ini:
Ket:
error=0 (Weibull murni)
error=1 (eksp + � %
error=2 (eksp + � %
dst
Gambar 10 Gambar perbandingan MSE dari model Weibull dan Cox
proporsional hazard
Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa sebelum data survival yang
berdistribusi Weibull ditambahkan error, maka model parametrik lebih baik
dibandingkan model Cox proporsional hazard. Setelah data survival yang
berdistribusi Weibull dimanipulasi dengan penambahan error kemudian dianalisis
15
dengan menggunakan model parametrik maka terlihat error-nya semakin
meningkat yang menjelaskan bahwa model tersebut kurang cocok. Sebaliknya
apabila data survival dengan manipulasi tersebut dianalisis dengan model Cox
proporsional hazard maka terlihat dari gambar bahwa error yang terjadi bersifat
konsisten dan error-nya kecil.
Salah satu kelompok data yang dibangkitkan dengan penambahan error
yang masih bisa ditolerir (error kecil) diolah untuk melihat sejauh mana
perbedaan kedua metode (Weibull dan Cox proporsional hazard) tersebut dalam
menduga parameter terhadap kovariat. Hasilnya disajikan sebagai berikut
Tebel 2. Pendugaan parameter dengan metode parametrik Weibull dan Cox
proporsional hazard
Variable
Parameter Estimation Standard Error
Hazard Ratio
kov
1.269
0.3660
3.5573
(Weibull)
kov
1.01317
0.4574
2.754
(Cox PH)
Dari tabel di atas terlihat bahwa perbedaan hasil pendugaan parameter
antara metode parametrik dan Cox proporsional hazard tidak berbeda jauh yakni
1.2690 (SE=0.3660) dan 1.0132 (SE = 0.4574). Artinya metode Cox proporsional
hazard dapat dengan baik menduga parameter dari data dengan distribusi Weibull.
Dari hasil simulasi yang dilakukan, dapat dikatakan bahwa model Cox
proporsional hazard cukup handal dalam memodelkan berbagai jenis data, baik
data survival yang mengikuti distribusi tertentu ataupun tidak. Sehingga, untuk
menganalisis data selang kelahiran anak pertama, cukup digunakan model ini
untuk analisisnya.
Analisis Selang Kelahiran Anak Pertama di Indonesia
Interval kelahiran anak pertama adalah salah satu contoh data survival.
Dalam demografi ada tiga hal yang sangat berpengaruh, yaitu kematian
(mortality), perpindahan (migration), dan kelahiran (fertility). Interval kelahiran
anak pertama dapat digunakan sebagai salah satu indikator dari fertilitas. Interval
kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur perkawinan dengan umur
kelahiran anak pertama. Dalam analisis selang kelahiran anak pertama ini, risiko
diartikan sebagai tingkat keberhasilan dari seorang wanita menikah melahirkan
anak pertamanya. Pada kenyataannya panjang interval kelahiran anak pertama
dari tiap wanita menikah tidaklah sama. Berdasarkan penelitian yang ada, interval
kelahiran anak pertama ditentukan oleh berbagai faktor sosial dan budaya serta
faktor fisiologi. Menurut Ibrohim (1994) ada beberapa faktor yang mempengaruhi
interval kelahiran anak pertama antar lain daerah tempat tinggal, tingkat
pendidikan, umur, pengetahuan tentang alat kontrasepsi dan status bekerja.
Sebagian wanita menikah telah melahirkan anak pertama beberapa bulan setelah
perkawinan sehingga data yang diperoleh merupakan data lengkap, namun
sebagian lainnya belum mempunyai anak yakni data tersensor. Dengan demikian
interval kelahiran anak pertama merupakan salah satu contoh dari data survival.
Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan
16
sampai terjadinya sesuatu peristiwa. Ciri khas dari data survival adalah survival
time (waktu bertahan hidup) seringkali tidak dapat diamati secara lengkap
(tersensor). Jika semua kejadian yang diharapkan terjadi, dan dapat diamati
secara utuh maka beberapa metode analisis bisa dilakukan, namun data survival
bersifat sensor (Clark et al. 2003). Menganalisis data survival menggunakan
metode biasa tidak cocok karena akan menimbulkan bias (Widyaningsih 2006).
Untuk mengurangi bias tersebut diperlukan suatu metode tertentu untuk
menganalisisnya, yaitu analisis survival.
Model Cox Proporsional Hazard dan Cox Extended
Cox (1972) menjelaskan bahwa bentuk umum dari model Cox proportional
hazard adalah:
(
).
dengan adalah kovariat, tetapi ia tidak membuat asumsi tentang bentuk dari
yang disebut dengan baseline fungsi hazard karena itu adalah nilai dari
fungsi hazard saat
Terkadang ditemukan kovariat yang bergantung terhadap waktu sehingga
asumsi proporsional tidak dipenuhi, sehingga bentuk di atas dikembangkan
menjadi model Cox extended:
Untuk memeriksa asumsi proporsional dari kovariat, model Cox extended
menjadi:
(
)
∑
∑
dengan
merupakan fungsi terhadap waktu dan penting sekali untuk
Berikut kemungkinan fungsi
menentukan bentuk yang tepat dari
menurut:
merupakan bentuk yang paling sederhana sehingga
i.
menghasilkan model Cox proportinal hazard.
. Jika hasil pengujian signifikan maka model Cox extended
ii.
lebih baik daripada Cox proportional hazard sehingga hazard ratio
merupakan fungsi terhadap waktu.
iii.
heavyside function. Ketika fungsi ini digunakan maka diperoleh
iv.
hazard ratio yang konstan untuk interval waktu yang berbeda.
Pendugaan Parameter
Dalam menduga parameter
Cox menggunakan prosedur
maximum likelihood estimation (penduga kemungkinan maksimum) dengan
hanya mempertimbangkan peluang individu yang mengalami kejadian saja yang
disebut partial likelihood (Kleinbaum dan Klein 2012). Pendugaan
17
menggunakan partial likelihood yaitu memaksimumkan fungsi partial
likelihood. Fungsi partial likelihood merupakan fungsi peluang bersama dari data
ketahanan tak tersensor berupa fungsi dari parameter yang tidak diketahui nilainya.
Collet (2003) menyatakan bahwa pendugaan parameter
dapat dibuktikan
dengan mengambil kasus individu bertahan hidup sehingga kejadian berupa
individu dengan
individu yang mengalami
kematian. Misalkan terdapat
kematian maka (
individu tersensor. Asumsikan bahwa hanya terdapat satu
individu yang meninggal pada waktu kematian tertentu (tidak terdapat ties).
Misalkan pula
merupakan waktu ketahanan terurut
tak tersensor. Peluang kematian individu ke- pada saat
dengan syarat
satu-satunya waktu kematian dari
dan kovariat untuk individu
yang meninggal pada saat
adalah
dinotasikan sebagai rasio dari peluang
individu dengan kovariat
meninggal saat
dan
satu-satunya waktu
kematian dari
.
Pembilang merupakan risiko kematian individu ke- pada saat
,
dinotasikan
, sedangkan penyebut merupakan jumlah risiko kematian saat
untuk semua individu yang mempunyai risiko kematian saat
atau
penjumlahan
dalam
, dengan
merupakan himpunan
individu yang berisiko mengalami kematian saat
yaitu individu-individu yang
hidup dan tak tersensor sesaat sebelum
sehingga
disebut risk set.
Misalkan A adalah kejadian individu ke- dengan kovariat
meninggal saat
dan B adalah kejadian kematian tunggal saat
. Persamaan di atas menjadi
.
∑
Dengan mensubstitusikan persamaan pada model Cox proporsional hazard
diperoleh
∑
∑
.
Dengan demikian fungsi likelihood dari peluang bersyarat di atas adalah
∏
∑
dengan
merupakan vektor kovariat untuk individu yang meninggal saat
.
Besaran ∑
merupakan penjumlahan nilai
untuk
setiap individu anggota
. Perkalian pada fungsi likelihood hanya untuk
individu yang tak tersensor. Individu yang tersensor tidak termasuk dalam
pembilang tetapi terdapat pada penyebut yaitu penjumlahan
untuk
setiap anggota
.
Misalkan data terdiri dari
pengamatan waktu ketahanan yaitu
dan adalah indikator kejadian dengan nilai
i ivi u
t rs s r
{
1, i
.
Maka persamaan fungsi likelihood dapat dinyatakan sebagai
18
∏
∑
Jika dilogaritmakan maka diperoleh
(∏
∑(
∑
Penduga parameter
, yaitu solusi dari
∑
)
∑
)
∑
∑
∑
dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log
∑
∑
∑
Solusi persamaan tersebut sulit dicari secara analitik tapi lebih mudah
diselesaikan dengan menggunakan metode numerik.
Hazard Ratio
Hazard ratio merupakan hazard relatif dari individu ke-i dengan kovariat
(
) mengalami peristiwa dibandingkan individu ke-j dengan
kovariat
(
) yang konstan atau bebas terhadap waktu. Hazard
ratio juga menunjukkan adanya peningkatan atau penurunan risiko individu yang
dikenai perlakuan tertentu. Misalkan terdapat dua individu dengan karakteristik
tersebut maka dari model umum Cox proporsional hazard, bisa diperoleh formula
untuk menduga hazard ratio, yaitu:
̂
(
(
)
)
{ (
)
}
Untuk kovariat yang bersifat katagorik dengan variabel dummy bernilai 1
dan 0 maka hazard ratio dapat diinterpretasikan sebagai ratio dari pendugahazard
untuk individu bernilai 1 terhadap penduga hazard untuk individu yang bernilai 0.
sedangkan untuk kovariat yang bersifat kuantitatif, lebih bermakana jika hazard
19
ratio dikrangi 1 lalu dikalikan dengan 100% yang menyatakan perubahan
persentase hazard penduga untuk penambahan 1 unit peubah tersebut.
Hasil Analisis
Sebagai ilustrasi pada data interval kelahiran anak pertama akan dianalisis
dengan metode Kaplan-Meier. Menurut Hoon (2008) Kaplan-Meier merupakan
metode yang digunakan untuk membandingkan waktu survival dari dua kelompok
kovariat. Keuntungan dari metode ini adalah karena termasuk metode nonparametrik yang tidak memerlukan pengetahuan sebaran tertentu (Kaplan dan
Meier 1958).
Metode ini cocok sebab data yang digunakan merupakan data individu,
selain itu cocok digunakan untuk ukuran data kecil, sedang dan besar. Misalkan
waktu kelahiran anak pertama adalah r dan banyaknya wanita yang menikah
adalah n, dengan r ≤ n. Peluang kelahiran anak pertama dalam setiap selang j
diduga dengan
, dan peluang bertahannya diduga dengan ̂
(
fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier diberikan oleh persamaan,
̂
̂
̂
̂
̂
∏
∏
) Penduga
̂
̂
Untuk
Peubah responnya adalah waktu dari menikah sampai melahirkan anak
pertama dan peubah yang mempengaruhi tingkat survival adalah daerah tempat
tinggal (0=desa,1=kota).
Hasil analisis survival menggunakan metode Kaplan-Meier untuk peubah
bebas daerah tempat tinggal dalam gambar adalah sebagai berikut.
Gambar 11 Fungsi survival metode Kaplan-Meier untuk peubah bebas
daerah tempat tinggal
Dari Gambar 11 terlihat bahwa survival individu yang bertempat tinggal di
desa berbeda dengan yang bertempat tinggal di kota. Selanjutnya akan dilakukan
20
uji hipotesis untuk melihat apakah perbedaan itu nyata atau kebetulan saja, dengan
hipotesis sebagai berikut,
Daerah penolakan
adalah jika nilai statistik Logrank,
. Hasil
uji logrank berdasarkan kovariat status daerah tempat tingal disajikan dalam tabel
berikut,
Tabel 3 Hasil uji log rank untuk melihat perbedaan tingkat survival kelahiran
anak pertama kovariat tempat tinggal
Chi-Square
df
Sig.
Log Rank (Mantel-Cox)
9,136
1
,003
Dengan taraf nyata 0.05 uji khi-kuadrat berderajat bebas 1 didapat nilai W
tersebut cukup signifikan untuk menolak
. Jadi dapat disimpulkan bahwa
terdapat perbedaan yang nyata antara tingkat survival kelahiran anak pertama
individu yang tinggal di desa dan yang di kota.
Jika data survival yang akan dibandingkan lebih dari dua kelompok individu,
misalnya ingin melihat perbedaan karakteristik daerah tempat tinggal, tingkat
pendidikan, umur, pengetahuan tentang alat kontrasepsi dan lain-lain maka
metode Kaplan-Meier menjadi tidak praktis. Hal ini dikarenakan dalam metode
Kaplan-Meier setiap dua kelompok populasi harus diuji secara tersendiri,
sehingga jika ada beberapa kelompok maka harus dilakukan uji berulang-ulang.
Jika responden mempunyai beberapa karakteristik, metode Cox proporsional
hazard dapat menerangkan pengaruh karakteristik-karakteristik tersebut terhadap
peubah respon secara simultan.
Tabel 4 Penduga parameter, nilai-p, dan hazard ratio dengan menggunakan model
Cox proporsional hazard
Penduga
Standar
Peubah penjelas
Nilai -p
Hazard ratio
parameter
error
Daerah tempat tinggal -0.32835
0.05896
KELAHIRAN ANAK PERTAMA DI INDONESIA
RAHMAT HIDAYAT
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Survival dalam
Memodelkan Selang Kelahiran Anak Pertama di Indonesia adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Rahmat Hidayat
NIM G551120131
RINGKASAN
RAHMAT HIDAYAT. Analisis survival dalam memodelkan selang kelahiran
anak pertama di Indonesia. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ENDAR
HASAFAH NUGRAHANI.
Banyak hal yang terjadi dalam kehidupan kita yang berkaitan dengan waktu.
Waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa yang dianggap
menarik disebut dengan waktu survival. Salah satu contoh data survival adalah
selang kelahiran anak pertama. Selang kelahiran anak pertama didefinisikan
sebagai selisih antara umur pernikahan dan umur kelahiran anak pertama. Pada
kenyataannya panjang selang kelahiran anak pertama dari tiap wanita menikah
tidaklah sama. Berdasarkan penelitian yang ada, selang kelahiran anak pertama
ditentukan oleh berbagai faktor sosial dan budaya, seperti tempat tinggal, tingkat
pendidikan, umur perkawinan, status bekerja, serta faktor fisiologi. Sebagian
wanita menikah telah melahirkan anak pertama beberapa bulan setelah
perkawinan sehingga data yang diperoleh merupakan data lengkap, namun
sebagian lainnya belum mempunyai anak pertama sehingga data yang diperoleh
berupa data tersensor. Menganalisis data yang mengandung data tersensor
menggunakan metode biasa akan menimbulkan bias, sehingga untuk mengurangi
bias tersebut diperlukan suatu metode tertentu, yang disebut analisis survival.
Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan menentukan
metode analisis terbaik bagi data selang kelahiran anak pertama, dan mempelajari
faktor-faktor yang dominan mempengaruhi selang kelahiran anak pertama.
Penelitian ini dilakukan dalam dua langkah, langkah pertama melakukan
analisis terhadap perilaku model yang biasa digunakan dalam analisis survival.
Untuk melihat perilaku model ini digunakan salah satu tekhnik residual dalam
analisis survival yaitu residual Cox-Snell. Untuk melihat perilaku model ini
digunakan data survival berdistribusi eksponensial dan Weibull yang kemudian
dimanipulasi dengan penambahan error. Langkah kedua adalah menggunakan
hasil pada langkah pertama untuk memodelkan data selang kelahiran anak
pertama di Indonesia.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode Cox proporsinal hazard cukup
handal dalam memodelkan suatu data survival, sehingga data tentang selang
kelahiran anak pertama di Indonesia dimodelkan dengan metode Cox proporsional
hazard. Untuk menguji apakah metode ini memang cocok untuk memodelkan data
selang kelahiran anak pertama di Indonesia dilakukan uji terhadap asumsi
proporsional terhadap setiap kovariat yang digunakan. Hasil uji menunjukkan
bahwa salah satu kovariat yang diteliti tidak memenuhi asumsi proporsional, yaitu
kovariat umur pernikahan, sehingga data kembali dimodelkan dengan
menggunakan metode Cox extended. Hasil menunjukkan bahwa peubah tempat
tinggal, lulus SD, lulus SMP, lulus SMA, dan umur pernikahan merupakan
peubah yang berpengaruh nyata terhadap risiko individu melahirkan anak
pertama. Dari nilai hazard ratio terlihat bahwa individu yang bertempat tinggal di
kota memiliki risiko melahirkan anak pertama lebih kecil dibandingkan individu
yang bertempat tinggal di desa sebesar 0.719 kali, serta riwayat pendidikan
individu yang lulus SD, lulus SMP, dan lulus SMA atau lebih akan menaikkan
risiko melahirkan anak pertama berturut-turut sebesar 1.730, 2.648, 4.235 kalinya
individu yang memiliki riwayat pendidikan rendah atau tidak lulus SD. Setiap
penambahan usia pernikahan sebesar satu tahun maka akan meningkatkan risiko
melahirkan anak pertama sebesar 7.1% dengan tingkat penurunan yang semakin
mengecil pada t yang meningkat.
Kata kunci: sensor, analisis survival, Cox proporsional hazard, Cox extended
SUMMARY
RAHMAT HIDAYAT. Survival Analysis Modeling of Birth Interval of The First
Child in Indonesia. Supervised by HADI SUMARNO and ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI.
Many things happen in our lives that relates to time. The time from the
beginning of the observation until the occurrence of an event that is considered
attractive is called the survival time. First birth interval is one of an example of
survival data. First birth interval is defined as the difference in the age of marriage
and age group should first child's birth. In fact the first birth interval length of
each married woman is not the same. Based on existing research, the first birth
interval is determined by a variety of social and cultural factors such as: place of
residence, education level, marital age, working status and physiological factors.
Most married women has given birth to her first child a few months after the
marriage so that the data obtained is the complete data, but others do not have a
first child so that the data obtained in the form of data censored. To analyze the
data contain censored data using ordinary methods would lead to bias, so as to
reduce the bias that required a certain method survival analysis.
Based on the above, this study aims to determine the best method for the
analysis of the first birth interval data, and study the dominant factors affecting
the birth of her first child intervals.
The research method used is a literature study, the first step to analyze the
behavior of the model used in survival analysis. To see the behavior of this model
is one of the techniques used in the survival analysis residual namely Cox-Snell
residuals. To see the behavior of the model used exponentially distributed survival
data and weibul are then manipulated by the addition of an error. The second step
is to use the results of the first step to model the interval data first child in
Indonesia.
The results showed that the method of Cox hazard proporsinal quite reliable
in modeling the survival data. Because this method is considered to be quite
reliable, the data on the first birth interval in Indonesia modeled by Cox
proportional hazard method. To test whether this method is suitable for modeling
the data interval first child in Indonesia is carried out to test the assumption of
proportional to each covariate were used. The test results showed that one of the
covariates under study did not meet the proportional assumption that the
covariates of age, so that the data re-modeled using the extended Cox method. The
results showed that the variables residence, finished elementary school, junior
high school graduation, high school graduation, and age are variables that
significantly affect an individual's risk first child. Hazard ratio of values seen that
individuals who reside in the city are at risk first child less than individuals who
reside in the village by 0.719 times, and the history of education of individuals
who graduated from elementary school, junior high school graduate, and
graduated from high school or more will increase the risk of giving birth the first
child in a row at 1.730, 2.648, 4.235 time individuals who have a history of low
education or elementary school. Each additional year of age will increase the risk
of having a first child at 7.1% with a much smaller rate of decline is increasing at t,
after about several years of age enhancement will reduce the risk of marriage first
child was 3.8%.
Keywords: sensors, survival analysis, Cox proportional hazards, Cox extended
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISIS SURVIVAL DALAM MEMODELKAN SELANG
KELAHIRAN ANAK PERTAMA DI INDONESIA
RAHMAT HIDAYAT
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA
Judul Tesis : Analisis Survival dalam Memodelkan Selang Kelahiran Anak
Pertama di Indonesia
Nama
: Rahmat Hidayat
NIM
: G551120131
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Ketua
Dr Ir Endar H. Nugrahni, MS
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr. Ir. Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian:
(19 Juni 2014)
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2013 ini ialah
analisis survival, dengan judul Analisis Survival dalam Memodelkan Selang
Kelahiran Anak Pertama di Indonesia.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa bantuan-bantuan dan arahan-arahan
dari kedua pembimbing sangat membantu dalam menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku
pembimbing I dan Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku pembimbing
II.
Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Prof Dr Ir Herry Suhardiyanto, MSc selaku Rektor Institut Pertanian Bogor.
2. Dr Ir Dahrul Syah, MSc Agr selaku Dekan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor.
3. Dr Jaharuddin selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan sekaligus
sebagai Pembimbing II.
4. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji luar komisi pembimbing.
5. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika.
6. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Unggulan.
7. Badan Kependudukan dan Keluarga Berencana Nasional (BKKBN).
8. Orang tua, saudara dan seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan
dan mendoakan untuk keberhasilan studi bagi penulis.
9. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman angkatan
tahun 2012 di program studi S2 Matematika Terapan.
10. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
serta wawasan kita semua.
Bogor, Juli 2014
Rahmat Hidayat
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vii
DAFTAR GAMBAR
vii
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
1
1
1
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Data Survival
Jenis-Jenis Penyensoran pada Data Survival
Fungsi Survival
Fungsi Kepekatan Peluang
Fungsi Hazard
Fungsi Likelihood
Akaikes Information Criterion(AIC)
Uji Hipotesis
Interval Kelahiran Anak Pertama
Sebaran Eksponensial
Model Eksponensial dengan Penyertaan Kovariat
Distribusi Weibull
Model Weibull dengan Penyertaan Kovariat
Model Cox Proporsional Hazard
Simulasi
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
6
7
7
7
8
3 METODE
Data
Definisi Operasional
8
8
8
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Perilaku Model
Proses Simulasi
Data Survival Weibull
Analisis Selang Kelahiran Anak Pertama di Indonesia
Model Cox Proporsional Hazard dan Cox Extended
Pendugaan Parameter
Hazard Ratio
Hasil Analisis
Interpretasi
9
9
10
13
15
16
16
18
19
22
5 SIMPULAN
Simpulan
22
22
DAFTAR PUSTAKA
24
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
Pendugaan parameter dengan metode parametrik ekponensial dan Cox
proporsional hazard
Pendugaan parameter dengan metode parametrik Weibull dan Cox
proporsional hazard
Hasil uji logrank untuk melihat perbedaan tingkat survival kelahiran
anak pertama kovariat tempat tinggal
Pendugaan parameter, nilai-p, dan hazard ratio dengan menggunakan
model Cox proporsional hazard
Korelasi dan nilai-p peubah penjelas
Nilai AIC model
Pendugaan parameter, nilai-p, dan hazard ratio dengan menggunakan
model Cox extended
12
15
20
20
21
21
21
DAFTAR GAMBAR
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival eksponensial tanpa
penambahan error dengan model analisis survival parametrik
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival eksponensial tanpa
penambahan error dengan model analisis survival Cox proporsional
hazard.
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival eksponensial dengan
penambahan error dengan model analisis survival parametrik
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival eksponensial dengan
penambahan error dengan model analisis survival Cox proporsional
hazard.
Grafik perbandingan MSE dari model eksponensial dan Cox
proporsional hazard
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival Weibull tanpa
penambahan error dengan model analisis survival parametrik
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival Weibull tanpa
penambahan error dengan model analisis survival Cox proporsional
hazard.
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival Weibull dengan
penambahan error dengan model analisis survival parametrik
Grafik residual Cox-Snell untuk data survival Weibull dengan
penambahan error dengan model analisis survival Cox proporsional
hazard.
Grafik perbandingan MSE dari model Weibull dan Cox proporsional
hazard
Fungsi survival metode Kaplan-Meier untuk peubah bebas daerah
tempat tinggal
11
11
11
11
12
13
13
14
14
14
19
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Hasil sensus penduduk menunjukkan bahwa jumlah penduduk Indonesia
adalah 237,6 juta jiwa tahun 2010. Angka tersebut menempatkan Indonesia pada
urutan keempat dari negara yang berpenduduk paling besar di dunia setelah
Republik Rakyat Cina, India, dan Amerika Serikat. Tidak hanya di Indonesia, di
berbagai negara di dunia menganggap bahwa masalah kepadatan penduduk
merupakan masalah yang harus ditangani karena akan memberikan dampak
negatif bagi negara itu sendiri.
Dalam demografi ada tiga hal yang sangat berpengaruh, yaitu kematian
(mortality), perpindahan (migration), dan kelahiran (fertility). Selang kelahiran
anak pertama dapat digunakan sebagai salah satu indikator dari fertilitas. Interval
kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur perkawinan dengan umur
kelahiran anak pertama. Pada kenyataannya panjang selang kelahiran anak
pertama dari tiap wanita menikah tidaklah sama. Berdasarkan penelitian yang ada,
interval kelahiran anak pertama ditentukan oleh berbagai faktor sosial dan budaya
serta faktor fisiologi. Menurut Ibrohim (1994) ada beberapa faktor yang
mempengaruhi selang kelahiran anak pertama antar lain daerah tempat tinggal,
tingkat pendidikan, umur, pengetahuan tentang alat kontrasepsi dan status bekerja.
Sebagian wanita menikah telah melahirkan anak pertama beberapa bulan setelah
perkawinan sehingga data yang diperoleh merupakan data lengkap, namun
sebagian lainnya belum mempunyai anak yakni data tersensor. Dengan demikian
selang kelahiran anak pertama merupakan salah satu contoh dari data survival.
Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan
sampai terjadinya sesuatu peristiwa. Ciri khas dari data survival adalah survival
time (waktu bertahan hidup) seringkali tidak dapat diamati secara lengkap
(tersensor). Jika semua kejadian yang diharapkan terjadi, dan dapat diamati
secara utuh maka beberapa metode analisis bisa dilakuakan, namun data survival
bersifat sensor (Clark et al. 2003).
Perumusan Masalah
Menganalisis data survival menggunakan metode biasa tidak cocok karena
akan menimbulkan bias. Untuk mengurangi bias tersebut diperlukan suatu metode
tertentu untuk menganalisisnya, yaitu analisis survival.
Tujuan Penelitian
Oleh karena itu, tujuan dari penelitian ini adalah untuk memodelkan selang
kelahiran anak pertama di Indonesia dengan menggunakan analisis survival serta
menganalisis faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi selang kelahiran anak
pertama di Indonesia.
2
Manfaat Penelitian
1. Bagi keilmuan, dapat menyumbangkan suatu model interval kelahiran
anak pertama di Indonesia
2. Bagi pengambil kebijakan seperti BKKBN, sebagai bahan pertimbangan
dalam menentukan prioritas kebijakan yang akan diambil.
2 TINJAUAN PUSTAKA
Data Survival
Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal
pengamatan sampai dengan terjadinya suatu peristiwa, peristiwa itu dapat berupa
kematian, respon, timbul gejala, dan lain-lain. Data survival dapat diamati secara
lengkap (data tidak tersensor) dan tidak lengkap (data tersensor) (Lee dan Wang
2003).
Data survival digunakan untuk mempelajari waktu survival seorang pasien
atau waktu survival binatang percobaan. Namun seiring dengan kemajuan
pengetahuan, data survival banyak diaplikasikan dalam dunia industri dan dunia
bisnis. Beberapa contoh analisis survival data non-medical adalah kegagalan atau
kerusakan komponen mesin, lama bertahannya baterai laptop, dan waktu
seseorang setelah lulus untuk mendapat pekerjaan.
Allison (2010) menyatakan bahwa beberapa penelitian menganggap analisis
data survival semata-mata menggunakan dua metode statistika konvensional,
asumsi tersebut benar jika waktu survival dari semua subjek diketahui secara pasti,
meskipun pada kenyataanya tidak. Sehingga membutuhkan tekhnik statistik yang
baru. Salah satu pengembangan dari tekhnik tersebut yaitu ketika objek amatan
tidak bisa diamat secara utuh, karena adanya individu yang hilang ataupun dengan
alasan lain, sehingga tidak dapat diambil datanya atau sampai akhir pengamatan
individu tersebut belum mengalami peristiwa. Jika berada dalam kondisi
sebaliknya maka disebut data tidak tersensor.
Jenis-Jenis Penyensoran pada Data Survival
Ada tiga macam penyensoran yang sering digunakan dalam eksperimen
waktu survival, yaitu sebagai berikut:
1. Sampel lengkap (tidak tersensor), jika semua komponen yang diuji telah mati
atau gagal, maka eksperimen akan dihentikan.
2. Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu
yang bersamaan, dan pengujian akan dihentikan setelah batas waktu yang
ditentukan.
3. Sensor tipe II, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu
yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan objek di
antaranya gagal atau mati dengan
(Collet 1994).
3
Fungsi Survival
Fungsi survival adalah peluang individu dapat bertahan hingga atau lebih
dari waktu t yang didefinisikan sebagai berikut:
Fungsi survival juga adalah integral fungsi
Dimana
kepekatan peluang
∫
.
Fungsi Kepekatan Peluang
Fungsi kepekatan peluang didefinisikan sebagai limit dari peluang individu
mengalami kejadian dalam interval t sampai .
Fungsi Hazard
Fungsi hazard yaitu fungsi yang menyatakan peluang seseorang mengalami
risiko atau kejadian seperti kegagalan atau meninggal pada waktu t dengan syarat
bahwa seseorang itu telah bertahan hingga waktu t, fungsinya diberikan Cox pada
tahun 1972:
.
Dari definisi di atas diperoleh hubungan antara fungsi survival dengan
fungsi hazard.
Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat, diperoleh:
Persamaan di atas diintegralkan dari 0 sampai t dengan S(0)=1 yaitu
∫
4
(Collet 2003).
Fungsi Likelihood
Misalkan
adalah peubah acak yang saling bebas dari sebaran
yang mempunyai fungsi kepekatan peluang
dengan parameter . Fungsi
likelihood adalah fungsi kepekatan peluang bersama
yang merupakan fungsi dari yang dinotasikan dengan
∏
Penduga
yang memaksimumkan fungsi likelihood dapat dicari dengan
menentukan solusi dari persamaan
∑
Akaikes Information Criterion(AIC)
AIC merupakan salah satu ukuran untuk pemilihan model regresi terbaik yang
diperkenalkan oleh Hirotugu Akaike pada tahun 1973. Metode tersebut didasarkan
pada maximum likelihood estimation (Latif et al. 2008), dengan persamaan
̂
̂
dengan merupakan fungsi likelihood, q jumlah parameter , dan konstanta yang
ditentukan. Nilai α yang sering digunakan yaitu antara 2 dan 6 (Collet 2003).
Uji Hipotesis
Uji hipotesis adalah suatu aturan yang digunakan untuk menerima atau
menolak suatu hipotesis dari hasil amatan yang diperoleh. Hipotesa mengenai
populasi yang akan kita terima kebenarannya sampai ada bukti untuk menolaknya
dinamakan hipotesis nol (null hypotesis, H0). Apabila hipotesis ini ditolak
kebenarannya, maka ada hipotesis lain yang kita anggap benar, yaitu hipotesis
tandingan (Alternatife hypotesis, H1).
Dalam peumusan H1 dikenal dua macam hipotesis yaitu:
a. Hipotesis eka arah
1.
2.
b. Hipotesis dwi arah
Untuk menolak atau menerima hipotesis nol maka terlebih dahulu
ditentukan taraf nyata . Taraf nyata adalah peluang menolak hipotesis nol saat
5
hipotesis nol benar. Hipotesis ditolak pada saat berada di daerah kritis yang
disebut sebagai daerah penolakan H0 (Hogg dan Craig 1995).
Interval Kelahiran Anak Pertama
Interval kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur kelahiran anak
pertama (L) dengan umur perkawinan pertama (K), yaitu L-K.
Sebaran Eksponensial
Peneliti biasanya memilih sebaran eksponensial untuk model data survival
karena metode statistiknya sederhana. Distribusi exponensial ditandai dengan
fungsi hazard yang konstan
Fungsi kepekatan peluang dan fungsi survival-nya adalah
(Lawless 2002)
Semakin besar nilai menyebabkan risiko yang tinggi dan waktu survival
yang singkat. Sebaliknya semakin kecil nilai menyebabkan risiko yang kecil
dan waktu survival-nya panjang.
Sifat-sifat distribusi eksponensial:
1.
∫
dimana
Bukti:
∫
(
( )
2.
Bukti:
∫
∫ (
)
∫
)
∫
6
[
∫
]
∫
[
3.
Bukti:
∫
(
)]
∫
∫
∫
[
4.
]
, nilai hazard konstan.
Model Eksponensial dengan Penyertaan Kovariat
Waktu survival dapat dianalisis dengan menggunakan accelerated failure
time (AFT) model. Dalam waktu survival model ini mengasumsikan bahwa
hubungan logaritma dari waktu survival T dan kovariat adalah linear dan dapat
ditulis
∑
�
dengan
, j=1,2,...,p adalah kovariat,
koefisien
adalah
parameter skala dan � adalah error.
Love et al. 2003 menjelaskan bahwa untuk penyertaan kovariat dalam
distribusi eksponensial, kita menggunakan persamaan di atas dan menggunakan
sehingga diperoleh
∑
�
�
7
∑
dengan
. T adalah distribusi eksponensial dengan fungsi
hazard, fungsi kepekatan, dan fungsi survival berturut-turut
∑
)]
[ (
Distribusi Weibull
Sebaran
Weibull
memiliki
fungsi
memiliki fungsi survival
kepekatan
peluang
dan fungsi
hazard
Model Weibull dengan Penyertaan Kovariat
Model Weibull dengan penyertaan kovaraiat memiliki fungsi hazard, fungsi
kepekatan, dan fungsi survival berturut-turut
.
(
(
)
)
)
(
(
)
Model Cox Proporsional Hazard
Cox dan Oakes (1984) menyatakan dalam analisis data survival, metode
paramatrik digunakan apabila bentuk distribusi survival-nya diketahui. Meskipun
demikian dalam prakteknya bentuk pasti dari distribusinya kadang tidak diketahui
dan kita mungkin tidak menemukan model yang tepat. Oleh karena itu,
menggunakan metode parametrik untuk melakukan analisis terhadap data survival
sangat terbatas, sehingga dikembangkan model baru untuk menangani hal
tersebut. Model Cox proporsional hazard adalah model yang biasa digunakan.
Model ini tidak memerlukan pengetahuan tentang bentuk distribusi.
Cox proporsional hazard adalah model yang biasa digunakan untuk
pendekatan multivariat untuk analisis data (Brandburn et al. 2003). Model ini
memiliki ciri bahwa individu yang berbeda memiliki fungsi hazard yang
proporsional yakni
, rasio fungsi hazard dari dua individu
dengan penyertaan kovariat
(
) dan
(
)
adalah konstan. Ini artinya bahwa rasio dari resiko kegagalan dari dua individu
adalah sama tidak bergantung pada seberapa lama mereka bertahan. Cox (1972)
menjelaskan bahwa bentuk umum dari model Cox proportional hazard adalah:
(
).
dengan adalah kovariat, tetapi ia tidak membuat asumsi tentang bentuk dari
yang disebut dengan baseline fungsi hazard karena itu adalah nilai dari
fungsi hazard saat
Ketika menggunakan kovariat
8
dimasukkan ke dalam baseline fungsi hazard . Fungsi hazard untuk beberapa
pasangan kovariat yang berbeda dan dapat dibandingkan dengan menggunakan
hazard rasio.
{ (
)}
.
HR =
Simulasi
Dalam penelitian ini simulasi dilakukan dengan membangkitkan data yang
berdistribusi eksponensial dan Weibull dengan menggunakan software statistik
untuk melihat model mana yang sesuai untuk memodelkan data tersebut.
3 METODE
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah hasil Survei Demografi
dan Kesehatan Indonesia (SDKI) tahun 2012. Sampel yang digunakan adalah data
pada dua provinsi yaitu Jawa Barat dan Daerah Istimewa Yogyakarta sebagai
representasi dari daerah yang tingkat fertilitasnya tinggi dan rendah. Data dibatasi
hanya untuk interval kelahiran anak pertama, dari wanita yang menikah untuk
pertama kali.
Definisi Operasional
Peubah tak bebas yang digunakan dalam penelitian ini adalah interval
kelahiran anak pertama wanita yang menikah untuk pertama kali. Sedangkan
peubah bebas yang diduga mempengaruhi interval kelahiran anak pertama adalah:
a. Tempat tinggal, dikelompokkan dalam unit wilayah administrasi terkecil
yaitu daerah perkotaan dan pedesaan/ kelurahan. Tempat tinggal dibedakan
menjadi dua kategori, yaitu desa = 0 dan kota = 1.
b. Pendidikan, sekolah adalah sekolah formal mulai dari pendidikan dasar,
menengah dan tinggi, termasuk pendidikan yang disamakan. Tidak lulus SD
adalah mereka yang tidak pernah mengikuti pendidikan formal atau pernah di
SD tetapi tidak sampai mendapatkan tanda kelulusan. Pendidikan tertinggi
dibagi menjadi empat kategori, yaitu tidak lulus SD =0, lulus SD = 1, lulus
SMP = 2, dan lulus SMA atau lebih = 3.
c. Status pekerjaan, bekerja adalah kegiatan melakukan pekerjaan dengan
maksud memperoleh atau membantu memperoleh penghasilan atau
keuntungan selama paling sedikit satu jam dalam semimggu berturut-turut
dan tidak terputus (termasuk pekerja keluarga tanpa upah yang membantu
dalam usaha/kegiatan ekonomi). Status pekerjaan dikategorikan menjadi dua,
yaitu tidak bekerja = 0 dan bekerja = 1.
d. Pengetahuan tentang alat kontrasepsi, yaitu tidak tau = 0 dan tau=1.
e. Umur pernikahan
9
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Perilaku Model
Saat sebuah model digunakan dalam penaksiran data survival adalah sangat
penting untuk melakukan pengujian kelayakan apakah model yang kita gunakan
sudah cocok untuk memodelkan data tersebut (Ortega et al. 2010). Ada beberapa
metode yang sering digunakan dalam pengujian kelayakan model ini, salah
satunya adalah metode grafik. Menaksir kelayakan suatu model (goodness of fit)
dengan residual adalah salah satu metode grafik yang dapat digunakan dalam
analisis survival. Selain itu juga,untuk memastikannya dilakukan uji terhadap
Mean Squared Error (MSE).
Residual yang paling banyak diaplikasikan secara luas dalam data analisis
survival adalah residual Cox-Snell, yang didefinisikan secara khusus oleh Cox dan
Snell (Collet 2003). Residual Cox-Snell
untuk individu ke-i dengan waktu
̂
dengan pendugaan
survival t dan kovariat didefenisikan sebagai
akumulasi fungsi hazard berdasarkan model proporsional hazard. Jika tersensor
maka
juga tersensor.
Misalkan dibentuk fungsi hazard dengan subjek i, i=1, 2,…,n seperti di
bawah ini:
̂
̂
̂
dengan
̂
̂
̂
̂
dengan hazard kumulatif:
̂
∫̂
∫
(̂
)̂
(̂
)∫ ̂
(̂ )̂
Berdasarkan persamaan di atas diperoleh residual Cox-Snell pada model
Cox proportional hazard untuk subjek ke-i dan waktu ke adalah:
(̂ )̂
adalah estimasi dari baseline fungsi hazard kumulatif pada waktu
dengan ̂
Pada analisis parametrik, model failure time lebih dikenal sebagai
“accelerated failure model”. Accelerated model untuk adalah:
�
dengan
n
= jumlah data
�
= peubah acak dengan distribusi probabilitas yang sama
= variabel terikat
= parameter tidak diketahui dengan
=variabel penjelas.
Untuk model parametrik, residual Cox-Snell didefinisikan sama dengan
residual Cox-Snell pada model Cox proportional hazard. Perbedaan mendasarnya
adalah fungsi survival dan fungsi hazard-nya merupakan fungsi parametrik yang
bergantung pada distribusi yang diadopsi dari waktu survival (Collet 2003).
10
dengan
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
keterangan:
̂ �
= fungsi survival dari � pada model parametrik
̂
= koefisien estimasi dari
̂ ̂
= nilai estimasi dari dan
Pada model Weibull, fungsi survival adalah:
.
Untuk model eksponensial, fungsi survival sama seperti pada model Weibull
dengan skala parameter ditentukan sama dengan satu.
Menurut Pocock et al. 2002 dalam metode grafik ini, jika model yang kita
gunakan sesuai, maka grafik akan mengikuti garis 450. Keakuratan sebuah model
dapat juga dilihat dari tingkat penyimpangan data dari garis 450 (Terry 2000).
Untuk memastikan perbandingan model parametrik dan Cox proporsional hazard
maka juga diamati Mean Squared Error (MSE) dari setiap residual hasil simulasi.
Dalam statistik, mean squared error adalah satu dari beberapa metode estimasi
untuk mengukur perbedaan antara nilai pendugaan dan nilai sebenarnya (Rady
2011). Perbedaan terjadi karena adanya keacakan atau karena pendugaan model
tidak sesuai. Adapun rumus untuk menghitung MSE adalah
̂ (Kumar 2011).
∑
Proses Simulasi
Data survival eksponensial
Proses simulasi data survival yang berdistribusi eksponensial dilakukan
dengan tahap-tahap sebagai berikut:
Tahap I
1. Membangkitkan data survival yang berdistribusi eksponensial
2. Penyertaan status pengamatan (sensor/ lengkap) sebagai ciri khas dari
analisis survival
3. Data survival hasil bangkitan beserta status pengamatan kemudian
dianalisis dengan residual Cox-Snell untuk model parametrik eksponensial
dan dengan menggunakan model Cox proporsional hazard.
Tahap II
1. Membangkitkan data survival yang berdistribusi eksponensial dengan
penambahan error
2. Penyertaan status pengamatan (sensor/ lengkap) sebagai ciri khas dari
analisis survival
3. Data survival hasil bangkitan beserta status pengamatan kemudian
dianalisis dengan residual Cox-Snell untuk model parametrik eksponensial
dan dengan menggunakan model Cox proporsional hazard.
4. Mengulangi langkah 1-3 dengan penambahan error yang bereda-beda.
11
Tahap III
Perbandingan grafik hasil analisis
Tahap IV
Melihat prilaku model berdasarkan Mean Squared Error (MSE).
Setelah dilakukan simulasi berulang kali, beberapa Gambar ditampilkan
ditampilkan sebagai berikut,
Gambar 1 Grafik residual Cox-Snell Gambar 2 Grafik residual Cox-Snell
untuk
data
survival
untuk
data
survival
eksponensial
tanpa
eksponensial
tanpa
penambahan error dengan
penambahan error dengan
model analisis survival
model analisis survival
parametrik
Cox proporsional hazard.
Gambar 3 Grafik residual Cox-Snell Gambar 4 Grafik residual Cox-Snell
untuk
data
survival
untuk
data
survival
eksponensial
dengan
eksponensial
dengan
penambahan error dengan
penambahan error dengan
model analisis survival
model analisis survival
parametrik
Cox proporsional hazard.
12
Dari beberapa gambar yang ditampilkan di atas terlihat bahwa saat data
survival berdistribusi eksponensial murni, maka baik analisis data survival model
parametrik eksponensial maupun Cox proposional hazard keduanya dapat mem-fit
data dengan baik. Namun jika dibandingkan, terlihat model parametrik
eksponensial lebih baik dari Cox proporsional hazard. Dalam simulasi lanjutan
yaitu data bangkitan dengan penambahan error, model parametrik eksponensial
terlihat kurang cocok lagi dalam memodelkan data survival tersebut, sebaliknya
model Cox proporsional hazard tetap dapat mem-fit data dengan baik.
Hasilnya MSE-nya dapat ditampilkan pada Gambar di bawah ini
Ket:
error=0 (eksponen murni)
error=1 (eksp + � %
error=2 (eksp + � %
dst
Gambar 5 Grafik perbandingan MSE dari model eksponensial dan Cox
proporsional hazard
Dari Gambar 5 dapat terlihat bahwa sebelum data survival yang
berdistribusi eksponensial ditambahkan error, maka model parametrik
eksponensial lebih baik dibandingkan model Cox proporsional hazard. Setelah
data survival yang berdistribusi eksponensial dimanipulasi dengan penambahan
error kemudian dianalisis dengan menggunakan model parametrik eksponensial
maka terlihat error-nya semakin meningkat yang menjelaskan bahwa model
tersebut kurang cocok. Sebaliknya apabila data survival dengan manipulasi
tersebut dianalisis dengan model Cox proporsional hazard maka terlihat dari
gambar bahwa error yang terjadi bersifat konsisten dan error-nya kecil.
Salah satu kelompok data yang dibangkitkan dengan penambahan error
yang masih bisa ditolerir (error kecil) diolah untuk melihat sejauh mana
perbedaan kedua metode(eksponensial dan Cox proporsional hazard) tersebut
dalam menduga parameter terhadap kovariat. Hasilnya disajikan sebagai berikut
Tebel 1 Pendugaan parameter dengan metode parametrik eksponensial dan
Cox proporsional hazard
Variable
Parameter Estimation
Standard Error
Hazard Ratio
Kov
1.4049
0.2021
4.0751
(eksponensial)
kov
1.38046
0.25391
3.977
(Cox PH)
Dari tabel di atas terlihat bahwa perbedaan hasil pendugaan parameter
antara metode parametrik dan Cox proporsional hazard tidak berbeda jauh yakni
13
1.4049 (SE=0.2021) dan 1.38046 (SE=0.25391). Artinya metode Cox
proporsional hazard dapat dengan baik menduga parameter dari data dengan
distribusi eksponensial.
Data Survival Weibull
Proses simulasi data survival yang berdistribusi Weibull dilakukan dengan
tahap-tahap sebagai berikut:
Tahap I
1. Membangkitkan data survival yang berdistribusi Weibull
2. Penyertaan status pengamatan (sensor/ lengkap) sebagai ciri khas dari
analisis survival
3. Data survival hasil bangkitan beserta status pengamatan kemudian
dianalisis dengan residual Cox-Snell untuk
model parametrik
eksponensial dan dengan menggunakan model Cox proporsional hazard.
Tahap II
1. Membangkitkan data survival yang berdistribusi Weibull dengan
penambahan error
2. Penyertaan status pengamatan (sensor/ lengkap) sebagai ciri khas dari
analisis survival
3. Data survival hasil bangkitan beserta status pengamatan kemudian
dianalisis dengan residual Cox-Snell untuk
model parametrik
eksponensial dan dengan menggunakan model Cox proporsional hazard.
4. Mengulangi langkah 1-3 dengan penambahan error yang bereda-beda.
Tahap III
Perbandingan grafik hasil analisis
Tahap IV
Melihat prilaku model berdasarkan Mean Squared Error (MSE).
Setelah dilakukan simulasi berulang kali, beberapa Gambar ditampilkan
ditampilkan sebagai berikut.
Gambar 6 Grafik residual Cox-Snell Gambar 7 Grafik residual Cox-Snell
untuk
data
survival
untuk data survival Weibull
Weibull
tanpa
dengan penambahan error
penambahan error dengan
dengan model analisis
model analisis survival
survival Cox proporsional
parametrik
hazard.
14
Gambar 8 Grafik residual Cox-Snell Gambar 9 Grafik residual Cox-Snell
untuk
data
survival
untuk data survival Weibull
Weibull
dengan
dengan penambahan error
penambahan error dengan
dengan model analisis
model analisis survival
survival Cox proporsional
parametrik
hazard.
Dari beberapa gambar yang ditampilkan di atas terlihat bahwa saat data
survival berdistribusi Weibull murni, maka baik analisis data survival model
parametrik Weibull maupun Cox proposional hazard keduanya dapat mem-fit data
dengan baik. Namun jika dibandingkan, terlihat model parametrik Weibull lebih
baik dari Cox proporsional hazard. Dalam simulasi lanjutan yaitu data bangkitan
dengan penambahan error, model parametrik weibull terlihat kurang cocok lagi
dalam memodelkan data survival tersebut, sebaliknya model Cox proporsional
hazard tetap dapat mem-fit data dengan baik. Hasilnya MSE-nya dapat
ditampilkan pada gambar di bawah ini:
Ket:
error=0 (Weibull murni)
error=1 (eksp + � %
error=2 (eksp + � %
dst
Gambar 10 Gambar perbandingan MSE dari model Weibull dan Cox
proporsional hazard
Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa sebelum data survival yang
berdistribusi Weibull ditambahkan error, maka model parametrik lebih baik
dibandingkan model Cox proporsional hazard. Setelah data survival yang
berdistribusi Weibull dimanipulasi dengan penambahan error kemudian dianalisis
15
dengan menggunakan model parametrik maka terlihat error-nya semakin
meningkat yang menjelaskan bahwa model tersebut kurang cocok. Sebaliknya
apabila data survival dengan manipulasi tersebut dianalisis dengan model Cox
proporsional hazard maka terlihat dari gambar bahwa error yang terjadi bersifat
konsisten dan error-nya kecil.
Salah satu kelompok data yang dibangkitkan dengan penambahan error
yang masih bisa ditolerir (error kecil) diolah untuk melihat sejauh mana
perbedaan kedua metode (Weibull dan Cox proporsional hazard) tersebut dalam
menduga parameter terhadap kovariat. Hasilnya disajikan sebagai berikut
Tebel 2. Pendugaan parameter dengan metode parametrik Weibull dan Cox
proporsional hazard
Variable
Parameter Estimation Standard Error
Hazard Ratio
kov
1.269
0.3660
3.5573
(Weibull)
kov
1.01317
0.4574
2.754
(Cox PH)
Dari tabel di atas terlihat bahwa perbedaan hasil pendugaan parameter
antara metode parametrik dan Cox proporsional hazard tidak berbeda jauh yakni
1.2690 (SE=0.3660) dan 1.0132 (SE = 0.4574). Artinya metode Cox proporsional
hazard dapat dengan baik menduga parameter dari data dengan distribusi Weibull.
Dari hasil simulasi yang dilakukan, dapat dikatakan bahwa model Cox
proporsional hazard cukup handal dalam memodelkan berbagai jenis data, baik
data survival yang mengikuti distribusi tertentu ataupun tidak. Sehingga, untuk
menganalisis data selang kelahiran anak pertama, cukup digunakan model ini
untuk analisisnya.
Analisis Selang Kelahiran Anak Pertama di Indonesia
Interval kelahiran anak pertama adalah salah satu contoh data survival.
Dalam demografi ada tiga hal yang sangat berpengaruh, yaitu kematian
(mortality), perpindahan (migration), dan kelahiran (fertility). Interval kelahiran
anak pertama dapat digunakan sebagai salah satu indikator dari fertilitas. Interval
kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur perkawinan dengan umur
kelahiran anak pertama. Dalam analisis selang kelahiran anak pertama ini, risiko
diartikan sebagai tingkat keberhasilan dari seorang wanita menikah melahirkan
anak pertamanya. Pada kenyataannya panjang interval kelahiran anak pertama
dari tiap wanita menikah tidaklah sama. Berdasarkan penelitian yang ada, interval
kelahiran anak pertama ditentukan oleh berbagai faktor sosial dan budaya serta
faktor fisiologi. Menurut Ibrohim (1994) ada beberapa faktor yang mempengaruhi
interval kelahiran anak pertama antar lain daerah tempat tinggal, tingkat
pendidikan, umur, pengetahuan tentang alat kontrasepsi dan status bekerja.
Sebagian wanita menikah telah melahirkan anak pertama beberapa bulan setelah
perkawinan sehingga data yang diperoleh merupakan data lengkap, namun
sebagian lainnya belum mempunyai anak yakni data tersensor. Dengan demikian
interval kelahiran anak pertama merupakan salah satu contoh dari data survival.
Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan
16
sampai terjadinya sesuatu peristiwa. Ciri khas dari data survival adalah survival
time (waktu bertahan hidup) seringkali tidak dapat diamati secara lengkap
(tersensor). Jika semua kejadian yang diharapkan terjadi, dan dapat diamati
secara utuh maka beberapa metode analisis bisa dilakukan, namun data survival
bersifat sensor (Clark et al. 2003). Menganalisis data survival menggunakan
metode biasa tidak cocok karena akan menimbulkan bias (Widyaningsih 2006).
Untuk mengurangi bias tersebut diperlukan suatu metode tertentu untuk
menganalisisnya, yaitu analisis survival.
Model Cox Proporsional Hazard dan Cox Extended
Cox (1972) menjelaskan bahwa bentuk umum dari model Cox proportional
hazard adalah:
(
).
dengan adalah kovariat, tetapi ia tidak membuat asumsi tentang bentuk dari
yang disebut dengan baseline fungsi hazard karena itu adalah nilai dari
fungsi hazard saat
Terkadang ditemukan kovariat yang bergantung terhadap waktu sehingga
asumsi proporsional tidak dipenuhi, sehingga bentuk di atas dikembangkan
menjadi model Cox extended:
Untuk memeriksa asumsi proporsional dari kovariat, model Cox extended
menjadi:
(
)
∑
∑
dengan
merupakan fungsi terhadap waktu dan penting sekali untuk
Berikut kemungkinan fungsi
menentukan bentuk yang tepat dari
menurut:
merupakan bentuk yang paling sederhana sehingga
i.
menghasilkan model Cox proportinal hazard.
. Jika hasil pengujian signifikan maka model Cox extended
ii.
lebih baik daripada Cox proportional hazard sehingga hazard ratio
merupakan fungsi terhadap waktu.
iii.
heavyside function. Ketika fungsi ini digunakan maka diperoleh
iv.
hazard ratio yang konstan untuk interval waktu yang berbeda.
Pendugaan Parameter
Dalam menduga parameter
Cox menggunakan prosedur
maximum likelihood estimation (penduga kemungkinan maksimum) dengan
hanya mempertimbangkan peluang individu yang mengalami kejadian saja yang
disebut partial likelihood (Kleinbaum dan Klein 2012). Pendugaan
17
menggunakan partial likelihood yaitu memaksimumkan fungsi partial
likelihood. Fungsi partial likelihood merupakan fungsi peluang bersama dari data
ketahanan tak tersensor berupa fungsi dari parameter yang tidak diketahui nilainya.
Collet (2003) menyatakan bahwa pendugaan parameter
dapat dibuktikan
dengan mengambil kasus individu bertahan hidup sehingga kejadian berupa
individu dengan
individu yang mengalami
kematian. Misalkan terdapat
kematian maka (
individu tersensor. Asumsikan bahwa hanya terdapat satu
individu yang meninggal pada waktu kematian tertentu (tidak terdapat ties).
Misalkan pula
merupakan waktu ketahanan terurut
tak tersensor. Peluang kematian individu ke- pada saat
dengan syarat
satu-satunya waktu kematian dari
dan kovariat untuk individu
yang meninggal pada saat
adalah
dinotasikan sebagai rasio dari peluang
individu dengan kovariat
meninggal saat
dan
satu-satunya waktu
kematian dari
.
Pembilang merupakan risiko kematian individu ke- pada saat
,
dinotasikan
, sedangkan penyebut merupakan jumlah risiko kematian saat
untuk semua individu yang mempunyai risiko kematian saat
atau
penjumlahan
dalam
, dengan
merupakan himpunan
individu yang berisiko mengalami kematian saat
yaitu individu-individu yang
hidup dan tak tersensor sesaat sebelum
sehingga
disebut risk set.
Misalkan A adalah kejadian individu ke- dengan kovariat
meninggal saat
dan B adalah kejadian kematian tunggal saat
. Persamaan di atas menjadi
.
∑
Dengan mensubstitusikan persamaan pada model Cox proporsional hazard
diperoleh
∑
∑
.
Dengan demikian fungsi likelihood dari peluang bersyarat di atas adalah
∏
∑
dengan
merupakan vektor kovariat untuk individu yang meninggal saat
.
Besaran ∑
merupakan penjumlahan nilai
untuk
setiap individu anggota
. Perkalian pada fungsi likelihood hanya untuk
individu yang tak tersensor. Individu yang tersensor tidak termasuk dalam
pembilang tetapi terdapat pada penyebut yaitu penjumlahan
untuk
setiap anggota
.
Misalkan data terdiri dari
pengamatan waktu ketahanan yaitu
dan adalah indikator kejadian dengan nilai
i ivi u
t rs s r
{
1, i
.
Maka persamaan fungsi likelihood dapat dinyatakan sebagai
18
∏
∑
Jika dilogaritmakan maka diperoleh
(∏
∑(
∑
Penduga parameter
, yaitu solusi dari
∑
)
∑
)
∑
∑
∑
dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log
∑
∑
∑
Solusi persamaan tersebut sulit dicari secara analitik tapi lebih mudah
diselesaikan dengan menggunakan metode numerik.
Hazard Ratio
Hazard ratio merupakan hazard relatif dari individu ke-i dengan kovariat
(
) mengalami peristiwa dibandingkan individu ke-j dengan
kovariat
(
) yang konstan atau bebas terhadap waktu. Hazard
ratio juga menunjukkan adanya peningkatan atau penurunan risiko individu yang
dikenai perlakuan tertentu. Misalkan terdapat dua individu dengan karakteristik
tersebut maka dari model umum Cox proporsional hazard, bisa diperoleh formula
untuk menduga hazard ratio, yaitu:
̂
(
(
)
)
{ (
)
}
Untuk kovariat yang bersifat katagorik dengan variabel dummy bernilai 1
dan 0 maka hazard ratio dapat diinterpretasikan sebagai ratio dari pendugahazard
untuk individu bernilai 1 terhadap penduga hazard untuk individu yang bernilai 0.
sedangkan untuk kovariat yang bersifat kuantitatif, lebih bermakana jika hazard
19
ratio dikrangi 1 lalu dikalikan dengan 100% yang menyatakan perubahan
persentase hazard penduga untuk penambahan 1 unit peubah tersebut.
Hasil Analisis
Sebagai ilustrasi pada data interval kelahiran anak pertama akan dianalisis
dengan metode Kaplan-Meier. Menurut Hoon (2008) Kaplan-Meier merupakan
metode yang digunakan untuk membandingkan waktu survival dari dua kelompok
kovariat. Keuntungan dari metode ini adalah karena termasuk metode nonparametrik yang tidak memerlukan pengetahuan sebaran tertentu (Kaplan dan
Meier 1958).
Metode ini cocok sebab data yang digunakan merupakan data individu,
selain itu cocok digunakan untuk ukuran data kecil, sedang dan besar. Misalkan
waktu kelahiran anak pertama adalah r dan banyaknya wanita yang menikah
adalah n, dengan r ≤ n. Peluang kelahiran anak pertama dalam setiap selang j
diduga dengan
, dan peluang bertahannya diduga dengan ̂
(
fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier diberikan oleh persamaan,
̂
̂
̂
̂
̂
∏
∏
) Penduga
̂
̂
Untuk
Peubah responnya adalah waktu dari menikah sampai melahirkan anak
pertama dan peubah yang mempengaruhi tingkat survival adalah daerah tempat
tinggal (0=desa,1=kota).
Hasil analisis survival menggunakan metode Kaplan-Meier untuk peubah
bebas daerah tempat tinggal dalam gambar adalah sebagai berikut.
Gambar 11 Fungsi survival metode Kaplan-Meier untuk peubah bebas
daerah tempat tinggal
Dari Gambar 11 terlihat bahwa survival individu yang bertempat tinggal di
desa berbeda dengan yang bertempat tinggal di kota. Selanjutnya akan dilakukan
20
uji hipotesis untuk melihat apakah perbedaan itu nyata atau kebetulan saja, dengan
hipotesis sebagai berikut,
Daerah penolakan
adalah jika nilai statistik Logrank,
. Hasil
uji logrank berdasarkan kovariat status daerah tempat tingal disajikan dalam tabel
berikut,
Tabel 3 Hasil uji log rank untuk melihat perbedaan tingkat survival kelahiran
anak pertama kovariat tempat tinggal
Chi-Square
df
Sig.
Log Rank (Mantel-Cox)
9,136
1
,003
Dengan taraf nyata 0.05 uji khi-kuadrat berderajat bebas 1 didapat nilai W
tersebut cukup signifikan untuk menolak
. Jadi dapat disimpulkan bahwa
terdapat perbedaan yang nyata antara tingkat survival kelahiran anak pertama
individu yang tinggal di desa dan yang di kota.
Jika data survival yang akan dibandingkan lebih dari dua kelompok individu,
misalnya ingin melihat perbedaan karakteristik daerah tempat tinggal, tingkat
pendidikan, umur, pengetahuan tentang alat kontrasepsi dan lain-lain maka
metode Kaplan-Meier menjadi tidak praktis. Hal ini dikarenakan dalam metode
Kaplan-Meier setiap dua kelompok populasi harus diuji secara tersendiri,
sehingga jika ada beberapa kelompok maka harus dilakukan uji berulang-ulang.
Jika responden mempunyai beberapa karakteristik, metode Cox proporsional
hazard dapat menerangkan pengaruh karakteristik-karakteristik tersebut terhadap
peubah respon secara simultan.
Tabel 4 Penduga parameter, nilai-p, dan hazard ratio dengan menggunakan model
Cox proporsional hazard
Penduga
Standar
Peubah penjelas
Nilai -p
Hazard ratio
parameter
error
Daerah tempat tinggal -0.32835
0.05896