Pemodelan Selang Kelahiran Anak Pertama

6/MAT

a@[

02S5
PEMODELAN SELANG KELAI-IIRAN ANAK PERTAMA

AYUN RESTYANI

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

RINGKASAN
AYUN RESTYANI. Pe~iiodelanSelang Kelal~iranAnak Pertama. Dibimbing oleh Dr. lr. Hadi Su~iiarno
dan Ir. Retno Budiarli, MS.
Selang kelaldran anak pertanla nlerupakan jarak waktu dari ulnur perkawinan pertama pada
wanita sampai unlur kclal~irananak pertama. Selang kelalliran anak pertanla dapat diynakan sebagai
pcnduga kesuburan wanita karena pada umumnya pasangan sua~niistri yang barn ~nenikal~

tidak nienunda
kelal~irananak pcrtama.

A
' rnenyatakan unlur perkawinan pcrtama pada wanita yang nicnyebar Coale-McNcil dcngar~
paralncter A,qy dan OA,.Y nienyatakan ulnur kelaliiran anak pertanla yang nie~iyebarCoale-McNcil dcngali
paramckr A , at.dan 4.. Z = Y -Slnenyatakan selang kelahiran aliak pertalila. Besaran p mcnunjukkan
Ilubungan linear unlur perkawinan pertama pada wanita dan ulilur kelahiran anak pcrtama. Jika p besar
maka dengan ~nelaluipendekatan para~netrikdiperolel~model selang kelahiran anak pertanla dalan~bentuk
model sebaran Coale-McNeil dengan parameter ,Iz, az dan & dan fungsi kepekatan peluangnya

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA

AYUN RESTYANI

SWpsi
Sebagai salah satu s w a t untuk rnempuoleh gelar
Sarjana Sains

pada

Junrsan Mtematika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN lLMU PENGETAHUAN ALAM
MSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

Judul

: Pemodelan Selang Kelahiran Anak Pertama

Nama

: Ayun Restyani

NRP

: GO5496007

Menyetujui,

Dr. Ir. Hadi Sumarno

Ir. Retnh Budiarti, MS

Pembimbing I

Pembimbing I1

ketua Jurusan

Tanggal Lulus :

2 4 MOy 2001

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilal~irkandi Boyolali pada tanggal 9 Febmari 1978 sebagai anak bungsu dari tujult
bersaudara, anak dari Bapak Drs. Saptono dan Ibu Sumiyati.

Tal~un1996 penulis lulus dari SMA 1 Boyolali dan pada tahun yang salna penulis lulus seleksi
masuk IPB nlelalui jalur Undangn Seleksi Masuk IPB pada lumsan Mate~natikaFakullas Matelnatika dan
IIJIIUPengetalluan Alam.
Selama menjadi 111ahasisn.apenulis menjadi penyrus BKIM IPB, periode tabun 199711995 dan
1998/1999 kemudiau n~enjadipengums BDMA IPB periode tal~un199912000 dan tal~un2001 sallipai
sekarang. Penulis juga nlenjadi asisten pada lnata kuliah Pengantar Mateulatika pada semester gar~jiltallun
ajaran 199912000.

PRAKATA

Alham~wlillahpenulis halurkan kepada Allah swt yang telah memberikan pertolongan, kemudahan
serta rahmal-Nya sehingga pcnulis dapat rnenyelesaikan karya ilmiah dcngan judul Pelnodelan Sclang
Kelahiran Anak Pertama.
Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada :
1. Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, Ibu Ir. Retno Budiarti, MS serta Bapak Ir. N.K Kutha Ardhana, MSc
yang telah memberikan bimbingan dan perhatian selama ini. tlanya Allah

slvl

yang bisa mernbalas

scmuanya.
2. Bapak, ibu serca kakak-kakakku sernua : Mas Ari sekeluarga, Mbak Eni sekeluarga, saudara

kcl~ibarku tcrcinta , Mbak Antik, terima kasih banyak atas dukungan, bantuan dan pcngerliannya
sclama ini. IIanya Allah s v l yang akan mcmbalasnya.
3. Teman-teman seperjuangan di UDMA : Yuce, Euis, Eka, Ela, Aam, Tini, Aih, Ilirin, Nita dan teman

-

teman A'33 dan A'34 di jurusan Matcmatika yang tidak bisa penulis sebutkan satu-satu. Syukron
katsiro jazakillah dan teruskan perjuangan ini. Insya Allah perjuangan kita belum selesai.
4. Ternan-teman dan adik-adik di Mexindo 5, Baitnr Rahmah ( Anik, Uswah, Suci, Yayu dan yang

lainnya) dan juga Batra's crew khususnya Teh Hanni.
Syukron katsiro ja~akillahatas perhatian dan kebersarnaannya selama ini. Semoga Allah swt

selalu

menyatukan hati dan langkah kita dalam perjuangan ini.

5 . Kak Rini dan teman-teman sehalaqoh. Syukron katsiro jazakillah atas nasehat, bimbingan dan

pengertiannya se!ama ini. Semoga kita tetap disatukan dalam barisan ini.

Bogor, November 2001
Ayun Restyani

DAPTAR IS1
Hslanian
...
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................. v111

PENDAHULUAN

LANDASAN TEORI
Fungsi Kepekalan Peluang Bersyarat
Transiormasi Pcubal~Acnk

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA
3

For~i~ulasi
Model ...................................................................................................................
Contoh Kasus .........................................................................................................................
14
KESIMPULAN .............................................................................................................................
16
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................................17

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman

1.

Bukti

Teorerna 5 ....................................................................................................................
18

PENDAHULUAN
Latar Beiakang

Pemodelan adalah proses penyederhanaan
masalah ke dalam bentuk model tertentu. Suatu
model akan nlempermudah dalam menganalisa
suatu fenomena atau masalah yang tejadi. Salah
satunya adalah model dalam ilmu demografi,
antara lain model pertumbuhan penduduk agregat
serla model kelahiran, kematian d m migrasi.
Model yang menjelaskan kelahiran anak dalarn
ilmu demografi disebnt modek fertilitas. Tingkat
kelahiran bayi salah satunya tergantung dari
jumtah pasangan snbur.
Selang kelahiran anak pertama rnerupakan
jarak waktu dari umur perkawinan pertama pada
wanita sampai umur kelahiran anak pertama. Pada
umumnya pasangan suami istri yang barn n~enikah
memiliki kecendemngan untnk segera m e m i l i
anak selungga mereka tidak akan menggunakan
alat kontrasepsi apapun selama menunggu
kelahiran an& pertama. Ole11 karena itu selang
kelahiran anak pertama digunakan sebagai penduga

kesuburan wanita. Pada tuliwn ini akan dibahas
fungsi peluang bagi selang kelahiran anak penanla.
Permasalahan
Selang kelahiran anak pertama akan
dipengamhi oleh bekrapa faktor antara lain unlur
perkawinan, sosial budaya, kcsehatan dan
perbedaan wilayah. Banyaknya rvanita =bur pada
suatu wilayah dapat diketahui dari sebaran selang
kelahiran anak pertama. Masalah yang muncul
adalah faklor-faktor di atas menyebabkan panjang
selang kelaluran anak pertama tidak menyebar
s e r a g w artinya peluang lamanxa aaktu
menunggu kelahiran anak pertama untuk setiap
wanita tidak sama.
Tujuan
Berdasarkan hal di atas, tulisan ini bertujuan
mencari model parametrik selang kelahiran anak
pertama.

LANDASAN TEOlU
Dalam pelnodelan selang kelahiran anak
pcrtama ini menggunakan konsep slatistika sebagai

dan tidak sama dengan no1 pada B maka h g s i
kepekatan peluang bagi Y adalah :
-

Fungsi Kepekdtan Peluang Bersyarat
Definisi 1 (Hogg & Craig, 1995)
Jika peubah acak X dan Y mernpunyai hngsi
, dan fun@
kepekatan peluang bersruna J ( ~ y)
kepekatan peluang marginal h(x) dan kQ maka
fungsi kepekatan peluang bersyarat dari ' f jika
diberikanX= x didefinisikan sebaeai :

Transformasi Peuhah Acak
Definisi 2 (Bain, Engelhardt, 1991)
Peubah acak kontinu X memiliki fnngsi kepekatan

peluang f (x) . Peubdh acak Y = u(X)dengau nilai
y = u(x) mendefinisikan transformasi satu-satu dari
A={xlf(x)>O}
ke B = { y l y = u ( x ) , y ~ ! V
sehingga k(v) >0} dengan transfonnasi invers x =
w@). Jika turunan pertama, IV'Q), adalah kontinu

-

(2)

Definisi 3 (Bain, Engell~ardl, 1991)
Dua peubal~acak kontinuxdan Y memiliki fungsi
kepekatan peluang k r s a ~ n a x
v pada
A ={(x,Y) / f (x,Y) > O,(x,Y) E @ ). Dm peubah
acak U dan V didefinisikan oleh transformasi wtusatu U = k, (X,Y) dan i/ = k , (S.I . ) . Peubah
acak
dan
18.
terdefinisi
pada
U
untuk
B = {(u, 1,) 1 u = k, (x. y ) dan v = k, (x. .v)
(x, y ) dan (u,v) ezi@sehingga g(u,v) XI). Fungsi
invers dari X dan Y didefinisikan sebagai
X = h, (U,V) dan l' = h, (U. I/) . Jacobian dari
transfonnasi diperoleh dari turnnan parsial fungsiX
dan Y terhadap U dan V.

Jika Jacobian dari transformasi adalali kontinu dan
tidak no1 pada B maka fungsi kepekatan peluang
bersama dari peubah acak U dan l'adalah :

VI~JI

g(u, V)= f [ h , (u, v), h2(u,

(4)

u,veB

Koefisien Korelasi (Hogg & Craig, 1995)
Keeratan hnbnngan linear peubah acak X dan Y
dilunjukkan olch :

Fungsi Gamma (Hogg & Craig, 1995)
Fungsi Gamma suatu peubah acak X didefinisikan
sebagai :
m
r ( a ) = Ira-'e-'dx
(9)
0

Jika a adalali bilangan bulat positif maka :
f ( a ) = (a-l)!
T(a +I) = &(a)
Fungsi Digamma (Hogg & Craig, 1995)
Fungsi Digamma dilambangkan dengan ' I J ( z )
dan didefinisikan :

T u m a n pertanla dari fungsi Digamma dituliskan
scbagai berikut :

ekor lebih panjang ke arah kiri maka sebaran
tersebut dikatakan memiliki skewness negatif dan
jika sebaran bermodus tunggal memiliki ekor lebih
panjang ke arah kanan maka sebaran tersebut
diiatakan memiliki skewness positif. Jika peuball
acak X m e m i l i rataan px dan ragam D: maka :
skew ( X ) = E [ ( X - ~ x ) ' l

u:

Selanjutnya diberikan modcl sebaran umur
perkaxvinan pertama pada wanita dan model
sebaran umur kelahiran anak pertama.
Model Sebaran Umur Perkawiuan Pertama
pada Wanita (CoaIe and MeNeil, 1972)
Umnr perkawinan pertama pada xvanita
mempakan ha1 yang penting ddam fertilitas. Hal
ini disebabkan karena menurut norma agama dan
norma sosial kelahiran anak tejadi setelali
pernikahan.
Pernodelan umnr perkawinan pertama pada
wanita telah dilakukan dengan ~nenggunakan
fungsi miko perkawinan pada kuna frekuensi
perkawinan pertama wanita Swedia. Perkaxxinan
~nempakan serangkaian proses dari masuknya
seseorang dalam pasar perkawinan (manied
market) sampai tnenunggu saat perkaninan, yang
bertumt-tumt akan menyebar normal dan
eksponensial. Kemudian dengan metode konvolusi
beberapa peubdi acak diperoleh fungsi kepekatan
peluang ulnur perkavvinan pertama pada wazita
dalam bentuk fungsi eksponensial ganda. J ' i d
peubah acak X menunjukkan umur perkaxinan
pertama pada wanita maka umnr perkaxvinan
pertarna pada ~vanitamemiliki fungsi kepekatan
peluang :
"

Kurtosis ( Hogg & Craig, 1995)
Kurtosis adalall derajat kemncingan kuwa
frekuensi bermodus tunggal. Jika peubah acak S
memiliki rataan p, dan ragam 0
: maka :

Skewness ( Hogg & Craig, 1995)
Skewness adalah ukuran kesenjangan scbaran
frekuensi. Jika sebaran bermodus tunggal melniliki

.

,

Fungsi sebaran pada persamaan (12) discbnl
scbaran Coale-McNeil dengan parameter
/2,a,dan
6, serta dilambangkan sebagai
A'-CN( /2, a,, 8, ) dengan :
Peubah acak S ~nemilikinilai antara nlnur 15
sampai 49 tahun (krdasarkan data penduduk
Srilanka).
A adalali parameter nnhlk peubali acak S yang
~ncnjaminkcsesuaian g(x) dengan kuna standar
perkawinan.
a, adalah nilai asimtot pada fnngsi resiko. r(x)

1

0, = n+-Y'(%)dcllgan

a

0

ad;llah 11il;li tcllg;lll

kurva standar fcnilitas.
G(x) mcnunjukkan fungsi scbaran wanila yang
I~.
mcnikah pnda ulnur I5 sanipai 49 ~ I ~ I I I ,Y;I~;III
~.

,

I

q.=T~lJ(%)
A

(I6)

.S ~ u c ~ i ~ i lkurtosis
iki
d;~nskcn.ncss :

skcnncss yiu~gsalna dcnga~i1110dclscbarilti unlur
pcrkawillan pcrtama pads waniu.jika pcllball
acak I' nicnunjukkan ulnur kclahiran anak pcrhma
niaka I' tucmiliki ~nodcl scbaran Coalc-McNcil
dcngan fungsi kcpckatan pcluang :

alau dila~nbangk;~n
1'- Ci\l (a,a,.,Or ) deng;ln :
Pcubal~acak J' ~ncngambilnilai antar;l onutr I5
sampai 49 tal~un(bcrdasarkan data pcoduduk J;~\v;iBZII~).

(17)

(I8)

Model Umur Kelahiran Aouk Pet-tan~o
Kelahiran anak pertanla ~ ~ l c n ~ p aawal
k a n dari
scseorang ~i~cnjadi
orang tua, ole11 karena itu akan
mcmiliki pcngamli pada tingkat sosial ckonomi
sescorang Uniur kclaliiran allak pertanla akan
bcrpetlgamh pada junilal~ aseptor KB pada
lembaga BKKBN selain akan ~nenentukan
kccctldemngan fcrtiiitas suatu wilayall (Sumarno et
al, 1998).
Modcl utllur pcrkalvinan pcrtama pada
wanita dapat ditcrapkan untuk unlur kelahiran anak
pertalna (Bloom, 1982). Tetapi pada kenyataannya
kclaliiran anak pertanla akan dipengamhi
kcsuburan seseorang. Tingkat kcsuburan sescorang
dipengamhi oleh ulllur pada saat menikah. Olcll
karena itu nod el sebaran unlur kelaltiran anak
pertanla tidnk ]lams memiliki kurtosis dan

2 ad;llal~parameter utituk pcub:~l~acak I' ) . ; I I I ~
tnc~~jn~nin
kcscsuaian g(v) untuk kurv;~ stand;~r
pcrka~\.inan.
ay;~dalalinilai asimtot pad8 fbngsi rcsiko. r(v).
1
'Ii(%) dct~gann adalah nilai tcngal~

kuma standar icrtilitas.
G(y) lli~mpakanfungsi scbaran ulliur kclahiran
anak pertatna. I' memiliki rataan, ragam, kurtosis
dan skcwncss :

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA
Formulasi Model
Dalatn mernfortnulasikan ~nodcl sclang
kelal~irananak pellatna akan ~nengynakanfungsi
kepckatan peluang dari ulnur perkawinan pertalna
pada ~vanitadan ulnur kclahiran anak pertama.
Jarak seorang wanita ~nelal~irkan
anak pertanlanya
dari ulnur perkawinannya bempa selang kelahiran
anak pertatna yang dinotasikan 2. G(z)
menu~~jukkan
fungsi sebaran peluang wanita yang
nielal~irkananak pertalna dala~nsclang I. Untuk
nic~nodclkanselang kelahiran anak pertalna akan
didefinisikan :
Z =)'-A'

Seperti telah disebutkan sebelu~nnyaballwa
ketal~irananak hanya tejadi setelah perkawinan
dan seseorang pada utnulnnya ingin scgcra
tne~npunyaianak setelah perkawinannya. Hal ini
diynakan sebagai asutnsi bahwa ulnur perkawinan
pertanla wanita dan ulnur kelal~irananak pertalna
mc~npunyaihubungan linear sebesar p . Fungsi
kepekatan peluang bagi seorang wanita yang
tnenikal~ pada umur x adalah g(x) dan fungsi
kepekatan peluang seorang wanita melniliki anak
pada umur y jika menikah pada umur x adalah
g(yl.x). Para~netcrpada model ulnur kelaldran anak

perlalna lidak inudal~ unluk diinlerprcstasikan
sccara langsung
sehingga pcrlu dilakukan
pcll~bakuai~
(Rodriguez & Trussell, 1980).
Tcorcnia 1
Jika peubal~acak Y ine~nilikiralaan dan ragam
~uasing-masingp,. dan of inaka fungsi kepekatan
pcluang bagi Y bcrbentuk :

g(y)=

61

L'-/lY

-

Bukti :
Dcngan incnggonakan persaillaan (19), (20) & (21) akan dibuklikan pcrsaluaail dialas

Misal:

"@j=',&

Sehingga g o mcnjadi :

Tcorema 2 (Hogg & Craig, 1995)
Jika dua peubal~a c a k S d a n Y iilelniliki llubungan linear sebesar p maka nilai rataan dan standar deviasi
bersyarat dari Y jika diketallui A' = x yaitu Pj7sdan cry,, adalah :

Nilai o dan 6 adalal~:

Brll"or)

jilt;,

a,.

+a,@, --

11

a,.

-(-

2
+-6r,,y))

A,

fi

--

"'P

I
"Y-

(

,

A

a,

-

"L.0 < =.Y

- *.rP

+a,)
1

)

+%)>.qv -cx~(+I.- O.\.A))~,I.G
i.Jq
2

a,, -- a.rp
A

2

1

7
-"

,

f/.

i-

.

maka

r(z)

esp\C-

'(")= fiqY)r(?)

a,.

A~

rr+a,O\. --

c;.

+-

a,.

a,. 0

Jq' J1-p2 ""
PO

";.P

A

A

Kalau dipcrhatikan, persamaan (41) ~llcmpakan fungsi kepekatan peluang dari sebara~iCoale-McNeil
scperti yang dituliskan pada persalllaan (14), k~rena

maka

dapat dituliskan :

2m ''41s--

):(r

esp t----4. ,I+-

*")=fil-(y)r(T)

Berdasarkan persanlaan (39) didapatkan :

J'r."-m2
.; -

1,0663

oa:' = 1 , 0 6 6 3 ~
o pa', = 1,0663Ap.
nilai 0,938 niaka :
Jika p ~~ie~niliki
p = 0,938 -+ 1,0663.0 z 1

A

I k n g ~ nmengtmakan persama2m (42)g(u) dapat dituliskan sebagai berikut :

dl-P2
Teoreoix 5
Jika ~ I I mempunyai
)
pa~amcta;
l,,@,dan 0,

a

-

dengan nilai parameter :

ay

"-nm

0, =o,,,a-0,
maka llakan menyebar Coale-McNeil dengan fungsi kepekatan peluang

O O,(x,Y) E @ ). Dm peubah
acak U dan V didefinisikan oleh transformasi wtusatu U = k, (X,Y) dan i/ = k , (S.I . ) . Peubah
acak
dan
18.
terdefinisi
pada
U
untuk
B = {(u, 1,) 1 u = k, (x. y ) dan v = k, (x. .v)
(x, y ) dan (u,v) ezi@sehingga g(u,v) XI). Fungsi
invers dari X dan Y didefinisikan sebagai
X = h, (U,V) dan l' = h, (U. I/) . Jacobian dari
transfonnasi diperoleh dari turnnan parsial fungsiX
dan Y terhadap U dan V.

Jika Jacobian dari transformasi adalali kontinu dan
tidak no1 pada B maka fungsi kepekatan peluang
bersama dari peubah acak U dan l'adalah :

VI~JI

g(u, V)= f [ h , (u, v), h2(u,

(4)

u,veB

Koefisien Korelasi (Hogg & Craig, 1995)
Keeratan hnbnngan linear peubah acak X dan Y
dilunjukkan olch :

Fungsi Gamma (Hogg & Craig, 1995)
Fungsi Gamma suatu peubah acak X didefinisikan
sebagai :
m
r ( a ) = Ira-'e-'dx
(9)
0

Jika a adalali bilangan bulat positif maka :
f ( a ) = (a-l)!
T(a +I) = &(a)
Fungsi Digamma (Hogg & Craig, 1995)
Fungsi Digamma dilambangkan dengan ' I J ( z )
dan didefinisikan :

T u m a n pertanla dari fungsi Digamma dituliskan
scbagai berikut :

ekor lebih panjang ke arah kiri maka sebaran
tersebut dikatakan memiliki skewness negatif dan
jika sebaran bermodus tunggal memiliki ekor lebih
panjang ke arah kanan maka sebaran tersebut
diiatakan memiliki skewness positif. Jika peuball
acak X m e m i l i rataan px dan ragam D: maka :
skew ( X ) = E [ ( X - ~ x ) ' l

u:

Selanjutnya diberikan modcl sebaran umur
perkaxvinan pertama pada wanita dan model
sebaran umur kelahiran anak pertama.
Model Sebaran Umur Perkawiuan Pertama
pada Wanita (CoaIe and MeNeil, 1972)
Umnr perkawinan pertama pada xvanita
mempakan ha1 yang penting ddam fertilitas. Hal
ini disebabkan karena menurut norma agama dan
norma sosial kelahiran anak tejadi setelali
pernikahan.
Pernodelan umnr perkawinan pertama pada
wanita telah dilakukan dengan ~nenggunakan
fungsi miko perkawinan pada kuna frekuensi
perkawinan pertama wanita Swedia. Perkaxxinan
~nempakan serangkaian proses dari masuknya
seseorang dalam pasar perkawinan (manied
market) sampai tnenunggu saat perkaninan, yang
bertumt-tumt akan menyebar normal dan
eksponensial. Kemudian dengan metode konvolusi
beberapa peubdi acak diperoleh fungsi kepekatan
peluang ulnur perkavvinan pertama pada wazita
dalam bentuk fungsi eksponensial ganda. J ' i d
peubah acak X menunjukkan umur perkaxinan
pertama pada wanita maka umnr perkaxvinan
pertarna pada ~vanitamemiliki fungsi kepekatan
peluang :
"

Kurtosis ( Hogg & Craig, 1995)
Kurtosis adalall derajat kemncingan kuwa
frekuensi bermodus tunggal. Jika peubah acak S
memiliki rataan p, dan ragam 0
: maka :

Skewness ( Hogg & Craig, 1995)
Skewness adalah ukuran kesenjangan scbaran
frekuensi. Jika sebaran bermodus tunggal melniliki

.

,

Fungsi sebaran pada persamaan (12) discbnl
scbaran Coale-McNeil dengan parameter
/2,a,dan
6, serta dilambangkan sebagai
A'-CN( /2, a,, 8, ) dengan :
Peubah acak S ~nemilikinilai antara nlnur 15
sampai 49 tahun (krdasarkan data penduduk
Srilanka).
A adalali parameter nnhlk peubali acak S yang
~ncnjaminkcsesuaian g(x) dengan kuna standar
perkawinan.
a, adalah nilai asimtot pada fnngsi resiko. r(x)

1

0, = n+-Y'(%)dcllgan

a

0

ad;llah 11il;li tcllg;lll

kurva standar fcnilitas.
G(x) mcnunjukkan fungsi scbaran wanila yang
I~.
mcnikah pnda ulnur I5 sanipai 49 ~ I ~ I I I ,Y;I~;III
~.

,

I

q.=T~lJ(%)
A

(I6)

.S ~ u c ~ i ~ i lkurtosis
iki
d;~nskcn.ncss :

skcnncss yiu~gsalna dcnga~i1110dclscbarilti unlur
pcrkawillan pcrtama pads waniu.jika pcllball
acak I' nicnunjukkan ulnur kclahiran anak pcrhma
niaka I' tucmiliki ~nodcl scbaran Coalc-McNcil
dcngan fungsi kcpckatan pcluang :

alau dila~nbangk;~n
1'- Ci\l (a,a,.,Or ) deng;ln :
Pcubal~acak J' ~ncngambilnilai antar;l onutr I5
sampai 49 tal~un(bcrdasarkan data pcoduduk J;~\v;iBZII~).

(17)

(I8)

Model Umur Kelahiran Aouk Pet-tan~o
Kelahiran anak pertanla ~ ~ l c n ~ p aawal
k a n dari
scseorang ~i~cnjadi
orang tua, ole11 karena itu akan
mcmiliki pcngamli pada tingkat sosial ckonomi
sescorang Uniur kclaliiran allak pertanla akan
bcrpetlgamh pada junilal~ aseptor KB pada
lembaga BKKBN selain akan ~nenentukan
kccctldemngan fcrtiiitas suatu wilayall (Sumarno et
al, 1998).
Modcl utllur pcrkalvinan pcrtama pada
wanita dapat ditcrapkan untuk unlur kelahiran anak
pertalna (Bloom, 1982). Tetapi pada kenyataannya
kclaliiran anak pertanla akan dipengamhi
kcsuburan seseorang. Tingkat kcsuburan sescorang
dipengamhi oleh ulllur pada saat menikah. Olcll
karena itu nod el sebaran unlur kelaltiran anak
pertanla tidnk ]lams memiliki kurtosis dan

2 ad;llal~parameter utituk pcub:~l~acak I' ) . ; I I I ~
tnc~~jn~nin
kcscsuaian g(v) untuk kurv;~ stand;~r
pcrka~\.inan.
ay;~dalalinilai asimtot pad8 fbngsi rcsiko. r(v).
1
'Ii(%) dct~gann adalah nilai tcngal~

kuma standar icrtilitas.
G(y) lli~mpakanfungsi scbaran ulliur kclahiran
anak pertatna. I' memiliki rataan, ragam, kurtosis
dan skcwncss :

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA
Formulasi Model
Dalatn mernfortnulasikan ~nodcl sclang
kelal~irananak pellatna akan ~nengynakanfungsi
kepckatan peluang dari ulnur perkawinan pertalna
pada ~vanitadan ulnur kclahiran anak pertama.
Jarak seorang wanita ~nelal~irkan
anak pertanlanya
dari ulnur perkawinannya bempa selang kelahiran
anak pertatna yang dinotasikan 2. G(z)
menu~~jukkan
fungsi sebaran peluang wanita yang
nielal~irkananak pertalna dala~nsclang I. Untuk
nic~nodclkanselang kelahiran anak pertalna akan
didefinisikan :
Z =)'-A'

Seperti telah disebutkan sebelu~nnyaballwa
ketal~irananak hanya tejadi setelah perkawinan
dan seseorang pada utnulnnya ingin scgcra
tne~npunyaianak setelah perkawinannya. Hal ini
diynakan sebagai asutnsi bahwa ulnur perkawinan
pertanla wanita dan ulnur kelal~irananak pertalna
mc~npunyaihubungan linear sebesar p . Fungsi
kepekatan peluang bagi seorang wanita yang
tnenikal~ pada umur x adalah g(x) dan fungsi
kepekatan peluang seorang wanita melniliki anak
pada umur y jika menikah pada umur x adalah
g(yl.x). Para~netcrpada model ulnur kelaldran anak

1

0, = n+-Y'(%)dcllgan

a

0

ad;llah 11il;li tcllg;lll

kurva standar fcnilitas.
G(x) mcnunjukkan fungsi scbaran wanila yang
I~.
mcnikah pnda ulnur I5 sanipai 49 ~ I ~ I I I ,Y;I~;III
~.

,

I

q.=T~lJ(%)
A

(I6)

.S ~ u c ~ i ~ i lkurtosis
iki
d;~nskcn.ncss :

skcnncss yiu~gsalna dcnga~i1110dclscbarilti unlur
pcrkawillan pcrtama pads waniu.jika pcllball
acak I' nicnunjukkan ulnur kclahiran anak pcrhma
niaka I' tucmiliki ~nodcl scbaran Coalc-McNcil
dcngan fungsi kcpckatan pcluang :

alau dila~nbangk;~n
1'- Ci\l (a,a,.,Or ) deng;ln :
Pcubal~acak J' ~ncngambilnilai antar;l onutr I5
sampai 49 tal~un(bcrdasarkan data pcoduduk J;~\v;iBZII~).

(17)

(I8)

Model Umur Kelahiran Aouk Pet-tan~o
Kelahiran anak pertanla ~ ~ l c n ~ p aawal
k a n dari
scseorang ~i~cnjadi
orang tua, ole11 karena itu akan
mcmiliki pcngamli pada tingkat sosial ckonomi
sescorang Uniur kclaliiran allak pertanla akan
bcrpetlgamh pada junilal~ aseptor KB pada
lembaga BKKBN selain akan ~nenentukan
kccctldemngan fcrtiiitas suatu wilayall (Sumarno et
al, 1998).
Modcl utllur pcrkalvinan pcrtama pada
wanita dapat ditcrapkan untuk unlur kelahiran anak
pertalna (Bloom, 1982). Tetapi pada kenyataannya
kclaliiran anak pertanla akan dipengamhi
kcsuburan seseorang. Tingkat kcsuburan sescorang
dipengamhi oleh ulllur pada saat menikah. Olcll
karena itu nod el sebaran unlur kelaltiran anak
pertanla tidnk ]lams memiliki kurtosis dan

2 ad;llal~parameter utituk pcub:~l~acak I' ) . ; I I I ~
tnc~~jn~nin
kcscsuaian g(v) untuk kurv;~ stand;~r
pcrka~\.inan.
ay;~dalalinilai asimtot pad8 fbngsi rcsiko. r(v).
1
'Ii(%) dct~gann adalah nilai tcngal~

kuma standar icrtilitas.
G(y) lli~mpakanfungsi scbaran ulliur kclahiran
anak pertatna. I' memiliki rataan, ragam, kurtosis
dan skcwncss :

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA
Formulasi Model
Dalatn mernfortnulasikan ~nodcl sclang
kelal~irananak pellatna akan ~nengynakanfungsi
kepckatan peluang dari ulnur perkawinan pertalna
pada ~vanitadan ulnur kclahiran anak pertama.
Jarak seorang wanita ~nelal~irkan
anak pertanlanya
dari ulnur perkawinannya bempa selang kelahiran
anak pertatna yang dinotasikan 2. G(z)
menu~~jukkan
fungsi sebaran peluang wanita yang
nielal~irkananak pertalna dala~nsclang I. Untuk
nic~nodclkanselang kelahiran anak pertalna akan
didefinisikan :
Z =)'-A'

Seperti telah disebutkan sebelu~nnyaballwa
ketal~irananak hanya tejadi setelah perkawinan
dan seseorang pada utnulnnya ingin scgcra
tne~npunyaianak setelah perkawinannya. Hal ini
diynakan sebagai asutnsi bahwa ulnur perkawinan
pertanla wanita dan ulnur kelal~irananak pertalna
mc~npunyaihubungan linear sebesar p . Fungsi
kepekatan peluang bagi seorang wanita yang
tnenikal~ pada umur x adalah g(x) dan fungsi
kepekatan peluang seorang wanita melniliki anak
pada umur y jika menikah pada umur x adalah
g(yl.x). Para~netcrpada model ulnur kelaldran anak

perlalna lidak inudal~ unluk diinlerprcstasikan
sccara langsung
sehingga pcrlu dilakukan
pcll~bakuai~
(Rodriguez & Trussell, 1980).
Tcorcnia 1
Jika peubal~acak Y ine~nilikiralaan dan ragam
~uasing-masingp,. dan of inaka fungsi kepekatan
pcluang bagi Y bcrbentuk :

g(y)=

61

L'-/lY

-

Bukti :
Dcngan incnggonakan persaillaan (19), (20) & (21) akan dibuklikan pcrsaluaail dialas

Misal:

"@j=',&

Sehingga g o mcnjadi :

Tcorema 2 (Hogg & Craig, 1995)
Jika dua peubal~a c a k S d a n Y iilelniliki llubungan linear sebesar p maka nilai rataan dan standar deviasi
bersyarat dari Y jika diketallui A' = x yaitu Pj7sdan cry,, adalah :

Nilai o dan 6 adalal~:

Brll"or)

jilt;,

a,.

+a,@, --

11

a,.

-(-

2
+-6r,,y))

A,

fi

--

"'P

I
"Y-

(

,

A

a,

-

"L.0 < =.Y

- *.rP

+a,)
1

)

+%)>.qv -cx~(+I.- O.\.A))~,I.G
i.Jq
2

a,, -- a.rp
A

2

1

7
-"

,

f/.

i-

.

maka

r(z)

esp\C-

'(")= fiqY)r(?)

a,.

A~

rr+a,O\. --

c;.

+-

a,.

a,. 0

Jq' J1-p2 ""
PO

";.P

A

A

Kalau dipcrhatikan, persamaan (41) ~llcmpakan fungsi kepekatan peluang dari sebara~iCoale-McNeil
scperti yang dituliskan pada persalllaan (14), k~rena

maka

dapat dituliskan :

2m ''41s--

):(r

esp t----4. ,I+-

*")=fil-(y)r(T)

Berdasarkan persanlaan (39) didapatkan :

J'r."-m2
.; -

1,0663

oa:' = 1 , 0 6 6 3 ~
o pa', = 1,0663Ap.
nilai 0,938 niaka :
Jika p ~~ie~niliki
p = 0,938 -+ 1,0663.0 z 1

A

I k n g ~ nmengtmakan persama2m (42)g(u) dapat dituliskan sebagai berikut :

dl-P2
Teoreoix 5
Jika ~ I I mempunyai
)
pa~amcta;
l,,@,dan 0,

a

-

dengan nilai parameter :

ay

"-nm

0, =o,,,a-0,
maka llakan menyebar Coale-McNeil dengan fungsi kepekatan peluang

O