Gambar 5.Titik kritis pada keadaan stabil.
3
Gambar 6.Titik kritis pada keadaan tak Stabil. a tiga equilibrium -66 mV, -56
mV, dan -28 mV b satu equilibrium -61 mV.
3
Kedaan trayektori
pada equilibrium berkaitan dengan stabilitas
sistem dinamik. Sebuah equilibrium dikatakan stabil apabila setiap trayektori
mendekati titik equilibrium pada t ≥ 0. Ini berarti trayektori bersifat convergen
terhadap equilibrium Gambar 5 untuk t→∞. Sebaliknya sebuah equilibrium
dikatakan tidak stabil apabila trayektori bersifat divergen atau menyebar dari
equilibrium Gambar 6. 2.3.2 Analisis linier lokal
Agar lebih memahami mengenai analisis sistem dinamik, perlu diketahui
karakteristik suatu sistem dinamik itu sendiri dengan menganalis keadaan
disekitar sistem pada keadaan stabil. Diberikan sistem dinamik dua dimensi
sebagai berikut:
A
′
= A, C ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 11 C
′
= A, C ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 12 memiliki titik equilibrium x
,y . Fungsi
nonlinier f dan g dapat dilinierisasi dekat equilibrium sebagai berikut.
A, C = GA − A
H
+ IC − C
H
+ ℎK ℎLMNOM ∙∙∙∙∙∙∙ 13 A, C = PA − A
H
+ NC − C
H
+ ℎK ℎLMNOM ∙∙∙∙∙∙∙ 14 high order dapat berupa x-x
2
, x-x
y-y , x-x
3
, dan seterusnya. a, b, c, dan d adalah suatu operator sebagai
berkut:
G = Q
QA A
H
, C
H
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. G I =
Q QC A
H
, C
H
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. I P =
Q QA A
H
, C
H
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. P N =
Q QC A
H
, C
H
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. N
Sebagai contoh
untuk menganalisis persamaan berikut
S
′
= GS + IT ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 16 T
′
= PS + NT ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 17 Bentuk
matriksnya adalah
sebagai berikut
US
′
T
′
V = 8G I P N9 8
S T9 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 18
matiks linierisasi yang terkait adalah
W = 8G I P N9 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 19
disebut matriks jacobian.
2.3.3 Nilai eigen dan vektor eigen
Sebuah vektor yang elemennya
tidak ada yang nol disebut vektor eigen V dari sebuah matriks L yang berkaitan
dengan nilai eigen λ jika;
LV = λV notasi matriks………… 20 nilai eigen sangat penting dalam hal
analisis sistem dinamik dilihat dari stabilitas titik equilibriumnya. Untuk
menentukan nilai eigen harus melalui suatu persamaan karakteristik berikut:
NOX 8G − Y I
P N − Y9 = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 21
bentuk polinomial
dari persamaan
matriks diatas adalah G − YN − Y − IP = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 22
atau,
Y − Y + ∆= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 23
8∆9 = 8 XMW
det W9 = 8 G + N
GN − IP9 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 24 sebagi suatu fungsi polinomial maka
memiliki dua nilai solusi dalam bentuk
Y
.,
= τ
± √ − 4∆
2 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 25
nilai eigen bernilai real nyata jika √
− 4∆≥ 0 atau komplek-konjugat jika
√ − 4∆ 0 . Pada keadaan ini
solusi umum dari sistem linier ini berbentuk
USX TXV = P
.
O
`.a
b
.
+ P O
`a
b ∙∙∙∙∙ 26
ketika nilai eigen keduanya bernilai negatif maka akan stabil. Jika sedikitnya
satu nilai eigen bernilai positif maka akan tidak stabil.
2.3.4 Klasifiaksi equilibrium
Nilai eigen
mempengaruhi karakteristik geometri di dekat titik
equilibrium. Dari nilai eigen yang diperoleh,
didapatkan titik-titik
karakteristik sebagai kombinasi tiap-tiap kemungkinan nilai eigen seperti pada
Gambar 7.
3
Gambar 7. Klasifikasi titik equilibrium.
3
•
Titik node, terjadi jika nilai eigen adalah real dan memiliki tanda yang
sama. Titik ini stabil ketika nilai eigen keduanya bernilai negatif dan
tidak stabil ketika keduanya bernilai positif. Trayektori bersifat konvergen
saat stabil dan divergen saat tak stabil Gambar 8.
Gambar 8. Tititk equilibrium node ,λ
1
=-1, λ
2
=-3 stabil, λ
1
=+1, λ
2
=+3 tidak stabil.
3
•
Titik saddle, terjadi jika nilai eigen adalah real dan memiliki tanda yang
berlawanan. Titik saddle selalu tidak stabil, dikarenakan terdapat nilai
eigen yang bernilai positif. Vektor eigen bersifat konvergen menuju
nilai
eigen negatif
dilanjutkan divergen dari nilai eigen positif.
Gambar 9. Saddle equilibrium λ
1
=+1, λ
2
=-1.
3
•
Titik focus nilai eigen imajiner kompleks-konjugat. Stabil pada
saat nilai eigen memiliki suku real negatif dan tak stabil ketika memiliki
suku real yang positif. Suku imajiner dari nilai eigen menentukan frekuensi
rotasi
dari trayektori
yang mengelilingi titik focus.
3
Gambar 10.Focus equilibrium λ
1
=- 3±i stabil atau λ
1
=+3±i tidak stabil.
3
2.4 Propagasi saraf
