Besarnya penerimaan PT Cemerlang dari hasil penjualan barngnya Rp. 720 juta pada tahun kelima, dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan
penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaan per tahun ? berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa
penerimaannya sebesar Rp. 460 juta
Jawab; dalam jutaan : S7 = 980 a + 6 b = 980
S5 = 720 a + 4 b = 720
2 b = 260 b = 130
perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp. 130 juta a + 4 b = 720
a = 720 - 4 b = 720 - 4130 = 200 Penerimaan pada tahun pertama sebesar Rp. 200 juta
Sn = a + n – 1 b 460 = 200 + n-1 130
460 = 200 + 130 n – 130 390 = 130 n
n = 3 Penerimaan sebesar Rp. 460 juta diterima pada tahun ketiga
2. Model Bunga Majemuk
Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. dengan model ini deapat dihitung, misalnya besarnya pengembalian
kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang.
Jika modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat I, maka jumlah akumulasif modal tersebut dim as datang setelah n tahun Fn
dapat dihitung sebgai berikut: F1 = P + P.i = P 1 + i
F2 = P 1 +i + P 1 + iI = P 1 + I 2 F3 = P 1 + I 2 + P 1 + I 2 i = P 1 + I 3
Fn = P 1 + i n P: jumlah sekarang
i : tingakt bunga per tahun n: jumlah tahun
Apabila bunga diperhitungkan dibayarkan lebih dari satu kali misalnya m kali, masing- masing im per termin dalam setahun, maka jumlah di masa datang menjadi:
Fn = P 1 + im mn Nilai sekarang present value dari suatu jumlah uang teretntu di masa datang adalah:
P = 1 1 + I n . F atau P = 1 1 + immn. F
Kasus 3.
seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus
dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan?
Jawab: P = 5.000.000 n = 3 i= 2 = 0,2 Fn = P 1 + i n
F3 = 5.000.000 1 + 0,02 3 = 5.000.000 1,061208 = 5.306.040
Jadi pada saat pelunasan, setelah tiga tahun, nasabah tadi secara keseluruhan harus mengembalikan sebanyak Rp. 5.306.040,00. Seandainya bunga diperhitungkan
dibayarkan tiap semester, m = 2 , maka:
Fn = P 1 + immn F3 = 5.000.000 1 + 0,01 6
= 5.000.000 1,06152 = 5.307.600 Jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar Rp. 5.307.600,00
3. Model Pertumbuhan Penduduk Menurut Sir TR. Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara
matematik, hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
P t = P1 R t-1 ; dimana R = 1 + r P1 = jumlah pada thun pertama basis0
Pt = jumlah pada tahun ke-t r = persentase pertumbuhan per tahun
t = indeks waktu tahun
Kasus 5; penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4
persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006, berap jumlahnya 11 tahun kemudian?
Pt = 1 juta r = 0,04 R= 1,04 P tahun2006
P16 = 1 juta 1,0415 = 1 juta 1,800943
= 1.800.943 jiwa P1 = 1.800.943 r = 0,025 R = 1,025
P11 tahun kemudian = P11 P11 = 1.800.943 1,025 10 = 2.305.359 jiwa
atau dengan memanfaatkan kaidah logaritma: P 11 = 1.800.943 1,025 10
log P11 = log 1.800.943 1,02510 log P11 = log 1.800.943 + 10 log 1,025
log P11 = 6,255499 = 0,107239 log P11 = 6,362738
P11 = 2.305.359
HUBUNGAN FUNGSIONAL BAB 5
FUNGSI Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan hubungan fungsional antara satu variable dengan variable lain.
unsure-unsur pembentuk fungsi adalah variable, koefisien, dan konstanta Variabel adalah unsure pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili factor
tertrentu, dilambangkanberdasarkan kesepakatan umum dengan huruf-huruf Latin.
Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variable, yaitu variable bebas dan variable terikat. Variabel bebas independent variable
ialah variable yang nilainya tidak tergantung pada variable lain; sedangkan variable terikat dependent variable ialah variable yang nilainya tergantung pada variable lain.
Koefisien dan Konstanta. Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu
variable dalam sebuah fungsi. Adapun konstanta ialah bilangan atau angka yang kadang- kadang turut membentuk sebuah fungsi tetai berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak
terkait pada suatu variable tertentu
Jenis-jenis Fungsi
a. Fungsi aljabar b. Fungsi non-aljabar transenden
Fungsi Aljabar terdiri dari: a. Fungsi Irrasional
b. Fungsi Rasional
Fungsi rasional terdiri atas: f. polinom ; f. linear; f. kuadrat; f.kubik; f. bikuadrat dan f. pangkat
Adapun fungsi non aljabar transenden seperti: f. eksponensial; f. logaritmaik; f trigonometric; dan fungsi hiperbolik
Fungsi polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku polinom dalam variable bebasnya. Bentuk umum umum persamaan polinom adalah:
Y = a0 + a1X + a2 X2 + ---- + an Xn Fungsi Linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat satu. bentuk umu m persaman linear adalah :
Y = a0 + a1X ; dimana a1 tidak boleh sama dengan 1
HUBUNGAN LINEAR: PENGGAMBARAN FUNGIS LINEAR
Setiap fungsi – yang terbentuk eksplisit, atau bis dieksplisitkan - dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang sistem koordinat. Gambar yang
dihasilkannya mungkin berupa garis lurus atau berupa kurva, tergantung pada jenis dan fungsi yang bersangkutan. Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara
menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persnamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam
menggambarkan suatu fungsi terdapat kebiasaan meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal absis dan variabel terikat pada sumbu vertical ordinat.
PENGGAMBARAN FUNGSI NON-LINEAR Penggambaran fungsi non-linear tidak semudah dengan fungsi linear. Meskipun
prinsipnya secara umum sama, yakni dengan terlebih dahulu mencari sejumlah titik koordinat yang memenuhi persmaan fungsinya, namun prakteknya tidaklah mudah.
Bukan saja Karena kurvanya yang jelas akan tidak linear, sehingga relative sulit untuk dilukiskan, teteapi juga karena terdapat tidak hanya satu macam fungsi non-linear.
Masing-masing fungsi non-linear mempunyai bentuk khas mengenai kurvanya, sehingga harus diamati kasusdemi kasus.
BAB 6 HUBUNGAN LINEAR
Hubungan sebab-akibat antara berbagai variable ekonomi – misalnya antara permintaa barang dan harga, antara investasi dan tingkat bunga – dapat dengan mudah dinyatakan serta
diterangkan dalam bentuk fungsi. Di antara berbagai macam hubungan fungsional yang ada, hubungan linear merupakan bentuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis
ekonomi.
PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS Fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat satu. Sesuai dengan namanya, setiap persamaan linear apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis, tegasnya garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a +
bx; dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu-vertikal – y, sedangkan b adalah koefisien arah atau lereng garis yang bersangkutan. Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x =
0. Adapun lereng b mencerminkan besarnya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x, juga mencerminkan besranya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x, juga
mencerminkan tangent dari sudut yang dibentuk oleh garis – y dan sumbu – x.Satu hal yang penting untuk dicatat adalah bahwa lereng dari suatu fungsi linear suatu konstan, untuk setiap x.
PEMBENTUK PERSAMAAN LINEAR Sebuah persamaan linear dapat dibentuk melalui beberapa macam cara terrgantung pada data
yang tersedia. Pada prinsipnya sebuah persmaan linear bisa dibentuk berdasarkan dua unsure. Unsur tersebut dapat berupa penggal garisnya, lereng garisnya, atau koordinat titik-titik yang
memenuhi persamaannya.
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
Dalam sebuah sistem sepasang sumbu-silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yaitu saling berimpit, sejajar berpotongan, dan tegak lurus.
