Pengembangan Algoritma EM untuk Data Tidak Lengkap (Incomplete Data) pada Model Log-Linear

(1)

Prosiding

Seminar Nasional

Mahasiswa S3 Matematika

Forum Komunikasi Mahasiswa S-3 Matematika se-Indonesia

Bekerja Sama Dengan Jurusan Matematika FMIPA UGM

ha i

a sw

s a_S

i -3 n

u M

m t

o e

K m

muro_F atik

Indonesia

ha i

a sw

s a_S

i -3 n

u M

m t

o e

K m

muro_F atik

Indonesia

REVITALISASI D A N SOSIALISASI DIRI

U N T U K B E R P E R A N A K T I F D A L A M

PENINGKATAN KUALITAS PENELITIAN &

PENDIDIKAN MATEMATIKA DI INDONESIA

Editor :

Muslim Ansori

Ismail Djakaria

Dhoriva Urwatul Wutsqa

Agus Maman Abadi

M. Andy Rudhito

Umu Sa’adah

Karyati

Hasih Pratiwi

(2)

Generator Frame Wavelet Ketat dari Kelas Box Spline Multivariate (Mahmud Yunus,

JannyLindiarni,Hendra Gunawan) ……….

334

Generalized Regression dalam Pendugaan Area Kecil (Anang Kurnia,Khairil A.

Notodiputro,Asep Saefuddin, danI Wayan Mangku) ………

346

Chain Ladder Method as a Gold Standard to Estimate Loss Reserves (Aceng K.

Mutaqin,Dumaria R. Tampubolon,Sutawanir Darwis) ……….

356

Optimalisasi Respon Ganda pada Metode Respon Permukaan (Response Surface) dengan Pendekatan FungsiDesirability(Hari Sakti Wibowo,I Made Sumertajaya,

Hari Wijayanto) ……….

365

Sifat Penaksir Simulated MLE pada Respon Multinomial (Jaka Nugraha) …………..

376

Estimasi Model Probit pada Respons Biner Multivariat Menggunakan MLE dan

GEE (Jaka Nugraha) ……….

386

Analisis Komponen Utama Temporar (Ismail Djakaria) ……….

399

PendekatanDynamic Linear ModelatauState Space Modelpada Pendugaan Area

Kecil (Small Area Estimation) (Kusman Sadik dan Khairil Anwar Notodiputro) …….

411

Pengembangan Algoritma EM untuk Data Tidak Lengkap (Incomplete Data) pada

Model Log-Linear (Kusman Sadik) ………...

422

CRUISE sebagai Metode Berstruktur Pohon (Tree-Structured) pada Data

Non-Biner (Kusman Sadik) ………...

433

ModelProportional Hazards CoxdenganMissing Covariates(Nurkaromah

Dwidayati,Sri Haryatmi,Subanar) ……….

447

Aplikasi Mixture Distribution dalam Pemodelan Resiko Aktuaria (Adhitya Ronnie

Effendie) ………

459

Analisis Komponen Utama Probabilistik pada DataMissing(Ismail Djakaria) ……..

464 Malakah Bidang Terapan

Bilangan Ramsey untuk Graf BintangS6dan Graf Bipartit LengkapK2,N,N=2,3,4

(Isnaini Rosyida) ……….

476

H-supermagic labelings ofccopies of some graphs (Tita Khalis Maryati,A.N.M.

(3)

Pengembangan Algoritma EM untuk

Data Tidak Lengkap

(Incomplete Data) pada Model Log-Linear

Kusman Sadik

Departemen Statistika, FMIPA IPB Jl. Raya Dramaga, Kampus IPB Dramaga, Bogor

e-mail : kusmansadik@yahoo.com

Abstrak

Pada data kategori terkadang terdapat beberapa data yang tidak lengkap pada salah satu kategorinya, sehingga ringkasan dari data kategori dalam bentuk tabel kontingensinya terbagi menjadi dua bagian yaitu tabel kontingensi data lengkap dan data tidak lengkap. Analisa yang dapat digunakan untuk kasus tersebut adalah dengan memodelkan data lengkap mengunakan model log-linear. Kemudian dilakukan pendugaan data tidak lengkap menggunakan algoritma EM. Algoritma EM terdiri dari dari dua tahapan yaitu

tahapan M (Maximization) diperoleh dari pendugaanmaksimum likelihoodberupa nilai

proporsi setiap sel pengamatan, tahapan E (Expectation) merupakan proses

pendistribusian data tidak lengkap berdasarkan proporsi yang telah ditentukan sehingga setiap nilai sel pengamatan mengalami penyesuaian nilai. Algoritma EM ini merupakan proses iterasi yang terus berlangsung hingga diperoleh nilai yang konvergen. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah status kesehetan bayi setelah dilahirkan di dua

klinik yang berbeda. Data yang diamati adalahclinic(C),prenatal care(P) dansurvival

(S). Terdapat data tidak lengkap pada kategori clinic. Model Log-linear terbaik untuk

data lengkap adalah model (SC,PC) karena memiliki nilai uji kebaikan suai dan model ini cukup sederhana untuk mendistribusikan data tidak lengkap ke data lengkap dibandingkan model lainnya. Model ini memberi gambaran hubungan antara peubah

clinic(C) dengan peubah lainnya.

Kata kunci : incomplete data, EM algorithm, prenatal care, survival, maximum

likelihood

1. Pendahuluan

1.1. Latar Belakang

Data kategori terkadang dapat berupa gabungan dari data-data yang tidak lengkap pada satu atau beberapa kategori. Tidak lengkapnya data dapat diakibatkan oleh nonresponsedari subjek yang terobservasi, sehingga dianggap sebagai data missing atau data hilang. Kondisi seperti itu, data kategori yang tersedia masih dapat di ringkas dalam bentuk tabel kontingensi

(4)

dan di analisis menggunakan model loglinear (Fuchs Camil,1992). Namun pemodelan yang sempurna untuk seluruh data dapat dilakukan apabila data tidak lengkap diduga terlebih dahulu, karena kondisi tersebut tidak dapat diabaikan (nonignorable) terkait dengan nilai peluang di setiap sel kategori dan akan mempengaruhi pendugaan parameter di dalam model (Park Taesung dan Morton B.Brown,1994).

Algoritma EM dapat dijadikan solusi di dalam pendugaan data tidak lengkap. Iterasi dari algoritma tersebut dilakukan sehingga diperoleh nilai dugaan pada setiap sel pengamatan yang konvergen ke satu nilai,

Penentuan model terbaik yang dilakukan pada data tidak lengkap dapat di lihat dari nilai uji nisbah kemungkinan dari masing-masing model, nilai yang terbesar menunjukkan bahwa model tersebut lebih baik dibandingkan model lainnya.

Sebagai ilustrasi untuk memudahkan pemahaman algoritma EM, maka dalam penelitian ini digunakan data kategori cross sectional berupa status keadaan bayi setelah dilahirkan pada dua klinik yang berbeda.

1.2. Tujuan

Penelitian ini bertujuan mempelajari pendugaan data tidak lengkap dengan algoritma EM pada model loglinear, dan menentukan pemodelan terbaik untuk data studi kasus status keadaan bayi setelah dilahirkan pada dua klinik yang berbeda.

2. Tinjauan Pustaka

2.1. Model Loglinear pada Tabel Kontingensi

Data kategori merupakan jenis data dengan skala pengukuran nominal dan ordinal. Ringkasan dari data kategori ini dapat ditampilkan menggunakan tabel kontingensi, yang berupa total dari seluruh obervasi setiap kategori atau persentasi dari total di setiap kategori (Morgan dan Andrew F Siegel, 1996).

Analisis tabel kontingensi berdimensi besar dilakukan pada setiap pasangan peubah dalam tabel dua arah. Menurut Fienberg (1978) memiliki banyak kelemahan antara lain :

1. Mengaburkan hubungan marginal antara pasangan-pasangan peubah ketegori dengan peubah yang lainnya.

(5)

Kusman Sadik

Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

424

2. Tidak dapat mengamati hubungan pasangan-pasangan peubah secara simultan. 3. Mengabaikan kemungkinan adanya interaksi tiga peubah dan interaksi yang lebih

tinggi lainnya.

Oleh karena itu diperlukan analisis lain untuk tabel kontingensi berdimensi besar, diantaranya menggunakan model loglinear.

Model loglinear menggambarkan hubungan beberapa kategori, dengan pendekatan loglinear ini dari model dapat dihitung nilai harapan(mijk) setiap sel dalam tabel kontingensi,

bentuk dari model loglinear dan interpretasi parameter-parameter dalam model sama dengan ANOVA(Agresti,1990).

2.2. Model Loglinear pada Tabel Kontingensi Tiga Arah

Tabel kontingensi tiga arah dengan ukuran i x j x k dapat dibentuk dari N observasi yang terdiri dari tiga peubah X, Y, dan R. Peubah X terdiri dari i kategori, Y terdiri dari j kategori dan R terdiri dari k kategori. Bentuk model lengkap XYR (saturated model), di gambarkan dalam bentuk :

XYR ijk XR ik YR jk XY ij R k Y j X i ijk

m       

log (1)

dimana :    0 k R k j Y j i X

i  

 dan 0 ...    



k XYR ijk j YR jk j XY ij i XY

ij   



untuk : i = 1, 2, ..., I j = 1, 2, ...,J dan k = 1, 2,...K

Keterangan :

 : Rataan seluruh observasi

X i

 : Pengaruh utama ke i pada kategori X

Y j

 : Pengaruh utama ke j pada kategori Y

R k

 : Pengaruh utama ke k pada kategori R

XY ij

(6)

YR jk

 : Interaksi kategori Y ke j dengan kategori R ke k

XR ik



: Interaksi kategori X ke i dengan kategori R ke k

XYR ijk



: Interaksi kategori X ke i dengan kategori Y ke j dan kategori R ke k

Pendugaan parameter dalam model diatas dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

...



 _ijk logm_ijk ...

.. 

 X  _i 

i kR .k....

... .

. 

 Y  _j 

j ijXY ij.i...j....

... .. . . .    

YR  _jk  _j  _k 

jk ... .. .. .





 ik  i  k 

XR ik ... .. . . .. . . .







ijk







XYR ijk

Pada dasarnya model yang terbentuk dari tabel kontingensi dapat diuraikan menjadi beberapa model loglinear (model hirarki), tersusun dari model sederhana tanpa adanya interaksi antara kategori, hingga model lengkap yang seluruh interaksi ada didalam model tersebut (Little dan Donald, 1997).

Uji Kebaikan Suai

Model yang dicobakan dapat dilihat kesesuaiannya dengan menggunakan uji kebaikan suai khi-kuadrat Pearson

 

2 dan statitstik uji nisbah kemungkinan (likelihood rasio test statistic, G2).

(7)

Kusman Sadik

Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

426

Uji Khi-kuadrat Pearson

 

_2

Statistik kebaikan suai khi-kuadrat untuk tiga peubah dapat dihitung dengan rumus:











k ijk

ijk ijk j

m

n



(2)

nijkadalah nilai pengamatan, sedangkan mijkadalah nilai harapan dari kolom-ijk.

Uji Nisbah Kemungkinan (G2)

Statistik nisbah kemungkinan dapat di hitung dengan rumus:

ijk ijk k

ijk j

i n

m n

G 2  2



log (3)

Logaritma ditentukan dengan bilangan dasar e atau lebih dikenal dengan logaritma natural. Hipotesis yang di uji adalah :

H0: Model memiliki kebaikan suai

H1: Model tidak memiliki kebaikan suai

Statistik uji 2 Pearson dan G2 menyebar asimtotik menurut sebaran khi-kuadrat (2) dengan derajat bebas berupa pengurangan jumlah sel terhadap banyaknya parameter bebas (Little dan Donald, 1997).

Jika terdapat lebih satu model yang sesuai maka dilakukan pemilihan model yang memiliki kebaikan suai paling baik. Pemilihan dapat dilakukan dengan menguji hipotesis berikut :

H0: Pilih Model pertama

H1: Pilih model kedua

Statistik ujinya :

2 ) 2 ( 2

) 1 ( 2

G





(8)

Kaidah pengujian yang digunakan adalah jika lebih kecil dari 2 maka H0 diterima

pada taraf nyata dengan derajat bebas adalah selisih dari derajat bebas kedua model yang dibandingkan.

2.3. Algoritma EM

Algoritma EM adalah salah satu metode yang digunakan secara luas untuk menghitung penduga kemungkinan maksimum dari data yang tidak lengkap (Little dan Donald, 1997). Ada dua tahapan dasar dalam algoritma ini, yaitu :

1. Tahapan E (Expectation) yaitu tahapan mencari nilai harapan bersyarat dari data tidak lengakap dengan syarat data lengkap dan pendugaan parameter dari suatu fungsi kemungkinanl(



|Y), yang kemudian nilai harapan yang diperoleh di subsitusikan ke dalam data hilang. Tahapan E dalam EM dapat ditentukan sebagai berikut :





 





mis

t obs mis t

dY Y

Y f Y l

Q () ()

, | |

|   

 

_



(5)

2. Tahapan M dalam algoritma EM menentukan iterasi penentuan nilai penduga terbaru

(t+1)

dengan memaksimumkan :



( 1) ( )





( )



|

t t

Q











(6)

Untuk semua nilai



Dalam kasus data tidak lengkap pada data kategori, kedua tahapan penting algoritma EM didefinisikan bahwa setiap tahapan E dari algoritma EM menentukan besarnya frekuensi pada sel pengamatan semu dengan mengalokasikan totalmarginal dari data tidak lengkap ke dalam sel yang tidak terobservasi. Sedangkan tahapan M menghasilkan pendugaan maksimum likelihood dari sel frekuensi pengamatan semu tersebut dengan cara memaksimumkan pendugaan posterior dari parameter model. Kedua tahapan tersebut dilakukan terus menerus hingga pada akhirnya diperoleh nilai dugaan pada tahap M yang konvergen terhadap satu nilai (Park dan Morton, 1994).

Tahapan pendugaan data hilang dengan algoritma EM, (Little dan Donald, 1997) adalah :

(9)

Kusman Sadik

Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

428

1.Menghitung nilai peluang di setiap sel pengamatan dengan menggunakan statistik cukup yang di peroleh dengan pendugaan maksimumlikelihood.

2.Menduga nilai harapan di setiap dengan mendistribukan data tidak lengkap ke dalam tiap sel pengamatan berdasarkan proporsi peluangnya.

3.Ulangi langkah 1-2 sampai memperoleh nilai dugaan parameter yang konvergen ke satu nilai tertentu.

Setelah diperoleh hasil pendugaan yang konvergen ke satu nilai. Kekonvergenan dapat diartikan bahwa nilai disetiap pengamatan utnuk beberapa iterasi akhir tidak mengalami perubahan.

3. Bahan dan Metode

Ilustrasi yang digunakan untuk memahami pendugaan data tidak lengkap dengan metode EM adalah data mengenai status keadaan bayi setelah dilahirkan pada dua klinik berbeda. Peubah yang digunakan dalam penelitian ini yaitu:

Peubah Kategori Kode

Survival died, survived S

Prenatal Care less, more P

Clinic A,B C

Ringkasan data di tampilkan ke dalam tabel kontingensi tiga arah pada Tabel 1. Ukuran tabel tersebut 2 x 2 x 2.

Tabel 1.Tabel Kontingensi

Survival (S)

Clinic (C)

Prenatal Care (P)

Died Survived (a) Data Lengkap

A Less 3 176

More 4 293

B Less 17 197

More 2 23 m=715

(b) Bagian Data Tak Lengkap Less 10 150

More 5 90 r=255

(10)

Total seluruh responden yang berpartisipasi adalah 970 orang (m + r = 970), namun hanya 715 terisi lengkap (m = 715), sedangkan 255 tidak lengkap (r= 225) terhadap peubah

clinic(C), sehingga 255 data ini yang akan di distribusikan ke dalam sel-sel pengamatan.

Metode yang digunakan :

1. Menentukan model terbaik dari data lengkap yang tersedia. 2. Menentukan nilai peluang setiap sel pengamatan.

3. Menentukan nilai harapan setiap sel dengan mendistribusikan data tak lengkap berdasarkan nilai peluangnya, hingga konvergen.

4. Menentukan model terbaik setelah data di perbaiki.

4. Hasil dan Pembahan

4.1. Model Loglinear pada Tabel Kontingensi

Model hirarki yang dapat di uraikan dari tabel kontingensi berdimensi tiga ada 19 model loglinear. Sembilan dari model tersebut di tampilkan pada lampiran 1, sedangkan sepuluh model lainnya di peroleh dari permutasi interaksi peubah-peubah pada model (3), (4), (5), (7), dan (8). Analisa dalam penelitian ini hanya menggunakan empat model, karena model-model tersebut dapat menggambarkan hubungan antara peubah clinic (C) dengan peubah-peubah lainnya. Empat model tersebut yaitu : model lengkap (SPC), model (SP, SC, PC), model (SC, PC), model (SP, SC).

Hasil dari nilai uji kebaikan suai (G2dan2) yang ditampilkan pada lampiran 2 untuk setiap model, menunjukan bahwa model yang memiliki kebaikan suai terbaik hanya tiga model saja yaitu model (SPC), model (SP, SC, PC), model (SC, PC)., hal ini diperoleh dari pembandingan nilai uji kebaikan suai dengan nilai pada tabel khi-kuadrat dengan derajat bebas masing-masing model.Jika nilai kebaikan suai lebih besar dari pada nilai tabel khi-kuadrat pada taraf nyata 5 % maka kesimpulan yang diambil adalah menerima H0 atau

diintrepretasikan bahwa model memiliki kebaikan suai. Oleh karena ada lebih dari satu model yang memiliki kebaikan suai maka untuk menentukan model terbaik perlu dilakukan analisa lanjutan. Hasil pemilihan dapat dilihat dari Tabel 2 .

(11)

Kusman Sadik

Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

430

Tabel 2.hasil pemilihan model terbaik.

Model G2 db 2

(db,5%)

Model terpilih (SPC) *

(SP,SC,PC)

0.04 1 3.84 (SPC)

(SPC) * (SC,PC)

0.08 2 5.99 (SPC)

(SC,PC)* SP,SC,PC)

0.04 1 3.84 (SC,PC)

Model (SPC) ini merupakan model yang mengambarkan seluruh interaksi antar peubah secara lengkap.Penentuan nilai peluang setiap sel pengamatan pada model lengkap (SPC) dapat diproporsikan secara sempurna, dari model ini diperoleh nilai kebaikan suai (G2 dan2) nol dan derajat bebasnya juga nol.

Pada model (SP, SC, PC) dan model (SC, PC) memiliki nilai kebaikan suai yang terkecil dibandingkan dengan model lainnya, hal ini menunjukkan kedua model ini yang terbaik dan mengindikasikan bahwa antara peubah survival (S), prenatal (P) berhubungan dengan peubah clinic (C). Namun pada model (SC, PC) tidak dapat menjelaskan hubungan antara peubahsurvival(S) dengan peubahprenatal(P) berbeda dengan model (SP, SC, PC). Oleh karena itu untuk pendugaan EM model yang digunakan adalah model (SC, PC) karena di nilai lebih sederhana dan akan lebih mudah dalam mendistribusikan data tak lengkap.

4.2. Analisa Algoritma EM

Analisa algoritma EM meliputi pendistribusian dari data tidak lengkap ke dalam data lengkap menggunakan nilai peluang bersyarat, kemudian menduga nilai di setiap sel pengamatan dari data lengkap. Setiap nilai peluang yang diperoleh di tentukan oleh model loglinear. Hasil dari algoritma EM pada model (SC, PC) berhenti pada iterasi ke 4, hal ini di sebabkan pada iterasi ke 4 telah menunjukan nilai yang konvergen pada satu nilai di dalam tahapan E. Jika iterasi itu di lanjutkan, maka pada iterasi selanjutnya akan diperoleh penduga nilai sel pengamatan yang sama dengan iterasi ke 4.

Nilai akhir dari iterasi yang diperoleh merupakan gabungan dari data lengkap dengan data tidak lengkap hasil algoritma EM tersebut seprti di dalam Tabel 3.

(12)

Tabel 3. Nilai Akhir Pendugaan Data Tak Lengkap dengan Metode EM Survival (S)

Clinic (C)

Prenatal Care (P)

Died Survived

A Less 5 247

More 8 376

B Less 25 276

More 3 30

Total dari seluruh data tidak berubah yaitu 970 namun nilai sel pengamatan di dalam tiap kategori berubah. Sel pengamatan yang mendapatkan pendistribusian data terbesar adalah sel padaclinic(C) A, prenatal care(P) untuk kategori moredan survival(S) untuk kategorisurvived., sel tersebut mendapat tambahan sebesar 83, hal ini terjadi karena proporsi awal pada sel tersebut terbesar pula.

5. Kesimpulan

Algoritma EM untuk data tidak lengkap pada model loglinear merupakan metode yang cukup baik digunakan, karena dalam algoritma EM terjadi proses pendistribusian data tidak lengkap ke data lengkap berdasarkan nilai peluang bersyaratnya, dan penentuan nilai peluang ditentukan oleh model loglinear yang digunakan.

Model loglinear terbaik dalam ilustrasi yang dapat digunakan untuk algoritma EM adalah model (SC, PC) karena model ini memiliki nilai kebaikan suai yang terkecil dan model cukup sederhana dibanding dengan model (SP, SC, PC). Sedangkan proses dari pendistribusian data tidak lengkap dengan algoritma EM tidak membutuhkan iterasi yang besar. Pada iterasi ke 4 sudah menunjukkan nilai yang konvergen,

Daftar Pustaka

Agresti, Alan. 1990.Categorical Data Analysis. NewYork: Jhon Wiley & Sons.

Fienberg, Stephen E. 1998. The Analysis of Cross-Classified Categorical Data. The Massachusetts Institute of Technology.

Fuch, Camil. 1992. Maximum Likelihood Estimation and Model Selection in Contingency Tables With Missing Data.Journal of The American Statistical Association.Vol 77. No 378. American.

(13)

Kusman Sadik

Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

432

Little, R J A., and Donald B. Rubbin. 1987. Statistical Analysis with Missing Data. New York: John Wiley & Sons.

Morgan, Charles J., and Andrew F Siegel. 1996.Statistic and Data Analysi.New York: John Wiley & Sons.

Park, Taesung., dan Morton B. Brown. 1994. Models For Categorical With Nonignorable Nonresponse. Journal of The American Statistical Assciation. Vol 89. No 425. American.

(1)

Kaidah pengujian yang digunakan adalah jika lebih kecil dari 2 maka H0 diterima

pada taraf nyata dengan derajat bebas adalah selisih dari derajat bebas kedua model yang dibandingkan.

2.3. Algoritma EM

1. Tahapan E (Expectation) yaitu tahapan mencari nilai harapan bersyarat dari data tidak lengakap dengan syarat data lengkap dan pendugaan parameter dari suatu fungsi kemungkinanl(



|Y), yang kemudian nilai harapan yang diperoleh di subsitusikan ke dalam data hilang. Tahapan E dalam EM dapat ditentukan sebagai berikut :





 





mis

t obs mis t dY Y Y f Y l

Q () ()

, | | |     

_

 (5)

2. Tahapan M dalam algoritma EM menentukan iterasi penentuan nilai penduga terbaru

(t+1)

dengan memaksimumkan :



( 1) ( )





( )



|

t t

Q











(6)

Untuk semua nilai



Tahapan pendugaan data hilang dengan algoritma EM, (Little dan Donald, 1997) adalah :

(2)

1.Menghitung nilai peluang di setiap sel pengamatan dengan menggunakan statistik cukup yang di peroleh dengan pendugaan maksimumlikelihood.

2.Menduga nilai harapan di setiap dengan mendistribukan data tidak lengkap ke dalam tiap sel pengamatan berdasarkan proporsi peluangnya.

3.Ulangi langkah 1-2 sampai memperoleh nilai dugaan parameter yang konvergen ke satu nilai tertentu.

Setelah diperoleh hasil pendugaan yang konvergen ke satu nilai. Kekonvergenan dapat diartikan bahwa nilai disetiap pengamatan utnuk beberapa iterasi akhir tidak mengalami perubahan.

3. Bahan dan Metode

Peubah Kategori Kode

Survival died, survived S

Prenatal Care less, more P

Clinic A,B C

Ringkasan data di tampilkan ke dalam tabel kontingensi tiga arah pada Tabel 1. Ukuran tabel tersebut 2 x 2 x 2.

Tabel 1.Tabel Kontingensi Survival (S) Clinic

(C)

Prenatal Care (P)

Died Survived

(a) Data Lengkap

A Less 3 176

More 4 293

B Less 17 197

More 2 23 m=715

(b) Bagian Data Tak Lengkap

(3)

Total seluruh responden yang berpartisipasi adalah 970 orang (m + r = 970), namun hanya 715 terisi lengkap (m = 715), sedangkan 255 tidak lengkap (r= 225) terhadap peubah

clinic(C), sehingga 255 data ini yang akan di distribusikan ke dalam sel-sel pengamatan. Metode yang digunakan :

1. Menentukan model terbaik dari data lengkap yang tersedia. 2. Menentukan nilai peluang setiap sel pengamatan.

3. Menentukan nilai harapan setiap sel dengan mendistribusikan data tak lengkap berdasarkan nilai peluangnya, hingga konvergen.

4. Menentukan model terbaik setelah data di perbaiki.

4. Hasil dan Pembahan

4.1. Model Loglinear pada Tabel Kontingensi

(4)

Tabel 2.hasil pemilihan model terbaik.

Model G2 db 2 (db,5%)

Model terpilih (SPC) *

(SP,SC,PC)

0.04 1 3.84 (SPC)

(SPC) * (SC,PC)

0.08 2 5.99 (SPC)

(SC,PC)* SP,SC,PC)

0.04 1 3.84 (SC,PC)

4.2. Analisa Algoritma EM

Nilai akhir dari iterasi yang diperoleh merupakan gabungan dari data lengkap dengan data tidak lengkap hasil algoritma EM tersebut seprti di dalam Tabel 3.

(5)

Tabel 3. Nilai Akhir Pendugaan Data Tak Lengkap dengan Metode EM

Survival (S) Clinic

(C)

Prenatal Care (P)

Died Survived

A Less 5 247

More 8 376

B Less 25 276

More 3 30

5. Kesimpulan

Daftar Pustaka

Agresti, Alan. 1990.Categorical Data Analysis. NewYork: Jhon Wiley & Sons.

Fienberg, Stephen E. 1998. The Analysis of Cross-Classified Categorical Data. The Massachusetts Institute of Technology.

Fuch, Camil. 1992. Maximum Likelihood Estimation and Model Selection in Contingency Tables With Missing Data.Journal of The American Statistical Association.Vol 77. No 378. American.

(6)

Little, R J A., and Donald B. Rubbin. 1987. Statistical Analysis with Missing Data. New York: John Wiley & Sons.

Morgan, Charles J., and Andrew F Siegel. 1996.Statistic and Data Analysi.New York: John Wiley & Sons.

Park, Taesung., dan Morton B. Brown. 1994. Models For Categorical With Nonignorable Nonresponse. Journal of The American Statistical Assciation. Vol 89. No 425. American.