Pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika menggunakan Hidden Markov satu waktu sebelumnya
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR
AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU
WAKTU SEBELUMNYA
SRI RAMADANIATY
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Nilai Tukar
Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu
Sebelumnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Sri Ramadaniaty
NIM G54100097
ABSTRAK
SRI RAMADANIATY. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika
Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya. Dibimbing oleh
BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT.
Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika telah menjadi salah satu acuan
penting dalam pergerakan perekonomian Indonesia. Perubahan nilai tukar Rupiah
merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam jangka waktu yang
panjang dan perubahan yang terjadi mungkin terjadi kembali di masa mendatang.
Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk
rantai Markov, maka pasangan penyebab kejadian dan data nilai tukar Rupiah dapat
dimodelkan oleh model hidden Markov. Dalam tugas akhir ini digunakan model
hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung
pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan
satu waktu sebelumnya. Parameter model diduga dengan menggunakan Maximum
Likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritme iteratif Expectation
Maximization (EM). Proses komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan
software Mathematica 10. Setelah penduga parameter didapatkan maka nilai tukar
Rupiah terhadap Dolar Amerika dapat diduga. Akurasi model diukur menggunakan
mean absolute percentage error (MAPE). Diperoleh MAPE 4.48% dengan satu kali
iterasi.
Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah
ABSTRACT
SRI RAMADANIATY. Modeling the Exchange Rate of Rupiah to American
Dollar using Previous Time Hidden Markov. Supervised by BERLIAN
SETIAWATY and RUHIYAT.
An exchange rate of Rupiah to American Dollar has become one of important
reference for Indonesian economic movement. The movement of the exchange rate
of Rupiah is an event that can occur anytime in a long period and possible to reoccur
in the future. If the cause of event is not observed directly and forms a Markov
chain, so the pair of the cause and an exchange rate of Rupiah can be modeled by
hidden Markov. In this thesis the previous time hidden Markov model is used. This
model assumes that the present exchange rate of Rupiah depends on the previous
exchange rate of Rupiah and the present and previous cause. Model parameter is
estimated by using maximum likelihood method and the calculation uses iterative
algorithm expectation maximization (EM). Numerical computation is done by
using Mathematica 10. After the parameter model is obtained, then the exchange
rate of Rupiah to American Dollar can be estimated. Model accuracy is measured
by using mean absolute percentage error (MAPE). Resulted MAPE is 4.48% with
one iteration.
Keywords: EM algorithm, MAPE, hidden Markov model, the exchange rate of
Rupiah
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR
AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU
WAKTU SEBELUMNYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden
Markov Satu Waktu Sebelumnya.
1.
2.
3.
4.
Penulis mengucapkan terimakasih kepada:
Dr Berlian Setiawaty, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing yang
telah memberikan ilmu, bimbingan, saran, arahan dan motivasi bagi penulis
selama skripsi, dan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku
dosen penguji.
Papa (Prof Dr Ahmad Husein Ritonga, MAg), Mama (Dra Mariatul Hasanah
Harahap), kak Fatimah Raihani (Ayu) & kak Soleh, kak Lainatussifa (Dede),
Naila Hidayati dan M. Farhan Akhwan atas segala doa, nasehat, dukungan, dan
kasih sayangnya.
Staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Ibu Ade, dan Bapak Deni
atas kesabaran dan bantuannya selama ini.
Kak Tyas, kak Juni, kak Hendra, Nisa, Putri Putu, Eka, Betry, mbak Peni,
Ando, Murzani, Agung, Marin, Okta, Susi, Shovi, Pupu, serta teman-teman
Matematika 47 lainnya, Wisma Pelangi, Lordu dan teman seperjuangan atas
doa dan semangatnya selama ini.
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak.
Bogor, Mei 2015
Sri Ramadaniaty
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2
Peubah Acak dan Sebarannya
3
Nilai Harapan
4
Rantai Markov
5
Algoritme Expectation Maximization (EM)
8
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
9
MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA
Model Hidden Markov
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA
9
9
10
18
Data Input Nilai Tukar Rupiah
18
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
19
Penentuan Nilai Awal Parameter
19
Hasil Program
20
SIMPULAN
21
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
44
DAFTAR GAMBAR
1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan
18
2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya
19
3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan
nilai dugaan yang didapatkan
20
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti Lema 1
2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32)
3 Program untuk mencari nilai dugaan menggunakan software
Mathematica 10
4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dan nilai dugaannya
22
23
35
41
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rupiah termasuk soft currency, yaitu mata uang yang mudah berfluktuasi
ataupun terdepresiasi, karena perekonomian negara asalnya relatif kurang mapan,
sedangkan mata uang negara Amerika Serikat disebut hard currency, karena
kemampuannya untuk memengaruhi nilai mata uang yang lebih rendah.
Nilai tukar Rupiah menjadi acuan penting dalam pergerakan naik-turunnya
grafik perekonomian Indonesia. Indikasi dari pergerakan ekonomi bisa dilihat dari
pergerakan nilai tukar Rupiah itu sendiri. Nilai tukar Rupiah sejatinya terus
bergerak setiap hari seperti mata uang lainnya di dunia.
Modal yang beredar di Indonesia, terutama di pasar finansial, sebagian besar
adalah modal asing. Ini membuat nilai Rupiah sedikit banyak bergantung pada
kepercayaan investor asing terhadap prospek bisnis di Indonesia. Semakin baik
iklim bisnis di Indonesia, maka akan semakin banyak investor asing di Indonesia,
dan dengan demikian nilai Rupiah akan semakin kuat. Sebaliknya, semakin negatif
pandangan investor terhadap Indonesia, Rupiah akan kian melemah.
Faktor yang memengaruhi Rupiah salah satunya adalah kondisi politikekonomi. Melemahnya nilai tukar Rupiah berdampak pada harga komoditi impor,
baik yang menjadi objek konsumsi maupun alat produksi, serta kenaikan nilai
Rupiah dari hutang luar negeri.
Perubahan nilai tukar mata uang merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi
kapan saja dalam periode waktu yang panjang. Ramalan nilai tukar Rupiah terhadap
Dolar Amerika merupakan informasi penting yang dapat digunakan pemerintah
untuk menentukan kebijakan di bidang ekonomi, perdagangan, dan pariwisata.
Model hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM) adalah sebuah model
stokastik yang tersusun dari dua buah proses stokastik, yaitu rantai Markov untuk
menampung penyebab proses yang diamati serta proses yang diamati itu sendiri.
Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi
kapan saja dan dalam jangka waktu yang panjang. Dengan asumsi perubahan yang
terjadi pada waktu yang lalu mungkin terjadi kembali di masa mendatang, sehingga
hal ini merupakan suatu proses stokastik. Faktor penyebab kejadian (state) tersebut
dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang
hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Jika
penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung (hidden) dan
membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat
dimodelkan dengan model hidden Markov.
Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan model
deret waktu hidden Markov dalam menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah
terhadap Dolar Amerika. Dalam deret waktu hidden Markov, kejadian yang diamati
selain diamati oleh faktor penyebab kejadian, juga dipengaruhi oleh kejadian
sebelumnya.
Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu
sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu
sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya.
2
Dalam model ini akan dicari penduga parameter yang memaksimumkan
peluang terjadinya suatu kejadian. Metode Maximum Likelihood dan algoritme
Expectation Maximum (EM algorithm) Baum dan Petrie (1966) adalah metode
yang digunakan untuk pendugaan parameter tersebut.
Setelah pendugaan parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya
suatu kejadian didapatkan, maka diharapkan dapat dilakukan suatu penarikan
kesimpulan yang optimal dan peramalan state.
Tujuan Penelitian
1.
2.
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
Mengkaji deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya beserta
pendugaan parameternya.
Memodelkan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika menggunakan deret
waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari
percobaan ini tidak dapat ditebak dengan tepat namun dapat diketahui semua
kemungkinan hasilnya disebut percobaan acak (Ross 1996).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suatu percobaan acak
disebut ruang contoh, dinotasikan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian
dari Ω (Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-� adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian dari
ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:
a. �
ℱ.
b. Jika , , …
ℱ maka ∞=
ℱ.
c. Jika
ℱ maka
ℱ
(Ross 1996).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang � pada Ω , ℱ adalah fungsi �: ℱ → [ , ] yang memenuhi:
a. � ∅ = dan � Ω = .
3
Jika , , … ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
∩ =∅
.
= ∑∞= �
untuk setiap pasangan , di mana ≠ , maka � ∞=
Pasangan Ω , ℱ, � disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 1992).
b.
Definisi 5 (Kontinu Absolut)
Jika dan merupakan dua peluang pada Ω , ℱ . Ukuran peluang dikatakan
kontinu absolut terhadap ukuran peluang jika
= berimplikasi
= ,
untuk setiap
ℱ. Dinotasikan ≪ (Royden 1963).
Definisi 6 (Peluang Bersyarat)
Jika �
> maka peluang bersyarat dari kejadian
ialah
� ∩
� | =
�
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
setelah diketahui kejadian
Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika � ∩
=�
⋅�
. Misal
adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian { :
} disebut saling bebas jika
�( � ) = ∏ � �
untuk setiap himpunan bagian berhingga dari
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Peubah Acak dan Sebarannya
Definisi 8 (Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari Ω. Peubah acak merupakan fungsi : Ω → ℝ
} ℱ untuk setiap
di mana {� � Ω: �
ℝ (Grimmet dan Stizaker 1992).
Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah
acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
Definisi 9 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari peubah acak adalah suatu fungsi
=�
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
: ℝ → [ , ] di mana
Definisi 10 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan
bagian yang berhingga atau himpunan terhitung dari ℝ (Ross 1996).
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi
= � = ,∀
ℝ (Grimmet dan Stirzaker 1992).
mana
: ℝ → [ , ] di
Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak
disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat
= ∫−∞
dinyatakan sebagai
untuk suatu fungsi : ℝ → , ∞ yang
4
terintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability
density function) bagi (Ross 1996).
Definisi 13 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak dan merupakan suatu fungsi
, =�
,
(Grimmet
: ℝ → [ , ] yang didefinisikan oleh
dan Stirzaker 1992).
Definisi 14 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah
Acak Kontinu)
Peubah acak dan disebut peubah acak kontinu yang menyebar bersama jika
,
ℝ fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai berikut
,
, = ∫−∞ ∫−∞
untuk suatu fungsi
: ℝ → [ , ] yang
terintegralkan. Fungsi
di atas disebut fungsi kerapatan peluang bersama peubah
, (Ross 1996).
, =
acak kontinu dan ,
Definisi 15 (Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan
fungsi sebaran
, dan fungsi kepekatan bersama
, . Fungsi kepekatan
peluang marjinal dari peubah acak dan adalah berturut-turut
(Ross 1996).
=∫
∞
−∞
,
dan
=∫
∞
−∞
,
Definisi 16 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
> , maka fungsi kepekatan peluang bersama dari dengan syarat
marjinal
�
,
= adalah | | =
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
�
Nilai Harapan
Definisi 17 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)
=
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
� =
maka nilai harapan dari adalah [ ] = ∑
, asalkan jumlah
tersebut konvergen mutlak (Hogg dan Craig 1995).
Definisi 18 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
∞
maka nilai harapan adalah [ ] = ∫−∞
, asalkan integralnya ada (Hogg
dan Craig 1995).
Definisi 19 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan
dan
adalah peubah acak kontinu dan | | adalah fungsi
kerapatan peluang bersyarat dari dengan syarat = , maka nilai harapan dari
5
dengan syarat
1995).
=
adalah
∞
[ | = ] = ∫−∞
|
|
(Hogg dan Craig
Teorema 1 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1)
Jika kontinu pada [ , ], maka fungsi yang didefinisikan oleh
=∫
�
adalah kontinu pada [ , ] dan terdiferensialkan pada
Bukti dapat dilihat pada Stewart (1998).
,
dan
′
=
.
Definisi 20 (Himpunan dan Fungsi Konveks)
Misalkan S ⊂ ℝ� adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan
konveks jika untuk semua �, � ′ S dan
[ , ] maka
− � + � ′ S.
Misalkan merupakan fungsi dengan peubah � yang terdefinisi pada himpunan
konveks S, maka disebut sebagai fungsi konveks jika memenuhi persamaan
( − � + �′)
−
� +
� ′ (Osborne 1997).
Teorema 2 (Fungsi Konveks)
Misalkan fungsi yang memiliki turunan kedua. adalah fungsi konveks jika dan
hanya jika
�
, ∀�
S dan merupakan fungsi strictly convex jika
� > , ∀�
S. Bukti dapat dilihat pada Osborne (1997).
Teorema 3 (Ketaksamaan Jensen)
Misalkan adalah peubah acak dengan [ ] berhingga dan
adalah fungsi
]
[ ] . Bukti dapat dilihat pada Krantz (1999).
konveks, maka [
Rantai Markov
Definisi 21 (Ruang State)
Misalkan ⊂ ℝ merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka
state (Grimmet dan Stirzaker 1992).
disebut ruang
Definisi 22 (Proses Stokastik)
Proses stokastik = { � ,
} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state (Ross 1996).
Dalam hal ini dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak
state (keadaan) dari proses pada waktu .
�
sebagai
Definisi 23 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)
Proses stokastik { � , = , , , … }, dengan ruang state { , , , … , }, disebut rantai
Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap = , , , … berlaku
= � � = | �− = =
� � = | �− = , �− = �− , … , =
{ , , , … , } (Ross
untuk semua kemungkinan nilai dari , , , … , �− , ,
1996).
6
Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini
, , , … , �− dan state satu waktu sebelumnya
� dengan syarat state yang lalu
�− adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state
satu waktu sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property).
Proses di atas dapat digambarkan sebagai -state rantai Markov dengan
peluang transisi { } dengan , = , , , … , . Nilai dari
menyatakan
peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state , maka berikutnya akan
beralih ke state . Karena
adalah nilai peluang dan proses tersebut harus
bertransisi, maka
{ , , , … , }.
i.
, untuk ,
�
{ , , , … , }.
ii. ∑ =
= , untuk
Peluang transisi ini dapat ditulis dalam matriks � yang disebut sebagai matriks
…
�
…
�
transisi. � = ( )�×� = [ ⋮
⋮
⋮
⋮ ] dengan menyatakan baris dan
�
� …
��
menyatakan kolom dari matriks �.
Definisi 24 (Matriks Transisi)
{ � , = , , , … } adalah rantai Markov dengan ruang state
Misalkan
{ , , , … , }. Matriks transisi � = ( )�×� adalah matriks dari peluang transisi
= � � = | �− = untuk ,
{ , , … , } (Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 25 (Terakses)
Peluang bahwa pada waktu ke- proses berada pada state dengan syarat state awal
adalah dinotasikan
. Suatu state disebut terakses dari state (notasi: → ,
jika ada sebuah bilangan bulat
sehingga
> di mana
adalah
peluang bahwa pada waktu ke- proses berada pada state dengan syarat state awal
adalah (Ross 1996).
Definisi 26 (Berkomunikasi)
Dua state dan dikatakan berkomunikasi (notasi: ↔ ), jika state dapat diakses
dari state dan state dapat diakses dari state (Ross 1996).
Definisi 27 (Kelas State)
Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan takkosong
sehingga semua
pasangan state yang merupakan anggota dari berkomunikasi satu dengan yang
lainnya, serta tak ada state yang merupakan anggota yang berkomunikasi dengan
suatu state yang bukan anggota dari (Ross 1996).
Definisi 28 (Rantai Markov Tak Tereduksi)
Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika
semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 1996).
7
Definisi 29 (First-Passage Time Probability)
menyatakan peluang bahwa mulai dari state , proses bertransisi untuk pertama
kali ke state , terjadi pada waktu . Peluang ini disebut first-passage time
probability. Jadi untuk setiap = , , , …
=�
= ,
≠ , untuk setiap
− | =
,
{ , , , … }, dan
setiap ,
=
untuk semua ,
{ , , , … }, definisikan
= ∑∞=
{ , , , … }. Selanjutnya, untuk
(Ross 1996).
Definisi 30 (Recurrent dan Transient)
State disebut recurrent jika = dan disebut transient jika
<
(Ross 1996).
Teorema 4 (Recurrent dan Transient)
State adalah recurrent jika ∑∞=
= ∞ dan transient jika ∑∞=
Bukti dapat dilihat pada Ross (1996).
< ∞.
Definisi 31 (Periode, Periodik, dan Aperiodik)
= untuk semua yang
1. Suatu state disebut memiliki periode jika
tidak habis dibagi , dan adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat
ini. Dengan kata lain, suatu state disebut memiliki periode jika adalah
persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisor) bagi sehingga
> .
2. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan
state dengan periode
disebut periodik
(Ross 1996).
Definisi 32 (Positive Recurrent dan Null Recurrent)
Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah
berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state maka nilai
harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state adalah bilangan
terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null
recurrent (Ross 1996).
Definisi 33 (Ergodic)
Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic (Ross
1996).
Teorema 5 (Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi)
Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim
ada dan nilainya tak tergantung
dari . � = lim
→∞
dan
,
→∞
adalah solusi unik tak negatif dari
�
� = ∑�
=
,
= , ,…,
8
�
∑� = .
=
Bukti dapat dilihat pada Ross (1996).
Definisi 34 (Vektor Peluang Steady State)
Vektor peluang � = � , � , � , … , �� , yang setiap komponennya menyatakan
bahwa proses akan berturut-turut berada pada state , , , … , , untuk → ∞ di
mana
�
�
=
�
= ∑�
=
�
=∑
=
�
= |
�
�−
�−
=
=
�
= �
�−
=
disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena � adalah
vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah
bilangan taknegatif serta jumlahnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state
sering juga disebut sebaran stasioner atau sebaran setimbang (equilibrium
distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan (Ross 1996).
Algoritme Expectation Maximization (EM)
Misalkan {�� ,
Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada
Ω, ℱ dan kontinu absolut terhadap � . Misalkan � ⊂ ℱ. Fungsi Likelihood yang
digunakan untuk menghitung penduga parameter berdasarkan informasi � yaitu
medan-� yang dibangun oleh adalah
��
= [
| �].
�
Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh ̂ arg max
.
� Θ
Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung oleh karena itu algoritme
Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang
(iteratif). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:
1. Atur nilai awal parameter ̂ dengan = .
��
2. Atur ∗ = ̂ dan hitung Φ , ∗ dengan Φ , ∗ = �∗ [
| �].
�
3.
4.
Cari ̂
+
arg max Φ
� Θ
,
∗
�∗
.
Ganti dengan + dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya
tercapai, yaitu ketika selisih ̂ + dan ̂ kurang dari suatu bilangan yang
sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar
ketelitian yang diinginkan.
Misalkan
= log
, karena turunan kedua dari
=
log
=
selalu positif
> ,∀ > ,
9
merupakan fungsi konveks. Karena log merupakan fungsi konveks,
maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan { ̂ , > } yang
merupakan fungsi likelihood yang takturun, yaitu
log ( ̂ + ) − log ( ̂ ) Φ( ̂ + , ̂ ) .
∗
Bentuk Φ ,
disebut Pseudo Likelihood bersyarat (Elliot 1995).
maka
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan
absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode
tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut
%
� − �
∑|
|
� =
�=
�
dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, � menyatakan nilai yang
sebenarnya, dan � menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010)
MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU
SEBELUMNYA
Model Hidden Markov
Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik { � , � }. { � }
dengan state { , , … , } adalah proses penyebab kejadian yang tidak diamati
secara langsung dan membentuk rantai Markov, sedangkan { � } adalah proses
observasinya.
Pada saat � berada pada state
, maka proses yang diamati �
� =
menyebar normal dengan nilai harapan dan ragam � . Fungsi kepekatan peluang
bersyarat dari � dengan syarat � = adalah
−( � − )
=
exp (
)
�| � =
(1)
�
√ ��
dengan = , , … , . Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati � berada
pada state adalah
� �= =�
(2)
{ , , … , }. Karena { � } rantai Markov maka matriks peluang
dengan
transisinya � = ( )��
= � � = | �− =
(3)
{ , , … , }. Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan
dengan
peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama � dan � =
, yaitu
10
�,
�
=
sehingga
�
�;
�
�
=
=
�| �
∙� � =
�
−( � − )
=
exp (
)
�
�√ �
=∫
�
−∞ �
=
�
√ �
exp (
−(
�
−
�
)
)
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus bagian pertama didapatkan
�
�
−( � − )
,
=
=
∫
exp (
)
� �
�
� −∞ � √ �
�
− )
).
(4)
�
�√ �
Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari � diperoleh dengan
menjumlahkan
untuk semua kemungkinan nilai dari , yaitu:
�, � =
�
(5)
.
�, � =
� =∑ =
Dari persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh
… �− �
, = …
, … , � = ∑� = … ∑�� = �
� , � = . (6)
Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya
yaitu:
= { , �, �, �}, dengan
=
, , … , � , � = � , � , … , �� , � =
� , � , … , �� dan � = ( )�×� .
=
�
exp (
−(
�.
�
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Karakteristik Model
Pada subbab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu
sebelumnya yang didefinisikan pada ruang state ( Ω, ℱ, � ) berupa persamaan
berikut:
∗
∗
(7)
�− + ��
� =
� + � �−
dengan:
�� ~
, � bebas stokastik identik.
{ � } proses yang diamati dan bernilai skalar dengan ruang state .
{ �∗ } rantai Markov dengan ruang state ∗ = { , } dan matriks transisi.
�∗ = [
∗
∗
∗
∗
] dengan
∗
, ,
,∀ , = , .
dan � = � , �
c = ,
konstanta real.
∗
∗
∗ dan �
�) =
�− =�
�
= { , �∗ , �, � }.
=�
∗
�−
.
∗
�
= |
∗
�−
ℝ , dengan
=
,
dan ∑
=
= , ∀ =
, dan � , � merupakan
∗
, maka agar
Karena � tidak hanya bergantung pada �∗ tetapi juga pada �−
tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru � di mana:
11
=
=
=
=
�
�
�
�
∗
�
∗
�
∗
�
∗
�
, jika
, jika
, jika
, jika
=
=
=
=
∗
�−
∗
�−
∗
�−
∗
�−
dan
dan
dan
dan
=
=
=
=
(8)
Lema 1
{ � } adalah rantai Markov dengan ruang state { , , , } dan matriks transisi:
∗
∗
∗
�=[
∗
�
��
= � ��
�
=∫
�
=∫
�
√ ��
exp
�−
∗
�
− ��
�
∗
∗
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Selanjutnya, karena �� ~
diperoleh fungsi sebaran bagi �� :
∗
∗
,�
].
bebas stokastik identik maka dapat
√ ��
exp
�� .
− �� −
��
�
Berdasarkan persamaan (7) dan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi
∗
∗
�− + ��
�
� =�
� =� �
� + � �−
�
∗
∗
−
�
= � ��
−
�−
�
�
�−
=∫
Misalkan
=
maka
�
�
dan
�
�
=∫
=
=
=
=
�
−�
√ ��
�
√ ��
√ ��
√ ��
�
�
exp
�
exp
exp
exp
=
− �
−
−
�
∗
�−
�−
∗
�
−
− ��
√ ��
−�
��
�
�
�−
�−
�
�
.
�
�
∗
� −�
�
∗
� −�
�
exp
∗
�−
− ��
�
�−
(9)
�:
�� .
�
�
∗
�−
∗
�−
�−
�−
.
×
(10)
Misalkan �� adalah medan-� yang dibangun oleh , , , … , � . Karena
� merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kepekatan peluang bagi
×
� . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor
dilambangkan dengan � , sehingga diperoleh:
� | � = , ��− ;
� | � = , ��− ;
� =
� | � = , ��− ;
[
]
� | � = , ��− ;
12
√ ��
√ ��
[√
�−
−
�−
−
√ ��
=
−
−
��
�−
�−
−� �−
�
−� �−
�
−� �−
�
−� �−
�
Misalkan ��|�− = ��|�− ��|�− ��|�− ��|�−
.
�
]
(11)
melambangkan vektor
di mana ��|�− pada vektor mempresentasikan � �
melambangkan perkalian dalam elemen per elemen, maka
� � = |��− ;
� | � = , ��−
� � = |��− ;
� | � = , ��−
��|�− ⊗ � =
⊗
� � = |��− ;
� | � = , ��−
[� � = |��− ; ] [
� | � = , ��−
� � = |��− ; ⋅
|
� � = , ��− ;
� � = |��− ; ⋅
� | � = , ��− ;
=
� � = |��− ; ⋅
� | � = , ��− ;
[� � = |��− ; ⋅
� | � = , ��− ;
= |��− ;
;
;
;
;
]
.
]
Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis:
� � , � = |��− ; = � � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
sehingga diperoleh:
= ∑ = � � , � = |��− ;
� |��− ;
= ∑ = � � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
= � � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
+� � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
+� � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
+� � = |��− ; ∙
.
� | � = , ��− ;
′
̂
= ∑ = � � , � = |��− ; = � (��|�− ⊗ � )
� |��− ;
′
di mana � = [
].
Berdasarkan persamaan (13) dan (14) maka dapat diperoleh
�
�,
= |��− ;
� |��− ;
�
=
=
=
=
�
�
�
�
=�
=�
�, �=
= , ��−
� ��− ;
,
� � = , ��−
� � , ��− ;
� = , � , ��−
� � , ��− ;
� = | � , ��−
.
� = |�� ;
�
dan ⊗
(12)
(13)
(14)
(15)
,��− ;�
� ��− ;�
� � ,��− ;�
� ��− ;�
�,
×
;
;
∙
� ��− ;
� � , ��− ;
;
;
(16)
13
sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh
� � , � = |��− ;
� � = |�� ; =
.
� |��− ;
�̂�|�− ⊗ �
.
�̂�|� = ′
� (�̂�|�− ⊗ � )
�̂�+
|�
=�
= |�� ;
�+
= ∑�
�+
= |
�
= , �� ;
= ∑�
�+
= |
�
= , �� ;
=
�
=
�̂�|� .
=∑
=
�̂�+
|�
=
∗
∗
[
∗
∗
�̂�|� +
�̂�|� +
�̂�|� +
�̂�|� +
�
�
�̂�|�
(17)
= |�� ;
(18)
= , , , .
∗
∗
∗
∗
�̂�|�
�̂�|�
�̂�|�
�̂�|� ]
�̂�+
=[
|�
∗
∗
∗
∗
∗
= � � ∙ �̂�|� .
∗
∗
∗
]
�̂�|�
�̂�|�
�̂�|�
[�̂�|� ]
= � ∙ �̂�|� .
(19)
Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal bagi
�̂�|�− adalah dengan membuat �̂ | sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat
� = [� � � � ] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu:
�� = �
� +� +� +� = .
Pendugaan Parameter
Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari � diperoleh dengan
menjumlahkan
untuk semua kemungkinan nilai dari , yaitu:
�, � = ;
(20)
= ∑�=
�;
� , � = ; ��− .
, , , … , � ; = ∏��=
(21)
� |��−
sehingga fungsi log likehood untuk menduga parameter populasi adalah
�
= ∑ log
�=
� |��−
(22)
Penduga kemungkinan maksimum likelihood ̂ diperoleh dengan
memaksimumkan persamaan (22) dengan kendala � + � + � + � = dan
�
untuk = , , , . Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan
metode Lagrange, yaitu
(23)
=
+
−� −� −� −�
lalu persamaan (23) diturunkan masing-masing terhadap � , , dan � .
14
Berdasarkan persamaan (20), (22), dan (23) diperoleh
� �
=
� �
=
�
� �
� �
�
−� −� −� −� =
� +� +� +� = .
� �
=
�
∑��= log
�
=
� �
=
� �
∑��= log
�
�
= ∑��=
�;
=
= ∑��=
�;
=
∑��= log
(24)
�
�
∙
� ;�
�
= ∑��=
�;
� ;�
∙
( �−
�
�, �=
�
�| �
� ;�
;�
)
= ;
∙�
∙ −
�,
�
+
= .
(25)
= ;
= .
(26)
( �− )
�
= .
�
(27)
Penduga kemungkinan maksimum bagi
diperoleh dengan
�
memaksimumkan:
= ∑�= log
dengan membuat turunan
� |��− ;
pertama dari log likehood terhadap parameter sama dengan nol, maka diperoleh
∑��= [
+
� − � �− ]
� − � �−
=
.
(28)
�
∑�= +
=
� =
� =
�̂ =
∑��= [
�
∑��=
�−
∑��=
�−
di mana:
=
�
−
�
−
�−
∑��=
�−
�−
=
[
∑��=
∑��= [ +
∙ ∑��= [
− � �− +
∑��= [ + ]
[
+
�
−
� |��−
� |��−
+
�−
;
+
�−
�
�
�
�
]
.
�−
+
�−
[ + ]
−�
;
−�
+
�−
[ + ]
+ ]
−�
�
�−
]
.
(29)
(30)
]
(31)
.
�
−
= |��− ;
= |��− ;
−�
∙
∙
−�
�−
�−
]
�| �
�| �
+
= , ��− ;
= , ��− ;
(32)
15
=
=
( � |��− ; ̂)
�
�
= |��− ;
∙ ( �|
� � = |��− ;
( � |��− ; ̂ )
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.
�
∙ ( �|
�
= , ��− ; ̂)
= , ��− ; ̂)
Karena persamaan (28) sampai (32) taklinear, maka untuk mencapai penduga
kemungkinan maksimum bagi digunakan algoritme iteratif yang merupakan
kasus khusus dari prinsip EM.
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta tentukan juga nilai
, , , … , � dan matriks transisi
�=[
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
].
2. Beri nilai awal bagi ̂ yang dilambangkan dengan ̂ = ( ̂ , ̂ , �̂ , �̂ , �̂ ).
3. Cari fungsi kepekatan bersyarat bagi
cara
( � | � = , ��− ; ̂)
( � | � = , ��− ; ̂)
� =
( � | � = , ��− ; ̂)
[ ( � | � = , ��− ; ̂)]
√ ��̂
=
√ ��̂
√ ��̂
[√ ��̂
exp (
exp (
exp (
exp (
−(
−(
−(
−(
�
�
�
�
− ̂ − �̂
�̂
− ̂ − �̂
�̂
− ̂ − �̂
�̂
− ̂ − �̂
�̂
�
untuk setiap = , , … ,
�−
�−
�−
�−
)
)
)
)
dengan
)
)
.
)
)
]
4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu pada
contoh dapat diperoleh melalui iterasi:
4.1
Tentukan nilai awal bagi �̂�|�− yang dilambangkan dengan �̂ |
4.2
4.3
Beri nilai awal =
Untuk = , cari nilai dari
( � |��− ; ̂ ) = �′ (�̂�|�− ⊗
� ).
16
= �(
�(
�(
�(
�(
�(
�̂�|� =
�̂�+
|�
�(
[�(
= |��− ; ̂) ∙
= |��− ; ̂) ∙
�
= |��− ; ̂) ∙
�
�
�
�
�
�(
�(
=
�
�(
= |��− ; ̂) ∙
�
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)]
�+
�+
�+
=
√ ��
̂
√ ��
̂ �− )
−( � − ̂ −�
̂
�
̂ �− )
−( � − ̂ −�
exp (
̂
exp (
̂
�
̂ �− )
−( � − ̂ −�
exp
(
̂
̂
�
√ ��
̂ �− )
−( � − ̂ −�
̂
√ ��
exp (
̂
�
)+
)+
)+
).
�̂�|�− ⊗ �
�′ (�̂�|�− ⊗ � )
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)]
= � ∙ �̂�|�
[�( �+
= + .
4.4
Ulangi mulai dari langkah 4.3. Hentikan jika = .
Lanjutkan ke langkah 5.
5.
Misalkan
=
=
=
( � |��− ; ̂
)
( � |��− ; ̂
)
( � |��− ; ̂
)
�(
�(
�(
�
�
�
= |��− ; ̂
) ∙ ( �|
= |��− ; ̂
) ∙ ( �|
= |��− ; ̂
) ∙ ( �|
�( � = |��− ; ̂ ) ∙ ( � |
( � |��− ; ̂ )
cari nilai dari:
∑ = [ ( − �̂ − ) + ( − �̂ − )]
=
.
∑= +
=
=
� =
� =
∑��= [ (
�
∑��=
�−
∑��=
�−
− �̂ �− ) + (
∑��= [ + ]
[
∑��=
[
∑��=
�
− ̂
�−
�
− �̂
+
�− ̂ ]
.
[ + ]
− ̂ +
�−
[ + ]
�−
�
)]
�−
]
.
.
�
�
�
�
= , ��− ; ̂
)
= , ��− ; ̂
)
= , ��− ; ̂
)
= , ��− ; ̂
)
17
� =
∑��= [ +
∙ ∑��= [
�
6.
7.
+ ]
+
�
−
−�
−
−�
�−
+
�−
+
�
−
�
−�
−
−�
�−
].
�−
+
Beri nama parameter yang dihasilkan pada langkah 4 dengan ̂
( ̂ , ̂ , �̂ , �̂ , �̂ ) dan = , , , … , − .
Cari P yang baru, yaitu:
�̂�|� = �̂�|� ⨀ {� ′ ⋅ [�̂�+
|�
÷ �̂�+
+
=
|� ]}
∑��= � � = , �+ = |�� ;
∑��= � �+ = |�� ;
� �− = | � = , �� ; = � � = |�� ; � �− = | � = , �� ;
≈ � � = |�� ; � �− = | � = , �� ;
� � = |�� ; � �− = | � = , �� ;
=
� � = |�� ;
� � = |�� ; � �− = |�� ; � � = | �− = ;
=
� � = |�� ;
̂� × �̂
�|�
�− |�− ×
=
�̂
̂ =
�
�−
�|�
= |�� ;
�
= ∑�
=
̂ =
�−
= ,
�
= |�� ;
�|�
�
�̂ ×�̂
∑��= ∑�= �|� �−̂ |�−
�
Bukti dapat dilihat pada Hamilton (1990).
8.
(Kim 1994)
�̂ ×�̂
�
∑��= �|� �−̂ |�−
�
�|�
Ulangi mulai dari langkah 2. Hentikan jika = . Gunakan parameter yang
sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar Rupiah yang
akan datang.
∗
∗
[ � | � = , ��− ; ] = [
�− + �� | � = , ��− ; ]
� + � �−
=
̂� = E[ � |��− ; ̂
∗
�
�
∗
�−
+�
]=∫
�
∫
�−
( � |��− ; ̂
�−
�
)
|
�
�
= , ��− ;
�
18
=∫
�
�
�
∑ �(X� = |��− ; ̂
=
�
) ( � |X� = , ��− ; ̂
= ∑ ��|�− ⋅ E[ � |X� = , ��− ; ̂
=
�
�
)
�
].
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP
DOLAR AMERIKA
Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar
Amerika. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan
sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan
masalah nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika.
Data Input Nilai Tukar Rupiah
Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai
tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan yang diambil dari laman
www.rba.gov.au (12 Oktober 2014). Data diambil pada selang waktu antara bulan
Juni 1997 hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi ( � ). Data yang
akan diduga sebanyak 192 data, dari Juli 1997 hingga Juni 2013. Data nilai tukar
pada Juni 1997 akan digunakan sebagai nilai awal ( ). Grafik data disajikan pada
Gambar 1.
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
Gambar 1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan
Jun-2013
Oct-2012
Jun-2011
Feb-2012
Oct-2010
Feb-2010
Jun-2009
Oct-2008
Feb-2008
Jun-2007
Oct-2006
Jun-2005
Feb-2006
Oct-2004
Feb-2004
Jun-2003
Oct-2002
Jun-2001
Feb-2002
Oct-2000
Jun-1999
Feb-2000
Oct-1998
Feb-1998
Jun-1997
0
19
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika sudah pernah
dimodelkan menggunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya oleh
Setiawaty dan Ardana (2013), Santoso (2008), dan Retnoningtyas (2014).
∗
Setiawaty dan Ardana (2013) menggunakan persamaan: � =
� +
∗
� � �− + �� , sedangkan Santoso (2008) dan Retnoningtyas (2014)
menggunakan persamaan: � − �∗ = �( �− − �∗ ) + �� , di mana { �∗ } adalah
rantai Markov, { � } adalah penyebab nilai tukar Rupiah dan �� menyebar normal.
Pada Setiawaty dan Ardana (2013) diperoleh MAPE 4.31%, pada Retnoningtyas
.
.
], dan � =
],� = . ,� = [
(2014) digunakan nilai awal = [
.
.
, dengan MAPE 4.14%.
Model hidden Markov yang akan digunakan pada tugas akhir ini adalah:
∗
∗
�− + ��
� =
� + � �−
seperti pada bab sebelumnya. Berdasarkan model di atas nilai tukar Rupiah saat ini
diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu
sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar Rupiah satu waktu sebelumnya.
Pada model hidden Markov di atas akan di cari nilai duga parameternya agar hasil
yang didapat mendekati nilai yang sebenarnya. Pada tugas akhir ini akan
dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan model meningkat. Keakuratan
dianggap baik bila MAPE < 5%.
Penentuan Nilai Awal Parameter
Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga
Mei 2013 dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013 ( � ), kedua data
kemudian diplot. Nilai yang akan diplot adalah = � terhadap = �− .
Persamaan baru yang didapatkan yaitu
(33)
=
. + .
Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya
Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model
yang digunakan sehingga dapat digunakan dalam acuan pembangkitan nilai awal
dan � . Nilai awal yang digunakan dibangkitkan dari interval [
,
],
20
dengan nilai awal
. ,
. . Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan
yang digunakan adalah
. ,
.
. Nilai awal � yang digunakan
dibangkitkan dari interval [ . , ], dengan nilai awal .
, .
. Hasil
dari satu kali iterasi nilai pendugaan � yang digunakan adalah .
, .
.
Penentuan Nilai Awal P
Sedangkan nilai awal P dibangkitkan secara acak dari interval peluang [0,1],
karena
. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan yang digunakan
.
.
.
untuk � adalah [ .
].
.
.
.
.
Penentuan Nilai Awal �
Nilai awal untuk parameter � yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai
[100,2000] yang merupakan selang dari standar deviasanya. Nilai awal yang �
dibangkitkan sebesar
. . Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan � yang
digunakan adalah .
× 7.
Hasil Program
Dari bagian sebelumnya nilai dugaan parameter yang digunakan untuk
membangkitkan dugaan nilai tukar Rupiah adalah
=
. , =
7
. ,� = .
,� = .
,� = .
×
. Galat nilai dugaan
yang ditunjukkan oleh MAPE sebesar 4.48037 % diperoleh melalui satu kali iterasi
seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini
model dianggap baik apabila nilai dari MAPE < 5%. Nilai tukar Rupiah dan nilai
dugannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada
Gambar 3.
Nilai Sebenarnya
Nilai Dugaan
Gambar 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan nilai
dugaan yang didapatkan
21
SIMPULAN
Model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya pada tugas akhir
ini dapat memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap
Dolar Amerika. Hal ini terlihat dari nilai dugaan yang mendekati nilai sebenarnya,
dengan MAPE yang dihasilkan sebesar 4.48%.
DAFTAR PUSTAKA
Baum LE, Petrie T. 1966. Statistical inference for probabilistic functions of finite
Markov chain. Annal of Mathematical Statistics. 37(6):15541563.doi:10.1214/aoms/1177699147.
Elliot RJ, Anggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models Estimation and
Control. New York (US): Springer Verlag.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.
Oxford (GB): Clarendon Press.
Hamilton JD. 1990. Analysis of time series subject to changes in regime. Journal
of Econometrics. 45(2):39-70.doi:10.1016/0304-4076(90)90093-9.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. New
Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs.
Kim CJ. 1994. Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of
Econometrics. 60(2):1-22.doi:10.1016/0304-4076(94)90036-1.
Krantz SG. 1999. Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhauser.
Mynsbrugge JV. 2010. Bidding strategies using price based unit commitment in a
deregulated power market [tesis]. Leuven (BE): Katholieke Universiteit
Leuven.
Osborne MJ. 1997. Concave and Convex Function of Many Variable. Canada (CA):
University of Toronto.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons.
Royden HL. 1963. Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company.
Retnoningtyas A. 2014. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu
Sebelumnya Untuk Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar Amerika [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Santoso DH. 2008. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar
Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
[skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Setiawaty B, Ardana NKK. 2013. Modeling the exchange of Rupiah to American
Dollar using hidden Markov. Presentation paper of IICMA 2013; 2013 Nov
6-8; Yogyakarta, Indonesia.
Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.
22
Lampiran 1 Bukti Lema 1
Karena {
∗
�}
rantai Markov, maka { � } rantai Markov dengan matriks transisi
].
�=[
∗
∗
= maka
melambangkan � �∗ = | �−
∗
∗
∗
∗
= , �−
=
= � � = , �− = | �−
� = | �− =
∗
∗
∗
� = , �− = , �− =
∗
∗
� �−
= , �−
=
∗
∗
∗
∗
=
= ∗ .
=
= � �∗ = | �−
= � � = | �− = , �−
Misalkan
=�
�
=
=�
�
=
= .
� =
∗
� =
|
,
�
�− =
∗
�− =
∗
�− =
,
=�
,
∗
�−
∗
�−
∗
= , �−
= |
∗
= , �− =
=
∗
�−
∗
�
Dengan cara perhitungan yang sama akan didapatkan
= ∗
=
= ∗
=
= ∗
=
=
= ∗
=
= ∗
=
= ∗
=
= ∗
maka diperoleh matriks transisi
�=[
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
].
= ,
∗
�−
=
23
Lampiran 2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32)
= ∑ = � � , � = |��− ;
� |��− ;
= ∑ = � � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
=�
�
+�
= |��− ;
�
∙
= |��− ;
−
√ ��
∙
√ ��
�−
−
−� �−
�
� − −� �−
� |��− ;�
= �
+�
=�
�
�
= |��− ;
= |��− ;
�
= |��− ;
∙
∙
−
√ ��
∙
√ ��
�| �
{
{
�−
−
−�
�−
�
−
−�
�
= , ��− ;
�
(
�−
�−
Jika diketahui fungsi log-likelihood sebagai berikut
Untuk memperoleh nilai
dengan nol.
ℒ �
= ∑��=
∙
⇔
=
∑��=
�
[
�
� |��−
�
;�
� |��−
� |��−
;�
;�
,
�
�
�
+�
�
Berdasarkan persamaan (14), diperoleh
�
+�
ℒ
}
− (
}
− (
−�
�
�−
�−
�
�−
)
�
= |��− ;
= |��− ;
�
−�
�
+�
�−
−�
�
�
= ∑ log
� |��−
= , ��− ;
(
�=
∙
) −
�−
) −
∙
√ ��
.
= |��− ;
∙
,
;
−
√ ��
�−
−
�| �
−� �−
�
� − −� �−
= , ��− ;
(14)
.
�
(
�−
, � , � , � yang memaksimumkan fungsi log-likehood, maka turunan pertama dari ℒ
� |��−
�
;�
= |��− ;
�
= |��− ;
∙
∙
�| �
�| �
= , ��− ;
(
�−
�−
−�
�
−�
�
�−
�−
)
)
−�
�
�−
)
.
harus sama
+
]
23
24
24
�
=
=
∑��= [
�
�
Misalkan
� |��−
�
;�
�
�
;�
�
= |��− ;
∙
= |��− ;
�| �
∙
�| �
= , ��− ;
= , ��− ;
(
�
(
�
−�
−
�
� |��−
;�
�
�
= |��− ;
∙
�| �
= , ��− ;
�
−
∑��= [
�
� |��−
;�
�
�
= |��− ;
∙
�| �
= , ��− ;
�
−�
�
�
�
∑��= [
� |��−
� |��−
� |��−
�
;�
;�
;�
� |��−
�
�
�
;�
�
�
�
�
= |��− ;
= |��− ;
= |��− ;
�
= |��− ;
∙
∙
=
maka dapat dituliskan
=
�
∑[
�=
�| �
∙
�| �
∙
�| �
= , ��− ;
= , ��− ;
� |��−
�
�
= , ��− ;
�| �
� |��−
�
;
;
−�
= , ��− ;
�
�
�−
�
�
−
�
= |��− ;
= |��− ;
+
�
−�
�
�−
)+
)]
−�
�−
�−
+
−�
−�
+
+
�−
−�
−
∑��= [
= ∑��= [
=
� |��−
�−
� |��−
� |��−
∙
∙
�−
;�
�−
]
;�
�
�
�| �
�| �
]=
+
]
�
�
= |��− ;
= |��− ;
= , ��− ;
= , ��− ;
�
∑
�=
+
.
∙
∙
�| �
�| �
= , ��− ;
= , ��− ;
].
]
25
=
⇔
∑= [ (
seperti yang telah diklaim pada persamaan (28).
−�
−
∑=
)+
+
Berdasarkan persamaan (14) diperoleh
̂)
�( � |��− ;�
ℒ �
=�
=�
= ∑��=
⇔
=
�
�
�
= |��− ;
�
= |��− ;
= |��− ;
̂) ∙
�( � |��− ;�
⇔ ∑��= [
=
�
̂) �
�( � |��− ;�
̂) �
�( � |��− ;�
̂) �
�( � |��− ;�
�
�
−
√ ��
∙
√ ��
∙ ( �|
̂)
�( � |��− ;�
̂) �
�( � |��− ;�
∑��= [
∙
�
=
=
= |��− ;
= |��− ;
�
�
= |��− ;
= |��− ;
�−
−� �−
�
− � − −� �−
�
( −
, ��− ; ̂) �
∙ ( �|
∙ ( �|
�
�
∙ ( �|
∙ ( �|
− (
�−
− (
(
= , ��− ; ̂ )
�
�
= , ��− ; ̂)
= , ��− ; ̂)
−�
−
−� �− ) −
+
�
−� �− ) −
�−
−� �− )
�
(
= , ��− ; ̂)
(
�
+�
�
= |��− ;
)]
∙ ( �|
�
(
= , ��− ; ̂)
�−
−� �− )
�
−� �− )
+
�
−� �− )
�−
�−
]
�
�
�
−
−
−�
−�
�−
�−
+
]
25
26
26
̂) �
�( � |��− ;�
�
= |��− ;
∙ ( �|
�
= , ��− ; ̂ )
�
−
̂) �
�( � |��− ;�
�
= |��− ;
∙ ( �|
�
= , ��− ; ̂)
�
−�
= |��− ;
∙ ( �|
∑��= [
=
⇔
AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU
WAKTU SEBELUMNYA
SRI RAMADANIATY
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Nilai Tukar
Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu
Sebelumnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Sri Ramadaniaty
NIM G54100097
ABSTRAK
SRI RAMADANIATY. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika
Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya. Dibimbing oleh
BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT.
Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika telah menjadi salah satu acuan
penting dalam pergerakan perekonomian Indonesia. Perubahan nilai tukar Rupiah
merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam jangka waktu yang
panjang dan perubahan yang terjadi mungkin terjadi kembali di masa mendatang.
Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk
rantai Markov, maka pasangan penyebab kejadian dan data nilai tukar Rupiah dapat
dimodelkan oleh model hidden Markov. Dalam tugas akhir ini digunakan model
hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung
pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan
satu waktu sebelumnya. Parameter model diduga dengan menggunakan Maximum
Likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritme iteratif Expectation
Maximization (EM). Proses komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan
software Mathematica 10. Setelah penduga parameter didapatkan maka nilai tukar
Rupiah terhadap Dolar Amerika dapat diduga. Akurasi model diukur menggunakan
mean absolute percentage error (MAPE). Diperoleh MAPE 4.48% dengan satu kali
iterasi.
Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah
ABSTRACT
SRI RAMADANIATY. Modeling the Exchange Rate of Rupiah to American
Dollar using Previous Time Hidden Markov. Supervised by BERLIAN
SETIAWATY and RUHIYAT.
An exchange rate of Rupiah to American Dollar has become one of important
reference for Indonesian economic movement. The movement of the exchange rate
of Rupiah is an event that can occur anytime in a long period and possible to reoccur
in the future. If the cause of event is not observed directly and forms a Markov
chain, so the pair of the cause and an exchange rate of Rupiah can be modeled by
hidden Markov. In this thesis the previous time hidden Markov model is used. This
model assumes that the present exchange rate of Rupiah depends on the previous
exchange rate of Rupiah and the present and previous cause. Model parameter is
estimated by using maximum likelihood method and the calculation uses iterative
algorithm expectation maximization (EM). Numerical computation is done by
using Mathematica 10. After the parameter model is obtained, then the exchange
rate of Rupiah to American Dollar can be estimated. Model accuracy is measured
by using mean absolute percentage error (MAPE). Resulted MAPE is 4.48% with
one iteration.
Keywords: EM algorithm, MAPE, hidden Markov model, the exchange rate of
Rupiah
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR
AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU
WAKTU SEBELUMNYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden
Markov Satu Waktu Sebelumnya.
1.
2.
3.
4.
Penulis mengucapkan terimakasih kepada:
Dr Berlian Setiawaty, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing yang
telah memberikan ilmu, bimbingan, saran, arahan dan motivasi bagi penulis
selama skripsi, dan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku
dosen penguji.
Papa (Prof Dr Ahmad Husein Ritonga, MAg), Mama (Dra Mariatul Hasanah
Harahap), kak Fatimah Raihani (Ayu) & kak Soleh, kak Lainatussifa (Dede),
Naila Hidayati dan M. Farhan Akhwan atas segala doa, nasehat, dukungan, dan
kasih sayangnya.
Staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Ibu Ade, dan Bapak Deni
atas kesabaran dan bantuannya selama ini.
Kak Tyas, kak Juni, kak Hendra, Nisa, Putri Putu, Eka, Betry, mbak Peni,
Ando, Murzani, Agung, Marin, Okta, Susi, Shovi, Pupu, serta teman-teman
Matematika 47 lainnya, Wisma Pelangi, Lordu dan teman seperjuangan atas
doa dan semangatnya selama ini.
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak.
Bogor, Mei 2015
Sri Ramadaniaty
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2
Peubah Acak dan Sebarannya
3
Nilai Harapan
4
Rantai Markov
5
Algoritme Expectation Maximization (EM)
8
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
9
MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA
Model Hidden Markov
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA
9
9
10
18
Data Input Nilai Tukar Rupiah
18
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
19
Penentuan Nilai Awal Parameter
19
Hasil Program
20
SIMPULAN
21
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
44
DAFTAR GAMBAR
1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan
18
2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya
19
3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan
nilai dugaan yang didapatkan
20
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti Lema 1
2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32)
3 Program untuk mencari nilai dugaan menggunakan software
Mathematica 10
4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dan nilai dugaannya
22
23
35
41
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rupiah termasuk soft currency, yaitu mata uang yang mudah berfluktuasi
ataupun terdepresiasi, karena perekonomian negara asalnya relatif kurang mapan,
sedangkan mata uang negara Amerika Serikat disebut hard currency, karena
kemampuannya untuk memengaruhi nilai mata uang yang lebih rendah.
Nilai tukar Rupiah menjadi acuan penting dalam pergerakan naik-turunnya
grafik perekonomian Indonesia. Indikasi dari pergerakan ekonomi bisa dilihat dari
pergerakan nilai tukar Rupiah itu sendiri. Nilai tukar Rupiah sejatinya terus
bergerak setiap hari seperti mata uang lainnya di dunia.
Modal yang beredar di Indonesia, terutama di pasar finansial, sebagian besar
adalah modal asing. Ini membuat nilai Rupiah sedikit banyak bergantung pada
kepercayaan investor asing terhadap prospek bisnis di Indonesia. Semakin baik
iklim bisnis di Indonesia, maka akan semakin banyak investor asing di Indonesia,
dan dengan demikian nilai Rupiah akan semakin kuat. Sebaliknya, semakin negatif
pandangan investor terhadap Indonesia, Rupiah akan kian melemah.
Faktor yang memengaruhi Rupiah salah satunya adalah kondisi politikekonomi. Melemahnya nilai tukar Rupiah berdampak pada harga komoditi impor,
baik yang menjadi objek konsumsi maupun alat produksi, serta kenaikan nilai
Rupiah dari hutang luar negeri.
Perubahan nilai tukar mata uang merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi
kapan saja dalam periode waktu yang panjang. Ramalan nilai tukar Rupiah terhadap
Dolar Amerika merupakan informasi penting yang dapat digunakan pemerintah
untuk menentukan kebijakan di bidang ekonomi, perdagangan, dan pariwisata.
Model hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM) adalah sebuah model
stokastik yang tersusun dari dua buah proses stokastik, yaitu rantai Markov untuk
menampung penyebab proses yang diamati serta proses yang diamati itu sendiri.
Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi
kapan saja dan dalam jangka waktu yang panjang. Dengan asumsi perubahan yang
terjadi pada waktu yang lalu mungkin terjadi kembali di masa mendatang, sehingga
hal ini merupakan suatu proses stokastik. Faktor penyebab kejadian (state) tersebut
dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang
hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Jika
penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung (hidden) dan
membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat
dimodelkan dengan model hidden Markov.
Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan model
deret waktu hidden Markov dalam menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah
terhadap Dolar Amerika. Dalam deret waktu hidden Markov, kejadian yang diamati
selain diamati oleh faktor penyebab kejadian, juga dipengaruhi oleh kejadian
sebelumnya.
Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu
sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu
sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya.
2
Dalam model ini akan dicari penduga parameter yang memaksimumkan
peluang terjadinya suatu kejadian. Metode Maximum Likelihood dan algoritme
Expectation Maximum (EM algorithm) Baum dan Petrie (1966) adalah metode
yang digunakan untuk pendugaan parameter tersebut.
Setelah pendugaan parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya
suatu kejadian didapatkan, maka diharapkan dapat dilakukan suatu penarikan
kesimpulan yang optimal dan peramalan state.
Tujuan Penelitian
1.
2.
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
Mengkaji deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya beserta
pendugaan parameternya.
Memodelkan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika menggunakan deret
waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari
percobaan ini tidak dapat ditebak dengan tepat namun dapat diketahui semua
kemungkinan hasilnya disebut percobaan acak (Ross 1996).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suatu percobaan acak
disebut ruang contoh, dinotasikan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian
dari Ω (Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-� adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian dari
ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:
a. �
ℱ.
b. Jika , , …
ℱ maka ∞=
ℱ.
c. Jika
ℱ maka
ℱ
(Ross 1996).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang � pada Ω , ℱ adalah fungsi �: ℱ → [ , ] yang memenuhi:
a. � ∅ = dan � Ω = .
3
Jika , , … ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
∩ =∅
.
= ∑∞= �
untuk setiap pasangan , di mana ≠ , maka � ∞=
Pasangan Ω , ℱ, � disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 1992).
b.
Definisi 5 (Kontinu Absolut)
Jika dan merupakan dua peluang pada Ω , ℱ . Ukuran peluang dikatakan
kontinu absolut terhadap ukuran peluang jika
= berimplikasi
= ,
untuk setiap
ℱ. Dinotasikan ≪ (Royden 1963).
Definisi 6 (Peluang Bersyarat)
Jika �
> maka peluang bersyarat dari kejadian
ialah
� ∩
� | =
�
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
setelah diketahui kejadian
Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika � ∩
=�
⋅�
. Misal
adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian { :
} disebut saling bebas jika
�( � ) = ∏ � �
untuk setiap himpunan bagian berhingga dari
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Peubah Acak dan Sebarannya
Definisi 8 (Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari Ω. Peubah acak merupakan fungsi : Ω → ℝ
} ℱ untuk setiap
di mana {� � Ω: �
ℝ (Grimmet dan Stizaker 1992).
Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah
acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
Definisi 9 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari peubah acak adalah suatu fungsi
=�
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
: ℝ → [ , ] di mana
Definisi 10 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan
bagian yang berhingga atau himpunan terhitung dari ℝ (Ross 1996).
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi
= � = ,∀
ℝ (Grimmet dan Stirzaker 1992).
mana
: ℝ → [ , ] di
Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak
disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat
= ∫−∞
dinyatakan sebagai
untuk suatu fungsi : ℝ → , ∞ yang
4
terintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability
density function) bagi (Ross 1996).
Definisi 13 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak dan merupakan suatu fungsi
, =�
,
(Grimmet
: ℝ → [ , ] yang didefinisikan oleh
dan Stirzaker 1992).
Definisi 14 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah
Acak Kontinu)
Peubah acak dan disebut peubah acak kontinu yang menyebar bersama jika
,
ℝ fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai berikut
,
, = ∫−∞ ∫−∞
untuk suatu fungsi
: ℝ → [ , ] yang
terintegralkan. Fungsi
di atas disebut fungsi kerapatan peluang bersama peubah
, (Ross 1996).
, =
acak kontinu dan ,
Definisi 15 (Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan
fungsi sebaran
, dan fungsi kepekatan bersama
, . Fungsi kepekatan
peluang marjinal dari peubah acak dan adalah berturut-turut
(Ross 1996).
=∫
∞
−∞
,
dan
=∫
∞
−∞
,
Definisi 16 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
> , maka fungsi kepekatan peluang bersama dari dengan syarat
marjinal
�
,
= adalah | | =
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
�
Nilai Harapan
Definisi 17 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)
=
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
� =
maka nilai harapan dari adalah [ ] = ∑
, asalkan jumlah
tersebut konvergen mutlak (Hogg dan Craig 1995).
Definisi 18 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
∞
maka nilai harapan adalah [ ] = ∫−∞
, asalkan integralnya ada (Hogg
dan Craig 1995).
Definisi 19 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan
dan
adalah peubah acak kontinu dan | | adalah fungsi
kerapatan peluang bersyarat dari dengan syarat = , maka nilai harapan dari
5
dengan syarat
1995).
=
adalah
∞
[ | = ] = ∫−∞
|
|
(Hogg dan Craig
Teorema 1 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1)
Jika kontinu pada [ , ], maka fungsi yang didefinisikan oleh
=∫
�
adalah kontinu pada [ , ] dan terdiferensialkan pada
Bukti dapat dilihat pada Stewart (1998).
,
dan
′
=
.
Definisi 20 (Himpunan dan Fungsi Konveks)
Misalkan S ⊂ ℝ� adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan
konveks jika untuk semua �, � ′ S dan
[ , ] maka
− � + � ′ S.
Misalkan merupakan fungsi dengan peubah � yang terdefinisi pada himpunan
konveks S, maka disebut sebagai fungsi konveks jika memenuhi persamaan
( − � + �′)
−
� +
� ′ (Osborne 1997).
Teorema 2 (Fungsi Konveks)
Misalkan fungsi yang memiliki turunan kedua. adalah fungsi konveks jika dan
hanya jika
�
, ∀�
S dan merupakan fungsi strictly convex jika
� > , ∀�
S. Bukti dapat dilihat pada Osborne (1997).
Teorema 3 (Ketaksamaan Jensen)
Misalkan adalah peubah acak dengan [ ] berhingga dan
adalah fungsi
]
[ ] . Bukti dapat dilihat pada Krantz (1999).
konveks, maka [
Rantai Markov
Definisi 21 (Ruang State)
Misalkan ⊂ ℝ merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka
state (Grimmet dan Stirzaker 1992).
disebut ruang
Definisi 22 (Proses Stokastik)
Proses stokastik = { � ,
} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state (Ross 1996).
Dalam hal ini dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak
state (keadaan) dari proses pada waktu .
�
sebagai
Definisi 23 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)
Proses stokastik { � , = , , , … }, dengan ruang state { , , , … , }, disebut rantai
Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap = , , , … berlaku
= � � = | �− = =
� � = | �− = , �− = �− , … , =
{ , , , … , } (Ross
untuk semua kemungkinan nilai dari , , , … , �− , ,
1996).
6
Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini
, , , … , �− dan state satu waktu sebelumnya
� dengan syarat state yang lalu
�− adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state
satu waktu sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property).
Proses di atas dapat digambarkan sebagai -state rantai Markov dengan
peluang transisi { } dengan , = , , , … , . Nilai dari
menyatakan
peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state , maka berikutnya akan
beralih ke state . Karena
adalah nilai peluang dan proses tersebut harus
bertransisi, maka
{ , , , … , }.
i.
, untuk ,
�
{ , , , … , }.
ii. ∑ =
= , untuk
Peluang transisi ini dapat ditulis dalam matriks � yang disebut sebagai matriks
…
�
…
�
transisi. � = ( )�×� = [ ⋮
⋮
⋮
⋮ ] dengan menyatakan baris dan
�
� …
��
menyatakan kolom dari matriks �.
Definisi 24 (Matriks Transisi)
{ � , = , , , … } adalah rantai Markov dengan ruang state
Misalkan
{ , , , … , }. Matriks transisi � = ( )�×� adalah matriks dari peluang transisi
= � � = | �− = untuk ,
{ , , … , } (Grimmet dan Stirzaker 1992).
Definisi 25 (Terakses)
Peluang bahwa pada waktu ke- proses berada pada state dengan syarat state awal
adalah dinotasikan
. Suatu state disebut terakses dari state (notasi: → ,
jika ada sebuah bilangan bulat
sehingga
> di mana
adalah
peluang bahwa pada waktu ke- proses berada pada state dengan syarat state awal
adalah (Ross 1996).
Definisi 26 (Berkomunikasi)
Dua state dan dikatakan berkomunikasi (notasi: ↔ ), jika state dapat diakses
dari state dan state dapat diakses dari state (Ross 1996).
Definisi 27 (Kelas State)
Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan takkosong
sehingga semua
pasangan state yang merupakan anggota dari berkomunikasi satu dengan yang
lainnya, serta tak ada state yang merupakan anggota yang berkomunikasi dengan
suatu state yang bukan anggota dari (Ross 1996).
Definisi 28 (Rantai Markov Tak Tereduksi)
Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika
semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 1996).
7
Definisi 29 (First-Passage Time Probability)
menyatakan peluang bahwa mulai dari state , proses bertransisi untuk pertama
kali ke state , terjadi pada waktu . Peluang ini disebut first-passage time
probability. Jadi untuk setiap = , , , …
=�
= ,
≠ , untuk setiap
− | =
,
{ , , , … }, dan
setiap ,
=
untuk semua ,
{ , , , … }, definisikan
= ∑∞=
{ , , , … }. Selanjutnya, untuk
(Ross 1996).
Definisi 30 (Recurrent dan Transient)
State disebut recurrent jika = dan disebut transient jika
<
(Ross 1996).
Teorema 4 (Recurrent dan Transient)
State adalah recurrent jika ∑∞=
= ∞ dan transient jika ∑∞=
Bukti dapat dilihat pada Ross (1996).
< ∞.
Definisi 31 (Periode, Periodik, dan Aperiodik)
= untuk semua yang
1. Suatu state disebut memiliki periode jika
tidak habis dibagi , dan adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat
ini. Dengan kata lain, suatu state disebut memiliki periode jika adalah
persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisor) bagi sehingga
> .
2. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan
state dengan periode
disebut periodik
(Ross 1996).
Definisi 32 (Positive Recurrent dan Null Recurrent)
Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah
berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state maka nilai
harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state adalah bilangan
terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null
recurrent (Ross 1996).
Definisi 33 (Ergodic)
Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic (Ross
1996).
Teorema 5 (Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi)
Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim
ada dan nilainya tak tergantung
dari . � = lim
→∞
dan
,
→∞
adalah solusi unik tak negatif dari
�
� = ∑�
=
,
= , ,…,
8
�
∑� = .
=
Bukti dapat dilihat pada Ross (1996).
Definisi 34 (Vektor Peluang Steady State)
Vektor peluang � = � , � , � , … , �� , yang setiap komponennya menyatakan
bahwa proses akan berturut-turut berada pada state , , , … , , untuk → ∞ di
mana
�
�
=
�
= ∑�
=
�
=∑
=
�
= |
�
�−
�−
=
=
�
= �
�−
=
disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena � adalah
vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah
bilangan taknegatif serta jumlahnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state
sering juga disebut sebaran stasioner atau sebaran setimbang (equilibrium
distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan (Ross 1996).
Algoritme Expectation Maximization (EM)
Misalkan {�� ,
Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada
Ω, ℱ dan kontinu absolut terhadap � . Misalkan � ⊂ ℱ. Fungsi Likelihood yang
digunakan untuk menghitung penduga parameter berdasarkan informasi � yaitu
medan-� yang dibangun oleh adalah
��
= [
| �].
�
Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh ̂ arg max
.
� Θ
Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung oleh karena itu algoritme
Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang
(iteratif). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:
1. Atur nilai awal parameter ̂ dengan = .
��
2. Atur ∗ = ̂ dan hitung Φ , ∗ dengan Φ , ∗ = �∗ [
| �].
�
3.
4.
Cari ̂
+
arg max Φ
� Θ
,
∗
�∗
.
Ganti dengan + dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya
tercapai, yaitu ketika selisih ̂ + dan ̂ kurang dari suatu bilangan yang
sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar
ketelitian yang diinginkan.
Misalkan
= log
, karena turunan kedua dari
=
log
=
selalu positif
> ,∀ > ,
9
merupakan fungsi konveks. Karena log merupakan fungsi konveks,
maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan { ̂ , > } yang
merupakan fungsi likelihood yang takturun, yaitu
log ( ̂ + ) − log ( ̂ ) Φ( ̂ + , ̂ ) .
∗
Bentuk Φ ,
disebut Pseudo Likelihood bersyarat (Elliot 1995).
maka
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan
absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode
tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut
%
� − �
∑|
|
� =
�=
�
dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, � menyatakan nilai yang
sebenarnya, dan � menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010)
MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU
SEBELUMNYA
Model Hidden Markov
Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik { � , � }. { � }
dengan state { , , … , } adalah proses penyebab kejadian yang tidak diamati
secara langsung dan membentuk rantai Markov, sedangkan { � } adalah proses
observasinya.
Pada saat � berada pada state
, maka proses yang diamati �
� =
menyebar normal dengan nilai harapan dan ragam � . Fungsi kepekatan peluang
bersyarat dari � dengan syarat � = adalah
−( � − )
=
exp (
)
�| � =
(1)
�
√ ��
dengan = , , … , . Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati � berada
pada state adalah
� �= =�
(2)
{ , , … , }. Karena { � } rantai Markov maka matriks peluang
dengan
transisinya � = ( )��
= � � = | �− =
(3)
{ , , … , }. Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan
dengan
peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama � dan � =
, yaitu
10
�,
�
=
sehingga
�
�;
�
�
=
=
�| �
∙� � =
�
−( � − )
=
exp (
)
�
�√ �
=∫
�
−∞ �
=
�
√ �
exp (
−(
�
−
�
)
)
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus bagian pertama didapatkan
�
�
−( � − )
,
=
=
∫
exp (
)
� �
�
� −∞ � √ �
�
− )
).
(4)
�
�√ �
Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari � diperoleh dengan
menjumlahkan
untuk semua kemungkinan nilai dari , yaitu:
�, � =
�
(5)
.
�, � =
� =∑ =
Dari persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh
… �− �
, = …
, … , � = ∑� = … ∑�� = �
� , � = . (6)
Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya
yaitu:
= { , �, �, �}, dengan
=
, , … , � , � = � , � , … , �� , � =
� , � , … , �� dan � = ( )�×� .
=
�
exp (
−(
�.
�
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Karakteristik Model
Pada subbab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu
sebelumnya yang didefinisikan pada ruang state ( Ω, ℱ, � ) berupa persamaan
berikut:
∗
∗
(7)
�− + ��
� =
� + � �−
dengan:
�� ~
, � bebas stokastik identik.
{ � } proses yang diamati dan bernilai skalar dengan ruang state .
{ �∗ } rantai Markov dengan ruang state ∗ = { , } dan matriks transisi.
�∗ = [
∗
∗
∗
∗
] dengan
∗
, ,
,∀ , = , .
dan � = � , �
c = ,
konstanta real.
∗
∗
∗ dan �
�) =
�− =�
�
= { , �∗ , �, � }.
=�
∗
�−
.
∗
�
= |
∗
�−
ℝ , dengan
=
,
dan ∑
=
= , ∀ =
, dan � , � merupakan
∗
, maka agar
Karena � tidak hanya bergantung pada �∗ tetapi juga pada �−
tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru � di mana:
11
=
=
=
=
�
�
�
�
∗
�
∗
�
∗
�
∗
�
, jika
, jika
, jika
, jika
=
=
=
=
∗
�−
∗
�−
∗
�−
∗
�−
dan
dan
dan
dan
=
=
=
=
(8)
Lema 1
{ � } adalah rantai Markov dengan ruang state { , , , } dan matriks transisi:
∗
∗
∗
�=[
∗
�
��
= � ��
�
=∫
�
=∫
�
√ ��
exp
�−
∗
�
− ��
�
∗
∗
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Selanjutnya, karena �� ~
diperoleh fungsi sebaran bagi �� :
∗
∗
,�
].
bebas stokastik identik maka dapat
√ ��
exp
�� .
− �� −
��
�
Berdasarkan persamaan (7) dan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi
∗
∗
�− + ��
�
� =�
� =� �
� + � �−
�
∗
∗
−
�
= � ��
−
�−
�
�
�−
=∫
Misalkan
=
maka
�
�
dan
�
�
=∫
=
=
=
=
�
−�
√ ��
�
√ ��
√ ��
√ ��
�
�
exp
�
exp
exp
exp
=
− �
−
−
�
∗
�−
�−
∗
�
−
− ��
√ ��
−�
��
�
�
�−
�−
�
�
.
�
�
∗
� −�
�
∗
� −�
�
exp
∗
�−
− ��
�
�−
(9)
�:
�� .
�
�
∗
�−
∗
�−
�−
�−
.
×
(10)
Misalkan �� adalah medan-� yang dibangun oleh , , , … , � . Karena
� merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kepekatan peluang bagi
×
� . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor
dilambangkan dengan � , sehingga diperoleh:
� | � = , ��− ;
� | � = , ��− ;
� =
� | � = , ��− ;
[
]
� | � = , ��− ;
12
√ ��
√ ��
[√
�−
−
�−
−
√ ��
=
−
−
��
�−
�−
−� �−
�
−� �−
�
−� �−
�
−� �−
�
Misalkan ��|�− = ��|�− ��|�− ��|�− ��|�−
.
�
]
(11)
melambangkan vektor
di mana ��|�− pada vektor mempresentasikan � �
melambangkan perkalian dalam elemen per elemen, maka
� � = |��− ;
� | � = , ��−
� � = |��− ;
� | � = , ��−
��|�− ⊗ � =
⊗
� � = |��− ;
� | � = , ��−
[� � = |��− ; ] [
� | � = , ��−
� � = |��− ; ⋅
|
� � = , ��− ;
� � = |��− ; ⋅
� | � = , ��− ;
=
� � = |��− ; ⋅
� | � = , ��− ;
[� � = |��− ; ⋅
� | � = , ��− ;
= |��− ;
;
;
;
;
]
.
]
Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis:
� � , � = |��− ; = � � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
sehingga diperoleh:
= ∑ = � � , � = |��− ;
� |��− ;
= ∑ = � � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
= � � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
+� � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
+� � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
+� � = |��− ; ∙
.
� | � = , ��− ;
′
̂
= ∑ = � � , � = |��− ; = � (��|�− ⊗ � )
� |��− ;
′
di mana � = [
].
Berdasarkan persamaan (13) dan (14) maka dapat diperoleh
�
�,
= |��− ;
� |��− ;
�
=
=
=
=
�
�
�
�
=�
=�
�, �=
= , ��−
� ��− ;
,
� � = , ��−
� � , ��− ;
� = , � , ��−
� � , ��− ;
� = | � , ��−
.
� = |�� ;
�
dan ⊗
(12)
(13)
(14)
(15)
,��− ;�
� ��− ;�
� � ,��− ;�
� ��− ;�
�,
×
;
;
∙
� ��− ;
� � , ��− ;
;
;
(16)
13
sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh
� � , � = |��− ;
� � = |�� ; =
.
� |��− ;
�̂�|�− ⊗ �
.
�̂�|� = ′
� (�̂�|�− ⊗ � )
�̂�+
|�
=�
= |�� ;
�+
= ∑�
�+
= |
�
= , �� ;
= ∑�
�+
= |
�
= , �� ;
=
�
=
�̂�|� .
=∑
=
�̂�+
|�
=
∗
∗
[
∗
∗
�̂�|� +
�̂�|� +
�̂�|� +
�̂�|� +
�
�
�̂�|�
(17)
= |�� ;
(18)
= , , , .
∗
∗
∗
∗
�̂�|�
�̂�|�
�̂�|�
�̂�|� ]
�̂�+
=[
|�
∗
∗
∗
∗
∗
= � � ∙ �̂�|� .
∗
∗
∗
]
�̂�|�
�̂�|�
�̂�|�
[�̂�|� ]
= � ∙ �̂�|� .
(19)
Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal bagi
�̂�|�− adalah dengan membuat �̂ | sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat
� = [� � � � ] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu:
�� = �
� +� +� +� = .
Pendugaan Parameter
Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari � diperoleh dengan
menjumlahkan
untuk semua kemungkinan nilai dari , yaitu:
�, � = ;
(20)
= ∑�=
�;
� , � = ; ��− .
, , , … , � ; = ∏��=
(21)
� |��−
sehingga fungsi log likehood untuk menduga parameter populasi adalah
�
= ∑ log
�=
� |��−
(22)
Penduga kemungkinan maksimum likelihood ̂ diperoleh dengan
memaksimumkan persamaan (22) dengan kendala � + � + � + � = dan
�
untuk = , , , . Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan
metode Lagrange, yaitu
(23)
=
+
−� −� −� −�
lalu persamaan (23) diturunkan masing-masing terhadap � , , dan � .
14
Berdasarkan persamaan (20), (22), dan (23) diperoleh
� �
=
� �
=
�
� �
� �
�
−� −� −� −� =
� +� +� +� = .
� �
=
�
∑��= log
�
=
� �
=
� �
∑��= log
�
�
= ∑��=
�;
=
= ∑��=
�;
=
∑��= log
(24)
�
�
∙
� ;�
�
= ∑��=
�;
� ;�
∙
( �−
�
�, �=
�
�| �
� ;�
;�
)
= ;
∙�
∙ −
�,
�
+
= .
(25)
= ;
= .
(26)
( �− )
�
= .
�
(27)
Penduga kemungkinan maksimum bagi
diperoleh dengan
�
memaksimumkan:
= ∑�= log
dengan membuat turunan
� |��− ;
pertama dari log likehood terhadap parameter sama dengan nol, maka diperoleh
∑��= [
+
� − � �− ]
� − � �−
=
.
(28)
�
∑�= +
=
� =
� =
�̂ =
∑��= [
�
∑��=
�−
∑��=
�−
di mana:
=
�
−
�
−
�−
∑��=
�−
�−
=
[
∑��=
∑��= [ +
∙ ∑��= [
− � �− +
∑��= [ + ]
[
+
�
−
� |��−
� |��−
+
�−
;
+
�−
�
�
�
�
]
.
�−
+
�−
[ + ]
−�
;
−�
+
�−
[ + ]
+ ]
−�
�
�−
]
.
(29)
(30)
]
(31)
.
�
−
= |��− ;
= |��− ;
−�
∙
∙
−�
�−
�−
]
�| �
�| �
+
= , ��− ;
= , ��− ;
(32)
15
=
=
( � |��− ; ̂)
�
�
= |��− ;
∙ ( �|
� � = |��− ;
( � |��− ; ̂ )
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.
�
∙ ( �|
�
= , ��− ; ̂)
= , ��− ; ̂)
Karena persamaan (28) sampai (32) taklinear, maka untuk mencapai penduga
kemungkinan maksimum bagi digunakan algoritme iteratif yang merupakan
kasus khusus dari prinsip EM.
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta tentukan juga nilai
, , , … , � dan matriks transisi
�=[
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
].
2. Beri nilai awal bagi ̂ yang dilambangkan dengan ̂ = ( ̂ , ̂ , �̂ , �̂ , �̂ ).
3. Cari fungsi kepekatan bersyarat bagi
cara
( � | � = , ��− ; ̂)
( � | � = , ��− ; ̂)
� =
( � | � = , ��− ; ̂)
[ ( � | � = , ��− ; ̂)]
√ ��̂
=
√ ��̂
√ ��̂
[√ ��̂
exp (
exp (
exp (
exp (
−(
−(
−(
−(
�
�
�
�
− ̂ − �̂
�̂
− ̂ − �̂
�̂
− ̂ − �̂
�̂
− ̂ − �̂
�̂
�
untuk setiap = , , … ,
�−
�−
�−
�−
)
)
)
)
dengan
)
)
.
)
)
]
4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu pada
contoh dapat diperoleh melalui iterasi:
4.1
Tentukan nilai awal bagi �̂�|�− yang dilambangkan dengan �̂ |
4.2
4.3
Beri nilai awal =
Untuk = , cari nilai dari
( � |��− ; ̂ ) = �′ (�̂�|�− ⊗
� ).
16
= �(
�(
�(
�(
�(
�(
�̂�|� =
�̂�+
|�
�(
[�(
= |��− ; ̂) ∙
= |��− ; ̂) ∙
�
= |��− ; ̂) ∙
�
�
�
�
�
�(
�(
=
�
�(
= |��− ; ̂) ∙
�
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)]
�+
�+
�+
=
√ ��
̂
√ ��
̂ �− )
−( � − ̂ −�
̂
�
̂ �− )
−( � − ̂ −�
exp (
̂
exp (
̂
�
̂ �− )
−( � − ̂ −�
exp
(
̂
̂
�
√ ��
̂ �− )
−( � − ̂ −�
̂
√ ��
exp (
̂
�
)+
)+
)+
).
�̂�|�− ⊗ �
�′ (�̂�|�− ⊗ � )
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)
= |�� ; ̂)]
= � ∙ �̂�|�
[�( �+
= + .
4.4
Ulangi mulai dari langkah 4.3. Hentikan jika = .
Lanjutkan ke langkah 5.
5.
Misalkan
=
=
=
( � |��− ; ̂
)
( � |��− ; ̂
)
( � |��− ; ̂
)
�(
�(
�(
�
�
�
= |��− ; ̂
) ∙ ( �|
= |��− ; ̂
) ∙ ( �|
= |��− ; ̂
) ∙ ( �|
�( � = |��− ; ̂ ) ∙ ( � |
( � |��− ; ̂ )
cari nilai dari:
∑ = [ ( − �̂ − ) + ( − �̂ − )]
=
.
∑= +
=
=
� =
� =
∑��= [ (
�
∑��=
�−
∑��=
�−
− �̂ �− ) + (
∑��= [ + ]
[
∑��=
[
∑��=
�
− ̂
�−
�
− �̂
+
�− ̂ ]
.
[ + ]
− ̂ +
�−
[ + ]
�−
�
)]
�−
]
.
.
�
�
�
�
= , ��− ; ̂
)
= , ��− ; ̂
)
= , ��− ; ̂
)
= , ��− ; ̂
)
17
� =
∑��= [ +
∙ ∑��= [
�
6.
7.
+ ]
+
�
−
−�
−
−�
�−
+
�−
+
�
−
�
−�
−
−�
�−
].
�−
+
Beri nama parameter yang dihasilkan pada langkah 4 dengan ̂
( ̂ , ̂ , �̂ , �̂ , �̂ ) dan = , , , … , − .
Cari P yang baru, yaitu:
�̂�|� = �̂�|� ⨀ {� ′ ⋅ [�̂�+
|�
÷ �̂�+
+
=
|� ]}
∑��= � � = , �+ = |�� ;
∑��= � �+ = |�� ;
� �− = | � = , �� ; = � � = |�� ; � �− = | � = , �� ;
≈ � � = |�� ; � �− = | � = , �� ;
� � = |�� ; � �− = | � = , �� ;
=
� � = |�� ;
� � = |�� ; � �− = |�� ; � � = | �− = ;
=
� � = |�� ;
̂� × �̂
�|�
�− |�− ×
=
�̂
̂ =
�
�−
�|�
= |�� ;
�
= ∑�
=
̂ =
�−
= ,
�
= |�� ;
�|�
�
�̂ ×�̂
∑��= ∑�= �|� �−̂ |�−
�
Bukti dapat dilihat pada Hamilton (1990).
8.
(Kim 1994)
�̂ ×�̂
�
∑��= �|� �−̂ |�−
�
�|�
Ulangi mulai dari langkah 2. Hentikan jika = . Gunakan parameter yang
sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar Rupiah yang
akan datang.
∗
∗
[ � | � = , ��− ; ] = [
�− + �� | � = , ��− ; ]
� + � �−
=
̂� = E[ � |��− ; ̂
∗
�
�
∗
�−
+�
]=∫
�
∫
�−
( � |��− ; ̂
�−
�
)
|
�
�
= , ��− ;
�
18
=∫
�
�
�
∑ �(X� = |��− ; ̂
=
�
) ( � |X� = , ��− ; ̂
= ∑ ��|�− ⋅ E[ � |X� = , ��− ; ̂
=
�
�
)
�
].
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP
DOLAR AMERIKA
Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar
Amerika. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan
sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan
masalah nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika.
Data Input Nilai Tukar Rupiah
Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai
tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan yang diambil dari laman
www.rba.gov.au (12 Oktober 2014). Data diambil pada selang waktu antara bulan
Juni 1997 hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi ( � ). Data yang
akan diduga sebanyak 192 data, dari Juli 1997 hingga Juni 2013. Data nilai tukar
pada Juni 1997 akan digunakan sebagai nilai awal ( ). Grafik data disajikan pada
Gambar 1.
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
Gambar 1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan
Jun-2013
Oct-2012
Jun-2011
Feb-2012
Oct-2010
Feb-2010
Jun-2009
Oct-2008
Feb-2008
Jun-2007
Oct-2006
Jun-2005
Feb-2006
Oct-2004
Feb-2004
Jun-2003
Oct-2002
Jun-2001
Feb-2002
Oct-2000
Jun-1999
Feb-2000
Oct-1998
Feb-1998
Jun-1997
0
19
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika sudah pernah
dimodelkan menggunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya oleh
Setiawaty dan Ardana (2013), Santoso (2008), dan Retnoningtyas (2014).
∗
Setiawaty dan Ardana (2013) menggunakan persamaan: � =
� +
∗
� � �− + �� , sedangkan Santoso (2008) dan Retnoningtyas (2014)
menggunakan persamaan: � − �∗ = �( �− − �∗ ) + �� , di mana { �∗ } adalah
rantai Markov, { � } adalah penyebab nilai tukar Rupiah dan �� menyebar normal.
Pada Setiawaty dan Ardana (2013) diperoleh MAPE 4.31%, pada Retnoningtyas
.
.
], dan � =
],� = . ,� = [
(2014) digunakan nilai awal = [
.
.
, dengan MAPE 4.14%.
Model hidden Markov yang akan digunakan pada tugas akhir ini adalah:
∗
∗
�− + ��
� =
� + � �−
seperti pada bab sebelumnya. Berdasarkan model di atas nilai tukar Rupiah saat ini
diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu
sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar Rupiah satu waktu sebelumnya.
Pada model hidden Markov di atas akan di cari nilai duga parameternya agar hasil
yang didapat mendekati nilai yang sebenarnya. Pada tugas akhir ini akan
dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan model meningkat. Keakuratan
dianggap baik bila MAPE < 5%.
Penentuan Nilai Awal Parameter
Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga
Mei 2013 dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013 ( � ), kedua data
kemudian diplot. Nilai yang akan diplot adalah = � terhadap = �− .
Persamaan baru yang didapatkan yaitu
(33)
=
. + .
Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya
Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model
yang digunakan sehingga dapat digunakan dalam acuan pembangkitan nilai awal
dan � . Nilai awal yang digunakan dibangkitkan dari interval [
,
],
20
dengan nilai awal
. ,
. . Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan
yang digunakan adalah
. ,
.
. Nilai awal � yang digunakan
dibangkitkan dari interval [ . , ], dengan nilai awal .
, .
. Hasil
dari satu kali iterasi nilai pendugaan � yang digunakan adalah .
, .
.
Penentuan Nilai Awal P
Sedangkan nilai awal P dibangkitkan secara acak dari interval peluang [0,1],
karena
. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan yang digunakan
.
.
.
untuk � adalah [ .
].
.
.
.
.
Penentuan Nilai Awal �
Nilai awal untuk parameter � yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai
[100,2000] yang merupakan selang dari standar deviasanya. Nilai awal yang �
dibangkitkan sebesar
. . Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan � yang
digunakan adalah .
× 7.
Hasil Program
Dari bagian sebelumnya nilai dugaan parameter yang digunakan untuk
membangkitkan dugaan nilai tukar Rupiah adalah
=
. , =
7
. ,� = .
,� = .
,� = .
×
. Galat nilai dugaan
yang ditunjukkan oleh MAPE sebesar 4.48037 % diperoleh melalui satu kali iterasi
seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini
model dianggap baik apabila nilai dari MAPE < 5%. Nilai tukar Rupiah dan nilai
dugannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada
Gambar 3.
Nilai Sebenarnya
Nilai Dugaan
Gambar 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan nilai
dugaan yang didapatkan
21
SIMPULAN
Model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya pada tugas akhir
ini dapat memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap
Dolar Amerika. Hal ini terlihat dari nilai dugaan yang mendekati nilai sebenarnya,
dengan MAPE yang dihasilkan sebesar 4.48%.
DAFTAR PUSTAKA
Baum LE, Petrie T. 1966. Statistical inference for probabilistic functions of finite
Markov chain. Annal of Mathematical Statistics. 37(6):15541563.doi:10.1214/aoms/1177699147.
Elliot RJ, Anggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models Estimation and
Control. New York (US): Springer Verlag.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.
Oxford (GB): Clarendon Press.
Hamilton JD. 1990. Analysis of time series subject to changes in regime. Journal
of Econometrics. 45(2):39-70.doi:10.1016/0304-4076(90)90093-9.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. New
Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs.
Kim CJ. 1994. Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of
Econometrics. 60(2):1-22.doi:10.1016/0304-4076(94)90036-1.
Krantz SG. 1999. Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhauser.
Mynsbrugge JV. 2010. Bidding strategies using price based unit commitment in a
deregulated power market [tesis]. Leuven (BE): Katholieke Universiteit
Leuven.
Osborne MJ. 1997. Concave and Convex Function of Many Variable. Canada (CA):
University of Toronto.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons.
Royden HL. 1963. Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company.
Retnoningtyas A. 2014. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu
Sebelumnya Untuk Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar Amerika [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Santoso DH. 2008. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar
Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
[skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Setiawaty B, Ardana NKK. 2013. Modeling the exchange of Rupiah to American
Dollar using hidden Markov. Presentation paper of IICMA 2013; 2013 Nov
6-8; Yogyakarta, Indonesia.
Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.
22
Lampiran 1 Bukti Lema 1
Karena {
∗
�}
rantai Markov, maka { � } rantai Markov dengan matriks transisi
].
�=[
∗
∗
= maka
melambangkan � �∗ = | �−
∗
∗
∗
∗
= , �−
=
= � � = , �− = | �−
� = | �− =
∗
∗
∗
� = , �− = , �− =
∗
∗
� �−
= , �−
=
∗
∗
∗
∗
=
= ∗ .
=
= � �∗ = | �−
= � � = | �− = , �−
Misalkan
=�
�
=
=�
�
=
= .
� =
∗
� =
|
,
�
�− =
∗
�− =
∗
�− =
,
=�
,
∗
�−
∗
�−
∗
= , �−
= |
∗
= , �− =
=
∗
�−
∗
�
Dengan cara perhitungan yang sama akan didapatkan
= ∗
=
= ∗
=
= ∗
=
=
= ∗
=
= ∗
=
= ∗
=
= ∗
maka diperoleh matriks transisi
�=[
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
].
= ,
∗
�−
=
23
Lampiran 2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32)
= ∑ = � � , � = |��− ;
� |��− ;
= ∑ = � � = |��− ; ∙
� | � = , ��− ;
=�
�
+�
= |��− ;
�
∙
= |��− ;
−
√ ��
∙
√ ��
�−
−
−� �−
�
� − −� �−
� |��− ;�
= �
+�
=�
�
�
= |��− ;
= |��− ;
�
= |��− ;
∙
∙
−
√ ��
∙
√ ��
�| �
{
{
�−
−
−�
�−
�
−
−�
�
= , ��− ;
�
(
�−
�−
Jika diketahui fungsi log-likelihood sebagai berikut
Untuk memperoleh nilai
dengan nol.
ℒ �
= ∑��=
∙
⇔
=
∑��=
�
[
�
� |��−
�
;�
� |��−
� |��−
;�
;�
,
�
�
�
+�
�
Berdasarkan persamaan (14), diperoleh
�
+�
ℒ
}
− (
}
− (
−�
�
�−
�−
�
�−
)
�
= |��− ;
= |��− ;
�
−�
�
+�
�−
−�
�
�
= ∑ log
� |��−
= , ��− ;
(
�=
∙
) −
�−
) −
∙
√ ��
.
= |��− ;
∙
,
;
−
√ ��
�−
−
�| �
−� �−
�
� − −� �−
= , ��− ;
(14)
.
�
(
�−
, � , � , � yang memaksimumkan fungsi log-likehood, maka turunan pertama dari ℒ
� |��−
�
;�
= |��− ;
�
= |��− ;
∙
∙
�| �
�| �
= , ��− ;
(
�−
�−
−�
�
−�
�
�−
�−
)
)
−�
�
�−
)
.
harus sama
+
]
23
24
24
�
=
=
∑��= [
�
�
Misalkan
� |��−
�
;�
�
�
;�
�
= |��− ;
∙
= |��− ;
�| �
∙
�| �
= , ��− ;
= , ��− ;
(
�
(
�
−�
−
�
� |��−
;�
�
�
= |��− ;
∙
�| �
= , ��− ;
�
−
∑��= [
�
� |��−
;�
�
�
= |��− ;
∙
�| �
= , ��− ;
�
−�
�
�
�
∑��= [
� |��−
� |��−
� |��−
�
;�
;�
;�
� |��−
�
�
�
;�
�
�
�
�
= |��− ;
= |��− ;
= |��− ;
�
= |��− ;
∙
∙
=
maka dapat dituliskan
=
�
∑[
�=
�| �
∙
�| �
∙
�| �
= , ��− ;
= , ��− ;
� |��−
�
�
= , ��− ;
�| �
� |��−
�
;
;
−�
= , ��− ;
�
�
�−
�
�
−
�
= |��− ;
= |��− ;
+
�
−�
�
�−
)+
)]
−�
�−
�−
+
−�
−�
+
+
�−
−�
−
∑��= [
= ∑��= [
=
� |��−
�−
� |��−
� |��−
∙
∙
�−
;�
�−
]
;�
�
�
�| �
�| �
]=
+
]
�
�
= |��− ;
= |��− ;
= , ��− ;
= , ��− ;
�
∑
�=
+
.
∙
∙
�| �
�| �
= , ��− ;
= , ��− ;
].
]
25
=
⇔
∑= [ (
seperti yang telah diklaim pada persamaan (28).
−�
−
∑=
)+
+
Berdasarkan persamaan (14) diperoleh
̂)
�( � |��− ;�
ℒ �
=�
=�
= ∑��=
⇔
=
�
�
�
= |��− ;
�
= |��− ;
= |��− ;
̂) ∙
�( � |��− ;�
⇔ ∑��= [
=
�
̂) �
�( � |��− ;�
̂) �
�( � |��− ;�
̂) �
�( � |��− ;�
�
�
−
√ ��
∙
√ ��
∙ ( �|
̂)
�( � |��− ;�
̂) �
�( � |��− ;�
∑��= [
∙
�
=
=
= |��− ;
= |��− ;
�
�
= |��− ;
= |��− ;
�−
−� �−
�
− � − −� �−
�
( −
, ��− ; ̂) �
∙ ( �|
∙ ( �|
�
�
∙ ( �|
∙ ( �|
− (
�−
− (
(
= , ��− ; ̂ )
�
�
= , ��− ; ̂)
= , ��− ; ̂)
−�
−
−� �− ) −
+
�
−� �− ) −
�−
−� �− )
�
(
= , ��− ; ̂)
(
�
+�
�
= |��− ;
)]
∙ ( �|
�
(
= , ��− ; ̂)
�−
−� �− )
�
−� �− )
+
�
−� �− )
�−
�−
]
�
�
�
−
−
−�
−�
�−
�−
+
]
25
26
26
̂) �
�( � |��− ;�
�
= |��− ;
∙ ( �|
�
= , ��− ; ̂ )
�
−
̂) �
�( � |��− ;�
�
= |��− ;
∙ ( �|
�
= , ��− ; ̂)
�
−�
= |��− ;
∙ ( �|
∑��= [
=
⇔