Kajian numerik model hidden markov satu waktu sebelumnya untuk nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika

KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU
WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH
TERHADAP DOLAR AMERIKA

AULIA RETNONINGTYAS

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kajian Numerik Model
Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap
Dolar Amerika adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Aulia Retnoningtyas
NIM G54070075

ABSTRAK
AULIA RETNONINGTYAS. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu
Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika.
Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT.
Model hidden Markov adalah model yang terdiri atas pasangan proses
stokastik yaitu proses observasi dan faktor penyebab proses observasinya, di mana
faktor penyebab observasinya tidak diamati secara langsung dan diasumsikan
membentuk rantai Markov. Model hidden Markov satu waktu sebelumnya
merupakan model hidden Markov yang proses observasinya dipengaruhi oleh
faktor penyebab kejadian saat ini dan satu waktu sebelumnya. Model hidden
Markov satu waktu sebelumnya dapat diaplikasikan untuk nilai tukar rupiah
terhadap dolar Amerika di mana nilai tukar rupiah sebagai proses observasinya
dan faktor penyebabnya sebagai rantai Markov. Parameter model diduga dengan
menggunakan metode Maximum Likelihood dan perhitungannya menggunakan

metode iteratif Expectation Maximization (EM). Dengan menggunakan nilai awal
yang diperoleh secara trial and error Santoso (2008) dapat memodelkan nilai
tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan MAPE 14.58%. Pada tugas akhir ini
nilai awal dibangkitkan secara terstruktur pada selang tertentu sehingga
keakuratan model meningkat. MAPE yang diperoleh 4.13% dengan hanya satu
kali iterasi.
Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah

ABSTRACT
AULIA RETNONINGTYAS. Numerical Study if the Previous Time Hidden
Markov Model for the Exchange Rate of Rupiah to US Dollar. Supervised by
BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT.
Hidden Markov model is a model that consists of a pair stochastic
processes, ie: the process of observation and the cause factors of the observation,
where the cause factors of the observation are not observed directly and assumed
to be a Markov chain. The previous time hidden Markov model is a hidden
markov model that the observation process is influenced by current events and
one previous time cause factors. The previous time hidden Markov model can be
applied to the exchange rate of rupiah to US dollar, where the exchange rate of
rupiah to US dollar is the observation and the contributing factor is a Markov

chain. Parameters of the model are estimated using the maximum likelihood
method and calculated using expectation maximization (EM) iterative algorithm.
Using the initial value obtained by trial and error, Santoso (2008) was able to
model the exchange rate of rupiah to US dollar with MAPE 14.58%. In this paper,
the initial value is structuredly generated on a specific interval so that the accuracy
of model increases. Retrieved MAPE is 4.13% with only one iteration.
Key words: EM algorithm, hidden Markov model, MAPE, the exchange rate of
Rupiah

KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU
WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH
TERHADAP DOLAR AMERIKA

AULIA RETNONINGTYAS

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya, sehingga karya ilmiah berjudul Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu
Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika ini dapat
diselesaikan. Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada:
1. Dr Berlian Setiawaty, MS selaku dosen pembimbing I dan Ruhiyat, MSi
selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, bimbingan, kesabaran serta
motivasi yang telah diberikan selama penulisan karya ilmiah ini.
2. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji yang telah
banyak memberikan saran.
3. Dosen-dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang diberikan,
serta staf dan pegawai di Departemen Matematika atas semua bantuan dan
layanannya selama ini.
4. Mama, Papa, Tika dan Widy atas doa, dukungan, semangat, kesabaran dan

kasih sayang yang selalu diberikan kepada penulis. Serta seluruh keluarga
besar yang ada di Jakarta, Depok, Bogor dan Malang atas doa, dukungan dan
kasih sayangnya.
5. Atih, Asti, Benz, Uci, Anggi, Je, Devi dan sahabat-sahabat tersayang yang ada
di Malang, Surabaya dan Depok lainnya atas perhatian, semangat, dukungan
dan doa yang selalu diberikan.
6. Deva, Sari, Della, Devi, Pandi, Dian, Rofi, Denda, Rizky, Mutia, Rachma, Sri,
Ayung, Fajar, Imam, Lukman, Yogie dan semua teman-teman Matematika 44
lainnya, serta kakak-kakak dan adik-adik Matematika 42, 43, 45, 46, dan 47
atas dukungan dan doanya.
7. Teman-teman IPB dari departemen lainnya.
8. Semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Oktober 2014
Aulia Retnoningtyas

DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

2

Peubah Acak dan Sebaran

3

Nilai Harapan

5

Rantai Markov

6

Algoritme Expectation Maximization (EM)

8

Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

9

MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU
SEBELUMNYA
Model Hidden Markov
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DLLAR AMERIKA
DAN KAJIAN NUMERIKNYA

9
9
10
18

Data Input Nilai Tukar Rupiah

18

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya

19

Penentuan Nilai Awal untuk Penduga Parameter Model Hidden Markov Satu
Waktu Sebelumnya
19
Hasil Progam

20

SIMPULAN

21

DAFTAR PUSTAKA

21

LAMPIRAN

23

RIWAYAT HIDUP

46

DAFTAR GAMBAR
1 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan
2 Plot persamaan baru dari data yang ada dikurangi rataannya
3 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan dan nilai
dugaan yang didapatkan

19
20
21

DAFTAR LAMPIRAN

1 Bukti Lema 1
2 Bukti persamaan (13) sampai dengan (16)
3 Progam untuk mencari nilai dugaan dan MAPE minimum
menggunakan software Mathematica 9.0
4 Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dan nilai dugaannya

23
24
37
43

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Nilai tukar mata uang sering digunakan untuk mengukur level
perekonomian suatu negara. Nilai tukar mata uang memegang peranan penting
dalam perdagangan antar negara, di mana hampir sebagian besar negara-negara di
dunia saat ini terlibat dalam aktivitas ekonomi pasar bebas. Bagi perusahaan
investasi dan investor mancanegara, nilai tukar mata uang akan berdampak pada
return dan portofolio investasinya. Salah satu nilai tukar mata uang yang
berpengaruh di negara ini adalah nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika.
Faktor-faktor yang mempengaruhi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika
antara lain perbedaan tingkat suku bunga, rasio ekspor dan impor, perbedaan
tingkat inflasi serta kestabilan politik negara. Penting bagi pemerintah untuk
mengetahui lebih dini perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika agar
dapat mengantisipasi serta menentukan kebijakan ekonomi yang akan diambil
selanjutnya.
Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik yaitu proses
observasi dan proses yang mempengaruhi terjadinya proses observasi yang
diasumsikan membentuk rantai Markov dan diasumsikan tidak diamati. Model
hidden Markov dicirikan oleh beberapa parameter yaitu peluang awal, peluang
transisi, dan peluang observasinya.
Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dapat dimodelkan dengan model
hidden Markov jika proses yang memengaruhi proses observasinya diasumsikan
tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. Dalam hal ini nilai
tukar rupiah terhadap dolar Amerika sebagai proses observasinya dan faktorfaktor yang memengaruhi perubahannya sebagai proses yang memengaruhi proses
observasinya.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu
waktu sebelumnya seperti yang dibahas pada karya ilmiah Santoso (2008). Pada
model ini nilai tukar rupiah bergantung pada nilai tukar rupiah sebelumnya dan
juga faktor penyebab perubahan nilai tukar pada saat ini dan satu waktu
sebelumnya.
Perhitungan numerik yang dilakukan oleh Santoso (2008) menggunakan
nilai awal yang ditentukan secara trial and error yang menghasilkan galat
minimum 0.2934 (0.0032%) dan galat maksimum 807.6963 (5.6773%). Pada
tugas akhir ini akan dicari cara menentukan nilai awal yang lebih efisien sehingga
diharapkan diperoleh galat yang lebih kecil. Perhitungan numerik yang dilakukan
dalam karya ilmiah ini menggunakan software Mathematica 9.0. Kelebihan
progam tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta mempermudah dalam
analisis data karena sudah dilengkapi dengan fungsi-fungsi yang mudah untuk
digunakan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mendapatkan model hidden Markov satu
waktu sebelumnya untuk nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan nilai

2
awal yang lebih tepat sehingga modelnya lebih akurat jika dibandingkan dengan
Santoso (2008).

TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilahistilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya
dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul
dapat diketahui, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diketahui
dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang
sama, disebut percobaan acak. (Ross 1996)
Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω .
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Medan-�
Medan-� adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
dari Ω yang memenuhi kondisi berikut:
1. ∅ ∈ ℱ,
2. Jika �1 , �2 , … ∈ ℱ maka ⋃∞�=1 �� ∈ ℱ, dan
3. Jika � ∈ ℱ maka �� ∈ ℱ.
(Ross 1996)
Ukuran Peluang
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
fungsi �: ℱ → [0,1] pada (Ω, ℱ) yang memenuhi:
1. �(∅) = 0, �(Ω) = 1,
2. Jika �1 , �2 , … ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu �� ⋂ �� = ∅ untuk
setiap pasangan � ≠ �, maka �(⋃∞�=1 �� ) = ∑∞�=1 � (�� ).
Pasangan (Ω, ℱ, �) disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 2001)

Kontinu Absolut
Jika � dan μ merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, ℱ ) . Ukuran peluang �
dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang � jika �(�) = 0 maka
�(�) = 0, untuk setiap � ∈ ℱ. Dinotasikan � ≪ �. (Royden 1963)

3
Radon Nikodym
Jika � dan �� merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, ℱ ) dan �� ≪ � , maka
terdapat peubah acak taknegatif Δ sehingga ��(� ) = ∫� ∆�� untuk semua � ∈ ℱ.
Dinotasikan

� ��

� = ∆. (Wong dan Hajek 1985)

�� ℱ

Kejadian Saling Bebas
Kejadian � dan � dikatakan saling bebas jika �(� ∩ �) = �(�)�(�). Secara
umum, himpunan kejadian {�� ; � ∈ �} dikatakan saling bebas jika �(⋂�∈� �� ) =
∏�∈� �(�� ) untuk setiap himpunan bagian berhingga � dari � . (Grimmet dan
Stirzaker 2001)
Peluang Bersyarat
Misalkan (Ω, ℱ, �) adalah ruang peluang dan �, � ∈ ℱ maka peluang A dengan
�(�∩�)
syarat B didefinisikan sebagai �(�|�) =
. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
�(�)

Peubah Acak dan Sebaran
Peubah Acak
Misalkan ℱ adalah medan-� dari Ω. Peubah acak X merupakan fungsi �: � → ℝ
di mana {� � � ∶ � (�) ≤ � } � ℱ untuk setiap � � ℝ. (Grimmet dan Stirzaker
2001)
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari peubah acak � adalah suatu fungsi � ∶ ℝ → [0,1] di mana
�� (� ) = �(� ≤ � ). (Grimmet dan Stirzaker 2001)

Peubah Acak Diskret
Misalkan Ω adalah ruang contoh, ℱ adalah medan-σ dari Ω dan � adalah
himpunan berhingga. Suatu fungsi � ∶ Ω → S disebut peubah acak diskret jika
memenuhi sifat ∀ � ⊆ � berlaku {� ∈ Ω ∶ �(�) ∈ �} ∈ ℱ. (Ross 1996)

Fungsi Massa Peluang
Misalkan (Ω, ℱ, �) adalah ruang peluang dan � adalah himpunan berhingga.
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret � adalah fungsi � ∶ � → [0,1]
didefinisikan oleh �� (� ) = �(� = � ), ∀� ∈ �.(Grimmet dan Stirzaker 2001)

Fungsi Massa Peluang Bersama
Misalkan (Ω, ℱ, �) adalah peluang dan S adalah himpunan berhingga. Fungsi
massa peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi
�: � × � → [0,1] yang didefinisikan oleh
��� (�, �) = � (� = �, � = �), ∀�, � ∈ �.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)

4
Fungsi Massa Marginal
Misalkan ��� (�, �) adalah fungsi massa peluang bersama dari peubah acak
diskret � dan �. Misalkan � adalah himpunan nilai yang mungkin dari �, dan �
adalah himpunan nilai yang mungkin dari �. Selanjutnya fungsi �� (� ) =
∑� ∈� ��� (�, �) dan �� (�) = ∑� ∈� ��� (�, �) masing-masing disebut fungsi massa
marginal dari � dan �. (Ross 1996)

Fungsi Massa Peluang Bersyarat
Jika � dan � merupakan peubah acak diskret, maka fungsi massa peluang
bersyarat dari � jika diberikan � = �, terdefinisi untuk setiap � sedemikian
�(�=�,�=� )
sehingga�(� = �) > 0adalah ��|� (�|�) =
.(Ross 1996)
�(�=� )

Peubah Acak Kontinu
Peubah acak � disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat
�
dinyatakan sebagai �� (� ) = ∫−∞ �(�)�� untuk suatu fungsi �: ℝ → (0, ∞) yang
terintegralkan. Selanjutnya fungsi � = �� disebut fungsi kepekatan peluang
(probability density function) bagi X. (Ross 1996)

Fungsi Kepekatan Peluang Bersama
Misalkan X dan Y peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama
dari X dan Y adalah ��� (�, �) =

� 2 �(�,�)
����

.(Grimmet dan Stirzaker 2001)

Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal
Misalkan X dan Y peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi
sebaran � (�, �) dan fungsi kepekatan peluang bersama �(�, �). Fungsi kepekatan
peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut
∞

�� (� ) = � � (�, �)��
−∞
∞

�� (�) = � � (�, �)��.
−∞

(Ross 1996)

Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat
Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marginal
�� (�) > 0, maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat � = �
� (�,� )
adalah ��|� (�|�) = �� (�) . (Grimmet dan Stirzaker 2001)
��

5
Nilai Harapan
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang �� (� ) =
�(� = � ) maka nilai harapan dari X adalah � [�] = ∑ � ��� (�) asalkan jumlah
tersebut konvergen mutlak. (Hogg and Craig 2014)
Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu
Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang �� (� )
∞
maka nilai harapan dari X adalah � [�] = ∫−∞ ��� (� )�� asalkan integralnya ada.
(Hogg and Craig 2014)
Nilai Harapan Bersyarat
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan ��|� (�|�) adalah fungsi
kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat � = �, maka nilai harapan dari
∞
X dengan syarat � = � adalah � [�|� = �] = ∫−∞ ���|� (�|�)��. (Hogg dan Craig
2014)
Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1
�
Jika f kontinu pada [�, �], maka fungsi g didefinisikan oleh g(� ) = ∫� � (�) �� ,
� ≤ � ≤ � adalah kontinu pada [�, �] dan terdiferensialkan pada (�, �) dan
g′(� ) = � (� ). (Stewart 1998)

Himpunan dan Fungsi Konveks
Misalkan � ⊂ ℝ� adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan
konveks jika untuk semua �, �′ ∈ � dan � ∈ [0,1] maka (1 − �)� + ��′ ∈ � .
Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan
konveks S. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan
��(1 − �)� + ��′� ≤ (1 − �)�(� ) + ��(�′).
(Osborne 1997)
Fungsi Konveks
Misalkan f memiliki turunan kedua. f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika
∇2 �(� ) ≥ 0, ∀� ∈ � dan merupakan strictly convex jika ∇2 � (�) > 0, ∀� ∈ �.
(Osborne 1997)
Ketaksamaan Jensen
Misalkan � adalah peubah acak dengan � [�]berhingga dan g (� ) adalah fungsi
konveks. Maka � [g(�)] ≥ g(� [�]). (Krantz 1999)

6
Rantai Markov
Ruang State
Misalkan � ⊂ ℝ merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka �
disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Proses Stokastik
Proses stokastik � = {�� , � � �} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state K. Jadi, untuk setiap t pada
himpunan indeks T, St adalah suatu peubah acak. (Ross 1996)
Dalam hal ini anggap t sebagai waktu dan nilai dari peubah acak St sebagai
state (keadaan) dari proses pada waktu t.
Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Proses stokastik {�� , � = 0,1,2, … } , dengan ruang state {1,2,3, … , �} , disebut
rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap {� = 0,1,2, … , �} berlaku
�(�� = �|��−1 = �, ��−2 = ��−1 ) = �(�� = �|��−1 = � ) = ���

untuk semua kemungkinan nilai dari �0 , �1 , �2 , … , ��−1 , �� , � ∈ {1,2,3, … , �}. (Ross
1996)
Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat
ini �� dengan syarat state yang lalu �0 , �1 , �2 , … , ��−2 dan state sebelumnya ��−1
adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state
sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property).
Proses di atas dapat digambarkan sebagai N-state rantai Markov dengan
peluang transisi ���� � �, � = 1,2,3, … , �. Nilai dari ��� menyatakan peluang bahwa,
jika proses tersebut berada pada state i, maka berikutnya akan beralih ke state j.
Karena ��� adalah nilai peluang dan proses tersebut harus bertransisi, maka
1. 0 ≤ ��� ≤ 1, untuk �, � ∈ {1,2,3, … , �}, dan
2. ∑�
� =1 ��� = 1, untuk � ∈ {1,2,3, … , � }.
Peluang transisi ini dapat ditulis dalam bentuk matriks P yang disebut sebagai
matriks transisi.
�11 �21 ⋯ ��1
� �
⋯ �
� = ���� ��×� = � 12⋮ 22⋮ ⋮ ⋮�1 �
�1� �2� ⋯ ���

dengan j menyatakan baris dan i menyatakan kolom dari matriks P.
Terakses
Peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state
(�)
awal adalah i dinotasikan dengan ��� . Suatu state j disebut terakses dari state i
(notasi ∶ � → �), jika minimal ada sebuah bilangan bulat � ≥ 0 sehingga ���(�) > 0
(�)

di mana ��� adalah peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j
dengan syarat state awal adalah i. (Ross 1996)

7

Kelas State
Kelas state dari suatu rantai Markov, adalah suatu himpunan takkosong �
sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari � berkomunikasi
satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota � yang
berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari �. (Ross 1996)

Rantai Markov Tak Tereduksi
Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state (satu
gugus tertutup state), yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang
lainnya. (Ross 1996)
First-Passage Time Probability
(� )
��� menyatakan peluang bahwa mulai dari state i, proses bertransisi untuk
pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut first-passage time
probability. Jadi untuk setiap � = 1,2,3, …
(� )
��� = �(�� = �, �� ≠ � untuk semua 1 ≤ � ≤ � − 1|�0 = � )
(� )

�, � ∈ {0,1,2, … }, dan ���

= 0 untuk semua �, � ∈ {0,1,2, … }. Selanjutnya, untuk

setiap �, � ∈ {0,1,2, … }, didefinisikan ��� = ∑∞
� =1 ��� . (Ross 1996)
(� )

Recurrent dan Transient
State i disebut recurrent jika ��� = 1, dan disebut transient jika ��� < 1. (Ross
1996)
Reccurent dan Transient
(� )
State i adalah berulang (recurrent) jika ∑∞
� =0 ��� = ∞. (Ross 1996)

Periode, Periodik, dan Aperiodik
(� )
1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika ��� = 0 untuk semua n yang
tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat
ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah
persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisior) bagi n sehingga
(� )
��� > 0.
2. Suatu state dengan periode = 1 disebut aperiodik, sedangkan state dengan
periode ≥ 2 disebut periodik. (Ross 1996)

Positive Recurrent dan Null Recurrent
Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah
berulang (recurrent) serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai
harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan
terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null
recurrent. (Ross 1996)

Ergodic
Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. (Ross
1996)

8

Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi
(� )
Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim�→∞ ��� ada dan nilainya tak
tergantung dari i.
(� )
�� = lim ��� ,
� ≥ 1.
�→∞

�� adalah solusi unik tak negatif dari

�

�� = � �� ���
�

�=1

� �� = 1.
� =1

(Ross 1996)

Vektor Peluang Steady State
Vektor peluang � = (�1 , �2 , �3 , … , �� ) , yang setiap komponennya menyatakan
bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1,2,3, … , � untuk � → ∞ di
mana
�

�(�� = �) = � �(�� = �|��−1 = � )�(��−1 = � )
�=1
�

= � ��� �(��−1 = � )
�=1

disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena π adalah
vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah
bilangan tak negatif serta jumlah semua unsurnya adalah sama dengan satu.
Sebaran steady state sering juga disebut sebaran stationer, atau sebaran setimbang
(equilibrium distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan. (Ross 1996)

Algoritme Expectation Maximization (EM)
Misalkan {�� , � ∈ Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi
(
pada Ω, ℱ ) dan kontinu absolut terhadap �0 . Misalkan � ⊂ ℱ. Fungsi Likelihood
yang digunakan untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi �
adalah
��
�(�) = �0 � � |��.
� �0

Penduga Maximum Likelihood (MLE) didefinisikan oleh
�� ∈ arg max �(� ).
� ∈�

Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung, oleh karena itu diperlukan
suatu metode aproksimasi berulang, yakni algoritme Expectation Maximization
(EM). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:
1. Tentukan nilai awal parameter ��� dengan � = 0,
��
2. Tentukan � ∗ = ��� dan hitung �(�, � ∗ ) dengan �(�, � ∗ ) = �� ∗ ���� � |��,
� �� ∗

9
Cari ���+1 ∈ arg max �(�, � ∗ ),
Ganti � dengan � + 1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya
tercapai, yaitu ketika selisih ���+1 dan ��� kurang dari suatu bilangan yang
sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar
ketelitian yang diinginkan.
1
Misalkan g ( x ) = log   , karena turunan kedua dari �(� ) selalu positif
x
1
∇2 �(� ) = ∇2 log � �
�
1
= 2 > 0, ∀� > 0
�
1
maka �(� ) merupakan fungsi konveks. Karena log � � merupakan fungsi
�
konveks, maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan
���� , � ≥ 0�, yang merupakan fungsi Likelihood yang takturun yaitu
log �����+1 � − log ���� ≥ �����+1 , ��� +1 �.
∗
Bentuk �(�, � ) disebut Pseudo Likelihood bersyarat. (Elliot et al. 1995)
3.
4.

Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase
kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata
untuk periode tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut
�
100%
�� − ��
���� =
��
�
�
��
� =1

dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, �� menyatakan nilai yang
sebenarnya, dan �� menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010)

MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU
SEBELUMNYA
Model Hidden Markov
Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {�� , �� } . {�� }
dengan state {1,2, … , �} adalah proses penyebab terjadinya {�� } yang tidak
diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. {�� } adalah proses
observasinya. Karakteristik {�� } hanya bisa diamati melalui proses observasinya.
Pada saat �� berada pada state j (�� = �), proses yang diamati �� menyebar
normal dengan nilai harapan �� dan ragam ��2 . Fungsi kerapatan peluang
bersyarat dari �� dengan syarat �� = � adalah

10
2

−��� − �� �
�
�(�� |�� = � ) =
exp �
2��2
√2���
1

(1)

dengan � = 1,2, … , �.
Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati �� berada pada state j
adalah
� (�� = � ) = ��

(2)

��� = �(�� = �|��−1 = � )

(3)

dengan � ∈ {1,2, … , �} . Karena {�� } rantai Markov maka matriks peluang
transisinya � = ���� ���

dengan �, � ∈ {1,2, … , �}.
Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan peluang bersyarat,
maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama �� dan �� = �, yaitu
�(�� , �� = � ) = �(�� |�� = � )�(�� = � )
2

−��� − �� �
�.
=
exp �
2��2
�� √2�
��

(4)

Fungsi kerapatan peluang marjinal tak bersyarat dari �� diperoleh dengan
menjumlahkan �(�� , �� = �) untuk semua kemungkinan nilai dari j, yaitu
�

�(�� ) = � � (�� , �� = � ).

(5)

�=1

Dari persamaan (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh
�
�(�1 , … , �� ) = ∑�
�1 =1 … ∑�� =1 ��1 ��1 �2 … ���−1 �� � (�1 , �1 = �1 ) … � (�� , �� = � � ).
(6)

Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter � = (�, �, �, P),
� = (�1 , �2 , … , �� ), ragam � = (�12 , �22 , … , ��2 ), peluang � = (�1 , �2 , … , �� ) dan
P = ���� ��� .
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Pada bab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu
sebelumnya (Hamilton 1996) sebagai berikut
�� − ���∗ = � ���−1 − ��∗�−1 � + ��

(7)

di mana �� ~�(0, � 2 ) bebas stokastik identik, {�� } proses yang diamati dan
bernilai skalar, {��∗ } rantai Markov dengan ruang state � ∗ = {1,2} dan matriks
∗
�∗ �21
∗
∗
∗
transisi � ∗ = � 11
∗ � di mana ��� = �(�� = �|��−1 = � ), �1 , �2 , dan � adalah
∗
�12 �22
konstanta real.
∗
Karena �� tidak hanya bergantung kepada ��∗ tetapi juga pada ��−1
, maka
agar tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru �� di mana

11
��
��
��
��

= 1 jika ��∗
= 2 jika ��∗
= 3 jika ��∗
= 4 jika ��∗

∗
= 1 dan ��−1
∗
= 2 dan ��−1
∗
= 1 dan ��−1
∗
= 2 dan ��−1

=1
=1
=2
= 2.

(8)

Lemma 1
{�� } adalah rantai Markov dengan ruang state {1,2,3,4} dan matriks transisi
∗
∗
�11
0
0 �11
∗
∗
0 �12 0
�
� = � 12 ∗
∗ �.
0 �21 0 �21
∗
∗
0 �22
0 �22
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Selanjutnya, karena �� ~ �(0, � 2 ) bebas stokastik identik maka dapat
diperoleh fungsi sebaran bagi ��
�� � (�� ) = �(�� ≤ �� )
��

= �

−∞
��

= �
−∞

−(�� − 0)2
exp �
� ���
2� 2
√2��
1

−(�� )2
exp �
� ��� .
2� 2
√2��
1

Berdasarkan persamaan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi {�� } :
��� (�� ) = �(�� ≤ �� )
= ������−1 − ���∗−1 � + ���∗ + �� ≤ �� �
= � ��� ≤ �� − ���∗ − ����−1 − ���∗−1 ��

=
Misalkan
maka

dan

�� −� � ∗ −� ���−1 −� � ∗
�

�−1

�

�

1

√2��

−∞

exp �

−(�� )2
� ��� .
2� 2

� = �� − ���∗ − ����−1 − ���∗−1 �,
�

��� (�� ) = �
−∞

−(�� )2
exp �
� ���
2� 2
√2��
1

(9)

12
�
� (� )
��� �� �
−(�)2 ��
1
exp �
�
=
2� 2 ���
√2��

��� (�� ) =

=

=

1

√2��
1

√2��

exp �
exp �

− ��� − ���∗ − � ���−1 − ��∗�−1 ��

2

2� 2

− ��� − ���∗ − � ���−1 − ��∗�−1 ��
2� 2

2

�

(10)

�.

Misalkan �� adalah medan-� yang dibangun oleh �1 , �2 , �3 , … , �� . Karena ��
merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kerapatan peluang bagi
�� . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor (4 × 1)
dilambangkan dengan �� , sehingga diperoleh
� (�� |�� = 1, ��−1 )
⎡
⎤
� (�� |�� = 2, ��−1 )⎥
⎢
�� =
⎢� (�� |�� = 3, ��−1 )⎥
⎣� (�� |�� = 4, ��−1 )⎦
2

Misalkan

⎡ 1 exp �−��� − �1 − �(��−1 − �1 )� �⎤
⎢√2��
⎥
2� 2
⎢
2 ⎥
−��� − �2 − �(��−1 − �1 )� ⎥
⎢ 1
�⎥
⎢√2�� exp �
2� 2
⎥
=⎢
2 .
⎢ 1
−��� − �1 − � (��−1 − �2 )� ⎥
�⎥
exp �
⎢
2� 2
⎢√2��
⎥
2 ⎥
⎢ 1
−��� − �2 − �(��−1 − �2 )�
⎢
�⎥
exp �
2� 2
⎣√2��
⎦
(1)

(2)

(3)

(4)

��|�−1 = ���|�−1 ��|�−1 ��|�−1 ��|�−1 �

�

melambangkan

(11)

vektor

(� )
(4 × 1) di mana ��|�−1
pada vektor merepresentasikan �{�� = �|��−1 } dan ⨂
melambangkan perkalian elemen per elemen, maka

�(��
⎡
�(��
��|�−1 ⨂�� = ⎢
�
⎢ (��
⎣�(��
�(��
⎡
�(��
=⎢
⎢�(��
⎣�(��

= 1|��−1 )
� (�� |�� = 1, ��−1 )
⎤
⎤ ⎡
= 2|��−1 )⎥ ⎢� (�� |�� = 2, ��−1 )⎥
⨂
= 3|��−1 )⎥ ⎢� (�� |�� = 3, ��−1 )⎥
= 4|��−1 )⎦ ⎣� (�� |�� = 4, ��−1 )⎦
= 1|��−1 )� (�� |�� = 1, ��−1 )
⎤
= 2|��−1 )� (�� |�� = 2, ��−1 )⎥
.
= 3|��−1 )� (�� |�� = 3, ��−1 )⎥
= 4|��−1 )� (�� |�� = 4, ��−1 )⎦

(12)

Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis

�(�� , �� = �|��−1 ) = �(�� = �|��−1 )� (�� |�� = �, ��−1 )

sehingga diperoleh

(13)

13
4

� (�� |��−1 ) = � �(�� , �� = �|��−1 )
� =1
4

= � �(�� = �|��−1 )� (�� |�� = �, ��−1 )

(14)

= �′ ��̂�|�−1 ⨂�� �

(15)

� =1

= � (�� = 1|��−1 )�(�� |�� = 1, ��−1 )
+ �(�� = 2|��−1 )� (�� |�� = 2, ��−1 )
+ �(�� = 3|��−1 )� (�� |�� = 3, ��−1 )
+ �(�� = 4|��−1 )� (�� |�� = 4, ��−1 )

di mana �′ = [1 1 1 1].
Berdasarkan persamaan (14) dan (15) maka dapat diperoleh
����, �� = �|��−1 � ����, �� = �, ��−1 � � (��−1 )
=
� (�� |��−1 )
�(��−1 )
�(�� , ��−1 )
����, �� = �, ��−1 �
=
�(�� , ��−1 )
�(�� = �, �� , ��−1 )
=
�(�� , ��−1 )
= ���� = �|��, ��−1 � = �(�� = �|�� )

(16)

sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh
�(�� = �|�� ) =
�̂�|� =

����, �� =� |��−1 �
� (�� |��−1 )

�̂�|�−1 ⨂��
�′ ��̂�|�−1 ⨂�� �

(17)

(� )
�̂�+1|� = �(��+1 = �|�� )
4

= � �(��+1 = �|�� = �, �� )�(�� = �|�� )
� =1
4

= � �(��+1 = �|�� = �, �� )�̂�|�
� =1
4

(� )
= � ��� �̂�|�
� =1

�̂�+1|�

∗ ̂ (3)
∗ ̂ (1)
⎡�11 ��|� + �11 ��|� ⎤
⎢�∗ �̂(1) + �∗ �̂ (3) ⎥
12 �|�
12 �|�
⎥
=⎢
(2)
∗ ̂ (4) ⎥
∗
⎢�21 �̂�|� + �21
��|�
⎢ ∗ (2)
⎥
∗ (4)
⎣�22 �̂�|� + �22 �̂�|� ⎦

(� )

14

=�

∗
�11
∗
�12

0
0

= ��̂�|�

0
0
∗
�21
∗
�22

(1)
�̂�|� ⎤
⎡
0
⎢�̂ (2) ⎥
0
⎢ �|� ⎥
∗ �
(3)
�21
⎢�̂�|�
⎥
∗
�22
⎢ (4) ⎥
⎣�̂�|� ⎦

∗
�11
∗
�12

0
0

�̂�+� |� = �m �̂�|� .

(18)

Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal
̂
bagi ��|�−1 adalah dengan membuat �̂1|0 sama dengan vektor dari peluang tak
bersyarat � = [�1 �2 �3 �4 ] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu
� = ��
�1 + �2 + �3 + �4 = 1.
Penduga kemungkinan maksimum bagi � diperoleh dengan
memaksimumkan
�

ℒ(�) = � log �(�� |��−1 ; �)
�=1

dengan membuat turunan pertama dari log-likehood terhadap parameter θ sama
dengan nol, maka diperoleh
�̂ 1 = �

∑��=1���1 −

�̂ 2 = �
�� = �

di mana
�

∑��=1��

+

∑��=1[(��

�� 2 = �

∑��=1[�

1
��
�
�� − ��1 − ����� + ��� 2 + ��
1

��� 2

− �̂ 1

(19)

��
+ ��1 − ��� − ��1 − �� ����

)2 (�

(20)

1
��
+ � ) + (��−1 − �̂ 2 )2 (� + � )]

(21)

1
��
+ � + � + �]

(22)

� = ����1 − �� ���� − �� ��−1 � − ������ − �̂ 2 − ����−1 � + ���� − ����−1 + ���̂ 2 ��
�=1
�

� = ����1 − ������ − ����−1 � + ������ − �̂ 1 − �� ��−1 � + ���� − ����−1 + �� �̂ 1 ��
�=1

�

� = ��(�� − �̂ 1 )��(�� − �̂ 1 ) + �(��−1 − �̂ 2 )�
�=1
�

+ (�� − �̂ 2 )�� (��−1 − �̂ 1 ) + � (��−1 − �̂ 2 )��
2

2

� = � ���(�� − �̂ 1 ) − �(��−1 − �̂ 1 )� + ��(�� − �̂ 2 ) − �(��−1 − �̂ 1 )�
�=1

2

+ ��(�� − �̂ 1 ) − �(��−1 − �̂ 2 )�

2

+ ��(�� − �̂ 2 ) − �(��−1 − �̂ 2 )� �.

15
Bukti dapat dilihat pada lampiran 2.
Karena persamaan (19) sampai (22) taklinear, maka untuk mencari penduga
kemungkinan maksimum bagi θ digunakan algoritma iteratif yang merupakan
kasus khusus dari prinsip EM.
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta input data
(�1 , �2 , �3 , … , �� ).
2. Untuk � = 0 dan matriks transisi
� (�) = � (�)
∗
∗
0
0 �11
�11
∗
∗
0 �12 0
�
= � 12 ∗
∗ �,
0 �21 0 �21
∗
∗
0 �22
0 �22
beri nilai awal bagi �� yang dilambangkan dengan �� (� ) = ��̂ 1 , �̂ 2 , ��, �� 2 �.
3. Cari fungsi kerapatan bersyarat bagi �� untuk setiap � = 1,2, … , � dengan cara
���� |�� = 1, ��−1 ; �� (� ) �
⎡
⎤
(� ) �
�
���
|�
=
2,
�
;
�
⎢
⎥
� �
�−1
�� = ⎢
(� ) �⎥
�
���� |�� = 3, ��−1 ; �
⎢
⎥
(� ) �
�
���
|�
=
4,
�
;
�
⎣
⎦
� �
�−1
2
⎡ 1 exp �−��� − �1 − �(��−1 − �1 )� � ⎤
⎢√2��
⎥
2� 2
⎢
2 ⎥
(
)�
−��
−
�
−
�
�
−
�
1
⎢
⎥
�
2
�−1
1
�⎥
2
⎢√2�� exp �
2�
⎥.
=⎢
2
⎢ 1
⎥
(
)�
−��� − �1 − � ��−1 − �2
�
exp �
⎢
⎥
2� 2
⎢√2��
⎥

2
⎢ 1
−��� − �2 − �(��−1 − �2 )� ⎥
⎢
�⎥
exp �
2
2�
√2��
⎣
⎦
4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu t pada
contoh dapat diperoleh melalui
a. Tentukan nilai awal bagi �̂�|�−1 yang dilambangkan dengan �̂1|0 ,
b. Beri nilai awal i = 1,
c. Untuk t = i, cari nilai dari,
���� |��−1 ; �� (� ) �
= �′ ��̂�|�−1 ⨂�� �

= ���� = 1|��−1 ; �� (� ) �
� (� ) �

+���� = 2|��−1 ; �

2

−�(�� − �̂ 1 ) − �(��−1 − �̂ 1 )�
exp �
�
2�� 2
√2���
1

2

−�(�� − �̂ 2 ) − �(��−1 − �̂ 1 )�
exp �
�
2�� 2
√2���
1

16
2

−�(�� − �̂ 1 ) − �(��−1 − �̂ 2 )�
+���� = 1|��−1 ; �� (� ) �
exp �
�
2�� 2
√2���
1

2

−�(�� − �̂ 2 ) − �(��−1 − �̂ 2 )�
+���� = 1|��−1 ; �
exp �
�
2�� 2
√2���
���� = 1|�� ; �� (� ) �
⎡
⎤
��̂�|�−1 ⨂�� �
⎢���� = 2|�� ; �� (� ) �⎥
��|� = ⎢
=
���� = 3|�� ; �� (� ) �⎥ �′ ��̂�|�−1 ⨂�� �
⎢
⎥
⎣���� = 4|�� ; �� (� ) �⎦
����+1 = 1|�� ; �� (� ) �
⎡
⎤
(� ) �
�
⎢����+1 = 2|�� ; �
⎥
= � ⋅ �̂�|�
��+1|� = ⎢
(� ) �⎥
�
����+1 = 3|�� ; �
⎢
⎥
⎣����+1 = 4|�� ; �� (� ) �⎦
� = � + 1.
d. Ulangi mulai dari langkah (c) stop jika t = T.
Lanjutkan ke 5.
5. Misalkan
1
���� = 1|��−1 ; �� (� ) ����� |�� = 1, ��−1 ; �� (� ) �
�=
���� |��−1 ; �� (� ) �
1
�=
���� = 2|��−1 ; �� (� ) ����� |�� = 2, ��−1 ; �� (� ) �
���� |��−1 ; �� (� ) �
1
�=
���� = 3|��−1 ; �� (� ) ����� |�� = 3, ��−1 ; �� (� ) �
���� |��−1 ; �� (� ) �
1
���� = 4|��−1 ; �� (� ) ����� |�� = 4, ��−1 ; �� (� ) �
�=
���� |��−1 ; �� (� ) �
cari nilai dari
1
�̂ 1 = �
∑�=1���1 − ��� − ��1 − �� ��� + ��� 2 + ��
� (� ) �

1

�

× ����1 − ������ − ����−1 � − ������ − �̂ 2 − �� ��−1 �
�=1

�̂ 2 =

+ ���� − ����−1 + ���̂ 2 ��
1

∑��=1 ��

+

��� 2
�

+ ��1 − �� � − ���� − �� 2 ��

× ������ − �� ��−1 + ���̂ 1 � + ��1 − ������ − �� ��−1 �
�=1

+ ������ − �̂ 1 − ����−1 ��

17
�� =

∑��=1[(��−1

1
− �̂ 1 )2 (� + � ) + (��−1 − �̂ 2 )2 (� + � )]
�

× ��(�� − �̂ 1 )��(��−1 − �̂ 1 ) + �(��−1 − �̂ 2 )�
�=1

�2 =

+ (�� − �̂ 2 )�� (��−1 − �̂ 1 ) + � (��−1 − �̂ 2 )��

1
∑��=1 [� + � + � + � ]
�

× � ���(�� − �̂ 1 ) − �(��−1 − �̂ 1 )�
� =1

2

2

+ ��(�� − �̂ 2 ) − � (��−1 − �̂ 1 )�

2

+ ��(�� − �̂ 1 ) − �(��−1 − �̂ 2 )�

2

+ ��(�� − �̂ 2 ) − � (��−1 − �̂ 2 )� �.

6. Cari P yang baru, yaitu
(� )
(� )
(� )
(� )
�̂�|� = �̂�|� ⨀ �� ′ ��̂�+1|� (÷)�̂�+1|� ��
�̂�� =

∑��=2 �(�� = �, ��+1 = �|�� ; �)
∑��=2 �(��+1 = �|�� ; �)

�(��−1 = �|�� = �, �� ; �)
= �(�� = �|�� ; �)� (��−1 = �|�� = �, �� ; �)
≈ �(�� = �|�� ; �)�(��−1 = �|�� = �, �� ; �)
�(�� = �|�� ; �)� (��−1 = �|�� = �, �� ; �)
=
�(�� = �|�� ; �)
�(�� = �|�� ; �)� (��−1 = �|�� ; �)�(�� = �|��−1 = �; �)
=
�(�� = �|�� ; �)
(�
)
(�)
�̂�|� × �̂�−1|�−1 × ���
=
(� )
�̂
�|�

�

�(��−1 = �|�� ; �) = � �(��−1 = �, �� = �|�� ; �)
� =1

�̂�� =

∑��=2

(� )
(�)
���|� ×��� −1|�−1 ×� ��

∑��=2 ∑�
� =1

(� )
���|�

(� )
(�)
���|� ×��� −1|�−1 ×� ��
(� )
��� |�

(Kim 1994)

.

(Hamilton 1996)
7. Untuk � = 1 , ulangi mulai dari langkah 2 stop jika � = � . Gunakan
parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai
tukar rupiah yang akan datang.

18
E��� |S� = �, ��−1 ; �� (�) � = E�����−1 − ���∗−1 � + �� + ���∗ |S� = �, ��−1 ; �� (�) �
∗ � + �� ∗
= ����−1 − ���−1
�
��� = E��� |��−1 ; �� (�) �

= � �� ���� |��−1 ; �� (�) ����
�

= � �� � ��S� = �|��−1 ; �� (�) ����� |S� = �, ��−1 ; �� (�) ����
�

� =1

= � ��|�−1 ⋅ E��� |S� = �, ��−1 ; �� (�) �.
(� )

� =1

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR
AMERIKA DAN KAJIAN NUMERIKNYA
Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar rupiah terhadap dolar
Amerika beserta kajian numeriknya. Namun terlebih dahulu akan dibahas
mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model.
Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan nilai tukar rupiah dan yang terakhir
kajian numeriknya.

Data Input Nilai Tukar Rupiah
Dalam karya ilmiah ini data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai
tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulannya. Data tersebut diambil dari
laman www.rba.gov.au. Data diambil dengan selang waktu antara bulan Juni 1997
hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi (�� ). Data yang diduga
sebanyak 192, data dari Juli 1997 hingga Juni 20013. Grafik data disajikan pada
Gambar 1.

19
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
50

100

150

Gambar 1 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Model yang digunakan adalah model hidden Markov satu waktu
sebelumnya seperti pada hal 10 yaitu:
�� − ���∗ = ����−1 − ���∗−1 � + �� .
Berdasarkan model di atas nilai tukar rupiah saat ini diasumsikan tidak
hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu sebelumnya,
tetapi juga bergantung pada nilai tukar rupiah satu waktu sebelumnya. Pada karya
9182.96
�, � = 0.840756
ilmiah Santoso (2008) nilai awal yang digunakan � = �
9126.66
dan � = 356984. MAPE yang dihasilkan dari nilai awal secara trial and error
yang digunakan sebesar 14.58%. Pada tugas akhir ini akan dibangkitkan nilai awal
yang tepat agar keakuratan pada model meningkat. Keakuratan dianggap baik bila
MAPE < 5%.

Penentuan Nilai Awal untuk Penduga Parameter Model Hidden Markov
Satu Waktu Sebelumnya
Penentuan Nilai Awal �� , �� dan �
Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga
Mei 2013 (��−1 ) dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013 (�� ) .
Kedua bagian data tersebut dicari nilai rataannya. Data pertama didapatkan nilai
rataannya sebesar 9070.89 (rat1) dan data kedua didapatkan nilai rataannya
sebesar 9109.94 (rat2). Nilai awal untuk parameter �1 dan �2 yang digunakan
dibangkitkan menggunakan sebaran di sekitar rataan nilai datanya yaitu
[9000,9200]. Nilai rataan kedua data yang didapatkan kemudian menjadi selang
nilai acuan untuk membangkitkan parameter �1 dan �2 . Pembangkitan nilai awal
dengan satu kali iterasi untuk �1 dan �2 nilai yang digunakan adalah 9124.89 dan
9198.76.

20
Setelah didapatkan nilai rataannya, diplot nilai dari data yang ada dikurangi
dengan nilai rataannya. Nilai yang akan diplot adalah � = �� − ���2 terhadap
� = ��−1 − ���1. Persamaan baru yang didapatkan yaitu
� = −1.31274 × 10−13 + 0.792906�.
(23)

Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang ada dikurangi rataannya.
Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model
yang digunakan sehingga dapat digunakan untuk acuan pembangkitan nilai awal
�. Nilai awal � yang digunakan adalah 0.792906, didapatkan dari persamaan
(23).
Penentuan Nilai Awal P
Sedangkan untuk nilai awal P, dibangkitkan secara acak dari interval
peluangnya [0,1] karena 0 ≤ ��� ≤ 1. Hasil dari satu kali iterasi nilai awal yang
0.87 0 0.87 0
0.13 0 0.13 0
�.
digunakan untuk P adalah �0
0.74 0 0.74
0 0.26 0 0.26
Penentuan Nilai Awal �
Nilai awal untuk � yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai
[100,2000] yang merupakan selang nilai dari standar deviasinya. Standar deviasi
dari data yang digunakan sebesar 1440.26. Hasil dari satu kali iterasi nilai awal
untuk � yang dibangkitkan dan digunakan adalah 1454.
Hasil Progam
Dari bagian sebelumnya nilai awal yang digunakan untuk membangkitkan
dugaan nilai tukar rupiah adalah �1 = 9124.89 , �2 = 9198.76 , ∅ = 0.79 ,

21
0.87 0 0.87 0
0.13 0 0.13 0
� dan � = 1454. Galat nilai dugaan yang ditunjukan
� = �0
0.74 0 0.74
0 0.26 0 0.26
oleh MAPE adalah 4.14%, diperoleh hanya melalui satu kali proses iterasi seperti
yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini model
dianggap baik apabila MAPE < 5%. Hasil dari nilai dugaan yang didapatkan
mendekati nilai tukar rupiahnya, menandakan bahwa hasil yang didapatkan cukup
baik dan lebih akurat dibandingkan dengan hasil akhir dari Santoso (2008) dengan
MAPE sebesar 14.58%. Nilai tukar rupiah dan nilai dugaannya tertera pada
Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 3.

Nilai Sebenarnya

Nilai Dugaan

Gambar 3 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan dan
nilai dugaan yang didapatkan

SIMPULAN
Penentuan nilai awal yang tepat bagi parameter yang digunakan pada model
akan mempengaruhi keakuratan nilai akhir yang didapatkan. Nilai awal yang
digunakan dibangkitkan menggunakan software Mathematica 9.0. Nilai awal yang
didapatkan pada karya ilmiah ini menghasilkan nilai akhir yang baik. Parameter
dan nilai awal yang digunakan adalah �1 = 9124.89, �2 = 9198.76,∅ = 3.94,
0.87
� dan � = 1454. Hasil akhir dianggap baik jika MAPE < 5%. MAPE
�=�
0.75
yang didapatkan sebesar 4.14% lebih baik dibandingkan hasil akhir Santoso
(2008) dengan MAPE sebesar 14.58%.

22

DAFTAR PUSTAKA
Elliot RJ, Aggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models Estimation and
Control. New York (US): Springer-Verlag.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3.
Oxford (GB): Oxford Univ Pr.
Hamilton J D. 1996. Time Series Analysis. New Jersey (US): Princenton Univ Pr.
Hogg RV, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. New
Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs.
Krantz SG. 1999. Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhäuser.
Kim CJ. 1994. Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of
Econometrics 60:1-22.
Mynsbrugge JV. 2010. Bidding strategies using price based unit commitment in a
deregulated power market [tesis]. Belgium (BE): K.U.Leuven.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons.
Royden HL. 1963. Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company.
Santoso DH. 2008. Pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika
menggunakan deret waktu hidden markov satu waktu sebelumnya [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid I. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.
Osborne MJ. 1997. Concave and Convex Function of Many Variables. Canada
(CA): University of Toronto.
Wong E, Hajek B. 1985. Stochastic Processes in Engineering System. New York
(US)