Aplikasi kontrol optimum pada pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali
APLIKASI KONTROL OPTIMUM PADA
PEMANENAN SARDINELLA LEMURU
DI SELAT BALI
RIZAL NURBAYAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Aplikasi Kontrol
Optimum pada Pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Rizal Nurbayan
NIM G54100077
ABSTRAK
RIZAL NURBAYAN. Aplikasi Kontrol Optimum pada Pemanenan Sardinella
lemuru di Selat Bali. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO.
Karya ilmiah ini membahas analisis model matematika tentang sistem
dinamika sumber daya perikanan di suatu wilayah perairan. Wilayah perairan
yang dipertimbangkan terdiri atas dua zona: zona cadangan dan zona
noncadangan, di mana pertumbuhan populasi ikan di setiap zona dinyatakan
dalam bentuk persamaan diferensial taklinear. Kestabilan dari dua buah titik tetap
taknegatif ditentukan dengan menyelesaikan persamaan karakteristik. Titik tetap
tersebut berupa titik saddle dan titik simpul stabil. Selanjutnya, kebijakan
penangkapan ikan yang optimum dianalisis menggunakan prinsip maksimum
Pontryagin sehingga diperoleh kontrol bang-bang dan kontrol singular sebagai
kontrol optimum. Suatu contoh ilustratif diberikan dengan mempertimbangkan
studi kasus penangkapan Sardinella lemuru di Selat Bali. Studi kasus ini
disimulasikan secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat
sehingga diperoleh gambaran tentang dinamika populasi ikan di dua zona di
bawah kendali pemanenan optimum.
Kata kunci: metode Runge-Kutta, prinsip maksimum Pontryagin, titik tetap, zona
cadangan, zona noncadangan
ABSTRACT
RIZAL NURBAYAN. Optimal Control Application on the Harvesting of
Sardinella lemuru in Bali Strait. Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI
KUSNANTO.
This paper studied a mathematical model of fishery resource dynamics in an
aquatic area. The considered area consists of two zones: reserve and unreserve
zones, where growth of fish population on each zone is given by a nonlinear
differential equation. The stability of two nonnegative fixed points are
investigated by solving characteristic equation. The fixed points are saddle and
stable node. More over, an optimal harvesting policy is analyzed by using
Pontryagin maximum principle, from which the bang-bang and singular controls
are found as optimal controls. An illustrative example is provided by considering
the harvesting of Sardinella lemuru in Bali Strait. This case is simulated
numerically by using fourth-order Runge-Kutta method, from which fishery
resource dynamics in two zones under optimal harvesting are illustrated.
Key words: Runge-Kutta method, Pontryagin maximum principle, fixed point,
reserve zone, unreserve zone
APLIKASI KONTROL OPTIMUM PADA
PEMANENAN SARDINELLA LEMURU
DI SELAT BALI
RIZAL NURBAYAN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Aplikasi Kontrol Optimum pada Pemanenan Sardinella lemuru di
Selat Bali
Nama
: Rizal Nurbayan
NIM
: G54100077
Disetujui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2013 ini adalah
permodelan kontrol optimum, dengan judul Aplikasi Kontrol Optimum pada
Pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc dan
Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi serta Bapak Ruhiyat, MSi selaku pembimbing.
Selain itu, penghargaan penulis sampaikan kepada teman-teman Departemen
Matematika, khususnya tahun angkatan 2010 yang telah membantu selama
penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah,
ibu, seluruh keluarga, dan semua pihak yang telah membantu, atas segala doa dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Rizal Nurbayan
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Pertumbuhan Organisme
2
Persamaan Diferensial
3
Titik Tetap
4
Pelinearan
4
Klasifikasi Titik Tetap
5
Prinsip Maksimum Pontryagin
6
Metode Runge-Kutta
7
MODEL MATEMATIKA
7
Model Pertumbuhan Ikan di Zona Cadangan dan Noncadangan
7
Analisis Titik Tetap
8
Kestabilan Titik Tetap
9
Kebijakan Penangkapan Optimum
STUDI KASUS
10
11
Potensi Sardinella lemuru di Selat Bali
11
Algoritma Simulasi Numerik
11
SIMPULAN DAN SARAN
14
Simpulan
14
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
22
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan
2 Bidang solusi populasi ikan di zona cadangan
3 Fungsi switching
12
13
14
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Nilai-nilai parameter simulasi numerik
Kode Matlab solusi numerik model tanpa pemanenan
Kode Matlab solusi numerik model dengan pemanenan
Kode Matlab plot solusi numerik
17
18
19
21
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kegiatan penangkapan dan pembudidayaan ikan telah berlangsung ribuan
bahkan puluhan ribu tahun yang lalu. Dengan demikian, kegiatan perikanan
merupakan proses pembelajaran kolektif dalam kurun waktu yang cukup lama
(Fauzi 2010). Perikanan menjadi aspek yang tidak bisa dipisahkan dari sejarah
peradaban manusia sejak zaman prasejarah, zaman batu, dan zaman modern.
Sejak zaman manusia purba (Homo erectus dan Australophiticus), ikan menjadi
salah satu bahan makanan manusia-manusia purba tersebut. Perikanan menjadi
kegiatan masyarakat setempat untuk memanfaatkan ikan sebagai sumber pangan.
Pada fase selanjutnya, perikanan juga dilakukan pada masa kekaisaran Romawi
kuno, Mesir kuno, dan peradaban Cina (Fauzi 2010).
Pada abad modern ini, kegiatan perikanan semakin berkembang dari
sekedar urusan ekonomi lokal menjadi kegiatan ekonomi global yang
menghasilkan miliaran dolar. Saat ini hasil perikanan telah mengarah pada produk
bernilai tambah. Sebagai contoh pada tahun 2012, neraca perdagangan
menunjukkan bahwa dari sektor perikanan, Indonesia surplus USD 3.52 miliar
atau 81.11% dari total transaksi perdagangan ekspor impor (Hendriyana 2013).
Selama beberapa dekade terakhir, telah dilakukan penelitian mengenai
sumber daya perikanan. Kitabatake (1982) mengembangkan model dinamik untuk
sumber daya perikanan tentang hubungan mangsa-pemangsa berdasarkan data
amatan dari Danau Kasumigaura di Jepang. Ragozin dan Brown (1985)
mempelajari kebijakan penangkapan yang optimum untuk sistem mangsapemangsa. Mangsa tidak memiliki nilai jual dan pemangsa ditangkap secara
selektif. Chaudhuri (1986) mengusulkan sebuah model untuk mempelajari
penangkapan gabungan pada dua spesies competing fish. Chauduri juga berhasil
menunjukkan kesetimbangan bionomik di area yang ikannya boleh ditangkap dan
berhasil menunjukkan adanya kemungkinan terjadinya kepunahan pada salah satu
spesies ikan tersebut (Dubey et al. 2003).
Beberapa literatur di atas membahas model yang mempertimbangkan satu
zona saja, yaitu zona yang ikannya boleh ditangkap (zona noncadangan). Bahasan
dalam literatur-literatur tersebut belum mempertimbangkan zona yang ikannya
tidak boleh ditangkap (zona cadangan). Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini
dibahas zona yang ikannya tidak boleh ditangkap (zona cadangan). Karena ada
dua zona yang dipertimbangkan, maka sistem dinamika yang terjadi adalah
dinamika populasi ikan di dua zona: zona cadangan dan zona noncadangan.
Model yang mempertimbangkan zona cadangan dan zona noncadangan adalah
model yang digagas oleh Dubey et al. (2003). Bahasan tentang simulasi numerik
belum disajikan dalam tulisan Dubey et al. (2003). Oleh karena itu, studi kasus
tentang simulasi numerik pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali menjadi hal
yang menarik untuk dipelajari sebagai suatu contoh ilustratif.
2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, rumusan masalah dalam karya
ilmiah ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana mendeskripsikan model dinamik pertumbuhan ikan di zona
cadangan dan zona noncadangan?
2. Bagaimana menganalisis titik tetap dari model dinamik pertumbuhan ikan di
zona cadangan dan zona noncadangan?
3. Bagaimana kebijakan penangkapan ikan yang memaksimumkan keuntungan
tanpa membahayakan habitatnya?
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang dibuat, tujuan karya ilmiah ini adalah
sebagai berikut:
1. Mendeskripsikan model dinamik pertumbuhan ikan di zona cadangan dan zona
noncadangan.
2. Menganalisis titik tetap dari model dinamik pertumbuhan ikan di zona
cadangan dan zona noncadangan.
3. Mengaplikasikan prinsip maksimum Pontryagin dalam menentukan kebijakan
penangkapan ikan yang memaksimumkan keuntungan tanpa membahayakan
habitatnya.
TINJAUAN PUSTAKA
Model Pertumbuhan Organisme
Proses pemodelan umumnya membutuhkan banyak keahlian, pengalaman,
dan ilmu pengetahuan. Proses ini menetapkan suatu penyederhanaan masalah
yang menggambarkan kejadian nyata. Sering kali di dalamnya terdapat suatu
persamaan diferensial. Metode matematika tertentu digunakan untuk melakukan
proses ini. Penyederhanaan masalah ini disebut model matematika untuk kejadian
nyata (Farlow 1994).
Model paling sederhana untuk menggambarkan pertumbuhan populasi
suatu organisme adalah
, dengan
merupakan populasi pada waktu
dan
adalah laju pertumbuhan. Model
merupakan model
pertumbuhan eksponensial yang memiliki solusi
dengan
merupakan populasi pada saat
Jelas bahwa model pertumbuhan
eksponensial tidak bisa berlaku selamanya (Strogatz 1994).
Efek dari keterbatasan ruang dan sumber daya, sifat biologis populasi, dan
demografi menjadi asumsi yang dipertimbangkan dalam pemodelan. Laju
pertumbuhan per kapita
menurun ketika menjadi cukup besar. Untuk
yang kecil, laju pertumbuhan sama dengan
Akan tetapi, jika populasi lebih
besar dari daya dukung lingkungan
laju pertumbuhan menjadi negatif: laju
3
kematian lebih tinggi daripada laju kelahiran. Sebuah cara yang tepat menurut
ilmu matematika untuk memasukan ide tersebut adalah asumsi bahwa laju
pertumbuhan per kapita
menurun secara linear terhadap . Hal ini menjadi
konsep dasar persamaan logistik
yang pertama kali diajukan
untuk model pertumbuhan populasi manusia oleh Verhulst pada tahun 1838.
Model logistik tersebut memiliki solusi
dan memiliki titik tetap takstabil
serta titik tetap stabil
, artinya
seiring dengan
. Dengan kata lain,
(Strogatz
1994).
Sumber daya alam yang dapat diperbarui memiliki beberapa konsep
pengukuran ketersediaan yang sering digunakan. Salah satu konsep pengukuran
tersebut adalah kapasitas daya dukung (carrying capacity). Pengukuran kapasitas
ini didasarkan pada pemikiran bahwa lingkungan memiliki kapasitas maksimum
untuk mendukung suatu pertumbuhan organisme. Sebagai contoh adalah ikan
dapat tumbuh di kolam secara positif jika daya dukung lingkungannya masih
besar. Namun, pertumbuhan yang terus menerus akan menimbulkan kompetisi
terhadap ruang dan makanan sampai daya dukung lingkungan tidak mampu lagi
mendukung pertumbuhan (Fauzi 2004).
Proses penangkapan ikan di suatu perairan membutuhkan berbagai sarana.
Sarana tersebut merupakan faktor input yang dalam literatur perikanan biasa
disebut sebagai upaya (effort). Upaya adalah indeks dari berbagai input seperti
ekstraksi sumber daya perikanan yang merupakan aktivitas ekonomi dengan
menggunakan input tenaga kerja, kapal, alat tangkap, mesin, bahan bakar, dan
sebagainya. Adapun koefisien kemampuan tangkap ikan (koefisien catchability)
merupakan proporsi stok ikan yang dapat ditangkap oleh satu unit upaya (Fauzi
2004).
Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menghubungkan
fungsi-fungsi yang tidak diketahui, turunan-turunan dari fungsi tersebut, peubah
yang didefinisikan dalam fungsi tersebut, dan konstanta-konstanta tertentu.
Misalkan terdapat persamaan diferensial sebagai berikut:
(1)
dengan merupakan fungsi dari yang turunan-turunan parsial pertamanya
kontinu. Jika pada (1) berupa skalar, maka disebut persamaan diferensial. Jika
pada (1) berupa vektor, maka disebut sistem persamaan diferensial, yaitu terdapat
buah persamaan diferensial dengan buah fungsi yang tidak diketahui dan
merupakan bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan dua. Sistem
persamaan diferensial dengan suatu fungsi
yang tidak bergantung secara
eksplisit terhadap disebut sistem mandiri. Sebaliknya, jika bergantung secara
eksplisit terhadap , maka disebut sistem takmandiri (Farlow 1994).
4
Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear jika fungsi pada (1)
berbentuk linear atau persamaan diferensial ordedikatakan linear bila
berbentuk:
(2)
. fungsi pada (1) berbentuk taklinear, maka disebut persamaan diferensial
Bila
pada (2) merupakan koefisien dari
,...,
taklinear. Fungsi
persamaan diferensial dan
disebut bentuk takhomogen. Jika
bernilai nol,
maka persamaan diferensial disebut homogen. Jika
bernilai taknol, maka
persamaan diferensial disebut takhomogen (Farlow 1994).
Titik Tetap
Titik
dari persamaan (1) disebut vektor state. Titik tersebut berada
dalam bidang fase sistem. Seiring dengan berubahnya nilai
vektor state
bergerak di sepanjang bidang fase. Suatu persamaan aljabar yang menghubungkan
dua peubah dependen dan didefinisikan sebagai sebuah path (trajektori atau
orbit). Berdasarkan pemikiran tersebut, bisa dikatakan bahwa solusi dari suatu
persamaan diferensial adalah vektor state yang bergerak di sepanjang trajektori
dalam bidang fase (Farlow 1994).
Trajektori-trajektori yang paling sederhana adalah trajektori-trajektori
yang menuju ke suatu titik tetap. Suatu titik
dalam bidang fase disebut
titik tetap (fixed point) jika bernilai nol, yaitu ketika =
(Farlow
1994).
Pelinearan
Bagian ini akan menunjukkan teknik linearisasi pada sistem persamaan
diferensial taklinear. Misalkan =
=
dan
adalah titik
tetap yaitu titik yang memberikan
dan
Misalkan
dan
merupakan komponen gangguan dari titik tetap yang
bernilai kecil. Hal yang diperlukan untuk mengetahui apakah gangguan akan
meningkat atau menurun adalah persamaan diferensial bagi dan .
Pertama, tentukan persamaan diferensial bagi . Berikut adalah prosesnya:
(karena adalah suatu konstanta)
(substitusi)
(Deret Taylor)
.
Turunan parsial
dan
(karena
)
merupakan suatu bilangan karena
dievaluasi pada titik tetap
Adapun
merupakan bentuk
kuadratik dari dan . Karena dan bernilai kecil, maka bentuk kuadratik
tersebut bernilai sangat kecil.
Kedua, tentukan persamaan diferensial bagi . Dengan menggunakan cara
yang sama, yaitu seperti cara dalam menentukan persamaan diferensial bagi
diperoleh
Setelah
persamaan
dan
diperoleh, gangguan
dapat dituliskan dalam bentuk:
5
Karena bentuk kuadratik bernilai sangat kecil, maka bisa diabaikan sehingga
diperoleh sistem terlinearisasi:
atau =
tetap
dengan
dan adalah matriks yang dievaluasi pada titik
yang disebut sebagai matriks Jacobi (Strogatz 1994)
Klasifikasi Titik Tetap
Bagian ini akan menerangkan teori untuk menentukan jenis kestabilan titik
tetap suatu sistem persamaan diferensial. Misalkan terdapat dua buah persamaan
diferensial linear sebagai berikut:
=
,
(3)
=
.
Berdasarkan persamaan (3) diperoleh:
.
Nilai eigen
bagi matriks Jacobi ditentukan dari persamaan karakteristik
det
dengan
adalah matriks identitas. Bentuk persamaan
karakteristiknya adalah
(4)
Setelah menyelesaikan bentuk (4), maka diperoleh persamaan
dengan
tr
dan
det
. Kemudian diperoleh pula
(5)
yang merupakan solusi dari persamaan
.
Jika
, maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda. Oleh
karena itu titik tetap merupakan titik saddle. Jika
, nilai eigen dapat berupa
bilangan real dengan tanda yang sama (titik tetap berupa simpul (nodes)) atau
bilangan kompleks conjugate (titik tetap berupa spiral atau center). Nodes
memenuhi
dan spiral memenuhi
. Stabilitas nodes dan
spiral ditentukan oleh nilai . Ketika nilai
, kedua nilai eigen merupakan
bilangan real negatif, jadi titik tetap adalah titik tetap stabil. Spiral dan nodes
takstabil memiliki nilai
(Strogatz 1994).
6
Prinsip Maksimum Pontryagin
Prinsip ini merupakan cara untuk menemukan suatu vektor kontrol
yang
yang kontinu dan
merupakan suatu vektor state padanannya yang dapat diturunkan serta
sehingga memaksimumkan
didefinisikan pada interval waktu tertentu
fungsional objektif
dengan kendala persamaan diferensial
,
dan kondisi awal (initial conditions)
,
salah satu kondisi akhir (terminal conditions) sebagai berikut:
,
bebas
dan peubah kontrol
dengan
merupakan suatu himpunan yang
ditetapkan dalam
Diasumsikan bahwa
dan
adalah
fungsi-fungsi kontinu untuk setiap
dan
(Kamien dan
Schwartz 2012).
Teorema. Agar
,
keberadaan
suatu
menjadi optimum untuk masalah di atas, diperlukan
konstanta
dan
fungsi-fungsi
kontinu
di mana untuk setiap
terdapat
sehingga
untuk
setiap
dipenuhi
dengan fungsi hamilton
didefinisikan sebagai berikut:
kecuali pada titik-titik diskontinuitas
,
Selanjutnya
atau
dan akhirnya salah satu kondisi transversalitas di bawah ini terpenuhi:
tidak dapat ditentukan,
,
(=0 jika
)
,
.
Prinsip maksimum Pontryagin memiliki kajian tentang kontrol bang-bang
dan kontrol singular. Jika berbatas, yaitu
dan linear terhadap
maka kontrol optimum merupakan kontrol bang-bang. Jika
maka
kontrol optimum merupakan kontrol singular. Dengan demikian, kontrol
optimumnya adalah (Kamien dan Schwartz 2012):
koefisien dari
(6)
koefisien dari
7
Metode Runge-Kutta
Metode Runge-Kutta adalah alternatif dari metode Taylor. Metode ini
memiliki ketelitian yang tinggi tanpa membutuhkan perhitungan turunan.
Perhatikan masalah nilai awal berikut:
dengan merupakan fungsi skalar atau fungsi vektor yang belum diketahui dan
bergantung pada
Untuk suatu
yang disebut riap (increment),
didefinisikan untuk
dan titik
terdapat nilai
yang diperoleh melalui formula
aproksimasi
(Farlow 1994):
dengan
.
MODEL MATEMATIKA
Model Pertumbuhan Ikan di Zona Cadangan dan Noncadangan
Sumber daya perikanan merupakan sumber daya milik bersama (common
resources) dan bersifat akses terbuka (open access) sehingga semua lapisan
masyarakat berhak memanfaatkannya. Hal ini bisa memicu eksploitasi secara
besar-besaran dan tidak terkontrol (Fauzi 2004). Oleh sebab itu, perlu adanya
upaya-upaya untuk mencegah kondisi tersebut. Salah satunya dengan membuat
peraturan tentang wilayah pemanfaatan ruang laut.
Kegiatan pemanfaatan ruang laut memiliki beberapa aturan tipologi, salah
satunya adalah tentang adanya zona preservasi. Zona preservasi adalah zona
tertutup untuk umum, tidak ada aktivitas pengambilan sumber daya yang
diizinkan. Setiap aktivitas yang ada di zona ini harus mendapatkan izin. Selain itu,
ada juga zona konservasi, yaitu zona yang melakukan perlindungan dan
konservasi terhadap sumber daya tertentu serta mengizinkan kegiatan
pengambilan sumber daya dengan tetap memperhatikan keberlanjutan
(sustainability) dari sumber daya tersebut (Pamungkas 2010).
Pemodelan ekosistem perairan yang dibahas adalah model perikanan yang
mempertimbangkan aturan ruang laut di atas. Misalkan suatu ruang laut tertentu
didefinisikan terdiri atas zona cadangan dan zona noncadangan. Kemudian ada
aturan bahwa penangkapan ikan di zona noncadangan diperbolehkan secara
terbuka. Sebaliknya, penangkapan ikan di zona cadangan tidak diperbolehkan.
Diasumsikan bahwa pertumbuhan populasi ikan di setiap zona mengikuti model
logistik. Dengan demikian, dinamika populasi ikan di zona cadangan dan zona
8
noncadangan (model tanpa pemanenan) dapat disajikan dalam bentuk sebagai
berikut (Dubey et al. 2003):
(7)
Keterangan:
: populasi ikan (ton) di zona noncadangan pada waktu (tahun),
: populasi ikan (ton) di zona cadangan pada waktu (tahun),
: laju pertumbuhan populasi ikan di zona noncadangan ( per tahun),
: laju pertumbuhan populasi ikan di zona cadangan ( per tahun),
: laju migrasi ikan dari zona noncadangan ke zona cadangan ( per tahun),
: laju migrasi ikan dari zona cadangan ke zona noncadangan ( per tahun),
: daya dukung lingkungan di zona noncadangan (ton),
: daya dukung lingkungan di zona cadangan (ton).
Asumsi yang digunakan pada sistem (7) adalah sebagai berikut:
1. Parameter
dan diasumsikan sebagai konstanta positif.
2. Jika tidak ada migrasi populasi ikan dari zona cadangan ke zona noncadangan
) dan
, maka < 0. Ketika < 0 berarti laju pertumbuhan
populasi ikan di zona noncadangan bernilai negatif. Hal tersebut tidak mungkin
terjadi pada suatu populasi makhluk hidup yang mengikuti model logistik.
Oleh sebab itu, diasumsikan
.
(8)
3. Jika tidak ada migrasi populasi ikan dari zona noncadangan ke zona cadangan
(
) dan
, maka < 0. Ketika < 0 berarti laju pertumbuhan
populasi ikan di zona cadangan bernilai negatif. Hal tersebut tidak mungkin
terjadi pada suatu populasi makhluk hidup yang mengikuti model logistik.
Oleh sebab itu, asumsi yang digunakan agar kondisi tersebut tidak terjadi
adalah
.
(9)
Analisis Titik Tetap
Mencari titik tetap dari sistem (7) berarti sama saja dengan menyelesaikan
bentuk persamaan
Sistem (7) memiliki titik tetap taknegatif
dan
. Berikut merupakan langkah-langkah untuk memperoleh
dan
yang positif:
1. Ketika
dan
sistem (7) dapat dituliskan dalam bentuk:
maka
maka
2. Persamaan (10) memberikan nilai y sebagai berikut:
(10)
9
(11)
3. Menyubstitusikan nilai y dari persamaan (11) ke persamaan (10) disertai
dengan sedikit proses aljabar menghasilkan polinomial dalam bentuk x:
4. Jika dimisalkan
maka polinomial pada langkah tiga menjadi
5. Agar persamaan
memiliki solusi positif
.
, maka harus dipenuhi:
, dan
.
(12)
6. Setelah nilai
diperoleh dari langkah lima, nilai
dapat dihitung dari
persamaan (11). Agar nilai positif maka harus dipenuhi kondisi:
.
(13)
Kestabilan Titik Tetap
Jenis kestabilan titik tetap dapat diperoleh dengan cara menyelesaikan
persamaan karakteristik det
dengan merupakan matriks Jacobi
yang dievaluasi pada setiap titik tetap dan merupakan matriks identitas, serta
adalah nilai eigen. Matriks Jacobi dari sistem (7) yaitu:
10
Sekarang akan diperiksa kestabilan dari titik tetap taknegatif
dan
Ketika matriks Jacobi dievaluasi pada titik
diperoleh persamaan
karakteristik dalam bentuk:
(14)
.
Berdasarkan (14) dan (5), diperoleh
(karena (8) dan (9))
(karena (12)), maka
adalah titik saddle.
dan
Dengan menggunakan cara yang sama, ketika
dievaluasikan terhadap
matriks Jacobi , diperoleh persamaan karakteristik dalam bentuk:
(15)
dan
Berdasarkan (15) dan (5), diperoleh
diperoleh
, maka
adalah simpul stabil.
Kebijakan Penangkapan Optimum
Prinsip maksimum Pontryagin merupakan salah satu konsep yang bisa
digunakan dalam menentukan kebijakan penangkapan ikan yang optimum. Prinsip
ini diaplikasikan pada model pemanenan ikan yang digagas oleh Dubey et al.
(2003):
(16)
dengan merupakan total upaya penangkapan ikan di zona noncadangan (trip per
tahun) pada tahun dan merupakan koefisien catchability populasi ikan di zona
noncadangan (% per trip). Nilai sekarang (present value) dari pendapatan bersih
dengan waktu kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk fungsional sebagai
berikut:
dengan merupakan tingkat diskonto kontinu tahunan (% per tahun). Kemudian
bahasan sekarang adalah memaksimumkan fungsional
dengan kendala
persamaan diferensial (16). Adapun kendala peubah kontrolnya yaitu kendala
peubah kontrol berbatas, dengan batasan
Dengan demikian, fungsi hamiltonnya adalah:
=
=
11
Fungsi hamilton linear terhadap peubah kontrol
sehingga
Kondisi tersebut merupakan syarat perlu kontrol singular
dengan
batasan
Berdasarkan (6), kontrol optimum dari kebijakan
penangkapan ikan yang optimum adalah sebagai berikut:
(17)
dengan
disebut sebagai fungsi switching.
STUDI KASUS
Potensi Sardinella lemuru di Selat Bali
Perairan Selat Bali berbentuk corong dengan lebar bagian sebelah utara
kira-kira 2.5 km dan bagian selatan kira-kira 55 km. Luas perairan Selat Bali kirakira 2,500 km2. Perairan ini cenderung dipengaruhi oleh massa air dari Samudra
Indonesia dibanding oleh massa air dari Laut Flores karena bentuknya seperti
corong yang menghadap ke selatan. Berdasarkan karakteristik oseanografis dan
sumber daya ikannya, perairan laut Selat Bali merupakan daerah ruaya dari ikan
lemuru. Oleh karena itu, perikanan lemuru di Selat Bali dinamakan Sardinella
lemuru yang sangat spesifik dan satu-satunya di Indonesia (Setyohadi 2009).
Ditinjau dari segi lingkungan, di perairan Selat Bali terjadi proses
penaikan air pada musim timur sehingga perairan ini menjadi kaya akan bahan
makanan yang sangat dibutuhkan oleh ikan lemuru. Jenis ikan lemuru ini biasanya
mendiami daerah-daerah yang mengalami proses penaikan air sehingga dapat
mencapai biomassa yang tinggi. Oleh karena itu, ikan lemuru sangat bergantung
pada perubahan lingkungan perairan (Setyohadi 2009).
Algoritma Simulasi Numerik
Simulasi numerik yang dilakukan adalah aplikasi kontrol optimum pada
pemanenan ikan lemuru (Sardinella lemuru) yang dijelaskan dalam literatur di
atas. Simulasi tersebut melibatkan seperangkat persamaan diferensial di bawah
ini:
12
Selain itu, digunakan pula nilai-nilai parameter (Lampiran 1) dari beberapa
sumber pustaka dan nilai-nilai parameter hipotetik tertentu yang dipilih sehingga
memenuhi beberapa asumsi yang digunakan, yaitu asumsi (8), (9), (12), dan (13).
Metode yang dipakai dalam menyelesaikan persamaan diferensial adalah
metode Runge-Kutta orde empat. Berikut ini adalah algoritmanya (Farlow 1994):
1. DEF
= (definisikan fungsi
)
2. INPUT “masukan nilai awal and ”;
3. INPUT “masukan step size dan nilai maksimum dari ”; ,
;
4. FOR i = 1 TO STEP
PRINT
NEXT
END.
Berikut ini adalah hasil simulasi numerik yang diperoleh:
Gambar 1 Bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan
13
Gambar 1 menunjukkan bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan
. Terdapat dua buah solusi yang dipelajari, yaitu solusi populasi ikan tanpa
pemanenan dan solusi populasi ikan dengan pemanenan. Berdasarkan Gambar 1,
dapat dilihat bahwa solusi populasi ikan tanpa pemanenan (kurva berwarna biru)
konvergen ke suatu nilai di atas daya dukung lingkungan (garis putus-putus
berwarna merah). Secara biologis kondisi tersebut mengartikan bahwa lingkungan
tidak mampu mendukung pertumbuhan secara optimal. Oleh sebab itu, upaya
pemanenan diperlukan untuk mencegah terjadinya kondisi tersebut. Sebaliknya,
solusi populasi ikan dengan pemanenan (kurva berwarna hijau) konvergen ke
suatu nilai di bawah daya dukung lingkungan. Secara biologis kondisi tersebut
mengartikan bahwa lingkungan masih mampu mendukung pertumbuhan secara
optimal.
Gambar 2 Bidang solusi populasi ikan di zona cadangan
Gambar 2 menunjukkan bidang solusi populasi ikan di zona cadangan
.
Terdapat dua buah solusi yang dipelajari, yaitu solusi populasi ikan tanpa
pemanenan dan solusi populasi ikan dengan pemanenan. Berdasarkan Gambar 2,
dapat dilihat bahwa solusi populasi ikan tanpa pemanenan (kurva berwarna biru)
dan solusi populasi ikan dengan pemanenan (kurva berwarna hijau) konvergen ke
suatu nilai di bawah daya dukung lingkungan. Hal tersebut menunjukkan bahwa
secara biologis lingkungan mampu mendukung pertumbuhan secara optimal.
Selain itu, dapat dilihat pula bahwa solusi populasi ikan dengan pemanenan
(kurva berwarna hijau) berada di bawah solusi populasi ikan tanpa pemanenan
(kurva berwarna biru). Secara matematis hal tersebut terjadi akibat pengaruh tidak
langsung dari pemanenan ikan di zona noncadangan.
14
Gambar 3 Fungsi switching
Gambar 3 adalah kurva dari fungsi switching yang merupakan koefisien
dari peubah kontrol (berdasarkan (6)). Fungsi ini digunakan untuk menentukan
interval waktu dalam skema pemanenan. Berdasarkan (17), ketika fungsi
switching bernilai positif maka dilakukan upaya pemanenan sebesar
.
Sebaliknya, ketika fungsi switching bernilai negatif maka pemanenan adalah
sebesar nol (tidak ada upaya pemanenan).
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Karya ilmiah ini telah membahas dan menganalisis model matematika
tentang sistem dinamika sumber daya perikanan yang terdiri atas dua zona: zona
cadangan dan zona noncadangan. Berdasarkan hasil simulasi numerik, model
telah mampu menggambarkan dinamika populasi ikan di dua zona tersebut.
Berdasarkan asumsi dan batasan nilai parameter, telah dijelaskan bahwa model
matematika tentang sistem dinamika sumber daya perikanan yang terdiri atas dua
zona memiliki dua buah titik tetap taknegatif. Titik tetap tersebut berupa titik
saddle dan simpul stabil.
Kebijakan penangkapan ikan yang optimum telah ditentukan
menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. Solusi populasi ikan di zona
noncadangan
solusi populasi ikan di zona cadangan
serta fungsi
switching diselesaikan secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat. Melalui simulasi numerik, solusi populasi ikan di zona noncadangan
dan solusi populasi ikan di zona cadangan
ditentukan pada dua kondisi yang
berbeda, yaitu pada kondisi tanpa pemanenan serta kondisi dengan pemanenan.
15
Dapat disimpulkan bahwa pada studi kasus simulasi numerik potensi Sardinella
lemuru di Selat Bali, perlu dilakukan upaya pemanenan di zona noncadangan agar
populasi ikan tidak melebihi daya dukung lingkungan. Selanjutnya, penentuan
waktu pemanenan tersebut ditentukan berdasarkan nilai fungsi switching
Saran
Bahasan tentang simulasi numerik berkaitan erat dengan beberapa
parameter dalam model. Karya ilmiah ini menggunakan nilai-nilai parameter
tertentu dari sumber pustaka. Selain itu, digunakan pula nilai-nilai parameter yang
ditentukan secara hipotetik. Nilai parameter hipotetik tersebut jelas kurang bisa
menggambarkan kondisi yang sebenarnya. Oleh sebab itu, jika ingin memperoleh
hasil yang akurat dalam menggambarkan keadaan yang sebenarnya, sebaiknya
dipilih objek simulasi yang lebih tepat dan tanpa menggunakan nilai-nilai
parameter yang hipotetik.
DAFTAR PUSTAKA
Chaudhuri K. 1986. A bioeconomic model of harvesting a multispecies fishery. J
Ecological Modelling. 32(4):267-279.doi:10.1016/0304-3800(86)90091-8.
Chevny AA. 2013. Ikan lemuru terbatas, produksi pengalengan ikan turun.
[diunduh 2014 Apr 3]. Tersedia pada:
http://m.bisnis.com/industri/read/20131111/99/185702/ikan-lemuru-terbatasproduksi-industri-pengalengan-ikan-turun.
Dubey B, Chandra P, and Sinha P. 2003. A model for fishery resource with
reserve area. J Nonlinear Analysis: Real World Applications. 4:625637.doi:10.1016/S1468-1218(02)00082-2.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Aplication.
Singapore (SG): McGraw-Hill Book Co.
Fauzi A. 2004. Ekonomi Sumber Daya Alam dan Lingkungan. Jakarta (ID): PT
Gramedia Pustaka Utama.
Fauzi A. 2010. Ekonomi Perikanan. Jakarta (ID): PT Gramedia Pustaka Utama.
Hendriyana A. 2013. Strategi ekonomi biru untuk tingkatkan produksi perikanan
dan
kelautan.
[diunduh
2014
Mei
1].
Tersedia
pada:
http://www.unpad.ac.id/2013/10/strategi-ekonomi-biru-untuk-tingkatkanproduksi-perikanan-dan-kelautan/.
Kamien MI, and Schwartz NL. 2012. Dynamic Optimization: The Calculus of
Variations and Control Optimal in Economics and Management. Ed ke-2.
Amsterdam (NL): Elsevier Science B. V.
Kitabatake Y. 1982. A dynamic predator - prey model for fishery resources: a case
of Lake Kasumigaura. J Environment and Planning A. 14(2):225-235.
doi:10.1068/a140225.
Pamungkas A. 2010. Integrasi perencanaan konvensional dengan perencanaan
pesisir: bade kamana ?3. J Mitra Bahari. 4(2):42-54.
16
Ragozin DL, and Brown G. 1985. Harvest policies and nonmarket valuation in a
predator-prey system. J Environmental Economics and Management.
12(2):155-168.doi:10.1016/0095-0696(85)90025-7.
Setyohadi D. 2009. Studi potensi dan dinamika stok ikan lemuru (Sardinella
lemuru) di selat bali serta alternatif penangkapannya. J Perikanan. 11(1):78-86.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynmics and Chaos. Massachusetts (US): Perseus
Books Publishing, L.L.C.
Wagiantoro FA. 2014. Analisis Bioekonomi untuk Pengelolaan Sumber Daya
Ikan Tembang (Sardinella fimbriata) yang Didaratkan di TPI Blanakan,
Subang, Jawa Barat [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
17
Lampiran 1 Nilai-nilai parameter simulasi numerik
No.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Parameter
Nilai
50
65
20
25
0.00456
416,304.4
450,000
5,000,000
744,456
8
Satuan
per tahun
per tahun
per tahun
per tahun
% per trip
ton
ton
Rp/ton
Rp/trip
per tahun
ton
trip per tahun
Pustaka
(Setyohadi 2009)
Hipotetik
Hipotetik
Hipotetik
(Setyohadi 2009)
(Setyohadi 2009)
Hipotetik
(Chevny 2013)
(Wagiantoro 2014)
(Fauzi 2010)
Hipotetik
Hipotetik
18
Lampiran 2 Kode Matlab solusi numerik model tanpa pemanenan
Function[X,Y,t]=fish_nocontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,X0,Y0,t0,tf,n)
h
= (tf-t0)/n;
X
= zeros(1,n+1);
Y
= zeros(1,n+1);
X(1) = X0;
Y(1) = Y0;
t = linspace(t0,tf,n+1);
for i = 1:n
n11 = phi*X(i)*(1-X(i)/K)-r1*X(i)+r2*Y(i);
n12 = phi*(X(i)+h*n11/2)*(1-(X(i)+h*n11/2)/K)
-r1*(X(i)+h*n11/2)+r2*(Y(i)+h*n11/2);
n13 = phi*(X(i)+h*n12/2)*(1-(X(i)+h*n12/2)/K)
-r1*(X(i)+h*n12/2)+r2*(Y(i)+h*n12/2);
n14 = phi*(X(i)+h*n13)*(1-(X(i)+h*n13)/K)
-r1*(X(i)+h*n13)+r2*(Y(i)+h*n13);
n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6;
n21 = theta*Y(i)*(1-Y(i)/L)+r1*X(i)-r2*Y(i);
n22 = theta*(Y(i)+h*n21/2)*(1-(Y(i)+h*n21/2)/L)
+r1*(X(i)+h*n21/2)-r2*(Y(i)+h*n21/2);
n23 = theta*(Y(i)+h*n22/2)*(1(Y(i)+h*n22/2)/L)
+r1*(X(i)+h*n22/2)-r2*(Y(i)+h*n22/2);
n24 = theta*(Y(i)+h*n23)*(1-(Y(i)+h*n23)/L)
+r1*(X(i)+h*n23)-r2*(Y(i)+h*n23);
n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6;
X(i+1) = X(i) + h*n1;
Y(i+1) = Y(i) + h*n2;
end
19
Lampiran 3 Kode Matlab solusi numerik model dengan pemanenan
Function [X,Y,gamma1,gamma2,E,t,tau] =
fish_withcontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,p,q,c,d,Emax,Emin,X0,Y0,t0,tf
,n)
tol
error
h
t
X
Y
gamma1
gamma2
=
=
=
=
=
=
=
=
1e-6;
tol + 1;
(tf-t0)/n;
linspace(t0,tf,n+1);
zeros(1,n+1);
zeros(1,n+1);
zeros(1,n+1);
zeros(1,n+1);
X(1)
Y(1)
= X0;
= Y0;
E
E1
E1(1)
= zeros(1,n+1)+1;
= zeros(1,n+1);
= Emax;
while(error > tol)
oldE = E;
for i = 1:n
n11 = phi*X(i)*(1-X(i)/K)-r1*X(i)+r2*Y(i)-q*E(i)*X(i);
n12 = phi*(X(i)+h*n11/2)*(1-(X(i)+h*n11/2)/K)
-r1*(X(i)+h*n11/2)+r2*(Y(i)+h*n11/2)-q*E(i)*(X(i)+h*n11/2);
n13 = phi*(X(i)+h*n12/2)*(1-(X(i)+h*n12/2)/K)
-r1*(X(i)+h*n12/2)+r2*(Y(i)+h*n12/2)-q*E(i)*(X(i)+h*n12/2);
n14 = phi*(X(i)+h*n13)*(1-(X(i)+h*n13)/K)
-r1*(X(i)+h*n13)+r2*(Y(i)+h*n13)-q*E(i)*(X(i)+h*n13);
n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6;
n21 = theta*Y(i)*(1-Y(i)/L)+r1*X(i)-r2*Y(i);
n22 = theta*(Y(i)+h*n21/2)*(1-(Y(i)+h*n21/2)/L)
+r1*(X(i)+h*n21/2)-r2*(Y(i)+h*n21/2);
n23 = theta*(Y(i)+h*n22/2)*(1-(Y(i)+h*n22/2)/L)
+r1*(X(i)+h*n22/2)-r2*(Y(i)+h*n22/2);
n24 = theta*(Y(i)+h*n23)*(1-(Y(i)+h*n23)/L)
+r1*(X(i)+h*n23)-r2*(Y(i)+h*n23);
n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6;
X(i+1) = X(i) + h*n1;
Y(i+1) = Y(i) + h*n2;
end
for i = 1:n
j = (n+1)-i;
n11 = -exp(-d*t(j+1))*p*q*E(j+1)-gamma1(j+1)
*(phi- 2*phi*X(j+1)/K-r1-q*E(j+1))-r1*gamma2(j+1);
n12 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n11/2)
*(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n11/2)/K-r1- q*E(j+1))
-r1*(gamma2(j+1)+h*n11/2);
20
n13 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n12/2)
*(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n12/2)/K-r1-q*E(j+1))
-r1*(gamma2(j+1)+h*n12/2);
n12 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n13)
*(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n13)/K-r1-q*E(j+1))
-r1*(gamma2(j+1)+h*n13);
n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6;
n21 = -r2*gamma1(j+1)-gamma2(j+1)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2);
n22 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n21/2)
-(gamma2(j+1)+h*n21/2)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2);
n23 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n22/2)
-(gamma2(j+1)+h*n22/2)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2);
n24 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n23)
-(gamma2(j+1)+h*n23)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2);
n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6;
gamma1(j) = gamma1(j+1) - h*n1;
gamma2(j) = gamma2(j+1) - h*n2;
end
tau = exp(-d*t).*(p*q*X-c)-q*gamma1.*X;
for i = 2:n+1
if tau(i) > 0
E1(i) = Emax;
elseif tau(i) == 0
E1(i) = (Emax-Emin)/2;
else
E1(i) = Emin;
end
end
E = (E1+oldE)/2;
error = sum(abs(oldE-E))
end
21
Lampiran 4 Kode Matlab plot solusi numerik
close all
clear all
phi
theta
r1
r2
K
L
p
q
c
d
Emin
Emax
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0.5;
0.65;
0.20;
0.25;
416304.4;
450000;
5000000;
0.0000456;
744456;
0.08;
0;
1970;
t0 = 0; tf = 50; n = 10000;
X0 = 7500;
Y0 = 9000;
[X,Y] = fish_nocontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,X0,Y0,t0,tf,n);
[Xc,Yc,gamma1,gamma2,E,t,tau] =
fish_withcontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,p,q,c,d,Emax,Emin,X0,Y0,t0,tf
,n);
plot(t,X,t,Xc,t,K*ones(1,n+1),'--','LineWidth',2); title('Populasi
Ikan di Zona Noncadangan'); legend('solusi populasi ikan tanpa
pemanenan','solusi populasi ikan dengan pemanenan',4);
grid; xlabel('tahun'); ylabel('jumlah (ton)');axis([t0 tf 0
500000]);
figure;
plot(t,Y,t,Yc,t,L*ones(1,n+1),'--','LineWidth',2); title('Populasi
Ikan di Zona Cadangan'); legend('solusi populasi ikan tanpa
pemanenan','solusi populasi ikan dengan pemanenan',4);
grid; xlabel('tahun'); ylabel('jumlah (ton)'); axis([t0 tf 0
500000]);
figure;
plot(t,E,'LineWidth',2); title('Kontrol Optimum (E)'); grid;
xlabel('tahun');
figure;
plot(t,gamma1,t,gamma2,'LineWidth',2); grid; title('Fungsi Adjoin
(\gamma)'); legend('\gamma_1','\gamma_2');
figure;
plot(t,tau,'LineWidth',2); title('Fungsi Switching (\tau)'); grid;
xlabel('tahun'); ylabel('\tau');
22
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Garut pada tanggal 1 Januari 1992 dari ayah Saripudin
dan ibu Wowon Nurhaida. Penulis adalah putra kedua dari lima bersaudara. Tahun
2010 penulis lulus SMA Negeri 1 Garut dan pada tahun yang sama penulis lulus
seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahun Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengikuti organisasi yaitu
International Association of Agricultural and Related Science (IAAS) Local
Committee (LC) IPB divisi Science and Technology. Penulis juga pernah menjadi
penerima Beasiswa Bantuan Belajar Pemerintah Provinsi Jawa Barat pada tahun
2013. Selain itu, penulis juga pernah menjadi juara ke-1 Kompetisi Statistika
Dasar IPB tahun 2013.
PEMANENAN SARDINELLA LEMURU
DI SELAT BALI
RIZAL NURBAYAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Aplikasi Kontrol
Optimum pada Pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Rizal Nurbayan
NIM G54100077
ABSTRAK
RIZAL NURBAYAN. Aplikasi Kontrol Optimum pada Pemanenan Sardinella
lemuru di Selat Bali. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO.
Karya ilmiah ini membahas analisis model matematika tentang sistem
dinamika sumber daya perikanan di suatu wilayah perairan. Wilayah perairan
yang dipertimbangkan terdiri atas dua zona: zona cadangan dan zona
noncadangan, di mana pertumbuhan populasi ikan di setiap zona dinyatakan
dalam bentuk persamaan diferensial taklinear. Kestabilan dari dua buah titik tetap
taknegatif ditentukan dengan menyelesaikan persamaan karakteristik. Titik tetap
tersebut berupa titik saddle dan titik simpul stabil. Selanjutnya, kebijakan
penangkapan ikan yang optimum dianalisis menggunakan prinsip maksimum
Pontryagin sehingga diperoleh kontrol bang-bang dan kontrol singular sebagai
kontrol optimum. Suatu contoh ilustratif diberikan dengan mempertimbangkan
studi kasus penangkapan Sardinella lemuru di Selat Bali. Studi kasus ini
disimulasikan secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat
sehingga diperoleh gambaran tentang dinamika populasi ikan di dua zona di
bawah kendali pemanenan optimum.
Kata kunci: metode Runge-Kutta, prinsip maksimum Pontryagin, titik tetap, zona
cadangan, zona noncadangan
ABSTRACT
RIZAL NURBAYAN. Optimal Control Application on the Harvesting of
Sardinella lemuru in Bali Strait. Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI
KUSNANTO.
This paper studied a mathematical model of fishery resource dynamics in an
aquatic area. The considered area consists of two zones: reserve and unreserve
zones, where growth of fish population on each zone is given by a nonlinear
differential equation. The stability of two nonnegative fixed points are
investigated by solving characteristic equation. The fixed points are saddle and
stable node. More over, an optimal harvesting policy is analyzed by using
Pontryagin maximum principle, from which the bang-bang and singular controls
are found as optimal controls. An illustrative example is provided by considering
the harvesting of Sardinella lemuru in Bali Strait. This case is simulated
numerically by using fourth-order Runge-Kutta method, from which fishery
resource dynamics in two zones under optimal harvesting are illustrated.
Key words: Runge-Kutta method, Pontryagin maximum principle, fixed point,
reserve zone, unreserve zone
APLIKASI KONTROL OPTIMUM PADA
PEMANENAN SARDINELLA LEMURU
DI SELAT BALI
RIZAL NURBAYAN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Aplikasi Kontrol Optimum pada Pemanenan Sardinella lemuru di
Selat Bali
Nama
: Rizal Nurbayan
NIM
: G54100077
Disetujui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2013 ini adalah
permodelan kontrol optimum, dengan judul Aplikasi Kontrol Optimum pada
Pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc dan
Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi serta Bapak Ruhiyat, MSi selaku pembimbing.
Selain itu, penghargaan penulis sampaikan kepada teman-teman Departemen
Matematika, khususnya tahun angkatan 2010 yang telah membantu selama
penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah,
ibu, seluruh keluarga, dan semua pihak yang telah membantu, atas segala doa dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Rizal Nurbayan
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Pertumbuhan Organisme
2
Persamaan Diferensial
3
Titik Tetap
4
Pelinearan
4
Klasifikasi Titik Tetap
5
Prinsip Maksimum Pontryagin
6
Metode Runge-Kutta
7
MODEL MATEMATIKA
7
Model Pertumbuhan Ikan di Zona Cadangan dan Noncadangan
7
Analisis Titik Tetap
8
Kestabilan Titik Tetap
9
Kebijakan Penangkapan Optimum
STUDI KASUS
10
11
Potensi Sardinella lemuru di Selat Bali
11
Algoritma Simulasi Numerik
11
SIMPULAN DAN SARAN
14
Simpulan
14
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
22
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan
2 Bidang solusi populasi ikan di zona cadangan
3 Fungsi switching
12
13
14
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Nilai-nilai parameter simulasi numerik
Kode Matlab solusi numerik model tanpa pemanenan
Kode Matlab solusi numerik model dengan pemanenan
Kode Matlab plot solusi numerik
17
18
19
21
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kegiatan penangkapan dan pembudidayaan ikan telah berlangsung ribuan
bahkan puluhan ribu tahun yang lalu. Dengan demikian, kegiatan perikanan
merupakan proses pembelajaran kolektif dalam kurun waktu yang cukup lama
(Fauzi 2010). Perikanan menjadi aspek yang tidak bisa dipisahkan dari sejarah
peradaban manusia sejak zaman prasejarah, zaman batu, dan zaman modern.
Sejak zaman manusia purba (Homo erectus dan Australophiticus), ikan menjadi
salah satu bahan makanan manusia-manusia purba tersebut. Perikanan menjadi
kegiatan masyarakat setempat untuk memanfaatkan ikan sebagai sumber pangan.
Pada fase selanjutnya, perikanan juga dilakukan pada masa kekaisaran Romawi
kuno, Mesir kuno, dan peradaban Cina (Fauzi 2010).
Pada abad modern ini, kegiatan perikanan semakin berkembang dari
sekedar urusan ekonomi lokal menjadi kegiatan ekonomi global yang
menghasilkan miliaran dolar. Saat ini hasil perikanan telah mengarah pada produk
bernilai tambah. Sebagai contoh pada tahun 2012, neraca perdagangan
menunjukkan bahwa dari sektor perikanan, Indonesia surplus USD 3.52 miliar
atau 81.11% dari total transaksi perdagangan ekspor impor (Hendriyana 2013).
Selama beberapa dekade terakhir, telah dilakukan penelitian mengenai
sumber daya perikanan. Kitabatake (1982) mengembangkan model dinamik untuk
sumber daya perikanan tentang hubungan mangsa-pemangsa berdasarkan data
amatan dari Danau Kasumigaura di Jepang. Ragozin dan Brown (1985)
mempelajari kebijakan penangkapan yang optimum untuk sistem mangsapemangsa. Mangsa tidak memiliki nilai jual dan pemangsa ditangkap secara
selektif. Chaudhuri (1986) mengusulkan sebuah model untuk mempelajari
penangkapan gabungan pada dua spesies competing fish. Chauduri juga berhasil
menunjukkan kesetimbangan bionomik di area yang ikannya boleh ditangkap dan
berhasil menunjukkan adanya kemungkinan terjadinya kepunahan pada salah satu
spesies ikan tersebut (Dubey et al. 2003).
Beberapa literatur di atas membahas model yang mempertimbangkan satu
zona saja, yaitu zona yang ikannya boleh ditangkap (zona noncadangan). Bahasan
dalam literatur-literatur tersebut belum mempertimbangkan zona yang ikannya
tidak boleh ditangkap (zona cadangan). Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini
dibahas zona yang ikannya tidak boleh ditangkap (zona cadangan). Karena ada
dua zona yang dipertimbangkan, maka sistem dinamika yang terjadi adalah
dinamika populasi ikan di dua zona: zona cadangan dan zona noncadangan.
Model yang mempertimbangkan zona cadangan dan zona noncadangan adalah
model yang digagas oleh Dubey et al. (2003). Bahasan tentang simulasi numerik
belum disajikan dalam tulisan Dubey et al. (2003). Oleh karena itu, studi kasus
tentang simulasi numerik pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali menjadi hal
yang menarik untuk dipelajari sebagai suatu contoh ilustratif.
2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, rumusan masalah dalam karya
ilmiah ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana mendeskripsikan model dinamik pertumbuhan ikan di zona
cadangan dan zona noncadangan?
2. Bagaimana menganalisis titik tetap dari model dinamik pertumbuhan ikan di
zona cadangan dan zona noncadangan?
3. Bagaimana kebijakan penangkapan ikan yang memaksimumkan keuntungan
tanpa membahayakan habitatnya?
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang dibuat, tujuan karya ilmiah ini adalah
sebagai berikut:
1. Mendeskripsikan model dinamik pertumbuhan ikan di zona cadangan dan zona
noncadangan.
2. Menganalisis titik tetap dari model dinamik pertumbuhan ikan di zona
cadangan dan zona noncadangan.
3. Mengaplikasikan prinsip maksimum Pontryagin dalam menentukan kebijakan
penangkapan ikan yang memaksimumkan keuntungan tanpa membahayakan
habitatnya.
TINJAUAN PUSTAKA
Model Pertumbuhan Organisme
Proses pemodelan umumnya membutuhkan banyak keahlian, pengalaman,
dan ilmu pengetahuan. Proses ini menetapkan suatu penyederhanaan masalah
yang menggambarkan kejadian nyata. Sering kali di dalamnya terdapat suatu
persamaan diferensial. Metode matematika tertentu digunakan untuk melakukan
proses ini. Penyederhanaan masalah ini disebut model matematika untuk kejadian
nyata (Farlow 1994).
Model paling sederhana untuk menggambarkan pertumbuhan populasi
suatu organisme adalah
, dengan
merupakan populasi pada waktu
dan
adalah laju pertumbuhan. Model
merupakan model
pertumbuhan eksponensial yang memiliki solusi
dengan
merupakan populasi pada saat
Jelas bahwa model pertumbuhan
eksponensial tidak bisa berlaku selamanya (Strogatz 1994).
Efek dari keterbatasan ruang dan sumber daya, sifat biologis populasi, dan
demografi menjadi asumsi yang dipertimbangkan dalam pemodelan. Laju
pertumbuhan per kapita
menurun ketika menjadi cukup besar. Untuk
yang kecil, laju pertumbuhan sama dengan
Akan tetapi, jika populasi lebih
besar dari daya dukung lingkungan
laju pertumbuhan menjadi negatif: laju
3
kematian lebih tinggi daripada laju kelahiran. Sebuah cara yang tepat menurut
ilmu matematika untuk memasukan ide tersebut adalah asumsi bahwa laju
pertumbuhan per kapita
menurun secara linear terhadap . Hal ini menjadi
konsep dasar persamaan logistik
yang pertama kali diajukan
untuk model pertumbuhan populasi manusia oleh Verhulst pada tahun 1838.
Model logistik tersebut memiliki solusi
dan memiliki titik tetap takstabil
serta titik tetap stabil
, artinya
seiring dengan
. Dengan kata lain,
(Strogatz
1994).
Sumber daya alam yang dapat diperbarui memiliki beberapa konsep
pengukuran ketersediaan yang sering digunakan. Salah satu konsep pengukuran
tersebut adalah kapasitas daya dukung (carrying capacity). Pengukuran kapasitas
ini didasarkan pada pemikiran bahwa lingkungan memiliki kapasitas maksimum
untuk mendukung suatu pertumbuhan organisme. Sebagai contoh adalah ikan
dapat tumbuh di kolam secara positif jika daya dukung lingkungannya masih
besar. Namun, pertumbuhan yang terus menerus akan menimbulkan kompetisi
terhadap ruang dan makanan sampai daya dukung lingkungan tidak mampu lagi
mendukung pertumbuhan (Fauzi 2004).
Proses penangkapan ikan di suatu perairan membutuhkan berbagai sarana.
Sarana tersebut merupakan faktor input yang dalam literatur perikanan biasa
disebut sebagai upaya (effort). Upaya adalah indeks dari berbagai input seperti
ekstraksi sumber daya perikanan yang merupakan aktivitas ekonomi dengan
menggunakan input tenaga kerja, kapal, alat tangkap, mesin, bahan bakar, dan
sebagainya. Adapun koefisien kemampuan tangkap ikan (koefisien catchability)
merupakan proporsi stok ikan yang dapat ditangkap oleh satu unit upaya (Fauzi
2004).
Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menghubungkan
fungsi-fungsi yang tidak diketahui, turunan-turunan dari fungsi tersebut, peubah
yang didefinisikan dalam fungsi tersebut, dan konstanta-konstanta tertentu.
Misalkan terdapat persamaan diferensial sebagai berikut:
(1)
dengan merupakan fungsi dari yang turunan-turunan parsial pertamanya
kontinu. Jika pada (1) berupa skalar, maka disebut persamaan diferensial. Jika
pada (1) berupa vektor, maka disebut sistem persamaan diferensial, yaitu terdapat
buah persamaan diferensial dengan buah fungsi yang tidak diketahui dan
merupakan bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan dua. Sistem
persamaan diferensial dengan suatu fungsi
yang tidak bergantung secara
eksplisit terhadap disebut sistem mandiri. Sebaliknya, jika bergantung secara
eksplisit terhadap , maka disebut sistem takmandiri (Farlow 1994).
4
Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear jika fungsi pada (1)
berbentuk linear atau persamaan diferensial ordedikatakan linear bila
berbentuk:
(2)
. fungsi pada (1) berbentuk taklinear, maka disebut persamaan diferensial
Bila
pada (2) merupakan koefisien dari
,...,
taklinear. Fungsi
persamaan diferensial dan
disebut bentuk takhomogen. Jika
bernilai nol,
maka persamaan diferensial disebut homogen. Jika
bernilai taknol, maka
persamaan diferensial disebut takhomogen (Farlow 1994).
Titik Tetap
Titik
dari persamaan (1) disebut vektor state. Titik tersebut berada
dalam bidang fase sistem. Seiring dengan berubahnya nilai
vektor state
bergerak di sepanjang bidang fase. Suatu persamaan aljabar yang menghubungkan
dua peubah dependen dan didefinisikan sebagai sebuah path (trajektori atau
orbit). Berdasarkan pemikiran tersebut, bisa dikatakan bahwa solusi dari suatu
persamaan diferensial adalah vektor state yang bergerak di sepanjang trajektori
dalam bidang fase (Farlow 1994).
Trajektori-trajektori yang paling sederhana adalah trajektori-trajektori
yang menuju ke suatu titik tetap. Suatu titik
dalam bidang fase disebut
titik tetap (fixed point) jika bernilai nol, yaitu ketika =
(Farlow
1994).
Pelinearan
Bagian ini akan menunjukkan teknik linearisasi pada sistem persamaan
diferensial taklinear. Misalkan =
=
dan
adalah titik
tetap yaitu titik yang memberikan
dan
Misalkan
dan
merupakan komponen gangguan dari titik tetap yang
bernilai kecil. Hal yang diperlukan untuk mengetahui apakah gangguan akan
meningkat atau menurun adalah persamaan diferensial bagi dan .
Pertama, tentukan persamaan diferensial bagi . Berikut adalah prosesnya:
(karena adalah suatu konstanta)
(substitusi)
(Deret Taylor)
.
Turunan parsial
dan
(karena
)
merupakan suatu bilangan karena
dievaluasi pada titik tetap
Adapun
merupakan bentuk
kuadratik dari dan . Karena dan bernilai kecil, maka bentuk kuadratik
tersebut bernilai sangat kecil.
Kedua, tentukan persamaan diferensial bagi . Dengan menggunakan cara
yang sama, yaitu seperti cara dalam menentukan persamaan diferensial bagi
diperoleh
Setelah
persamaan
dan
diperoleh, gangguan
dapat dituliskan dalam bentuk:
5
Karena bentuk kuadratik bernilai sangat kecil, maka bisa diabaikan sehingga
diperoleh sistem terlinearisasi:
atau =
tetap
dengan
dan adalah matriks yang dievaluasi pada titik
yang disebut sebagai matriks Jacobi (Strogatz 1994)
Klasifikasi Titik Tetap
Bagian ini akan menerangkan teori untuk menentukan jenis kestabilan titik
tetap suatu sistem persamaan diferensial. Misalkan terdapat dua buah persamaan
diferensial linear sebagai berikut:
=
,
(3)
=
.
Berdasarkan persamaan (3) diperoleh:
.
Nilai eigen
bagi matriks Jacobi ditentukan dari persamaan karakteristik
det
dengan
adalah matriks identitas. Bentuk persamaan
karakteristiknya adalah
(4)
Setelah menyelesaikan bentuk (4), maka diperoleh persamaan
dengan
tr
dan
det
. Kemudian diperoleh pula
(5)
yang merupakan solusi dari persamaan
.
Jika
, maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda. Oleh
karena itu titik tetap merupakan titik saddle. Jika
, nilai eigen dapat berupa
bilangan real dengan tanda yang sama (titik tetap berupa simpul (nodes)) atau
bilangan kompleks conjugate (titik tetap berupa spiral atau center). Nodes
memenuhi
dan spiral memenuhi
. Stabilitas nodes dan
spiral ditentukan oleh nilai . Ketika nilai
, kedua nilai eigen merupakan
bilangan real negatif, jadi titik tetap adalah titik tetap stabil. Spiral dan nodes
takstabil memiliki nilai
(Strogatz 1994).
6
Prinsip Maksimum Pontryagin
Prinsip ini merupakan cara untuk menemukan suatu vektor kontrol
yang
yang kontinu dan
merupakan suatu vektor state padanannya yang dapat diturunkan serta
sehingga memaksimumkan
didefinisikan pada interval waktu tertentu
fungsional objektif
dengan kendala persamaan diferensial
,
dan kondisi awal (initial conditions)
,
salah satu kondisi akhir (terminal conditions) sebagai berikut:
,
bebas
dan peubah kontrol
dengan
merupakan suatu himpunan yang
ditetapkan dalam
Diasumsikan bahwa
dan
adalah
fungsi-fungsi kontinu untuk setiap
dan
(Kamien dan
Schwartz 2012).
Teorema. Agar
,
keberadaan
suatu
menjadi optimum untuk masalah di atas, diperlukan
konstanta
dan
fungsi-fungsi
kontinu
di mana untuk setiap
terdapat
sehingga
untuk
setiap
dipenuhi
dengan fungsi hamilton
didefinisikan sebagai berikut:
kecuali pada titik-titik diskontinuitas
,
Selanjutnya
atau
dan akhirnya salah satu kondisi transversalitas di bawah ini terpenuhi:
tidak dapat ditentukan,
,
(=0 jika
)
,
.
Prinsip maksimum Pontryagin memiliki kajian tentang kontrol bang-bang
dan kontrol singular. Jika berbatas, yaitu
dan linear terhadap
maka kontrol optimum merupakan kontrol bang-bang. Jika
maka
kontrol optimum merupakan kontrol singular. Dengan demikian, kontrol
optimumnya adalah (Kamien dan Schwartz 2012):
koefisien dari
(6)
koefisien dari
7
Metode Runge-Kutta
Metode Runge-Kutta adalah alternatif dari metode Taylor. Metode ini
memiliki ketelitian yang tinggi tanpa membutuhkan perhitungan turunan.
Perhatikan masalah nilai awal berikut:
dengan merupakan fungsi skalar atau fungsi vektor yang belum diketahui dan
bergantung pada
Untuk suatu
yang disebut riap (increment),
didefinisikan untuk
dan titik
terdapat nilai
yang diperoleh melalui formula
aproksimasi
(Farlow 1994):
dengan
.
MODEL MATEMATIKA
Model Pertumbuhan Ikan di Zona Cadangan dan Noncadangan
Sumber daya perikanan merupakan sumber daya milik bersama (common
resources) dan bersifat akses terbuka (open access) sehingga semua lapisan
masyarakat berhak memanfaatkannya. Hal ini bisa memicu eksploitasi secara
besar-besaran dan tidak terkontrol (Fauzi 2004). Oleh sebab itu, perlu adanya
upaya-upaya untuk mencegah kondisi tersebut. Salah satunya dengan membuat
peraturan tentang wilayah pemanfaatan ruang laut.
Kegiatan pemanfaatan ruang laut memiliki beberapa aturan tipologi, salah
satunya adalah tentang adanya zona preservasi. Zona preservasi adalah zona
tertutup untuk umum, tidak ada aktivitas pengambilan sumber daya yang
diizinkan. Setiap aktivitas yang ada di zona ini harus mendapatkan izin. Selain itu,
ada juga zona konservasi, yaitu zona yang melakukan perlindungan dan
konservasi terhadap sumber daya tertentu serta mengizinkan kegiatan
pengambilan sumber daya dengan tetap memperhatikan keberlanjutan
(sustainability) dari sumber daya tersebut (Pamungkas 2010).
Pemodelan ekosistem perairan yang dibahas adalah model perikanan yang
mempertimbangkan aturan ruang laut di atas. Misalkan suatu ruang laut tertentu
didefinisikan terdiri atas zona cadangan dan zona noncadangan. Kemudian ada
aturan bahwa penangkapan ikan di zona noncadangan diperbolehkan secara
terbuka. Sebaliknya, penangkapan ikan di zona cadangan tidak diperbolehkan.
Diasumsikan bahwa pertumbuhan populasi ikan di setiap zona mengikuti model
logistik. Dengan demikian, dinamika populasi ikan di zona cadangan dan zona
8
noncadangan (model tanpa pemanenan) dapat disajikan dalam bentuk sebagai
berikut (Dubey et al. 2003):
(7)
Keterangan:
: populasi ikan (ton) di zona noncadangan pada waktu (tahun),
: populasi ikan (ton) di zona cadangan pada waktu (tahun),
: laju pertumbuhan populasi ikan di zona noncadangan ( per tahun),
: laju pertumbuhan populasi ikan di zona cadangan ( per tahun),
: laju migrasi ikan dari zona noncadangan ke zona cadangan ( per tahun),
: laju migrasi ikan dari zona cadangan ke zona noncadangan ( per tahun),
: daya dukung lingkungan di zona noncadangan (ton),
: daya dukung lingkungan di zona cadangan (ton).
Asumsi yang digunakan pada sistem (7) adalah sebagai berikut:
1. Parameter
dan diasumsikan sebagai konstanta positif.
2. Jika tidak ada migrasi populasi ikan dari zona cadangan ke zona noncadangan
) dan
, maka < 0. Ketika < 0 berarti laju pertumbuhan
populasi ikan di zona noncadangan bernilai negatif. Hal tersebut tidak mungkin
terjadi pada suatu populasi makhluk hidup yang mengikuti model logistik.
Oleh sebab itu, diasumsikan
.
(8)
3. Jika tidak ada migrasi populasi ikan dari zona noncadangan ke zona cadangan
(
) dan
, maka < 0. Ketika < 0 berarti laju pertumbuhan
populasi ikan di zona cadangan bernilai negatif. Hal tersebut tidak mungkin
terjadi pada suatu populasi makhluk hidup yang mengikuti model logistik.
Oleh sebab itu, asumsi yang digunakan agar kondisi tersebut tidak terjadi
adalah
.
(9)
Analisis Titik Tetap
Mencari titik tetap dari sistem (7) berarti sama saja dengan menyelesaikan
bentuk persamaan
Sistem (7) memiliki titik tetap taknegatif
dan
. Berikut merupakan langkah-langkah untuk memperoleh
dan
yang positif:
1. Ketika
dan
sistem (7) dapat dituliskan dalam bentuk:
maka
maka
2. Persamaan (10) memberikan nilai y sebagai berikut:
(10)
9
(11)
3. Menyubstitusikan nilai y dari persamaan (11) ke persamaan (10) disertai
dengan sedikit proses aljabar menghasilkan polinomial dalam bentuk x:
4. Jika dimisalkan
maka polinomial pada langkah tiga menjadi
5. Agar persamaan
memiliki solusi positif
.
, maka harus dipenuhi:
, dan
.
(12)
6. Setelah nilai
diperoleh dari langkah lima, nilai
dapat dihitung dari
persamaan (11). Agar nilai positif maka harus dipenuhi kondisi:
.
(13)
Kestabilan Titik Tetap
Jenis kestabilan titik tetap dapat diperoleh dengan cara menyelesaikan
persamaan karakteristik det
dengan merupakan matriks Jacobi
yang dievaluasi pada setiap titik tetap dan merupakan matriks identitas, serta
adalah nilai eigen. Matriks Jacobi dari sistem (7) yaitu:
10
Sekarang akan diperiksa kestabilan dari titik tetap taknegatif
dan
Ketika matriks Jacobi dievaluasi pada titik
diperoleh persamaan
karakteristik dalam bentuk:
(14)
.
Berdasarkan (14) dan (5), diperoleh
(karena (8) dan (9))
(karena (12)), maka
adalah titik saddle.
dan
Dengan menggunakan cara yang sama, ketika
dievaluasikan terhadap
matriks Jacobi , diperoleh persamaan karakteristik dalam bentuk:
(15)
dan
Berdasarkan (15) dan (5), diperoleh
diperoleh
, maka
adalah simpul stabil.
Kebijakan Penangkapan Optimum
Prinsip maksimum Pontryagin merupakan salah satu konsep yang bisa
digunakan dalam menentukan kebijakan penangkapan ikan yang optimum. Prinsip
ini diaplikasikan pada model pemanenan ikan yang digagas oleh Dubey et al.
(2003):
(16)
dengan merupakan total upaya penangkapan ikan di zona noncadangan (trip per
tahun) pada tahun dan merupakan koefisien catchability populasi ikan di zona
noncadangan (% per trip). Nilai sekarang (present value) dari pendapatan bersih
dengan waktu kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk fungsional sebagai
berikut:
dengan merupakan tingkat diskonto kontinu tahunan (% per tahun). Kemudian
bahasan sekarang adalah memaksimumkan fungsional
dengan kendala
persamaan diferensial (16). Adapun kendala peubah kontrolnya yaitu kendala
peubah kontrol berbatas, dengan batasan
Dengan demikian, fungsi hamiltonnya adalah:
=
=
11
Fungsi hamilton linear terhadap peubah kontrol
sehingga
Kondisi tersebut merupakan syarat perlu kontrol singular
dengan
batasan
Berdasarkan (6), kontrol optimum dari kebijakan
penangkapan ikan yang optimum adalah sebagai berikut:
(17)
dengan
disebut sebagai fungsi switching.
STUDI KASUS
Potensi Sardinella lemuru di Selat Bali
Perairan Selat Bali berbentuk corong dengan lebar bagian sebelah utara
kira-kira 2.5 km dan bagian selatan kira-kira 55 km. Luas perairan Selat Bali kirakira 2,500 km2. Perairan ini cenderung dipengaruhi oleh massa air dari Samudra
Indonesia dibanding oleh massa air dari Laut Flores karena bentuknya seperti
corong yang menghadap ke selatan. Berdasarkan karakteristik oseanografis dan
sumber daya ikannya, perairan laut Selat Bali merupakan daerah ruaya dari ikan
lemuru. Oleh karena itu, perikanan lemuru di Selat Bali dinamakan Sardinella
lemuru yang sangat spesifik dan satu-satunya di Indonesia (Setyohadi 2009).
Ditinjau dari segi lingkungan, di perairan Selat Bali terjadi proses
penaikan air pada musim timur sehingga perairan ini menjadi kaya akan bahan
makanan yang sangat dibutuhkan oleh ikan lemuru. Jenis ikan lemuru ini biasanya
mendiami daerah-daerah yang mengalami proses penaikan air sehingga dapat
mencapai biomassa yang tinggi. Oleh karena itu, ikan lemuru sangat bergantung
pada perubahan lingkungan perairan (Setyohadi 2009).
Algoritma Simulasi Numerik
Simulasi numerik yang dilakukan adalah aplikasi kontrol optimum pada
pemanenan ikan lemuru (Sardinella lemuru) yang dijelaskan dalam literatur di
atas. Simulasi tersebut melibatkan seperangkat persamaan diferensial di bawah
ini:
12
Selain itu, digunakan pula nilai-nilai parameter (Lampiran 1) dari beberapa
sumber pustaka dan nilai-nilai parameter hipotetik tertentu yang dipilih sehingga
memenuhi beberapa asumsi yang digunakan, yaitu asumsi (8), (9), (12), dan (13).
Metode yang dipakai dalam menyelesaikan persamaan diferensial adalah
metode Runge-Kutta orde empat. Berikut ini adalah algoritmanya (Farlow 1994):
1. DEF
= (definisikan fungsi
)
2. INPUT “masukan nilai awal and ”;
3. INPUT “masukan step size dan nilai maksimum dari ”; ,
;
4. FOR i = 1 TO STEP
NEXT
END.
Berikut ini adalah hasil simulasi numerik yang diperoleh:
Gambar 1 Bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan
13
Gambar 1 menunjukkan bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan
. Terdapat dua buah solusi yang dipelajari, yaitu solusi populasi ikan tanpa
pemanenan dan solusi populasi ikan dengan pemanenan. Berdasarkan Gambar 1,
dapat dilihat bahwa solusi populasi ikan tanpa pemanenan (kurva berwarna biru)
konvergen ke suatu nilai di atas daya dukung lingkungan (garis putus-putus
berwarna merah). Secara biologis kondisi tersebut mengartikan bahwa lingkungan
tidak mampu mendukung pertumbuhan secara optimal. Oleh sebab itu, upaya
pemanenan diperlukan untuk mencegah terjadinya kondisi tersebut. Sebaliknya,
solusi populasi ikan dengan pemanenan (kurva berwarna hijau) konvergen ke
suatu nilai di bawah daya dukung lingkungan. Secara biologis kondisi tersebut
mengartikan bahwa lingkungan masih mampu mendukung pertumbuhan secara
optimal.
Gambar 2 Bidang solusi populasi ikan di zona cadangan
Gambar 2 menunjukkan bidang solusi populasi ikan di zona cadangan
.
Terdapat dua buah solusi yang dipelajari, yaitu solusi populasi ikan tanpa
pemanenan dan solusi populasi ikan dengan pemanenan. Berdasarkan Gambar 2,
dapat dilihat bahwa solusi populasi ikan tanpa pemanenan (kurva berwarna biru)
dan solusi populasi ikan dengan pemanenan (kurva berwarna hijau) konvergen ke
suatu nilai di bawah daya dukung lingkungan. Hal tersebut menunjukkan bahwa
secara biologis lingkungan mampu mendukung pertumbuhan secara optimal.
Selain itu, dapat dilihat pula bahwa solusi populasi ikan dengan pemanenan
(kurva berwarna hijau) berada di bawah solusi populasi ikan tanpa pemanenan
(kurva berwarna biru). Secara matematis hal tersebut terjadi akibat pengaruh tidak
langsung dari pemanenan ikan di zona noncadangan.
14
Gambar 3 Fungsi switching
Gambar 3 adalah kurva dari fungsi switching yang merupakan koefisien
dari peubah kontrol (berdasarkan (6)). Fungsi ini digunakan untuk menentukan
interval waktu dalam skema pemanenan. Berdasarkan (17), ketika fungsi
switching bernilai positif maka dilakukan upaya pemanenan sebesar
.
Sebaliknya, ketika fungsi switching bernilai negatif maka pemanenan adalah
sebesar nol (tidak ada upaya pemanenan).
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Karya ilmiah ini telah membahas dan menganalisis model matematika
tentang sistem dinamika sumber daya perikanan yang terdiri atas dua zona: zona
cadangan dan zona noncadangan. Berdasarkan hasil simulasi numerik, model
telah mampu menggambarkan dinamika populasi ikan di dua zona tersebut.
Berdasarkan asumsi dan batasan nilai parameter, telah dijelaskan bahwa model
matematika tentang sistem dinamika sumber daya perikanan yang terdiri atas dua
zona memiliki dua buah titik tetap taknegatif. Titik tetap tersebut berupa titik
saddle dan simpul stabil.
Kebijakan penangkapan ikan yang optimum telah ditentukan
menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. Solusi populasi ikan di zona
noncadangan
solusi populasi ikan di zona cadangan
serta fungsi
switching diselesaikan secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat. Melalui simulasi numerik, solusi populasi ikan di zona noncadangan
dan solusi populasi ikan di zona cadangan
ditentukan pada dua kondisi yang
berbeda, yaitu pada kondisi tanpa pemanenan serta kondisi dengan pemanenan.
15
Dapat disimpulkan bahwa pada studi kasus simulasi numerik potensi Sardinella
lemuru di Selat Bali, perlu dilakukan upaya pemanenan di zona noncadangan agar
populasi ikan tidak melebihi daya dukung lingkungan. Selanjutnya, penentuan
waktu pemanenan tersebut ditentukan berdasarkan nilai fungsi switching
Saran
Bahasan tentang simulasi numerik berkaitan erat dengan beberapa
parameter dalam model. Karya ilmiah ini menggunakan nilai-nilai parameter
tertentu dari sumber pustaka. Selain itu, digunakan pula nilai-nilai parameter yang
ditentukan secara hipotetik. Nilai parameter hipotetik tersebut jelas kurang bisa
menggambarkan kondisi yang sebenarnya. Oleh sebab itu, jika ingin memperoleh
hasil yang akurat dalam menggambarkan keadaan yang sebenarnya, sebaiknya
dipilih objek simulasi yang lebih tepat dan tanpa menggunakan nilai-nilai
parameter yang hipotetik.
DAFTAR PUSTAKA
Chaudhuri K. 1986. A bioeconomic model of harvesting a multispecies fishery. J
Ecological Modelling. 32(4):267-279.doi:10.1016/0304-3800(86)90091-8.
Chevny AA. 2013. Ikan lemuru terbatas, produksi pengalengan ikan turun.
[diunduh 2014 Apr 3]. Tersedia pada:
http://m.bisnis.com/industri/read/20131111/99/185702/ikan-lemuru-terbatasproduksi-industri-pengalengan-ikan-turun.
Dubey B, Chandra P, and Sinha P. 2003. A model for fishery resource with
reserve area. J Nonlinear Analysis: Real World Applications. 4:625637.doi:10.1016/S1468-1218(02)00082-2.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Aplication.
Singapore (SG): McGraw-Hill Book Co.
Fauzi A. 2004. Ekonomi Sumber Daya Alam dan Lingkungan. Jakarta (ID): PT
Gramedia Pustaka Utama.
Fauzi A. 2010. Ekonomi Perikanan. Jakarta (ID): PT Gramedia Pustaka Utama.
Hendriyana A. 2013. Strategi ekonomi biru untuk tingkatkan produksi perikanan
dan
kelautan.
[diunduh
2014
Mei
1].
Tersedia
pada:
http://www.unpad.ac.id/2013/10/strategi-ekonomi-biru-untuk-tingkatkanproduksi-perikanan-dan-kelautan/.
Kamien MI, and Schwartz NL. 2012. Dynamic Optimization: The Calculus of
Variations and Control Optimal in Economics and Management. Ed ke-2.
Amsterdam (NL): Elsevier Science B. V.
Kitabatake Y. 1982. A dynamic predator - prey model for fishery resources: a case
of Lake Kasumigaura. J Environment and Planning A. 14(2):225-235.
doi:10.1068/a140225.
Pamungkas A. 2010. Integrasi perencanaan konvensional dengan perencanaan
pesisir: bade kamana ?3. J Mitra Bahari. 4(2):42-54.
16
Ragozin DL, and Brown G. 1985. Harvest policies and nonmarket valuation in a
predator-prey system. J Environmental Economics and Management.
12(2):155-168.doi:10.1016/0095-0696(85)90025-7.
Setyohadi D. 2009. Studi potensi dan dinamika stok ikan lemuru (Sardinella
lemuru) di selat bali serta alternatif penangkapannya. J Perikanan. 11(1):78-86.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynmics and Chaos. Massachusetts (US): Perseus
Books Publishing, L.L.C.
Wagiantoro FA. 2014. Analisis Bioekonomi untuk Pengelolaan Sumber Daya
Ikan Tembang (Sardinella fimbriata) yang Didaratkan di TPI Blanakan,
Subang, Jawa Barat [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
17
Lampiran 1 Nilai-nilai parameter simulasi numerik
No.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Parameter
Nilai
50
65
20
25
0.00456
416,304.4
450,000
5,000,000
744,456
8
Satuan
per tahun
per tahun
per tahun
per tahun
% per trip
ton
ton
Rp/ton
Rp/trip
per tahun
ton
trip per tahun
Pustaka
(Setyohadi 2009)
Hipotetik
Hipotetik
Hipotetik
(Setyohadi 2009)
(Setyohadi 2009)
Hipotetik
(Chevny 2013)
(Wagiantoro 2014)
(Fauzi 2010)
Hipotetik
Hipotetik
18
Lampiran 2 Kode Matlab solusi numerik model tanpa pemanenan
Function[X,Y,t]=fish_nocontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,X0,Y0,t0,tf,n)
h
= (tf-t0)/n;
X
= zeros(1,n+1);
Y
= zeros(1,n+1);
X(1) = X0;
Y(1) = Y0;
t = linspace(t0,tf,n+1);
for i = 1:n
n11 = phi*X(i)*(1-X(i)/K)-r1*X(i)+r2*Y(i);
n12 = phi*(X(i)+h*n11/2)*(1-(X(i)+h*n11/2)/K)
-r1*(X(i)+h*n11/2)+r2*(Y(i)+h*n11/2);
n13 = phi*(X(i)+h*n12/2)*(1-(X(i)+h*n12/2)/K)
-r1*(X(i)+h*n12/2)+r2*(Y(i)+h*n12/2);
n14 = phi*(X(i)+h*n13)*(1-(X(i)+h*n13)/K)
-r1*(X(i)+h*n13)+r2*(Y(i)+h*n13);
n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6;
n21 = theta*Y(i)*(1-Y(i)/L)+r1*X(i)-r2*Y(i);
n22 = theta*(Y(i)+h*n21/2)*(1-(Y(i)+h*n21/2)/L)
+r1*(X(i)+h*n21/2)-r2*(Y(i)+h*n21/2);
n23 = theta*(Y(i)+h*n22/2)*(1(Y(i)+h*n22/2)/L)
+r1*(X(i)+h*n22/2)-r2*(Y(i)+h*n22/2);
n24 = theta*(Y(i)+h*n23)*(1-(Y(i)+h*n23)/L)
+r1*(X(i)+h*n23)-r2*(Y(i)+h*n23);
n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6;
X(i+1) = X(i) + h*n1;
Y(i+1) = Y(i) + h*n2;
end
19
Lampiran 3 Kode Matlab solusi numerik model dengan pemanenan
Function [X,Y,gamma1,gamma2,E,t,tau] =
fish_withcontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,p,q,c,d,Emax,Emin,X0,Y0,t0,tf
,n)
tol
error
h
t
X
Y
gamma1
gamma2
=
=
=
=
=
=
=
=
1e-6;
tol + 1;
(tf-t0)/n;
linspace(t0,tf,n+1);
zeros(1,n+1);
zeros(1,n+1);
zeros(1,n+1);
zeros(1,n+1);
X(1)
Y(1)
= X0;
= Y0;
E
E1
E1(1)
= zeros(1,n+1)+1;
= zeros(1,n+1);
= Emax;
while(error > tol)
oldE = E;
for i = 1:n
n11 = phi*X(i)*(1-X(i)/K)-r1*X(i)+r2*Y(i)-q*E(i)*X(i);
n12 = phi*(X(i)+h*n11/2)*(1-(X(i)+h*n11/2)/K)
-r1*(X(i)+h*n11/2)+r2*(Y(i)+h*n11/2)-q*E(i)*(X(i)+h*n11/2);
n13 = phi*(X(i)+h*n12/2)*(1-(X(i)+h*n12/2)/K)
-r1*(X(i)+h*n12/2)+r2*(Y(i)+h*n12/2)-q*E(i)*(X(i)+h*n12/2);
n14 = phi*(X(i)+h*n13)*(1-(X(i)+h*n13)/K)
-r1*(X(i)+h*n13)+r2*(Y(i)+h*n13)-q*E(i)*(X(i)+h*n13);
n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6;
n21 = theta*Y(i)*(1-Y(i)/L)+r1*X(i)-r2*Y(i);
n22 = theta*(Y(i)+h*n21/2)*(1-(Y(i)+h*n21/2)/L)
+r1*(X(i)+h*n21/2)-r2*(Y(i)+h*n21/2);
n23 = theta*(Y(i)+h*n22/2)*(1-(Y(i)+h*n22/2)/L)
+r1*(X(i)+h*n22/2)-r2*(Y(i)+h*n22/2);
n24 = theta*(Y(i)+h*n23)*(1-(Y(i)+h*n23)/L)
+r1*(X(i)+h*n23)-r2*(Y(i)+h*n23);
n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6;
X(i+1) = X(i) + h*n1;
Y(i+1) = Y(i) + h*n2;
end
for i = 1:n
j = (n+1)-i;
n11 = -exp(-d*t(j+1))*p*q*E(j+1)-gamma1(j+1)
*(phi- 2*phi*X(j+1)/K-r1-q*E(j+1))-r1*gamma2(j+1);
n12 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n11/2)
*(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n11/2)/K-r1- q*E(j+1))
-r1*(gamma2(j+1)+h*n11/2);
20
n13 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n12/2)
*(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n12/2)/K-r1-q*E(j+1))
-r1*(gamma2(j+1)+h*n12/2);
n12 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n13)
*(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n13)/K-r1-q*E(j+1))
-r1*(gamma2(j+1)+h*n13);
n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6;
n21 = -r2*gamma1(j+1)-gamma2(j+1)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2);
n22 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n21/2)
-(gamma2(j+1)+h*n21/2)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2);
n23 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n22/2)
-(gamma2(j+1)+h*n22/2)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2);
n24 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n23)
-(gamma2(j+1)+h*n23)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2);
n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6;
gamma1(j) = gamma1(j+1) - h*n1;
gamma2(j) = gamma2(j+1) - h*n2;
end
tau = exp(-d*t).*(p*q*X-c)-q*gamma1.*X;
for i = 2:n+1
if tau(i) > 0
E1(i) = Emax;
elseif tau(i) == 0
E1(i) = (Emax-Emin)/2;
else
E1(i) = Emin;
end
end
E = (E1+oldE)/2;
error = sum(abs(oldE-E))
end
21
Lampiran 4 Kode Matlab plot solusi numerik
close all
clear all
phi
theta
r1
r2
K
L
p
q
c
d
Emin
Emax
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0.5;
0.65;
0.20;
0.25;
416304.4;
450000;
5000000;
0.0000456;
744456;
0.08;
0;
1970;
t0 = 0; tf = 50; n = 10000;
X0 = 7500;
Y0 = 9000;
[X,Y] = fish_nocontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,X0,Y0,t0,tf,n);
[Xc,Yc,gamma1,gamma2,E,t,tau] =
fish_withcontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,p,q,c,d,Emax,Emin,X0,Y0,t0,tf
,n);
plot(t,X,t,Xc,t,K*ones(1,n+1),'--','LineWidth',2); title('Populasi
Ikan di Zona Noncadangan'); legend('solusi populasi ikan tanpa
pemanenan','solusi populasi ikan dengan pemanenan',4);
grid; xlabel('tahun'); ylabel('jumlah (ton)');axis([t0 tf 0
500000]);
figure;
plot(t,Y,t,Yc,t,L*ones(1,n+1),'--','LineWidth',2); title('Populasi
Ikan di Zona Cadangan'); legend('solusi populasi ikan tanpa
pemanenan','solusi populasi ikan dengan pemanenan',4);
grid; xlabel('tahun'); ylabel('jumlah (ton)'); axis([t0 tf 0
500000]);
figure;
plot(t,E,'LineWidth',2); title('Kontrol Optimum (E)'); grid;
xlabel('tahun');
figure;
plot(t,gamma1,t,gamma2,'LineWidth',2); grid; title('Fungsi Adjoin
(\gamma)'); legend('\gamma_1','\gamma_2');
figure;
plot(t,tau,'LineWidth',2); title('Fungsi Switching (\tau)'); grid;
xlabel('tahun'); ylabel('\tau');
22
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Garut pada tanggal 1 Januari 1992 dari ayah Saripudin
dan ibu Wowon Nurhaida. Penulis adalah putra kedua dari lima bersaudara. Tahun
2010 penulis lulus SMA Negeri 1 Garut dan pada tahun yang sama penulis lulus
seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahun Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengikuti organisasi yaitu
International Association of Agricultural and Related Science (IAAS) Local
Committee (LC) IPB divisi Science and Technology. Penulis juga pernah menjadi
penerima Beasiswa Bantuan Belajar Pemerintah Provinsi Jawa Barat pada tahun
2013. Selain itu, penulis juga pernah menjadi juara ke-1 Kompetisi Statistika
Dasar IPB tahun 2013.