Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree Dan Trinomial Tree.

PENENTUAN HARGA OPSI CALL WINDOW RESET
MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL TREE DAN
TRINOMIAL TREE

REVI MELIYANI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Penentuan Harga Opsi
Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, September 2016

Revi Meliyani
NIM G551130191

RINGKASAN
REVI MELIYANI. Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan
Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree. Dibimbing oleh ENDAR H

NUGRAHANI dan DONNY C LESMANA.
Opsi adalah suatu kontrak yang memberikan hak (bukan kewajiban) untuk
membeli atau menjual suatu aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu.
Salah satu jenis opsi yang mulai berkembang adalah opsi reset. Opsi reset
merupakan opsi yang bersifat path-dependent yaitu opsi yang nilai payoff-nya
bergantung pada perjalanan harga aset yang mendasari selama masa hidup opsi.
Opsi window reset adalah opsi saham dengan batasan reset tertentu dan pada
periode tertentu. Harga strike pada opsi window reset akan di-reset menjadi nilai
yang baru jika pada periode tertentu harga aset yang mendasari melewati batas
tertentu. Model Black-Scholes merupakan suatu model pendekatan analitik untuk

menghitung harga opsi, namun model ini mempunyai keterbatasan, yaitu tidak dapat
digunakan untuk menghitung harga opsi yang bersifat path-dependent. Oleh karena
itu diperlukan metode lain untuk menentukan harga opsi tersebut.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan harga opsi call window
reset dengan metode binomial tree dan trinomial tree. Karena binomial tree dan
trinomial tree tersebut memiliki periode waktu dengan
, maka tidak
mungkin untuk melihat pergerakan harga opsi secara manual. Oleh karena itu
diperlukan simulasi numerik dengan menggunakan fasilitas komputasi.
Selanjutnya juga dapat dianalisis pengaruh window reset, level reset, dan
beberapa faktor lain terhadap penentuan harga opsi call window reset.
Misalkan diberikan suatu opsi call dengan harga strike , reset strike �
dan � adalah level reset,
�
. Jika harga saham lebih kecil atau sama
maka harga strike akan didengan nilai reset strike selama window reset
reset menjadi nilai yang baru. Sebaliknya, jika harga saham selama window reset
lebih besar dari nilai reset strike maka harga strike tidak akan di-reset
sampai masa jatuh tempo.
Dalam penentuan harga opsi call window reset pada metode binomial tree

dan trinomial tree diperoleh bahwa harga opsi call window reset Eropa cenderung
lebih tinggi dibandingkan dengan harga opsi call Eropa standar. Hal ini
disebabkan oleh pengaruh level reset dan window reset sehingga pada batasan
reset tertentu harga strike akan di-reset menjadi nilai yang baru dan menyebabkan
harga opsi call window reset menjadi meningkat. Sama halnya dengan opsi call
Eropa standar, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh volatilitas,
suku bunga bebas risiko, harga strike dan waktu jatuh tempo. Adapun volatilitas,
suku bunga bebas risiko, dan waktu jatuh tempo mempunyai hubungan yang
positif terhadap harga opsi call window reset, sedangkan harga strike mempunyai
hubungan yang negatif terhadap harga opsi call window reset.
Pada kedua metode tree ini tidak terdapat perbedaan harga opsi call window
reset yang signifikan. Dari sisi penentuan harga opsi call window reset diperoleh
hasil yang cenderung sama antara kedua metode tree. Perbedaan harga hanya
terletak pada seberapa cepat metode tersebut mendekati nilai analitiknya. Dari
hasil simulasi, metode trinomial tree lebih cepat mendekati nilai analitik
dibandingkan dengan binomial tree.

Kata kunci: binomial tree, harga strike, opsi call window reset, reset strike ,
trinomial tree.

SUMMARY
REVI MELIYANI. Window Reset Call Option Pricing Using Binomial Tree and
Trinomial Tree. Supervised by ENDAR H NUGRAHANI and DONNY C

LESMANA.
Option is a contract that gives right (not obligation) to buy or sell an asset at
a certain time on a certain price. One of the options that is developed recently is
reset option. Reset option is a path dependent option whose payoff depends on the
historical prices of underlying assets before its expiration date. Window reset
option is a stock option which has certain limits at certain periods. The strike price
of the window reset option will be reset to a new value if the price of the
underlying asset is below the threshold at a certain period. Black-Scholes model is
an analytical approach model which is used to calculate the price of options.
However, this model cannot be used to calculate path dependent option price.
Therefore we need another method to determine it.
The purpose of this study is to apply binomial and trinomial tree methods in
determining the price of window reset call option. Because binomial and
trinomial tree are evaluated over periods of time, where
, then the
movement of option price can hardly be calculated manually. Thus, there is a need

of applying numerical simulations by means of computation. This simulation can
also analyze the influence of window reset, reset level, and some other factors in
determining the price of call window reset options.
Given a call option with a strike price , a reset strike � with � is the
reset level,
�
. If the stock price is less than or equal to the value of the
, the strike price will be reset to the new
reset strike during a window reset
is greater than
value. Conversely, if the stock price over the window reset
the value of the reset strike, the strike price will not be reset until the maturity
time.
In determining the price of a call window reset option with binomial and
trinomial tree methods, it is found out that the price of European call window reset
option tends to be higher than the price of regular European call options. This is
caused by the influence of the reset level and window reset so at the reset certain
limits, strike price will be reset into a new value and cause the price of window
reset call option to rise. As well as the standard European call option, the price of
window reset call option is also influenced by the volatility, risk-free interest rate,

the strike price, and time to maturity. As for volatility, risk-free interest rate and
time to maturity are positively related to the price of window reset call option,
while the strike price is a negatively related to the price of window reset call
option.
There are no significant differences between both tree methods on
calculating the price of call window reset option. Both of them give similar results
in determining the prices of call window reset option. The price difference lies
merely on how fast these methods are approaching its analytical value. From
simulation results, trinomial tree method is more rapidly approaching its
analytical value than the binomial method.

Keywords: binomial tree, window reset call option, reset strike, strike price,
trinomial tree.

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan

IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

PENENTUAN HARGA OPSI CALL WINDOW RESET
MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL TREE DAN
TRINOMIAL TREE

REVI MELIYANI

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini adalah opsi reset, dengan judul Penentuan Harga Opsi
Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Terima kasih yang tak berhingga penulis sampaikan kepada
Ayahanda dan Ibunda tercinta serta seluruh keluarga atas semua doa dan
dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Ungkapan terima kasih pula
penulis sampaikan kepada
 Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS dan Bapak Dr Donny C Lesmana,
M.Fin.Math selaku pembimbing, atas bantuan, bimbingan dan
kesabarannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini.
 Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang telah
memberikan kritik dan sarannya.
 Seluruh Dosen Departemen Matematika Terapan IPB yang telah

memberikan ilmunya selama penulis menjalankan studi serta staf pegawai
Tata Usaha Departemen Matematika atas semua bantuan dan
kerjasamanya.
 Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor beasiswa
BPPDN tahun akademik 2013/2014 dan 2014/2015.
 Seluruh mahasiswa pascasarjana angkatan 2013 pada program studi
Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB untuk kebersamaan,
dukungan dan bantuannya.
 Sahabat-sahabat dan semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu.
Semoga semua bantuan, doa, dan motivasi yang telah diberikan pada
penulis mendapat balasan dari Allah SWT. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
bagi pembaca.

Bogor, September 2016

Revi Meliyani

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vii

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian

1
1
3

2 TINJAUAN PUSTAKA
Opsi dan Jenisnya

Payoff dari Opsi
Metode Penentuan Nilai Derivatif
Path-Dependent Opsi
Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree
Opsi Reset

3
3
4
4
5
5
15

3 METODE

16

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
16
Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Binomial Tree 16
Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Trinomial Tree24
5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran

32
32
32

DAFTAR PUSTAKA

33

LAMPIRAN

35

RIWAYAT HIDUP

44

DAFTAR TABEL
1
2

Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga
opsi call window reset menggunakan metode binomial tree
Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga
opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree

21
29

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan
binomial tree satu periode
Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree dua
periode
Ilustrasi pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode
Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree periode
Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan
trinomial tree satu periode
Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua
periode
Ilustrasi pergerakan harga opsi call dengan trinomial tree dua
periode
Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree periode
Pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode
Pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode
Pergerakan harga saham dengan binomial tree empat periode
Pergerakan harga opsi dengan binomial tree empat periode
Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call
dengan menggunakan metode binomial tree
Hubungan antara level reset dengan harga opsi call windows reset
menggunakan metode binomial tree
Harga opsi call window reset menggunakan beberapa volatilitas
yang berbeda dengan menggunakan binomial tree
Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi
call window reset dengan menggunakan binomial tree
Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window
reset dengan menggunakan binomial tree
Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call
window reset dengan menggunakan binomial tree
Pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua periode
Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree dua periode
Pergerakan harga saham dengan trinomial tree empat periode
Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree empat periode
Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call
dengan menggunakan trinomial tree
Hubungan antara level reset terhadap harga opsi call window
reset dengan menggunakan trinomial tree

6
6
7
8
12
13
14
14
17
18
18
19
20
21
22
22
23
23
25
25
26
27
28
29

25 Hubungan antara volatilitas terhadap harga opsi call window
reset dengan menggunakan trinomial tree
26 Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi
call window reset dengan menggunakan trinomial tree
27 Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window
reset dengan menggunakan trinomial tree
28 Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call
window reset dengan menggunakan trinomial tree

30
30
31
31

DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan parameter-parameter pada binomial tree
2 Sintaks Matlab untuk menentukan nilai opsi call window reset
dengan metode binomial tree
3 Penentuan parameter-parameter pada trinomial tree
4 Sintaks Matlab untuk menentukan nilai opsi call window reset
dengan metode trinomial tree

37
38
40
42

1

PENDAHULUAN
Latar Belakang

Pasar modal memberikan dampak yang sangat besar bagi perekonomian
suatu negara. Pada dasarnya, pasar modal sama halnya dengan pasar biasa, ada
penjual, pembeli dan tawar menawar. Pasar modal merupakan pasar untuk
berbagai instrumen keuangan jangka panjang yang diperjualbelikan baik dalam
bentuk hutang atau instrumen lainnya. Pasar modal memberikan dua fungsi
sekaligus yaitu fungsi ekonomi dan fungsi keuangan. Fungsi ekonomi yaitu pasar
modal sebagai wahana yang mempertemukan dua kepentingan sekaligus yaitu
pihak yang memiliki dana (investor) dan pihak yang memerlukan dana.
Sedangkan fungsi keuangan adalah memberikan kemungkinan dan kesempatan
untuk memperoleh imbalan bagi pemilik dana sesuai dengan karakter investasi
yang dipilih.
Matematika mempunyai peranan yang sangat penting dalam dunia pasar
modal. Matematika dapat digunakan sebagai media atau alat untuk
menyederhanakan penyajian dan pemahaman terhadap suatu permasalahan
keuangan. Permasalahan yang ada dapat disajikan dengan lebih sederhana
menggunakan asumsi-asumsi secara explisit. Asumsi-asumsi ini dapat dianggap
sebagai batasan dalam pendekatan model matematika, sehingga diharapkan dapat
membantu untuk memprediksi fenomena ekonomi yang sedang berlangsung.
Manfaat pasar modal dalam suatu negara adalah sebagai sumber pendapatan
negara melalui pajak, sebagai sarana untuk menghimpun dana dari masyarakat
oleh negara dan perusahaan melalui penerbitan obligasi dan penjualan saham,
sebagai alternatif investasi bagi para investor dan masih banyak lagi manfaat
lainnya. Saham adalah tanda penyertaan modal seseorang atau pihak (badan
usaha) dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas, sehingga pihak tersebut
memiliki klaim atas pendapatan perusahaan, klaim atas aset perusahaan, dan
berhak hadir dalam Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS).
Bagi ahli ekonomi, mungkin saja mengkaji penyebab harga saham naik atau
turun, namun seorang ahli matematika keuangan mengkaji harga saham dan
mencoba menggunakan kalkulus stokastik untuk mendapatkan dugaan nilai
terbaik dari harga saham. Harga saham pada masa yang akan datang bisa berubah
sesuai dengan kondisi pasar. Hal ini menyebabkan adanya kemungkinan akan
terjadi kerugian yang diderita investor. Salah satu cara meminimalisasi risiko ialah
dengan menggunakan produk derivatif yang salah satunya adalah opsi.
Penggunaan produk derivatif sebagai sarana investasi di pasar modal telah
meningkat seiring dengan berkembangnya pasar keuangan global.
Produk derivatif merupakan produk turunan dari efek utama baik yang
bersifat penyertaan maupun utang. Derivatif adalah kontrak atau perjanjian yang
nilai atau peluang keuntungannya terkait dengan kinerja aset lain yang mendasari.
Adapun aset yang mendasarinya adalah nilai tukar mata uang, suku bunga, indeks,
atau saham. Produk derivatif yang biasa dikenal adalah forward, future, swap dan
opsi. Derivatif digunakan oleh para pelaku pasar sebagai sarana untuk melakukan
lindung nilai (hedging) atas portofolio yang dimiliki. Produk derivatif yang akan
dibahas pada penelitian ini adalah opsi.

2
Opsi memberikan hak kepada pemegang kontrak untuk membeli atau
menjual suatu aset sesuai harga dan waktu yang telah disepakati pada kontrak.
Opsi saham biasanya banyak diperdagangkan di negara-negara yang umumnya
memiliki kondisi pasar modal yang sudah maju. Suatu opsi tidak akan bernilai
jika pada saat jatuh tempo kontrak tersebut tidak dilaksanakan.
Secara umum ada dua jenis opsi berdasarkan tipe kontraknya, yaitu opsi call
dan opsi put. Opsi call adalah suatu opsi untuk membeli aset pada suatu saat
tertentu untuk harga tertentu (harga strike/eksekusi), sedangkan opsi put adalah
suatu opsi untuk menjual aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu.
Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa yang hanya
dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo dan opsi tipe Amerika yang dapat
dieksekusi pada sembarang waktu selama masa berlakunya opsi (Hull 2009).
Walaupun tidak diketahui secara pasti sejak kapan pertama kalinya kontrak
opsi diperdagangkan, namun diperkirakan para ahli matematika dan ahli filsuf
sejak zaman Romawi dan Yunani dulu telah menggunakan metode yang sama
seperti kontrak opsi. Pada awalnya, perkembangan opsi relatif lambat, pada tahun
1968 saja jumlah kontrak yang diperdagangkan tidak lebih dari 300 ribu kontrak,
karena saat itu para investor melakukan deal (perjanjian) lewat telepon, sedangkan
di satu sisi mereka susah mengetahui apa yang sedang terjadi di pasar pada saat
itu serta berbagai kendala-kendala lainnya. Namun seiring berjalannya waktu,
perdagangan opsi mulai berkembang pesat. Salah satu jenis opsi yang mulai
berkembang adalah opsi reset. Harga strike pada opsi reset dapat di-reset menjadi
nilai yang baru jika harga aset yang mendasarinya menyentuh batas harga tertentu.
Salah satu bursa yang telah menerapkan opsi reset adalah Chicago Board Options
Exchange (CBOE).
Ada banyak penelitian mengenai opsi reset, diantaranya adalah Gray dan
Whaley (1999) menganalisis index S&P 500 dan memperoleh solusi bentuk
tertutup untuk warrant reset dengan tanggal reset tunggal. Cheng dan Zhang
(2000) yang mengevaluasi opsi reset dengan beberapa tanggal reset yang diskret.
Liao dan Wang (2003) memformulasi harga dari opsi reset yang kontinu sebagai
selisih antara harga opsi barrrier down-and-out dengan harga strike awal dan
selisih opsi barrier down-and-in dengan harga strike yang di-reset. Hsiao (2013)
menentukan harga opsi window reset dengan pendekatan masalah nilai batas
persamaan diferensial Black-Scholes.
Model Black-Scholes merupakan suatu model pendekatan analitik untuk
menghitung harga opsi (Hull 2009). Namun model ini mempunyai keterbatasan
yaitu hanya dapat digunakan dalam penentuan harga opsi tipe Eropa standar.
Sedangkan opsi yang digunakan pada penelitian ini adalah opsi yang bersifat
path-dependent. Oleh karena itu diperlukan metode lain untuk menentukan harga
opsi tersebut, salah satunya menggunakan metode tree yang terdiri dari binomial
tree dan trinomial tree. Metode ini dikonstruksi untuk menunjukkan semua
kemungkinan pergerakan harga saham dasar selama masa hidup opsi
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberi informasi bagi pelaku pasar
modal maupun masyarakat luas serta sebagai masukan dalam menetapkan
kebijakan mengenai perdagangan opsi di pasar modal.

3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai pada
penelitian ini adalah menentukan harga opsi call window reset dengan
menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree, serta menganalisis
hubungan faktor-faktor lain yang memengaruhi harga opsi call window reset.

2 TINJAUAN PUSTAKA
Opsi dan Jenisnya
Opsi adalah suatu kontrak/perjanjian yang memberi hak (bukan kewajiban)
untuk membeli atau menjual suatu aset pada pihak tertentu pada suatu saat
tertentu dan pada harga tertentu (Hull 2009). Investasi opsi merupakan sarana
yang paling tepat bagi investor untuk mengontrol suatu saham yang cukup besar
dengan modal yang jauh lebih kecil bila dibandingkan dengan harga saham
aslinya. Ada beberapa komponen opsi, yaitu :
1.
2.

3.
4.

5.

6.

Kontrak opsi yaitu suatu kontrak yang disepakati oleh kedua pihak yang
bersifat mengikat dan tidak dapat dibatalkan secara sepihak.
Hak opsi. Ada 2 jenis hak opsi yaitu hak membeli yang disebut opsi call dan
hak menjual yang disebut opsi put. Opsi call adalah suatu opsi untuk membeli
aset pada suatu saat tertentu dengan harga tertentu yaitu harga strike atau
harga eksekusi. Sedangkan opsi put adalah suatu opsi untuk menjual aset
pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu.
Penerbit (writers) yaitu investor yang menerbitkan kontrak opsi.
Aset dasar adalah aset yang mendasari apa yang diperjualbelikan. Aset ini
dapat berupa saham, komoditi, indeks, suku bunga dan lain-lain. Dalam
penelitian ini akan dibahas opsi dengan aset dasarnya adalah saham.
Harga strike yaitu harga yang ditawarkan oleh penerbit apabila investor
melaksanakan opsinya. Dengan kata lain, harga strike adalah harga dimana
seseorang dapat membeli atau menjual aset yang dikontrakkan.
Waktu jatuh tempo (expiration date) merupakan waktu yang disepakati oleh
kedua pihak untuk mengeksekusi opsinya. Setiap opsi mempunyai masa
hidup mulai dari satu hari sampai maksimal 3 tahun.

Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibagi menjadi dua jenis, yaitu
1. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya
untuk membeli atau menjual aset dasar hanya pada waktu jatuh tempo.
2. Opsi tipe Amerika adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya
untuk membeli atau menjual aset dasar pada sembarang waktu selama masa
berlakunya opsi (Hull 2009).

4
Payoff dari Opsi
Payoff suatu opsi mendeskripsikan nilai opsi sebagai fungsi dari aset dasar
pada saat jatuh tempo atau pada waktu tertentu sebelum masa jatuh tempo. Payoff
untuk opsi put dan opsi call bergantung pada harga aset dasar pada saat dan
harga strike
. Adapun payoff opsi call yaitu
sedangkan payoff
opsi put yaitu
.
Metode Penentuan Nilai Derivatif
Ada banyak metode dalam menentukan nilai derivatif, antara lain:
1. Metode trees: Dengan menggunakan metode trees ini, diharapkan dapat
dilihat beberapa kemungkinan nilai dari saham yang dapat terjadi serta nilai
opsi yang bergantung pada nilai saham tersebut. Metode ini yang akan
dibahas pada penelitian ini, khususnya metode binomial tree dan trinomial
tree.
2. Metode Monte Carlo adalah metode untuk mendapatkan solusi numerik dari
suatu persamaan yang sulit diselesaikan secara analitik dengan cara
membangkitkan bilangan acak.
3. Metode Beda Hingga adalah metode numerik untuk menyelesaikan suatu
persamaan diferensial dengan mengaproksimasi turunan-turunan persamaan
tersebut menjadi sistem persamaan linear dan taklinear.
Ada dua pendekatan yang dikenal secara luas dalam menentukan harga
pasar opsi, yaitu
1. Metode risiko netral (risk-neutral method)
Prinsip yang sangat penting dalam penentuan harga derivatif adalah
pendekatan risk neutral. Metode ini menggunakan anggapan bahwa investor
menghadapi risiko yang sama terhadap suku bunga yang berlaku. Artinya,
pada kondisi yang demikian investor bersedia menerima return atas investasi
opsi sebesar suku bunga bebas risiko yang berlaku saat itu. Pada
pengaplikasiannya metode ini memerlukan waktu yang sedikit lama, sebab
harus melalui beberapa tahap.
Adapun prosedur pendekatan risk neutral adalah:
1. Asumsikan bahwa nilai harapan return dari semua aset yang
diperdagangkan adalah suku bunga bebas risiko.
2. Nilai payoff dari derivatif adalah nilai harapan yang didiskon pada suku
bunga bebas risiko.
Prinsip inilah yang mendasari penggunaan metode tree (Hull 2009).
2. Metode Black-Scholes
Metode Black-Scholes pertama kali diperkenalkan pada tahun 1973 dan
merupakan hasil penelitian dari Fischer Black, Myron Scholes, dan Robert
Merton. Model ini digunakan untuk menentukan nilai opsi Eropa. Selanjutnya
model ini terus dikembangkan dan dipergunakan dalam perdagangan opsi.
Misalkan
menyatakan harga opsi dengan harga saham pada
waktu , menyatakan suku bunga bebas risiko dan adalah volatilitas harga
saham maka persamaan Black-Scholes standarnya adalah (Hull 2009).
.

(1)

5
Path-Dependent Opsi
Path-dependent opsi adalah suatu kontrak opsi yang nilai payoff-nya
bergantung pada perjalanan harga underlying asset selama masa hidup opsi.
Sebagai contoh opsi yang bersifat path-dependent adalah opsi Asia yang harga
strike-nya adalah rata-rata dari harga underlying asset selama masa kontrak (Hull
2009). Contoh lainnya adalah opsi barrier, opsi reset, opsi chooser dan opsi
lockback. Adapun dalam penelitian ini hanya akan dibahas mengenai opsi reset.
Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree
Dalam perdagangan opsi, model yang sangat populer digunakan adalah
model Black-Scholes. Model ini merupakan suatu model pendekatan analitik
dalam menentukan nilai opsi (Hull 2009). Akan tetapi, model ini mempunyai
keterbatasan yaitu hanya dapat digunakan untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa
dan opsi call Amerika yang memiliki sifat yang sama dengan opsi Eropa.
Sedangkan di bursa saham terdapat berbagai jenis opsi-opsi lain yang tidak
memiliki rumus eksak untuk menghitungnya. Misalnya opsi Asia yang nilainya
bergantung pada rata-rata harga saham sampai masa jatuh tempo, opsi Amerika
yang mempunyai sifat early excercise, dan masih banyak lagi opsi-opsi lainnya.
Oleh karena itu, diperlukan metode numerik untuk menghitung nilai opsi tersebut.
Lelong dan Zanette (2013) menyatakan bahwa metode numerik yang paling
populer digunakan dalam penentuan harga derivatif adalah metode binomial tree
dan trinomial tree.
Metode Binomial Tree
Metode binomial tree pertama kali diusulkan oleh Cox, Ross dan Rubinstein
pada tahun 1979 (Hull 2009). Model ini merupakan model komputasi pertama
yang digunakan dalam matematika keuangan. Nwozo dan Fadugba (2014)
menyatakan bahwa metode binomial merupakan metode yang sederhana namun
mempunyai teknik yang kuat untuk mencari solusi Black-Scholes dan merupakan
model penentuan harga opsi kompleks lainnya yang membutuhkan solusi dari
persamaan diferensial stokastik.
Metode binomial dikonstruksi untuk menunjukkan beberapa kemungkinan
nilai dari aset dasar (yang dalam hal ini adalah saham) yang dapat terjadi pada
semua titik waktu selama waktu hidup opsi. Kemungkinan pergerakan harga
saham dan juga opsi dapat dimodelkan menggunakan pohon binomial yang
terdiri dari dua kejadian, yaitu harga saham naik dengan peluang
, dan
harga saham turun dengan peluang
Perhitungan harga opsi dihitung
dengan cara mencari present value dari ekspektasi payoff ketika opsi jatuh tempo
(Cox et al. 1979).
Penentuan Parameter Metode Binomial Tree
Misalkan masa hidup opsi adalah
. Selama selang waktu tersebut
dibagi menjadi subinterval yang sama panjang dengan
dengan
. Misalkan dalam selang waktu
harga saham dapat bergerak

6
naik dengan faktor
dengan peluang

menjadi

dan bergerak turun dengan faktor

√ ,
,
dan
Proses penurunan rumus dapat dilihat pada Lampiran 1.

√

menjadi

(Cox et al. 1979).

Metode Binomial Tree Satu Periode
Pada binomial tree satu periode harga opsi hanya dapat bergerak naik dan
turun satu kali saja. Misalkan waktu hidup opsi call selama dan harga saham
awal pada saat adalah maka pada waktu harga saham akan bergerak naik
menjadi
dengan peluang atau turun menjadi
dengan peluang
.
dan masing-masing adalah faktor pergerakan naik dan turun dalam satu periode
dengan
. Pergerakan harga saham dengan binomial tree satu periode
dapat diilustrasikan pada Gambar 1.
f u  max 0,S0u  K 

S0u

p
S0

f

1 p

t0

t

S0 d
T

f d  max 0,S0 d  K 

Gambar 1 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan
binomial tree satu periode
Dari Gambar 1 juga terlihat ilustrasi pergerakan harga opsi dimana
dan
adalah harga opsi call pada waktu yang telah bergerak naik atau turun, sehingga
jika menyatakan harga opsi call , maka
(2)
Metode Binomial Tree Dua Periode
Misalkan harga saham awal pada saat adalah
dan harga saham pada
saat jatuh tempo adalah . Dalam selang waktu
dibagi menjadi dua
subinterval. Masing- masing subinterval memperlihatkan pergerakan harga saham
naik dengan faktor atau pergerakan turun dengan faktor . Adapun ilustrasi
pergerakan harga saham dengan binomial dua periode diperlihatkan pada Gambar
2 berikut.
S0u 2
S0u

p
S0

S0
1 p
S0 d

S0 d 2

t

0

t

t1

t

t2

Gambar 2 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode

7
Dari Gambar 2 terlihat bahwa pada waktu
harga saham dapat bergerak
naik menjadi
atau turun menjadi
, sedangkan pada waktu harga saham
dapat bergerak naik atau turun satu kali lagi menjadi
,
, dan
. Dari
pergerakan harga saham inilah dapat diilustrasikan pula pergerakan harga opsi
untuk binomial dua periode.
Misalkan
= nilai payoff opsi call pada waktu untuk dua pergerakan harga
saham naik berturut-turut.
= nilai payoff opsi call untuk satu pergerakan harga saham naik dan
satu pergerakan turun.
= nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham turun
berturut-turut.
sehingga

Harga opsi call pada waktu

adalah:

(3)
(4)
Sehingga pergerakan harga opsi pada binomial dua periode ini dapat diilustrasikan
pada Gambar 3.

f uu  max0, S0uu  K 

fu  ert ( pfuu  1  p  fud )

f ud  max0, S0ud  K 

f
f d  ert ( pfud  1  p  f dd )

f dd  max0, S 0 dd  K 
Gambar 3 Ilustrasi pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode
Dari Gambar 3 terlihat pergerakan harga opsi Substitusi (3) dan (4) ke (2) maka
diperoleh harga opsi call pada waktu
adalah
(5)
Pergerakan harga saham pada Gambar 2 dapat diperluas menjadi periode
dalam selang waktu sehingga persamaan (2) dan (5) di atas dapat diperumum
untuk nilai opsi call dengan
, sehingga

8
∑( )

∑( )

(

dengan

(

) dan

)

adalah koefisien

binomial dengan
.
Adapun ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree
diberikan pada Gambar 4.

periode
S0u n

S 0u n1

S0u

S 0 u n2

2

S0u

S 0 u n4

p
S0

S0
1 p

S 0 d n4

S0 d

S0 d 2

S 0 d n 2
S 0 d n1

t0

t

t1

t

t2

tn1

t

Gambar 4 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree

S0 d n

t

n

periode

Seperti yang terlihat pada Gambar 4, ketika trees sudah dikonstruksi dengan
lengkap maka dapat dilihat semua kemungkinan harga saham dari awal masa
hidup opsi sampai opsi jatuh tempo.
Dengan mengambil
, dapat ditunjukkan bahwa metode binomial
konvergen ke solusi Black-Scholes. Berikut akan diperlihatkan bahwa metode
binomial tree konvergen ke solusi Black-Scholes menurut Hull (2009).
Misalkan
adalah present value dari harga opsi call Eropa pada waktu
jatuh tempo
∑( )
∑( )

∑( )

9
dengan

banyak kenaikan saham dalam satu periode
( )

∑( )
Terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa

( )

√

Misalkan
� adalah peluang minimal harga saham naik sebanyak �
kali dalam suatu periode. Menurut Teorema Limit Pusat, untuk
, variabel
acak z terdistribusi normal baku
sehingga diperoleh
�
�
√
� yang diinginkan membentuk harga saham sedemikian sehingga pada saat jatuh
tempo opsi dapat dieksekusi.
�

dengan

sehingga

�

√

√

√

dan

√

√
�

√

(

√

√

√

√

√

√

)

√

10

√

√

√

dengan

√

dapat dibuktikan bahwa:
√

√

√

Selanjutnya akan dibuktikan
Misalkan
� adalah peluang minimal harga saham naik sebanyak �
kali dalam suatu periode. Menurut Teorema Limit Pusat diperoleh
�
�
√
� yang diinginkan membentuk harga saham sedemikian sehingga pada saat jatuh
tempo opsi dapat dieksekusi.
�

dengan
sehingga

�

√

√

√

√

dan

�

√
√

(

√

√

√

√

)

√

√

√

√

√

√

11

√

dengan

√

dapat dibuktikan bahwa:
√

√

√

Jadi terbukti bahwa metode binomial tree konvergen ke solusi Black-Scholes.
Metode Trinomial Tree
Seiring perkembangan waktu, metode binomial dianggap terlalu ekstrem
karena hanya memandang dua kejadian perubahan harga saham yaitu harga saham
naik dan harga saham turun. Pada kenyataannya terdapat banyak kemungkinan
perubahan harga saham seperti yang diilustrasikan pada trinomial tree yang
melibatkan tiga kemungkinan perubahan harga saham atau bahkan multinomial
yang melibatkan kemungkinan perubahan harga saham.
Trinomial tree pertama kali diperkenalkan oleh Boyle (1986). Ssebugenyi
(2007) memaparkan bahwa model Boyle ini juga didasari pada kecocokan mean
dan varians dari distribusi kontinu dan distribusi diskret. Tujuan dari penggunaan
metode trinomial ini adalah untuk meningkatkan akurasi dan kecepatan dalam
menghitung pergerakan harga saham bila dibandingkan menggunakan binomial
tree (Haahtela 2010). Seiring dengan semakin berkembangnya ilmu pengetahuan
maka Hull (2009) menentukan nilai parameter penentuan harga opsi yang
berbeda dengan Boyle. Adapun parameter penetuan harga opsi yang akan
digunakan dalam tesis ini adalah parameter dari Hull (2009).
Penentuan Parameter Metode Trinomial Tree
Pada dasarnya trinomial tree sama dengan metode binomial tree. Misalkan
masa hidup opsi adalah
. Selama selang waktu tersebut dibagi menjadi
subinterval yang sama besar dengan
sehingga
.
Pada trinomial tree, dalam selang waktu
harga saham memiliki tiga parameter
pergerakan harga saham yaitu
dan yang masing-masing merupakan faktor
pergerakan harga saham naik, tetap dan turun serta mempunyai tiga peluang
terkait yang masing-masing adalah
, dan . Harga saham naik dengan
peluang , harga saham turun dengan peluang , dan harga saham tetap dengan
peluang .
.
Perhitungan nilai , , , , dan
menurut Hull (2009) adalah sebagai
berikut.
√

√

,

,
.

√

,

Proses penurunan formula (7) dapat dilihat pada Lampiran 3.

,
(7)

12
Metode Trinomial Tree Satu Periode
Misalkan suatu opsi call mempunyai waktu hidup
, harga saham awal
pada saat adalah maka pada saat T harga saham akan naik dengan peluang
menjadi
, harga saham tetap dengan peluang
dan harga saham turun
dengan peluang
menjadi
. Adapun pergerakan harga saham dan harga opsi
dengan trinomial satu periode ini ditunjukkan pada Gambar 5.

f u  max0, S0u  K 

S 0u

pu
pm

S0

S0

f

f m  max0, S0  K 

pd
t0

t

S0d
T

f d  max0, S0 d  K 

Gambar 5 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan
trinomial tree satu periode
Dari pergerakan harga saham pada bagian kiri Gambar 5 dapat diilustrasikan pula
pergerakan harga opsi seperti yang terlihat pada Gambar 5 bagian kanan, sehingga
harga opsi call dapat dirumuskan sebagai
(8)
dengan , ,
adalah harga opsi call pada masing-masing pergerakan naik,
turun dan tetap.
Metode Trinomial Tree Dua periode
Misalkan suatu opsi call mempunyai waktu hidup
. Dalam interval
waktu tersebut dibagi dalam dua subinterval dengan masing-masing subinterval
mempunyai peluang bahwa harga saham akan bergerak naik, tetap dan turun
dengan peluang
,
, dan
dengan
. Adapun ilustrasi
pergerakan harga saham dengan binomial tree satu periode ditunjukkan pada
Gambar 6.

13
S 0u 2

S 0u

S0

S0u

S0

S0

S0d

t0

t

t1

S0 d

t

S0 d 2
t2

Gambar 6 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua
periode
Dari Gambar 6, pada saat harga saham bergerak naik menjadi
, harga
saham tetap dan harga saham turun
. Sedangkan pada saat harga saham
dapat bergerak naik, tetap dan turun satu kali lagi menjadi
,
, ,
,
dan
. Selanjutnya dari pergerakan harga saham ini dapat pula diberikan
pergerakan harga opsi.
Misalkan
= nilai payoff opsi call pada waktu untuk dua pergerakan harga
saham naik berturut-turut.
= nilai payoff opsi call untuk satu pergerakan harga saham tetap dan
satu pergerakan naik.
= nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham naik dan
pergerakan harga saham turun
= nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham tetap
dan harga saham turun
= nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham turun
berturut-turut
Harga opsi call pada waktu adalah
(9)
(10)
(11)
Adapun ilustrasi lengkap pergerakan harga opsi dengan trinomial tree dua periode
diperlihatkan pada Gambar 7.

14



f uu  max 0, S 0 u 2  K

f



f u  e rt  pu f uu  pm f um  pd f ud 

f um  max0, S 0 um  K 

f m  e rt  pu f um  pm f ud  pd f dm 

f ud  f mm  max0, S 0 ud  K 

f d  e rt  pu f ud  pm f dm  pd f dd 

f md  max0, S 0 md  K 



f dd  max 0, S 0 d 2  K



Gambar 7 Ilustrasi pergerakan harga opsi call dengan trinomial tree dua
periode
Sehingga berdasarkan Gambar 7, harga opsi call
pada saat
diperoleh dengan mensubstitusikan (9), (10) dan (11) ke persamaan (8)

dapat

.
Seperti halnya binomial tree, trinomial tree juga dapat diperluas menjadi
. Trinomial
periode dengan adalah waktu jatuh tempo maka besarnya
tree periode dapat diilustrasikan pada Gambar 8.
S0u n

S 0u 2

S 0u

S0

S0

S 0 u n1

S 0 u n1

S 0 u n2

S 0 u n2

S 0 u n3

S0u

S0

S0d

S 0 d n3

S0 d

S 0 d n 2

S 0 d n 2

S 0 d n1

S 0 d n1

S0 d 2

S0 d n

t

0

t1

t2

Gambar 8 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree

tn
periode

15
Ketika tree sudah dikonstruksi dengan lengkap seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 8 maka dapat dilihat semua kemungkinan harga saham dari awal
masa hidup opsi sampai waktu jatuh tempo. Dari pergerakan harga saham
tersebut dapat pula diilustrasikan pergerakan harga opsi dengan
periode
sehingga harga opsi call untuk periode dapat digeneralisasi menjadi
∑∑
Opsi Reset
Pemegang opsi call mempunyai hak untuk membeli saham dengan harga
yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Di samping itu, investor selalu ingin
membeli opsi dengan harga terbaik. Akibatnya muncullah opsi yang bersifat pathdependent yang memungkinkan harga strike berubah. Hsiao at al (2011)
mengemukakan bahwa opsi reset telah diperdagangkan selama beberapa tahun.
Pada akhir tahun 1996, Chicago Board Options Exchange (CBOE) dan New York
Stock Exchange memperkenalkan indeks S&P 500 dengan reset put warrant
untuk periode reset 3 bulan. Chang at al (2006) mengemukakan bahwa opsi reset
merupakan opsi yang bersifat path-dependent.
Tujuan dari opsi reset adalah untuk menghindari investor dari risiko
downside yang memengaruhi harga aset dasar selama pasar keuangan tak menentu,
sehingga harga aset tidak akan turun secara signifikan. Opsi window reset adalah
opsi reset dengan window reset terus menerus secara parsial, artinya jika
diberikan window reset
maka selama jangka waktu tersebut, harga strike
pada opsi window reset akan disesuaikan ke nilai yang baru jika harga saham di
bawah ambang batas tertentu (Hsiao 2013).
Misalkan suatu opsi call tipe Eropa dengan harga strike , batas reset �
dengan � adalah level reset,
�
window reset
, maka payoff opsi
call window reset pada waktu menurut Hsiao (2013) adalah sebagai berikut.
{

dengan
{

�

�
�

(12)

Ketika harga saham mengikuti gerak Brown geometri maka harga opsi
harus memenuhi persamaan diferensial Black-Scholes (Hsiao 2013). Selama
window reset
jika harga aset dasar mencapai reset strike, maka harga
strike akan di-reset menjadi harga strike yang baru yaitu sebesar � dan tidak
akan berubah sampai waktu jatuh tempo. Pada situasi ini, harga opsi pada saat
jatuh tempo adalah sebesar pengurangan harga saham pada saat jatuh tempo
dengan harga strike yang baru. Namun, jika harga aset dasar tidak menyentuh
reset strike selama window reset
maka harga strike tidak akan berubah
dan harga opsi pada saat jatuh tempo adalah sebesar pengurangan harga saham
dengan harga strike .

16

3 METODE
Terdapat banyak metode numerik untuk menentukan harga opsi, diantaranya
adalah dengan menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree. Pada
penelitian ini, akan dibahas penentuan harga opsi call window reset dengan
menggunakan kedua metode tree tersebut. Pada saat binomial tree dan trinomial
tree telah dikontruksi menjadi periode maka sulit sekali untuk menghitung
harga opsi call window reset secara manual. Oleh karena itu diperlukan simulasi
numerik untuk menghitungnya. Simulasi terhadap model mengggunakan fasilitas
komputasi program MATLAB.
Adapun langkah-langkah umum yang akan dilakukan adalah
1. Menentukan harga opsi call window reset dengan menggunakan metode
binomial tree dan trinomial tree,
2. Menganalisis pengaruh window reset dan level reset terhadap harga opsi call
window reset,
3. Menganalisis faktor-faktor lain yang memengaruhi harga opsi call window
reset.

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan suatu opsi call tipe Eropa dengan harga strike , reset strike �
dengan � adalah level reset,
�
, dengan window reset
maka
payoff opsi call window reset adalah sebagai berikut.
{

dengan
{

�

�
�

Dengan adanya opsi call window reset maka harga opsi mempunyai batasan
tertentu. Jika harga saham lebih kecil atau sama dengan nilai reset strike pada
maka harga strike akan di-reset
waktu tertentu yaitu dalam selang waktu
menjadi nilai yang baru yaitu sebesar � dan nilai opsi call-nya adalah sebesar
pengurangan dari nilai aset dasar dengan harga strike reset yang baru yaitu
lebih
�
. Sebaliknya jika harga saham pada selang waktu
besar dari harga strike maka opsi tidak akan di reset dan payoff-nya menjadi
. Dengan kata lain, ketika harga saham terus menerus turun maka
opsi tersebut akan di-reset dengan harga strike yang baru sehingga payoff dari
opsi tidak akan turun secara signifikan. Hal inilah yang menjadi tujuan dari opsi
reset yaitu untuk mengindari investor dari risiko downside.
Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Binomial Tree
Misalkan suatu opsi call mempunyai waktu jatuh tempo selama
tahun
dengan harga saham saat ini
, harga strike sebesar
, suku bunga
bebas risiko
, volatilitas
dan level reset sebesar �
.

17
Selanjutnya akan dianalisis dengan binomial tree satu periode, dua periode, empat
periode dengan window reset
dan ketika periode semakin meningkat maka
harga opsi akan dihitung dengan simulasi menggunakan software Matlab.
Binomial Tree Satu Periode
Misalkan opsi mempunyai waktu jatuh tempo selama
tahun. Pada
binomial tree satu periode, opsi call window reset tidak relevan untuk digunakan
karena pada binomial satu periode ini waktu hidup opsi hanya dibagi menjadi
waktu awal opsi berlaku
dan waktu jatuh tempo . Sehingga harga opsi
( ) yang berlaku ialah harga opsi call standar, bukan harga opsi call window reset.
(
)

Binomial Tree Dua Periode
Misalkan opsi memiliki waktu hidup selama
tahun. Misalkan pula
dalam selang waktu
dibagi menjadi dua subinterval
dan
dengan
. Dari parameter yang telah diberikan tersebut,
diperoleh
,
,
,
,
,
. Maka pergerakan harga
�
dengan window reset
sahamnya adalah sebagai berikut
152.8465

123.6311

100

100
80.8858

t0

t

t1

t

65.4251
t2

Gambar 9 Pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode
Pada selang waktu sampai , jika harga sahamnya mencapai reset strike
yaitu �
maka harga strike akan di-reset menjadi � . Ini mengakibatkan
pada saat harga saham turun pada waktu
maka harga strike-nya pun akan
mengikuti harga strike sebelumnya. Akibatnya pergerakan harga opsinya adalah
seperti yang terlihat pada Gambar 10.

18
57.8465
32.3561

5

18.0148

2.6068
0

Gambar 10 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode
Sehingga dari Gambar 10 diperoleh harga opsi call window reset adalah
.
Binomial Tree Empat periode
Misalkan opsi memiliki waktu jatuh tempo selama
tahun. Misalkan
pula selama interval waktu [
dibagi menjadi empat subinterval
,
,
dan
dengan
. Dari parameter yang
telah diberikan diperoleh
,
,
,
,
dengan window reset
.
Akibatnya pergerakan harga sahamnya adalah:
182.2119
156.8312
134.9859
116.1834

100

134.9859
116.1834

100
86.0708

100
86.0708
74.08182

74.0818
63.7628

54.8812

t0

t1

t2

t3

t4

Gambar 11 Pergerakan harga saham dengan binomial tree empat periode
Dari Gambar 11, selama window reset
jika harga saham naik maka
harga strike tidak akan di-reset, sebaliknya jika harga saham turun dan menyentuh
reset strike maka harga strike akan di-reset menjadi harga strike yang baru.
Akibatnya pergerakan harga opsi untuk binomial tree empat periode dapat
diilustrasikan pada Gambar 12.

19
87.2119
63.7123
45.7108
28.7656

39.9859
23.0646

5

13.1711

18.3732

7.4594

2.5958
1.3477

0
0
0

Gambar 12 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree empat periode
Dari Gambar 12 pada saat opsi jatuh tempo, harga opsi adalah pengurangan
dari harga saham dan harga strike
jika harga saham terus bergerak naik dan
sebaliknya harga opsi adalah pengurangan harga saham dengan harga strike yang
baru yaitu sebesar � jika harga saham terus menerus bergerak turun, sehingga
diperoleh nilai opsi call window reset adalah
.
Algoritme Opsi Call Window Reset Tipe Eropa dengan Menggunakan Metode
Binomial Tree (menggunakan sintaks Matlab)
Misalkan
adalah harga saham pada waktu .
1. Input harga saham awal
, harga strike
, nilai volatilitas saham
,
waktu jatuh tempo
, banyak periode
dan level reset � , window reset
.
2. Hitung nilai
.
3. Hitung peluang harga saham naik
dan peluang harga saham turun
.
4. Konstruksi harga saham pada masing-masing titik waktu dengan binomial tree.
Dalam selang
harga saham dapat dibagi dalam subinterval (titik waktu)
yang sama panjang dengan
Masing-masing subinterval memperlihatkan
pergerakan harga saham naik dengan faktor
pergerakan harga saham turun dengan faktor
sehingga
Lakukan sampai kali pergerakan harga saham.
5. Hitung payoff opsi call window reset pada saat jatuh tempo.
5.1 Hitung nilai strike reset yaitu �
periksa semua kemungkinan nilai
5.2 Selama window reset
Jika
� maka
Jika
� maka
�
5.3 Payoff pada saat jatuh tempo adalah sebesar max
.

20
6. Hitung harga opsi call window reset pada waktu nol mengggunakan metode
backward induction.
7. Tampilkan harga opsi call window reset.
Hasil Simulasi Binomial Tree
Ketika binomial tree diperluas dengan n periode maka sulit sekali untuk
mencari nilai opsi call window reset secara manual. Oleh karena itu, diperlukan
simulasi numerik untuk menentukan harga opsi call window reset ini. Pada karya
ilmiah ini, simulasi dilakukan menggunakan software Matlab.
Kondisi simulasi diatur dengan menggunakan parameter-parameter berikut:
,
,
,
,
tahun. Berdasarkan parameter
tersebut, diperoleh nilai analitik untuk opsi call Eropa adalah 18.3871. Setelah
dilakukan simulasi binomial tree untuk opsi call Eropa standar dan opsi call
window reset dengan banyak periode 2 sampai 1024 , �
dan window reset
(0,0.5) maka diperoleh Gambar 13.
Harga Opsi Call

50

Opsi Call
Window
Reset
Opsi Call
Eropa

40
30
20
10
0
0

500
1000
Banyak Periode (n)

1500

Gambar 13 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call
dengan menggunakan metode binomial tree
Dari Gambar 13 terlihat bahwa harga opsi call Eropa dengan metode
binomial tree akan semakin mendekati solusi analitik untuk yang semakin besar.
Setelah dilakukan simulasi untuk penentuan harga opsi call window reset
menggunakan metode binomial tree terlihat adanya perbedaaan nilai yang sangat
signifikan, yaitu harga opsi call window reset Eropa cenderung lebih tinggi jika
dibandingkan dengan nilai opsi call Eropa standar. Perbedaan harga ini
dipengaruhi oleh level reset dan window reset. Untuk melihat pengaruh kedua
faktor tersebut, dilakukan simulasi dengan menggunakan parameter yang sama.
Hasil simulasi pengaruh level reset terhadap harga opsi call window reset dapat
dilihat pada Gambar 14.

21

Harga Opsi Call Window
Reset

100
80
60
40
20
0
0

0.2

0.4
0.6
Level Reset (�)

0.8

1

Gambar 14 Hubungan antara level reset dengan harga opsi call windows
reset menggunakan metode binomial tree
Dari Gambar 14 terlihat bahwa semakin besar level reset maka semakin
kecil harga opsi call window reset. Namun, dari grafik terlihat pula perbedaan
yang sangat signifikan pada saat level reset-nya adalah nol. Level reset sebesar
nol adalah harga opsi call Eropa standar. Dengan demikian, pengaruh level reset
terhadap harga opsi call window reset sangat besar yaitu semakin kecil level reset
maka semakin besar harga opsi call window reset.
Selanjutnya, hasil simulasi numerik pengaruh window reset terhadap harga
opsi call window reset dapat dilihat pada Tabel 1. Adapun window reset yang
digunakan masing-masing adalah (0,0.25), (0,0.5) dan (0,0.75).
Tabel 1 Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga opsi call
window reset menggunakan metode binomial tree
n
Harga Opsi Call Window Reset
Window (0,0.25) Window (0,0.5)
Window(0,0.75)
2
18.0148
4
18.3732
18.3732
19.9161
8
18.4922
28.2908
28.2908
16
18.4978
35.7642
35.7642
32
39.0759
39.0759
39.0759
64
39.1262
39.1262
39.1262
128
39.123
39.123
39.123
256
39.1202
39.1202
39.1202
512
39.122
39.122
39.122
1024
39.1215
39.1215
39.1215
Dari Tabel 1, panjang interval window reset tidak mempunyai pengaruh
yang signifikan terhadap penentuan harga opsi call window reset. Pada beberapa
pembagian waktu (periode) awal, harga opsi call window reset berbeda pada
masing-masing window yang berbeda. Pada saat n = 2 sampai n = 16 harga opsi
call window reset pada masing-masing window berbeda mempunyai nilai yang
terus meningkat seiring meningkatnya periode. Namun pada saat n = 32 harga
opsi call window reset mulai konstan pada masing-masing window berbeda.
Semakin diperbesar periodenya maka harga opsi pada masing-masing window

22

Harga Opsi Call
Window Reset

adalah sama. Terjadinya perbed