Pemaksimuman Utilitas Keuntungan Bank dengan Kontrol Optimum Stokastik

PEMAKSIMUMAN UTILITAS KEUNTUNGAN BANK
DENGAN KONTROL OPTIMUM STOKASTIK

AISIAH PUTRI PRATIWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemaksimuman
Utilitas Keuntungan Bank dengan Kontrol Optimum Stokastik adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2013
Aisiah Putri Pratiwi
NIM G54090032

ABSTRAK
AISIAH PUTRI PRATIWI. Pemaksimuman Utilitas Keuntungan Bank dengan
Kontrol Optimum Stokastik. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI
dan TONI BAKHTIAR.
Pada umumnya, bank menggunakan Aturan Basel II untuk menentukan
besaran modal yang harus disediakan. Modal bank tersebut dialokasikan untuk
investasi bank pada pinjaman, provisi, pemenuhan konsumsi deposito dan untuk
pemenuhan komponen-komponen bank lainnya. Namun, besar alokasi pada tiap
komponen-komponen tersebut belum memaksimumkan nilai harapan utilitas
konsumsi pada selang periode tertentu dan nilai harapan utilitas keuntungan di
akhir periode. Dengan kontrol optimum stokastik, nilai harapan utilitas total bank
akan dimaksimumkan dengan tiga peubah kontrol yaitu nilai investasi bank pada
pinjaman, provisi, dan konsumsi deposito. Sebagai kendala adalah pergerakan
peubah keuntungan berupa persamaan diferensial stokastik, sehingga masalah
optimasi ini disebut dengan masalah kontrol optimum stokastik dengan fungsi

objektif berupa nilai harapan dari diskonto utilitas total bank pada selang periode
tertentu. Masalah kontrol optimum stokastik ini diselesaikan menggunakan
persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB).
Kata kunci: masalah kontrol optimum stokastik, model perbankan, persamaan
diferensial stokastik, persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)

ABSTRACT
AISIAH PUTRI PRATIWI. Maximizing the Profit of Banking Utilities by Using
Stochastic Optimal Control. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI
and TONI BAKHTIAR.
Generally, a bank uses Basel II rules to determine how much the bank
capital should be available. The capital is managed by bank as loan, provision,
depository consumption, and other bank’s accomplishments. However, each
allocation value may not yet maximize the value expectation of consumption
utilities in specific time period and the value axpectation of profit utilities in
terminal time. By using stochastic optimal conrols, the value expectation of total
utilities will be maximized with three control variables, i.e. bank’s investment in
loan, provision, and depository consumption. The rate of profit as constraint is in
the form of stochastic differential equation, so this process is called stochastic
optimal control process, with the objective function is the value expectation of the

discounted total utilities in specific time period. This stochastic optimal control
problem is solved by Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations.
Keywords: banking model, Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, stochastic
optimal control, stochastic differential equation

PEMAKSIMUMAN UTILITAS KEUNTUNGAN BANK
DENGAN KONTROL OPTIMUM STOKASTIK

AISIAH PUTRI PRATIWI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR

2013

Judul Skripsi: Pemaksimuman Utilitas Keuntungan Bank dengan Kontrol
Optimum Stokastik
: Aisiah Putri Pratiwi
Nama
:. G 5409003 2
NIM

Disetujui oleh

Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Pembimbing I

Tanggal Lulus:

r19

AUG 201g

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Pembimbing II

Judul Skripsi : Pemaksimuman Utilitas Keuntungan Bank dengan Kontrol
Optimum Stokastik
Nama
: Aisiah Putri Pratiwi
NIM
: G54090032

Disetujui oleh

Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Pembimbing I

Diketahui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Pembimbing II

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2012 ini ialah
pemodelan ekonomi keuangan, dengan judul Pemaksimuman Utilitas Keuntungan
Bank dengan Kontrol Optimum Stokastik.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani,
MS dan Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku pembimbing, serta Ibu Ir. Retno
Budiarti, MS yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, dan seluruh keluarga, serta teman-teman serumah,
atas segala doa dan kasih sayangnya, serta para dosen, staf, dan seluruh civitas
akademik Departemen Matematika IPB yang telah memberikan ilmu dan bantuan
kepada penulis.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2013
Aisiah Putri Pratiwi

DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1 

Latar Belakang

1 

Tujuan Penelitian

2 

TINJAUAN PUSTAKA

2

Definisi

2

Persamaan Diferensial Stokastik

5

Masalah Kontrol Optimum Stokastik

7

Beberapa Istilah Perbankan

10

HASIL DAN PEMBAHASAN

12 

Model Matematika dan Pembahasan

12 

Proses Optimasi

16 

Studi Kasus

18 

SIMPULAN

24 

DAFTAR PUSTAKA

24 

LAMPIRAN

26

RIWAYAT HIDUP

35

DAFTAR GAMBAR
1
2

Pengaruh waktu dan keuntungan awal terhadap total utilitas eksponen
Pengaruh waktu dan keuntungan awal terhadap total utilitas pangkat

20 
23 

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6

Sifat proses Wiener
Formula Ito
Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)
Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) dengan diskonto
Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) pada persamaan (24)
Program Maple 13 untuk Gambar 1 dan Gambar 2

26 
27 
28 
30 
32 
34 

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perekonomian secara luas didefinisikan sebagai seluruh kegiatan produksi
dan konsumsi yang saling berkaitan. Istilah ini dapat menunjuk pada kegiatan di
suatu negara atau kelompok negara. Dalam perekonomian, alokasi sumber daya
ditentukan oleh keputusan-keputusan mengenai produksi, penjualan, dan
pembelian yang dibuat oleh perusahaan, rumah tangga, dan pemerintah (Lypsey et
al. 1995).
Bagian dari perekonomian dinamakan dengan sektor perekonomian. Sebagai
contoh, sektor pertanian dan peternakan adalah bagian dari perekonomian yang
menghasilkan komoditas pertanian dan peternakan. Selain sektor pertanian dan
peternakan, terdapat tujuh belas sektor perekonomian lain yang diperhitungkan
oleh Bank Indonesia, yaitu perikanan; pertambangan dan penggalian; industri
pengolahan; listrik, gas dan air; konstruksi; perdagangan besar dan eceran;
penyedia akomodasi; transportasi, perdagangan dan komunikasi; jasa keuangan;
real estate, usaha persewaan dan jasa perusahaan; administrasi pemerintahan,
pertahanan dan jaminan sosial wajib; jasa pendidikan; jasa kesehatan dan kegiatan
sosial; jasa kemasyarakatan, sosial budaya, hiburan dan perorangan lainnya; jasa
perorangan yang melayani rumah tangga; badan internasional dan badan ekstra
internasional lainnya; dan kegiatan-kegiatan lainnya. Beberapa penelitian dan data
menunjukkan bahwa sektor jasa keuangan merupakan sektor yang paling
berpengaruh terhadap perekonomian secara keseluruhan, khususnya di kawasan
Jabodetabek. Oleh karena itu, penulis mencoba memahami fenomena jasa
keuangan khususnya perbankan di samping alasan akademik penulis di bidang
matematika yang erat dengan pembahasan tentang keuangan.
Pada hakikatnya tujuan dari kegiatan ekonomi adalah untuk
mengoptimalkan keuntungan atau kepuasan dengan kendala sumber daya yang
terbatas. Seorang atau sekelompok konsumen melakukan kegiatan konsumsi
dengan tujuan memaksimalkan kepuasan. Sedangkan seorang atau sekelompok
produsen melakukan kegiatan produksi dengan tujuan memaksimalkan
keuntungan. Penyedia jasa keuangan dalam hal ini perbankan juga memiliki misi
untuk mencapai keuntungan maksimum dengan kendala-kendala yang ada.
Optimasi operasional perbankan guna memaksimalkan keuntungan bank
melibatkan kondisi pasar persaingan yang tidak sempurna. Selain adanya
permasalahan persaingan, pertimbangan yang lebih penting dalam optimasi ini
adalah menentukan besaran modal yang mampu memainkan peran penting dalam
menghasilkan keuntungan yang berkaitan dengan persoalan penerbitan kredit.
Besaran modal tersebut bisa ditentukan dengan menjaga keseimbangan antara aset
(asset) dan liabilitas (liabilities). Keseimbangan ini dapat dibentuk dengan
pendekatan optimasi konsumsi deposito (depository consumption) dan optimasi
keuntungan akhir. Konsumsi deposito di sini diartikan pengeluaran bank akibat
menggunakan dan menahan deposito. Selain konsumsi deposito, nilai investasi

2
bank di pinjaman (loan) dan provisi (biaya kegagalan atau kehilangan pinjaman)
juga dapat dijadikan peubah kontrol untuk memaksimumkan keuntungan bank.
Faktor lain yang berpengaruh dalam proses optimasi keuntungan adalah
ketentuan dalam pengawasan dan peraturan-peraturan. Saat ini, peraturan bank
diadopsi dari Aturan Basel II yang diimplementasikan secara luas sejak akhir
tahun 2007. Aturan Basel II mengadopsi tiga pilar utama, yaitu kebutuhan modal
minimum, proses pengawasan, dan disiplin pasar. Tiga pilar tersebut dihubungkan
menjadi kesatuan rasio modal bank dengan risk-weighted asset (RWA) yang
disebut dengan rasio kecukupan modal (capital adequacy ratio, CAR). CAR
merupakan kewajiban bank umum untuk menyediakan modal minimum sebesar
persentase tertentu dari seluruh variasi aset yang terboboti risiko yang melekat
sebagaimana ditetapkan oleh Bank Indonesia. CAR berperan penting dalam
penentuan indeks kelayakan modal yang dipegang oleh bank. Meskipun
kecukupan modal bank diatur dalam Aturan Basel II, tidak menjadi masalah jika
modal bank ditingkatkan dengan mengeluarkan kekayaan atau menjual sekuritas
atau membuat peraturan keuntungannya sendiri (Petersen et al. 2007).

Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah
1. Mempelajari masalah kontrol optimum stokastik di bidang perbankan.
2. Menentukan konsumsi deposito, nilai investasi bank di pinjaman dan provisi
sebagai komponen kontrol dalam proses kontrol optimum stokastik yang akan
memaksimalkan utilitas total bank.
3. Melakukan studi kasus penerapan kontrol optimum stokastik untuk
mengilustrasikan utilitas total yang sudah dimaksimalkan.

TINJAUAN PUSTAKA
Definisi
Dalam penelitian ini akan dibahas proses optimasi utilitas total pada bank
yang kendalanya berupa pergerakan keuntungan bank. Kendala tersebut
diekspresikan dengan persamaan diferensial stokastik (stochastic differential
equation). Sebelum masuk pada bahasan persamaan diferensial stokastik, akan
dibahas materi-materi lain yang mendasari masalah persamaan diferensial
stokastik.

3
Peubah Acak
Misal ruang contoh, suatu fungsi :
disebut peubah acak jika untuk
setiap interval
, :
adalah suatu kejadian (Ghahramani, 2005).
Nilai Harapan
Nilai harapan dari peubah acak diskret
dengan himpunan nilai
kemungkinan dan fungsi massa peluang
didefinisikan dengan
.

Nilai harapan
ada jika jumlah persamaan di atas konvergen (Ghahramani,
2005).
Nilai harapan dari peubah acak kontinu
dengan himpunan nilai
kemungkinan dan fungsi massa peluang
didefinisikan dengan

Nilai harapan

.

ada jika jumlah integral di atas konvergen.

Proses Stokastik
Proses stokastik
,
adalah suatu koleksi (gugus, himpunan,
atau kumpulan) peubah acak (random variable) yang memetakan suatu ruang
contoh (sample space) Ω ke suatu ruang semesta , dengan berupa suatu selang
waktu atau berupa himpunan waktu. Proses stokastik dikatakan proses stokastik
dengan waktu kontinu (continous-time stochastic process) jika adalah suatu
selang (Ross 2007).
Riap Bebas dan Riap Tetap
Riap (increment) pada proses stokastik adalah kenaikan atau pertumbuhan
nilai atau jumlah. Terdapat dua jenis riap yaitu riap bebas dan riap tetap.
Penjelasan dua riap tersebut adalah sebagai berikut (Ross 2007):
1. Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
,
disebut memiliki
riap bebas jika untuk semua
…
, peubah acak
,
,
,…,
adalah bebas.
2. Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
,
disebut memiliki
riap tetap jika
memiliki sebaran yang sama untuk semua .
Proses Poisson
Suatu proses pencacahan
,
disebut proses Poisson dengan laju
,
, jika dipenuhi tiga syarat berikut (Ross 2007):
1.
.
2. Proses tersebut memiliki riap bebas.
3. Banyaknya kejadian pada sembarang selang waktu dengan panjang memiliki
sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi untuk semua ,
,

,
, , ….
!
Contoh kasus yang mengikuti proses Poisson antara lain adalah masalah
antrian. Pada saat
, banyaknya orang yang mengantri adalah 0. Banyaknya

4
orang yang mengantri pada selang waktu acak tertentu tidak bergantung pada
banyaknya orang yang mengantri pada selang waktu sebelumnya atau sesudahnya.
Banyaknya orang yang mengantri pada sembarang selang waktu dengan panjang
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan , di mana menyatakan laju
bertambahnya orang yang mengantri. Dari kondisi-kondisi yang sudah disebutkan,
masalah antrian dapat dinyatakan sebagai proses Poisson. Pada bidang keuangan,
masalah yang memenuhi proses Poisson di antaranya adalah kegagalan pinjaman
(loan default).
Gerak Brown dan Proses Wiener
Gerak Brown adalah gerak yang tidak beraturan, sehingga untuk
memodelkannya diperlukan suatu pendekatan. Contoh kasus yang mengikuti
gerak Brown antara lain pergerakan partikel yang sangat kecil seperti pada tepung
jagung pada media liquid. Banyaknya serbuk pada tepung jagung tidak mungkin
bisa dihitung besaran eksaknya, sehingga hanya pergerakan serbuk saja yang bisa
diteliti dengan bantuan mikroskop. Setelah diteliti, ditemukan bahwa pergerakan
serbuk tepung jagung pada media liquid sangat tidak beraturan. Dengan
pendekatan proses Wiener nantinya akan didapatkan persamaan diferensial
stokastik, selanjutnya dengan menyelesaikan persamaan tersebut akan didapatkan
besaran nilai yang mendekati nilai banyaknya serbuk jagung yang diteliti. Pada
bidang keuangan hampir seluruh komponen keuangan seperti saham, harga,
besaran kredit yang disediakan bank dan komponen-komponen keuangan lainnya
mengikuti gerak Brown karena pergerakannya yang sangat tidak teratur (Capasso
dan Bakstein 2005).
Sebuah peubah mengikuti proses Wiener jika mengikuti kondisi berikut
(Capasso dan Bakstein 2005):
1.
terpenuhi.
2. Proses tersebut memiliki riap bebas.
3.
menyebar normal
,
,
.
Perluasan proses Wiener pada peubah yang dihubungkan dengan peubah
didefinisikan dengan persamaan berikut:
,
dengan merupakan parameter drift dan dikenal dengan parameter varians,
serta dan konstan. Sedangkan untuk dan berupa fungsi terhadap peubah
dan , proses Wiener diperluas mengikuti persamaan berikut:
,
.
,
Selanjutnya persamaan tersebut biasa disebut dengan persamaan diferensial
stokastik.
Terdapat tiga gerak Brown yang penting dalam aplikasinya di bidang
keuangan (Capasso dan Bakstein 2005):
.
1. Gerak Brown aritmatik:
,
.
2. Gerak Brown geometrik:
,
3. Proses Ornstein-Uhlenbeck:
,
.
Sifat Proses Wiener
Jika
,
} adalah proses Wiener, maka (Capasso dan Bakstein
2005)
1.
, untuk semua
.

5
, untuk semua

2. var

.

3.
, untuk semua
, .
Bukti Sifat Proses Wiener di atas diberikan pada Lampiran 1.
Usikan
Usikan (noise) adalah kejadian-kejadian alamiah yang hanya diketahui sebaran
peluangnya. Usikan yang diekspresikan ke dalam proses stokastik
memenuhi
(Oksendal 1995)
maka
dan
bebas.
1. Jika
2.
,
memiliki riap tetap.
3.
untuk semua .
Persamaan Diferensial Stokastik
Persamaan Diferensial Stokastik
Persamaan diferensial stokastik merupakan persamaan diferensial pada
proses stokastik dengan waktu kontinu yang mengikuti ketentuan riap
dalam selang ,
merupakan penjumlahan dari parameter drift
dan parameter varians. Parameter drift adalah parameter yang pergerakannya
dipengaruhi oleh waktu. Sedangkan parameter varians adalah parameter yang
pergerakannya dipengaruhi oleh proses Wiener (Kulkarni 2009).
Misal diberikan parameter drift
,
dan parameter varians
,
serta terdapat proses Wiener
, maka
dengan
,
persamaan diferensial stokastik memenuhi persamaan berikut (Capasso dan
Bakstein 2005):
,
,
,
.
Terhadap persamaan diferensial stokastik di atas, operator diferensial
didefinisikan sebagai berikut:
·
·
(1)
·
,
,
.
Formula Ito
Formula Ito merupakan formula dalam proses stokastik yang memberikan
cara alternatif dalam menyelesaikan masalah persamaan diferensial stokastik dan
integral stokastik. Penyelesaian dengan menggunakan formula Ito akan lebih
mudah dibanding dengan menyelesaikan dengan cara umum.
Jika
dan jika
,
:
kontinu dengan turunan-turunan parsial
,
dan , maka
,
memenuhi persamaan berikut (Capasso dan Bakstein 2005)
,

,

,

,

,

,

,

Bukti Formula Ito di atas diberikan pada Lampiran 2.

,

.

6
Contoh
Berikut adalah contoh persamaan diferensial stokastik dan penyelesaiannya.
Namun sebelumnya akan diperkenalkan terlebih dahulu pengembangan
persamaan diferensial stokastik dari bentuk persamaan diferensial biasa.
Misal diberikan persamaan diferensial sebagai berikut:
,

,

(2)

dengan
adalah banyaknya populasi pada waktu , dan
merupakan laju
pertumbuhan pada waktu . Dalam kasus ini diasumsikan nilai
tidak
diketahui dengan pasti, namun bergantung pada kejadian alamiah yang terjadi
selama periode waktu , sehingga
bisa diekspresikan ke dalam persamaan
(Oksendal 1995)
usikan,
dengan
menunjukkan fungsi parameter yang bisa diketahui nilai pastinya.
Misal usikan ini diekspresikan ke dalam proses stokastik
, persamaan
diferensial stokastik (2) bisa ditulis menjadi
,

dengan
menotasikan tingkat volatilitas. Jika diasumsikan
persamaan di atas menjadi
,

atau

, maka

.

Jika

(3)

diubah menjadi
yang diasumsikan memiliki riap bebas dengan
, maka
memenuhi proses Wiener , sehingga
.
Persamaan (3) menjadi
,

atau

,

Jika pada formula Ito dipilih
pemilihan fungsi

,

,

,

.

,
ln

, maka didapatkan

tersebut didasarkan pada bentuk
,

,
dengan

,

,

,

,

,

,

,

7
,

sehingga

,

ln

,

ln

ln

ln

,

,

.

Jadi penyelesaian persamaan diferensial stokastik (3) ialah
.
Masalah Kontrol Optimum Stokastik
Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman
Masalah kontrol optimum stokastik adalah masalah memaksimumkan fungsi
objektif
,

max

,

Φ

,

,

Φ

,

,

dengan
menyatakan fungsi utilitas tertentu dan Φ disebut dengan fungsi
bequest, yaitu nilai fungsi objektif di akhir periode . Dalam masalah ini
terdapat fungsi kendala persamaan diferensial stokastik berikut
,
,
,
,
dengan nilai peubah state pada waktu awal adalah
.
Untuk mendapatkan solusi peubah kontrol yang optimal, pada masalah
kontrol optimum stokastik digunakan pendekatan persamaan Hamilton-JacobiBellman (HJB). Persamaan HJB lazim digunakan untuk menyelesaikan masalah
kontrol optimum stokastik yang bertujuan menentukan peubah kontrol , dengan
kendala berupa persamaan diferensial stokastik. Kontrol tersebut akan
memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif tertentu saat optimasi
dimulai dengan state . Persamaan HJB merupakan pengembangan pendekatan
program dinamik yang dinyatakan sebagai berikut:
,
(4)
max
,
,
, ,
,

,

(5)

dengan operator diferensial pada persamaan (1). Untuk semua ,
,
maksimum pada persamaan HJB dicapai oleh
tertentu yang optimal. Bukti
persamaan HJB di atas diberikan pada Lampiran 3.

8
Contoh
Tinjau masalah kontrol optimum stokastik berikut.
Fungsi objektif:
max

,

,

Fungsi kendala:

.

,
,
dengan , , dan adalah konstanta bernilai real. Dari (4) dan (5) didapatkan
persamaan HJB sebagai berikut:
,
(6)
max
,
,
,

.

,

(7)

Dengan menggunakan definisi operator

pada (1), persamaan (5) menjadi
.

max
,

(8)

Untuk mendapatkan , argumen pada persamaan (8) diturunkan terhadap
kemudian disamadengankan nol seperti berikut:

.

Untuk mendapatkan , argumen pada persamaan (8) diturunkan terhadap
kemudian disamadengankan nol seperti berikut:

.

Nilai
dan
masih bergantung pada
yang belum diketahui, sehingga
. Pemisalan fungsi
didefinisikan terlebih dahulu fungsi
,
tersebut dipilih untuk mempermudah perhitungan dengan memasukkan fungsi
tertentu pada fungsi objektif. Fungsi tersebut harus bergantung pada dan ,
namun memenuhi argumen pada persamaan HJB setelah didapatkan dan .
Dari pemisalan di atas didapatkan
dan

Nilai

(9)

,
,

.

, harus memenuhi persamaan (8) seperti berikut:

(10)

9

,

Jadi, pada
berikut:
dengan
,

Selain itu,

.

memenuhi persamaan diferensial Bernoulli
,

(11)

dan

.

, harus memenuhi persamaan (7) seperti berikut:
.
,
Jika nilai-nilai parameter , , , , dan
diketahui, maka fungsi
bisa
ditentukan dari penyelesaian persamaan diferensial biasa (11). Selanjutnya
dan
optimal dengan menyelesaikan persamaan (9) dan
didapatkan solusi
(10).
Masalah Kontrol Optimum Stokastik dengan Diskonto
Masalah kontrol optimum stokastik dengan diskonto adalah masalah
memaksimumkan fungsi objektif dengan bentuk berikut
,

max

,

,

Φ

,

,

dengan menyatakan fungsi utilitas tertentu dan Φ disebut dengan fungsi bequest
yaitu nilai fungsi objektif di akhir periode , serta menyatakan tingkat bunga
diskonto. Dalam masalah ini terdapat fungsi kendala persamaan diferensial
stokastik berikut
,
,
,
,
diberikan nilai peubah state pada waktu awal adalah
.
Persamaan HJB pada masalah kontrol optimum stokastik dengan diskonto
ini dinyatakan sebagai berikut:
,
max
, ,
,
,
,

,
Φ , ,
,
dengan operator diferensial pada persamaan (1). Untuk semua ,
maksimum pada persamaan HJB dicapai oleh
tertentu yang optimal. Bukti
persamaan HJB untuk masalah kontrol optimum stokastik dengan diskonto di atas
diberikan pada Lampiran 4.

10
Beberapa Istilah Perbankan
Di bawah ini akan dijelaskan beberapa istilah perbankan yang digunakan
dalam penelitian ini.
Aset
Aset (assets) adalah suatu sumber daya bernilai ekonomis yang dapat
dikelola sampai waktu tertentu sehingga memberi keuntungan pada pemiliknya.
Aset merupakan komponen pada pembukuan keuangan individu atau perusahaan
yang menggambarkan nilai kekayaan individu atau perusahaan. Contoh aset di
antaranya uang kas, utang yang dikelola kembali, dan barang-barang bernilai
ekonomi.
Pinjaman
Pinjaman (loan) adalah sejumlah uang, kekayaan atau barang material
lainnya yang dipinjamkan kepada pihak lain. Pinjaman akan dikembalikan atau
dibayar kembali pada waktu tertentu dengan jumlah yang sama pada saat transaksi
peminjaman, namun ditambah dengan bunga dan biaya operasional tertentu.
Transaksi peminjaman dilakukan secara resmi dan tertulis dengan ketentuanketentuan tertentu, seperti perlu atau tidaknya jaminan, besarnya bunga dan biaya
operasional yang harus dibayar pihak peminjam, waktu jatuh tempo, dan
persyaratan-persyaratan lain yang harus dipenuhi oleh pihak peminjam. Pinjaman
dapat berasal dari individu, perusahaan, lembaga keuangan, dan pemerintah.
Pinjaman merupakan sumber utama pendapatan bagi banyak lembaga keuangan
seperti bank melalui penggunaan fasilitas kredit.
Provisi
Provisi (provision) adalah cadangan yang harus disediakan oleh bank dan
bertujuan untuk menanggung kerugian yang mungkin timbul sebagai akibat tidak
diterimanya kembali sebagian atau seluruh pinjaman yang sudah dipinjamkan oleh
bank (BI 2010).
Obligasi
Obligasi (treasury securities) adalah surat berharga berupa surat utang yang
dikeluarkan oleh penerbit surat utang untuk mendapatkan dana dari pihak
pemegang surat utang. Penerbit dikenakan bunga tertentu yang biasanya lebih
kecil dari bunga pinjaman. Surat berharga ini bervariasi dengan jatuh tempo yang
berbeda-beda. Terdapat dua jenis obligasi yaitu obligasi jangka pendek (treasury
bill) dan obligasi jangka panjang (treasury bond) (BI 2010).
Cadangan
Cadangan (reserves) adalah kepemilikan deposito pada badan-badan
nasional ditambah dengan uang fisik yang ada di bank. Uang fisik tersebut tidak
untuk dipinjamkan kepada pihak manapun tetapi untuk persediaan penarikan uang
oleh depositor. Biasanya besarnya proporsi uang fisik yang ada di bank diatur oleh
bank sentral (BI 2010).

11
Risk Weighted Assets (RWA)
RWA didefinisikan berdasar penempatannya pada rekening administratif.
RWA adalah besaran dari seluruh variasi aset dalam rekening administratif yang
diberikan bobot sesuai kadar risiko yang melekat. Rekening administratif yaitu
rekening dalam valuta asing yang dapat menimbulkan tagihan di waktu tertentu
(BI 2010).
Liabilitas
Liabilitas (liabilities) adalah sejumlah uang atau barang bernilai ekonomis
yang merupakan utang atau kewajiban perorangan atau perusahaan. Liabilitas
adalah aspek penting dari operasi perusahaan karena digunakan untuk membiayai
operasional perusahaan dan membayar biaya-biaya lain yang bernominal besar
(BI 2010).
Deposito
Deposito adalah sejumlah uang dengan ketentuan minimal tertentu yang
ditempatkan pada lembaga perbankan untuk diamankan. Pemegang deposito
berhak menarik sejumlah uang yang disetorkan sebagaimana diatur dalam syarat
dan ketentuan tertentu, sehingga deposito merupakan sebuah kewajiban atau utang
yang harus dibayar oleh bank kepada depositor. Ketika seseorang membuka
rekening bank dan membuat deposito, pemegang rekening menyerahkan hak legal
atas uang tunai sebesar nominal deposito kepada bank. Uang tunai tersebut
menjadi aset bank. Karena nominal deposito cukup besar, depositor biasanya
mendapatkan asuransi atas deposito yang mereka miliki.
Utang Subordinasi
Utang atau sekuritas subordinasi (subordinate debt) adalah utang atau
sekuritas yang memiliki prioritas di bawah utang atau sekuritas lain dalam hal
klaim atas aset atau pendapatan. Jika terjadi kebangkrutan, pemegang utang atau
sekuritas subordinasi tidak akan mendapatkan klaimnya sampai pemegang utang
atau sekuritas yang memiliki prioritas lebih tinggi dibayar penuh. Oleh karena itu,
utang atau sekuritas subordinasi lebih berisiko.
Saham
Saham (stock) adalah suatu jenis sekuritas yang menandakan kepemilikan
dalam perusahaan dan merupakan klaim atas bagian aset perusahaan dan
pendapatan. Dengan kata lain, pemegang saham adalah pemilik perusahaan.
Kepemilikan ditentukan oleh jumlah relatif saham yang dimiliki dari seluruh
jumlah saham yang beredar. Saham merupakan komponen utama dari kebanyakan
portofolio. Secara historis, investasi pada saham paling unggul dibanding
investasi lain.
Beberapa komponen di atas sudah ditetapkan dalam aturan yang diadopsi
dari Aturan Basel II. Aturan Basel II merupakan kerangka peraturan baru
perbankan yang disempurnakan dari ketetapan The 1998 Accord untuk mengatur
konsep permodalan bank yang berfungsi sebagai penyangga terhadap
kemungkinan terjadinya kerugian. Aturan Basel II bersifat lebih sensitif terhadap
risiko (risk sensitive) serta memberikan insentif terhadap peningkatan kualitas

12
penerapan manajemen risiko di bank. Hal ini dicapai dengan cara penyesuaian
persyaratan modal dengan risiko dari kerugian kredit dan juga dengan
memperkenalkan perubahan perhitungan modal yang disebabkan oleh risiko dari
kerugian akibat kegagalan operasional (BI 2010).

HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Matematika pada Perbankan
Aturan Basel II mengatur bank untuk melihat keseimbangan risiko aset
yang dipegang dan kecukupan modal bank tersebut. Pada penelitian ini, aset dan
liabilitas diseimbangkan oleh modal bank dengan hubungan seperti berikut:
,

(12)

dengan
menotasikan total aset pada waktu ,
menotasikan liabilitas pada
waktu , dan
menotasikan total modal bank pada waktu .

Total aset
terdiri atas pinjaman Λ, obligasi , dan cadangan .
Sedangkan liabilitas terdiri atas deposito ∆, serta total modal terdiri atas
modal inti dan modal pelengkap. Modal inti ditunjukkan dengan jumlah kekayaan
dari seluruh saham
, dengan menyatakan banyaknya saham dan adalah
harga pasar saham bank berdasar kekayaan. Modal pelengkap ditunjukkan dengan
jumlah utang atau sekuritas subordinasi dan saham atas nama , sehingga
diperoleh identitas-identitas berikut:
Λ

(13)
(14)
.

(15)

Merujuk pada persamaan (13), pertama akan dijelaskan tentang komponen
pinjaman di mana perubahan atau pergerakan ketersediaan pinjaman mengikuti
gerak Brown geometrik. Untuk memodelkan pergerakan tersebut diperlukan
pendekatan proses Wiener. Paremeter drift pada pergerakan pinjaman adalah
tingkat bunga pinjaman
dikurangi dengan biaya marjinal pinjaman . Biaya
marjinal tersebut timbul akibat adanya kegiatan monitoring dan screening.
Sedangkan parameter varians adalah keragaman pinjaman
. Dari kondisikondisi di atas persamaan pergerakan ketersediaan pinjaman Λ
bisa
diekspresikan sebagai berikut:
dengan

Λ

Λ

adalah proses Wiener.

Λ

,

Nilai investasi bank pada pinjaman pada waktu ,
sebagai berikut: 

, diekspresikan

13
Λ

,

merupakan proporsi aset bank yang diinvestasikan untuk pinjaman
dengan
pada waktu . 
Pada kenyataannya, dalam pengelolaan pinjaman sering terjadi kegagalan
atau kehilangan. Kegagalan ini dimodelkan dengan proses Poisson. Oleh karena
itu, bank menyiasati keadaan tersebut dengan mempersiapkan kesigapan
kehilangan pinjaman atau sering disebut dengan provisi. Jumlah kehilangan
pinjaman didefinisikan sebagai berikut:
,

, merupakan tingkat kegagalan atau kehilangan pinjaman. Nilai
dengan
akan mengalami penurunan jika level aktivitas makroekonomi pada pasar
pinjaman membaik dan akan mengalami kenaikan jika level aktivitas
makroekonomi pada pasar pinjaman memburuk.
Akibat kegagalan pinjaman dimodelkan dengan proses Poisson maka
provisi juga dimodelkan dengan proses Poisson di mana merupakan proses
Poisson yang menotasikan risiko kegagalan pinjaman dengan parameter
frekuensi
. Di sini proses Poisson
bebas terhadap proses Wiener
, sehingga besarnya
yang tidak tertutup oleh provisi
, hanya
bergantung pada perubahan risiko kegagalan ∆ . Diasumsikan bahwa besarnya
,
biaya yang harus dikeluarkan bank akibat adanya kegagalan pinjaman
diekspresikan sebagai berikut:
,

dengan merupakan kompensasi risiko pinjaman yang harus dibayarkan kepada
bank sentral sebagai denda atas kehilangan pinjaman yang dinotasikan dengan
dan merupakan provisi aktual pada waktu . Ini berarti bahwa saat
bank rugi sebesar pada waktu ,
menutup kerugian tersebut. Biasanya,
provisi yang dibuat oleh bank bisa lebih besar atau lebih kecil dari kehilangan
pinjaman yang terjadi. Jika provisi yang disiapkan kurang dari kegagalan
pinjaman yang terjadi, maka terdapat biaya provisi akibat penarikan dana dari
luar untuk menutup kekurangan provisi yang disediakan. Untuk lebih jelas
pernyataan di atas diekspresikan dalam persamaan berikut
.

(16)

Selain pinjaman, komponen lain yang membentuk aset sesuai pada
persamaan (13) adalah obligasi dan cadangan. Tingkat bunga obligasi
diasumsikan sebagai berikut:
.

Kondisi tersebut diaplikasikan oleh bank agar bunga yang didapat dari pinjaman
bisa menutup pajak pinjaman yang diasumsikan sebesar bunga obligasi.
Pada umumnya, bank menghimpun dana yang dihasilkan dari depositodeposito yang berasal dari depositor yang berbeda-beda, sehingga tidak umum
jika pada satu waktu tertentu seluruh depositor menarik uang deposito secara
serempak. Kondisi ini membuat bank mengambil keputusan untuk menyediakan

14
,

cadangan penarikan uang oleh depositor yang disebut dengan cadangan
sehingga cadangan bisa diekspresikan sebagai berikut:
∆

,

dengan merupakan rasio antara cadangan dan deposito. Bank menggunakan sisa
deposito sebesar
untuk mendapatkan keuntungan baik dengan cara
dipinjamkan atau diinvestasikan ke dalam aset seperti obligasi dan saham.
Ketika batasan modal dihubungkan dengan Aturan Basel II sebagai
penerapan kerangka pengukuran modal terhadap RWA, ditunjukkan bahwa
masalah kecukupan modal bank diekspresikan sebagai berikut:
.

,

dengan
merupakan RWA, dan
harus dipenuhi oleh bank.

merupakan rasio batasan modal yang

Bobot RWA diukur dari jumlah keseluruhan variasi aset pada bank. Dalam
penelitian ini, dinotasikan bobot risiko pada obligasi dan pinjaman berturut-turut
dinotasikan dengan
dan
. Nilai
mengalami penurunan
jika level aktivitas makroekonomi pada pasar pinjaman membaik, dan akan
mengalami kenaikan jika level aktivitas makroekonomi pada pasar pinjaman
memburuk. Selain itu, terkait rasio batasan modal sebesar 0.08 menurut Aturan
Basel II, beberapa bank mengaplikasikan rasio batasan modal tersebut sesuai
kebijakan sendiri , namun tetap berkisar lebih besar dari 0.08, serta memenuhi
.

(17)

Nilai eksak dari rasio , bisa berbeda di setiap institusi. Kenyataannya,
dengan pilihan yang berbeda, beberapa bank mempertimbangkan pertaksamaan
(17) dalam bentuk persamaan sehingga menghasilkan pilihan nilai investasi
pinjaman , yaitu
.

Kembali pada persamaan keseimbangan awal (12), selain total aset dan
besaran modal, komponen lain yang perlu dipertimbangkan sesuai persamaan
keseimbangan awal tersebut adalah liabilitas. Di sini hanya dipertimbangkan
deposito pada kategori liabilitas. Bank menerima deposito
, dengan biaya
marginal . Diasumsikan bahwa imbal hasil deposito tidak bergantung pada
tingkat bunga obligasi, sehingga walaupun tingkat bunga pada deposito
,
, konsumsi deposito ,
lebih kecil atau lebih besar dari tingkat bunga obligasi
dinyatakan sebagai berikut:
.

Dalam kenyataannya, unanticipated deposits withdrawals , akan terjadi.
Unanticipated deposits withdrawals adalah penarikan deposito yang tidak
diantisipasi sebelumnya. Dengan cara membuat persediaan unanticipated deposits
withdrawals, bank dituntut untuk memegang cadangan , dan obligasi yang

15
mudah untuk dicairkan. Dinotasikan
. Jika unanticipated deposits
withdrawals lebih besar dari cadangan dan obligasi yang tersedia, maka terdapat
biaya penghimpunan dana dari luar
. Dalam penelitian ini diasumsikan
tidak terjadi unanticipated deposits withdrawals, sehingga
.

Pada akhirnya keseimbangan komponen aset, liabilitas dan besaran modal
yang sudah dijelaskan di atas akan mendorong keuntungan bank menuju ke titik
optimal. Namun sebelumnya diberikan persamaan dinamika keuntungan terlebih
dahulu yang nantinya akan menjadi kendala pada proses optimasi. Pada dasarnya
pergerakan keuntungan Π diekspresikan seperti berikut:
Π

,

dengan Π menotasikan pergerakan keuntungan,
pendapatan, dan
menotasikan pergerakan biaya.

menotasikan pergerakan

Yang termasuk pergerakan pendapatan adalah pergerakan imbal hasil dari
Π
,
sejumlah keuntungan tertentu yang dikelola ke dalam obligasi
pergerakan nilai investasi bank di pinjaman
, dan pergerakan tingkat bunga
, yang dihasilkan dari aktivitas seperti screening,
tambahan keuntungan
monitoring, liquidity provision, dan akses untuk sistem pembayaran. Maka
pergerakan pendapatan
bisa diekspresikan ke dalam persamaan berikut:
Π

karena
Λ , dan
persamaan di atas menjadi
Π

Λ

Π

Λ

Λ

,

Λ

.

Λ

,

,

Diasumsikan bahwa pajak pinjaman yang harus dibayar oleh bank kepada
bank sentral sebesar bunga obligasi, sehingga pergerakan biaya terdiri dari
pergerakan pajak pinjaman yang harus dibayar
, pergerakan konsumsi
deposito terhadap waktu
, pergerakan biaya yang harus dikeluarkan bank
, dan pergerakan terhadap risiko
akibat adanya kegagalan pinjaman
kegagalan dari biaya provisi
. Maka pergerakan biaya
bisa
diekspresikan ke dalam persamaan berikut:
sehingga persamaan pergerakan keuntungan menjadi
Π
diasumsikan

Π

s
, dengan Π

, sehingga

,

,

16
Π

s

Π

,

Π

,

.

(18)

Proses Optimasi
Pada subbab model matematika, terdapat informasi bahwa beberapa bank
memanfaatkan beberapa persamaan pada subbab model matematika untuk
menentukan nilai investasi bank di pinjaman, konsumsi deposito, dan biaya
provisi seperti berikut:
Λ

,

(19)

,

(20)

, untuk

.

(21)

Namun perlu diketahui bahwa nilai ketiga persamaan berikut belum tentu
memaksimalkan utilitas keuntungan dan konsumsi deposito bank. Sehingga dalam
penelitian ini akan diberikan alternatif persamaan dari nilai investasi bank di
pinjaman, konsumsi deposito dan biaya provisi yang akan memaksimalkan total
utilitas bank.
Sebelum masuk pada proses optimasi pada masalah stokastik, akan
dijelaskan terlebih dahulu mengenai masalah kontol optimum stokastik.
Didefiniskan fungsi objektif adalah fungsi total utilitas dari konsumsi deposito
dan keuntungan akhir yang didiskonto dengan keuntungan awal pada waktu
ditetapkan. Fungsi objektif tersebut direpresentasikan sebagai berikut:
,

Π

max
, ,

,

(22)

dengan
adalah fungsi utilitas untuk konsumsi deposito dan
adalah fungsi
utilitas nilai keuntungan akhir. Fungsi utilitas tersebut merupakan fungsi naik,
terturunkan dua kali, dan turunan keduanya kurang dari nol. Tingkat bunga
diskonto dinyatakan dengan .
Sebagai kendala sistem dinamik ialah pergerakan keuntungan pada (18).
, dan
, persamaan (18) menjadi
Dengan asumsi
Π

Π

,Π

,

.

(23)

Optimasi stokastik ini didekati dengan pendekatan program dinamik HJB.
Dengan
,
dan
disebut dengan komponen kontrol yang
merepresentasikan konsumsi deposito pada waktu , nilai investasi bank di
pinjaman pada waktu
dan provisi pada waktu , berturut-turut. Untuk
mendapatkan solusi komponen kontrol
,
dan
digunakan persamaan
HJB berikut:

17
,

max

,
,

max

,

max

.

,
,

,

,

,
,

,

(24)
(25)

Bukti persamaan HJB (24) diberikan pada Lampiran 5.
Dari persamaan (24) pada bagian maksimisasi yang pertama, bisa
didapatkan solusi optimal nilai investasi bank di pinjaman yang akan
memaksimumkan fungsi objektif . Solusi tersebut bisa didapatkan dengan
tahapan sebagai berikut:
,

,

sehingga nilai investasi bank di pinjaman optimal adalah
,

,

,

(26)

Sedangkan solusi optimal konsumsi deposito yang akan memaksimumkan fungsi
objektif didapatkan dari persamaan (24) pada bagian maksimisasi yang kedua
dengan tahapan sebagai berikut:
,

,

sehingga konsumsi deposito optimal didapatkan dari penyelesaian persamaan
,

.

(27)

Solusi optimal biaya provisi yang akan memaksimumkan fungsi objektif
didapatkan dari persamaan (24) pada bagian maksimisasi yang ketiga dengan
tahapan sebagai berikut:
,

,

,

sehingga biaya provisi optimal didapatkan dari penyelesaian persamaan
,

,

.

(28)

18
Solusi tiga variabel kontrol yang meliputi konsumsi deposito, jumlah
investasi bank di pinjaman, dan biaya provisi bisa dihasilkan dengan penyelesaian
fungsi objektif yang disubstitusi oleh dua jenis fungsi utilitas berbeda. Setiap
fungsi utilitas memberikan nilai variabel kontrol yang berbeda namun tetap
mengoptimalkan keuntungan bank.

Studi Kasus
Sebagai contoh ilustratif ditinjau proses pengoptimuman terhadap fungsi
utilitas berbentuk fungsi eksponensial dan fungsi pangkat.
Fungsi Utilitas Eksponensial
Dalam kasus ini diasumsikan

exp

,

γ

(29)

.

Misal utilitas eksponensial pada (29), maka fungsi objektif (22) menjadi
,

max

.

, ,

Akibat solusi peubah kontrol pada persamaan (26), (27) dan (28) masih belum
diketahui nilainya, maka dimisalkan fungsi objektif pada (22) memiliki bentuk
,

exp

,

(30)

dengan
bergantung pada nilai peubah kontrol , , dan . Pemisalan fungsi
tersebut dipilih untuk mempermudah perhitungan dengan memasukkan fungsi
tertentu pada fungsi objektif. Fungsi tersebut harus bergantung pada dan ,
namun memenuhi argumen pada persamaan HJB setelah didapatkan solusi peubah
kontrol yang optimal. Dengan didefinisikan pada (30) maka diperoleh
,

,

,

,

,

,

sehingga dari persamaan (28) diperoleh
ln

.

Selain itu, diasumsikan bahwa kegagalan pinjaman bebas terhadap keuntungan,
dengan fungsi distribusi peluang merupakan fungsi yang bergantung oleh waktu
. Jika provisi
, maka biaya provisi setara dengan nilai
,
sehingga persamaan provisi (16) bisa ditulis
Jadi

.

19
min

ln

,

.

Selanjutnya, investasi bank pada pinjaman pada (26) menjadi
,

, maka

karena

.

, konsumsi deposito optimal (27) menjadi

Akibat
.

Selanjutnya
pada persamaan fungsi objektif (30) harus memenuhi persamaan
HJB (24), yaitu

exp

.

Jika dimisalkan

maka

exp

,

memenuhi persamaan diferensial orde satu berikut:

, , , ,
,
,
Jika nilai-nilai parameter dan fungsi ,
, dan
diketahui, maka fungsi
bisa diketahui dengan menyelesaikan persamaan
diferensial di atas. Selanjutnya bisa didapatkan nilai fungsi objektif .
. %,
Misal dipilih nilai parameter
. %,
ln
,
%,
. ,
.
,
. ,
,
dan
. , persamaan diferensial orde satu di atas menjadi
.
ln
.
.
.
ln

Dengan menggunakan aturan pemisahan peubah pada penyelesaian persamaan
diferensial orde satu dan untuk mempermudah perhitungan diasumsikan
didapatkan
.

Dari persamaan (25),

pada waktu

.

.

.

juga harus memenuhi

.

20
,

.

,

sehingga untuk

.

.

dan fungsi objektif (30) menjadi
,

.

.

.

.
ln

.
.

ln

.
.

.

.

,
.

.

.
(31)

Untuk bergerak dari 0 sampai 5 dan bergerak dari 0 sampai 1, fungsi objektif
(31) diberikan pada Gambar 1.

Gambar 1

Pengaruh waktu dan keuntungan awal terhadap total utilitas
eksponensial

Gambar 1 di atas menjelaskan bahwa pada selang waktu
dan
keuntungan
, fungsi objektif (31) menunjukkan kenaikan. Semakin
besar nilai kedua peubah tersebut, nilai fungsi objektif
akan mengalami
kenaikan. Namun Gambar 1 di atas tidak menjelaskan untuk selang waktu selain
.
Fungsi Utilitas Pangkat
Dalam kasus ini diasumsikan

(32)
,

di mana
dan
. Parameter menyatakan bobot keuntungan bank
terhadap konsumsi deposito dan sebagai ukuran kecenderungan bank untuk
menerima deposito. Misal utilitas pangkat pada (32), maka fungsi objektif (20)
menjadi
,

max
, ,

.

21
Akibat solusi peubah kontrol pada persamaan (26), (27) dan (28) masih belum
diketahui nilainya, maka dimisalkan fungsi objektif pada (22) memiliki bentuk
,

,

(33)

dengan nilai
bergantung pada nilai peubah kontrol , , dan . Pemisalan
fungsi tersebut dipilih untuk mempermudah perhitungan dengan memasukkan
fungsi acak tertentu pada fungsi objektif. Fungsi acak tersebut harus bergantung
pada dan , namun memenuhi argumen pada persamaan HJB setelah didapatkan
solusi peubah kontrol yang optimal. Dengan didefinisikan pada (33) maka
diperoleh
,

,

,

.

Dengan pemisalan fungsi objektif pada (22) menjadi persamaan (33), biaya
provisi optimal (28) menjadi
.

Misal diberikan asumsi penambahan tingkat keuntungan
diasumsikan kegagalan pinjaman proporsional dengan keuntungan, maka
,

Untuk penyederhanaan fungsi kegagalan pinjaman , diberikan
Jika provisi
, maka biaya provisi setara dengan nilai
persamaan provisi (16) bisa ditulis
.

Jadi
min

Investasi bank pada pinjaman (26) menjadi

,

dan

.
, sehingga

.

.

Dan konsumsi deposito optimal (27) menjadi
,

dengan
pada persamaan fungsi objektif (33) harus memenuhi persamaan HJB
(24), yaitu

22

max

α max

,

.

Jika dimisalkan

max
maka

,

α max

,

,

memenuhi persamaan diferensial berikut:

,

.

Persamaan diferensial di atas disebut dengan persamaan diferensial Bernoulli
yang dapat direduksi ke persamaan diferensial linear orde satu. Jika nilai-nilai
parameter dan fungsi , , , , , ,
,
, dan
diketahui, maka
fungsi
bisa diketahui dengan menyelesaikan persamaan diferensial di atas.
Selanjutnya bisa didapatkan nilai fungsi objektif .
Misal dipilih nilai parameter
.
,
. ,
.
%,
.

,

, , dan

Misal

,

,

. ,

.

,

. , maka persamaan diferensial di atas menjadi
.
.
,

, maka

.

.

.

, maka

Jika persamaan di atas dikalikan dengan

.

.

.

.

23
.
Dari persamaan (25),

maka untuk

,
.

.

.

, juga harus memenuhi

pada waktu akhir

,

Fungsi objektif (33) menjadi
.

. ,

.

.

.

.

(34)
.
.
.
.
Untuk bergerak dari 0 sampai 5 dan bergerak dari 0 sampai 1, fungsi objektif
(34) diberikan pada Gambar 2.
,

Gambar 2 Pengaruh waktu dan keuntungan awal terhadap total utilitas pangkat
Gambar 2 di atas menjelaskan bahwa pada selang waktu
dan
keuntungan
, fungsi objektif (31) menunjukkan kenaikan. Semakin
besar nilai kedua peubah tersebut, nilai fungsi objektif
akan mengalami
kenaikan. Namun Gambar 2 di atas tidak menjelaskan untuk selang waktu selain
.

24

SIMPULAN

1. Model pergerakan keuntungan bank diekspresikan ke dalam persamaan
diferensial stokastik. Hal ini diakibatkan pergerakan pinjaman dalam penelitian
ini dimodelkan dengan memuat unsur nondeterministik. Keuntungan bank
dimaksimalkan menggunakan kontrol optimum stokastik dengan konsumsi
deposito, nilai investasi bank di pinjaman dan provisi sebagai komponen
kontrol.
2. Nilai investasi bank di pinjaman optimal berbanding lurus dengan selisih
tingkat bunga pinjaman dengan biaya marjinal pinjaman dan tingkat bunga
obligasi serta berbanding terbalik dengan tingkat volatilitas dan rasio antara
deposito dan cadangan. Selain itu, nilai investasi bank di pinjaman juga
bergantung pada nilai turunan pertama dan kedua dari fungsi nilai. Nilai
konsumsi deposito optimal didapatkan dari penyelesaian persamaan turunan
pertama fungsi utilitas konsumsi deposito dengan turunan pertama fungsi nilai.
Sedangkan nilai provisi opimal didapatkan dari penyelesain persamaan
perkalian penggandaan kompensasi risiko pinjaman dengan turunan pertama
fungsi nilai yang disamakan dengan turunan pertama fungsi nilai dengan
variabel eksogen bergantung pada biaya provisi.
3. Setelah melakukan studi kasus pada jenis utilitas eksponensial dan utilitas
pangkat, disimpulkan bahwa semakin lama, total utilitas akan naik. Dari dua
input yang diteliti, yaitu waktu dan keuntungan awal, input waktu adalah input
yang berpengaruh besar terhadap total utilitas. Sedangkan input keuntungan
awal yang tinggi pada kasus utilitas eksponensial akan mengakibatkan
peningkatan total utilitas. Pada kasus utilitas pangkat, keuntungan awal yang
tinggi mengakibatkan peningkatan total utilitas.

DAFTAR PUSTAKA
Bjork T. 1998. Arbitrage Theory in Continuous-Time. New York (US): Oxford
University Press.
[BI] Bank Indonesia. 2010. http://www.bi.go.id/web/id/Kamus.
Capasso V, Bakstein D. 2005. An Introduction to Continuous-Time Stochastic
Processes. Boston (US): Birkhauser Boston.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability, 3th Edition. New Jersey (US):
Pearson Education, Inc.
Hull JC. 2006. Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition. New Jersey
(US): Pearson Education, Inc.
Kulkarni VG. 2009. Modelling and Analysis of Stochastic Systems. Chapel Hill
(US): CRC Press.
Lypsey, et al. 1995. Pengantar Makroekonomi. Edisi Kesepuluh. Jakarta (ID):
Binarupa Aksara.

25
Merton RC. 1992. Continuous Time-Finance. Cambridge (US): Blackwell
Publishers.
Oksendal B. 1995. Stochastic Differential Equations, 4th Edition. Berlin (DE):
Springer.
Petersen JM, Petersen MA, Schoeman IM, Tau BA. 2007. Maximizing Banking
Profit on Random Time Interval. Journal of Applied Mathematics 29343:122.doi:10.1155/2007/29343.
Ross S. 2007. Introduction to Probability Models, 9th Edition. New York (US):
Academic Press.

26
Lampiran 1 Sifat proses Wiener
Jika
,
} adalah proses Wiener, maka (Capasso dan Bakstein
2005)
1.
2. var
3.
Bukti:

, untuk semua
, untuk semua

.

.

, untuk semua

,

.

, sehingga
. Berdasarkan definisi proses Wiener
dan [
. Maka terbukti
.
, karena
,
} memiliki riap
2. var
var
, sehingga dari
bebas, maka var
var
var
pembuktian poin (1) dan definisi proses Wiener poin (3) didapatkan
var
.
var
3. Pembuktian bisa dilihat di Capasso dan Bakstein (2005).
1.

27
Lampiran 2 Formula Ito
Misal
, :
kontinu dengan derivatif ,
dan . Misal
proses satu dimensi dengan persamaan diferensial berikut:
,
,
Persamaan diferensial bisa didapat dari pendekatan dengan formula Ito dimensi
satu yang didapatkan dari ekspansi formula Taylor berikut (Hull 2006):

di mana

,

,

,

,
,

,

,

,
,
,
,
dengan mengikuti aturan bentuk multiplikatif, didapatkan
,
,
.
Jadi
,

,

Jika dimisalkan
·

Maka
,

·

,

,

,
·

,
,

,
,

,

,

,

.

.
,

,

.

28
Lampiran 3 Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)
Bukti:
Pembuktian HJB mengikuti dua strategi berikut:
1. Nilai harapan utilitas pada strategi 1: Utilitas optimal diberikan oleh
, ,
, .
2. Nilai harapan utilitas pada strategi 2: utilitas selang waktu , dibagi menjadi
dua interval yaitu ,
dan
, .
- Untuk
interval
,
,
nilai
harapan
utilitas
adalah
, ,
- Untuk interval
, , nilai harapan utilitas adalah
,
sehingga, total nilai harapan utilitas pada strategi 2 adalah
, ,
,
.
Karena utilitas pada strategi 1 merupakan utilitas optimal, maka didapatkan
pertidaksamaan berikut:
,

, ,

.

,

(35)

Selanjutnya dengan formula Ito didapatkan persamaan berikut:
,
,
,
,
,
,

,

,

sehingga dari persamaan (35) dan persamaan (36) didapatkan
,
, ,
,
.

,

,

,

,

(36)

(37)

Misal

, ,

,
, ,

,

, ,

,

,

,

,

Dengan membagi kedua ruas persamaan (37) dengan
dilimitkan tanpa menghiraukan nilai harapannya seperti berikut:

lim

. (definisi limit)
Jadi bisa ditulis

.

dan kemudian

29
, ,

,

,

.

Pada akhirnya didapatkan persamaan HJB berikut:
,
,
max
, ,
,
,

dan untuk semua ,
oleh tertentu yang optimal.

,

,

, maksimum

pada persamaan HJB dicapai

30
Lampiran 4 Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) dengan diskonto
Bukti:
Pembuktian HJB mengikuti dua strategi berikut:
1. Nilai harapan utilitas pada strategi 1: Utilitas optimal diberikan oleh
, ,
, .
2. Nilai harapan utilitas pada strategi 2: utilitas selang waktu , dibagi menjadi
dua interval yaitu ,
dan
, .
-

Untuk

interval

,

,

,

nilai

harapan

utilitas

adalah

,
, nilai harapan utilitas adalah

,
,
sehingga, total nilai harapan utilitas pada strategi 2 adalah
, ,
,
.
Karena utilitas pada strategi 1 merupakan utilitas optimal, maka didapatkan
pertidaksamaan berikut:
-

Untuk interval

,

, ,

(38)

.

,

Selanjutnya dengan formula Ito dan akibat dari adanya faktor diskonto,
didapatkan persamaan aplikasi formula Ito berikut (Ross, 2008):
,
,
,
,
,
,

,

,

Dari persamaan (38) dan (39) didapatkan

Misal
, ,

,
, ,

,

,

,

,
, ,

,

(39)

,

,

, ,

,

,

,

,

,
,

,

,
,

Dengan membagi kedua ruas persamaan (40) dengan
dilimitkan tanpa menghiraukan nilai harapannya seperti berikut:

,

.

(40)

,

.

dan kemudian

31

lim

Bisa ditulis

sehingga
, ,

. (definisi limit)

, ,

,

,

,

,

,
,

.

,
(41)

dengan menotasikan operator diferensial dan untuk semua ,
Pada akhirnya dari persamaan (42) didapatkan persamaan HJB berikut:
,
,
max
, ,
,
,
,

dan