Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer
MASALAH KONTROL OPTIMUM
INFEKSI WORM KOMPUTER
SEVIRA ROSANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Kontrol
Optimum Infeksi Worm Komputer adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Sevira Rosana
NIM G54090026
ABSTRAK
SEVIRA ROSANA. Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer.
Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO.
Worm adalah sebuah program yang menyalin dirinya sendiri dan
menyebarkan sepenuhnya sendiri ke mesin lain. Konsep program worm yang
menyebar sendiri dari mesin ke mesin lain dikenalkan oleh John Brunner di tahun
1975 pada karya fiksi ilmiahnya yang berjudul The Shockwave Rider. Worm telah
menjadi ancaman yang mematikan di internet sehingga beberapa peneliti
menggunakan sebuah model epidemik untuk mempelajari penyebaran worm pada
jaringan komputer. Pada karya ilmiah ini, dinamika penyebaran worm dirumuskan
dalam bentuk model Susceptible Infectious Susceptible (SIS). Masalah
meminimumkan biaya perawatan dirumuskan dengan model kontrol optimum dan
diselesaikan dengan menggunakan prinsip minimum Pontryagin. Hasil simulasi
numerik menunjukkan pengaruh dari perubahan laju infeksi dan laju perawatan
terhadap upaya meminimumkan biaya perawatan.
Kata kunci: worm, model epidemik, SIS, masalah kontrol optimum, prinsip
minimum Pontryagin.
ABSTRACT
SEVIRA ROSANA. Optimal Control Model of Computer Worm Infection.
Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO.
Worm is a program which duplicates and fully spreads itself to other
machines. The concepts of worm which spreads itself from one machine to
another was firstly introduced by John Brunner in 1975 at his science fiction book
entitled The Shockwave Rider. Worm has become a deadly threat on the intenet
so that some researchers using the epidemic model to study the worm spreading in
computer network. In this work, the dynamic of worm transmission is formulated
as a Susceptible Infectious Susceptible (SIS) model. While, the problem of the
treatment cost minimization is formulated by optimal control framework and
solved by Pontryagin minimum principle. The result of the numerical simulation
shows the effects of the change in the rate of infection and the rate of treatment on
the cost minimization effort.
Keywords: worm, epidemic model, SIS, optimal control problem, Pontryagin
minimum principle.
MASALAH KONTROL OPTIMUM
INFEKSI WORM KOMPUTER
SEVIRA ROSANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer
Nama
: Sevira Rosana
NIM
: G54090026
Disetujui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini adalah Kontrol Optimum dengan judul “Masalah
Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer”.
Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Dr. Toni Bakhtiar, MSc
selaku pembimbing akademik dan pembimbing skripsi atas segala ilmu, nasihat
serta bimbingannya. Dan juga kepada Drs. Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing
skripsi kedua atas ilmu dan sarannya, serta kepada Dr. Paian Sianturi selaku
penguji atas ilmu dan nasihatnya. Kepada dosen-dosen Departemen Matematika
untuk ilmu yang kelak menjadi bekal bagi penulis untuk dapat mengabdi pada
negerinya. Serta para staf Departemen Matematika atas segala bantuannya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
Penulis juga mendedikasikan terima kasih tertinggi untuk kedua orang tua
yang tak pernah lelah atas kesabarannya memberikan kasih sayang dan semangat
yang tak pernah henti. Dan untuk adikku atas segala perhatiannya. Keluarga besar
Soemarno KS dan Keluarga besar (Alm) H. Mathohir atas cintanya yang terus
memotivasi penulis untuk dapat menyelesaikan pendidikan ini. Sahabat-sahabat
yang tak pernah putus memberikan semangat dan doa terbaiknya bagi penulis
Salis, Oci, Puti, Sifa, Sarah, Syarifah, Yuli, Donna dan Galuh. Teman satu
bimbingan Meda, Sonia, dan Syahrul. Matematika 46 yang selalu setia dengan
semangatnya Windi, Anne, Dita, Widia, Desyi, Ermi, Risa, Fitri, Nisa, Randita,
Nia, Danty, Elysa dan semua yang tidak dapat dituliskan satu per satu. Kakak
Matematika 45, adik-adik Matematika 47 serta Keluarga Wisma Aulia atas
kekeluargannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Sevira Rosana
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Masalah Kontrol Optimum
2
Prinsip Minimum Pontryagin
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Model Infeksi SIS
3
Masalah Kontrol Optimum
5
KESIMPULAN
9
DAFTAR PUSTAKA
10
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
17
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Diagram model infeksi SIS tanpa perawatan
Diagram model infeksi SIS dengan perawatan
Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan
perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan
perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan
perubahan nilai laju perawatan
terhadap waktu
Grafik banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju perawatan (λ) terhadap waktu
4
5
7
8
9
9
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian prinsip minimum Pontryagin
2 Pembuktian solusi banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada
waktu t
3 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm
berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
4 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
5 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm
berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan (λ) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
6 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan (λ) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
11
12
13
14
15
16
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Virus komputer pertama kali tercipta bersamaan dengan komputer pada
tahun 1949 oleh seorang pencipta komputer, John von Newman, yang
menciptakan Electronic Discrete Variable Automatic Computer (EDVAC). Istilah
virus komputer tak asing lagi bagi kalangan pengguna komputer saat ini. Virus
yang terdapat pada komputer adalah program biasa, sebagaimana layaknya
program-program lain (Pramuji 2010). Virus komputer merupakan program
replikasi diri yang menyebar dengan menyisipkan salinan dirinya ke kode lain
yang tereksekusi, dalam hal ini biasanya menyerang dokumen. Virus komputer
berperilaku sama seperti virus biologis atau virus penyakit yang menyebar dengan
memasukkan sendiri ke dalam sel hidup untuk memperluas analogi. Penyisipan
virus ke dalam program disebut infeksi dan file yang terinfeksi disebut sebagai
inang (Fosnock 2005).
Worm adalah sebuah program yang menyalin dirinya sendiri dan
menyebarkan sepenuhnya sendiri ke mesin lain. Kata worm berasal dari kata
tapeworm atau cacing pita, yaitu organisme parasit yang hidup dalam sel inang
dan menguras sumber daya inang agar dapat bertahan hidup. Konsep program
worm yang menyebar sendiri dari mesin ke mesin lain pertama kali dikenalkan
oleh John Brunner di tahun 1975 pada fiksi ilmiahnya yang berjudul The
Shockwave Rider. Dia menyebut program ini sebagai tapeworm yang hidup dalam
komputer dan menyebarkan ke komputer lain (Spafford 1988). Worm telah
menjadi ancaman yang mematikan di internet, walaupun sebagian besar kasus
yang terjadi secara spesifik adalah pada sistem berbasis Windows. Beberapa jenis
worm terbaru memanfaatkan electronics mail (e-mail) sebagai medium
penyebarannya. Perbedaan mendasar antara worm dan virus terletak pada
bagaimana mereka membutuhkan campur tangan pengguna untuk melakukan
penggandaan diri dan menyebar menginfeksi sistem komputer. Virus lebih lambat
dalam melakukan penyebaran jika dibandingkan dengan worm. Namun virus
mempunyai kemampuan lebih untuk menghindari deteksi program antivirus yang
berusaha mengidentifikasi dan mengontrol penyebaran virus pada sistem
komputer bahkan pada praktek penyebarannya sebuah virus dapat menjadi sebuah
worm (Pramuji 2010).
Beberapa peneliti menggunakan model epidemik untuk mempelajari
penyebaran worm pada komputer. Di antaranya C. Wang, J.C. Knight dan M.C
Elder pada tahun 2000 serta C.C. Zou, W. Gong, D. Towsley, J. Kim, S.
Radhakrishnan dan S.K. Dhall di tahun 2002 (Kim et al. 2006). Model epidemik
yang digunakan adalah Susceptible Infectious Susceptible (SIS). Pada karya ilmiah
ini akan dibahas model yang berupa masalah kontrol optimum dengan satu
variabel keadaan (banyaknya komputer yang terinfeksi worm), satu variabel
kontrol (banyaknya komputer terinfeksi worm yang mendapat perawatan), dan
fungsional objektif yaitu meminimumkan banyaknya komputer yang terinfeksi
dan biaya perawatan komputer.
2
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1 Mempelajari dinamika penyebaran dan pengendalian infeksi worm
pada komputer berdasarkan model epidemik SIS dengan atau tanpa
perawatan,
2 menentukan fungsi perawatan yang meminimumkan biaya
perawatan.
TINJAUAN PUSTAKA
Masalah Kontrol Optimum
Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol
di antara
semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari
keadaan awal
pada waktu
ke keadaan terminal atau akhir
pada
waktu , sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsional
objektif.
Persamaan diferensial dari sistem dinamika dinyatakan sebagai
(1)
̇
. Jika
Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu yaitu
dipilih peubah kontrol
yang terdefinisi pada
. Karena
diberikan, maka persamaan (1) mempunyai solusi tunggal.
Solusi yang diperoleh merupakan respons terhadap yang dilambangkan
dengan
. Dengan memilih fungsi kontrol yang berbeda. Agar diperoleh
solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria tertentu. Artinya, untuk setiap
kontrol
dan keadaan akhir
dihubungkan dengan fungsi
(2)
∫
dengan fungsi yang diberikan, tidak harus ditentukan, dan
memunyai
kondisi tertentu.
Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan
salah satu sehingga menjadi maksimum atau minimum. Kontrol bersifat
demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat
dinyatakan sebagai masalah meminimumkan suatu fungsional (2) terhadap
kendala (1).
Prinsip Minimum Pontryagin
Syarat perlu tercapainya kondisi optimum dalam masalah kontrol optimum
adalah terpenuhinya prinsip minimum Pontryagin.
Misalkan terdapat masalah dalam memilih suatu vektor kontrol
dari himpunan semua fungsi kontinu bagian demi bagian,
nilai dari fungsi-fungsi tersebut dibawa ke sistem dinamik
̇
3
ke keadaan akhir
dari keadaan awal
sebuah maksimum atau minimum ke suatu fungsi objektif
[
]
yang memberikan
∫
dengan
merupakan vektor keadaan dan
merupakan vektor kontrol di
mana keduanya merupakan vektor yang tak terbatasi. [
] didefinisikan
sebagai fungsi skalar serta
sebagai fungsi Scrap,
sebagai fungsi vektor.
Teorema (Prinsip Minimum Pontryagin)
Misalkan
sebagai vektor kontrol admissible yang membawa keadaan
ke keadaan akhir
dengan
dan secara umum
awal
tidak ditentukan. Syarat perlu agar
menjadi solusi optimum adalah
terdapat vektor sedemikian rupa sehingga:
1.
dan
merupakan solusi dari sistem kanonik:
di mana
̇
∑
fungsi Hamiltonian biasa dengan
.
2.
.
3. Semua syarat batas terpenuhi.
Pembuktian dapat dilihat pada Lampiran 1.
∑
(Tu 1993)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Infeksi SIS
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model infeksi SIS. Terdapat dua kelas
pada model SIS, yaitu:
1 Kelas rentan (suspect), yaitu kelas yang berisi komputer yang rentan
terhadap worm. Banyaknya komputer yang rentan terhadap worm pada
saat dinotasikan dengan
,
2 kelas terinfeksi (infectious), yaitu kelas yang berisi komputer yang
terinfeksi worm. Banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada saat
dinotasikan dengan
.
4
Infeksi tanpa perawatan
S
I
Gambar 1 Diagram model infeksi SIS tanpa perawatan
Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa komputer yang rentan menjadi terinfeksi
pada tingkat tertentu dan di waktu yang sama komputer yang terinfeksi
disembuhkan dan terinfeksi kembali. Pada model ini, komputer yang sedang
disembuhkan dan yang terinfeksi tidak memiliki kekebalan.
Misalkan merupakan banyaknya populasi komputer. Dengan
. Pada model ini
merupakan laju infeksi worm (waktu) sedangkan laju
penyembuhan komputer yang terinfeksi worm (waktu). Jika dituliskan pada
bentuk persamaan diferensial, maka
(3)
(4)
Jika
maka persamaan (4) menjadi
(
)
(5)
Menggunakan metode fraksi parsial, banyaknya komputer yang terinfeksi worm
pada waktu didapatkan
(6)
dengan
adalah banyaknya komputer yang terinfeksi worm di waktu
awal. Pembuktian dapat dilihat pada Lampiran 2.
Untuk waktu yang menuju takhingga
, banyaknya komputer yang
terinfeksi dituliskan
(7)
5
Infeksi dengan perawatan
I
S
U
Gambar 2 Diagram model infeksi SIS dengan perawatan
Perbedaan antara model SIS dengan atau tanpa perawatan adalah pada
model ini komputer yang terinfeksi mendapatkan tindakan perawatan yang
lajunya dilambangkan dengan (waktu), sehingga diperoleh model
(8)
(
)
(
)
(9)
(
)
(10)
dengan
merupakan variabel kontrol, yaitu banyaknya komputer terinfeksi
worm yang mendapat perawatan pada waktu . Karena
maka
persamaan (9) menjadi
(
)
Masalah Kontrol Optimum
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model masalah kontrol optimum
dengan bahasan model fungsi objektif, fungsi kendala dan penyelesaian dengan
menggunakan prinsip minimum Pontryagin.
Fungsi Objektif
Di dalam suatu populasi yang terjadi endemik penyakit terdapat suatu
permasalahan, yaitu tingkat dari penyebaran penyakit tersebut. Penyebaran
penyakit ini diakibatkan adanya kontak langsung dengan individu kelas yang
terinfeksi (infectious) dan individu pada kelas rentan (suspect). Individu pada
kelas rentan berperan besar terhadap penyebaran penyebaran penyakit di dalam
suatu populasi sehingga diperlukan suatu cara untuk mengendalikannya agar
meminimumkan jumlah populasi yang terinfeksi. Pada kasus ini komputer yang
terinfeksi worm adalah variabel keadaan yang dapat dikontrol atau dikendalikan.
Artinya ada variabel kontrol
berupa tindakan perawatan terhadap komputer
yang terinfeksi dapat mempengaruhi proses penyembuhan. Fungsi objektif yang
digunakan adalah meminimumkan total biaya yang digunakan pada komputer
yang terinfeksi
dan biaya perawatan
. merupakan konstanta yang
diasumsikan bernilai tetap dan tidak tergantung terhadap waktu. Berbeda halnya
6
dengan
yang nilainya berbeda-beda bergantung terhadap waktu. Dengan
demikian masalah kontrol optimum pengendalian worm dituliskan sebagai
min
∫ [
(
)]
(11)
Fungsi Kendala
Dari hasil modifikasi model infeksi SIS dengan perawatan didapatkan
fungsi kendala:
̇
(12)
(
)
(13)
dan
e a
Persamaan (12) dan (13) menyatakan banyaknya individu pada kelas yang
terinfeksi dipengaruhi oleh laju dari infeksi worm sehingga semakin banyaknya
individu yang terinfeksi maka laju penyembuhan serta perawatannya semakin
ditingkatkan.
Prinsip Minimum Pontryagin
Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh fungsi Hamilton yang
didefinisikan
(14)
[
]
[
]
Syarat perlu berupa
̇
̇
(15)
Dengan menerapkan prinsip minimum Pontryagin diperoleh syarat yang
yang menghasilkan
meminimumkan fungsi Hamilton, yaitu
.
merupakan biaya marjinal dari perawatan. Misalkan
didefinisikan
sehingga
dengan
merupakan
biaya marjinal dari suatu unit komputer yang mendapat perawatan, maka
didapatkan fungsi
(16)
Sedangkan untuk syarat yang kedua yaitu
̇
̇
. Jika persamaan (16) disubtitusikan maka
̇
̇
̇
̇
̇
Dan syarat yang terakhir, yaitu
.
̇
̇ akan menghasilkan
(17)
(18)
7
Dari persamaan (16), (17) dan (18) maka sistem optimum dari kontrol
optimum dituliskan sebagai
(19)
̇
(20)
̇
(21)
Simulasi
Simulasi 1
Di bagian ini akan dilakukan simulasi pada banyaknya komputer yang
terinfeksi worm untuk model infeksi SIS dengan atau tanpa perawatan serta
banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan laju
infeksi worm. Dengan memasukkan nilai parameter pada persamaan (20) dan (21),
Gambar 3 menunjukkan nilai dari laju infeksi yang berubah, dengan nilai
serta
dengan nilai
awal
dan
.
Keterangan:
Tanpa perawatan: β = 0.04:
Dengan perawatan:
β = 0.01:
β = 0.02:
β = 0.04:
0.7
0.6
It
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 3 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai
laju infeksi (β) terhadap waktu
Gambar 3 menunjukkan banyaknya komputer yang terinfeksi worm. Garis
titik-titik merah merupakan banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada
model SIS tanpa perawatan, yaitu memasukkan nilai parameter pada persamaan
(6). Jika dilihat lebih teliti banyaknya komputer yang terinfeksi mengalami
8
kenaikan, hal ini berkesinambungan dengan sifat fungsi eksponensial yang akan
cekung ke atas. Namun hal ini berbanding terbalik apabila komputer yang
terinfeksi diberikan perawatan. Jika dibandingkan pada garis berwarna biru yaitu
dengan nilai laju infeksi sebesar 0.04 didapat banyaknya komputer yang terinfeksi
akan signifikan mengalami penurunan. Komputer yang terinfeksi worm akan
terlihat semakin sedikit sesuai dengan laju infeksinya. Semakin kecil laju infeksi
maka akan membuat semakin sedikit pula komputer yang terinfeksi.
Perawatan dikatakan berhasil jika banyaknya komputer yang mendapat
perawatan akan sedikit pada waktu awal. Hal ini terlihat pada garis berwarna hijau
di Gambar 4. Jika laju infeksinya sedikit maka banyaknya komputer yang
mendapat perawatan akan sedikit pula. Jika dibandingkan dengan Gambar 3,
dengan bobot biaya sama didapatkan hasil yang berbeda.
Keterangan:
β = 0.01:
β = 0.02:
β = 0.04:
0.7
0.6
0.5
ut
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 4 Grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan
nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Simulasi 2
Pada simulasi selanjutnya, parameter yang diubah adalah laju perawatannya.
Laju perawatan adalah keadaan yang terjadi pada saat suatu komputer dalam masa
penyembuhan mendapatkan perlakuan lebih pada waktu tertentu. Nilai parameter
yang digunakan adalah
erta
dengan nilai awal
dan
.
Gambar 5 menunjukkan banyaknya komputer yang terinfeksi worm
dengan perubahan nilai laju perawatannya. Sama seperti simulasi sebelumnya,
pada gambar ini dibandingkan banyaknya komputer yang terinfeksi dengan
menggunakan model SIS dengan atau tanpa perawatan. Untuk model SIS tanpa
perawatan diperlihatkan oleh garis merah putus-putus. Karena nilai parameter
yang dimasukkan sama dengan simulasi pertama maka garis merah putus-putus
juga memperlihatkan bahwa banyaknya komputer yang terinfeksi akan cenderung
meningkat tanpa adanya perawatan. Sedangkan untuk laju perawatan dengan nilai
9
paling besar akan terjadi penurunan yang signifikan untuk banyaknya komputer
yang terinfeksi.
Keterangan:
Tanpa perawatan: = 0.1:
Dengan perawatan:
= 0.06:
= 0.08:
= 0.1:
0.7
0.6
It
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 5 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan penurunan nilai
laju perawatan
terhadap waktu
Keterangan:
= 0.06:
= 0.08:
= 0.1:
0.7
0.6
0.5
ut
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 6
Grafik banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan berdasarkan
perubahan nilai laju perawatan (λ) terhadap waktu
10
Gambar 6 menunjukkan banyaknya komputer yang mendapatkan
perawatan untuk setiap perubahan laju perawatan. Untuk nilai laju perawatan
yang semakin kecil maka banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan di
waktu awal jumlahnya semakin sedikit. Hal ini berbanding terbalik dengan
banyaknya komputer yang terinfeksi.
KESIMPULAN
Model Susceptible Infectious Suceptible (SIS) pada karya ilmiah ini
menggambarkan masalah infeksi worm pada komputer, di mana dilakukan dua
model infeksi, yaitu model infeksi tanpa perawatan dan model infeksi dengan
perawatan. Pada model infeksi SIS tanpa perawatan didapatkan banyaknya
komputer yang terinfeksi akan semakin banyak dari waktu ke waktu. Sedangkan
jika dilakukan perawatan banyaknya komputer yang terinfeksi berbanding terbalik
dengan sebelumnya, yaitu akan semakin menurun jika laju perawatannya
dinaikkan. Jika dilihat banyaknya komputer yang mendapat perawatan, laju
perawatan yang dinaikkan akan membuat jumlah komputer yang mendapat
perawatan lebih sedikit, hal ini berbanding terbalik dengan penurunan dari laju
perawatan yang akan membuat komputer yang terinfeksi worm meningkat. Jika
laju penyembuhannya diperkecil akan membuat komputer yang mendapat
perawatan semakin meningkat. Hal ini disebabkan karena laju infeksi worm lebih
besar dibandingkan laju penyembuhannya.
DAFTAR PUSTAKA
Fosnock C. 2005. Computer Worms: Past, Present, Future. East Carolina
University.
Kim J, Radhakrishnan S, Jang J. 2006. Cost Optimization in SIS Model of Worm
Infection. ETRI Journal. 28(5): 692-695. doi: 10.4218/etrij.06.0206.0026.
Pramuji T. 2010. Studi tentang Kombinasi Superworms vs Cryptovirologi. Orbith.
6(1): 86-89. Diunduh dari http://www.polines.ac.id/orbith/files/6-12010%20Hal%2089-96.pdf. Diakses April 2014.
Spafford EH. 1988. The Internet Worm Program: An Analysis. West Lavayette:
Purdue University. Diunduh dari http://spaf.cerias.purdue.edu/techreps/823.pdf. Diakses Oktober 2013.
Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimum Control with
Economics and Management Applications. Berlin (DE): Springer-Verlag
11
Lampiran 1 Pembuktian prinsip minimum Pontryagin
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus (TDK) dapat ditulis:
∫
sehingga
(
)
(
∫ (
)
∫ (
̇
)
)
Karena
konstan maka tersebut dapat diabaikan dalam proses
pengoptimuman, sehingga
∫ (
̇
)
Definisikan fungsional objektif imbuhan (augmented):
∫
dengan
̇
(
̇
̇
̇
)
Syarat perlu masalah kakulus variasi dengan
Terapkan pada
dan
̇)
∫ (
̇
̇)
((
̇
̇
̇
[
)
tidak ditentukan adalah
̇
̇
Dengan demikian syarat perlu optimalitasnya diberikan oleh:
(Persamaan Euler),
1
̇
2
,
3
,
(syarat transversalitas).
̇ ̇
4
̇
Perhatikan bahwa:
̇
sehingga
1
2
3
̇
(
̇
,
̇
̇
̇
̇
)
̇
̇
̇
,
,
̇
]
̇
̇
12
4
Karena
Syarat transfersalitas
Terbukti ■
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
menjadi
Lampiran 2 Pembuktian solusi banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada
waktu t
Diketahui
(5)
Dengan metode fraksial diperoleh
(5.a)
(5.b)
(5.c)
Dengan mensubtitusikan persamaan (5.c) ke persamaaan (5.b) diperoleh nilai
sehingga persamaan (5.a) menjadi
Selanjutnya,
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
Misalkan
sehingga
∫
∫
∫
13
∫
(
)
∫
∫
(
Untuk = 0 didapat
)
(
)
sehingga persamaan (5.d) menjadi
(
)
(
(
)
(
(5.d)
)
)
(
)
( (
[
)
)
]
.
(6)
Terbukti ■
Lampiran 3 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan
perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan menggunakan
Mathematica 9.0
[
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
14
[
[ [ ]
[
[ ]
[
]
[ ]
[ ]
[ [ ]
[
[ ]
[
[ ]
[ [ ]
[
[
[ ]
[ ]
[ [ ]
[
]
]
[ ]
]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
Lampiran 4 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan
menggunakan Mathematica 9.0
[
[ ]
[
[
[
[
[ ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
]
15
[
[ ]
[
[
[
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
]
Lampiran 5 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan
perubahan nilai laju penyembuhan ( ) terhadap waktu dengan
menggunakan Mathematica 9.0
[
[
[
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ [ ] ]
[ ]
[
[ ]
[
[
]
]
[ ]
[ ]
[ [ ]
[
[
[ ]
[ [ ]
[
[ ]
[ ]
]
[ [ ]
]
]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
[
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
16
Lampiran 6 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan ( ) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
[
[ ]
[
[
[
[ ]
[
[
[
[ ]
[
[
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
]
[ ]
[
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
17
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada 6 September 1990. Penulis merupakan
anak pertama dari dua bersaudara pasangan ayah Edi Rosadi dan ibu Titi
Suprilani. Mempunyai seorang adik laki-laki yang bernama Muhammad Istiadi.
Pada tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 104 Jakarta dan pada tahun yang
sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur USMI.
Selama menjadi mahasiswi penulis pernah mengikuti keorganisasian dan
beberapa kepanitian. Di antaranya adalah Bendahara Dua Gumatika pada tahun
2010-2011 dan staf Badan Pengawas Gumatika tahun 2011-2012. Selain itu
penulis juga pernah menjadi Scientist Guardian (SG) pada kepanitiaan Masa
Perkenalan Fakultas MIPA untuk angkatan 47 dan 48, menjadi staf Tim Kreatif
pada Matematika Angkatan 47 di tahun 2011 dan di tahun yang sama penulis juga
berkesempatan menjadi staf Publikasi, Dokumentasi dan Dekorasi (PDD) pada
acara Welcome Ceremony Matematika Ria. Menjadi beberapa Master of
Ceremony di antaranya pada acara Seminar Dunia Kerja Departemen Forsmath
Gumatika (2011), Integral Lipat 2 Welcome Ceremony Angkatan 48 (2012), dan
Muslimah’ Creative Trainning Departemen Kemuslimahan Serum-G (2012).
Pada semester genap tahun ajaran 2012-2013 menjadi asisten mata kuliah Proses
Stokastik Dasar dan di semester ganjil tahun ajaran 2013-2014 penulis menjadi
asisten mata kuliah Analisis Model Empirik.
INFEKSI WORM KOMPUTER
SEVIRA ROSANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Kontrol
Optimum Infeksi Worm Komputer adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Sevira Rosana
NIM G54090026
ABSTRAK
SEVIRA ROSANA. Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer.
Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO.
Worm adalah sebuah program yang menyalin dirinya sendiri dan
menyebarkan sepenuhnya sendiri ke mesin lain. Konsep program worm yang
menyebar sendiri dari mesin ke mesin lain dikenalkan oleh John Brunner di tahun
1975 pada karya fiksi ilmiahnya yang berjudul The Shockwave Rider. Worm telah
menjadi ancaman yang mematikan di internet sehingga beberapa peneliti
menggunakan sebuah model epidemik untuk mempelajari penyebaran worm pada
jaringan komputer. Pada karya ilmiah ini, dinamika penyebaran worm dirumuskan
dalam bentuk model Susceptible Infectious Susceptible (SIS). Masalah
meminimumkan biaya perawatan dirumuskan dengan model kontrol optimum dan
diselesaikan dengan menggunakan prinsip minimum Pontryagin. Hasil simulasi
numerik menunjukkan pengaruh dari perubahan laju infeksi dan laju perawatan
terhadap upaya meminimumkan biaya perawatan.
Kata kunci: worm, model epidemik, SIS, masalah kontrol optimum, prinsip
minimum Pontryagin.
ABSTRACT
SEVIRA ROSANA. Optimal Control Model of Computer Worm Infection.
Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO.
Worm is a program which duplicates and fully spreads itself to other
machines. The concepts of worm which spreads itself from one machine to
another was firstly introduced by John Brunner in 1975 at his science fiction book
entitled The Shockwave Rider. Worm has become a deadly threat on the intenet
so that some researchers using the epidemic model to study the worm spreading in
computer network. In this work, the dynamic of worm transmission is formulated
as a Susceptible Infectious Susceptible (SIS) model. While, the problem of the
treatment cost minimization is formulated by optimal control framework and
solved by Pontryagin minimum principle. The result of the numerical simulation
shows the effects of the change in the rate of infection and the rate of treatment on
the cost minimization effort.
Keywords: worm, epidemic model, SIS, optimal control problem, Pontryagin
minimum principle.
MASALAH KONTROL OPTIMUM
INFEKSI WORM KOMPUTER
SEVIRA ROSANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer
Nama
: Sevira Rosana
NIM
: G54090026
Disetujui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini adalah Kontrol Optimum dengan judul “Masalah
Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer”.
Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Dr. Toni Bakhtiar, MSc
selaku pembimbing akademik dan pembimbing skripsi atas segala ilmu, nasihat
serta bimbingannya. Dan juga kepada Drs. Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing
skripsi kedua atas ilmu dan sarannya, serta kepada Dr. Paian Sianturi selaku
penguji atas ilmu dan nasihatnya. Kepada dosen-dosen Departemen Matematika
untuk ilmu yang kelak menjadi bekal bagi penulis untuk dapat mengabdi pada
negerinya. Serta para staf Departemen Matematika atas segala bantuannya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
Penulis juga mendedikasikan terima kasih tertinggi untuk kedua orang tua
yang tak pernah lelah atas kesabarannya memberikan kasih sayang dan semangat
yang tak pernah henti. Dan untuk adikku atas segala perhatiannya. Keluarga besar
Soemarno KS dan Keluarga besar (Alm) H. Mathohir atas cintanya yang terus
memotivasi penulis untuk dapat menyelesaikan pendidikan ini. Sahabat-sahabat
yang tak pernah putus memberikan semangat dan doa terbaiknya bagi penulis
Salis, Oci, Puti, Sifa, Sarah, Syarifah, Yuli, Donna dan Galuh. Teman satu
bimbingan Meda, Sonia, dan Syahrul. Matematika 46 yang selalu setia dengan
semangatnya Windi, Anne, Dita, Widia, Desyi, Ermi, Risa, Fitri, Nisa, Randita,
Nia, Danty, Elysa dan semua yang tidak dapat dituliskan satu per satu. Kakak
Matematika 45, adik-adik Matematika 47 serta Keluarga Wisma Aulia atas
kekeluargannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Sevira Rosana
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Masalah Kontrol Optimum
2
Prinsip Minimum Pontryagin
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Model Infeksi SIS
3
Masalah Kontrol Optimum
5
KESIMPULAN
9
DAFTAR PUSTAKA
10
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
17
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Diagram model infeksi SIS tanpa perawatan
Diagram model infeksi SIS dengan perawatan
Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan
perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan
perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan
perubahan nilai laju perawatan
terhadap waktu
Grafik banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju perawatan (λ) terhadap waktu
4
5
7
8
9
9
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian prinsip minimum Pontryagin
2 Pembuktian solusi banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada
waktu t
3 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm
berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
4 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
5 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm
berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan (λ) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
6 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan (λ) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
11
12
13
14
15
16
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Virus komputer pertama kali tercipta bersamaan dengan komputer pada
tahun 1949 oleh seorang pencipta komputer, John von Newman, yang
menciptakan Electronic Discrete Variable Automatic Computer (EDVAC). Istilah
virus komputer tak asing lagi bagi kalangan pengguna komputer saat ini. Virus
yang terdapat pada komputer adalah program biasa, sebagaimana layaknya
program-program lain (Pramuji 2010). Virus komputer merupakan program
replikasi diri yang menyebar dengan menyisipkan salinan dirinya ke kode lain
yang tereksekusi, dalam hal ini biasanya menyerang dokumen. Virus komputer
berperilaku sama seperti virus biologis atau virus penyakit yang menyebar dengan
memasukkan sendiri ke dalam sel hidup untuk memperluas analogi. Penyisipan
virus ke dalam program disebut infeksi dan file yang terinfeksi disebut sebagai
inang (Fosnock 2005).
Worm adalah sebuah program yang menyalin dirinya sendiri dan
menyebarkan sepenuhnya sendiri ke mesin lain. Kata worm berasal dari kata
tapeworm atau cacing pita, yaitu organisme parasit yang hidup dalam sel inang
dan menguras sumber daya inang agar dapat bertahan hidup. Konsep program
worm yang menyebar sendiri dari mesin ke mesin lain pertama kali dikenalkan
oleh John Brunner di tahun 1975 pada fiksi ilmiahnya yang berjudul The
Shockwave Rider. Dia menyebut program ini sebagai tapeworm yang hidup dalam
komputer dan menyebarkan ke komputer lain (Spafford 1988). Worm telah
menjadi ancaman yang mematikan di internet, walaupun sebagian besar kasus
yang terjadi secara spesifik adalah pada sistem berbasis Windows. Beberapa jenis
worm terbaru memanfaatkan electronics mail (e-mail) sebagai medium
penyebarannya. Perbedaan mendasar antara worm dan virus terletak pada
bagaimana mereka membutuhkan campur tangan pengguna untuk melakukan
penggandaan diri dan menyebar menginfeksi sistem komputer. Virus lebih lambat
dalam melakukan penyebaran jika dibandingkan dengan worm. Namun virus
mempunyai kemampuan lebih untuk menghindari deteksi program antivirus yang
berusaha mengidentifikasi dan mengontrol penyebaran virus pada sistem
komputer bahkan pada praktek penyebarannya sebuah virus dapat menjadi sebuah
worm (Pramuji 2010).
Beberapa peneliti menggunakan model epidemik untuk mempelajari
penyebaran worm pada komputer. Di antaranya C. Wang, J.C. Knight dan M.C
Elder pada tahun 2000 serta C.C. Zou, W. Gong, D. Towsley, J. Kim, S.
Radhakrishnan dan S.K. Dhall di tahun 2002 (Kim et al. 2006). Model epidemik
yang digunakan adalah Susceptible Infectious Susceptible (SIS). Pada karya ilmiah
ini akan dibahas model yang berupa masalah kontrol optimum dengan satu
variabel keadaan (banyaknya komputer yang terinfeksi worm), satu variabel
kontrol (banyaknya komputer terinfeksi worm yang mendapat perawatan), dan
fungsional objektif yaitu meminimumkan banyaknya komputer yang terinfeksi
dan biaya perawatan komputer.
2
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1 Mempelajari dinamika penyebaran dan pengendalian infeksi worm
pada komputer berdasarkan model epidemik SIS dengan atau tanpa
perawatan,
2 menentukan fungsi perawatan yang meminimumkan biaya
perawatan.
TINJAUAN PUSTAKA
Masalah Kontrol Optimum
Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol
di antara
semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari
keadaan awal
pada waktu
ke keadaan terminal atau akhir
pada
waktu , sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsional
objektif.
Persamaan diferensial dari sistem dinamika dinyatakan sebagai
(1)
̇
. Jika
Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu yaitu
dipilih peubah kontrol
yang terdefinisi pada
. Karena
diberikan, maka persamaan (1) mempunyai solusi tunggal.
Solusi yang diperoleh merupakan respons terhadap yang dilambangkan
dengan
. Dengan memilih fungsi kontrol yang berbeda. Agar diperoleh
solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria tertentu. Artinya, untuk setiap
kontrol
dan keadaan akhir
dihubungkan dengan fungsi
(2)
∫
dengan fungsi yang diberikan, tidak harus ditentukan, dan
memunyai
kondisi tertentu.
Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan
salah satu sehingga menjadi maksimum atau minimum. Kontrol bersifat
demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat
dinyatakan sebagai masalah meminimumkan suatu fungsional (2) terhadap
kendala (1).
Prinsip Minimum Pontryagin
Syarat perlu tercapainya kondisi optimum dalam masalah kontrol optimum
adalah terpenuhinya prinsip minimum Pontryagin.
Misalkan terdapat masalah dalam memilih suatu vektor kontrol
dari himpunan semua fungsi kontinu bagian demi bagian,
nilai dari fungsi-fungsi tersebut dibawa ke sistem dinamik
̇
3
ke keadaan akhir
dari keadaan awal
sebuah maksimum atau minimum ke suatu fungsi objektif
[
]
yang memberikan
∫
dengan
merupakan vektor keadaan dan
merupakan vektor kontrol di
mana keduanya merupakan vektor yang tak terbatasi. [
] didefinisikan
sebagai fungsi skalar serta
sebagai fungsi Scrap,
sebagai fungsi vektor.
Teorema (Prinsip Minimum Pontryagin)
Misalkan
sebagai vektor kontrol admissible yang membawa keadaan
ke keadaan akhir
dengan
dan secara umum
awal
tidak ditentukan. Syarat perlu agar
menjadi solusi optimum adalah
terdapat vektor sedemikian rupa sehingga:
1.
dan
merupakan solusi dari sistem kanonik:
di mana
̇
∑
fungsi Hamiltonian biasa dengan
.
2.
.
3. Semua syarat batas terpenuhi.
Pembuktian dapat dilihat pada Lampiran 1.
∑
(Tu 1993)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Infeksi SIS
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model infeksi SIS. Terdapat dua kelas
pada model SIS, yaitu:
1 Kelas rentan (suspect), yaitu kelas yang berisi komputer yang rentan
terhadap worm. Banyaknya komputer yang rentan terhadap worm pada
saat dinotasikan dengan
,
2 kelas terinfeksi (infectious), yaitu kelas yang berisi komputer yang
terinfeksi worm. Banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada saat
dinotasikan dengan
.
4
Infeksi tanpa perawatan
S
I
Gambar 1 Diagram model infeksi SIS tanpa perawatan
Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa komputer yang rentan menjadi terinfeksi
pada tingkat tertentu dan di waktu yang sama komputer yang terinfeksi
disembuhkan dan terinfeksi kembali. Pada model ini, komputer yang sedang
disembuhkan dan yang terinfeksi tidak memiliki kekebalan.
Misalkan merupakan banyaknya populasi komputer. Dengan
. Pada model ini
merupakan laju infeksi worm (waktu) sedangkan laju
penyembuhan komputer yang terinfeksi worm (waktu). Jika dituliskan pada
bentuk persamaan diferensial, maka
(3)
(4)
Jika
maka persamaan (4) menjadi
(
)
(5)
Menggunakan metode fraksi parsial, banyaknya komputer yang terinfeksi worm
pada waktu didapatkan
(6)
dengan
adalah banyaknya komputer yang terinfeksi worm di waktu
awal. Pembuktian dapat dilihat pada Lampiran 2.
Untuk waktu yang menuju takhingga
, banyaknya komputer yang
terinfeksi dituliskan
(7)
5
Infeksi dengan perawatan
I
S
U
Gambar 2 Diagram model infeksi SIS dengan perawatan
Perbedaan antara model SIS dengan atau tanpa perawatan adalah pada
model ini komputer yang terinfeksi mendapatkan tindakan perawatan yang
lajunya dilambangkan dengan (waktu), sehingga diperoleh model
(8)
(
)
(
)
(9)
(
)
(10)
dengan
merupakan variabel kontrol, yaitu banyaknya komputer terinfeksi
worm yang mendapat perawatan pada waktu . Karena
maka
persamaan (9) menjadi
(
)
Masalah Kontrol Optimum
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model masalah kontrol optimum
dengan bahasan model fungsi objektif, fungsi kendala dan penyelesaian dengan
menggunakan prinsip minimum Pontryagin.
Fungsi Objektif
Di dalam suatu populasi yang terjadi endemik penyakit terdapat suatu
permasalahan, yaitu tingkat dari penyebaran penyakit tersebut. Penyebaran
penyakit ini diakibatkan adanya kontak langsung dengan individu kelas yang
terinfeksi (infectious) dan individu pada kelas rentan (suspect). Individu pada
kelas rentan berperan besar terhadap penyebaran penyebaran penyakit di dalam
suatu populasi sehingga diperlukan suatu cara untuk mengendalikannya agar
meminimumkan jumlah populasi yang terinfeksi. Pada kasus ini komputer yang
terinfeksi worm adalah variabel keadaan yang dapat dikontrol atau dikendalikan.
Artinya ada variabel kontrol
berupa tindakan perawatan terhadap komputer
yang terinfeksi dapat mempengaruhi proses penyembuhan. Fungsi objektif yang
digunakan adalah meminimumkan total biaya yang digunakan pada komputer
yang terinfeksi
dan biaya perawatan
. merupakan konstanta yang
diasumsikan bernilai tetap dan tidak tergantung terhadap waktu. Berbeda halnya
6
dengan
yang nilainya berbeda-beda bergantung terhadap waktu. Dengan
demikian masalah kontrol optimum pengendalian worm dituliskan sebagai
min
∫ [
(
)]
(11)
Fungsi Kendala
Dari hasil modifikasi model infeksi SIS dengan perawatan didapatkan
fungsi kendala:
̇
(12)
(
)
(13)
dan
e a
Persamaan (12) dan (13) menyatakan banyaknya individu pada kelas yang
terinfeksi dipengaruhi oleh laju dari infeksi worm sehingga semakin banyaknya
individu yang terinfeksi maka laju penyembuhan serta perawatannya semakin
ditingkatkan.
Prinsip Minimum Pontryagin
Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh fungsi Hamilton yang
didefinisikan
(14)
[
]
[
]
Syarat perlu berupa
̇
̇
(15)
Dengan menerapkan prinsip minimum Pontryagin diperoleh syarat yang
yang menghasilkan
meminimumkan fungsi Hamilton, yaitu
.
merupakan biaya marjinal dari perawatan. Misalkan
didefinisikan
sehingga
dengan
merupakan
biaya marjinal dari suatu unit komputer yang mendapat perawatan, maka
didapatkan fungsi
(16)
Sedangkan untuk syarat yang kedua yaitu
̇
̇
. Jika persamaan (16) disubtitusikan maka
̇
̇
̇
̇
̇
Dan syarat yang terakhir, yaitu
.
̇
̇ akan menghasilkan
(17)
(18)
7
Dari persamaan (16), (17) dan (18) maka sistem optimum dari kontrol
optimum dituliskan sebagai
(19)
̇
(20)
̇
(21)
Simulasi
Simulasi 1
Di bagian ini akan dilakukan simulasi pada banyaknya komputer yang
terinfeksi worm untuk model infeksi SIS dengan atau tanpa perawatan serta
banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan laju
infeksi worm. Dengan memasukkan nilai parameter pada persamaan (20) dan (21),
Gambar 3 menunjukkan nilai dari laju infeksi yang berubah, dengan nilai
serta
dengan nilai
awal
dan
.
Keterangan:
Tanpa perawatan: β = 0.04:
Dengan perawatan:
β = 0.01:
β = 0.02:
β = 0.04:
0.7
0.6
It
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 3 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai
laju infeksi (β) terhadap waktu
Gambar 3 menunjukkan banyaknya komputer yang terinfeksi worm. Garis
titik-titik merah merupakan banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada
model SIS tanpa perawatan, yaitu memasukkan nilai parameter pada persamaan
(6). Jika dilihat lebih teliti banyaknya komputer yang terinfeksi mengalami
8
kenaikan, hal ini berkesinambungan dengan sifat fungsi eksponensial yang akan
cekung ke atas. Namun hal ini berbanding terbalik apabila komputer yang
terinfeksi diberikan perawatan. Jika dibandingkan pada garis berwarna biru yaitu
dengan nilai laju infeksi sebesar 0.04 didapat banyaknya komputer yang terinfeksi
akan signifikan mengalami penurunan. Komputer yang terinfeksi worm akan
terlihat semakin sedikit sesuai dengan laju infeksinya. Semakin kecil laju infeksi
maka akan membuat semakin sedikit pula komputer yang terinfeksi.
Perawatan dikatakan berhasil jika banyaknya komputer yang mendapat
perawatan akan sedikit pada waktu awal. Hal ini terlihat pada garis berwarna hijau
di Gambar 4. Jika laju infeksinya sedikit maka banyaknya komputer yang
mendapat perawatan akan sedikit pula. Jika dibandingkan dengan Gambar 3,
dengan bobot biaya sama didapatkan hasil yang berbeda.
Keterangan:
β = 0.01:
β = 0.02:
β = 0.04:
0.7
0.6
0.5
ut
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 4 Grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan
nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Simulasi 2
Pada simulasi selanjutnya, parameter yang diubah adalah laju perawatannya.
Laju perawatan adalah keadaan yang terjadi pada saat suatu komputer dalam masa
penyembuhan mendapatkan perlakuan lebih pada waktu tertentu. Nilai parameter
yang digunakan adalah
erta
dengan nilai awal
dan
.
Gambar 5 menunjukkan banyaknya komputer yang terinfeksi worm
dengan perubahan nilai laju perawatannya. Sama seperti simulasi sebelumnya,
pada gambar ini dibandingkan banyaknya komputer yang terinfeksi dengan
menggunakan model SIS dengan atau tanpa perawatan. Untuk model SIS tanpa
perawatan diperlihatkan oleh garis merah putus-putus. Karena nilai parameter
yang dimasukkan sama dengan simulasi pertama maka garis merah putus-putus
juga memperlihatkan bahwa banyaknya komputer yang terinfeksi akan cenderung
meningkat tanpa adanya perawatan. Sedangkan untuk laju perawatan dengan nilai
9
paling besar akan terjadi penurunan yang signifikan untuk banyaknya komputer
yang terinfeksi.
Keterangan:
Tanpa perawatan: = 0.1:
Dengan perawatan:
= 0.06:
= 0.08:
= 0.1:
0.7
0.6
It
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 5 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan penurunan nilai
laju perawatan
terhadap waktu
Keterangan:
= 0.06:
= 0.08:
= 0.1:
0.7
0.6
0.5
ut
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 6
Grafik banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan berdasarkan
perubahan nilai laju perawatan (λ) terhadap waktu
10
Gambar 6 menunjukkan banyaknya komputer yang mendapatkan
perawatan untuk setiap perubahan laju perawatan. Untuk nilai laju perawatan
yang semakin kecil maka banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan di
waktu awal jumlahnya semakin sedikit. Hal ini berbanding terbalik dengan
banyaknya komputer yang terinfeksi.
KESIMPULAN
Model Susceptible Infectious Suceptible (SIS) pada karya ilmiah ini
menggambarkan masalah infeksi worm pada komputer, di mana dilakukan dua
model infeksi, yaitu model infeksi tanpa perawatan dan model infeksi dengan
perawatan. Pada model infeksi SIS tanpa perawatan didapatkan banyaknya
komputer yang terinfeksi akan semakin banyak dari waktu ke waktu. Sedangkan
jika dilakukan perawatan banyaknya komputer yang terinfeksi berbanding terbalik
dengan sebelumnya, yaitu akan semakin menurun jika laju perawatannya
dinaikkan. Jika dilihat banyaknya komputer yang mendapat perawatan, laju
perawatan yang dinaikkan akan membuat jumlah komputer yang mendapat
perawatan lebih sedikit, hal ini berbanding terbalik dengan penurunan dari laju
perawatan yang akan membuat komputer yang terinfeksi worm meningkat. Jika
laju penyembuhannya diperkecil akan membuat komputer yang mendapat
perawatan semakin meningkat. Hal ini disebabkan karena laju infeksi worm lebih
besar dibandingkan laju penyembuhannya.
DAFTAR PUSTAKA
Fosnock C. 2005. Computer Worms: Past, Present, Future. East Carolina
University.
Kim J, Radhakrishnan S, Jang J. 2006. Cost Optimization in SIS Model of Worm
Infection. ETRI Journal. 28(5): 692-695. doi: 10.4218/etrij.06.0206.0026.
Pramuji T. 2010. Studi tentang Kombinasi Superworms vs Cryptovirologi. Orbith.
6(1): 86-89. Diunduh dari http://www.polines.ac.id/orbith/files/6-12010%20Hal%2089-96.pdf. Diakses April 2014.
Spafford EH. 1988. The Internet Worm Program: An Analysis. West Lavayette:
Purdue University. Diunduh dari http://spaf.cerias.purdue.edu/techreps/823.pdf. Diakses Oktober 2013.
Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimum Control with
Economics and Management Applications. Berlin (DE): Springer-Verlag
11
Lampiran 1 Pembuktian prinsip minimum Pontryagin
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus (TDK) dapat ditulis:
∫
sehingga
(
)
(
∫ (
)
∫ (
̇
)
)
Karena
konstan maka tersebut dapat diabaikan dalam proses
pengoptimuman, sehingga
∫ (
̇
)
Definisikan fungsional objektif imbuhan (augmented):
∫
dengan
̇
(
̇
̇
̇
)
Syarat perlu masalah kakulus variasi dengan
Terapkan pada
dan
̇)
∫ (
̇
̇)
((
̇
̇
̇
[
)
tidak ditentukan adalah
̇
̇
Dengan demikian syarat perlu optimalitasnya diberikan oleh:
(Persamaan Euler),
1
̇
2
,
3
,
(syarat transversalitas).
̇ ̇
4
̇
Perhatikan bahwa:
̇
sehingga
1
2
3
̇
(
̇
,
̇
̇
̇
̇
)
̇
̇
̇
,
,
̇
]
̇
̇
12
4
Karena
Syarat transfersalitas
Terbukti ■
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
menjadi
Lampiran 2 Pembuktian solusi banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada
waktu t
Diketahui
(5)
Dengan metode fraksial diperoleh
(5.a)
(5.b)
(5.c)
Dengan mensubtitusikan persamaan (5.c) ke persamaaan (5.b) diperoleh nilai
sehingga persamaan (5.a) menjadi
Selanjutnya,
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
Misalkan
sehingga
∫
∫
∫
13
∫
(
)
∫
∫
(
Untuk = 0 didapat
)
(
)
sehingga persamaan (5.d) menjadi
(
)
(
(
)
(
(5.d)
)
)
(
)
( (
[
)
)
]
.
(6)
Terbukti ■
Lampiran 3 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan
perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan menggunakan
Mathematica 9.0
[
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
14
[
[ [ ]
[
[ ]
[
]
[ ]
[ ]
[ [ ]
[
[ ]
[
[ ]
[ [ ]
[
[
[ ]
[ ]
[ [ ]
[
]
]
[ ]
]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
Lampiran 4 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan
menggunakan Mathematica 9.0
[
[ ]
[
[
[
[
[ ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
]
15
[
[ ]
[
[
[
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
]
]
Lampiran 5 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan
perubahan nilai laju penyembuhan ( ) terhadap waktu dengan
menggunakan Mathematica 9.0
[
[
[
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ [ ] ]
[ ]
[
[ ]
[
[
]
]
[ ]
[ ]
[ [ ]
[
[
[ ]
[ [ ]
[
[ ]
[ ]
]
[ [ ]
]
]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
[
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[
[ ]
]
16
Lampiran 6 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan
berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan ( ) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0
[
[ ]
[
[
[
[ ]
[
[
[
[ ]
[
[
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
]
[ ]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
]
[ ]
[
[ ]
]
[ ]
]
[ ]
]
17
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada 6 September 1990. Penulis merupakan
anak pertama dari dua bersaudara pasangan ayah Edi Rosadi dan ibu Titi
Suprilani. Mempunyai seorang adik laki-laki yang bernama Muhammad Istiadi.
Pada tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 104 Jakarta dan pada tahun yang
sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur USMI.
Selama menjadi mahasiswi penulis pernah mengikuti keorganisasian dan
beberapa kepanitian. Di antaranya adalah Bendahara Dua Gumatika pada tahun
2010-2011 dan staf Badan Pengawas Gumatika tahun 2011-2012. Selain itu
penulis juga pernah menjadi Scientist Guardian (SG) pada kepanitiaan Masa
Perkenalan Fakultas MIPA untuk angkatan 47 dan 48, menjadi staf Tim Kreatif
pada Matematika Angkatan 47 di tahun 2011 dan di tahun yang sama penulis juga
berkesempatan menjadi staf Publikasi, Dokumentasi dan Dekorasi (PDD) pada
acara Welcome Ceremony Matematika Ria. Menjadi beberapa Master of
Ceremony di antaranya pada acara Seminar Dunia Kerja Departemen Forsmath
Gumatika (2011), Integral Lipat 2 Welcome Ceremony Angkatan 48 (2012), dan
Muslimah’ Creative Trainning Departemen Kemuslimahan Serum-G (2012).
Pada semester genap tahun ajaran 2012-2013 menjadi asisten mata kuliah Proses
Stokastik Dasar dan di semester ganjil tahun ajaran 2013-2014 penulis menjadi
asisten mata kuliah Analisis Model Empirik.