Kontrol Optimum Sistem Inventori-Produksi dengan Laju Kerusakan Barang Menyebar Weibull

(1)

KONTROL OPTIMUM SISTEM INVENTORI-PRODUKSI DENGAN

LAJU KERUSAKAN BARANG MENYEBAR WEIBULL

NURUS SA’ADAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

(2)

ABSTRAK

NURUS SA’ADAH. Kontrol Optimum Sistem Inventori-Produksi dengan Laju Kerusakan Barang Menyebar Weibull. Dibimbing oleh TONI BAKHTIARdan FARIDA HANUM.

Pengendalian persediaan (inventori) merupakan pekerjaan alami seperti halnya proses menyimpan makanan, pakaian, pena, kertas, dan barang-barang lainnya. Bagi perusahaan, pengendalian persediaan sangat diperlukan karena merupakan modal kerja dan berperan dalam menjamin ketersediaan barang untuk memenuhi permintaan pelanggan. Masalah inventori-produksi merupakan model dinamis (fungsi dari waktu) sehingga dapat disajikan sebagai masalah kontrol optimum. Tulisan ini membahas tentang kontrol optimum suatu sistem inventori-produksi dengan mempertimbangkan kerusakan barang yang disimpan. Tingkat kerusakan barang diasumsikan mengikuti sebaran Weibull dua parameter. Pembahasan dalam tulisan ini meliputi dua kasus, yaitu sistem model kontinu dan diskret. Kondisi optimum untuk model kontinu diperoleh dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. Solusi yang didapatkan berupa persamaan diferensial orde dua yang kemudian diselesaikan secara numerik menggunakan metode beda hingga. Sistem inventori-produksi diskret diselesaikan dengan metode pengali Lagrange dengan solusi optimal diperoleh melalui penyelesaian persamaan beda secara rekursif.

(3)

ABSTRACT

NURUS SA’ADAH. Optimal Control of a Production-Inventory System with Weibull Distributed Deterioration. Supervised by TONI BAKHTIAR and FARIDA HANUM.

Inventory control is a natural action that everyone undertakes, as we keep foods, clothes, pens, papers, and many other goods. For companies, inventory control is an important thing to do because it manages the capital assets and organizes the availability of items for customers. Production-inventory system is a dynamic model (a function of time) so that it can be presented as a problem of optimal control. This paper is concerned with an optimal control of a production-inventory system with deteriorating items. It is assumed that the deterioration rate follows a two parameters Weibull distribution. In this work we investigate continuous and discrete models. Optimal condition for continuous model is derived by using Pontryagin maximum principle, where the solution is a second order differential equation which solved numerically by using finite difference method. While discrete production-inventory system is solved by Lagrange technique, with the optimal solution is obtained by solving difference equations recursively.

(4)

KONTROL OPTIMUM SISTEM INVENTORI-PRODUKSI DENGAN

LAJU KERUSAKAN BARANG MENYEBAR WEIBULL

NURUS SA’ADAH

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

(5)

Judul Skripsi

: Kontrol Optimum Sistem Inventori-Produksi dengan Laju

Kerusakan Barang Menyebar Weibull

Nama

:

Nurus Sa‟adah

Nrp

: G54070087

Menyetujui,

Pembimbing I,

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.

Pembimbing II,

Dra. Farida Hanum, M.Si.

NIP: 19720627 199702 1 002

NIP: 19651019 199103 2 002

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP: 19650505 198903 2 004

(6)

PRAKATA

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karuniaNya sehingga skripsi ini berhasil diselesaikan. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada nabi Muhammad SAW yang merupakan suri tauladan bagi kita. Tema yang penulis pilih adalah Riset Operasi dengan judul: Kontrol Optimum Sistem Inventori-Produksi dengan Laju Kerusakan Barang Menyebar Weibull.

Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Terimakasih yang tidak terkira penulis persembahkan kepada:

1 Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc dan Ibu Dra. Farida Hanum selaku dosen pembimbing, atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis, serta kepada Bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom selaku dosen penguji atas kritik dan sarannya,

2 Orang tua (Ayahanda Tamyis dan Ibunda Suparni) atas kasih sayang, do‟a, nasihat dan semangat yang senantiasa tercurah, kakak (Fathur dan Fatimah) dan adik (Roziqin dan Murtadho) atas do‟a dan motivasi yang tiada henti,

3 Kementerian Agama RI yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk bergabung dalam Program Beasiswa Santri Berprestasi (PBSB) dan Keluarga besar CSS MoRA (IPB dan Nasional) untuk semangat dan kebersamaannya,

4 Bapak S.S Tri Riyadi, S.Pd dan Ibu Martiningrum, S.Ag, yang telah membantu „membukakan

jalan‟ bagi penulis. Hanya Allah yang bisa membalas segala kebaikannya,

5 Ustadz Ece, Ustadz Oman, Ummi Tuti, Ummi Eni, Leni, Kholis, Ummi, mbak Elok, Iin, Diyah, Elisa, Heni, Deuis, Fitri, Titis dan seluruh keluarga besar pesantren mahasiswa Al-Ihya

Dramaga atas do‟a, nasihat, semangat dan ukhuwah yang sangat indah,

6 teman-teman mat44: Na‟im, Dika, Nadiroh, Iam, Tita, Ririh, Nurul, Yuli, Selvie, Yanti, Indin, Deva, Ayum, Iip, Puying, Lukman, Olih, Endro, Ruhiyat, Pepi, Aqil, Ihsan dan semua mat44 atas warna-warni persahabatan yang pastinya kelak akan kita rindukan,

7 sahabat-sahabat KMNU IPB: Kak Ilul, Kak Dauz, Kak Gun, Kak Misbah, Kak Syafiq, Eko, Atin, Dewi dan semuanya untuk pengalaman berjuang yang luar biasa. Teman-teman omda Kendal (FOKMA) untuk momen-momen terindah yang menyegarkan kembali ketika teringat kampung halaman,

8 seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu yang telah membantu penulis dalam penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat penulis harapkan. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.

Bogor, Maret 2012

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kendal, Jawa Tengah pada tanggal 28 November 1989 sebagai anak ketiga dari lima bersaudara, anak dari pasangan Tamyis dan Suparni.

Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Pondok Modern Selamat Kendal. Pada tahun yang sama penulis diterima pada Departemen Matematika, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) dengan sponsor dari Kementerian Agama Republik Indonesia.

Penulis pernah memegang amanah sebagai Staf Biro Kewirausahaan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) periode 2009-2010. Penulis juga mengikuti beberapa kelembagaan eksternal kampus: OMDA, PMII, KMNU dan CSS MoRA IPB. Dalam kepanitiaan, penulis pernah menjadi bendahara kegiatan seminar kewirausahaan yang diselenggarakan divisi kewirausahaan Gumatika IPB. Penulis pernah menjadi pengajar Kalkulus dan Pengantar Matematika pada bimbingan belajar Gumatika, Express dan Katalis. Penulis juga pernah menjadi tentor mata pelajaran Matematika Dasar pada bimbel intensif pesantren kilat sukses SNMPTN regional Bogor yang diadakan oleh Yayasan Mata Air.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persediaan ... 1

2.2 Sebaran Weibull ... 2

2.3 Laju Kerusakan Barang ... 2

2.4 Kontrol Optimum ... 3

2.4.1 Masalah Kontrol Optimum ... 3

2.4.2 State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol ... 3

2.4.3 Formulasi Masalah Kontrol Optimum ... 3

2.4.4 Prinsip Maksimum Pontryagin ... 4

2.4.5 Syarat Batas (Syarat Transversalitas) ... 4

2.4.6 Masalah Waktu Terminal T Tetap ... 4

2.4.7 Metode Pengali Lagrange ... 4

2.5 Metode Beda Hingga ... 4

III PEMBAHASAN 3.1 Sistem Inventori-Produksi ... 6

3.2 Sistem Inventori-Produksi Model Kontinu ... 6

3.2.1 Model dan Notasi ... 6

3.2.2 Solusi Analitik ... 6

3.2.3 Simulasi ... 7

3.3 Sistem Inventori Produksi Model Diskret ... 9

3.3.1 Model dan Notasi ... 9

3.3.2 Solusi Analitik ... 10

3.3.3 Simulasi ... 10

IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan ... 12

4.2 Saran ... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 12

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Fungsi kepekatan peluang sebaran Weibull ... 2

2 (a) Hubungan antara tingkat keandalan, tingkat kerusakan, dan waktu ... 3

(b) Siklus hidup komponen (bathup curve) ... 3

3 Grafik syarat transversalitas secara umum ... 4

4 Mekanisme inventori-produksi ... 6

5 Laju kerusakan barang θ ... 7

6 Tingkat permintaan D ... 8

7 Tingkat inventori optimum dan tingkat inventori tujuan untuk simulasi model kontinu .. 9

8 Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model kontinu ... 9

9 Tingkat inventori optimum dan tingkat inventori tujuan untuk simulasi model diskret .... 11

10 Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model diskret .... 11

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Bukti prinsip maksimum Pontryagin ... 14

2 Perhitungan persamaan pada simulasi model kontinu ... 15

3 Pencarian solusi untuk simulasi model kontinu dengan metode beda hingga ... 16

4 Langkah-langkah penyelesaian dengan metode sweep ... 22

(10)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Aplikasi teori kontrol optimum dalam ma-salah riset operasi merupakan area penelitian yang luas dan terbuka (Sethi dan Thompson 2000). Salah satu yang menarik untuk dibahas adalah tentang perencanaan produksi.

Setiap individu adalah pengendali perse-diaan (inventory controller), baik di rumah maupun dalam pekerjaan sebagaimana kebiasaan orang menyimpan makanan, pakai-an, kertas, pena, dan barang-barang lainnya. Beberapa orang secara teratur membuang atau mengeluarkan isi lemari es karena berubah sifat. Jadi, pengendalian persediaan adalah pekerjaan alami yang dilakukan setiap orang (Wild 2002).

Lebih jauh lagi, sebuah perusahaan yang berorientasi pada keuntungan (profit oriented) harus melakukan pengendalian persediaan. Persediaan merupakan salah satu aktiva penting di dalam perusahaan dan menjadi salah satu modal kerja perusahaan. Tingkat persediaan akan memengaruhi ketersediaan barang yang siap dijual untuk melayani pe-langgan (customer).

Dalam suatu persediaan, bila mencapai waktu tertentu barang akan rusak. Dengan menyesuaikan data empirik terhadap sebaran matematis, para peneliti menggunakan sebar-an Weibull untuk memodelksebar-an laju kerusaksebar-an barang.

Beberapa contoh barang yang laju ke-rusakannya menyebar Weibull antara lain: daging, susu, sereal, es krim, dan makanan be-ku lainnya. Selain persediaan makanan, ba-rang lain yang laju kerusakannya menyebar Weibull adalah film kamera, obat-obatan, ba-han kimia, komponen elektronik, dan lain-lain. Dalam bidang peternakan, laju kerusakan

biasanya berupa rusaknya hewan ternak akibat kematian.

Masalah persediaan merupakan model dinamis (fungsi dari waktu), sehingga dapat disajikan sebagai masalah kontrol optimum dengan satu peubah keadaan (tingkat perse-diaan) dan satu peubah kontrol (tingkat pro-duksi). Tingkat kerusakan barang persediaan diasumsikan sebagai peubah acak yang me-nyebar mengikuti dua parameter sebaran Weibull.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari karya ilmiah Al-Khedhairi dan Tadj (2007) yang berjudul “Optimal control of a production inventory system with Weibull

distributed deterioration”. Dalam karya

ilmiah ini dibahas model inventori-produksi kontinu dan diskret. Model kontinu dipecahkan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin dan model diskret diselesaikan menggunakan metode pengali Lagrange untuk meminimalkan fungsional objektif dengan kendala beberapa persamaan beda.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah: 1 memodelkan masalah sistem

inventori-produksi dalam bentuk masalah kontrol optimum,

2 menerapkan prinsip maksimum Pontryagin untuk menyelesaikan masalah sistem inventori-produksi kontinu dan metode pengali Lagrange untuk menyelesaikan masalah sistem inventori-produksi diskret dengan mempertimbangkan laju kerusakan barang yang menyebar Weibull,

3 membuat simulasi model untuk setiap sistem.

II LANDASAN TEORI

Dalam menyelesaikan masalah kontrol

sis-tem persediaan pada karya ilmiah ini diguna-kan pendekatan kontrol optimum. Supaya lebih memahami dalam penyusunan model dan penyelesaiannya, beberapa definisi dan teori yang terkait dengan masalah kontrol op-timum perlu dijelaskan. Berikut adalah defi-nisi dan teori terkait yang digunakan.

2.1 Sistem Persediaan (Inventory System)

Berdasarkan jenis operasi perusahaan, arti persediaan dapat diklasifikasikan menjadi dua:

1. Pada perusahaan manufaktur yang mem-proses input menjadi output, persediaan adalah simpanan bahan baku dan barang setengah jadi (work in process) untuk diproses menjadi barang jadi (finished

goods) yang memunyai nilai tambah yang

lebih besar secara ekonomis, untuk selan-jutnya dijual kepada pihak ketiga (kon-sumen).

2. Pada perusahaan dagang, persediaan adalah simpanan sejumlah barang jadi yang sudah siap untuk dijual kepada pihak ketiga (konsumen).

(11)

Gambar 1 Fungsi kepekatan peluang sebaran Weibull.

2.2 Sebaran Weibull

Sebaran Weibull telah digunakan secara luas dalam bidang rekayasa (keteknikan). Pada mulanya sebaran ini dimaksudkan untuk menganalisis data kelelahan (fatigue data) suatu alat atau instrumen, namun sekarang penggunaannya telah diperluas ke berbagai masalah rekayasa. Khususnya, sebaran ini telah digunakan secara meluas di dalam masalah fenomena umur sebagai sebaran umur.

Suatu peubah acak kontinu disebut memi-liki sebaran Weibull dengan parameter α (ska-la) dan β (bentuk), jika fungsi kepekatan pelu-angnya diberikan oleh

= −1 − , > 0

0, lainnya

dengan > 0 dan > 0.

Fungsi kepekatan peluang pada Gambar 1 menunjukkan bahwa jika = 1 maka sebaran Weibull menjadi sebaran eksponensial. Jika > 1 maka kurva fungsi kepekatan peluang sebaran Weibull mendekati bentuk lonceng dan mirip kurva Normal, tapi memunyai ketaksimetrisan (skewness).

Nilai tengah dan ragam bagi sebaran Weibull masing-masing adalah sebagai beri-kut:

= 1+ 1

1 = −1,

σt2=

1+2 − 1+1 2

2 ,

dengan � = ∞ − �−1

0 .

(Ross 1996)

2.3 Laju Kerusakan Barang

Masalah kerusakan barang tidak akan lepas dari masalah keandalan (reliability) ba-rang itu sendiri. Semakin tinggi tingkat

kean-dalan suatu barang, tingkat kerusakannya se-makin rendah dan sebaliknya seperti yang terlihat pada Gambar 2 (a).

Bentuk umum dari laju kerusakan rata-rata sebagai fungsi dari waktu dapat dilihat pada siklus hidup komponen (bathup curve) yang bentuknya menyerupai bak mandi seperti pada Gambar 2 (b) dengan penjelasan sebagai beri-kut:

i) Bagian pertama yaitu masa awal dari suatu sistem atau komponen, ditandai dengan tingginya kegagalan pada fase awal dan berangsur-angsur turun seiring dengan bertambahnya waktu. Hal ini disebabkan adanya kesalahan dalam operasi. Kerusak-an seperti ini disebut kerusakKerusak-an dini (early

failures) dengan β<1.

ii) Bagian kedua ditandai dengan laju kegagalan yang konstan dari komponen atau sistem. Hal ini disebabkan pembe-banan barang yang melewati batas standar

(over load). Kerusakan seperti ini disebut

kerusakan tak terduga (change failures) dengan β=1.

iii)Bagian ketiga ditandai dengan naiknya laju kegagalan dari komponen atau sistem seiring dengan bertambahnya waktu. Hal ini disebabkan habisnya umur ekonomis barang sehingga menyebabkan komponen barang mengalami aus (wear-out failures) dengan β>1.

Sebaran Weibull dipilih karena selain bisa menggambarkan siklus hidup suatu komponen atau barang, dalam penggunaannya juga bersifat fleksibel atau bergantung pada para-meternya (bisa mendekati sebaran eksponen-sial atau normal). Selain itu distribusi Weibull juga dapat digunakan untuk ukuran sample

yang kecil atau data yang kurang lengkap. (Nababan 2009)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 t f

1

2

1

3

1

5 

















,

(12)

laju kerusakan θ

waktu t

laju kerusakan θ

waktu t

masa

awal masa berguna

masa aus

θ konstan

(a) (b)

andal takandal

Gambar 2 (a) Hubungan antara tingkat keandalan, tingkat kerusakan, dan waktu. (b) Siklus hidup komponen (bathup curve).

2.4 Kontrol Optimum

2.4.1 Masalah Kontrol Optimum

Masalah kontrol optimum adalah masalah memilih peubah kontrol di antara semua pe-ubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu awal kepada state akhir pada waktu akhir, sedemikian sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum untuk fungsional objektif (performance index).

(Tu 1993)

2.4.2 State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol

Misalkan diberikan sistem dinamik dalam bentuk sistem persamaan diferensial

= ( , , ) (1) untuk model kontinu atau dalam bentuk sis-tem persamaan beda

�+ 1 = � , � ,� (2) untuk model diskret. Sistem dinamik dapat berbentuk linear atau taklinear, mandiri (

auto-nomous) atau takmandiri (non-autonomous),

deterministik atau stokastik.

State atau keadaan sistem dinamik adalah

koleksi dari = ₁, ₂, … , _� yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu ₀ (�₀ untuk model diskret) maka nilainya akan dapat ditentukan pada 0 (� �0 untuk model diskret) melalui pilihan vektor peubah kontrol = ( 1, 2,… , �). Vektor disebut vektor peubah state sedangkan _� disebut state ke-i. Ruang keadaan adalah ruang berdimensi � yang memuat koordinat _�.

Peubah kontrol adalah peubah yang me-mengaruhi suatu sistem dan dilambangkan dengan _� ( _� � untuk model diskret) dengan 1 � �, ₀ untuk model kontinu dan � 0,1,… untuk model diskret. Secara umum, kendala peubah kontrol dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrol-kontrol yang admissible yang dilambangkan

Ω( ), yaitu _� Ω . Apabila kontrol hanya merupakan fungsi dari maka disebut kontrol open-loop dan apabila kontrol juga merupakan fungsi dari peubah state yaitu = , untuk model kontinu atau � = � ,� untuk model diskret, maka disebut kontrol close-loop.

(Tu 1993)

2.4.3 Formulasi Masalah Kontrol Opti-mum

Misalkan menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sesepenggal

(piecewise). Masalah kontrol optimum adalah

menentukan fungsi kontrol di antara fungsi

admissible yang membawa sistem dari state

awal 0 kepada state akhir pada waktu 0, melalui sistem (1) atau (2) sehingga fungsional mencapai maksimum.

Masalah kontrol optimum kontinu (MKOK) adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif

max

( ) = , + 0 , , 0

dengan ₀ adalah suatu fungsi yang diberikan dan , merupakan fungsi scrap (fung-si yang menggambarkan keadaan (fung-sistem di waktu akhir) terhadap kendala

= , ,

0 = 0

= .

Masalah kontrol optimum diskret (MKOD) adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif max (�) �( � , � ,�) −1 �=0 terhadap kendala

�+ 1 − (�) = � , � ,�

�₀ = ₀

(13)

Kendala pertama merupakan persamaan beda yang menyatakan perubahan pada peubah keadaan dari waktu � ke (�+ 1), �= 0,1,…, −1.

(Tu 1993)

2.4.4 Prinsip Maksimum Pontryagin

Syarat perlu tercapainya kondisi optimum bagi MKOK diperoleh dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin.

Teorema 1 (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Misalkan sebagai kontrol admissible yang

membawa state awal ( ( ₀), ₀) kepada state

terminal ( , ) dengan ( ) dan secara

umum tidak ditentukan. Syarat perlu agar

( ∗, ∗) menjadi solusi optimum adalah

ter-dapat vektor ∗ sedemikian rupa sehingga:

1. ∗ dan ∗ merupakan solusi dari sistem

kanonik:

∗₌ ₍ ∗_, ∗_, ∗_{, )} ∗₌₋ ₍ ∗_, ∗_, ∗_{, )}

dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh

, , , = 0 , , + ∙ , , .

2. ∗, ∗, ∗, , , , .

3. Semua syarat batas terpenuhi.

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

(Tu 1993)

2.4.5 Syarat Batas (Syarat Transversalitas)

Jika ( ) dan belum ditentukan maka diperlukan syarat batas atau syarat trans-versalitas berikut

− � = + + � = = 0. dengan � dan � bernilai nol jika waktu dan nilai variabel state telah ditetapkan (lihat Gambar 3).

Apabila ( 0) dan 0 keduanya juga belum ditentukan, maka syarat batas menjadi

− � =0, + + � =0, = 0. (Tu 1993)

Ilustrasi masalah di atas dapat dilihat pada Gambar 3.

2.4.6 Masalah Waktu Terminal T Tetap

Jika waktu terminal T tetap, maka � = 0 syarat batas menjadi

− � = = 0

Terdapat tiga kasus untuk masalah ini, salah satu di antaranya adalah kasus dengan

state terminal bebas, untuk kasus ini jelas

bahwa � ≠0 sehingga diperoleh = . Apabila tanpa fungsi scrap

, = 0, maka syarat batas menjadi = 0.

(Tu 1993)

2.4.7 Metode Pengali Lagrange

Syarat perlu tercapainya kondisi optimum bagi MKOD adalah dengan menerapkan me-tode pengali Lagrange.

Didefinisikan fungsi Lagrange

= � � , � ,� + �+ 1 [ � + −1

�=0

� , � ,� − (�+ 1)]

dengan �+ 1 adalah pengali Lagrange yang berhubungan dengan persamaan beda dari kendala pertama. Syarat perlu agar ( ∗, ∗) menjadi solusi optimal adalah:

1. ₍_�₎ = _��+ �+ 1 _�= 0. 2. ₍_�₎ = _��+ �+ 1 1 + _� − = 0.

3. ₍₁₊_�₎ = � + − �+ 1 = 0 4.

� =− � = 0.

Syarat terakhir diperlukan jika state akhir bebas.

(Conrad & Clark 1987)

2.5 Metode Beda Hingga (Finite Difference Method)

Misalkan diberikan persamaan diferensial orde-2 sebagai berikut:

′′ = ′ + + ,

, =�, = .

(14)

Persamaan diferensial orde dua tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pende-katan secara numerik terhadap ′′ dan ′. Caranya adalah pertama, dipilih sebarang bilangan bulat yaitu �> 0 dan membagi interval [a,b] dengan (�+ 1), hasilnya dinamakan h yaitu ℎ= −

� + 1. Dengan demi-kian maka titik-titik _� yang merupakan sub-interval antara a dan b dapat dinyatakan

� = +�ℎ,�= 0,1,…,�+ 1.

Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan memanfaatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi ′′ dan ′ pada _�₊₁ dan

�−1 seperti berikut ini:

( _�₊₁) = ( _�) +ℎ ′( _�) +ℎ 2

2 ′′( �) _�−1 = � − ℎ ′( �) +ℎ

2 ′′( �) . Jika kedua persamaan di atas dijumlahkan maka diperoleh

�+1 + �−1 = 2 ( �) +ℎ2 ′′( �). Dari sini ′′ dapat ditentukan

′′

� = �+1

+ _�−₁ −2 _�

ℎ2 .

Dengan cara yang sama, ′( _�) dapat diten-tukan

′

� = �+1 ₂−_ℎ �−1 .

Selanjutnya persamaan ′′ dan ′ disubstitusi-kan ke persamaan diferensial maka

− �+1− �−1+2 �

ℎ2 + �

�+1− �−1 2ℎ + � � =− ( �).

Dinyatakan bahwa _�+1 = �+1 dan � = � serta �−1 = �−1 sehingga persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut − 1 +ℎ

2 � �−1+ 2 +ℎ 2

� �− 1−ℎ

2 � �+1=−ℎ 2 ₍

�) dengan i = 1,2, ... N.

Yang ingin dicari ialah 1, 2,…, � dengan 0 dan �+1sudah diketahui, yaitu

0=� dan �+1= ; keduanya dikenal sebagai syarat batas (boundary values). Topik yang sedang dibahas ini juga sering disebut sebagai masalah syarat batas (boundary value

problem).

Persamaan terakhir merupakan sistem persamaan linear yang berbentuk operasi matriks ��=� dengan A adalah matriks tridiagonal berukuran �×�.

Karena elemen-elemen matriks A dan b

sudah diketahui, maka vektor solusi w dapat dicari menggunakan beberapa metode peme-cahan sistem persamaan linear, seperti elimi-nasi Gauss, elimielimi-nasi Gauss-Jourdan, iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel.

(Suparno 2011)

A



2 

h

_q

_

_x





1 

h₂

p



x



0 

0 

1 

h₂

p



x



2 

h

q



x





1 

h₂

p



x



0 

0 

1 

h₂

p



x



2 

h

q



x





1 

h₂

p



x



0 

0 

1 

p



x



2 

h

_q

_

_x





1 

h₂

p



x



0 



1 

p



x

N1



2 

h

_q

_

_x

N1





1 

h₂

p



x

N1



0 



1 

p



x



2 

h

_q

_

_x



,

b

h2_r__x

1 1 h₂px1 w0 h2_r__x

2 h2_r__x

3 h2_r__x

4



h2_r_x

N1 h2_r_x

N 1 h₂pxN wN1

, w

 wN1

(15)

III PEMBAHASAN

3.1 Sistem Inventori Produksi

Karya ilmiah ini membahas sistem inven-tori-produksi model kontinu dan diskret. Pada model kontinu, inventori dimonitor secara kontinu dan proses produksi dapat dimulai pada setiap waktu. Sebaliknya, pada model diskret, inventori dimonitor pada titik-titik waktu tertentu.

Asumsi yang digunakan dalam model pada karya ilmiah ini ialah:

1. Perusahaan telah menetapkan tingkat per-sediaan yang diinginkan (inventory goal

level) yang merupakan banyaknya barang

yang ingin disimpan oleh perusahaan. 2. Perusahaan telah menetapkan tingkat

pro-duksi yang diinginkan (production goal

level) yang merupakan banyaknya barang

yang ingin diproduksi oleh perusahaan secara efektif.

3. Penalti dikenakan ketika tingkat persedia-an dpersedia-an tingkat produksi menyimppersedia-ang dari level yang diinginkan.

4. Seluruh permintaan dapat dipenuhi oleh perusahaan.

Mekanisme inventori-produksi suatu pa-brik yang memproduksi satu jenis barang dan memunyai gudang untuk menyimpan barang-barang yang telah selesai diproduksi dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 4 Mekanisme inventori-produksi.

3.2 Sistem Inventori-Produksi Model Kontinu

3.2.1 Model dan Notasi

Misalkan sebuah perusahaan menerapkan kebijakan peninjauan kontinu. Didefinisikan notasi sebagai berikut:

: panjang horizon perencanaan ( ) : tingkat persediaan pada waktu t

( ) : tingkat produksi pada waktu t

� : tingkat permintaan pada waktu t

0 : tingkat persediaan awal

( ) : tingkat kerusakan barang pada waktu t

ℎ : biaya penalti inventori (rupiah/unit) : biaya penalti produksi (rupiah/unit) : tingkat persediaan yang diinginkan

: tingkat produksi yang diinginkan pada waktu t

Didefinisikan fungsional objektif =− 1

2ℎ∆ 2 ₊1

2 ∆ 2 0

dengan ∆ ( ) = − ∆ = −

Fungsional objektif mengukur besarnya biaya penalti yang dikenakan ketika tingkat inventori dan tingkat produksi menyimpang dari goal level. Nilai ½ menunjukkan bahwa bobot yang menyatakan tingkat kepentingan dari biaya-biaya penalti adalah sama.

Model yang akan dibahas merupakan masalah kontrol optimum dengan tingkat in-ventori sebagai peubah keadaan dan tingkat produksi sebagai peubah kontrol. Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini diambil dari Al-Khedhairi dan Tajd (2007).

Masalah kontrol optimum kontinu (MKOK) adalah masalah meminimumkan fungsional objektif

min =− 1 2ℎ∆

2 ₊1 2 ∆

2 0

(3.1) dengan kendala sebagai berikut:

1. Perubahan tingkat persediaan: = − � − . Dalam karya ilmiah ini diasumsikan kerusakan barang mengikuti sebaran Weibull dengan laju kerusakan =

−1_{. Akibatnya, kendala di atas dapat} dituliskan sebagai

= − � − −1 _(3.2) 2. kendala ketaknegatifan:

0. 3. Nilai awal dan akhir ditetapkan:

0 = ₀ dan = . Masalah optimasi di atas dapat diselesai-kan dengan prinsip maksimum Pontryagin.

3.2.2 Solusi Analitik

Dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa seluruh permintaan dapat dipenuhi oleh perusahaan, sehingga tingkat produksi yang diinginkan merupakan jumlah dari barang yang rusak dan tingkat permintaan pasar

= −1 ₊_�_{. (3.3)} Dengan mendefinisikan sebagai variabel adjoin, fungsi Hamilton dituliskan sebagai

=−1 2 ℎ∆

2 ₊ _∆2 _{+ [} _{− � −} −1 _{]. (3.4)} Pabrik •Tingkat Produksi P Gudang •Tingkat kerusakan barang θ

Pelanggan

•Tingkat Permintaan D

(16)

Syarat perlu berupa:

= 0, =− , =

yang masing-masing dapat dituliskan

= + (3.5) =ℎ − − −1_(3.6) dan persamaan (3.2).

Dengan menyubstitusi persamaan (3.5) ke dalam persamaan (3.2) didapatkan:

= + − � − −1 (3.7) dan dari persamaan (3.7) tersebut didapatkan

= + −1 ₋₊_�_(3.8) Jika (3.7) didiferensialkan terhadap t didapat-kan:

=− −1 −2 ₋ −1 ₊ ₊ − � . (3.9) Kemudian, dengan menyubstitusi persamaan (3.6) ke dalam persamaan (3.9), didapatkan

=− −1 −2 ₊ −1₋₊ ℎ₋

+ − � . (3.10) Terakhir, dengan menyubstitusi persamaan (3.8) ke dalam persamaan (3.10), didapatkan persamaan diferensial orde dua berikut

− ℎ₋ ₋

1 −2₊ −1 2 ₌ −1_{� − −}ℎ ₊ − � _{. (3.11)} Dengan menerapkan nilai awal 0 = 0 dan nilai batas = akan didapatkan solusi optimum yang nilainya bergantung

pada bentuk fungsi tingkat permintaan yang dihadapi perusahaan.

3.2.3 Simulasi

Misalkan = 12, 0= 2, = 10, ℎ= 1, = 20, = 0.5, = 3, = 10, � = 1 + sin . Penjelasan dari parameter-parameter tersebut adalah sebagai berikut. Misalnya unit waktu dalam contoh tersebut adalah bulan, maka = 12 berarti periode produksinya adalah dua belas bulan. 0= 2 dan = 10 menyatakan bahwa tingkat persediaan di awal dan di akhir periode berturut-turut sebanyak dua dan sepuluh unit. Biaya penalti penyim-panan dan biaya penalti produksi dalam contoh ini berturut-turut berupa fungsi konstan, yaitu ℎ= 1 dan = 20, yang berarti biaya-biaya tersebut sepanjang waktu adalah tetap.

Nilai = 0.5 dan = 3 adalah parame-ter sebaran Weibull yang merupakan sebaran tingkat kerusakan barang. Laju kerusakan ba-rang = 1.5 2_{meningkat secara kuadratik} seperti yang terlihat dalam Gambar 5.

Tingkat permintaan � = 1 + sin be-rupa fungsi sinusodial yang artinya tingkat permintaan berubah secara periodik seiring dengan waktu (lihat Gambar 6). Tingkat inventori yang diinginkan selalu tetap sepanjang waktu, yaitu = 10. Nilai ditentukan dari persamaan (3.3) sehingga untuk contoh ini diperoleh

= 1 + 15 2_{+ sin} _.

Gambar 5 Laju kerusakan barang .

0 2 4 6 8 10 12

0 50 100 150 200

(17)

Gambar 6 Tingkat permintaan �. Parameter-parameter tersebut kemudian

disubstitusikan ke dalam persamaan (3.11) se-hingga diperoleh

= 2.25 4₋_{3 + 0.05} −_22.5 4₊ 30 −0.5.

(detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 2).

Persamaan yang dihasilkan berupa persa-maan diferensial orde dua. Dengan menggu-nakan nilai awal 0= 2 dan nilai batas

= 10 akan diperoleh fungsi tingkat in-ventori ( ). Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitik sehingga solusi-nya dicari secara numerik dengan metode be-da hingga (Lampiran 3).

Pertama, periode waktu [0,12] dibagi menjadi 120 bagian atau �= 120 dan didapatkan ℎ= 0.1. Dengan memanfaatkan polinomial Taylor, persamaan akhir berupa perkalian matriks ��=� dengan

Vektor solusi �= ( ) ditentukan dengan menerapkan metode eliminasi Gauss (Lampir-an 3) pada persama(Lampir-an matriks ��=�. Solusi optimum untuk tingkat inventori pada model kontinu dapat dilihat pada Gambar 7.

Nilai-nilai , , , dan � sudah diketahui, sehingga nilai juga dapat ditentukan dari persamaan (3.5), yaitu

( ) = ( ) + ( )

dengan = 1 + 15 2+ sin , = 20, dan =−12 2+ 1.5 2 + ( ).

Solusi optimum untuk tingkat produksi dapat dilihat pada Gambar 8.

0 2 4 6 8 10 12

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 t D A

1. 99 1. 00 0 0  0 0 0

1. 00 1. 99 1. 00 0  0 0 0

0 1. 00 1. 99 1. 00  0 0 0

0 0 1. 00 1. 98  0 0 0

0 0 0 1. 00  0 0 0

0 0 0 0  0 0 0

       

0 0 0 0  0 0 0

0 0 0 0  1. 00 0 0

0 0 0 0  423. 27 1. 00 0

0 0 0 0  1. 00 437. 87 1. 00

0 0 0 0  0 1. 00 452. 84

,b 2. 0

0. 1

0. 2

 3931. 8 4070. 5 4212. 7 4358. 7 4518. 4

, wIt

w0I02

w1 w2 w3 w4 w5 6  w116 w117 w118 w119

w120IT 10

(18)

Gambar 7. Tingkat inventori optimum dan tingkat inventori tujuan untuk simulasi model kontinu.

Gambar 8. Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model kontinu.

3.3 Sistem Inventori-Produksi Model Diskret

3.3.1 Model dan Notasi

Misalkan waktu perencanaan dibagi menjadi N selang yang sama panjang. Dide-finisikan notasi baru � , (�), (�),�(�) yang berturut-turut merupakan tingkat perse-diaan, tingkat produksi, tingkat produksi yang diinginkan, dan tingkat permintaan pada setiap subinterval.

Perubahan tingkat persediaan dinyatakan dalam persamaan beda

�+1 −(�)

= � − � � − � −1 � (3.12) dengan adalah panjang subinterval.

Dengan menyusun ulang persamaan (3.12) diperoleh

�+ 1 = 1− � −1_�₊ _[ _� −�(�)]. (3.13)

0 2 4 6 8 10 12 0 0 ,4 0 ,8 1 ,2 1 ,6 2 2 ,4 2 ,8 3 ,2 3 ,6 4 4 ,4 4 ,8 5 ,2 5 ,6 6 6 ,4 6 ,8 7 ,2 7 ,6 8 8 ,4 8 ,8 9 ,2 9 ,6 ₁₀ 1 0 ,4 1 0 ,8 1 1 ,2 1 1 ,6 ₁₂ tingkat inventori tujuan tingkat inventori optimum 0 500 1000 1500 2000 2500 0 ,1 0 ,5 0 ,9 1 ,3 1 ,7 2 ,1 2 ,5 2 ,9 3 ,3 3 ,7 4 ,1 4 ,5 4 ,9 5 ,3 5 ,7 6 ,1 6 ,5 6 ,9 7 ,3 7 ,7 8 ,1 8 ,5 8 ,9 9 ,3 9 ,7 1 0 ,1 1 0 ,5 1 0 ,9 1 1 ,3 1 1 ,7 Tingkat Produksi yang diinginkan tingkat produksi optimum 0 20 40 60 80 100

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3

t P

(19)

Jika dan memenuhi (3.13) maka didapat-kan

= 1− � −1₊ ₍_�₎_{− �}₍_�₎ (3.14) Didefinisikan operator ∆ sehingga

∆ (�) = � − , dan ∆ = − . Jika persamaan (3.13) dikurangi dengan per-samaan (3.14) didapatkan

∆ �+ 1 = � ∆ � + ∆ (�) (3.15) dengan � = 1− � −1

Masalah kontrol optimum diskret (MKOD) adalah meminimumkan fungsional objektif

min =1 2 ℎ∆

2 ₍_�_{) +} _∆2 ₍_�₎ �

0 .

(3.16) dengan kendala � 0, 0 = 0, =

, dan persamaan (3.15).

3.3.2 Solusi Analitik

Didefinisikan pengali Lagrange � dengan fungsi Lagrange:

=1 2 ℎ∆

2 _�₊ _∆2 _�₊ �−1

�+ 1 − (�+ 1 + � � + ∆ (�) .

(3.17) Syarat perlu:

∆ (�) = 0, ∆(�) = 0, (1+�) = 0 yang masing-masing setara dengan:

∆ � =− (�+ 1) (3.18) � =ℎ � + (�) (�+ 1) (3.19) dan persamaan (3.15).

Untuk mendapatkan solusi optimum, digunakan metode sweep (Bryson & Ho 1975) yang dapat dilihat di Lampiran 4.

Untuk �= 0, . . .�, dinotasikan (�) sehingga

� = � � . (3.20) Dengan menyubstitusi persamaan (3.20) ke dalam persamaan (3.18) didapatkan

∆ � =− �+ 1 �+ 1 . (3.21) Kemudian, dengan menyubstitusikan persamaan (3.15) ke dalam persamaan (3.21) didapatkan

∆ � =− �+ 1 [ � ∆ � − ∆ � ].

(3.22)

Dengan menyelesaikan persamaan (3.22) didapatkan

∆ � = � �+ 1

+ 2 �+ 1 ∆ � . (3.23) Persamaan (3.20) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.19) sehingga didapatkan

� � =ℎ � + � �+ 1

�+ 1 .

(3.24) Dengan menyubstitusikan persamaan (3.15) ke dalam persamaan (3.24) didapatkan juga

� � = ℎ+ � 2 �_{+ 1} � ₊ (�) (�+ 1) � (3.25) dan menyubstitusikan persamaan (3.23) ke dalam persamaan (3.25) akan mendapatkan

� � = ℎ+ �

2 _�_{+ 1}

+ 2 �+ 1 ∆ � . (3.26) sehingga didapatkan persamaan Ricatti

� =ℎ+ �+ 1

+ 2 �+ 1 � 2

(3.27) yang harus diselesaikan secara rekursif mundur, dimulai dari

� =ℎ.

Solusi optimum dapat diperoleh dengan menyubstitusikan persamaan (3.23) ke dalam persamaan (3.15)

∆ �+ 1 = � 1− �+ 1 + 2 �+ 1 ∆ �

(3.29) Kemudian, dengan memasukkan nilai awal (0) = ₀ dapat dihitung secara rekursif maju persamaan yang merupakan penguraian dari persamaan (3.29)

�+ 1 = + � 1− �+ 1 + 2 �+ 1 (�)− . (3.30) Tingkat produksi (�) dapat ditentukan dari persamaan (3.16)

∆ � = 1 ∆ �+ 1 − � ∆ (�). (3.31) Untuk �= 0,1,2. . . ,� −1

� = � + 1 ∆ �+ 1 − � ∆ (�) (3.32) Karena tingkat produksi tidak boleh negatif maka dalam pemilihan tingkat produksi yang optimal sama dengan

max � + 1 ∆ �+ 1 − � ∆ � , 0 , �= 0,1,2,…,� −1. (3.33)

3.3.3 Simulasi

Misalkan = 12, �= 12, 0= 2, = 10, ℎ= 1, = 20, � � = 1 + sin�, = 0.5, = 3, = 10. Penjelasan dari parameter-parameter tersebut adalah sebagai berikut. Misalnya unit waktu dalam contoh tersebut adalah bulan, maka = 12 berarti periode produksinya adalah dua belas bulan.

(20)

�= 12 menunjukkan bahwa perusahaan memonitor proses produksi setiap bulan, sehingga panjang subinterval = 1. Para-meter selainnya sama seperti yang telah dijelaskan pada model kontinu.

Langkah-langkah pencarian solusi adalah sebagai berikut:

1. Tentukan � dengan menggunakan persamaan (3.3) dan dalam contoh ini di-dapatkan � = 1 + 15 �2_{+ sin}_�_. 2. Dimulai dengan menyubstitusikan titik

akhir �= 12 ke dalam � =ℎ sehingga diperoleh 12 = 1. Nilai-nilai

11 , 10,…, 1 , 0 didapatkan de-ngan menghitung secara rekursif mundur

(backward) persamaan berikut:

� =ℎ+ �+ 1

+ 2 �+ 1 � 2_.

3. Karena sudah diketahui, maka solusi optimal untuk (�) dapat diperoleh dengan menyelesaikan secara rekursif maju ( for-ward) persamaan berikut:

�+ 1 = + � � − 1− �+1

+ 2 �+1 dimulai dari nilai awal (0) = 2.

4. Nilai � diperoleh dari persamaan (3.33)

� = max{ � +1[∆ �+ 1 − � ∆ � ],0}

untuk �= 0,1,2,…,� −1.

Solusi optimum untuk model diskret dapat dilihat pada Gambar 9 dan Gambar 10.

Gambar 9 Tingkat inventori optimum dan tingkat inventori tujuan untuk simulasi model diskret.

Gambar 10 Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model diskret.

2 4 6 8 10 12

0 2 4 6 8 10 12 14

2 4 6 8 10 12

0 500 1000 1500 2000 2500

Tingkat inventori optimum Tingkat inventori tujuan

Tingkat produksi optimum Tingkat produksi tujuan

(21)

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Berdasarkan kajian model dan hasil si-mulasi, maka dapat disimpulkan bahwa: 1 Sistem inventori-produksi dapat

difor-mulasikan sebagai masalah kontrol opti-mum.

2 Sistem inventori-produksi kontinu dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin; solusi dari sistem inventori-produksi ini berupa persamaan diferensial orde dua. Sedangkan sistem inventori-produksi diskret diselesaikan dengan menggunakan metode pengali Lagrange; solusi optimal diperoleh dengan menyelesaikan persamaan beda secara rekursif.

3 Hasil simulasi memperlihatkan bahwa solusi optimum konvergen menuju nilai yang diinginkan. Artinya, solusi optimum

untuk tingkat inventori cen-derung menuju tingkat inventori yang diinginkan, begitu juga solusi optimum untuk tingkat pro-duksi cenderung menuju tingkat propro-duksi yang diinginkan.

4.2 Saran

Penelitian ini bisa dilanjutkan secara teoretis dengan mempertimbangkan kapasitas penyimpanan gudang dan kapasitas produksi. Model lain yang bisa dikembangkan adalah model dengan asumsi tidak semua permintaan dapat dipenuhi. Masalah ini juga dapat dikem-bangkan menjadi masalah kontrol optimum dengan waktu perencanaan takhingga. Dapat juga dengan membebaskan titik ujung ( ) sehingga syarat batas berupa = 0 harus terpenuhi.

DAFTAR PUSTAKA

Al-Khedhairi A, Tadj L. 2007. Optimal

control of a production inventory system with Weibull distributed deterioration.

Applied Mathematical Sciences 35:

1703-1714.

Bryson AE, Ho YC. 1975. Applied Optimal

Control. Washington DC: Halsted Press.

Conrad JM, Clark CW. 1987. Natural

Resource Economics. New York:

Cambridge University Press.

Nababan CH. 2009. Analisis Keandalan dan Penentuan Persediaan Optimal Komponen

Sludge Separator di PT Perkebunan

Nusantara IV Unit Pabatu [skripsi]. Medan: Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

Prawirosentono S. 2005. Riset Operasi dan

Ekonofisika. Jakarta: Bumi Aksara.

Ross S. 1996. Suatu Pengantar ke Teori

Peluang. Sumantri B, penerjemah. Bogor:

Jurusan Statistika FMIPA IPB. Terjemahan dari: A First Course in Probability.

Sethi SP, Thompson GL. 2000. Optimal

Control Theory: Applications to

Management Science and Economics: 2nd

ed. New York: Springer

Suparno S. 2011. Komputasi untuk Sains dan

Teknik Menggunakan Matlab: Edisi 4.

Depok: Universitas Indonesia.

Tu PNV. 1993. Introductory Optimization

Dynamics: Optimum Control with

Economics and Management Applications.

Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. Wild T. 2002. Best Practice in Inventory

Management: 2nd edition. Britain:

(22)

(23)

Lampiran 1 Bukti prinsip maksimum Pontryagin

Diberikan suatu masalah kontrol optimum

max

( ) = , + 0 , , 0

terhadap kendala

= , , , 0 = 0, ( ) �.

Misalkan ₀= 0 dan 0 = ₀. Fungsi scrap , dituliskandalam bentuk , = 0, 0 + ,

sehingga fungsional objektif pada persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk = ₀, 0 + ₀ , , + ,

= ₀, 0 + ₀ . + +

0 .

Suku 0, 0 dapat diabaikan untuk mempermudah pembahasan, karena 0 = 0 sudah tetap sehingga tidak memengaruhi proses optimasi.

Fungsional objektif yang diperluas dituliskan dalam bentuk berikut ≡= , , , ,

0 dengan fungsi didefinisikan sebagai

, , , , ≡ 0 . + . − + + ≡ , , , − + + dengan , , , = ₀ , , + , , merupakan fungsi Hamilton.

Dengan menggunakan syarat perlu untuk adanya ekstremum pada fungsional objektif yang diperluas, maka

� = − � + � + � + � + − � ₌ 0

= 0 Karena persamaan Euler harus dipenuhi, maka haruslah

− = + + − −

= + + − − + = + = 0

Ini berakibat

=−

Karena � dan � adalah sebarang dan saling bebas, maka haruslah = 0 dan = 0. Dari pendefinisian fungsi , maka

= , dan = . − = − , sehingga diperoleh

= 0

= , , =

Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh suku-suku sisanya, yaitu � + − � ₌ = 0

tetapi

= −

− ≡ − + + − +

= +

sehingga diperoleh syarat transversalitas atau syarat batas

− � = + + � = = 0 Apabila ( ₀) dan ₀ keduanya belum ditentukan, maka syarat batas menjadi

− � =0

= ₊ ₊ _� =0 = _{= 0} yang menghasilkan teorema Pontryagin.

(24)

Lampiran 2 Penghitungan persamaan pada simulasi model kontinu

(25)

Lampiran 3 Pencarian solusi untuk simulasi model kontinu dengan metode beda hingga

Persamaan Diferensial

y"(x)= -22.5*x^4+30*x-0.5+(2.25*x^4-3*x+0.05)y(x) p(x)= 0;

q(x)= 2.25*x^4-3*x+0.05; r(x)= -22.5*x^4+30*x-0.5;

SCRIPT M-FILE fungsi p,q, dan r

function y = fungsiP(x)

y = 0;

function y = fungsiQ(x)

y = 2.25*x^4-3*x+0.05;

function y = fungsiR(x)

y = -22.5*x^4+30*x-0.5;

SCRIPT UTAMA

>> a=0; >> b=12; >> alpha=2; >> beta=10; >> h=0.1;

>> n=((b-a)/h)-1;

>> %====== Mencari Elemen Matriks A ======== >> for i=1:n

x=a+i*h;

A(i,i)=2+h^2*fungsiQ(x); end

>> for i=1:n-1 x=a+i*h;

A(i,i+1)=-1+((h/2)*fungsiP(x)); end

>> for i=2:n x=a+i*h;

A(i,i-1)=-1-((h/2)*fungsiP(x)); end

>> A;

>> %====== Mencari Elemen Vektor b ======== >> x=a+h;

>> b(1,1)=-h^2*fungsiR(x)+(1+((h/2)*fungsiP(x)))*alpha; >> for i=2:118

x=a+i*h;

b(i,1)=-h^2*fungsiR(x); end

>> xn=a+n*h;

(26)

>> b;

>> %====== Menggabungkan Vektor b ke dalam matriks A ======== >> for i=1:n

A(i,n+1)=b(i,1); end

>> A;

>> %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& >> %---Proses Triangularisasi---

>> for j=1:(n-1)

%----mulai proses pivot--- if (A(j,j)==0) for p=1:n+1 u=A(j,p); v=A(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end end

%----akhir proses pivot--- jj=j+1; for i=jj:n m=A(i,j)/A(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end end >> %--- >> %---Proses Substitusi mundur--- >> x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

>> for i=n-1:-1:1 S=0; for j=n:-1:i+1 S=S+A(i,j)*x(j,1); end x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i); end >> %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& >> %===== Menampilkan Vektor w =================

>> w=x w = 2.0340 2.0880 2.1852 2.3473 2.5931 2.9359 3.3816 3.9273 4.5598 5.2561 5.9856 6.7133 7.4044 8.0286 8.5642 9.0001 9.3361 9.5809 9.7492 9.8580 9.9242 9.9619 9.9820 9.9920 9.9967 9.9987 9.9995 9.9998 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000

(27)

18 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 10.0000 Solusi Optimum

 i(t)=w (didapat penyelesaian pada Matlab)

 i'(t) didapat dengan menurunkan i(t)=w secara numerik, yaitu

dengan memanfaatkan deret Taylor atau yang lebih dikenal

sebagai Metode “Selisih Pusat Dua Titik”

 (t) didapat dengan menyubtitusikan i(t) dan i’(t) ke dalam

pers (t)= -12 t2 + 1.5 t2 i(t)+ i’(t)

 Pd(t) didapat dari pers Pd(t)= 1+15t2 + sin(t)

 P(t)didapat dengan mensubstitusikan Pd(t),(t)dan K=20 ke

dalam persamaan p(t)= Pd(t)+ [(t)/K]

 Tabel hasil perhitungan Solusi Optimum

t i(t) i'(t) (t) Pd(t) P(t)

0 2

0,1 2,034 0,0880 -0,6298 1,249833417 1,218343417

0,2 2,088 0,1512 -6,4704 1,798669331 1,475149331

0,3 2,1852 0,2593 -15,914 2,645520207 1,849822207

0,4 2,3473 0,4079 -28,575 3,789418342 2,360670342

0,5 2,5931 0,5886 -43,7798 5,229425539 3,040438039

0,6 2,9359 0,7885 -60,5223 6,964642473 3,938528473

0,7 3,3816 0,9914 -77,4625 8,994217687 5,121093687

0,8 3,9273 1,1782 -93,0318 11,31735609 6,665764091

0,9 4,5598 1,3288 -105,621 13,93332691 8,65228391

1 5,2561 1,4258 -113,801 16,84147098 11,15142098

1,1 5,9856 1,4572 -116,579 20,04120736 14,21227136

1,2 6,7133 1,4188 -113,609 23,53203909 17,85156709

1,3 7,4044 1,3153 -105,291 27,31355819 22,04901219

1,4 8,0286 1,1598 -92,7223 31,38544973 26,74933373

1,5 8,5642 0,9715 -77,4865 35,74749499 31,87316999

(28)

1,7 9,3361 0,5808 -45,9441 45,34166481 43,04445831

1,8 9,5809 0,4131 -32,4745 50,57384763 48,95012163

1,9 9,7492 0,2771 -21,6196 56,09630009 55,01531809

2 9,858 0,1750 -13,54 61,90929743 61,23229743

2,1 9,9242 0,1039 -7,95034 68,01320937 67,61569237

2,2 9,9619 0,0578 -4,37612 74,4084964 74,1896904

2,3 9,982 0,0301 -2,2546 81,09570521 80,98297521

2,4 9,992 0,0147 -1,0884 88,07546318 88,02104318

2,5 9,9967 0,0067 -0,48475 95,34847214 95,32423464

2,6 9,9987 0,0028 -0,20764 102,9155014 102,9051194

2,7 9,9995 0,0011 -0,08735 110,7773799 110,7730124

2,8 9,9998 0,0005 -0,03704 118,9349882 118,9331362

2,9 10 0,0002 0,004 127,3892493 127,3894493

3 10 0,0000 0 136,14112 136,14112

3,1 10 0,0000 -4,5E-13 145,1915807 145,1915807

3,2 10 0,0000 0 154,5416259 154,5416259

3,3 10 0,0000 4,55E-13 164,1922543 164,1922543

3,4 10 0,0000 0 174,1444589 174,1444589

3,5 10 0,0000 0 184,3992168 184,3992168

3,6 10 0,0000 -4,5E-13 194,9574796 194,9574796

3,7 10 0,0000 0 205,8201639 205,8201639

3,8 10 0,0000 0 216,9881421 216,9881421

3,9 10 0,0000 0 228,4622338 228,4622338

4 10 0,0000 0 240,2431975 240,2431975

4,1 10 0,0000 0 252,3317229 252,3317229

4,2 10 0,0000 0 264,7284242 264,7284242

4,3 10 0,0000 0 277,4338341 277,4338341

4,4 10 0,0000 0 290,4483979 290,4483979

4,5 10 0,0000 0 303,7724699 303,7724699

4,6 10 0,0000 9,09E-13 317,406309 317,406309

4,7 10 0,0000 -9,1E-13 331,3500767 331,3500767

4,8 10 0,0000 -9,1E-13 345,6038354 345,6038354

4,9 10 0,0000 0 360,1675474 360,1675474

5 10 0,0000 0 375,0410757 375,0410757

5,1 10 0,0000 9,09E-13 390,2241853 390,2241853

5,2 10 0,0000 -9,1E-13 405,7165453 405,7165453

5,3 10 0,0000 0 421,5177326 421,5177326

(29)

5,5 10 0,0000 0 454,0444597 454,0444597

5,6 10 0,0000 0 470,7687334 470,7687334

5,7 10 0,0000 0 487,7993145 487,7993145

5,8 10 0,0000 0 505,1353978 505,1353978

5,9 10 0,0000 1,82E-12 522,7761233 522,7761233

6 10 0,0000 0 540,7205845 540,7205845

6,1 10 0,0000 -1,8E-12 558,9678375 558,9678375

6,2 10 0,0000 -1,8E-12 577,5169106 577,5169106

6,3 10 0,0000 -1,8E-12 596,3668139 596,3668139

6,4 10 0,0000 0 615,5165492 615,5165492

6,5 10 0,0000 0 634,96512 634,96512

6,6 10 0,0000 1,82E-12 654,7115414 654,7115414

6,7 10 0,0000 0 674,7548499 674,7548499

6,8 10 0,0000 0 695,0941134 695,0941134

6,9 10 0,0000 0 715,7284398 715,7284398

7 10 0,0000 0 736,6569866 736,6569866

7,1 10 0,0000 1,82E-12 757,878969 757,878969

7,2 10 0,0000 -1,8E-12 779,3936679 779,3936679

7,3 10 0,0000 0 801,2004366 801,2004366

7,4 10 0,0000 0 823,2987081 823,2987081

7,5 10 0,0000 0 845,688 845,688

7,6 10 0,0000 0 868,3679197 868,3679197

7,7 10 0,0000 0 891,3381682 891,3381682

7,8 10 0,0000 0 914,5985433 914,5985433

7,9 10 0,0000 0 938,1489413 938,1489413

8 10 0,0000 0 961,9893582 961,9893582

8,1 10 0,0000 0 986,1198898 986,1198898

8,2 10 0,0000 0 1010,540731 1010,540731

8,3 10 0,0000 0 1035,252172 1035,252172

8,4 10 0,0000 0 1060,254599 1060,254599

8,5 10 0,0000 0 1085,548487 1085,548487

8,6 10 0,0000 0 1111,134397 1111,134397

8,7 10 0,0000 -3,6E-12 1137,012969 1137,012969

8,8 10 0,0000 0 1163,184917 1163,184917

8,9 10 0,0000 -3,6E-12 1189,651021 1189,651021

9 10 0,0000 0 1216,412118 1216,412118

9,1 10 0,0000 0 1243,469098 1243,469098

(30)

9,3 10 0,0000 0 1298,474454 1298,474454

9,4 10 0,0000 -3,6E-12 1326,424775 1326,424775

9,5 10 0,0000 0 1354,674849 1354,674849

9,6 10 0,0000 -3,6E-12 1383,225673 1383,225673

9,7 10 0,0000 3,64E-12 1412,078239 1412,078239

9,8 10 0,0000 0 1441,233521 1441,233521

9,9 10 0,0000 0 1470,692464 1470,692464

10 10 0,0000 0 1500,455979 1500,455979

10,1 10 0,0000 0 1530,524929 1530,524929

10,2 10 0,0000 3,64E-12 1560,900125 1560,900125

10,3 10 0,0000 3,64E-12 1591,582314 1591,582314

10,4 10 0,0000 -3,6E-12 1622,572174 1622,572174

10,5 10 0,0000 0 1653,870304 1653,870304

10,6 10 0,0000 0 1685,477225 1685,477225

10,7 10 0,0000 0 1717,393365 1717,393365

10,8 10 0,0000 -7,3E-12 1749,619064 1749,619064

10,9 10 0,0000 0 1782,154564 1782,154564

11 10 0,0000 0 1815,00001 1815,00001

11,1 10 0,0000 0 1848,155447 1848,155447

11,2 10 0,0000 0 1881,620822 1881,620822

11,3 10 0,0000 0 1915,395981 1915,395981

11,4 10 0,0000 0 1949,480671 1949,480671

11,5 10 0,0000 0 1983,874548 1983,874548

11,6 10 0,0000 0 2018,577171 2018,577171

11,7 10 0,0000 7,28E-12 2053,588016 2053,588016

11,8 10 0,0000 7,28E-12 2088,906475 2088,906475

11,9 10 0,0000 -7,3E-12 2124,531863 2124,531863

(31)

Lampiran 4 Langkah-langkah penyelesaian dengan metode sweep

Masalah kontrol optimum dengan fungsi dari variabel state di akhir kendala telah ditentukan dapat dituliskan

min =� � + �−1 � � , �

�=0 (1)

dengan kendala �+ 1 = � � , � , (2)

� � = 0. (3)

SOLUSI � ₌ �_�_, _�₊ _�_{+ 1} �_�_, _�_{, (4)}

Φ=� � + � � . (5)

Syarat perlu: � � = � , (6)

� = Φ � , (7)

� � = 0, (8)

yang masing-masing setara dengan � = _�� + �+ 1 _�� , �= 0,… ,� −1,, (9)

� = _�� + �_�,, (10)

� � + �+ 1 � � = 0, �= 0,… ,� −1., (11)

Linearisasi dari persamaan (2), (3), (6), (7), dan (8) adalah �+ 1 = � � + � � (12)

0 sudah ditentukan (13)

� � =� � sudah ditentukan (14)

� = � � + � �+ 1 + � � , �= 0,… ,� −1 (15)

� =Φ � +� , (16)

0 = � � + � � + � �+ 1 , �= 0,… ,� −1 (17)

dengan � ₌ � � , � = 2 � � � , dan seterusnya. Metode sweep untuk masalah ini bagi persamaan 3 dan 5 masing-masing adalah � = � � + � , (18)

�= � � + � . (19)

Asumsikan persamaan (18) dan (19) diketahui untuk �=�+ 1, persamaan (12) sampai (17) dapat digunakan untuk memperoleh solusi optimum dengan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: LANGKAH 1. Substitusikan (12) dengan �=� ke dalam (18) dan (19) dengan �=�+ 1: �+ 1 = �+ 1 � � + � � + �+ 1 , (20)

�= �+ 1 � � + � � + �+ 1 . (21)

LANGKAH 2. Tempatkan �=� pada persamaan (20) dan substitusikan �+ 1 ke dalam (15) dan (17): � = � + � �+ 1 � � + � + � �+ 1 � �

+ � �+ 1 , (22)

0 = � + � �+ 1 � � + � + � �+ 1 � �

(32)

LANGKAH 3. Asumsikan koefisien � pada (23) nonsingular sehingga dari persamaan teratkan:

� =− � −1 _{� �}₊ _�_{, (24)} Dengan

� = � + � �+ 1 �, (25) � = � + � �+ 1 � = � , (26) � = � �+ 1 = � (27) LANGKAH 4. Persamaan (24) digunakan untuk mengeliminasi � dari (22) dan (21):

� = � − � � −1 _{� �}₊ _{� −} _� _�−1 _� _{, (28)} �= � − � � −1 _{� �}₊_�_{+ 1}₋ _� _�−1 _� _{, (29)} dengan

� = � + � �+ 1 �, (30) � = � �+ 1 = � (31) LANGKAH 5. Untuk (28) dan (29) agar sama dengan (18) dan (19), koefisien harus sama dengan:

� = � + � �+ 1 �− � + � �+ 1 � � + � �+ 1 � −1 � + � �+ 1 � , (31) � = � �+ 1 − � + � �+ 1 � � + � �+ 1 � −1

�_�_{+ 1} ₍₃₁₎

� = �+ 1 − � �+ 1 � + � �+ 1 � −1 �_�_{+ 1} ₍₃₁₎ Inilah persamaan diskret analog bagi masalahan kontrol optimum diskret dengan dua syarat batas.

(33)

(34)

(1)

5,5 10 0,0000 0 454,0444597 454,0444597

5,6 10 0,0000 0 470,7687334 470,7687334

5,7 10 0,0000 0 487,7993145 487,7993145

5,8 10 0,0000 0 505,1353978 505,1353978

5,9 10 0,0000 1,82E-12 522,7761233 522,7761233

6 10 0,0000 0 540,7205845 540,7205845

6,1 10 0,0000 -1,8E-12 558,9678375 558,9678375 6,2 10 0,0000 -1,8E-12 577,5169106 577,5169106 6,3 10 0,0000 -1,8E-12 596,3668139 596,3668139

6,4 10 0,0000 0 615,5165492 615,5165492

6,5 10 0,0000 0 634,96512 634,96512

6,6 10 0,0000 1,82E-12 654,7115414 654,7115414

6,7 10 0,0000 0 674,7548499 674,7548499

6,8 10 0,0000 0 695,0941134 695,0941134

6,9 10 0,0000 0 715,7284398 715,7284398

7 10 0,0000 0 736,6569866 736,6569866

7,1 10 0,0000 1,82E-12 757,878969 757,878969 7,2 10 0,0000 -1,8E-12 779,3936679 779,3936679

7,3 10 0,0000 0 801,2004366 801,2004366

7,4 10 0,0000 0 823,2987081 823,2987081

7,5 10 0,0000 0 845,688 845,688

7,6 10 0,0000 0 868,3679197 868,3679197

7,7 10 0,0000 0 891,3381682 891,3381682

7,8 10 0,0000 0 914,5985433 914,5985433

7,9 10 0,0000 0 938,1489413 938,1489413

8 10 0,0000 0 961,9893582 961,9893582

8,1 10 0,0000 0 986,1198898 986,1198898

8,2 10 0,0000 0 1010,540731 1010,540731

8,3 10 0,0000 0 1035,252172 1035,252172

8,4 10 0,0000 0 1060,254599 1060,254599

8,5 10 0,0000 0 1085,548487 1085,548487

8,6 10 0,0000 0 1111,134397 1111,134397

8,7 10 0,0000 -3,6E-12 1137,012969 1137,012969

8,8 10 0,0000 0 1163,184917 1163,184917

8,9 10 0,0000 -3,6E-12 1189,651021 1189,651021

9 10 0,0000 0 1216,412118 1216,412118

9,1 10 0,0000 0 1243,469098 1243,469098

(2)

9,3 10 0,0000 0 1298,474454 1298,474454 9,4 10 0,0000 -3,6E-12 1326,424775 1326,424775

9,5 10 0,0000 0 1354,674849 1354,674849

9,6 10 0,0000 -3,6E-12 1383,225673 1383,225673 9,7 10 0,0000 3,64E-12 1412,078239 1412,078239

9,8 10 0,0000 0 1441,233521 1441,233521

9,9 10 0,0000 0 1470,692464 1470,692464

10 10 0,0000 0 1500,455979 1500,455979

10,1 10 0,0000 0 1530,524929 1530,524929

10,2 10 0,0000 3,64E-12 1560,900125 1560,900125 10,3 10 0,0000 3,64E-12 1591,582314 1591,582314 10,4 10 0,0000 -3,6E-12 1622,572174 1622,572174

10,5 10 0,0000 0 1653,870304 1653,870304

10,6 10 0,0000 0 1685,477225 1685,477225

10,7 10 0,0000 0 1717,393365 1717,393365

10,8 10 0,0000 -7,3E-12 1749,619064 1749,619064

10,9 10 0,0000 0 1782,154564 1782,154564

11 10 0,0000 0 1815,00001 1815,00001

11,1 10 0,0000 0 1848,155447 1848,155447

11,2 10 0,0000 0 1881,620822 1881,620822

11,3 10 0,0000 0 1915,395981 1915,395981

11,4 10 0,0000 0 1949,480671 1949,480671

11,5 10 0,0000 0 1983,874548 1983,874548

11,6 10 0,0000 0 2018,577171 2018,577171

11,7 10 0,0000 7,28E-12 2053,588016 2053,588016 11,8 10 0,0000 7,28E-12 2088,906475 2088,906475 11,9 10 0,0000 -7,3E-12 2124,531863 2124,531863

(3)

Lampiran 4 Langkah-langkah penyelesaian dengan metode sweep

Masalah kontrol optimum dengan fungsi dari variabel state di akhir kendala telah ditentukan dapat dituliskan

min =� � + �−1 � � , �

�=0 (1)

dengan kendala �+ 1 = � � , � , (2)

� � = 0. (3)

SOLUSI � ₌ �_�_, _�₊ _�_{+ 1} �_�_, _�_,₍₄₎

Φ=� � + � � . (5)

Syarat perlu: � � = � , (6)

� = Φ � , (7)

� � = 0, (8)

yang masing-masing setara dengan � = _�� + �+ 1 _�� , �= 0,… ,� −1,, (9)

� = _�� + �_�,, (10)

� � + �+ 1 � � = 0, �= 0,… ,� −1., (11)

Linearisasi dari persamaan (2), (3), (6), (7), dan (8) adalah �+ 1 = � � + � � (12)

0 sudah ditentukan (13)

� � =� � sudah ditentukan (14)

� = � � + � �+ 1 + � � , �= 0,… ,� −1 (15)

� =Φ � +� , (16)

0 = � � + � � + � �+ 1 , �= 0,… ,� −1 (17)

dengan � ₌ � � , � = 2 � � � , dan seterusnya. Metode sweep untuk masalah ini bagi persamaan 3 dan 5 masing-masing adalah � = � � + � , (18)

�= � � + � . (19)

�= �+ 1 � � + � � + �+ 1 . (21)

LANGKAH 2. Tempatkan �=� pada persamaan (20) dan substitusikan �+ 1 ke dalam (15) dan (17): � = � + � �+ 1 � � + � + � �+ 1 � �

+ � �+ 1 , (22)

0 = � + � �+ 1 � � + � + � �+ 1 � �

(4)

LANGKAH 3. Asumsikan koefisien � pada (23) nonsingular sehingga dari persamaan teratkan:

� =− � −1 _{� �}₊ _�_,₍₂₄₎

Dengan

� = � + � �+ 1 �, (25)

� = � + � �+ 1 � = � , (26)

� = � �+ 1 = � (27)

LANGKAH 4. Persamaan (24) digunakan untuk mengeliminasi � dari (22) dan (21):

� = � − � � −1 _{� �}₊ _{� −} _� _�−1 _� _,₍₂₈₎ �= � − � � −1 _{� �}₊_�_{+ 1}₋ _� _�−1 _� _,₍₂₉₎

dengan

� = � + � �+ 1 �, (30)

� = � �+ 1 = � (31) LANGKAH 5. Untuk (28) dan (29) agar sama dengan (18) dan (19), koefisien harus sama dengan:

� = � + � �+ 1 �− � + � �+ 1 � � + � �+ 1 � −1

� + � �+ 1 � , (31) � = � �+ 1 − � + � �+ 1 � � + � �+ 1 � −1

�_�_{+ 1} ₍₃₁₎

� = �+ 1 − � �+ 1 � + � �+ 1 � −1 �_�_{+ 1} ₍₃₁₎ Inilah persamaan diskret analog bagi masalahan kontrol optimum diskret dengan dua syarat batas.

(5)

(6)