BAB II LANDASAN TEORI
A. Ruang Linear
1. Ruang Linear
Definisi A.1
Sebuah ruang linear atas lapangan F adalah sebuah himpunan E yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan
E E
E →
× dan
operasi perkalian E
E F
→ ×
dimana kedua operasi tersebut harus memenuhi aksioma-aksioma berikut.
a. Untuk semua x, y, z di E berlaku
z. y
x z
y x
+ +
= +
+ b.
Untuk semua x,y di E berlaku x.
y y
x +
= +
c. Ada elemen identitas 0 di E sehingga
x x
= +
untuk setiap x di E. d.
Untuk semua x di E, ada elemen –x di E sehingga x
- x
= +
. e.
Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku x.
ab bx
a =
f. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku
bx. ax
x b
a +
= +
g. Untuk semua a di F dan x, y di E berlaku
ay. ax
y x
a +
= +
h. Untuk semua x di E berlaku 1x = x.
Ruckle, 1961 : 31
Contoh A.1.1 Selidiki apakah R
n
dengan operasi penjumlahan dan perkalian merupakan ruang linear atas lapangan R.
Penyelesaian : R
n
= R × R × R× ...× R =
{ }
R x
..., ,
x ,
x x
..., ,
x ,
x
n 2
1 n
2 1
∈ .
Ambil sembarang x = x
1
, x
2
,..., x
n
, y = y
1
, y
2
,..., y
n
dan z = z
1
, z
2
,..., z
n n
R ∈
a. Jelas x + y + z = x
1
, x
2
,..., x
n
+ y
1
, y
2
,..., y
n
+ z
1
, z
2
,..., z
n
= x
1
+ y
1
+ z
1
, x
2
+ y
2
+ z
2
, ... , x
n
+ y
n
+ z
n
= x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, ... , x
n
+ y
n
+ z
1
, z
2
,..., z
n
= x + y + z . b. Jelas
y x
× = x
1
, x
2
,..., x
n
×y
1
, y
2
,..., y
n
= x
1
× y
1
, x
2
× y
2
,..., x
n
× y
n
= y
1
× x
1
, y
2
× x
2
,..., y
n
× x
n
= x
y × .
c. Pilih 0 = 0
1
, 0
2
,..., 0
n n
R ∈
Jelas x + 0 = x
1
, x
2
,..., x
n
+ 0
1
, 0
2
,..., 0
n
= 0 + x
1
, x
2
,..., x
n
= x. d. Pilih -x
1
, -x
2
,..., -x
n n
R ∈
Jelas x + x
− = x
1
, x
2
,..., x
n
+ -x
1
, -x
2
,..., -x
n
= x
1
- x
1
, x
2
- x
2
,..., x
n
- x
n
= 0.
Ambil sembarang a, b R ∈
e. bx
a = a
×
n 2
1
bx ,...,
bx ,
bx = a
×
n 2
1
x ,...,
x ,
x b
= x
ab .
f. x
b a
+ =
× + b
a x
1
, x
2
,..., x
n
= a × x
1
, x
2
,..., x
n
+ b× x
1
, x
2
,..., x
n
= ax + bx. g. ax+y = a
{ }
y ,
... ,
y ,
y x
,..., x
, x
n 2
1 n
2 1
+ =
a × x
1
, x
2
,..., x
n
+ a × y
1
, y
2
,..., y
n
= ax + ay. h. 1x = 1x
1
, x
2
,..., x
n
= x
1
, x
2
,..., x
n
= x Jadi
∀ x
1
, x
2
,..., x
n
, y
1
, y
2
,..., y
n
dan z
1
, z
2
,..., z
n n
R ∈
dan a , b ∈
R maka R
n
merupakan ruang linear atas R.
2. Ruang Bagian dari Ruang Linear
Jika V ruang linear atas F. Jika B φ
≠ dan B ⊂ V. B dengan sifat, untuk setiap vektor x , y di V dan skalar
α, β di F berlaku αx + βy di B maka B disebut ruang bagian dari ruang linear.
Wuryanto, 2003 : 36
Contoh A.1.2 Tunjukan untuk setiap bilangan asli m, n dengan m
≤ n maka R
m
merupakan ruang bagian dari ruang linear terhadap R
n
. Penyelesaian :
Dipunyai R
m
= R ×R×R×...×R =
{ }
R x
..., ,
x ,
x x
..., ,
x ,
x
m 2
1 m
2 1
∈ .
Ambil sembarang x = x
1
, x
2
,..., x
m
, y = y
1
, y
2
,..., y
m m
R ∈
dan ambil sembarang skalar
α, β di R Jelas R
m
merupakan ruang vektor atas R
n
sendiri dan untuk setiap x, y di R
m
dan a, b di R sehingga berlaku αx
1
, x
2
,..., x
m
+ βy
1
, y
2
,..., y
m
= α x
1
+ β y
1
, α x
2
+ β y
2
, ... , α x
m
+ β y
m
∈
R
n
. Jadi R
m
merupakan subruang dari R
n
.
3. Ruang Linear Bernorma
Dipunyai V ruang Linear atas R. Jika terdapat fungsi . :V
→
R yang memenuhi :
a. α
α = x
x b.
≥ x
0 dan =
x ⇔ x = θ dengan θ vektor nol di V
c. ≤
+ y x
+ x
y maka fungsi .
disebut norma pada V. Wuryanto, 2003 : 36
Contoh A.1.3 Di punyai fungsi R
n
→
R yang didefinisikan
2 1
n 1
i 2
i
x x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑
=
untuk setiap vektor x = x
1
, x
2
,..., x
n
∈ R
n
adalah suatu norm pada ruang euclid R
n
. Tunjukkan fungsi tersebut merupakan suatu norm pada ruang euclid R
n
? Penyelesaian :
Ambil sembarang vektor x = x
1
, x
2
,..., x
n
, y = y
1
, y
2
,..., y
n
, z = z
1
,z
2
,..., z
n n
R ∈
dan skalar α
∈R memenuhi: a.
Jelas α
α = x
x
Karena
2 1
n 1
i 2
i 2
2 1
n 1
i 2
i
x x
x ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑ ∑
= =
α α
α
x x
2 1
n 1
i 2
i
α α
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∑
=
b. ≥
x 0 dan
x x
sebab, x
x
2 1
n 1
i 2
i
≥ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
= ⇔
=
∑
=
.
⇐ jika x = 0 maka x
i
= 0 untuk setiap i i = 1, 2,...,n, yang berakibat
2 1
n 1
i 2
i
x x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑
=
= 0.
⇒ jika
2 1
n 1
i 2
i
x x
dipunyai maka
x ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
= =
∑
=
, sehingga untuk setiap i dan
haruslah x n,
i 1
2 i
= ≤
≤ yang berakibat
i
x = 0. Karena x
i
= 0 untuk setiap i i = 1, 2,...,n ini berarati x = 0.
c. ≤
+ y x
+ x
y . Ditunjukan sebagai berikut
Karena untuk setiap i i = 1, 2,...,n berlaku
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
2 i
i
y y
x x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
+ +
+ =
+ +
≤ +
+ =
+ maka dengan memanfaatkan teorema Cauchy-Shcwarstz didapat
∑ ∑
∑
= =
=
+ +
+ ≤
+
n 1
i n
1 i
i i
i i
i i
n 1
i 2
i i
y y
x x
y x
y x
2 1
n 1
i 2
i 2
1 n
1 i
2 i
i 2
1 n
1 i
2 i
2 1
n 1
i 2
i i
y y
x x
y x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ≤
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
dalam hal y
x
i i
≠ +
maka diperoleh
2 1
n 1
i 2
i 2
1 n
1 i
2 i
2 1
n 1
i 2
i i
n 1
i 2
i i
y x
y x
y x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ≤
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
2 1
n 1
i 2
i 2
1 n
1 i
2 i
2 1
n 1
i 2
i i
y x
y x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ≤
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⇔
∑ ∑
∑
= =
=
Dengan kata lain diperoleh ≤
+ y x
+ x
y . Berdasarkan ketiga point a, b dan c maka fungsi R
n
→
R yang didefinisikan
2 1
n 1
i 2
i
x x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑
=
untuk setiap vektor x = x
1
, x
2
,..., x
n
∈ R
n
adalah ruang linear bernorma.
4. Ruang Hasil Kali Dalam Inner Product Space
Kategori