b. Jelas
y x,
α y
αx, = oleh sebab,
∑
=
=
n 1
i i
i
y x
y x,
α α
∑
=
= =
n 1
i i
i
y x,
y x
α α
. c.
Jelas z
x y
x z
y x
, ,
, +
= +
karena
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
+ =
+ =
+ =
+
n 1
i n
1 i
i i
i i
n 1
i n
1 i
i i
i i
i i
z x
y x
z x
y x
z y
x ,
i
z y
x z
x, y
x, +
= .
d. x
x, ≥ oleh sebab
. x
x x,
n 1
i 2
i
=
∑
=
Jadi berdasarkan a, b dan c maka
n
R terhadap perkalian titik yang didefinisikan
∑
=
=
n 1
i i
i
y x
y x,
untuk i = 1, 2, ... , n.
B. Ruang Vektor
1. Ruang Vektor
Definisi B.1
Sebuah ruang vektor V adalah sebuah himpunan dari objek x, y, z, .... yang disebut vektor. Satu vektor yang dikenal dinamakan vektor
nol yang dinotasikan dengan θ. Untuk setiap vektor x dimana dikenal
sebuah vektor –x, dinamakan invers dari x. Aksioma – aksioma yang mengikuti agar asumsi dari ruang vektor terpenuhi adalah
a. Untuk setiap sepasang vektor x, y dimana penjumlahan vektor dari
x, y dinotasikan x + y. Penjumlahan dari vektor harus memenuhi: i.
_ _
y x
+
=
_ _
x y
+
.
ii.
_ _
y x
+ +
_
z =
_
x +
_ _
z y
+ . iii.
_
x + 0 =
_
x iv.
_
x +-
_
x = 0. b.
Untuk setiap skalar k dan setiap vektor x dimana perkalian vektor dari x oleh k dinotasikan kx. Perkalian vektor oleh skalar harus
memenuhi: i.
k
_ _
y x
+ = k
_
x
+ k
_
y ii.
k + j
_
x = k
_
x + j
_
x iii.
kj
_
x = kj
_
x iv.
1
_
x =
_
x Pada b.i simbol + memiliki dua arti yaitu untuk penjumlahan
skalar dan vektor. Pada b.iii memiliki dua arti yaitu perkalian dua skalar atau perkalian sebuah skalar dan sebuah vektor.
Berberian, 1961 : 1 Contoh B.1.1
Tunjukan R
n
merupakan ruang vektor. Penyelesaian :
Ambil sembarang x = x
1
, x
2
,..., x
n
, y = y
1
, y
2
,..., y
n
dan z = z
1
, z
2
,..., z
n n
R ∈
a Jelas
_ _
y x
+
= x
1
, x
2
,...,x
n
+ y
1
, y
2
,...,y
n
= x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ... + x
n
y
n
= y
1
x
1
+ y
2
x
2
+ ... + y
n
x
n
= y
1
, y
2
,...,y
n
+ x
1
, x
2
,...,x
n
=
_ _
x y
+
. b
_ _
y x
+ +
_
z =
n 2
1 n
2 1
n 2
1
z ,...,
z ,
z y
,..., y
, y
x ,...,
x ,
x +
+ =
z ,...,
z ,
z y
,..., y
, y
x ,...,
x ,
x
n 2
1 n
2 1
n 2
1
+ +
= z
,..., z
, z
y ,...,
y ,
y x
,..., x
, x
n 2
1 n
2 1
n 2
1
+ +
=
_
x +
_ _
z y
+ . c
Pilih 0 = 0
1
, 0
2
,..., 0
n n
R ∈
Jelas x
_
+ =
_
x + = 0
1
, 0
2
,..., 0
n
+ x
1
, x
2
,..., x
n
=
_
x . d
Pilih x − = -x
1
, -x
2
,..., -x
n n
R ∈
Jelas x
- x
_
+ = x
1
, x
2
,..., x
n
+ -x
1
, -x
2
,..., -x
n
= x
1
- x
1
, x
2
- x
2
,..., x
n
- x
n
= 0. Ambil sembarang k, j R
∈ e
k
_ _
y x
+ = k
{ }
y ,
... ,
y ,
y x
,..., x
, x
n 2
1 n
2 1
+ = k
×x
1
, x
2
,...,x
n
+ k ×x
1
, x
2
,...,x
n
= k
_
x
+ k
_
y . f
k + j
_
x = k + j × x
1
, x
2
,...,x
n
= k ×x
1
, x
2
,...,x
n
+ j ×x
1
, x
2
,...,x
n
= k
_
x + j
_
x .
g kj
_
x = kj × x
1
, x
2
,...,x
n
= k
n 2
1
x ,
... ,
x ,
x j
× = kj
_
x . h
1×
_
x = 1× x
1
, x
2
,...,x
n
= x
1
, x
2
,...,x
n
=
_
x . Karena aksioma ruang vektor R
n
dipenuhi, maka R
n
merupakan ruang vektor.
Teorema B.1
Jika
_
x ,
_
y ,
_
z adalah vektor-vektor dalam R
n
dan k adalah sebarang skalar, maka:
a.
_
x .
_
y =
_
y .
_
x b.
_ _
y x
+ .
_
z =
_
x .
_
y +
_
y .
_
z c.
k
_
x .
_
y = k
_
x .
_
y d.
_
x .
_
x ≥ 0. Selanjutnya
_
x .
_
x = 0, jika dan hanya jika
_
x = 0 Bukti :
Ambil sembarang
_
x= x
1
,x
2
,...,x
n
,
_
y = y
1
, y
2
,..., y
n
dan
_
w = w
1
, w
2
,..., w
n
a. Jelas
_
x .
_
y = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ... + x
n
y
n
= y
1
x
1
+ y
2
x
2
+ ... + y
n
x
n
=
_
y .
_
x b.
Jelas
_ _
y x
+ .
_
z = x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, ... , x
n
+ y
n
. z
1
, z
2
,..., z
n
= x
1
+ y
1
z
1
+ x
2
+ y
2
z
2
,..., x
n
+ y
n
z
n
=x
1
z
1
+x
2
z
2
+...+x
n
z
n
+y
1
z
1
+y
2
z
2
+...+y
n
z
n
=
_
x .
_
z +
_
y .
_
z c.
Jelas k
_
x .
_
y = kx
1
, kx
2
, ... , kx
n
. y
1
, y
2
, ... , y
n
= kx
1
, x
2
, ... , x
n
. y
1
, y
2
, ... , y
n
= kx
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ... + x
n
y
n
= k
_
x .
_
y d.
Kita mempunyai
_
x .
_
x = x
... x
x
n n
2 2
2 1
≥ +
+ +
. Selanjutnya kesamaan tersebut benar jika dan hanya jika
x ...
x x
n 2
1
= =
= =
, yaitu jika dan hanya jika
_
x = 0.
2. Hasil Kali Dalam Inner Product dan Norm
Definisi B.2
Jika V suatu ruang vektor, maka inner product adalah fungsi dari V × V ke R, didefinisikan dengan
_
x
,
_
y y
, x
→
, ∀
_
x
,
_
y
∈
V memenuhi aksioma berikut.
a.
V. x
, y
, x
∈ ∀
≥
b.
. x
jika hanya
dan jika
x ,
x =
=
c.
V. y
, x
x .
y y
, x
∈ ∀
=
d.
V. z
, y
, x
z ,
y z
, x
z ,
y x
∈ ∀
+ =
+
e. .
y a
, x
y ,
x a
y ,
x a
= =
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam inner product dinamakan ruang hasil kali dalam.
Rochmad, 2000 : 24 Contoh B.1.2
R
n
terhadap perkalian titik yang didefinisikan
∑
=
=
k 1
i i
i _
_
y x
y .
x
merupakan ruang hasil kali dalam. Ditunjukkan perkalian titik tersebut adalah suatu
inner product. Dibentuk suatu fungsi R
n
×R
n
→ R yang didefinisikan y
. x
y ,
x =
untuk setiap vektor
_
x= x
1
,x
2
,...,x
n
,
_
y = y
1
, y
2
,..., y
n
dan skalar a di R
n
maka fungsi tersebut merupakan suatu inner product sebab memenuhi aksioma dari ruang inner product.
Bukti a.
x .
y y
, x
=
sebab
x ,
y x
. y
x y
y x
y .
x y
, x
k 1
i i
i k
1 i
i i
= =
= =
=
∑ ∑
= =
. b.
sebab, y
, x
a y
, x
a =
y ,
x a
y .
x a
y x
a y
x a
y .
x a
y ,
x a
k 1
i i
i k
1 i
i i
= =
= =
=
∑ ∑
= =
. c.
sebab z
, y
z ,
x z
, y
x +
= +
z .
x y
. x
z .
x y
. x
z x
y x
z x
y x
z y
x z
y .
x z
y ,
x
k 1
i i
i k
1 i
i i
k 1
i i
i i
i k
1 i
i i
i
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
d. Jelas
. x
jika hanya
dan jika
x.x x
, x
= =
=
e. bukan
x andaikan
0, y
, x
vektor nol karena x
x .
x x
, x
k 1
i 2
i
= =
∑
=
Jadi R
n
perkalian titik yang didefinisikan
∑
=
=
k 1
i i
i _
_
y x
y .
x merupakan ruang
hasil kali dalam.
Definisi B.3
Jika V suatu ruang vektor, maka norm pada V adalah fungsi dari V ke R dinyatakan dengan
_
x
x →
yang memenuhi a.
≥ x
0 dan =
x ⇔
_
x
= θ dengan θ vektor nol di V.
b. α
α =
x x
c. ≤
+ y x
y x
+ Ruang vektor yang dilengkapi dengan norm dinamakan ruang
bernorm. Panjang suatu vektor x sering disebut sebagai norm x dan dinyatakan dengan x =
x ,
x x
, x
2 1
= Rochmad, 2000 : 24
Teorema B.2 Ketaksamaan Cauchy – Schwartz
Misalkan V suatu ruang inner product dalam R. Untuk setiap vektor
_
x
dan
_
y
di V berlaku x
y ,
x ≤
y . Bukti:
a. Untuk
_
y
= 0 dipunyai x
y ,
x =
= y .
b. Untuk
_
y
≠ Ambil vektor
_
y
dengan y = 1 dan vektor y
y ,
x x
z −
=
Sehingga didapat z
, z
z
2
= ≤
= y
y ,
x x
, y
y ,
x x
− −
=
2
y ,
x x
, x
−
Diperoleh x
y ,
x x
y ,
x
2 2
≤ ⇔
≤ Untuk vektor
_
y
dengan y 0, sehingga diperoleh
. y
x y
, x
atau x
y y
, x
≤ ≤
Jadi teorema diatas terbukti. Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy – Schwartz diatas
dapat didefinisikan cosinus sudut antara dua vektor. Misalkan
_
x
,
_
y
di
R
n
maka bilangan cos θ =
y .
x y
, x
disebut cosinus sudut antara vektor
_
x
dan vektor
_
y
dan θ disebut sudut antara vektor
_
x
dan vektor
_
y
Dari pengertian cosinus sudut diatas dapat didefinisikan, jika dua vektor
_
x
dan
_
y
dikatakan saling tegak lurus jika y
, x
= .
Telah diketahui jika dua vektor di R
n
tetap dapat dilihat sebagai dua vektor yang terletak dalam sebuah bidang di R
n
. Maka dari itu dipunyai teorema sebagai berikut.
Teorema B.3 Ketaksamaan Segitiga
Misalkan
_
x
dan
_
y
dua vektor yang terletak di R
n
. Maka berlaku ≤
+ y x
y x
+ Bukti:
Dengan menggunakan teorema B.2 diperoleh y
x .
y x
y x
2
+ +
= +
_ _
_ _
_ _
y .
y y
. x
2 x
. x
+ +
= y
. y
y .
x 2
x .
x +
+ ≤
2 2
y y
. x
2 x
+ +
=
Atau
2 2
y x
y x
+ ≤
+ Dengan mengambil akarnya diperoleh ketaksamaan segitiga.
Definisi B.4
Dua titik vektor x,y
n
R ∈
dikatakan searah sejajar jika ada bilangan k
∈R, k 0 ≠ sehingga y = kx. Dengan kata lain x dan y tak
bebas linear. Pasangan n bilangan real
{ }
n 2
1
,..., ,
α α
α disebut bilangan
arah vektor x ≠ jika
. x
: :
x :
x :
: :
n 2
1 n
2 1
Λ Λ
= α
α α
Dengan kata lain, ada bilangan
2 1
2 n
2 2
2 1
... x
α α
α
+ +
+ ±
= l
Sehingga, terdapat vektor α =
n 2
1
,..., ,
α α
α yang komponennya
terdiri dari bilangan arah vektor x yang disebut vektor arah bagi vektor x. Secara khusus, pasangan n bilangan real
{ }
n 2
1
,..., ,
λ λ
λ disebut
cosinus arah vektor x jika x
e x,
e x
e x,
cos
k k
k k
k
= =
=
θ λ
untuk setiap k
= 1, 2, ... , n dan
n 2
1
,..., ,
θ θ
θ disebut sudut arah vektor x.
Teorema B.4
Jika
n 2
1
,..., ,
λ λ
λ cosinus arah vektor x
≠ maka
∑
=
= +
+ +
=
n 1
k 2
n 2
2 2
1 2
k
. ...
l λ
λ λ
λ
Bukti : Diketahui
k n
1 k
k
e e
x, x
∑
=
= dengan
n 2
1
e ,...,
e ,
e dengan basis
orthonormal standart pada
n
R , didapat x
x, x
2
=
∑ ∑
= =
=
n 1
k n
1 k
k k
k k
e e
x, ,
e e
x,
∑
=
=
n 1
k 2
k
e x,
Karena x ≠
x ≠ diperoleh
∑ ∑
= =
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ =
n 1
k n
1 k
2 1
2 k
x e
x, l
λ
Atau
∑
=
= +
+ +
=
n 1
k 2
n 2
2 2
1 2
k
. ...
l λ
λ λ
λ
Selanjutnya vektor λ =
{ }
n 2
1
,..., ,
λ λ
λ disebut vektor cosinus arah bagi
vektor x. Jika vektor
λ =
{ }
n 2
1
,..., ,
λ λ
λ merupakan vektor cosinus arah, maka
. l
= λ
Jadi untuk setiap x
n
R ∈
, x ≠ berlaku
. :
.. .
: :
x :
.. .
: x
: x
n 2
1 n
2 1
λ λ
λ =
Selanjutnya ada bilangan h sehingga h
x ...
x x
n n
2 2
1 1
= =
= =
λ λ
λ , dengan
x h
± =
. Dari pemahaman tersebut diatas, disimpulkan sebagai berikut:
a. Dua titik vektor x, y
n
R ∈
searah sejajar jika dan hanya jika x dan y mempunyai sudut arah yang sama jika dan hanya jika
bilangan arah x sebanding dengan bilangan arah y. b.
Terlihat bahwa vektor x
n
R ∈
mempunyai banyak sekali bilangan arah, tetapi setiap dua bilangan arah sebanding. Oleh
karena itu, jika vektor x = x
1
, x
2
,...,x
n
dengan salah satu bilangan arahnya adalah
n 2
1
,..., ,
α α
α dan cosinus arah vektor x
adalah
{ }
n 2
1
,..., ,
λ λ
λ dengan
α λ
α α
θ λ
k k
k k
k
e e
, cos
= =
= berarti
. :
: :
: :
:
n 2
1 n
2 1
λ λ
λ α
α α
Λ Λ
=
Definisi B.5
Himpunan x =
{ }
n k
2 1
R x
,..., x
, x
⊂ dari ruang inner product
disebut himpunan orthonormal jika himpunan tersebut adalah himpunan orthogonal dan
i ,
1 x
i
∀ =
di x. Arifin, 2001 : 106
Definisi B.6
Himpunan x =
{ }
n k
2 1
R x
,..., x
, x
⊂ dengan
x
i
≠ dari ruang inner product
disebut himpunan orthogonal jika j.
i setiap
untuk ,
y x
j i
≠ ≠
Arifin, 2001 : 106
Teorema B.5
Setiap himpunan orthogonal, bebas linear Bukti:
Bentuk R
,..., ,
dengan ,
x ...
x x
n 2
1 n
n 2
2 1
1
∈ =
+ +
+ α
α α
α α
α .
Ambil sembarang Li, dengan n
i 1
≤ ≤
, diperoleh: x,0
x ...
x x
, x
n n
2 2
1 1
i
= =
+ +
+ α
α α
Karena j
i untuk
, x
, x
j i
≠ =
j. i
untuk ,
x x
, x
dan
2 i
j i
= =
= Diperoleh
berakibat dan
x
i 2
i i
= =
α α
untuk L diatas. Karena i sembarang, diperoleh
,..., ,
n 2
1
= α
α α
Dengan kata lain
{ }
n 2
1
x ,...,
x ,
x bebas linear.
Akibat dari teorema B. 5 Setiap himpunan orthonormal bebas linear.
Bukti: Bentuk himpunan orthonormal
n 2
1
e ,...,
e ,
e terdiri dari n vektor
dengan
n k
R ,...,
, 1
,..., ,
e ∈
= . Komponen ke-k sama dengan L.
Diperoleh pengertian bahwa untuk setiap vektor x = x
1
, x
2
,...,x
n n
R ∈
. Sehingga x = x
1
, 0,...,0 + 0, x
2
,...,0 + ...+ 0, 0,...,x
n
⇔ x = x
1
1, 0,...,0 + x
2
0, 1,...,0 + ...+ x
2
0, 0,...,1 ⇔ x =
∑
=
=
n 1
i i
i n
n 2
2 1
1
e x
e x
,..., e
x ,
e x
Jadi himpunan orthonormal
n 2
1
e ,...,
e ,
e membangun R
n
. Oleh karena
n 2
1
e ,...,
e ,
e bebas linear, maka dia merupakan basis bagi R
n
. Karena himpunan orthonormal ini mempunyai elemen sebanyak n maka
diperoleh bahwa ruang vektor R
n
berdimensi n. Selanjutnya himpunan orthonormal
n 2
1
e ,...,
e ,
e disebut basis
orthonormal standart bagi ruang vektor R
n
. Akibat
Setiap n+1 vektor di dalam R
n
tak bebas linear.
Teorema B.6
Untuk setiap vektor x = x
1
, x
2
,...,x
n n
R ∈
, dengan
n 2
1
e ,...,
e ,
e basis
orthonormal standart, maka k
, e
x, x
k k
∀ =
.
Bukti: Diambil sebarang e
k
n k
1 ≤
≤ Dengan inner product x
n
R ∈
, diperoleh
k k
k k
k k
k k
n n
2 2
1 1
k
x e
, e
x ...
e ,
e x
... e
, e
x ...
e x
e x
e x,
= =
+ +
+ +
+ +
= +
+ +
=
Teorema B.7
Setiap x
n
R ∈
dapat dituliskan menjadi
k n
1 k
k k
e e
, x
x
∑
=
= Bukti:
Diket
n 2
1
e ,...,
e ,
e basis orthonormal standart R
n
, maka untuk setiap x = x
1
, x
2
,...,x
n n
R ∈
dengan x
1
, x
2
,...,x
n
R ∈ berlaku
x =
∑
=
= +
+ +
n 1
i i
i n
n 2
2 1
1
e x
e x
... e
x e
x Karena
k k
e x,
x =
untuk setiap k n
k 1
≤ ≤
. Diperoleh
k n
1 k
k k
x e
, x
x
∑
=
= Telah diketahui bahwa di dalam ruang berdimensi n, sebarang
vektor titik dapat dihadirkan sebagai kombinasi linear dari n vektor titik yang termasuk di dalam basis ruang R
n
. Berikut ini akan dihadirkan mengenai vektor titik yang dihadirkan sebagai kombinasi
linear dari dua vektor titik. Hal ini dituangkan dalam teorema berikut.
Teorema B.8
Jika diberikan dua vektor titik y
, x
n
R ∈
tidak sama dengan nol maka ada vektor-vektor
n 2
1
R y
, y
∈ sehingga
y k
y
1
= untuk suatu skalar k,
2 1
y y
⊥ dan
2 1
y y
x +
= lebih lanjut dengan
y y
y ,
x y
2 1
= dan
y y
y ,
x -
x y
2 2
= .
Gambar 2.1
Bukti : Diasumsikan teorema diatas berlaku
Jadi akan ditentukan bilangan k R
∈ dengan y
k y
1
= dan vektor-vektor
n 2
1
R y
, y
∈ yang saling orthogonal sehingga x dapat ditulis
sebagai
2 1
y y
x +
= , berarti didapat
1 2
y x
y −
= . Selanjutnya dilakukan
inner product antara vektor x vektor y, didapat y
, y
y y
, x
2 1
+ =
y ,
y y
k
2
+ =
y ,
y y
k
2 2
+ =
2
y
1
y x
y
Karena y
, y
maka y
y
2 2
= ⊥
, sehingga persamaan ini menghasilkan
2
y y
, x
k =
Karena y
k y
1
= diperoleh
y y
y ,
x y
2 1
=
Dengan demikian diperoleh juga y
y y
, x
- x
y
2 2
= .
C. Ruang Metrik
