BY : SRI ESTI
BAB 6 ALJABAR BOOLE
1. Definisi Dasar
Himpunan dan proposisi mempunyai sifat yang serupa yaitu memenuhi hukum identitas. Hukum ini digunakan untuk mendefinisikan struktur matematika abstrak yang disebut
ALJABAR BOOLE. Nama tersebut diambil dari nama seorang matematikawan bernama George Boole 1813
– 1864. Secara umum, aljabar boole didefinisikan sebagai suatu himpunan dengan operasi , ,
¬atau „, serta elemen 0 dan 1 ditulis sebagai atau
1. Hukum Komutatif a.
x y = y x b. x
y = y x 2. Hukum Asosiatif
a. x y z = x y z
b. x y z = x y z
3. Hukum Distributif a.
x y z = x y x z b.
x y z = x y x z 4. Hukum Identitas
a. x 0 = x
b. x 1 = x
5. Hukum Negasi komplemen a.
x x‟ = 1 b.
x x‟ = 0 Untuk lebih menyerupai operasi-operasi aritmatika, kadang-kadang
simbol dituliskan dengan + dan dituliskan dengan , atau tidak ditulis sama sekali.
BY : SRI ESTI
Dalam aljabar Boole dikenal prinsip dualitas. Jika
penghubung ditukarkan dengan dan 0 ditukarkan dengan 1 diseluruh aturan dalam aljabar Boole, maka hasilnya juga berlaku
sebagai suatu aljabar Boole. Ada beberapa teorema yang dapat diturunkan dari aturan-aturan aljabar Boole :
Teorema 1
Misalnya, diketahui aljabar Boole dan x, y, x‟, y‟ Є B, maka hukum-hukum
inilah yang berlaku : 1. Hukum Idempoten
a. x x = x
b. x x = x
2. Hukum Ikatan a.
x 1 = 1 b.
x 0 = 0 3. Hukum Absorbsi
a. x y x = x
b. x y x = x
4. Hukum De Morgan a.
x y‟ = x‟ y‟ b.
x y‟ = x‟ y‟
Bukti :
1a x x = x x 1
hukum Identitas b = x x x x‟
hukum Negasi a = x x x‟
hukum Distributif a = x 0
hukum Negasi b = x
hukum Identitas a
Latihan Soal :
Buktikan masing-masing teorema
BY : SRI ESTI
Teorema 2
Dalam suatu aljabar Boole , elemen 0 dan 1 adalah tunggal.
Bukti :
Misalkan ada 2 buah elemen 0 dalam , sebut 0
1
dan 0
2
. Akan dibuktikan bahwa pastilah 0
1
= 0
2
. Menurut hukum identitas, untuk sembarang a
i
dan a
2
berlakulah persamaan a
1 1
= a
1
dan a
2 2
= a
2
Substitusi a
1
= 0
2
dan a
2
= 0
1
. Dengan demikian, didapatkan 0
2 1
= 0
2
dan 0
1 2
= 0
1
Dalam aljabar Boole berlaku hukum komutatif sehingga :
2 1
= 0
1 2
2
= 0
1
Terbukti bahwa 0
2
= 0
1
atu elemen 0 tunggal.
Latihan Soal :
Buktikan untuk 2 buah elemen 1 adalah tunggal
Teorema 3
Untuk setiap elemen x Є terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi hukum negasi.
Bukti :
Misal x memiliki 2 komplemen, yaitu x
1
‟ dan x
2
‟. Akan dibuktikan bahwa pastilah x
1
‟ = x
2
‟. Oleh karena x
1
‟ dan x
2
‟ merupakan komplemen dari x, maka berlakulah hukum negasi. x x
1
‟ = 1 dan x x
1
‟ = 0 x x
2
‟ = 1 dan x x
2
‟ = 0 Padahal :
x
1
‟ = x
1
‟ 1 hukum identitas b
= x
1
‟ x x
2
‟ hukum negasi b dan karena x
2
‟ adalah komplemen x = x
1
‟ x x
1
‟ x
2
‟ hukum distributif b dan komutatif
= 0 x
1
‟ x
2
‟ hukum negasi b
= x x
2
‟ x
1
‟ x
2
‟ hukum negasi b
BY : SRI ESTI =
x x
1
‟ x
2
‟ hukum distributif
= 1 x
2
‟ hukum negasi
= x
2
‟ hukum identitas
Terbukti bahwa x
1
‟ = x
2
‟, atau terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi hukum negasi.
2. Fungsi Boolean
Kategori