BY : SRI ESTI =
x x
1
‟ x
2
‟ hukum distributif
= 1 x
2
‟ hukum negasi
= x
2
‟ hukum identitas
Terbukti bahwa x
1
‟ = x
2
‟, atau terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi hukum negasi.
2. Fungsi Boolean
Misal B = adalah aljabar Boole.
Suatu fungsi Boolean variabel adalah fungsi f : B
n
→ B Fungsi Boolean sederhana adalah jika B = {0,1}. Jadi, f : {0,1}
n
→ {0,1}. Masukannya adalah {0,1}
n
dan keluaran fungsi adalah {0,1} Operasi Not, And dan, Oratau dalam logika dapat dipandang sebagai fungsi Boolean dari
{0,1}
2
→ {0,1} Fungsi Not :
{0,1} → {0,1} didefinisikan sebagai : Not x =
{ Fungsi itu biasanya ditulis ¬x
Fungsi And : {0,1}
2
→ {0,1} didefinisikan sebagai : And x,y =
{ Fungsi Or : {0,1}
2
→ {0,1} didefinisikan sebagai : Or x,y =
{
Contoh :
1. Nyatakan penghubung XOR eksklusif Or dalam fungsi {0,1}
2
→ {0,1} Penyelesaian :
Penghubung XOR simbol ⊕ mirip dengan “atau” . Akan tetapi jika kedua kalimat
penyusunnya benar, maka hasilnya salah. Nilai kebenaran penghubung ⊕ dan dapat
dilihat pada tabel berikut :
BY : SRI ESTI p
q p q
p ⊕ q
T T
T F
T F
T T
F T
T T
F F
F F
Jika T dinyatakan dengan 1 dan F dinyatakan dengan 0, maka ⊕ dapat dinyatakan
dengan tabel masukankeluaran dalam tabel berikut : p
q p
⊕ q 1
1 1
1 1
1
p ⊕ q berharga 0 jika p = q dan berharga 1 jika p ≠ q
Jika XOR dinyatakan dengan fungsi {0,1}
2
→ {0,1}, maka : XOR {0,1}
2
→ {0,1} didefinisikan sebagai XOR p,q =
{ 2. Perhatikan fungsi Boole f = {0,1}
3
→ {0,1} yang didefinisikan dengan aturan : fx
1
, x
2
, x
3
= x
1
+ x
2 +
x
3
mod 2 Nyatakan f menggunakan tabel masukankeluaran
Penyelesaian : F1,1,1 = 1+1+1 mod 2 = 3 mod 2 = 1
F1,1,0 = 1+1+0 mod 2 = 2 mod 2 = 0 Dst
Didapat tabel masukankeluaran yang dinyatakan pada tabel berikut :
BY : SRI ESTI Masukan
Keluaran x
1
x
2
x
3
x
1
+ x
2 +
x
3
mod 2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
Latihan Soal : Diketahui fungsi Boole f = {0,1}
3
→ {0,1} yang didefinisikan sebagai fx
1
, x
2
, x
3
= x
1
‟x
2
‟ x
1
x
2
. Tulislah tabel nilai fungsi untuk semua harga x
1
, x
2
, x
3
yang mungkin.
3. Ekspresi Boole
Ekspresi Boole dalam n buah variabel x
1
, x
2
, …, x
n
didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :
1. 0 dan 1 adalah ekspresi boole 2. x
1
, x
2
, …, x
n
masing-masing adalah ekspresi boole 3. Jika E
1
dan E
2
adalah ekspresi boole, maka E
1
E
2
, E
1
E
2
, E
1
‟ adalah ekspresi boole
Contoh :
1. Apakah ekspresi berikut merupakan ekspresi Boole dalam variabel x, y, z? a. z
b. x y
c. x y‟ z‟ x
d. x y x‟ z 1
Penyelesaian : a. Menurut definisi 2, jelas bahwa z sendiri merupakan ekspresi Boole
BY : SRI ESTI b. Menurut definisi 2, x dan y merupakan ekspresi Boole. Oleh karena x dan y
masing- masing merupakan ekspresi Boole, maka menurut 3, x y juga merupakan
ekspresi Boole definisi 3 c. X dan y merupakan ekspresi Boole definisi 2, maka
x y merupakan ekspresi Boole definisi 3 sehingga
x y‟ merupakan ekspresi Boole. Selanjutnya x, y dan z merupakan ekspresi Boole definisi 2, maka z‟ merupakan
ekspresi Boole definisi 3 sehingga z‟ x merupakan ekspresi Boole. Oleh karena x y‟ dan z‟ x masing-masing ekspresi Boole, maka x y‟ z‟
x merupakan ekspresi Boole juga.
d. x y x‟ z 1 merupakan ekspresi Boole karena x, y,z dan 1 masing-masing
merupakan ekspresi Boole. Dalam praktek, ekspresi Boole diganti dengan . atau dihilangkan sama sekali, jadi
notasi c dan d berbentuk xy‟ z‟x dan x y x‟ z1
2. Telitilah apakah kedua ekspresi Boole di bawah ini ekuivalen E
1
= xy xyz z dan
E
2
= xy z
Penyelesaian : xy xyz z = xy 1 z z
hukum distributif = xy.1 z
hukum ikatan = xy z
hukum identitas Oleh karena E
2
bisa didapatkan dari E
1
, maka disimpulkan bahwa E
1
= E
2
Tabel masukan dan keluaran E
1
dan E
2
dapat diihat pada tabel berikut : x
y z
xy xyz
E
1
= xy xyz z E
2
= xy z 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
BY : SRI ESTI Dalam tabel diatas tampak bahwa semua nilai fungsi E
1
dan E
2
sama. Itu berarti E
1
= E
2
Latihan Soal :
Diketahui ekspresi Boole dalam 3 variabel x, y, z sebagai E = x yz. Buatlah tabel fungsi
Boole yang sesuai dengan ekspresi E.
4. Bentuk Normal Disjunctive
