Model penyakit menular dengan periode latent dan Relapse:

MODEL PENYAKIT MENULAR DENGAN PERIODE LATENT
DAN RELAPSE

ABDI SUKAMTO

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR

2009

PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Penyakit
MenuIar dengan Periode Latent dan Relapse adalah karya saya sendiri dan belum
diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi
dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain
disebutkan dalam teks dan dicanturnkan dalam Dafiar Pustaka di bagian akhir tesis
ini.

Bogor,

Juli 2009

Abdi Sukamto
NRP. G551070261

ABSTRACT

ABDI SUKAMTO. Modeling of lnfected Diseases with Latent and Relapse
Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO.
The spread of infected diseases are usually caused by direct contect
between those considered as susceptible and those already infected. In this study,
both the relapse and the latent factors were considered. The relapse factor is
associated with a condition where the disease might be occurred again, while the
latent related with the condition that the germ were being inactive in the body. We
applied this model to study the spread of the disease considering that the members
of population in the exposed class were distributed on a manner of negative
exponentially distribution or step function. The basic reproduction number was
studied and applied to stability. All the models gave results that as the birth rate or
remove rate was bigger then the proportion of susceptible population increase,

while proportion of infected population and recovers decrease. On the other hand,
if the contact rate and recurrence to return increase then the susceptible population
decrease, while the proportion of infected population and recovers increase.
Keywords: Infected diseases, mathematical model, probability, basic reproduction
number.

ABDI SUKAMTO. Model Penyakit Menular dengan Periode Latent dan Relapse.
Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO.
Seseorang yang terinfeksi oleh penyakit menular, berarti kuman tersebut
berada di dalam tubuh dalam bentuk tidak aktif sampai jangka waktu tertentu, ha1
ini dikarenakan sistem kekebalan tubuh mampu mengontrol kurnan tersebut.
Dengan melakukan pengobatan, maka orang tersebut mungkin akan sembuh.
Pengobatan yang tidak sempurna mungkin akan mengakibatkan kambuhnya
kembali penyakit tersebut.
Dalam tulisan ini akan dikaji jenis penyakit yang bersifat relapse, yaitu
peristiwa karnbuh kembali setelah sembuh dan memiliii periode latent, yaitu
masa bersembunyinya penyakit tersebut di dalam tubuh ketika sistem kekebalan
tubuh dalam kondisi baik. Penelitian sebelumnya telah dilakukan oleh Driessehe
dan Zou (2007) untuk mengkaji model relapse pada penyakit infeksi, dan Feng et
al. (1999) membuat aturan periode latent pada model matematika untuk TBC.

Disini pemodelan terhadap penyebaran penyakit yang bersifat latent dan relapse
dipelajari. Salah satu penyakit yang memiliki ciri-~irilatent dan relapse adalah
tuberculosis (TBC).
Pemodelan penyakit menular ini dilakukan untuk melihat dinarnika
masing-masing populasi yaitu populasi rentan, populasi menular dan populasi
sembuh. Selain itu model asumsi juga diterapkan gum membandmgkan terhadap
model asli dengan cara malakukan analisis kestabilan dengan menggunakan
metode Routh-Hurwitz dan menguji teori tersebut melalui simulasi dengan
menggunakan software computer Mathematica 7.0.
Hasil simulasi yang telah dilakukan terhadap ketiga model yaitu model
asli, model asumsi eksponensial negatif, dan asumsi fungsi tangga diperoleh dua
titik tetap yaitu : P(S,I,R) = (l,O,O) dan P'(s',I*,R')
dengan S* adalah
proporsi manusia rentan, I*proporsi manusia menular, dan R' proporsi manusia
sembuh. Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung pada nilai R,, , dengan
4 adalah bilangan reproduksi dasar. Jika R,, c 1, maka titik tetap bebas penyakit
P bersifat stabil sedangkan pada titik tetap endemik~' bersifat stabil jika
R,, > l .
Selanjutnya dari hasil simulasi untuk kasus R,, > 1, diperoleh informasi
tentang pengaruh kelahiran (b), koefisien pemindahan (P), infeksi kembali

penyakit tersebut (a),
dan laju kesembuhan (y) . Semakin besar tingkat kelahiran
maka proporsi populasi rentan meningkat, sedangkan proporsi populasi menular
dan sembuh berkurang. Semakin besar tingkat kontak (koefiien pemindahan)
maka proporsi populasi rentan berkurang, sedangkan proporsi populasi menular
dan proporsi populasi sembuh meningkat. Semakin besar tingkat kambuh kembali
maka proporsi popuhsi rentan krkurmg dan proporsi menglar dw sembuh
meningkat. Semakin besar laju kesembuhan maka proporsi populasi rentan
meningkat dan proporsi populasi menular dan sembuh berkurang. Semakin besar

bilangan reproduksi maka semaki cepat masing-masing populasi untuk mencapai
kestabilannya.
Kata kunci : Penyakit menular, model maternatika, peluang, bilangan reproduksi.

O Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009
Hak Cipta dilindungi undang-undang
I . Dilarang mengutip sebagian atair seltmih hasil kalya tttlis ini tanpa
mencantumkan atair menyebiitkan suniber.
a. Penprtipan hanya tintuk kepentingan pendidikan, penelitian, penzilisan
kalya ilmiah, penyustinan laporan, penulisan kritik, atatr tiizjauan stratu

masalah
b. Pengzitipan tidak menigikan kepentingan yang wajar Institzrt Pertanian
Bogor.
2. Dilarang niengunuimkan dun memperbanyak sebagian atau selirnih kaiya ttrlis
dalam bentuk apaptin tanpa izin Instittrt Pertanian Bogor.

MODEL PENYAKIT MENULAR DENGAN PERIODE LATENT
DAN RELAPSE

ABDl SUKAMTO

Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika

SEKOEAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR

2009

Judul Tesis

: Model Penyakit Menular Dengan Periode Latent dan Relapse

Nama

: Abdi Sukamto

NRP

: G551070261

Program Studi

: Matematika Terapan

Disetujui,
Koinisi Pembimbing

Dr. Paian Sianturi

Drs.Ali Kusnanto M.Si

Ketua

Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi

olah Pasca Sarjana IPB

Matematika Terapan

&i-

I

Dr.Ir.Endar.H.Nugrahani,MS

airil A. Notodiputro, M.S.

Tanggal Ujian : 18 Juli 2009

Tanggal Lulus :
Juli 2009
2 8 JI!L 2909.

PRAKATA
Puji dan syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan karuniaNya
sehingga telah dapat menyelesaikan karya tulis ini. Judul yang saya teliti adalah :
Model Penyakit Menular dengan Periode Latent dan Relapse yang telah saya pilih
dalam penelitian ini sejak bulan Desember 2009.
Terima kasili penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Paian Sianturi dan Bapak
Drs. Ali Kusnanto M.Si selaku pembimbing yang telah banyak membimbing dan
mengarahkan serta Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku penguji yang telah banyak
memberikan saran. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada

Departemen Agama Republik Indonesia terhadap beasiswa yang diberikan dan
kepada rekan-rekan mahasiswa yang telah memberikan motivasi dan sarannya.
Semoga Allah memberikan balasan yang lebih baik bagi kita semua.
Terzkhir kepada abang, kakak, serta istri dan anak-anak yang tercinta yang
bersedia melepaskan kepergian saya dengan penuh keyakinan dan kesabaran
dalam kerangka menuntut ilmu pengetahuan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor,

Juli 2009

Abdi Sztkamto

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pangkalan Berandan pada tanggal 23 Maret 1969 dari
ayah Salijo dan ibu Painem. Penulis merupakan putra kesebelas dari dua belas
bersaudara.
Tahun I990 penulis lulus dari SMU Muhammadiyah-4 Pangkalan
Berandan Sumatera Utara dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk I A N

Medan melalui seleksi masuk IAIN. Penulis memilih jurusan Tadris Matematika
Fahltas Tarbiyah. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada
program studi Matematika Terapan dan pada perguruan tinggi IPB diperoleh pada
tahun 2009.
Penulis adalah Guru Madrasah Aliyah Negeri ( MAN ) di Kabupaten
Langkat sejak 2006. Mata pelajaran yang diajarkan adalah matematika.

DAFTAR IS1
Halaman

..
...

DAFTAR TABEL ..............................................................................................XII

DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xi11
DAFTAR LAMPIRAN .............................,.....................,................................. ..xiv

I

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1

..

1.2 Tujuan Penelltian .................................................................................2
1.3 Metode ................................................................................................. 2
I1 TINJAUAN PUSTAKA

............................................................ 3
2.2 Titik Tetap............................................................................................ 4
2.3 Bilangan Reproduksi Dasar (& ) ........................................................ 7
2.1 Sistem Persamaan Diferensial

I11 MODEL MATEMATIKA
3.1 Model Matematika ...............................................................................

8

3.1.1 Asumsi Peluang Tetap Tinggal di Kelas Exposed Menyebar
Eksponensial Negatif

................................................................. 10

3.1.2 Asumsi Peluang Tetap Tinggal di Kelas Exposed Merupakan
Fungsi Tangga............................................................................. 11

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

..
4.1 Penentuan Titik Tetap ........................................................................ 12
.,

4.2 Analisis Kestabilan ............................................................................ 14
4.2.1 Perilaku di Sekitar Titik Tetap P (1,0,O) pada Model Asli

...... 14

4.2.2 Perilaku di Sekitar Titik Tetap P' (s*, I', R')
pada Model Asli. ......................................................................... 15
4.2.3 Perilaku di Sekitar Titik Tetap

P' (s*, I*,R') dengan Asumsi

Eksponensial Negatif ............................................................... 16

P*(S' ,I * ,R' ) dengan Asumsi
Fungsi Tangga ................................................................ ...........I8
Simulasi Model ....................................................................................19
4.3.1 Nilai-nilai Parameter ...................................... . .........................I9
4.3.2 Hasil Simulasi Model ................................................................ 20
4.2.4 Perilaku di sekitar Titik Tetap

4.3

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan ................................................................................................30
5.2 Saran.....................................................................................................
30

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 31
LAMPIRAN

....................................................................................................32

DAFTAR TABEL
Halaman
1. Perbandingan titik tetap antara model asli dengan model asurnsi

sebagai fungsi eksponensial negatif dan fungsi tangga .............................. 13
2

Perbandingan ketiga titik tetap bebas penyakit dan bilangan
Reproduksi ...................................................................................................'26

3

Perbandingan ketiga titik tetap endemik dan bila~ganreproduksi .............. 26

4

Hubungan antara model asli dengan parameter .......................................... 58

5

Hubungan antara model eksponensial negatif dengan parameter ............... 59

6

Hubungan antara model fungsi tangga dengan parameter ...........................
60

xii

DAFTAR GAMBAR
Halaman

1

Diagram flow untuk model SEIRI .......................................................... 8

2

Proporsi populasi rentan (5'). menular (4.dan sembuh (R) dari model
asli dengan titik tetap bebas penyakit (DFE) untuk Ro = 0.25 ...................... 20

3

Tipe kestabilan titik tetap bebas penyakit (DFE) dari model asli ................. 21

4

Proporsi populasi rentan (9.menular (4.dan sembuh (R) dari model
asli dengan titik tetap endemik (EE) untuk Ro = 1.37 ................................... 21

5

Tipe kestabilan titik tetap endemik (EE) dari model asli ............................... 22

6

Proporsi populasi rentan (S). menular (4.dan sembuh (R) dari model
Asumsi eksponensial negatif dengan titik tetap bebas penyakit (DFE)
Untuk Ro = 0.48 .............................................................................................

22

7

Tipe kestabilan DFE dari model ssumsi eksponensial negatif ..................... 23

8

Proporsi populasi rentan (S). menular (4.dan sembuh (R) dari model
Asumsi eksponensial negatif dengan EE untuk Ro = 2.89 ........................... 23

9

Tipe kestabilan EE dari model asumsi eksponensial negatif ........................ 24

10 Proporsi populasi rentan (S). menular (I). dan sembuh ( R ) dari model
Asumsi fungsi tangga dengan DFE untuk Ro = 0.55 ....................................24

11 Tipe kestabilan DFE dari model asumsi fungsi tangga ................................ 25
12 Proporsi populasi rentan (S). menular (4.dan sembuh (R) dari model
Asumsi fungsi tangga dengan EE untuk Ro = 3.04 ....................................... 25
13 Tipe kestabilan EE dengan asumsi hngsi tangga .......................................... 26
14 Plot gabungan Proporsi populasi rentan ( S ). proporsi populasi
Menular (I).dan sembuh ( R ) dari titik tetap bebas penyakit ..................... 27

15 Tipe kestabilan DFE dengan model gabungan .............................................. 27
16 Plot gabungan Proporsi populasi rentan ( S ). proporsi populasi
Menular ( I ) . dan sembuh ( R ) dari titik tetap endemik ............................

28

17 Tipe kestabilan EE dengan model gabungan ................................................. 28

xiii

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Mencari titik tetap dan bilangan reproduksi dari model asli ........................32
2

Mencari titik tetap dan bilangan reproduksi dari model asumsi
eksponensial negative ...................................................................................33

3 Mencari titik tetap dan bilangan reproduksi dari model asumsi
fungsi tangga ................................................................................................. 34
4 Menganalisis kestabilan titik tetap bebas penyakit pada model asli ............. 35
5 Menganalisis kestabilan titik tetap endemik pada model asli ....................... 39
6 Menganalisis kestabilan titik tetap endemik pada model asumsi
eksponensial negatif ...................................................................................... 41
7 Pembuktian mencari r ( t ) pada model asli .................................................. 44
8 Pembuktian mencari E'( t ) pada model asli ................................................. 46
9 Pembuktian mencari ?( t ) pada asumsi eksponensial negatif ...................... 47
10 Pembuktian mencari T( t ) pada asumsi fungsi tangga ................................. 48

1 1 Mencari nilai N=l pada persamaan (8) ......................................................... 49
12 Program untuk simulasi model asli ............................................................... 50
13 Program untuk simulasi model asumsi eksponensial negatif ....................... 52
14 Program untuk simulasi model asumsi fungsi tangga ..................................54
15 Program untuk simulasi model gabungan ..................................................... 56

16 Mencari Bilangan reproduksi ........................................................................

57

17 Tabel 4 hubungan antara model asli dengan parameter ............................... 58
18 Tabel 5 hubungan antara model eksponensiai negatif dengan

..................................................................................................... 59
hubungan antara model fungsi tangga dengan parameter .............. 60

parameter

19 Tabel 6

xiv

I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang

Salah satu permasalahan yang dihadapi di dalam kehidupan sehari-hari
adalah menyebarnya suatu penyakit pada suatu rnasyarakat dengan tingkat
penyebaran yang lebih cepat dari biaanya. Jenis penyakit tersebut biasanyz
digolongkan ke dalam penyakit menular. Hal ini disebabkan oleh kuman ymg
dapat berupa virus, bakteri, amuba ataupun jamur. Cara penularannya ada
bermacam-macam, salah satu di antaranya melalui kontak langsung antara orang
yang sehat dengan si penderita.
Seseorang yang terinfeksi oleh penyakit, berarti kuman berada di dalam
tubuh dalam bentuk tidak aktif sampai waktu tertentu, ha1 ini dikarenakan sistem
kekebalan tubuh mampu mengontrol kuman tersebut, tetapi jika sistem kekebalan
tubuh lemah maka menyebabkan aktifnya kuman tersebut sehingga dapat
menularkan kepada orang lain. Dengan melakukan pengobatan, maka seseorang
tersebut akan menjadi sembuh. Pada manusia, pengobatan yang tidak sempurna
akan mengakibatkan kambuh kembali (Driessche et al. 2007).
Dalam tulisan ini akan dikaji jenis penyakit yang bersifat relapse, yaitu
adanya kambuh kembali setelah sembuh dari penyakit dan memiliki periode
latent, yaitu masa bersembunyinya penyakit tersebut di dalam tubuh ketika sistem
kekebalan tubuh dalam kondisi aktif7 kuat. Penelitian sebelumnya telah dilakukan
oleh Driessche dan Zou (2007) untuk mengkaji model relapse pada penyakit
infeksi, dan Feng et a1.(1999) membuat aturan periode latent pada model
matematika untuk TBC. Dengan melakukan pemodelan terhadap penyebaran
penyakit yang bersifat latent dan relapse akan mempermudah dalam memahami
dinamika penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Salah satu penyakit yang
memiliki ciri-ciri tersebut adalah tubercu2osis (TBC).

1.2 Tujuan Penelitian
1 Mengkaji model penyebaran penyakit menular yang bersifat latent1

exposed dan kemungkinan relapse.

2 Melakukan analisis kestabilan.
3

Mengimplementasikan model dalam pemrograman berbasis fungsional

4 Membandingkan perilaku model asli dan model asumsi.

1.3 Metode
Langkah-langkah yang digunakan dalam metode tersebut adalah :

1

Merekonstruksi model penyebaran penyakit menular yang bersifat

latent /exposed dan kemungkinan relapse.

2 Mengkaji model dengan cara menentukan titik tetap serta menganalisis
kestabilan di titik tetapnya guna mengetahui perilaku di sekitar titik
tetap, dengan inenggunakan kriteria Routh-Hunvitz.
3

Mengkaji model yang menggunakan asumsi, yaitu :
a Peluang tetap tinggal di kelas exposed diasumsikan menyebar secara
eksponensial negatif.
b Peluang tetap tinggal di kelas exposed diasumsikan fungsi tangga.

11. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Definisi 1 [ Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) ]
Jika suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut :
x=Ax+b,x(0)=x0,x~%"

(1)

dengan A adalah matriks koefisien berukuran n x n dan vektor konstan b E W ,
maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde 1 dengan kondisi awal x(0) =no.
Sistem ini disebut homogen jika b = 0 , dan non homogen jika b # 0.
[Tu 19941
Definisi 2 [ Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear ]
Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut :
(2)

x =f(t,x)
dengan
X = ["?';&nf(t,x)
x,, ( t )

J;(t,xl>x,,...>x,,)
=[
]fhgsi tak linear pada ~.-....,xn.
~,(~>x,,x,,...,x")

Sistem ini disebut sebagai sistem persamaan diferensial tak linear.
[Braun 19831
Defiisi 3 [ Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ]
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai
berikut :
x = f(x), X E % ~

(3)

dengan f merupakan fungsi kontinu bemilai real dari x dan mempunyai tumnan
parsial kontinu. Persamaan ini disebut sebagai persamaan diferensial mandiri
(autonomous), jika tidak memuat t secara eksplisit di dalarnnya.
[Tu 19941

Definisi 4 [ Sistem Persamaan Diferensial Delay (DDE) ]
Persamaan diferensial delay dapat ditulis sebagai berikut :
dN(t) - f (N(t),N(t - z)), dengan z > 0 .
dt

(4)

P-

N(t) adalah total populasi pada waktu t, z adalah delay/ tunda danN(t-z)

merupakan total populasi pada periode exposed.
[ Murray 1989 ]
2.2 Titik Tetap

Defiiisi 5 1Titik Tetap ]
Diberikan SPD

Titik x' disebut titik tetap jika f (x*)= 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau
kesetimbangan.
[Tu 19941
Definisi 6 [ Titik Tetap Stabil]
Misalkan

x

adalah titik tetap sebuah persamaan diferensial dan x(t) adalah solusi

dengan kondisi awal x(0) =xo, dimana xo z2. Titik

x

dikatakan titik tetap

stabil, jika untuk setiap E > 0, terdapat r z 0, sedemikian sehingga Ino

-XI

0.
[ Vershult 19901

Definisi 7 [ Analisis Kestabilan Titik Tetap ]
Analisis kestabilan titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yaitu :
1 Sistem x = Ax adalah stabil asimtotik global jika dan hanya jika setiap
nilai eigen dari A bagian realnya bernilai negatif.
2

Sistem x = Ax adalah stabil netral jika dan hanya jika setiap nilai eigen
dari A mempunyai bagian real yang tidak positif dan sekurangkurangnya satu nilai eigen mempunyai bagian real nol.

3

Sistem .t = Ax adalah tidak stabil jika dan hanya jika beberapa nilai
eigen dari A bagian realnya bernilai positif.
[Borrelli dan Coleman 19981

Definisi 8 [ Komunitas Multi-Spesies dan Kriteria Routll-Hurvvitz ]
Suatu model populasi dengank spesies yang berinteraksi dalam komunitas
dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :

atau dapat ditulis dalam notasi vektor

denganX = (x, ,x, ,...,x,),

f

= (f;, f,,...,f,) fungsi tak linear pada x, ,x2 ,..., x,

Kestabilan sistem tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai berikut :
1 Menentukan titik tetap ( x ) yang memenuhi f ( x ) = 0
2

Pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yaitu :
J = -af
( x )ax

3

atau

Menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikandet ( 2 1 - J) = 0 . Nilai
eigen(2) ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut :
2" +alln-I+a,/Z"-, +...+ak = O .

Selanjutnya untuk melihat kestabilan .&em
kriteria Routh-Hunvitz berikut :

dapat dilakukan menggunakan

Kriteria Routh-Hurwitz
Diberikan persamaan karakteristik :

A"

+ a,An-' + a2AnM2
+ ...+ ak

=;

0.

Selanjutnya didefmisikan matriks sebagai berikut :

HI = (a,), H, =

i

i

'21-m

Misalkan H, = (h,) dengan h, = 1
0
Titik tetap

untuk 0 < 21 - m 5 k,
untuk 21 = 7n,
untuk 21 < Tn atau 21 > k + m.

x stabil jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Routh-

Hurwitz bernilai positif, yaitu : det H, > 0
Catatan :
Kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap

;stabii jika

dan hanya jika :

k = 2,3,4
k=2,
k=3,

a, >O, a, >O
a,>O, a 3 > 0 , a,a,>a3

k =4,

2
2
a, >0, a, >O , a, >O , a,a2a3> a, +a, a,

pdelstein-Keshet 19881
Detinisi 9 [ Fungsi Eksponensial Negatif ]
Suatu peubah acak kontinu x disebut fungsi eksponensial negatif dengan
parameter A > 0, jika fungsi kepekatannya diberikan sebagai berikut :

f ( t ) = F '(t)=

Ae-*, t > 0
0 ,t 1, berarti setiap individu yang menular akan menginfeksi
lebih dari satu individu bam, dan penyakit tersebut dapat
menyerang populasi sehingga menjadi wabah.
[Driessche clan Watmou&2005]

I11 MODEL MATEMATIKA
3.1 Model Matematika
Populasi individu dibagi ke dalam empat kelas yaitu: Susceptible (S),
Exposed (E), Infected ( I ) , Recovered (R). Susceptible yaitu populasi yang rentan
terhadap penyakit, Exposed/ Laten adalah populasi yang terinfeksi penyakit tetapi
tidak menular, Infected adalah populasi yang terinfeksi oleh penyakit dan
meaular, serta Recovered adalah populasi yang sembuh dari penyakit tetapi suatu
saat mungkin kambuh kembali dan masuk ke kelas Infected.
Misalkan saja ada populasi rentan sebagian di antaranya melakukan
kontak dengan populasi menular, maka ketika itu sebagian populasi rentan sudah
dikatakan terinfeksi. Saat itu, populasi yang terinfeksi tadi masuk ke dalam kelas

E. Populasi yang berada di kelas E akan tetap berada di kelas ini sampai selang
waktu tertentu, dan akan berpindah ke kelas I jika sistem kekebalan tubuh lemah.
Dengan melakukan proses pengobatan, mungkin populasi tersebut akan sembuh.
Kesembuhan ini bisa menjadi sembuh total jika pengobatan berjalan secara
sempurna, tetapi mun&n kambuh kembali jika pengobatan tidak sempurna.
Secara skematis, pola penyebaran penyakit dapat digambarkan dalam
diagram flow berikut ini :

Gambar 1 Diagram flow untuk model SEIRI

Laju perubahan S tergantung pada laju kelahirar dan kematian yang
diasumsikan sama yakni b. Sebagian populasi yang rentan (S) akan masuk
kelompok E, artinya populasi sehat mungkin akan beresiko tertular penyakit.
Proporsi ini tergantung nilai

P (koefisien pemindahan) dan total populasi N.

Banyaknya populasi kelasE tergantung pada laju kematian yakni b. Laju
perubahan ini juga dipengaruhi oleh proporsi populasi S yang terkonversi ke kelas

E, serta dipengamhi oleh P(t), yakni peluang individu masih bertahan di kelas E .
Laju perubahan I tergantung pada laju kematian b, laju kesembuhan y,
dan laju kambuh kembali a, serta adanya pengamh P(t).
Laju perubahan R tergantung pada laju kematian b. dan dipengaruhi juga
dari sebagian populasi I yang sembuh (3.Sebagian populasi yang sembuh (R)
akan masuk kembali ke kelompok I, artinya sebagian populasi sembuh mungkin
akan kanlbuh kembali.
Misalkan bahwa P(t) merupakan peluang populasi E masih tetap tinggal
di kelas exposed pada waktu t. Nilai P(t) memenuhi sifat berikut ini :

P :[O,m)+[ 0,l ] adalah tidak naik, kontinu sepotong-sepotong dengan
keterbatasan dan banyak loncatan serta memenuhi P(O')=l, limP(t)=O dengan
I-+m

m

I ~ ( u ) d z tpositif dan terbatas,
0

Dari penjelasan diagram, diperoleh model matematika yang disebut model

SEIRI berikut :
I(t) - bS(t)
S '(t) = bN - PS(t) -

N

dengan N = S(t) + E(t) + I(t) + R(t)

N total populasi manusia, b laju kelahiran yang d i a b s i k a n sama dengan laju
kematian, ,B koefisien pemindahan, a laju kambuh kembali populasi yang
sembuh, y laju kesembuhan populasi yang terinfeksi (I), S(t) populasi yang

rentan terhadap penyakit, E ( t ) populasi yang terinfeksi oleh penyakit, I ( t )
populasi yang menular, R(t) populasi yang sembuh dari penyakit, P(t) peluang
tetap bertahannya populasi di kelas exposed.
Dengan menggunakan penskalaan yaitu :

persamaan (1) menjadi :
S '(t)= b - PS(t)I(t)- bS(t)

Laju perubahan E(t) dan I(t) diperoleh sebagai turunannya terhadap waktu yakni,

Selanjutnya dirubah menjadi model umum yaitu S , I dan R ditulis :
S'(t) = b - pS(t)I(t)- bS(t)
I yt) = - ~ P S ( ( ) I ( ( ) ~ ~ ~ (( )~d' (~ +
, Pa R( ( t )( y + b)I(t)

(9)

0

R '(t)= y I ( t ) -(a + b)R(t)

Dalam tulisan ini juga akan ditarnpilkan model lain dengan beberapa asumsi
terhadap hngsi tersebut, yaitu :

3.1.1 Asumsi Peluang Tetap Tinggal di Kelas Exposed Menyebar
Eksponensial Negatif .
Individu yang berada di kelas enposed semakin lama semakin berkurang
seiring berjalannya waktu, ha1 ini disebabkan sistern kekebalan tubuh yang lemah
sehingga populasi tersebut masuk ke kelas menular (I). Peluang individu tetap
bertahan di kelas exposed diasumsikan menyebar eksponensial negatif dengan
persamaan P(t) = e-''

,&

> 0, sehingga didapatkan model seperti di bawah :

S '(t) = b - ,DS(t)I(t) - bS(t)
I'(t) =aR(t) + ~ ( -S(t)
1
- I(t) -R(t)) -(y +b)I(t)
R '(t) = yI(t) - ( a + b)R(t)

(10)

Selanjutnya E1(t)= ,DS(t)I(t) - ( E + b)E(t) didapat dari persamaan (8) .

3.1.2 Asumsi Peluang Tetap Tinggal di Kelas Exposed Merupakan Fungsi
Tangga .
Ada dua kondisi yang pertama bahwa kuinan dalam posisi tidak aktif
sampai beberapa tahun karena mampu dikontrol oleh sistem kekebalan tubuh dan
yang kedua kuman muncul ke pennukaan dari persembunyiannya dikarenakan
tubuh dalam kondisi lemah. Hal ini dijelaskankan seperti adanya loncatan, maka
dibuatlah asumsi mempakan fungsi tangga yang menggunakan waktu delay/
tundaan. Dengan persamaan :

P (t )

=

1,

{,

,

IELO,~I

dengan -r adalah waktu delay/ tundaan.

Untuk t ~ [ O , z ]
S'(t) = b - ,BS(t)I(t) - bS(t)
I'(t) =aR(t) - (y + b)I(t)
R'(t) = yI(t) - ( a + b)R(t)
E'(t) = ,DS(t)I(t) - bE(t)
Dari model (11) menggambarkan bahwa kuman tersebut masih dalam kondisi
bersembunyi dan tidak aktif, karena mampu dikontrol oleh sistem kekebalan
tubuh, ha1 ini terlihat dari laju perubahan pada E'(t)danI1(t)tidak adanya tundaan
sehingga mengakibatkan populasi tersebut hanya terinfeksi.
Untuk t > r

Model (12) menggambarkan bahwa kuman dalam kondisi sudah aktif bekeja dan
siap menyerang sistem pertahanan tubuh, ini terlihat dari laju pembahan pada
E'(t)danI'(t)memiliki

waktu tunda sehingga sebagian populasi tersebut

mengalami gejala, dan siap untuk menular.

IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Titik Tetap
Untuk menentukan titik tetap pada sistem persamaan diferensial (9) yang

. .

merupakan model asli, dzpat dican dengan menentukan

dS
dt

dl
dt

-= 0,-

dR
= 0.
dt

= 0,-

Dari hasil analisis didapat dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit
(Disease-free equilibrium-DFE) yang memuat I

=0

dan R = 0 serta titik tetap

endemik yang memuat I # 0 dan R + 0.
Titik tetap tersebut yaitu P ( S ,I , R ) = (l,O,O) yang merupakan titik tetap
bebas penyakit, dan P'(s*,I*,R') =

b
a+b
O - P Qb ( a + y + b )

merupakan titik tetap endemik dengan n = S ( { ) I ( { ) dan R -

merupakan bilangan reproduksi dasar (lihat pada lampiran I), deagan
I

Q=-r~ r fne-b " - S ) d l ~-({t) d 5
l+m

=I

- b k E (0,l)

adalah bagian yang mempertahan

0

kan kelas E, dan

a+b
adalah rata-rata lamanya kematian setiap individu
b(a+y+b)
I

di kelas I, serta

e-b"~ ( u ) d z merupakan
c
rata-rata lamanya individu

= lim
I-+=

0

tinggal di kelas E sebelum menular ataupun mati.
Selanjutnya untuk menentukan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap
endemik berdasarkan asumsi yang ada, didapat yaitu :

Asumsi 1 :
Jika peluang individu yang masuk dan masih bertahan di kelas exposed
diasumsikan menyebar eksponensial negatif maka titik tetap bebas penyakit
diambil dari persamaan (10) yaitu (1,0,0) dan titik tetap endemiknya yaitu :

RO

( a + b)
=8(&)(b(a+u+b))

, u n t u k ~ merupakan parameter dari fungsi

"
bagian yang mempertahankan kelas E.

eksponensial negatif, dan Q =

Asumsi 2 :
Jika peluang individu yang masuk d m masih bertahan di kelas E diasumsikan
sebagai fungsi tangga, maka dari persamaan (12) didapat yaitu (1,0,0) yang
merupakm titik tetap bebas penyakit, dan titik tetap endemiknya yaitu :

denganc=S(t - z)I(t - z),

=,Be-h

( a +b) , dan Q = e-br,dengan z adalah
b(a+y+b)

periode E (lihat pada lampiran 1).
Secara ringkas, perbandingan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik
dari model asli dan asumsi yang ada ditampilkan pada tabel berikut ini :

BEBAS PENYAKIT

ENDEMIK

P(S,I,R)

P*( s*, I*,R* )

b

MODEL ASLI
(1,0,0)

ASUMSI EKSPONENSlAL
NEGATIF

1 b
( 1,030 )

ASUMSI SEBAGAI
FUNGSI TANGGA

(LO, 0

b
a+b

Tabel 1 . Perbandingan titik tetap antara model asli dengan model asumsi sebagai
fungsi eksponensial negatif dan fungsi tangga.

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa baik pada model asli maupun pada model
yang menggunakan asumsi sebagai fungsi eksponensial negatif dan fbngsi tangga
memiliki titik tetap bebas penyakit yang sama, yaitu populasi total hanya terdiri
dari individu yang rentan(S), sedangkan individu pada kelas populasi lainnya
tidak ada.
4. 2 Analisis Kestabilan
4.2.1 Perilaku di Sekitar Titik Tetap P(l,O,O) pada Model Asli
Misalkan sistem persamaan (9)ditulis sebagai berikut :
f (S,I , R) = b - PS(t)I(t)- bS(t)

Dengan
melakukan pelinearan pada persarnaan (16) dan mensubsitusi titik tetap

(1,0,O)ke persamaan tersebut, diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut :

Sistem ini akan stabil jika nilai eigen pada matriks Jacobi bernilai negatif. Dengan
menyelesaikan det (11- J ) = 0 pada persamaan ( l 7 ) ,didapat :

/2+b
P
0
A+B(/Z)+y+b
0

-Y

0

-a

=O

/2+a+b

(/2+b)[(;l+B(A)+ y+b)(/l+a+b)-ay] = 0
Dari persamaan ( 1 8) dapat diketahui bahwa A, = -b . Untuk mencari

h,(/2):=h2+(a+yt2b);l+b(a+y+b)+(;l+a+b)B(;l)=0

(1 8)

4, yaitu :
(19)

Selanjutnya dengan memisalkan g = a + y + 2b, dan r = a + y + b diperoleh :

Ill2 + g l l + b r l = I l l + a + b l l ~ ( l l ) I S 1 l l + a + b / ~ ~
(20)

Ill2 + gll + brI2 _< (PQ)' Ill + a+ br

Jika pada persamaan (20) dimisalkanll=x + yi untuk x 2 0 , dengan mas kiri

F, ( x ,y ) serta mas kanan F2( x ,y) ,inaka didapat :
2

~ , ( x , y ) = 1 ; 1 ~ + g l l + b r=/y 4 + [ 2 x 2 + 2 g x + r 2 + b 2 ] y 2 + [ x+gx+brI2
2

F,(x,Y) =(pel2l(a + a + b)/2 =(PQ)'[(x+ (Y + b12 + y2 I

(21)

Dan persamaan (20) dan (21), diketahui bahwa F, ( x ,y ) S F2( x ,y). Selanjutnya
dengan asumsi bahwa
maka didapat PQ =

4 < 1,

dan bilangan reproduksi

4 = PQ

a+b
b(a+y+b)

b(a+y+b)
b(a+y+b)
&
<
. Selanjutnya didapat :
a+b
a+b

(a+ b)' 4 (x,y ) 2 [((a+ b)' {2x2+ 2gx + r2 + b2}y2+ (a + b)' (x2+ gx + br)'

+ [brx+ b(a + b)rI2
=[brI2[(x+a+b)'+ y 2 ]

2 [br]' y2

(23)

Jadi hasil pada persamaan (23) ini kontradiksi dengan persamaan (22) di atas.
Oleh karena itu berdasarkan asumsi x > 0, maka seharusnya bagian real x
kurang dari no1 ( x < 0). Sehingga DFE Stabil Asimtotik Lokal untuk R,, 1 1 .

4.2.2 Perilaku di Sekitar Titik Tetap P'(s',I*,R') Pada Model Asli

Berdasarkan persarnaan (9) pada titik tetap P', maka diperoleh matriks Jacobi
sebagai berikut :

Jika nilai eigen yang diperoleh mempunyai bilangan real negatif, maka
solusi terhadap titik tetap akan stabil. Selanjutnya dengan menerapkan
det ( AI - J ) = 0 , maka didapat :

Dengan melakukan proses seperti pada persamaan (18), untuk Ro > 1 didapat :

(;l+npi$ + b ) ( ( , I + ~ ( ; l ) + y + b ) ( A + a + b ) - q ) = 0
dengan A, =-

(25)

(np& + b ) < 0

Untuk mencari

4, dilakukan dengan cara kriteria Routh-Hdtz, yaitu :

Dengan mengambil nilai-nilai koefisien, didapat :
c, =a+2b+y+B(;1)>0

Hal ini sangat sesuai dengan criteria Routh-Hurwitz pada landasan teori
persamaan (6) sehingga menyebabkan

4,

< 0. Jadi kesimpulannya bahwa titik

keseimbangan endemik stabil.
4.2.3 Perilaku di Sekitar Titik Tetap P'(S', I', R') dengan Asumsi
Eksponensial Negatif.

Dengan melakukan pelimearan seperti pada persamaan (16) dan
menentukan matriks jacobinya pada persamaan (17), didapat :

Dari persamaan (27) dapat ditulis sebagai :

P
((A+b&)(A+ E +y +b)(A+a +b))- ((A+b&)(-y)(& -a)+( A+ a +b)(-)(&))
&

(28)

Dengan menyederhanakan persamaan di atas, didapat :

dengan nilai koefisien yakni :
a, =a+2b+e++y+bR0>O

&'(ba+b2 +yb+yb2 + b 2 A + b 3 ) - p ( a + b )

= ,541

l>O

4'

Sesuai dengan kriteria Routh-Hunvitz bahwa titik tetap akan stabil jika :

a,a2 - a, > 0 pada persamaan : A" +all"1 + a2;l"-' +...+a,

=0

a,a2 -a3 =(a+2b+s+y+b&)[&a+&b+cy+
sb'2-Ep+by+ba+

&

dengan k = 3

b2

karena kriteria di atas terpenuhi, maka disimpulkan bahwa titik tetap tersebut
stabil asimtotik global dengan

& > 1.

4.2.4

Perilaku di Sekitar Titik Tetap P'(S*,1',R') dengan Asumsi Fungsi
Tangga.

Dengan melakukan pelinearan dan untuk menentukan kestabilan seperti
pada persamaan (16)dan (17) didapat :

PS *
n + r + b - ps

*

-Y

(30)
il+a+b

Dari persamaan (30) dapat ditulis sebagai :

4(il):=i13+a,i12 +a2il+a3+(a4i12+aSil+a,)e-"' = O

(31)

Dengan nilai koefisien

a, = r + b ( l + & ) , a , =br(l+&)+02&,a, =b2r&,a4 =-,Be-"~*=-k,r
b
a, = - p e - k ~* (a+2b) = -k4(a + 2b)r, a, = -b2r, k, = -< 1
a+b

(32)

untuk r = a + y + b
Dengan mengganti il = 0 pada persamaan (31), didapat :

h,(o)=b2r(&-1)>0

(33)

Selanjutnya jika persamaan (31) diganti z = 0, maka didapat :

h,(il) =i13 +(aI +a4)i12+(a2+a,)il+a3 +a,

(34)

Untukcl=a,+a,,c2=a2+a,,c3=a,+a,,

h,(il)=i13 + cl;lZ + c2;1+ c3. Sehingga dapat digunakan Kriteria Routh- Hurwitz.

Karena semua pembuat no1 dari h(;l)rnempunyai bagian real negative untuk
z = 0, sehingga mengakibatkan persamaan tersebut akan stabil.
Misalkan ;l= io dengan w > 0, disubsitusikan ke persamaan (31 ) maka

akan menghasilkan :

Pada persamaan (35)jika y = w 2 , rnaka akan menjadi :

~(Y):=Y3+q!Y2+~2Y+4~=0

(37)

untuk :

q ! = a !2 - 2 a 2 - a 42 , q 2 = a 22 - 2 a p , + 2 a 4 a , - a , 2 , q , = a , 2 -a, 2

(38)

Dengan mensubsitusikan persamam (32) ke persamaan (38) akan menghasilkan :

q, = r 2 [ 1 - ( k 4 ) Z ] + b 2 [ 1 + & 2 ] > 0
q2 =((a+b)2&2 = b2)(k4r)Zf b 4 h 2 > 0
q3 = b4r2(4'- 1 ) > 0
Ini mengakibatkan h,(y) = 0 tidak mempunyai akar real negatif. Sehingga semua
akar dari h,(A)= 0 mempunyai bagian real negatif untuk semua z > 0 sepanjang
- . .

& > 1 . Sehingga stabil asimtotic global.
4.3

Simulasi Model
Untuk meliiat bagaimana perilaku dari kedua jenis titik tetap perlu

dilakukan dinamika tersebut dengan parameter yang sudah diketahui.

4.3.1 Nilai-nilai parameter
Model asli maupun yang menggunakan asumsi eksponensial negatif dan
asumsi fungsi tangga untuk titik tetap endemik mempunyai nilai parameter yang
sama sebagai acuan, yakni parameter b merupakan laju kelahiran diasurnsikan
sama dengan kematian, yakni 0.1, y merupakan laju kesembuhan populasi yang
terinfeksi ( I ), yakni 6/12 = 0.5 sesuai dengan masa penyembuhan paling cepat
selama 6 bulan dengan satuan waktu dalam bulan. Parameter

a

merupakan laju

kambuh populasi manusia diasumsikan sama dengan laju sembuh, yakni

a

=

6/12 = 0.5. ParameterP merupakan koefisien pemindahan antara .
populasi
. .
S
-

dengan I. Pada asumsi fungsi tangga menggunakan z yang merupakan periode

exposed yaitu 9 bulan, sehingga z= 9/12 = 0.75 ( Driessche et al. 2007).

4.3.2 Hasil Simulasi Model

Pada simulasi ini akan dilakukan untuk kedua kasus yaitu

4 1. Proporsi awal populasi yang rentan adalah S(0) = 0.9, populasi yang
menularkan penyakit I(0) = 0.1, dan populasi yang sembuh R(0) = 0.

a. Plot Pada Model Asli

Di bawah ini plot model asli dengan b
S

= 0.5,

I

a = 0.5, y

= 0.5,P = 0.6
I

(a)
(b)
(c)
Gambar 2 Proporsi populasi rentan (8,meiiular (I), dan sembuh (R) dari model
asli dengan titik tetap bebas penyakit (DICE)untuk Ro = 0.25.
Berdasarkan pada gambar 2, terlihat bahwa proporsi awal populasi rentan
( S ) adaiah 0.9. Seiring berjalamya waktu, kurva menuju nilai stabil yakni 1.

Artiiya ketika penyakit sudah tidak ada, populasi nantinya akan menjadi rentan.
Proporsi awal populasi yang menularkan penyakit ( I ) adalah 0.1, dan menuju
stabil pada nilai 0. Artinya bahwa penyakit akan punah. Proporsi awal populasi
yang sembuh ( R ) adalah 0. Ini berarti bahwa tidak akan ada lagi populasi yang
sembuh, karena penyakit tidak ada.
Untuk melihat hubungan ketiga kelompok populasi tersebut, dengan
diagram fase tiga dimensi seperti di bawah :

Gambar 3 Tipe kestabilan titik tetap bebas penyakit (DFE) dari model asli.

Dari gambar 3 tersebut, terlihat bahwa dinamika populasi akan mengarah kepada
kestabian pada satu titik maksimum.
Selanjutnya untuk mengetahui bagaimana kestiibilan di titik tetap endemik
dengan b = 0. I, a = 0.5, y = 0.5, ,5 = 0.6, dan dapat diiihat seperti di bawah :

(a>
(b)
(c)
Gambar 4 Proporsi populasi rentan (9,menular (I), dan sembuh (R) dari model
asli dengan titii tetap endemik (EE) untuk Ro = 1.37
B e r k k a n pada gambar 4, proporsi awal populasi rentan adalah 0.9. Seiring
berjalannya waktu populasi tersebut akan konvergen ke nilai 0.42. Begitu juga
pada populasi menular menuju stabil dengan konvergen ke nilai 0.23 dan pada
individu sembuh akan konvergen ke nilai 0.18.

Gambar 5 Tipe kestabilan titik tetap endemik (BE) dari model asli
b. Plot Pada Asumsi Eksponeusial Negatif

Untuk inelihat bagaimana hasil plot gambar dari model yang
menggunakan asumsi menyebar eksponensial negatif dengan b
y

= 0.5,

p

= 0.6

dan

E = 0.75

S

,dapat dilihat

I

=

0.5, a = 0.5,

gambar 4 di bawah :

r

Cb)
(4
Gambar 6 Proporsi populasi rentan (8,menular (I), dan sembuh (R) dari model
(a)

asumsi eksponensial negatifdengan titik tetap bebas penyakit (DFE)
untuk Ro = 0.48.
Pada gambar di atas terlihat bahwa adanya kemiripan dengan model asli
yaitu sama-sama memiliki nilai yang konvergen ke titik (1, 0, 0) pada masingmasing populasi yakni populasi rentan@), menular ( I ) , dan sembuh (R), tetapi
sebenamya memiliki perbedaan yaitu masing-masing populasi dari model asumsi
eksponensial negatiflebi lambat mencapai stabil.
Untuk melihat bagaimana hubungan ketiga populasi dengan menggunakan
diagram phase tiga dimensi, maka dapat diliiat pada gambar 7 di bawah :

Gambar 7 Tipe kestabilan DFE dari model asumsi eksponensial negatif
Untuk melihat hasil plot titik tetap endemik pada model asumsi
eksponensial negatif dengan

E=

0.75, b

= 0.1,

a

= 0.5,

y

= 0.5,

D
,

= 0.6,

dapat

dilihat pada gawbar di bawah :

(a)

(b)

(c)

Gambar 8 Proporsi populasi rentan (S), menular (I),dan sembuh (R) dari model
asumsi eksponensial negatif dengan EE untuk Ro = 2.89.
Berdasarkan gambar di atas dapat diketahui bahwa proporsi populasi
rentan akan menuju stabil pada nilai 0.35, populasi menular menuju stabil pada
nilai 0.31, dan populasi sembuh akan stabil pada nilai 0.26. Sehiiga dari gambar
di atas diketahui bahwa titik tetap endemik P' (S', I', R') = P0(0.35,0.31,0.26).

Gambar 9 Tipe kestabilan EE dari model asumsi eksponensial negatif.

c. Plot Pada Asumsi Fungsi Tangga
Untuk melihat kestabilan titik tetap bebas penyakit menggunakan asumsi
fungsi tangga dengan nilai b = 0.5, a = 0.5, y = 0.5,

P = 0.6, 2 = 0.75, seperti

(a)
Co)
(c)
Gambar 10 Proporsi populasi rentan (9,menular (I), dan sembuh (R) dari model
asumsi fungsi tangga dengan DFE untuk Ro = 0.55.
Selanjutnya untuk meliiat bagaimana hasil plot 3 dimensi dapat dilihat
pada gambar 11 di bawah :

Gambar 11 Tipe kestabilan DFE dari model asumsi h g s i tangga.
Untuk meliiat bagaimana kestabilan pada titik tetap endemik dengan

b=0.1, a=0.5, y=0.5, /J=0.6,r=0.75, dapat dilihat pada gambar 12 di
bawah :

Gambar 12 Proprsi populasi rentan (9,menular (I), dan sembuh (R) dari model

asumsi fungsi tangga dengan EE untuk Ro = 3.04.
Berdawkan gambar di atas terlihat bahwa proporsi populasi rentan akan
konvergen menuju stabil pada nilai 0.33, proporsi populasi menular akan stabil
menuju nilai 0.34, dan proporsi populasi sembuh akan stabil menuju nilai 0.28.
dengan titik teap endemiknya P'(s*, I * ,R') = P*(0.33,0.34,0.28).

Untuk melihat hasil plot tiga dimensi dapat dilihat pada gambar di bawah :

Gambar 13 Tipe kestabilan EE dengan asurnsi fungsi tangga.
Dari hasil simulasi pada ketiga model di atas, didapat perbandingan terhadap titik
tetap dan bilangan reproduksi yaitu :
a. Titik Tetap Bebas Penyakit ( DFE )
No

Model

1

Titik Tetap Bebas Penyakit

Bilangan

S*

I*

R*

Reproduksi ( %)

Asli

1

0

0

0.25

2

Eksponensial Negatif

1

0

0

0.48

3

Fungsi Tangga

1

0

0

0.55

Tabel 2 Perbandingan ketiga titik tetap bebas penyakit dan bilangan reproduksi.
b. Titik Tetap Endemik ( EE )
No

Model

1

Titik Tetap Endemik

Bilangan

S*

I*

R*

Reproduksi ( R,, )

Asli

0.42

0.23

0.18

1.37

2

Eksponensial Negatif

0.35

0.3 1

0.26

2.89

3

Fungsi Tangga

0.33

0.34

0.28

3.04

Tabel 3 Perbandingan ketiga titik tetap endemik dan bilangan reproduksi.

Dari tabel 2 dan 3 di atas diketahui bahwa semakin tinggi bilangan reproduksi
maka semakin cepat pula mencapai kestabilannya.
Untuk melihat hasil plot gabungan dari ketiga titik tetap seperti dibawah :
s

r

i

I .OO

0.10

0.025

0.98

0.08

0.020

0.96

0.06

0.015

0.94

0.04

0010

0.92

0.02

0.005

5 10 15 20 25 30

tidin1

5 10 15 20 25 30

t din.

5 10 15 20 25 30

Gambar 14 Plot gabungan proporsi populasi rentan ( S ) , proporsi populasi
menular ( I ), dan sembuh ( R ) dari titik tetap bebas penyakit.

Untuk melihat hasil plot tiga dimensi dapat dilihat pada gambar di bawah :

Gambar 15 Tipe kestabilan DFE dengan model gabungan,

t Ulnl

Untuk melihat bagaimana kestabilan titik tetap endemik dapat dilihat
sebagai berikut :

Gambar 16 Plot gab~mganproporsi populasi rentan ( S ), proporsi populasi
menular ( I), dan sembuh ( R ) dari titik tetap endemik.

= Asumsi Eksponensial Negatif

Untuk melihat hasil plot gabungan dari ketiga titik tetap endemik seperti dibawah
(js,r) phase plot

Gambar 17 Tipe kestabilan EE dengan model gabungan.

Dari gambar (14) pada titik tetap endemik di atas diketahui bahwa masing-masing
populasi menuju stabil. Dengan nilai parameter yang sama diberikan temyata
yang mencapai kestabilan lebih dahulu adalah model dengan asumsi fungsi
tangga, selanjutnya pada asumsi fungsi eksponensial negatif dan diikuti dengan
model asli, ha1 ini terbukti dari bilangan reproduksi untuk fungsi tangga adalah
3.04 lebih tinggi dari kedua model yang lain yaitu eksponensial negatif 2.89 dan
model asli yaitu 1.37. Jadi semakin besar bilangan reproduksi maka akan semakin
stabil populasi tersebut, artinya penyakit tersebut akan semakin cepat untuk
menjadi wabah.

V SIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa hasil analisis
yang telah dilakukan terhadap model asli dan asurnsi terhadap model penyakit
dengan periode latent dan relupe

diperoleh dua titik tetap yaitu

P(S, I,R) = (1,0,0) dan P'(S', I., R') . Analisis kestabilan titik tetap tersebut
bergantung pada nilai

4 , yakni bilangan reproduksi dasar. J'ia 4 < 1,

titik tetap P bersifat stabil. Pada titik tetap P' bersifat stabil jika
Selanjutnya dari hasil simulasi untuk kasus

4 > 1,

rnaka

4 >1

diperoleh informasi

tentang pengaruh kelahii-an(b), koefisien pemindahan(P), infeksi kembali
penyakit tersebut(a), dan laju kesembuhan(y) sebagai berikut :
1

Semakin besar tingkat kelahiran maka proporsi populasi rentan semakin
banyaklmeningkat, sedangkan proporsi populasi menular dan sembuh akan
semakin berkurang .

2 Semakin besar tingkat kontakkoefisien pemindahm maka proporsi

populasi rentan semakin berkurang, sedangkan proporsi populasi menular
dan sembuh semakin meningkat.
3 Semakin besar tingkat kambuh kembali maka proporsi populasi rentan
akan semakii berkurang dan proporsi menular dan sembuh akan semakin
meningkat.

4 Semakii besar faktor kesembuhan maka proporsi populasi rentan akan
semakin meningkat dan proporsi populasi menular dan sembuh akan
semakii berkurang.
5

Semakin besar bilangan reproduksi maka masing-masing populasi
semakin cepat mencapai kestabilannya.

5.2 Saran

Dalam penulisan thesis ini pengamh obat dan vaksinasi diabaikan karena
itu penelitian lebih lanjut dapat dilakukan dengan memperhatikan pengaruh
tersebut.

DAFTAR PUSTAKA
Borelli RL, Coleman CS. 1998. Dzfferential Equations. USA: John Wiley and
Sons, Inc.
Braun M. 1983. D~fferentialEquations and Their Applications. New York :
Springer-Verlag.
Driessche PVD, Watmough J. 2005. Reproduction Numbers and Sub-Threshold
Endemic Equilibria for Compartemental Models of Disease Transmission.

Math. Biosci : 1-21.
Driessche PVD, Wang L, Zou X. 2007. Modeling Diseases with Latency and
Relapse. Mathematical Biosciences and Engineering 4: 205-219.
Driessche PVD, Zou X. 2007. Modelmg Relapse in Infectious Diseases.

Mathematical Biosciences 207: 89-103.
Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York: Random
House.
Feng Z, Castilo-Chavez C, Huang W. 1999. On the Role Variable Latent Periods
in Mathematical Models for TB. IMA Preprint Series 1612: 1-23.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Prochesses.
America: Pearson Education.

Murray JD. 1989. Mathematical Biology. New York: Springer-Verlag.
Tu PNV. 1994. Dynamical Systems. An Introduction with Applications in

Economics and Biology. New York: Springer-Verlag.
Vershult F. 1990. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems.
Berlin: Springer-Verlag.

Lampiran ( 1 ) Mencari Titik Tetap dan Bilangan Reproduksi dari Model Asli

Dari persamaan (9) pada model asli diketahui :

Untuk mencari titik tetap dari model tersebut dapat dilakukan dengan cara
menyelesaikan S1(r)= 0 , I '(t)= 0 ,Rt(t)= 0 .
Sehingga persamaan di atas menjadi :

I

dengan w = - /~~(