Analisis Interaksi Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Berdasarkan Pendekatan

PM-220

3. Analisis Data Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Berdasarkan Kelompok

Kemampuan Matematis Siswa Berikut ini disajikan hasil uji perbedaan kemampuan pemecahan masalah matematis siswa antara siswa yang mendapat pembelajaran dengan PMR dan PMB berdasarkan kelompok kemampuan matematis siswa tinggi, sedang, rendah. Tabel 2 Hasil Uji-t Data Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Berdasarkan Pendekatan Pembelajaran Kelompok Kemampuan Matematis Siswa Pendekatan Pembelajaran N-Gain Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Perb. Rata-rata t p H Tinggi PMR dengan PMB 0,725 0,466 2,683 0,012 Tolak Sedang PMR dengan PMB 0,679 0,438 6,022 0,000 Tolak Rendah PMR dengan PMB 0,434 0,294 1,730 0,101 Terima Dari Tabel 2 di atas dapat dilihat bahwa hasil perhitungan nilai t untuk kelompok kemampuan matematis siswa tinggi, sedang, rendah berturut-turut sebesar 2,683dan 6,022 dengan nilai p masing- masing sebesar 0,012; 0,000. Nilai p ini lebih kecil dari taraf signifikan 0,05, sehingga dapat disimpulkan bahwa hipotesi nol yang menyatakan tidak terdapat perbedaan peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis antar pendekatan pembelajaran yang digunakan berdasarkan kelompok kemampuan matematis siswa ditolak. Dengan kata lain pendekatan PMR secara signifikan lebih baik dalam peningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematis siswa daripada PMB bagi siswa kelompok kemampuan matematis siswa tinggi dan sedang. Sedangkan bagi siswa berkemampuan matematis rendah diperoleh nilai t sebesar 1,730 dengan nilai p sebesar 0,101. Nilai p ini lebih besar dari taraf signifikan 0,05, sehingga dapat disimpulkan bahwa hipotesis nol yang menyatakan tidak terdapat perbedaan peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis antar pendekatan pembelajaran yang digunakan. Dengan kata lain kemampuan pemecahan masalah matematis siswa berkemampuan matematis rendah yang mendapat pembelajaran dengan PMR tidak berbeda secara signifikan daripada siswa berkemampuan matematis yang sama tetapi mendapat pembelajaran berdasarkan pendekatan matematika secara biasa PMB.

4. Analisis Interaksi Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Berdasarkan Pendekatan

Pembelajaran dan Kelompok Kemampuan Matematis Tabel 3 Rangkuman Uji ANOVA Dua Jalur tentang Interaksi Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Berdasarkan Pendekatan Pembelajaran dan Kelompok Kemampuan Matematis Siswa Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: PMM 2.919 a 5 .584 12.334 .000 25.485 1 25.485 538.376 .000 1.169 1 1.169 24.696 .000 .733 2 .367 7.744 .001 .041 2 .020 .431 .650 7.479 158 .047 56.773 164 10.399 163 Source Corrected Model Intercept Pembelajaran Kemampuan_Siswa Pembelajaran Kemampuan_Siswa Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. R Squared = .281 Adjusted R Squared = .258 a. PM-221 Dari Tabel 3 di atas terlihat bahwa nilai F untuk interaksi pembelajaran dan kelompok kemampuan matematis siswa sebesar 0,431 dengan nilai signifikansi sebesar 0,650. Nilai signifikansi ini lebih besar dari taraf signifikan 0,05, sehingga dapat disimpulkan bahwa hipotesis nol yang menyatakan tidak ada interaksi antara pendekatan pembelajaran PMR, PMB dengan kelompok kemampuan matematis siswa tinggi, sedang, rendah dapat diterima. Ini berarti bahwa selisih skor rata-rata kemampuan pemecahan masalah matematis siswa berkemampuan matematis tinggi, sedang, dan rendah yang mendapat pembelajaran melalui PMR tidak berbeda secara signifikan dengan siswa yang mendapat pembelajaran melalui PMB. Secara grafik, interaksi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3 berikut. Gambar 3 Interaksi Pendekatan Pembelajaran dengan Kelompok Kemampuan Matematis Siswa terhadap Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Berdasarkan Gambar 3 di atas, dapat dijelaskan bahwa pembelajaran dengan PMR sesuai untuk semua kelompok kemampuan matematis siswa tinggi, sedang, dan rendah dalam peningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematis. Hal ini dapat dilihat dari rerata skor kemampuan pemecahan masalah matematis siswa yang mendapat pembelajaran dengan PMR lebih tinggi daripada siswa yang mendapat pembelajaran dengan PMB. Dari gambar di atas juga mengindikasikan bahwa siswa dengan kemampuan matematis tinggi memperoleh manfaat terbesar dalam pembelajaran berdasarkan PMR daripada siswa dengan kemampuan matematis sedang dan rendah. Hal ini dapat ditunjukkan melalui selisih rerata skor N-Gain kemampuan pemecahan masalah matematis antara siswa yang mendapat pembelajaran melalui PMR dan PMB berturut-turut siswa berkemampuan tinggi 0,259, sedang 0,241, rendah 0,152. Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa hasil perhitungan nilai F untuk pendekatan pembelajaran sebesar 24,696, dengan taraf signifikansi sebesar 0,000. Nilai signifikansi ini lebih kecil dari taraf signifikan 0,05, sehingga dapat disimpulkan bahwa hipotesis nol yang menyatakan tidak terdapat perbedaan peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis berdasarkan pendekatan pembelajaran ditolak. Dengan kata lain terdapat perbedaan peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis yang signifikan antar siswa yang memperoleh pendekatan pembelajaran berbeda. KESIMPULAN Berdasarkan hasil analisis, temuan-temuan yang diperoleh dalam penelitian ini, maka dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut: 1. Peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis siswa yang mendapat pembelajaran dengan pendekatan PMR lebih baik daripada siswa yang mendapat pembelajaran dengan PMB ditinjau dari keseluruhan siswa? 2. Peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis siswa yang mendapat pembelajaran dengan pendekatan PMR lebih baik daripada siswa yang mendapat pembelajaran dengan PMB ditinjau dari kelompok kemampuan matematis siswa tinnggi, sedang, rendah. PM-222 3. Tidak terdapat interaksi antara pendekatan pembelajaran PMR dan PMB dengan kelompok kemampuan matematis siswa tinggi, sedang, rendah terhadap kemampuan pemecahan masalah matematis. 4. Aktivitas siswa dalam proses pembelajaran dengan PMR menunjukkan bahwa siswa sangat aktif, yaitu hingga mencapai rata-rata persentase 82,76. 5. Aktivitas siswa yang ditunjukkan dalam menyelesaikan soal kemampuan pemecahan masalah matematis menjelaskan bahwa kelompok siswa yang pembelajaran dengan pendekatan PMR lebih baik daripada kelompok siswa yang pembelajaran dengan pendekatan PMB, karena kelompok siswa yang pembelajaran dengan pendekatan PMR penguasaan siswa terhadap indikator memahami masalah, membuat rencana penyelesaian, dan memeriksa kembali langkah-langkah pengerjaan dan hasil yang diperoleh, sangat baik, tetapi penguasaan siswa terhadap indikator melaksanakan penyelesaian melakukan perhitungan masih kurang. 6. Respon atau tanggapan siswa terhadap pembelajaran dengan pendekatan PMR yang berkaitan dengan penerapan pendekatan yang digunakan, materi pembelajaran, komponen-komponen perangkat pembelajarannya, kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa di kelas aktivitas siswa, dan guru serta alat peraga pembelajaran yang digunakan, umumnya siswa memberikan respon positif, mereka merasa senang dengan pelaksanaan pembelajaran yang dialami. DAFTAR PUSTAKA Branca, N. A 1980. “Problem Solving as Agoal, Process, and Basic Skill”, dalam Krulik, S. dan Reys, R. E. Problem Solving in School Mathematics . NCTM. Cooper, B. dan Harries, T. 2002. Children’s Responses To Contrasting Realistic Mathematics Problems: Just How Realistic Are Children Ready To Be? . Educational Studies in Mathematics, Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. Darhim 2004. Pengaruh Pembelajaran Matematika Kontekstual terhadap Hasil Belajar dan Sikap Siswa Sekolah Dasar Kelas Awal dalam Matematika . Disertasi Doktor pada PPS UPI.: Tidak Diterbitkan. Heckler, Andrew F. 2004. Measuring Student Learning by Pre and Post testing: absolute Gain vs normalized Gain. American Journal of Physics . Hadi, S. 2005. Pendidikan Matematika Realistik dan Implementasinya . Banjarmasin: Tulip. Herman, T. 2006. Pembelajaran Berbasis Masalah untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematis Tingkat Tinggi Siswa Sekolah Menengah Pertama SMP . Disertasi Doktor pada PPS UPI.: Tidak Diterbitkan. Hake, R. R. 1999. Analysing ChangeGain Scores Woodland Hills Dept. of Physics . Indiana University [Tersedia. online. http:physic.indiana .edusdianalysing.Change-Gain pdf.[19maret2009]. Kuoba, V.L. at al . 1988. Results of the Fourth NAEP Assessment of Mathematics. Aritmetics Teacher , 35, 14-19. Lambertus 2010. Peningkatan Kemampuan Berpikir Kreatif dan Pemecahan Masalah Matematika Siswa SD Melalui Pendekatan Matematika Realistik. Disertasi Doktor pada PPs UPI: tidak dipublikasikan PM-223 Lew, H. C. 2004. Mathematics Education in Korea After TIMSS . Seoul: Korean National University of Education. Novack, J. D. 1979. A Theory of Education. I Hiaca Cornell University Press. Polya, G. 1985. How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Methods. New Jersey : Pearson Education, Inc. Swoboda, E. and Tocki, J. 2002. How to Prepare Prospective Teachers to Teach Mathematics – Some Remarks . [Online]. Tersedia: http:www.math.uoc.gr~ictm2authors.html [15 Nopember 2004]. PM-224 Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 M-1 PENYELESAIAN INVERS PROBLEM PADA REAKSI DIFUSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE OPTIMASI Elly Musta’adah 1 , Erna Apriliani 2 1 Mahasiswa Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2 Dosen Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya elly_mustaadahyahoo.co.id Abstrak Invers problem banyak muncul pada bidang teknologi dan ilmu pengetahuan. Pada dasarnya, invers problem menggunakan pengukuran nyata dari parameter yang diamati untuk menyimpulkan nilai dari suatu parameter model. Invers problem dalam hal ini, merekonstruksi dua koefisien independent bebas dalam sistem reaksi difusi dari pengukuran akhir, dengan dua persamaan. Model matematika reaksi difusi yang merupakan persamaan parabolik akan ditransformasikan menjadi masalah optimasi dengan menggunakan kerangka kontrol optimal. Minimizer untuk fungsi kontrol ditetapkan. Penelitian ini didasarkan pada studi literatur yang meliputi kajian eksistensi. Kata kunci: Invers Problem, Kontrol Optimal, Reaksi Difusi PENDAHULUAN Pada bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, invers problem banyak muncul, misalnya pada dinamika populasi, pencitraan optik medis, penginderaan jauh dan ilmu pertahanan K.Sakhtivel dkk, 2010. Berbagai metode telah dipergunakan untuk menyelesaikan masalah invers problem. Dalam masalah ekologi, sebagai contoh, sistem reaksi difusi. Penelitian telah dilakukan untuk sistem reaksi difusi dengan satu obyek saja. Pada penelitian ini akan disajikan dua obyek yang mengalami reaksi kimia. Misalkan, ada spesies yang berbeda berinteraksi satu sama lain dan berinteraksi dalam reaksi kimia. Model matematika untuk sistem reaksi difusi di peroleh dari direct problem masalah langsung. Akan tetapi terdapat beberapa parameter fisik dari persamaan tersebut yang tidak diketahui. Oleh karena itu perlu diketahui parameter fisik dari model matematika tersebut yang nantinya dapat menjadi sebuah produk. Invers problem digunakan untuk menentukan koefisien yang tidak diketahui dari suatu model matematika. Dalam hal ini, akan digunakan metode optimasi. Yaitu dengan merubah masalah tertentu kedalam kontrol optimum dengan menggunakan teori optimasi. Berdasarkan hal tersebut, maka yang ingin ditunjukkan adalah : “apakah metode optimasi sesuai untuk masalah invers problem pada sistem reaksi difusi?” Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan yang ingin dicapai adalah menunjukkan bahwa metode optimasi tersebut sesuai untuk masalah invers problem pada sistem reaksi difusi dengan menguji eksistensinya, dalam menentukan invers problem dari dua koefisien dan secara bersamaan untuk sistem reaksi difusi dua persamaan yang berhubungan dengan penyelesaian sistem pada waktu akhir. PEMBAHASAN Dalam masalah ekologi, ada dua spesies berbeda yang saling berinteraksi dalam reaksi kimia, dengan zat kimia yang berbeda dan menghasilkan zat yang baru. Pada model masalah seperti ini digunakan persamaan differensial. Sebagai contoh, sistem reaksi difusi bisa diturunkan pada model ruang dan waktu. Dalam hal ini, dimisalkan , dan , adalah fungsi kepadatan populasi dari dua spesies atau konsentrasi dari dua bahan kimia. Sistem reaksi difusi dengan kondisi batas Dirichlet nol ditulis sebagai berikut: K.Sakhtivel dkk, 2010 M-2 , , , , , 1 Dengan kondisi batas , , , , , , = , , , , Interval , dan adalah saat sembarang. Kondisi awal dan , hanya tergantung pada , dan merupakan paramater yang tidak diketahui dan koefisien , diasumsikan smooth dan tidak tergantung pada waktu t. Misal, diasumsikan ada kemungkinan untuk memberikan tambahan temperatur suhu untuk masalah invers panas: sebagai contoh, tambahan data , , , pada saat akhir suhu diketahui. , = , , = , 2 Berdasarkan error estimasi dan , yang ingin dicari adalah untuk memperoleh stabilitas perkiraan estimasi untuk menentukan invers problem dari dua koefisien dan secara bersamaan dalam sistem reaksi difusi dua persamaan yang berhubungan dengan penyelesaian sistem pada waktu akhir. Misalkan , merupakan persamaan estimasi untuk sistem reaksi difusi, dituliskan sebagai berikut , , ̃ , , 3 Dengan kondisi batas , , , , , , , , , , Misalkan didefinisikan , , , dan ̃. Dengan melakukan pengurangan pada 3 dari 1 ̃ ̃ Sehingga dihasilkan , , , , 4 Dengan syarat , , , , , , , , , , , , , , Permasalahan yang muncul selanjutnya adalah bagaimana meminimalkan selisih koefisien yang sebenarnya, dengan koefisien yang diestimasi, . Untuk menentukan koefisien dan pada sistem reaksi difusi tersebut, digunakan kerangka kontrol optimal. Dengan merubah masalah reaksi difusi kedalam masalah kontrol optimal. Transformasi Kontrol Optimal Pada bagian ini, masalah reaksi difusi diubah kedalam masalah kontrol optimal. Dalam kontrol optimal, istilah optimal seringkali merujuk pada minimal, misal meminimalkan kesalahan, waktu, dan lain-lain. Dalam hal ini, yang akan diminimalkan adalah selisih koefisien dari persamaan sistem reaksi difusi. Untuk , diasumsikan koefisien , , , dan data awal , memenuhi , , , , , dan , , Dengan , memenuhi kondisi batas Dirichlet homogen. Didefinisikan suatu himpunan = , : , , , 5 Dan persoalan kontrol optimum sebagai berikut: Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 M-3 akan ditentukan , yang memenuhi , min , , 6 Dengan , | , ; | | , ; | | | | | | , ; | | , ; | | | | | 7 , ; dan , ; merupakan penyelesaian dari persamaan 1 untuk koefisien tertentu , yang diberikan. Sedangkan konstanta , dan , diberikan dan adalah parameter regularisasi. Untuk menyatakan bahwa penyelesaian dari sistem kontrol tersebut ada, perlu dikaji eksistensi dari fungsi kontrol tersebut. Eksistensi Terlebih dahulu akan dikaji eksistensi untuk penyelesaian masalah kontrol optimal. Pada paper Sakhtivel dkk. 2010, terdapat teorema untuk menunjukkan eksistensi dari penyelesaian tersebut. Teorema 2.2.1 Jika , merupakan penyelesaian untuk sistem 1 maka ada suatu nilai minimizer , sedemikian hingga , min , , Bukti. Dari definisi , , maka fungsi , adalah nonnegatif positif pada batas bawah terbesar. Misal , , , menjadi barisan yang meminimalkan , sebagai contoh, inf , , , inf , , , untuk , , … Jika n ∞ Misal , , ini menunjukkan bahwa + Dengan konstan tidak tergantung n. Kemudian norm Sobolev untuk , menunjukkan + Demikian, dengan eksistensi penyelesaian klasik untuk persamaan parabola, mempunyai , + , , Untuk sebarang , didapatkan , + , Kemudian ada sub barisan dari , , , , dinotasikan dengan , , , , sehingga , , secara keseluruhan uniformly pada , , uniformly pada , , . Karena itu mengganti , , , pada 1 dengan , , , sampai dengan batas atas, tampak bahwa , , , memenuhi sistem 1. Sehingga diperoleh , lim inf , = min , , Karena itu , = min , , Jadi , , adalah penyelesaian optimal dari permasalahan kontrol optimal 5, 6, dan 7. Syarat Perlu Necessary Condition Terdapat syarat perlu untuk kondisi optimal yang harus dipenuhi oleh masing-masing kontrol optimal , . Misalkan , merupakan penyelesaian dari sistem adjoint yang berhubungan dengan persamaan 1 dari bentuk M-4 , , , , , , , , , , , , , , , , 8 Dengan , nilai penyelesaian untuk sistem 1 pada waktu akhir Teorema 2.3.1 Misal , menjadi penyelesaian dari permasalahan kontrol optimal 6. maka terdapat satu himpunan fungsi , , , ; , yang memenuhi + · · 9 Untuk sebarang , Bukti. Untuk sebarang , dan , Dimisalkan = dan = Kemudian ada penyelesaian , dari sistem 1 dengan koefisien dan memenuhi = , = | | | | + | | | | 10 Dengan = , ; dan = , ; . Turunan Fréchet dari , diperoleh = + · · Dengan , adalah penyelesaian optimal, sehingga 11 Jika dimisalkan , = , , kemudian , memenuhi sistem berikut dengan koefisien , , , . , , , , Misal | dan | , terlihat bahwa , memenuhi sistem berikut , , , , 12 Dengan | dan | . Dari bentuk 11, akan ditunjukkan bahwa , ; , , ; , + · · Dari persamaan bentuk 8 diperoleh , , , , + · · 13 Misalkan , adalah penyelesaian dari persamaan 8 dan dikalikan dengan , sehingga diperoleh 0 = = | = , , Akhirnya diperoleh bentuk persamaan berikut , , = Berdasarkan persamaan 12 maka persamaan diatas menjadi , , 14 Dan dengan cara yang sama, didapatkan bentuk persamaan 8b sebagai berikut , , 15 Dengan mensubstitusi persamaan 14 dan 15 ke persamaan 13, maka diperoleh + · · Setelah syarat perlu untuk kondisi optimal dikaji, maka perlu dikaji pula stabilitas hasil estimasi dari permasalahan kontrol optimal. Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 M-5 Kestabilan Hasil Estimasi Pada bagian ini, akan dikaji stabilitas estimasi untuk invers problem dari mendapatkan kembali dua koefisien penghalus smooth dan pada sistem parabolik yang telah diberikan. Permasalahan kontrol optimal ditetapkan pada bagian sebelumnya akan digunakan untuk membuktikan stabilitas estimasi. Dalam paper K. Sakhtivel, dkk.2010, terdapat lemma yang digunakan untuk menentukan kestabilan hasil estimasi. Lemma 2.4.1. Misal , menjadi penyelesaian pada persamaan 4, maka diperoleh estimasi berikut: max | | | | max | | | | + max | | | | 16 Dengan nilai konstan = max | | max | | Bukti. Persamaan 4 dikalikan dengan U dan mengintegralkan untuk mendapatkan | | | | Misal, koefisien = dan menerapkan ketidaksamaan Cauchy, maka diperoleh | | | | | | max | | | | max | | | | Dengan cara yang sama dilakukan juga pada persamaan 4b. Dengan menggabungkan dua estimasi tersebut, maka diperoleh max | | | | max | | | | ini mengikuti max | | | | max | | | | Dengan mengintegralkan dari sampai , maka dihasilkan max | | | | max | | | | Dengan cara yang sama, berlaku untuk persamaa adjoint nya. Lemma 2.4.2 Misal , menjadi penyelesaian dari persamaan 1. Maka diperoleh max | | | | 17 Bukti. Dengan mengalikan persamaan 1 dengan dan dan mengintegralkan , diperoleh | | | | max | | max | | Dengan memisalkan dan , diperoleh Dengan Terdapat teorema yang digunakan untuk membuktikan kestabilan hasil estimasi. M-6 Teorema 2.4.1. Misal , dan , berturut-turut merupakan penyelesaian untuk sistem 1 dan 4. Misalkan ada sebuah titik , sedemikian hingga, dan ̃ . Kemudia ada saat tertentu pada waktu sedemikian hingga, untuk ada konstanta , tidak bergantung pada dan , yang memenuhi estimasi berikut max | | max | ̃| | | | | 18 Dengan konstanta = max| | max | | . Bukti. Misal , ̃ pada persamaan 9 memiliki ̃ + · · ̃ 19 Misal , ketika , ̃, juga memperoleh ̃ + · ̃ · ̃ 20 Dengan , , , adalah penyelesaian untuk sistem 1 dengan koefisien , , , , , , ̃, secara berturut-turut dan , , , adalah penyelesaian yang sesuai sistem adjoint 6. adapun dari 19 dan 20, didapatkan | | | ̃ | + 21 Penerapan ketidaksamaan Cauchy pada tiap integral sisi kanan, diperoleh | | | | max | | | | | | max | | | | | | | | | | | | | | 22 Dari Lemma 2.4.1 dapat dituliskan sebagai berikut | | | | | | | | max | | | | | | max | | | | | | | | | | 23 Tambahan, dari Lemma 2.4.2, ada suatu konstanta sedemikian hingga | | | | dan | | | | 24 Dengan memasukkan = kedalam perhitungan dan menerapkan pada ketidaksamaan Hölder, didapatkan | | = | | Sehingga max | | , 25 Mengkombinasikan estimasi terdahulu pada 22, didapatkan max | | + max | | max | | max | | + exp | | | | Dengan konstanta = exp 4 Γ Memilih sedemikian hingga T , pembuktian dapat diselesaikan. Dari teorema 2.4.1 diketahui bahwa jika pengukuran akhir dari sistem 1 dan 3 sama, yaitu , = , dan , = , , maka data dan bisa ditentukan secara khusus, bahwa dan ̃ pada , untuk beberapa yang kecil. Dari 22 – 25, diperoleh | | | | T | | | | Dengan memilih sedemikian hingga T , bisa disimpulkan bahwa | | | | Dengan mengasumsikan = = dalam perhitungan, dapat disimpulkan bahwa dan ̃ untuk semua Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 M-7 KESIMPULAN Metode optimasi dengan menggunakan kerangka kontrol optimal dapat digunakan untuk menyelesaikan invers problem pada sistem reaksi difusi dengan syarat batas ditentukan. Terdapat eksistensi dari penyelesaian dari permasalahan kontrol optimalnya. Dan kestabilan hasil estimasi dapat diperoleh dengan menggunakan pembuktian eksistensi dari penyelesaian kontrol optimal, sehingga dari hasil estimasi dan pengukuran sebenarnya dapat disimpulkan bahwa dan ̃ untuk semua Diharapkan ada penerapan lebih lanjut pada bidang teknologi maupun ilmu pengetahuan. DAFTAR PUSTAKA Chen. Qun, Liu. Jijun, 2005, “Solving An Inverse Parabolic Problem By Optimization From Measurement Data”, Computational And Applied Mathematics, No. 193, 183 – 203. Sakhtivel. K, Gnanavel. S, Barani Balan. N, Balachandran. K, 2010, “Inverse Problem For The Reaction Diffusion System by Optimization Method”, Apllied Mathematical Modelling, No. 35, 571 – 579. Tarantola, Albert. 2005, “Invers Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation”, Society For Industrialand Aplied Mathematic, Philadelphia. Yang. Liu, Deng. Zui-Chang, Yu. Jian-Ning, 2007, “An Inverse Problem of Identifying the Coefficient of Parabolic Equation”, Apllied Mathematical Modelling, No. 32, 1984 – 1995 Yang. Liu, Deng. Zui-Chang, Yu. Jian-Ning, dan Luo. Guan-Wei, 2009, “Optimization Method For The Inverse Problem Of Reconstructing The Source Term In A Parabolic Equation”, Mathematics And Computers In Simulation, No.80, 314 – 326. M-8 Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 M - 9 SKEMA AKAR KUADRAT DALAM UNSCENTED KALMAN FILTER UNTUK MENDETEKSI KERAK PADA ALAT PENUKAR PANAS

M. Tholib