2.1.2 Operasi Pada Matriks
Terdapat beberapa operasi aritmatika pada matriks seperti:
1. Perkalian Matriks. Perkalian matriks A dengan matriks B ditulis A
• B ada hasilnya, jika banyak kolom matriks A matriks yang kiri sama dengan
banyak baris matriks B matriks yang kanan. Mengalikan tiap elemen pada baris matriks sebelah kiri dengan kolom matriks sebelah kanan, lalu hasilnya
dijumlahkan. A
• B = a
b c
d
p
q
= ap bq
cp dq
+
+
2. Invers matriks. Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi dan
mempunyai ordo yang sama, serta berlaku hubungan: A • B = B • A = I
Maka B adalah invers A dan A adalah invers B A dan B saling invers Jika matriks A =
a b
c d
dengan det A = ad
− bc maka invers dari matriks
A ditentukan oleh: A
−1
1 d
b c
a ad
bc −
− −
= dengan syarat bahwa:
det
A = ad − bc ≠ 0
Sedangkan untuk perhitungan invers dari matriks berukuran 3 × 3 adalah
sebagai berikut: Untuk itu maka langkah pertama adalah mencari nilai determinan untuk
matriks 3 × 3 di atas terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Sarrus.
Det K
=
11 12
13 21
22 23
31 32
33
K K
K K
K K
K K
K
= K
11
K
22
K
33
+ K
12
K
23
K
31
+ K
13
K
21
K
32
− K
31
K
22
K
13
− K
32
K
23
K
11
− K
33
K
21
K
12
Untuk matriks 4 x 4 maka perhitungannya adalah:
Det K =
11 12
13 14
21 22
23 24
31 32
33 34
41 42
43 44
K K
K K
K K
K K
K K
K K
K K
K K
Universitas Sumatera Utara
Det K = K
11
Determinan3x3 K
22
, K
23
, K
24
, K
32
, K
33
, K
34
, K
42
, K
43
, K
44
– K
12
Determinan3x3 K
21
, K
23
, K
24
, K
31
, K
33
, K
34
, K
41
, K
43
, K
44
+ K
13
Determinan3x3 K
21
, K
22
, K
24
, K
31
, K
32
, K
34
, K
41
, K
42
, K
44
- K
14
Determinan3x3 K
21
, K
22
, K
23
, K
31
, K
32
, K
33
, K
41
, K
42
, K
43
Jika elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A itu dihapuskan maka akan diperoleh matriks persegi berordo 2. Determinan dari matriks
persegi berordo 2 itu disebut minor dari determinan matriks A, dilambangkan dengan |M
ij
|. Minor dari determinan matriks A sering disebut sebagai minor a
ij
. Sebagai contoh jika baris pertama dan kolom pertama dari matriks A dihapuskan:
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a
Baris yang dihapuskan
Kolom yang dihapuskan
Sehingga
22 23
32 33
a a
a a
sehingga minornya | M
11
| =
22 23
32 33
a a
a a
dan M
11
disebut dengan minor a
11
. Jika | M
ij
| adalah minor a
ij
dari matriks A, maka bentuk −1
i+j
ij ij
α 1 | M |
i j +
= −
| M
ij
| disebut kofaktor dari a
ij
. Kofaktor dari a
ij
dilambangkan dengan α
ij
. Jadi, kofaktor a
ij
dapat ditentukan dengan rumus:
. Sebagai contoh: Kofaktor dari a
11
adalah α
11
= −1
1+1
|M
11
| = + |M
11
| Kofaktor dari a
12
adalah α
12
= −1
1+2
|M
12
| = − |M
12
| Kofaktor dari a
13
adalah α
13
= −1
1+3
|M
13
| = + |M
13
| Kofaktor dari a
21
adalah α
21
= −1
2+1
|M
21
| = − |M
21
| Kofaktor dari a
22
adalah α
22
= −1
2+2
|M
22
| = + |M
22
| Kofaktor dari a
23
adalah α
23
= −1
2+3
|M
23
| = − |M
23
| Kofaktor dari a
31
adalah α
31
= −1
3+1
|M
31
| = + |M
31
| Kofaktor dari a
32
adalah α
32
= −1
3+2
|M
32
| = − |M
32
| Kofaktor dari a
33
adalah α
33 =
−1
3+3
|M
33
| = + |M
33
|
Universitas Sumatera Utara
Sedangkan untuk adjoin misalkan A adalah matriks persegi berordo 3 dalam
bentuk:
11 12
13 21
22 23
31 32
33
A= a
a a
a a
a a
a a
dengan α
ij
adalah kofaktor dari a
ij
maka adjoin matriks
A disingkat: adj A ditentukan oleh: adj A =
11 21
31 12
22 32
13 23
33
α α
α α
α α
α α
α
Untuk mencari invers dari matriks ini maka digunakan persamaan berikut K
−1
1 det
adj K K
= .
2
2.2 Pengertian Citra
Kategori