Seminar Nasional Pendidikan Mat emat ika Sur akar t a, 15 Mei 2013
144
Definisi 1.10 Diketahui E ruang Banach,
⊆ tertutup, konveks dan ⊆ terbuka dengan
∈ . Jika pemetaan
:
⟶ dikatakan memenuhi kondisi Monch Monch’s condition jika untuk setiap
⊆ terbilang countable dan
⊆ ∪
{ }
berakibat kompak.
2. Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Nonself Condensing
Terlebih dahulu diberikan teorema titik tetap Sadovskii berikut ini.
Teorema 2.1 Diberikan ruang Banach dengan
⊆ konveks, tertutup dan ∈ . Jika pemetaan ∶ ⟶ kontinu dan condensing dengan
terbatas, maka mempunyai titik tetap di C.
Dengan menggunakan Teorema 2.1, dibuktikan teorema titik tetap untuk pemetaan nonself condensing.
Teorema 2.2 Diberikan ruang Banach,
⊆ tertutup dan konveks, ⊂ terbuka dan
∈ . Jika pemetaan
:
⟶ condensing dan kontinu dengan terbatas dan
= p, maka mempunyai titik tetap di . Bukti. Didefinisikan pemetaan
∶ ⟶ dengan rumus
= untuk
∈
untuk
∈
\ .
Karena terbuka,
kontinu pada dan = p, maka
∶ ⟶ kontinu. Jelas bahwa
terbatas di sebab
terbatas di . Selanjutnya
ditunjukkan pemetaan condensing. Diambil sebarang
⊆ terbatas dengan , maka
⊆ ∩
∪
{ }
dan ≤
∩ ∪
{ }
≤
, { } = .
.
Oleh karena itu pemetaan condensing. Berdasarkan Teorema 2.1, terdapat
∈ dengan
=
. Karena
di
yang terbuka, maka ∈ dan oleh
karena itu
=
. Terbukti mempunyai titik tetap di . ■
3. Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Nonself Kompak dan Pemetaan Nonself Kontraksi
Untuk membuktikan teorema titik tetap untuk pemetaan nonself kompak dan kontinu diperlukan lemma Urysohn, lemma Mazur dan teorema titik tetap
Schauder. Dimulai dengan lemma Urysohn berikut ini.
Lemma 3.1 Diberikan E ruang bernorma dan
,
⊆ tak kosong. Jika A dan B tertutup dan saling asing maka terdapat pemetaan kontinu
∶ ⟶
[ 0,1]
dengan sifat
= {1}
dan
= {0}
. Selanjutnya diberikan lemma Mazur dengan bukti alternatif.
Seminar Nasional Pendidikan Mat emat ika Sur akar t a, 15 Mei 2013
145
Lemma 3.2 Diberikan ruang Banach dan
⊆ . Jika kompak atau kompak relatif maka
kompak. Bukti. Karena
kompak atau kompak relatif, maka
= = 0
. Terbukti
kompak. ■
Diberikan teorema teorema titik tetap Schauder berikut ini.
Teorema 3.3 Diberikan E ruang bernorma dengan
⊆ tertutup dan konveks. Jika pemetaan
∶ ⟶ kompak dan kontinu, maka mempunyai paling sedikit memiliki satu titik tetap di .
Dengan menggunakan Lemma 2.1, Lemma 2.2 dan Teorema 2.3, dibuktikan teorema titik tetap untuk pemetaan nonself kompak dan kontinu
berikut ini.
Teorema 3.4 Diketahui E ruang Banach,
⊆ konveks dan ⊂ terbuka dengan
∈ . Jika pemetaan
:
⟶ kompak dan kontinu, maka salah satu pernyataan berikut ini benar.
Pemetaan mempunyai titik tetap di atau Terdapat
∈ ∈
0,1
dengan
= + 1
− .
Bukti. Diasumsika tak berlaku. Jika mempunyai titik tetap di
, maka bukti trivial, sedangkan Jika tidak mempunyai titik tetap di
, maka untuk setiap
∈ dan
∈
[ 0,1]
berlaku ≠
+ 1
− . Dibentuk
≔
{
∈ ∶
= + 1
−
untuk suatu
∈
[ 0,1]}
. Karena
0. + 1
−
=
∈ , maka ≠ . Karena kontinu, maka tertutup. Karena dan
saling asing, maka berdasarkan Lemma 2.1, terdapat pemetaan kontinu
∶ ⟶
[ 0,1]
dengan sifat
= {1}
dan
= {0}
. Dibentuk pemetaan
∶ ⟶ dengan rumus
= + 1
−
, untuk
∈
, untuk
∈
\ .
Karena terbuka, dan
dan kontinu pada
, maka ∶
⟶ kontinu. Ditunjukkan
pemetaan kompak. Karena kompak, maka
kompak relatif. Berdasarkan Lemma 2.2,
∪
{ }
kompak. Karena termuat
di ∪
{ }
, maka pemetaan kompak. Berdasarkan Teorema 2.3,
terdapat ∈ dengan
=
. Karena
di
yang terbuka, maka ∈ . Oleh
karena itu,
= = + 1
− . Dengan kata lain,
∈ . Karena
= {1}
, maka
=
. Jadi berlaku.
■ Diberikan teorema titik tetap Monch.
Teorema 3.5 Diketahui E ruang Banach,
⊆ tertutup, konveks dan ⊂ terbuka dengan
∈ . Jika pemetaan ∶ ⟶ kontinu, memenuhi kondisi
Seminar Nasional Pendidikan Mat emat ika Sur akar t a, 15 Mei 2013
146
Monch dan ≠
+ 1
− untuk setiap
∈ ∈
0,1
, maka mempunyai titik tetap di .
Dengan menggunakan Teorema 2.5, diperoleh teorema titik untuk pemetaan nonself jumlah dua operator, yang satu operator kompak dan lainnya
pemetaan k-set kontraksi berikut ini.
Teorema 3.6 Diketahui E ruang Banach,
⊆ tertutup, konvek, ⊂ terbuka dengan
∈ dan pemetaan ∶
⟶ kompak dan kontinu lengkap dan pemetaan
∶ ⟶ k-set kontraksi
≤
1
dan kontinu. Jika ∶
⟶ dengan
≔
+
dan terbatas, maka salah satu pernyataan berikut
berlaku. Pemetaan mempunyai titik tetap di , atau
Terdapat ∈
∈
0,1
dengan
= + 1
− .
Bukti. Karena terbatas, maka jika diambil sebarang
⊆ terbatas dengan , diperoleh
terbatas. Karena kompak dan kontinu lengkap,
maka
= 0
. Karena k-set kontraksi
≤
1
dan kontinu, maka
= +
≤
+ =
≤ .
Jadi pemetaan k-set kontraksi. Berdasarkan Teorema 2.5, terbukti salah satu pernyataan
atau berlaku.
■ Untuk membuktikan teorema titik tetap untuk pemetaan nonself kontraksi
dengan berbagai kondisi titik batas, diperlukan teorema berikut.
Teorema 3.7 Diberikan E ruang Banach,
⊂ terbuka dengan ∈ . Jika
pemetaan ∶
⟶ kontraksi dengan terbatas, maka , maka salah satu
pernyataan berikut berlaku. Pemetaan mempunyai titik tetap di , atau
Terdapat ∈
∈
0,1
dengan
=
.
Teorema 3.8 Diberikan E ruang Banach,
⊂ terbuka dengan ∈ dan
pemetaan ∶
⟶ kontraksi dengan terbatas. Jika untuk setiap
∈ memenuhi salah satu kondisi berikut ini :
i ‖
‖ ≤ ‖ ‖
,
ii ‖
‖ ≤ ‖ − ‖
,
iii ‖
‖ ≤
{
‖ ‖
+
‖ − ‖
} ,
iv ‖
‖ ≤
{
‖ ‖
,
‖ − ‖
},
Maka mempunyai titik tetap tunggal di . Bukti. Diandaikan pemetaan
tidak mempunyai titik tetap, maka menurut Teorema 3.7, maka terdapat
∈ ∈
0,1
dengan
=
.
Seminar Nasional Pendidikan Mat emat ika Sur akar t a, 15 Mei 2013
147
Diasumsikan setiap ∈
memenuhi iii. Jika =
, maka bukti trivial. Jika ≠
, maka ‖
‖ =‖ ‖ ≤ ‖
‖
+
‖ −
‖ =
2
− ‖
‖ yang berakibat
≤
0 atau
≥
1
, kontradiksi dengan ∈
0,1
. Pengandaian salah, yang benar
mempunyai titik tetap di . Selanjutnya ditunjukkan
ketunggalan titik tetap tersebut. Diandaikan terdapat
,
∈ dengan
≠ ,
=
dan
=
, maka
‖ − ‖
=
‖ −
‖ ≤ ‖ − ‖ ‖ − ‖
dengan
1
suatu konstanta, suatu kontradiksi. Jadi pengandaian salah, yang benar memiliki titik tetap tunggal. Untuk kondisi lainnya, bukti sejalan.
■
Akibat 3.9 Diberikan E ruang Banach,
⊂ terbuka, terbatas dengan ∈
dan pemetaan ∶
⟶ kontraksi. Jika untuk setiap ∈ memenuhi salah
satu kondisi berikut ini :
i ‖
‖ ≤ ‖ ‖
,
ii ‖
‖ ≤ ‖ − ‖
,
iii ‖
‖ ≤
{
‖ ‖
+
‖ − ‖
} ,
iv 〈
,
〉 ≤ ‖ ‖ jika ada 〈
. , .
〉 inner product pada E,
maka mempunyai titik tetap tunggal di . Bukti. Karena terbatas dan pemetaan kontraksi pada , maka
terbatas. Berdasarkan Teorema 2.8, mempunyai titik tetap tunggal di .
■
4. Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Nonself Nonexpansive
