12 dikhususkan untuk pengolahan sinyal.
Dasar teori dari penggunaan tapis alih ragam
Hilbert
tidak lepas dari analisis melalui isyarat analitis dan perannya pada pembentukan sistem fase minimum.
2.3.1 Isyarat Analitis
Suatu isyarat yang tidak memiliki komponen frekuensi negatif disebut isyarat analitis[10]. Dalam ranah waktu kontinyu setiap sinyal analitis direpresentasikan
sebagai berikut = �∫ �
�� ∞
�. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . . Dimana
Zω merupakan representasi bilangan kompleks magnitudo dan fase frekuensi positif sinyal sinusoid kompleks
exp
jωt pada frekuensi ω Setiap isyarat sinusoid nyata
Acos
ωt+θ dapat dikonversi ke dalam bentuk isyarat
sinusoid kompleks
Aexp
[
j
ωt+θ] dengan membentuk komponen
phase-quadrature Asin
ωt+θ sebagai bagian imajiner �
��+�
= � � + � + �
� + � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . . Untuk isyarat yang lebih rumit, misalnya dalam pengukuran dimana sinyal tersebut
merupakan representasi dari jumlahan isyarat – isyarat sinusoid, sebuah tapis dapat
dibentuk dimana tapis ini menggeser setiap isyarat sinusoid tersebut sebesar seperempat siklus
quarter cycle
yang disebut tapis alih ragam Hilbert. Jika alih ragam sebuah tapis alih ragam Hilbert pada suatu isyarat
x
dalam ranah waktu
t
adalah ℋ
�
{ }, idealnya magnitudo dari sistem ini adalah 1 pada semua frekuensi dan menggeser fase isyarat
x
sebesar –π2
pada setiap frekuensi positif dan
+
π2 pada setiap frekuensi negatif. Ketika isyarat nyata
x t
dan alih ragam Hilbertnya
yt=
ℋ
�
{ } digunakan untuk membentuk suatu isyarat kompleks baru
z t
= x
t
+ j
ℋ
�
{ }; sehingga dapat kita dapat menyatakan isyarat
z t
merupakan
13 isyarat analitis dari
x t
dengan komponen frekuensi negatif yang telah ditapis. Untuk melihat bagaimana cara kerjanya, pergeseran fase pada isyarat sinusoidal kompleks
dapat diperoleh dengan mengkalikan
exp ± j
π2 = ±
j
. Komponen frekuensi negatif dari pada frekuensi
� adalah sebagai berikut
+
≜
� �
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . .
−
≜
− � �
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . . Kemudian pergeseran fasa sebesar -90 derajat pada komponen frekuensi positif
dan +90 derajat pada komponen frekuensi negatif sehingga
+
=
−�⁄ �
�
= −
� �
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−
=
�⁄ − �
�
=
− � �
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dengan menjumlahkan keduanya didapat
+
≜
+
+
+
=
� �
−
� �
=
� �
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−
≜
−
+
−
=
− � �
+
− � �
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dari persamaan diatas, dapat kita lihat bahwa komponen frekuensi negatif
dihilangkan oleh tapis alih ragam Hilbert. Analisis teori alih ragam Hilbert secara lebih lanjut dapat dijelaskan dengan contoh kongkrit sebagai berikut. Diketahui suatu sinyal
sinusoid nyata =
� =
� �
+
− � �
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dengan mengaplikasihkan alih ragam Hilbert ideal, alih ragam Hilbert sinyal
tersebut sebagai berikut =
− � �−�⁄
+
− � �+�⁄
= −
� �
+
− � �
= � . . . . . . . . … . .
Dengan menggunakan identitas Euler, isyarat analitis didapat sebagai berikut =
+ =
� +
� =
� �
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Sehingga pada penjumlahan
x t
+
jy t
, komponen frekuensi negatif dari
x t
dan
jy t
saling menghilangkan dan hanya meninggalkan komponen frekuensi positif. Hal ini berlaku untuk semua isyarat
x t
yang bersifat real[10], tidak hanya sinusoid
Gambar 2.3. Pembentukan isyarat analitis
� �
dari isyarat Sinusoid nyata
= � dan turunan
phase-quadrature
sinusoid =
� , pada domain frekuensi. a spektrum . b spektrum c spektrum
dan d spektrum = +
15 Gambar 2.3 menunjukkan pembentukan isyarat analitis pada domain frekuensi. Gambar
2.3.a menunjukkan spektrum isyarat sinusoid
� yang terdiri dari impulse – impulse frekuensi pada frekuensi
� = ±� dan 0 pada semua frekuensi yang selain � . � dapat
direpresentasikan sebagai berikut
� =
� �
+
− � �
............................................................................2.17 Setiap impuls memiliki magnitudo ½ sama hal nya dengan
�
dimana
� = −
� �
+
− � �
.....................................................................2.18 Spektrum impuls nya memiliki magnitudo -
j
½ pada � = � dan +
j
½ pada � = −�
perkalian
j
dengan
y t
menghasilkan �
=
� �
−
− � �
.............................................................................2.19 Yang ditunjukkan pada gambar 2.3.c. kemudian jika ditambahkan dengan spektrum
pada gambar 2.3.a maka akan menghasilkan persamaan 2.16 yaitu =
+ . Penambahan ini akan menghasilkan unit impuls pada frekuensi
� = � dan menghasilkan 0 pada frekeuensi negatif
� = −� sehingga menghasilkan isyarat analytical
z t
. Dengan kata lain, komponen frekuensi negatif
− � �
dihilangkan dengan menjumlahkan
� dengan � untuk menghasilkan isyarat analitis
� �
. 2.3.2
Sistem Fase Minimum
Sistem fase minimum adalah sistem yang fungsi pindahnya memiliki baik nol maupun kutub berada dalam lingkaran satuan[4]. Tanggapan ruang terukur umumnya
tidak berfase minimum[4]. Dalam tugas akhir ini tanggapan ruang yang terukur harus berfase minimum karena tanggapan ruang sistem fase yang tidak minimum memiliki
nol di luar lingkaran satuan jika diinversekan akan menyebabkan ketidakstabilan. Karena fungsi pindah penyama merupakan invers dari fungsi pindah sistem yang akan
16 disamakan maka untuk sistem penyamaan yang stabil, tanggapan sistem tersebut perlu
dirubah kedalam sistem dengan fase minimum. Sistem fase minimum
H
m
e
jω
memiliki sifat khusus, yakni komponen magnitudo dan fasenya saling berhubungan melalui alih ragam
Hilbert
. Hubungan tersebut dapat dinyatakan seperti dalam persamaan berikut.
ℋ{ln |
� �
|} = ∅
� �
………………………………….……………....2.20 Dengan kata lain, jika
H
m
e
jω
merupakan sistem dengan fase minimum, maka jika tapis alih ragam
Hilbert
diterapkan pada logaritma natural komponen magnitudonya akan didapat komponen fase minimum dari sistem tersebut. Dengan
menggunakan hubungan tersebut, sistem fase minimum dapat dicari dengan proses sebagai berikut. Tanggapan frekuensi sistem sembarang
He
jω
terdiri dari komponen magnitudo dan komponen fase seperti yang ditunjukkan pada persamaan berikut.
�
= |
�
|
∅�
��
……………………………………...……………....2.21 Logaritma natural dari tanggapan frekuensi sistem tersebut akan menghasilkan
persamaan di bawah ini. ̆
�
= |
�
| + ∅
�
………………………..………………………2.22 Dengan menerapkan tapis alih ragam
Hilbert
pada logaritma natural tanggapan magnitudonya, akan dihasilkan komponen fase pengganti untuk memperoleh sistem
fase minimum. ℋ{ln
�
} = ∅
� �
……………………………………….………………2.23 Dengan mengganti komponen fase sistem dengan komponen fase minimum yang
telah diperoleh dari tapis alih ragam
Hilbert
� �
= |
�
|
∅
�
�
��
………………………………………………….2.24
17 Alih ragam
Fourier
balik dari tanggapan frekuensi akan menghasilkan tanggapan impuls dengan fase minimum.
� �
����
→ ℎ
�
[ ]………………………………………………………….2.25 Pencarian sistem fase minimum mulai dari tanggapan impuls sistem
ditunjukkan pada gambar diagram berikut
ℎ[ ] |
�
| ∅
�
|
�
|
l
| � |
∅
� �
|
�
| ∅
� �
ℎ [ ]
Gambar 2.4. Proses menghitung sistem fase minimum dengan alih ragam
Hilbert.
dimana:
h[n]
adalah tanggapan impuls sistem fase tidak minimum;
He
jω
adalah tanggapan frekuensi sistem fase tidak minimum; DFT
IDFT Hilbert
Transform ln
18
|He
jω
|
adalah komponen magnitudo sistem fase tidak minimum; ∅
�
adalah fase tidak minimum sistem; ∅
� �
adalah fase pengganti untuk memperoleh sistem fase minimum;
H
m
e
jω
adalah tanggapan frekuensi sistem berfase minimum; dan
h
m
[n]
adalah tanggapan impuls sistem fase minimum.
2.4 Metode Penjendelaan untuk Mendapatkan Tapis Digital
