33
Jawab: Agar dapat menentukan besar sudut R, terlebih
dahulu kita buktikan bangun trapesium ABCD kongruen dengan bangun trapesium PQRS.
Bukti: Berdasarkan gambar diperoleh keterangan bah-
wa panjang:
AB = PQ BC = PS
AD = QR CD = RS
Panjang sisi-sisi pada bangun trapesium ABCD ternyata sama panjang atau bersesuaian dengan
panjang sisi-sisi bangun trapesium PQRS. Jadi, terbukti jika bangun trapesium ABCD kong-
ruen dengan bangun trapesium PQRS, atau: Trapesium ABCD
trapesium PQRS. Berdasarkan sifat-sifat kekongruenan yang ber-
laku maka: ∠A = ∠Q = 75°
∠B = ∠P = 65° ∠C = ∠S = 105°
∠D = ∠R Pada trapesium berlaku jumlah besar keempat
sudutnya adalah 360°. Dengan demikian,
∠D = 360° – 105° + 65° + 75° = 360° – 245° = 115°
Jadi, besar sudut ∠D adalah 115°.
2. Dua Segitiga yang Kongruen Bila dua buah segitiga kongruen maka dua segi-
tiga tersebut dapat saling menutupi secara tepat. Dua buah segitiga dikatakan kongruen bila me-
menuhi syarat-syarat berikut. a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang,
disingkat s.s.s sisi-sisi-sisi.
b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi
tersebut sama besar, disingkat s.sd.s sisi- sudut-sisi.
c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang,
disingkat sd.s.sd sudut-sisi-sudut.
Contoh:
Perhatikan gambar di bawah. Jika ∆ABC dan
∆PQR kongruen, panjang sisi PR adalah....
Q R
P A
C
10 cm 6 cm
7 cm
B
Jawab: Diketahui
∆ABC dan ∆PQR kongruen. ∠C = ∠R
∠A = ∠Q Dengan demikian,
∠B = ∠P Sehingga:
BC = PR = 10 cm AC = QR = 6 cm
AB = PQ = 7 cm Panjang sisi PR adalah 10 cm
Downloaded from http:pak-anang.blogspot.com
34
14
Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
A. UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Juring
Tembereng Apotema
d r
A D
E B
O
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang
dise-but titik pusat lingkaran.
Unsur-unsur pada lingkaran adalah sebagai berikut. Ø Titik O disebut pusat lingkaran
Ø Garis OA = OB = OD disebut jari-jari lingkaran dan dilambangkan dengan r.
Ø Garis AB disebut diameter dan dilambangkan dengan d. Ø Garis lurus AD disebut tali busur.
Ø Garis lengkung AD dan BD disebut busur dan dilambangkan dengan
AD
dan
BD .
Ø Garis OE disebut apotema. Ø Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur
disebut juring. Misalnya: BOD. Ø Daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur
disebut tembereng. Pada gambar, tembereng adalah daerah yang diarsir.
B. KELILING DAN LUAS LINGKARAN
Keliling lingkaran: K = 2 r = d
π π
Luas lingkaran:
2 2
1 L = r =
d 4
π π
Keterangan: 22
7 π =
atau
3,14 π =
.
Contoh:
Pada gambar di bawah ini, panjang diameter lingkaran besar adalah 28 cm. Keliling lingkaran
yang diarsir adalah ….
Jawaban:
14 cm 14 cm
28 cm
Diameter lingkaran besar: d
1
= 28 cm. Diameter lingkaran kecil: d
2
= 14 cm. Keliling daerah yang diarsir
1 2
2
1 besar
kecil 2
1 1
22 22
28 14
2 2
7 7
44 44
88 cm
=
× +
= × π
+ π =
× ×
+ ×
= +
=
K
K d
d
Downloaded from http:pak-anang.blogspot.com
35
C. PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING
o
AOD Panjang busur AD
keliling lingkaran 360
∠ =
×
o
AOD Luas juring AOD
luas lingkaran 360
∠ =
× Luas tembereng = L.juring AOD – L.
∆ AOD
Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.
o
AOD panjang busur AD
luas juring AOD keliling lingkaran
luas lingkaran 360
∠ =
=
Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.
AOD panjang busur AD
luas juring AOD BOD
panjang busur BD luas juring BOD
∠ =
= ∠
D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING
Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
O B
A C
Pada gambar, AOB adalah sudut pusat dengan sudut kel-
ilingnya salah satunya adalah ACB.
Hubungan sudut pusat dan sudut keliling dapat dituliskan:
AOB 2
ACB ∠
= × ∠ Besar dua sudut keliling yang menghadap busur
yang sama adalah sama.
O B
A C
X Y
ACB ∠
, AXB
∠ , dan
AYB ∠
menghadap busur yang sama, yaitu busur AB. Jadi
ACB AXB
AYB ∠
= ∠ = ∠
Contoh:
AC adalah diameter lingkaran. Jika besar
∠CBD = 20
o
maka besar ∠AOD adalah .…
O B
A C
D
Jawab: ∠COD dan ∠CBD menghadap busur yang sama,
yaitu CD, di mana ∠COD sudut pusat dan ∠CBD
sudut keliling. Maka:
2 2 20
40 . ∠
= × ∠ = ×
=
o o
COD CBD
∠COD dan ∠AOD saling berpelurus, maka: 180
40 180
140 ∠
+ ∠ =
+ ∠ =
∠ =
o o
o o
COD AOD
AOD AOD
E. SEGI EMPAT TALI BUSUR DAN SUDUT AN- TARA DUA TALI BUSUR
Segi empat tali busur adalah segi empat yang di- batasi oleh empat tali busur di mana keempat titik
sudutnya terletak pada lingkaran.
Downloaded from http:pak-anang.blogspot.com
36
Pada segi empat tali busur, jumlah dua sudut yang berhadapan adalah 180
o
.
O B
A C
F D
o
A C
180 ∠ + ∠ =
o
B D
180 ∠ + ∠ =
Pada gambar di atas, AB dan DC diperpanjang sehingga berpotongan di titik E, maka:
1 BEC
AED AOD
BOC 2
∠ = ∠
= × ∠ − ∠
F. GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus
dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya. 1.
Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Ling- karan
O O
A C
r
1
r
1
+ r
2
r
2
B
AB disebut garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran O dan P dan panjangnya:
2 2
1 2
AB OP
r r
= −
+
2.
Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Ling- karan
O O
A C
r
1
r
1
− r
2
r
2
B
AB disebut garis singgung persekutuan luar dua lingkaran O dan P dan panjangnya:
2 2
1 2
AB OP
r r
= −
−
G. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA
1. Lingkaran Dalam Segitiga
