1.1 Radiasi Benda Hitam 3
Lalu, menurut hukum Stefan e
t
R
S
= σT
4
, sehingga diperoleh T =
e
t
RR
2
σR
2 S
14
= 1400W m
−2
1, 5 × 10
11
m
2
RR
2
5, 67 × 10
−8
W.m
−2
.T
−4
7, 0 × 10
8
m
2 14
≈ 5800K. 1.4
Berdasarkan persaaan 1.1, untuk benda hitam akan berlaku e
f
= Jf, T . Selan- jutnya, didefinisikan besaran kerapatan spektrum energi per satuan volume per satuan
definisi uf, T
frekuensi uf, T , sehingga untuk cahaya kecepatannya c akan diperoleh
Jf, T = uf, T c
4 .
1.5 Berdasarkan kurva spektrum radiasi benda hitam, Wien membuat tebakan bentuk fungsi
tebakan Wien
kerapatan spektrum energi tersebut sebagai uf, T = Af
3
e
−
βf T
. Ternyata bentuk fungsi tersebut dikonfirmasi secara eksperimental oleh Paschen untuk λ = 1 − 4 µm infra
merah dan T = 400 − 1.600 K hasil eksperimen untuk λ lebih besar menyimpang dari prediksi Wien.
1.1.3 Hukum Raleygh-Jeans
Model osilator harmonik
Bentuk kurva spektrum pancar benda hitam juga coba dijelaskan melalui hukum Rayleigh- Jeans. Menurut hukum tersebut, benda hitam dimodelkan sebagai sebuah rongga, dan
cahaya yang memasukinya membentuk gelombang berdiri. Energi radiasi per satuan volume per satuan frekuensi merupakan moda dari osilator-osilator harmonik per satu-
an volume dengan frekuensi yang terletak pada selang f dan f +df . Sehingga, kerapatan energi dapat dinyatakan sebagai
uf, T df = ¯ E
N fdf 1.6
dengan N f menyatakan rapat jumlah osilator per satuan volume per satuan frekuensi. definisi
N f Benda hitam dianggap berada pada kesetimbangan termal, sehingga terbentuk gelom-
bang elektromagnetik berdiri di dalam rongga gelombang berdiri EM ekivalen dengan osilator satu dimensi.
Fungsi probabilitas osilator klasik memenuhi fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann, distribusi
Maxwell- Boltzmann
P ǫ = P e
−
ǫ−ǫ0 kB T
, 1.7
FI3104 Fisika Kuantum 1 • 2009
1.1 Radiasi Benda Hitam 4
dengan ǫ adalah energi dasar terendah osilator, ǫ energi osilator, P
= P ǫ meru-
pakan peluang osilator memiliki energi sebesar ǫ , k
B
konstanta Boltzmann, dan T suhu mutlak sistem dalam hal ini rongga.
Energi rata-rata osilator
Energi rata-rata osilator dihitung dengan memanfaatkan fungsi probabilitas 1.7, ¯
ǫ = P
ǫ
ǫP ǫ P
ǫ
P ǫ ,
1.8 atau untuk nilai energi yang sinambung kontinyu, notasi jumlah
P berubah menjadi integral. Lalu dengan mengingat persamaan 1.7, diperoleh
¯ ǫ =
R
∞
ǫP e
−
ǫ−ǫ0 kB T
dǫ R
∞
P e
−
ǫ−ǫ0 kB T
dǫ =
R
∞
ǫe
−
ǫ kB T
dǫ R
∞
e
−
ǫ kB T
dǫ .
1.9 Pembilang dan penyebut pada persamaan terakhir dapat dihitung dengan cara sebagai
berikut. Misalkan β = k
B
T
−1
, maka penyebut persamaan terakhir menjadi Z
∞
e
−βǫ
dǫ = −
1 β
e
−βǫ ∞
ǫ=0
= 1
β .
1.10 Lalu, dengan memanfaatkan hubungan tersebut, dapat diperoleh
d dβ
Z
∞
e
−βǫ
dǫ =
d dβ
1 β
⇔ Z
∞
d dβ
e
−βǫ
dǫ = −
1 β
2
⇔ − Z
∞
ǫe
−
ǫ kB T
dǫ = −
1 β
2
⇔ Z
∞
ǫe
−
ǫ kB T
dǫ = 1
β
2
. 1.11
Sehingga, energi rata-rata osilator adalah ¯
ǫ = R
∞
ǫe
−
ǫ kB T
dǫ R
∞
e
−
ǫ kB T
dǫ =
β
−2
β
−1
= 1
β = k
B
T. 1.12
Rapat jumlah osilator
Tinjau sebuah kubus dengan panjang rusuk L yang di dalamnya terdapat gelombang elektromagnetik stasioner. Berdasarkan persamaan Maxwell, diperoleh persamaan gelom-
bang stasioner untuk medan elektromagnetik berbentuk ∇
2
~ E + k
2
~ E = 0,
1.13
FI3104 Fisika Kuantum 1 • 2009
1.1 Radiasi Benda Hitam 5
dengan ∇
2
≡
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
, ~ E = ~
EE
x
, E
y
, E
z
, serta E
x
, E
y
, dan E
z
masing- masing merupakan fungsi dari koordinat x, y, z. Dengan menganggap berlakunya sep-
arasi variabel pada tiap komponen medan ~ E, misalnya E
x
x, y, z ≡ uxvywz, dan
k
2
= k
2 x
+ k
2 y
+ k
2 z
diperoleh d
2
u dx
2
+ k
2 x
u = 0, 1.14
d
2
v dy
2
+ k
2 y
v = 0, 1.15
d
2
w dz
2
+ k
2 z
w = 0, 1.16
dengan solusi ux = B
x
cosk
x
x + C
x
sink
x
x, 1.17
vy = B
y
cosk
y
y + C
y
sink
y
y, 1.18
wz = B
z
cosk
z
z + C
z
sink
z
z. 1.19
Selanjutnya, diterapkan syarat batas bahwa u = v = w = 0 pada x = y = z = 0 dan x = y = z = L, sehingga B
x
= B
y
= B
z
= 0 dan k
x,y,z
= n
x,y,z
πL dengan n
x,y,z
merupakan bilangan bulat positif. Dengan demikian, diperoleh ux = C
x
sink
x
x, 1.20
vy = C
y
sink
y
y, 1.21
wz = C
z
sink
z
z, 1.22
yang memberikan solusi untuk komponen E
x
E
x
x, y, z = A sink
x
x sink
y
y sink
z
z, 1.23
dan berlaku pula k
2
= π
2
L
2
n
2 x
+ n
2 y
+ n
2 z
= n
2
π
2
L
2
, 1.24
dengan n menyatakan jumlah osilator dalam kotak. Sebuah kotak dalam ruang k dimensisatuannya m
−1
dengan volume
π L
3
berisi satu buah gelombang berdiri. Sebuah elemen volum berbentuk kulit bola berjejari k yang
terletak pada sebuah kotak dengan rusuk k memiliki volum
1 8
× 4πk
2
dk karena kotak berusuk k menempati satu oktanperdelapan dari sebuah bola berjejari k. Lalu, diper-
oleh N k yaitu rapat jumlah gelombang berdiri dengan bilangan gelombang terletak antara k dan dk,
N kdk =
1 8
× 4πk
2
dk
π L
3
= L
3
k
2
2π
2
dk. 1.25
FI3104 Fisika Kuantum 1 • 2009
1.1 Radiasi Benda Hitam 6
Dengan mengingat bahwa terdapat dua keadaan polarisasi untuk setiap modus gelom- bang EM, diperoleh jumlah gelombang berdiri tiap satuan volume V = L
3
sebesar N kdk ≡
N kdk V
= 2 ×
k
2
dk 2π
2
, 1.26
atau dengan memanfaatkan hubungan besaran-besaran gelombang EM k =
2π λ
dan c = λf diperoleh
N fdf = 8πf
2
c
3
df ⇔ N λdλ = −
8π λ
4
dλ. 1.27
Kerapatan energi radiasi
Berdasarkan hasil untuk ¯ E dan
N f seperti di atas, diperoleh nilai kerapatan energi radiasi
uf, T df = 8πf
2
c
3
k
B
T df ⇔ uλ, T dλ =
8π λ
4
k
B
T dλ. 1.28
Hasil ini memungkinkan terjadinya bencana ultraviolet, bahwa rapat energi untuk cahaya bencana
UV dengan panjang gelombang kecil atau frekuensi besar dapat bernilai takhingga. Dan
ini bertentangan dengan hasil eksperimen.
1.1.4 Teori kuantum radiasi Planck
