Parametrik Program 0-1 Integer Campuran

PARAMETRIK PROGRAM 0-1 INTEGER CAMPURAN
TESIS
Oleh ERWIN 117021018/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

PARAMETRIK PROGRAM 0-1 INTEGER CAMPURAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh ERWIN 117021018/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: PARAMETRIK PROGRAM 0-1 INTEGER CAMPURAN
: Erwin : 117021018 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc.) Anggota

Ketua Program Studi (Prof. Dr. Herman Mawengkang)

Dekan (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 4 Juni 2013

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc.
2. Dr. Sutarman, M.Sc. 3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

PARAMETRIK PROGRAM 0-1 INTEGER CAMPURAN TESIS

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar Magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Medan, Penulis,

Juni 2013

Erwin

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Dua algoritma untuk kasus umum parametrik Mixed Integer Linear Programming ( MILP ) yang diusulkan. Parametrik MILP di mana satu parameter secara bersamaan dapat mempengaruhi fungsi tujuan, sisi kanan dan matriks. Algoritma pertama didasarkan pada perluasan algoritma Branch and Bound (BnB) pada variabel integer, memecahkan parametrik program linear (LP) di setiap node. Algoritma kedua didasarkan pada kisaran optimalitas solusi kualitatif yang invarian, merujuk masalah optimisasi parametrik menjadi serangkaian MILPs reguler, parametrik LP dan algoritma Mixed Integer Non-Linear Programming (MINLP). Jumlah submasalah yang diperlukan untuk contoh tertentu adalah sama dengan jumlah daerah kritis. Perbaikan dari algoritma simpleks yang terkenal rasional disajikan, yang memerlukan operasi yang lebih sedikit berturut-turut pada fungsi rasional. Kata kunci: Pemrograman parametrik, Analisis sensitivitas pasca-optimal,
Matriks kasus, MILP, MINLP.
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Two algorithms that are suggested for general case MILP . MILP parametric where one parameter can affect the goal function altogether, the right-hand-side, and matrix. The first algorithm is based on branch and bound algorithm at integer variable, to solve parametric linear programming at every node. Second algorithm is based on invariant solution qualitative optimality, pointing parametric optimization problems to be a bunch of MILP regular, parametric, linear program and MINLP. Number of sub problems required for a particular instance is equal to the number of critical areas. Improvement of the well-known simplex algorithm rationally presented, which requires less operating successively on rational functions. Keyword: Parametric programming, Post-optimal sensitivity analysis, Case
matrix, MILP, MINLP.
iii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rahmat dan hidayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: PARAMETRIK PROGRAM 0-1 INTEGER CAMPURAN. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara, dan juga selaku pembanding yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Pembimbing-I yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis, Pembanding yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv
Universitas Sumatera Utara

Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada Ayahanda dan Ibunda tercinta, Ng Thi Ang Seng / Eddy Winarmin dan Gek Tjeng serta Abangabang, Erwan dan Endro dan kakak Erni yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.

Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 ganjil, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.

Medan, Penulis,

Juni 2013

Erwin

v
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP
Erwin, dilahirkan di Pangkalan Brandan pada tanggal 24 Desember 1987, merupakan anak keempat dari empat bersaudara dari ayah Ng Thi Ang Seng / Eddy Winarmin dan ibunda Gek Tjeng. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD YPK Tri Murni Medan pada tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Sutomo 2 Medan pada tahun 2003, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Sutomo 2 Medan pada tahun 2006.
Pada tahun 2006 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan matematika di Universitas Sumatera Utara dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada tahun 2010. Pada Agustus 2011 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Penulis merintis karir menjadi guru SMA dan SMP pada Mei 2008 sampai sekarang.
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metodologi Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Asumsi dan Sifat-Sifat Teoritis 2.2 Parametrik Program Linear 2.3 Menentukan Solusi Kualitatif
2.3.1 Solusi kualitatif dengan operasi rasional 2.3.2 Solusi kualitatif dengan continuation 2.4 Mencari Daerah Hasil 2.4.1 Solusi dengan operasi rasional 2.4.2 Solusi dengan continuation 2.5 Mencari Daerah Optimal

Halaman
i ii iii iv vi vii
1
1 4 4 4 4
6
6 7 10 15 16 18 18 19 20

vii
Universitas Sumatera Utara

2.5.1 Solusi dengan operasi rasional 2.5.2 Solusi dengan continuation 2.6 Daerah Hasil Tidak Layak 2.7 Terminasi Algoritma

21 22 22 25

BAB 3 OPTIMALITAS DAERAH HASIL MIXED INTEGER LINEAR

PROGRAMMING

28

3.1 Optimalitas dari Pasangan 3.2 Rentang Ketidaklayakan 3.3 Klasifikasi Formulasi Daerah Optimalitas

28 29 30

BAB 4 PARAMETRIK MIXED INTEGER LINEAR PROGRAMMING 31

4.1 Optimalitas Daerah Algoritma untuk Parameterik MILP 4.2 Algoritma Branch and Bound untuk Parametrik MILP

31 33

BAB 5 KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN

40

5.1 Kesimpulan 5.2 Riset Lanjutan DAFTAR PUSTAKA

40 40 42

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Dua algoritma untuk kasus umum parametrik Mixed Integer Linear Programming ( MILP ) yang diusulkan. Parametrik MILP di mana satu parameter secara bersamaan dapat mempengaruhi fungsi tujuan, sisi kanan dan matriks. Algoritma pertama didasarkan pada perluasan algoritma Branch and Bound (BnB) pada variabel integer, memecahkan parametrik program linear (LP) di setiap node. Algoritma kedua didasarkan pada kisaran optimalitas solusi kualitatif yang invarian, merujuk masalah optimisasi parametrik menjadi serangkaian MILPs reguler, parametrik LP dan algoritma Mixed Integer Non-Linear Programming (MINLP). Jumlah submasalah yang diperlukan untuk contoh tertentu adalah sama dengan jumlah daerah kritis. Perbaikan dari algoritma simpleks yang terkenal rasional disajikan, yang memerlukan operasi yang lebih sedikit berturut-turut pada fungsi rasional. Kata kunci: Pemrograman parametrik, Analisis sensitivitas pasca-optimal,
Matriks kasus, MILP, MINLP.
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Two algorithms that are suggested for general case MILP . MILP parametric where one parameter can affect the goal function altogether, the right-hand-side, and matrix. The first algorithm is based on branch and bound algorithm at integer variable, to solve parametric linear programming at every node. Second algorithm is based on invariant solution qualitative optimality, pointing parametric optimization problems to be a bunch of MILP regular, parametric, linear program and MINLP. Number of sub problems required for a particular instance is equal to the number of critical areas. Improvement of the well-known simplex algorithm rationally presented, which requires less operating successively on rational functions. Keyword: Parametric programming, Post-optimal sensitivity analysis, Case
matrix, MILP, MINLP.
iii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Program matematika sering melibatkan parameter yang tidak diketahui dan tugas optimisasi parametrik pada prinsipnya, untuk memecahkan program matematika demikian, untuk setiap nilai yang mungkin dari parameter yang tidak diketahui. Algoritma untuk optimisasi parametrik biasanya membagi rentang parameter ke daerah optimalitas, yang disebut luasan (Hanavald, 1979) atau daerah kritis (T.Gal, 1995). Untuk satu parameter batas antara daerah kritis disebut titik potong. Untuk setiap daerah kritis bisa saja persoalannya tidak layak atau solusi yang secara kualitatif invarian. Secara umum, jika fungsi parameter mulus terhadap penyelesaian optimal. Pengertian dari solusi secara kualitatif invarian bergantung pada kasus tertentu. Dalam program linear integer campuran (MILP), ini berarti realisasi optimal integer bersama-sama dengan basis optimnal untuk program linear (LP) yang dihasilkan dengan realisasi integer ini.
Beberapa aplikasi yang dapat diterapkan menggunakan optimisasi parametrik adalah sebagai berikut pengelolaan sampah, perencanaan armada, modelprediktif kontrol dan proses sintesis di bawah ketidakpastian. Balas dan Saxena (2007) menggunakan solusi layak dari parametrik MILP untuk membentuk potongan (Cut) terhadap MILP. Eppstein (2003) memperkenalkan gagasan optimisasi inverse parametrik di mana nilai-nilai parameter dihasilkan oleh solusi yang diberikan. Wallace (2000) berpendapat bahwa optimisasi parametrik sangat berharga untuk pengambilan keputusan hanya bila nilai dari parameter tidak diketahui selama fase optimisasi tetapi dikenal selama fase pengambilan keputusan.
Dalam penelitian ini kasus umum parametrik MILP, selalu terdapat sebuah parameter p, yang merupakan anggota himpunan parameter P . Himpunan parameter P diasumsikan berada di interval [0, 1].

1
Universitas Sumatera Utara

2

Hal ini pada dasarnya ekuivalen dengan asumsi himpunan kompak, tidak termasuk rentang parameter tak terbatas. Parametrik MILP dapat ditulis sebagai

f x(p) = minx,y(cx((p))T x + (cy(p))T y dengan kendala A1x(p)x + A1y(p)y = b1(p)
A2x(p)x + A2y(p)y ≤ b2(p) xL ≤ x ≤ xU
x ∈ Rnx ,y ∈ (0, 1)nx

(1.1)

Dimana cx(p) ∈ Rnx, cy(p) ∈ Rny , A1x(p) ∈ Rm1xnx, A1y(p) ∈ Rm1xny, A2x(p) ∈ Rm2xnx, A2y(p) ∈ Rm2xny, b1(p) ∈ Rm1, b2(p) ∈ Rm2. Penyimpangan dari batas atas berhingga dan batas bawah yang tidak nol pada variabel serta kendala diperbolehkan, hal ini untuk menunjukkan bagaimana persamaan tersebut bisa diselesaikan secara efisien. Perhatikan bahwa dalam beberapa kasus kajian hanya dibatasi hingga xL, xU ∈ Rnx, sedangkan dalam kasus lain batas yang tak berhingga diperbolehkan. Seperti yang dilakukan dalam sebagian besar algoritma,
Dua kasus khusus menarik (1.1), yang sering diangkat dalam literatur, adalah kasus koefisien vektor dan kasus yang membahas basis program linear. Dalam kedua kasus matriks A1x, A2x, A1y, A2y tidak tergantung pada parameter p, dalam kasus yang pertama yang juga basis vektor b1, b2 adalah parameter bebas, sedangkan pada kasus kedua besar vektor cx, cy adalah parameter bebas. Kasus koefisien vektor memenuhi sifat bahwa wilayah kelayakan tidak tergantung pada parameter. Akibatnya daerah optimalitas dari basis yang diketahui adalah Polyhedra (cembung) polyhedra dan fungsi solusi layak optimal dan cekung telah dibahas oleh Mitsos pada tahun 2006. Dalam kasus basis, daerah optimalitas dari dasar yang diberikan dapat dihitung relatif mudah juga telah dibahas oleh Crema pada tahun 1998, dan Pertsinidis pada tahun 1991.
Ketika variabel integer (1.1) adalah tetap [0,1], atau dirilekskan (ke [0, 1]), parametrik LP diperoleh, yang merupakan masalah penting tersendiri, dan juga dapat digunakan sebagai sebuah subproblem untuk solusi dari (1.1).

Universitas Sumatera Utara

3

Sebagian besar sifat teoritis dari optimisasi parametrik dimulai pada tahun 1980-an dan dalam beberapa tahun terakhir ini, fokusnya ke arah kontribusi algoritmik, yang juga merupakan fokus dari penelitian ini. Algoritma untuk kasus ruas kanan program linear dengan ketergantungan pada satu atau banyak parameter ada untuk MILP(Dua, et.al.,2002) dan juga untuk MINLP(Dua, et.al, 2004). Untuk kasus koefisien vektor MILP dengan ketergantungan terbatas nilai pada satu parameter, algoritma terkenal didasarkan pada irisan dari fungsi-fungsi tujuan yang layak (Jenkins, 1990). Yang juga penting adalah pada prinsipnya (1.1) dapat dirumuskan untuk masalah basis dengan memperkenalkan tambahan variabel z dan kendala z = p, namun secara umum ini mengarah pada nonconvex parametrik MINLP.
Berdasarkan jumlah kemungkinan daerah optimalitas, Murty(1980) menunjukkan bahwa kompleksitas optimisasi parametrik tidak dapat terbatas keatas oleh polinomial walaupun dalam kasus basis program linear dari parametrik LP dengan parameter tunggal. Oleh karena itu, daripada mendasarkan kompleksitas komputasi, mungkin lebih tepat untuk membandingkan persyaratan komputasi dari algoritma dengan persyaratan komputasi untuk memecahkan masalah optimisasi (pada nilai parameter tetap) karena ada daerah optimalitas.
Sejauh ini, sepanjang pengetahuan penulis belum ada algoritma yang cocok untuk menghasilkan solusi dari kasus umum parametrik MILP dan algoritma yang tersedia untuk kasus ruas kanan dan kasus koefisien vektor adalah tidak trivial karena pada kasus umum yang tidak memiliki sifat seperti kasus khusus. Kontribusi yang paling relevan adalah pada parametrik LP. Analisis sensitivitas pasca optimal untuk koefisien matriks kolom nonbasis dapat diperoleh dalam buku pemrograman linear (Bertsimas, 1997).
Freund pada tahun 1985, mengusulkan untuk mendapatkan sensitivitas pasca optimal melalui ekspansi deret Taylor, dan Analisis Greenberg pada tahun 1999 menganggap analisis sensitivitas pasca optimal dari solusi interior melalui dualitas.
Universitas Sumatera Utara

4
Gal(1995) mengkaji kasus dimana satu kolom atau satu baris dari matriks tergantung pada parametrik, dalam kasus ini invers matriks dimungkinkan yang didasarkan pada formula Bodewig(1959). Dinkelbach mengusulkan sebuah algoritma berdasarkan perpanjangan metode simpleks dari koefisien bernilai real untuk fungsi rasional parameter.
1.2 Perumusan Masalah Kebanyakan pendekatan yang diajukan untuk kasus MILP berdasarkan analisis sensitivitas post-optimal. Sedangkan pada persoalan parametrik programming tidak semata - mata melakukan analisis sensitivitas. Apalagi menyelesaikan kasus MILP 0-1 dengan analisis sensitivitas sangat sulit, dan penelitian untuk kasus demikian sangat sulit.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah mengajukan algoritma yang dapat dipakai dalam menentukan parameter pada persoalan program integer 0-1 campuran.
1.4 Manfaat Penelitian Hasil dari penelitian ini sangat berguna dalam penentuan dan memaksimalkan hasil yang diperoleh dari LP biasanya, dengan menggunakan parametrik MILP maka pendekatan-pendekatan ke hasil yang lebih optimal dapat dicapai.
1.5 Metodologi Penelitian Untuk menghadapi persoalan yang ada di atas, maka penulis mempunyai beberapa langkah untuk menyelesaikan permasalahan parametrik MILP. Adapun langkah langkah nya sebagai berikut :
a. Menentukan solusi Kuantitatif invarian yang diperoleh dengan menentukan solusi dengan operasi rasional dan solusi dengan continuation
Universitas Sumatera Utara

5 b. Menentukan daerah layak yang diperoleh melalui penentuan solusi layak de-
ngan operasi rasional dan solusi layak dengan continuation c. Mencari daerah hasil yang optimal melalui penentuan solusi dengan operasi
rasional dan solusi dengan continuation d. Mencari daerah yang tidak layak e. Terminasi algoritma f. Daerah hasil optimal dari sebuah MILP g. Daerah yang tidak layak dari sebuah MILP h. Mengklasifikasikan formula untuk daerah layak yang optimal i. Membuat parameter MILP menggunakan algoritma daerah optimal untuk pa-
rametrik MILP dan algoritma BnB untuk parametrik MILP
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Asumsi dan Sifat-Sifat Teoritis Masalah optimisasi tak terbatas dikaji menggunakan : Asumsi 2.1 (Masalah Terbatas). Untuk setiap nilai parameter p ∈ [0, 1] relaksasi dari LP (1.1) terbatas dari bawah, yaitu persoalan LP-nya tidak layak atau memiliki nilai objektif optimal terbatas.
Sebagai konsekuensi langsung dari asumsi 2.1 parametrik MILP (1.1) terbatas dari bawah untuk semua p ∈ [0, 1].
Asumsi 2.2 (Data fungsi rasional parameter). Data (matriks, vektor biaya, vektor basis) adalah fungsi rasional kontinu dari parameter p ∈ [0, 1], yaitu kutipan polinom dengan penyebut tidak nol.
Berdasarkan asumsi 1 dan 2 himpunan parameter p dapat dibagi kedalam interval jumlah terbatas dan / atau beberapa segmen, sehingga untuk setiap interval atau segmen masalahnya adalah tidak layak meskipun solusi optimal juga merupakan fungsi rasional dalam parameter p yang merupakan variabel konstan. Proses ini merupakan akibat langsung dari jumlah terbatas realisasi integer dan pada dasarnya untuk setiap nilai parameter terdapat basis yang optimal. Beberapa interval optimalitas yang merosot (menurun), tetapi ada juga penelitian dengan hasil tidak nol yang berurutan.
Biaya marginal c¯ dalam kasus LP juga fungsi rasional dari parameter. Tidak ada sifat convexity atau concavity dapat ditampilkan untuk nilai obyektif optimal sebagai fungsi dari parameter.
6
Universitas Sumatera Utara

7

2.2 Parametrik Program Linear

Seperti yang telah disebutkan dibagian pendahuluan, yang menjadi permasalahan utama dari paramtrik MILP ini adalah parametrik LP.

min (c(p))T x
x
dengan kendala A1x(p)x = b1(p) A2x(p)x ≤ b2(p) x ∈ Rnx , xL ≤ x ≤ xU

(2.1)

Sama halnya dengan persamaan (1.1) data dari c(p) ∈ Rnx, A1(p) ∈ Rm1xnx, A2(p) ∈ Rm2xnx , b1(p) ∈ Rm1 dan b2(p) ∈ Rm2 diasumsikan adalah fungsi rasional yang kontinu dimana parameter p ∈ [pt, pu]. Dan jika diturunkan persamaan tersebut dari persamaan yang standar untuk menunjukkan keberadaan kendala pertidaksamaan dan batas-batas dari variabel yang ada. Sehingga dapat diselesaikan dengan efisien.
Algoritma 0 memberikan garis besar penelitian yang sangat teliti di permasalahan batas-batasnya, yang dapat menjadi solusi dari persamaan (2.1) dan kemudian dua alternatif untuk permasalahan yang mendukung disajikan secara terperinci. Di langkah pertama dalam operasi penyelesaian dengan fungsi yang rasional. Dibagian ini juga terdapat masalah yang masih dapat dikembangkan, yaitu permasalahan atau kendala yang cukup banyak dengan ketidakpastian atau error yang cukup tinggi didalam operasi yang bersifat rasional dan juga permasalahan dalam peningkatan jumlah variabel dan kendala. Untuk mendukung solusi yang akan dibahas dibagian kontinu, pada akhirnya yang kita butuhkan adalah pernyataan terminasi algoritma.
Algoritma 0 sebenarnya bermula dari algoritma yang dibuat oleh Dinkelbach (1969), disana dijelaskan secara jelas dalam sebuah tabel implementasi dengan menggunakan metode simpleks untuk kasus parametrik.

Universitas Sumatera Utara

8
Seperti halnya, algoritma Dinkelbach dapat dilanjutkan atau diteruskan untuk diimplementasikan, dengan tidak menghilangkan sifat-sifat yang ada didalam penyelesaian LP tersebut dan membutuhkan operasional yang cukup banyak dengan fungsi-fungsi rasional. Di algoritma 0 LP (2.1) diharapkan selesai pada titik Break Point (untuk nilai parameter yang statis) dengan menggunakan LP solver yang biasa digunakan.
Kemudian diasumsikan permasalahan baru yang didapat dari diagram atau hasil tersebut, algoritma tersebut bergerak untuk menyelesaikan break point tersebut dengan menggunakan semua matriks yang menjadi basis program linear, dimana matriks-matriks tersebut memiliki daerah layak dan kondisi-kondisi optimal. Jika di kasus yang LP-nya infeasible ini menandakan ada daerah parameter yang parametrik LP-nya juga infeasible, dan daerah ini dapat diidentifikasi dengan menggunakan auxiliary problem, berdasarkan fasa pertama dengan metode simplex.
Diberikan juga LP Solver yang dapat mengurangi nilai error daripada Algoritma Dinkelbach, karena banyaknya kasus yang tidak terselesaikan dalam permasalahan fungsi rasional jauh, lebih kecil dari pada yang lainnya. Penelitian ini dibuat hanya untuk memfaktorisasi matriks dengan ukuran m1 + m2 dan paling banyak (m1 + m2)3 operasi dengan fungsi yang rasional. Dibagian lainnya, tidak ada cabang ilmu dari heuristik yang dapat menggaransi sebuah angka iterasi untuk metode simplex, dan itu menjadi konsekuensi dari algoritma Dinkelbach. Untuk permasalahan yang besar, diharapkan algoritma Dinkelbach yang dilakukan dapat mengurangi banyaknya iterasi yang akan terjadi. Sejak operasi-operasi yang dilakukan akan mendapati kesimpulan matriks-matriks ((A1(p) dan A2(p)) dan nilai error yang dihasilkan dari iterasi-iterasi yang terjadi cukup kecil. Untuk penelitian ini, algoritma berikut dapat diterapkan untuk variabel yang lebih banyak dari kendalanya, nx ≫ m1 + m2.
Universitas Sumatera Utara

Algoritma 0 (Parametrik Program Linear)

9

Input semua data dari permasalahan ke algoritma, dengan toleransi dari pertidaksamaan primal εinf dan batas - batas dari pertidaksamaan εopt dan sebuah nilai yang diperkirakan untuk parameter variabel step δp > 0. Algoritma menggunakan sebuah himpunan R untuk menyimpan nilai-nilai dari solusi optimal. Elemen dari R adalah kembar empat, dibentuk dari nilai parameter pRl, sebuah nilai Boolean gRl, dapat menjelaskan semua permasalahan yang feasible untuk elemen (gRl= Benar) atau bukan (gRl= Salah), sebuah nilai xRl(p), dan harus berkorespondensi dengan fungsi objektif f Rl(p).

1. Inisialkan dengan ps = pl.

2. Ulangi

a. Selesaikan LP (2.1) untuk p = ps + δp dan tetapkan menjadi solusi basis.

b. IF Daerah Layak Then

i. Menetapkan g= Benar

ELSE

i. Menetapkan g= Benar ii. Menetapkan f(p) = +∞ iii. Selesaikan fasa 1 untuk problem (3.2) untuk p = p¯ = ps + δp dan
tetapkan menjadi solusi basis.

c. Susunlah sistem parametrik tersebut menjadi persamaan dan pertidaksamaan.

d. Tentukan variabel yang tergantung dari solusi x(p), f (p) untuk p ∈ [ps, pu].

e. Setelah itu ditentukan daerah layak di p ∈ [ps, pu].

Misalkan pt adalah nilai terendah dari parameter untuk semua kendala

primal yang dilarang.

IF

pt

≤

ps

+ δp

THEN

misalkan

δp

=

δp 2

.

GOTO

langkah

2a.

Menetapkan pt = min{pt, pu}.

Universitas Sumatera Utara

10

f. Tentukan nilai - nilai dari range yang optimal di p ∈ [ps, pt]

Misalkan pt adalah nilai terendah dari parameter untuk semua kendala

primal yang dilarang.

IF

pt

≤

ps

+ δp

THEN

misalkan

δp

=

δp 2

.

GOTO

langkah

2a.

Mengambil pt = min{pt, pu}.

g. Simpan (ps, x(p), f (p), g) di R.

h. Mengambil ps = min{pt, pu}. Until ps ≤ pu

Pada saat pemberhentian iterasi R didalamnya terdapat solusi untuk parametrik LP. Untuk semua elemen Rl dimana gRl = Salah, program tersebut menghasilkan daerah tidak layak untuk p ∈ [pRl, pRl+1 ] dan ketika gRl = Benar, titik xRl(p) memenuhi kendala primal dimana εinf bertoleransi dan nilai dari kendala marginal tanpa εopt bertoleransi, menggunakan sifat konveksitas pRl+1 = pu untuk l = |R|.
Menyelesaikan nilai dari parameter yang lebih tinggi dari p = ps + δp memenuhi perubahan yang terjadi dibasis program linear dan juga mengecek kembali nilai-nilai dari daerah layak dan nilai optimal di p ∈ {ps, pu} memenuhi nilai basis yang juga harus optimal di [ps, ps + δp]. Parameter δp harus diperkenalkan dan diatur sehingga menjadi sangat kecil, hal ini bertujuan untuk mencegah perhitungan kembali. Diasumsikan kesederhanaan telah dijelaskan. Yang menjadi catatan penting adalah adalah penyelesaian LP, itu lebih bertipe memberikan keuntungan untuk menyimpan nilai informasi dari basis program linear dan memberikan nilai awal basis program linear untuk langkah selanjutnya.

2.3 Menentukan Solusi Kualitatif
Ketika menyelesaikan persamaan (2.1) untuk sebuah nilai parameter p yang spesifik, dikeadaan umum solusi yang valid atau diterima hanyalah solusi dengan nilai parameter yang valid atau dapat diterima. Dibahagian lainnya, dengan diasumsikan batas batas dari fungsi kendala, untuk semua nilai parameter dipersamaan (2.1) adalah layak, terdapat sebuah solusi optimal untuk persamaan (2.1) dan

Universitas Sumatera Utara

11
sebuah titik dengan daerah layak yang telah optimal. Sebagai konsekuensinya adalah plausible untuk mendefinisikan solusi kualitatif sebagai nilai pencarian awal ataupun basis program linear. Hasil tersebut menuntun kita menuju sebuah sistem persamaan yang mendukung sistem persamaan parametrik dan memasukkan fungsi yang tergantung pada nilai variabel basis program linear untuk parameter tersebut. Variabel Non Basis juga ada untuk ditentukan batasannya.
Berdasarkan ketergantungan fungsional tersebut didapat analisis sensitif post-optimal. Ini adalah permasalahan utama dan sangat penting untuk subproblem didalam algoritma. Dikasus vektor biaya, adalah kasus trivial untuk matriks basis dan matriks ruas sisi kanan tergantung dari parameter. Sebagai konsekuensi dari solusi kualitatif invarian, parameternya adalah bebas. Dikasus basis program linear, elemen matriks adalah parameter bebas dan matriks basis program linear dapat dikonversi dan kemudian dikalikan dengan matriks basis program linear. Meskipun di vektor basis program linear sangat berdampak di parameter tersebut, solusi kualitatif invarian juga memberikan efek terhadap parameter di fungsi tersebut.
Di kasus umum (2.1) sebuah matriks telah diinversi sebagai fungsi dari parameter p. Pada dasarnya invers ini didapatkan dengan operasi basis elementer untuk matriks basis B, sebagai contohnya, faktorisasi LU dapat diikuti dengan substitusi kembali, dengan operasi simbolik untuk matriks elemen. Jika semua data berfungsi rasional untuk parameter p, maka dapat dijadikan sebagai kandidat solusi optimal. Berdasarkan ini, Dinkelbach (1969) membuat proposal untuk menggunakan algoritma simpleks untuk fungsi rasional. Pendekatan ini tidak dapat digunakan untuk matriks ukuran besar karena angka yang digunakan dapat mengakibatkan nilai menjadi sangat besar. Dengan catatan penggunaan presisi aritmatik adalah dilarang dengan sangat tegas. Pada penelitian ini juga bertujuan untuk mencari alternatif untuk solusi numerikal dari himpunan persamaan dengan fungsi kontinu selama deteksi kebenaran untuk pertidaksamaan primal dan pertidaksamaan biaya marginal.
Universitas Sumatera Utara

12

Sebuah permasalahan kompleks dapat diselesaikan menggunakan solver seperti CPLEX adalah harus diperkenalkan variabel tambahan, seperti surplus dan slack untuk persamaan dan pertidaksamaan. Salah satu alasan untuk itu adalah jarang ditemukan LP yang memiliki kendala bebas linear (redundant atau infeasible). Di terminasi program, solver tersebut memiliki m1 + m2 variabel basis program linear, beberapa diantaranya adalah original dan beberapa adalah variabel slack ataupun surplus. Variabel non basis adalah berada pada batas bawah (xj = xLj ) ataupun batas atas (xj = xuj ). Yang menjadi catatan penting adalah perbandingan secara langsung ke LP dalam bentuk standar dimana variabel nonbasisnya memiliki nilai nol. Sebuah persamaan infeasible untuk semua variabel surplus yang berhubungan adalah basis dan bukan nol, dibagian lainnya persamaan tersebut menjadi redundant jika variabel surplus yang berhubungan adalah basis tetapi terletak pada level nol.

Jika persamaan (2.1) adalah ekivalen kepada
min (c(p))T x
x,s
dengan kendala A1x(p)x + I1s = b1(p) A2x(p)x + I2s = b2(p) x ∈ Rnx , xL ≤ x ≤ xU s ∈ Rm1, s = 0 t ∈ Rm2 , 0 ≤ t,

(2.2)

Dimana I1dan I2 adalah matriks identitas dengan ukuran m1 dan m2, jelaslah bahwa solusi optimal (2.1) adalah juga optimal di persamaan (2.2) dan sebaliknya. Di algoritma 0, LP Solver digunakan untuk persamaan (2.1) dimana untuk subroutine 1, permasalahan yang di perbaharui tersebut digunakan untuk sistem parametrik.
Diharapkan pada saat terminasi, LP solver memberikan 2 vektor integer dv ∈ {0, 1, 2}n dan dr ∈ {0, 1}m1+m2 . Komponen jth dari dv menandakan variabel j memiliki batas bawah (djv = 0), basis (dvj = 1), dan batas atas (djv = 2). Komponen jth dari dvmenandakan variabel tambahan j adalah basis (drj = 1) atau non basis (djr = 0).

Universitas Sumatera Utara

13
Subroutine 1 menjelaskan bagaimana sistem persamaan kuadrat disusun dan akan menyimpan sebuah parameter bergantung matriks B(p) ∈ R(m1+m2)x(m1+m2) dan sebuah parameter bergantung nilai vektor basis program linear b(p) menyelesaikan sistem B(p)xB = b(p) sebagai fungsi dari parameter yang diberikan dapat memenuhi fungsi yang bergantung tersebut. Untuk selanjutnya batas batas variabel basis tersebut disimpan di xB,L dan xB,U dan nilai basis program linear dari variabel basis disimpan dalam cB(p).
Subroutine 1(Penyusunan Parametrik Sistem Persamaan)
Subroutine ini menggunakan variabel penghitung i, j dan menyimpan sejumlah varibel basis di nb.
1. Menetapkan bi(p) = bi1(p) untuk i = 1, · · · , m1. 2. Menetapkan bi+m1 (p) = b2i (p) untuk i = 1, · · · , m2.
3. Menetapkan nb = 0.
4. Untuk i = I, · · · , nx Lakukan
a. IF div = 1 THEN i. nb = nb + 1. ii. Menetapkan bj,nb(p) = A1j,i(p) untuk i = 1, · · · , m1.
iii. Menetapkan bj+m1,nb(p) = A2j,i(p) untuk i = 1, · · · , m2. iv. cBnb (p) = ci(p). v. xnBb,L = xLi . vi. xBnb,U = xiU . b. ELSE IF dvi = 0 THEN
i. Menetapkan bj(p) = b1j − Aj1,i(p)xLi untuk j = 1, · · · , m1. ii. Menetapkan bj+m1 (p) = bj2(p) − A2j,i(p)xiL untuk j = 1, · · · , m2. c. ELSE i. Menetapkan bj(p) = bj1 − Aj1,i(p)xiU untuk j = 1, · · · , m1. ii. Menetapkan bj+m1 (p) = b2j (p) − Aj2,i(p)xiU untuk j = 1, · · · , m2.
Universitas Sumatera Utara

14
END 5. Untuk i = 1, · · · , m1 + m2 Lakukan
a. IF dir = 1THEN i. nb = nb + 1. ii. Menetapkan bi,nb(p) = 1
iii. Menetapkan bj,nb(p) = 0 untuk j = 1, · · · , m1 + m2; j = 1. iv. xnBb,L = 0. v. IF i ≤ m1THEN Menetapkan xnBb,U = 0 ELSE xnBb,U = +∞. vi. cnBb = 0. END
Seperti yang telah ditunjukkan di contoh 2.2 ada banyak kemungkinan yang akan keluar ketika B(p) menjadi matriks singular dan memberikan hasil yang layak untuk beberapa nilai parameter, karena setelah menjadi basis program linear dan kendala primal serta marginal tidak menjamin persamaan menjadi optimal. Untuk menyederhanakan kasus seperti ini kita harus membuat sebuah asumsi tambahan yaitu :
Asumsi 2.3 Jika sebuah baris tambahan B(p) adalah optimal untuk beberapa p¯ dan singular untuk beberapa nilai parameter nilai p¯ ∈ P kemudian ada nilai δ > 0, dimana untuk ∀p ∈ P : |p¯− p| < δ sistem persamaan B(p)xB = b(p) tidak memiliki solusi yang dapat memenuhi kendala primal xB ∈ [xB,L, xB,U].
Universitas Sumatera Utara

15
Yang menjadi perhatian yang utama adalah asumsi 2.3 hanya dibutuhkan untuk satu dari dua alternatif yang ditunjukkan disubproblem algoritma 0, yang dinamakan dengan continuation. Jika asumsi ini dibatalkan maka konsekuensinya adalah untuk nilai parameter dengan matriks singular, nilai solusi suboptimal akan diperhitungkan kembali dengan algoritma yang ada. Dan juga untuk variabelvariabel yang memiliki batasan yang jelas asumsi 2.3 dapat diturunkan menggunakan pernyataan yang sederhana yaitu JIka sebuah basis tambahan B(p) adalah optimal untuk beberapa p dan singular untuk semua nilai parameter p¯ ∈ P yang lain, kemudian sistem B(p¯)xB = b(p¯) tidak memiliki solusi.

2.3.1 Solusi kualitatif dengan operasi rasional
Algoritma yang dilakukan oleh Dinkelbach (1969) menyelesaikan parametrik LP secara langsung menggunakan operasi rasional. Sebagai akibatnya setiap iterasi (B(p))−1b(p)dapat digunakan. Makalah ini bertujuan untuk mengambil matriks tersebut dan menunjukkan sebuah faktorisasi LU dengan menggunakan operasi rasional. Penulis mengasumsikan kehadiran sebuah algoritma faktorisasi LU dari matriks rasional B(p) sebagai sebuah permutasi matriks M, dengan semua elemen bebas dari p, sebuah matriks segitiga bawah L(p) dengan semua elemen diagonal utama sama dengan satu dan sebuah matriks segitiga atas U(p) yang memenuhi persamaan berikut:

MB(p) = L(p)U(p)
Metode ini diizinkan, minimal untuk sifatnya, karena digunakan untuk melihat jika matriks tersebut menjadi singular untuk beberapa titik parameter, langkah pertama adalah menghitung besar dari nilai determinannya

|

det(B(p))|

=

Πm1+m2
i=1

|UI

,i(P

)|

Dan ketika menghitung pertama kali nilai parameter untuk yang | det(B(p))| = 0 maka sifat asumsi 2.3. tidak diperlukan. Dengan catatan algoritma yang digunakan oleh Dinkelbach (1969) dibutuhkan. Daerah hasil dari basis

Universitas Sumatera Utara

16
yang dapat diinverskan telah dikenal, sistem B(p)xB = b(p)dapat diselesaikan dengan dua langkah. Langkah pertama adalah elminasi L(p)v = MB(p), dapat dilakukan dengan memberikan vektor temporer v(p) sebagai sebuah fungsi untuk parameter. Dan kemudian kembali melakukan substitusi U(p)xB = v(p), dengan syarat kehadiran terikat.
Remark 2.1. (Dilakukan kepada matriks sebelum faktorisasi LU). Sejak variabel surplus dan slack hanya memiliki satu elemen tidak nol, adalah sangat efisien untuk menyusun kembali variabel dan matriks basis, dengan meletakkan variabel artifisial disebelah kiri atas, basis untuk menunjukkan proses faktorisasi. Untuk kesederhanaan penulis tidak menjelaskan ini di subroutine 1.
2.3.2 Solusi kualitatif dengan continuation
Sebuah permasalahan yang matriks inversnya mendapat perlakuan operasi rasional, adalah sangat banyak penafsiran aritmatika yang dilakukan, dengan larangan perluasan atau kesalahan numerik yang menjadi besar sejalan dengan pembesaran ukuran sistem persamaan. Penulis bertujuan mencari sebuah jalur alternatif untuk melakukan pendekatan menggunakan metode Continuation. Metode ini tidak bisa digunakan untuk operasi dengan fungsi rasional dan juga sistem ukuran besar. Nilai basis di subroutine 1 dapat diselesaikan dengan metode continuation. Sebuah keuntungan tambahan adalah asumsi 2 tidak dibutuhkan. Sebuah kerugian juga muncul disolusi dengan opersai rasional adalah asumsi 3 dibutuhkan. Nazareth (1991) menggunakan sebuah variasi dari metode simpleks berdasarkan continuation untuk parametrik LP, dimana efek parameter itu hanya untuk vektor biaya dan basis program linear.
Ide utama dari continuation adalah mengikuti definisi implisit dari kurva F (x, λ) = 0, dimana f : Rn+1 → Rn adalah diasumsikan smooth. Metode predictor-corrector meninggalkan jejak dikurva dan mengeneralisasi barisan dari titik (λi, zi) yang mana kurvanya memberikan toleransi (||f (z, λ|| < ε). Pada iterasi yang diberikan langkah pertama dimulai dari λi−1 menuju λi dan sebuah predictor z¯i dapat diperhitungkan. Sebagai contoh dengan menggunakan sebuah pendekatan polynomial spline. Koreksi dari jenis ini dapat ditunjukkan meng-
Universitas Sumatera Utara

17

gunakan Newton Solver untuk solusi f (λi, zi) = 0 dengan z¯i sebagai nilai yang diprediksi. Ukuran dari langkahnya adalah λi − λi−1 tergantung kepada kualitas aproksimasi dari langkah langkah sebelumnya.

Penelitian ini tidak akan membahas hal yang berhubungan dengan homotopy continuation, dan titik akhir (untuk λ = 1) dikurva yang dibutuhkan. Penulis tertarik dengan yang telah dipaparkan dan mengestimasi solusi dari

B(p)xB = b(p)

(2.3)

Untuk sebuah daerah hasil dari nilai parameter dan penulis menggunakan predictor polynomials sebagai sebuah aproksimasi untuk solusi. Meskipun estimasi diperlukan untuk kualitas predictor disemua titik yang digeneralisasikan sebagaimana baiknya untuk titik yang berada diantaranya. Ketika itu mungkin memiliki sifat menguasai semua ||f(z, λ||, Seperti yang telah di kemukakan oleh Neubert (1997), kebanyakan metode memberikan nilai estimasi error (Rheinboldt, 1983). Kesamaan estimasi error dapat diaplikasikan atau dirujuk ke solusi dari sistem persamaan differensial aljabar (Asher et.al., 1998) yang memberikan harapan penelitian ini akan sukses menyelesaikan persoalan diatas dengan latihan perhitungan.
Di aplikasi yang dibahas, untuk sebuah nilai parameter yang ditetapkan dalam sistem persamaan linear akan dapat diselesaikan. Meskipun langkah dari corrector dapat ditunjukkan oleh beberapa linear solver yang lain secara langsung maupun iterasi. Dengan mengasumsikan bahwa predictor sangat bagus dalam memperkirakan, itu akan menjadi keuntungan jika menggunakan metode iterasi, khususnya untuk sistem persamaan yang besar.
Karena tidak ada invers secara langsung dari basis B(p) dapat ditunjukkan, algoritma yang ada tidak bisa mendeteksi nilai parameter untuk matriks yang singular. Formulasi yang dilakukan hanya dapat mendeteksi sifat singular, tetapi matriks tersebut sangatlah susah untuk mendapatkannya.

Universitas Sumatera Utara

18
Kemungkinan yang lain adalah untuk mendeteksi sifat singular adalah dengan metode continuation, tetapi karena alasan efisiensi maka untuk jenis faktor LU tidak dapat dilaksanakan. Ini harus mengandalkan asumsi 3, yang dapat menggaransi kendala primal tidak rusak sebelum matriks tersebut menjadi singular.

2.4 Mencari Daerah Hasil

Daerah hasil yang diberikan dengan basis adalah didefinisikan secara implisit de-

ngan

B(p)xB = b(p)

(2.4)

xB,L ≤ xB ≤ xB,U

Dikasus umum, daerah hasil adalah himpunan Disjoint, di algoritma 0 daerah layak untuk titik parameter ps telah diberikan dan nilai terkecil dari nilai parameter pt untuk persamaan (2.4) adalah tidak layak dan memenuhi toleransi εinf dibutuhkan.
Dikasus vektor biaya, langkah ini tidak diperlukan, sejak daerah hasil tidak tergantung pada parameter. Dikasus basis program linear dengan tergantung pada nilai yang diperbaharui di parameter, xB adalah fungsi affine di parameter dan hanya sebuah pertidaksamaan linear dibutuhkan untuk diperiksa kembali.

2.4.1 Solusi dengan operasi rasional
Mengingat kembali dengan menggunakan eliminasi maju dan substitusi mundur, didapatkan hasil fungsi tergantung oleh xB di parameter. Subroutine 1 menunjukkan nilai parameter terkecil pt untuk persamaan (2.4) adalah tidak layak dengan menggunakan toleransi εinf .

Universitas Sumatera Utara

19 Subroutine 2(Menghasilkan daerah hasil yang layak)
1. Menetapkan pt = pu. 2. Untuk i = 1, · · · , m1 + m2 Lakukan
a. IF xBi ,L > −∞ THEN menetapkan pt sama dengan hasil terkecil dari xiB(p) = xBi ,L(p) − εinf untuk p ∈ [ps, pt].
b. IF xBi ,L > +∞ THEN menetapkan pt sama dengan hasil terkecil dari xiB(p) = xiB,L(p) + εinf untuk p ∈ [ps, pt].
END Langkah ini dapat menunjukkan bahwa operasi rasional tidak memiliki hasil atau akar akar di [ps, pt] dimana pt yang sisa tidak dapat tergantikan.
2.4.2 Solusi dengan continuation Sebagai tambahan, untuk mengurusi jejak yang ditinggalkan oleh solusi persamaan (2.3) penulis mempunyai tujuan untuk ketidaklayakan εinf untuk kendala kendala primal xB,L ≤ xB ≤ xB,U dengan menggunakan kode deteksi, seperti yang telah dihasilkan Park and Barton (1996) yang menggabungkan sistem persamaan aljabar turunan. Algoritma ini harus menghibridkan sebuah kejadian dengan menyelesaikan interpolasi polynomial tanpa langkah continuation dan kemudian menentukan letak kejadian tersebut dengan akurat.
Universitas Sumatera Utara

20

2.5 Mencari Daerah Optimal

Di LP secara eksplisit, kondisi optimal adalah tersediaan [31] dan dapat digunakan untuk mengidentifikasi daerah optimal. Mengingat kembali arti dari matrix basis B(p), vektor biaya dari solusi cB(p) dan vektor integer dv dari subroutine 1. Sistem berikut secara implisit mendefinisikan daerah optimal dari sebuah basis

(B(p))T z = cB(p) Σmi=11ziA1i,j(p) − Σim=21zi+m1 Ai2+m1,j(p) ≥ 0, ∀j : dvj = 0 Σmi=11ziA1i,j(p) − Σmi=21zi+m1 Ai2+m1,j(p) ≥ 0, ∀j : dvj = 0
zj ≤ 0, ∀j ≤ m1 : drj = 0,

(2.5)

Dimana z ∈ Rm1+m2 adalah sebuah vektor dengan variabel tambahan. Pertidaksamaan pertama dan kedua menghitung variabel awal non basis yang terdapat di dalam vektor marginal. Pertidaksamaan ketiga menghitung biaya marginal dari variabel slack untuk pertidaksamaan non basis, sejak nilai dari variabel slack sama dengan nol dan hanya ada satu buah input variabel slack di matriks tersebut. Yang menjadi perhatian, nilai marginal untuk variabel surplus (untuk persamaan non basis) tidak butuh untuk dihitung. Sejak variabel surplus dapat memasuki basis dari daerah tidak layak.

Remark 2.2 (mengeliminasi variabel tambahan). Sejak nilai dari variabel surplus adalah sebuah himpunan yang sama dengan nol dan kolom dari matriks tersebut berkorespondensi dengan variabel surplus yang sama dengan vektor identitas, penulis dapat mengeliminasi variabel z yang berkorespondensi dengan variabel surplus yang menjadi basis dari persamaan (2.5). langkah ini bertujuan untuk penyederhanaan.
Dengan tujuan untuk mencari daerah layak, dikasus (2.5) menunjukkan himpunan disjoint untuk parameter tersebut. Di algoritma 0, penulis menunjukkan kondisi optimal dari sebuah nilai parameter ps dan penulis berkeinginan untuk menemukan nilai terkecil parameter ptuntuk persamaan (2.5) yang terlarang dengan memenuhi toleransi εopt.

Universitas Sumatera Utara

21
Di kasus basis program linear langkah ini tidak diperlukan, sejak nilai marginal tidak tergantung pada parameter. Di kasus nilai vektor dengan ketergantungan affine di parameter, sebuah himpunan pertidaksamaan linear ditbutuhkan untuk diperiksa kembali.
2.5.1 Solusi dengan operasi rasional Setelah penulis menurunkan faktorisasi LU dari matriks B(p). Penulis menggunakan faktorisasi ini untuk menghitung variabel tambahan z dan batas batas nilai marginal seperti yang ditunjukkan dalam subroutine 3.
Subroutine 3 ( Mendapatkan daerah hasil optimal )
1. Selesaikan UT (p)u = cB(P ) untuk u dengan menggunakan eliminasi maju. 2. Selesaikan LT (p)v = u(P ) untuk v dengan menggunakan eliminasi mundur. 3. Hitung z(p) = MT y(p). 4. Untuk j = 1, · · · , m1.
a. IF djr = 0 THEN menetapkan pt sama dengan hasil pertama dari zj(p) = −εopt di p ∈ [ps, pt].
END 5. Untuk j = 1, , n, djv = 1
a. Menetapkan t(p) = c(p) − Σim=11zi(p)A1i,j(p) − Σmi=21zi+m1 (p)Ai2+m1j (p). b. IF djv = 0 THEN menetapkan pt sama dengan hasil pertama dari t(p) =
−ε di p ∈ [ps, pt]. ELSE menetapkan pt sama dengan hasil pertama dari t(p) = ε di p ∈ [ps, pt] END
Yang perlu diperhatikan adalah jika operasi rasional tidak memiliki akar di [ps, pt], nilai pt yang tertinggal tidak akan berubah lagi.
Universitas Sumatera Utara

22

2.5.2 Solusi dengan continuation

Penulis bertujuan untuk menunjukkan pembagian dan pengklasifikasian dari fungsi marginal nilai biaya dari pertidaksamaan seperti yang ditunjukkan oleh perlakuan pada pertidaksamaan primal.

Sebagai contoh selesaikan

(B(p))T z = cB(P )

sebagai fungsi dari p, mengunakan metode continuation sampai salah satu persamaan tersebut tidak digunakan.
cj(p) − Σim=11ziAi1,j(p) − Σim=21zi+m1 A2i+m1,j(p) ≥ 0, ∀j : dvj = 0 cj(p) − Σim=11ziAi1,j(p) − Σim=21zi+m1 Ai2+m1,j(p) ≤ 0, ∀j : dvj = 2
Zj ≤ 0, ∀j < m1 : drj = 0, Oleh sebuah nilai yang mendekati εopt.

2.6 Daerah Hasil Tidak Layak
Diharapkan untuk beberapa nilai parameter p¯, parametrik LP (2.1) adalah tidak layak, untuk menentukan daerah hasil yang tidak layak penulis membutuhkan fungsi kendala tambahan, sama seperti fase 1 dari metode simpleks (D. Bertsimas, 1997), dimana variabel surplus diperkenalkan untuk kedua jenis kendala persamaan dan pertidak samaan.

min
x,s

Σm1 +m2
i=1

si

dengan kendala

Σjn=x 1A1i,j(p)xj + sign(bi1(p¯) − Σnj=x 1Ai1,jxjL(p¯))si = bi1(p) − Σnj=x 1A1i,jxjL, i = 1, · · · , m1 Σnj=x 1A2i,j(p)xLj − si+m1 ≤ b2i (p)−Σnj=x 1A2i,j(p)xLj , i = 1, · · · , m2 x ∈ Rnx ,0 ≤ x ≤ xU − xL

s ∈ Rm1+m2 ,0 ≤ s.

(2.6)

Universitas Sumatera Utara

23
Penting bahwa, tanda tanda dari variabel tambahan yang dihitung pada nilai tetap parameter p¯ digunakan untuk memenuhi persamaan dengan menggunakan percobaan bahwa persamaan (2.6) adalah sebuah daerah layak untuk nilai nilai dari parameter. Sebelum dijelaskan bagaimana fungsi kendala digunakan, kita harus menunjukkan beberapa sifat yang harus dipenuhi. Proposisi 1 (permasalahan parametrik fase 1)
1. Parametrik lanjutan LP (2.6) adalah layak untuk p = p¯. 2. Untuk semua parameter pˆ parameterik LP (2.1) adalah layak jika dan hanya
jika nilai solusi optimal dari parametrik lanjutan LP (2.6) adalah sama dengan nol. 3. Untuk semua parameter pˆ parameterik LP (2.1) adalah layak jika dan hanya jika nilai solusi optimal dari parametrik (2.6) adalah lebih besar dari nol.
Bukti
1. Batas atas dari persamaan menunjukkan kelayakan dari pasangan (x¯, s¯). Ambil x¯ = 0, s¯i = |b1i (p¯) − Σjn=x 1AI1,jxLj (p¯)| untuk i ≤ m1 dan s¯i = max{0, −b2i−m1 (p¯) + Σjn=x 1Ai2−m1 (p)xLj } untuk i > m1. Perlakuan ini harus memenuhi batas-batas variabel. Kendala i adalah ekivalen dengan sign(bi1(p¯) − Σnj=x 1A1I,jxjL(p¯))|bi1(p¯) − Σnj=x 1A1I,jxLj (p¯)| = b1i (p¯) − Σnj=x 1A1I,j(p¯)xLj , Dimana dapat memenuhi definisi dari lambang sign dan nilai absolut. Kendala pertidaksamaan i adalah ekivalen terhadap − max{0, −b2i (p¯) − Σjn=x 1Ai2,j(p)xjL} ≤ bi2(p¯) − Σnj=x 1A2i,j(p¯)xjL, Dimana perlakuan ini memenuhi definisi dari max.
2. a. Untuk nilai solusi dari pˆ dari permasalahan lanjutan (2.6) adalah nol. Penulis secara tidak sengaja menemukan pasangan (x¯, s¯) yang layak di persamaan (2.6) dan memenuhi sˆ = 0.
Universitas Sumatera Utara

24

Dengan sifat kelayakan dan berpatokan ke batasan variabel 0 ≤ xˆ ≤ xU − xL atau ekivalen dengan xL ≤ x˜ ≤ xU , dimana x˜ = xU − xˆ. sifat kelayakan ini berpatokan pada kendala dan memberikan

Σjn=x 1Ai1,j(pˆ)xˆLj + sign(b1i (p¯) − Σnj=x 1A1i,jxLj (p¯))0

= b1i (pˆ) − Σjn=x 1A1i,j(pˆ)xLj = i = 1, · · · , m1

atau

Σnj=x 1Ai1,j(pˆ)(xˆj + xLj ) = b1i (pˆ), i = 1, · · · , m1.

Sejalan dengan persamaan tersebut, kelayakan dengan kendala pertidaksamaan memberikan

Σjn=x 1Ai2,j(pˆ)(xˆj + xLj ) = b2i (pˆ), i = 1, · · · , m2.

Dengan menggunakan hubungan yang terjadi di atas, itu akan dihasilkan nilai x˜ yang layak di persamaan (2.1) untuk pˆ.
b. Nilai pˆ yang berasal dari parametrik LP (2.1) adalah layak. Penulis dapat sekaligus mencari nilai x˜ yang layak untuk pˆ. Dengan menggunakan pasangan (xˆ, sˆ) di persamaan (2.6) untuk pˆ. Sejak nilai solusi optimal di persamaan (2.6) adalah tidak negatif, pasangan (xˆ, sˆ) adalah optimal untuk pˆ, atau persamaan (2.6) memiliki solusi optimal nol untuk pˆ.

3. Sejak perumusan nilai solusi optimal dari parametrik tambahan LP tidak negatif, itu akan memenuhi hasil yang akan digunakan selanjutnya.

Berdasarkan sifat yang ditunjukkan di proposisi 1 ketika daerah tidak layak persamaan (2.1) ditemukan untuk beberapa nilai parameter p¯, permasalahan kendala (2.6) diselesaikan di p¯ dan kemudian daerah layak dan daerah optimal dapat ditentukan menggunakan kendala ini, didalam analogi bagian sebelumnya. Untuk nilai parameter yang nilai basisnya tergantung pada optimalnya, sisa p¯ untuk persamaan (2.6), permasalahan asal (2.1) menjadi tidak layak.
Universitas Sumatera Utara

25
Note bahwa jika beberapa nilai parameter dari basis tersebut tidak layak atau suboptimal, ini tidak langsung menunjukkan kelayakan dari persamaan (2.1), tetapi lebih kepada menunjukkan algoritma 0, ketika nilai basis yang ada di dalam permasalahan tambahan menjadi tidak layak atau suboptimal permasalahan utamanya perlu diselesaikan.
2.7 Terminasi Algoritma Teorema 1. Berdasarkan asumsi 2.1, 2.2, dan 2.3, algoritma 0 terhenti terbatas. Di terminasi R mengandung sebuah perkiraan solusi u