Pertemuan ke 19 Program Integer

Program Integer
Riset Operasi
TIP – FTP – UB

Model Pemrograman Integer
Tipe Model
Total Integer Model: Semua variabel keputusan diharuskan
mempunyai nilai solusi integer.
0–1 Integer Model: Semua variabel keputusan mempunyai
nilai integer 0 atau 1.
Biner / Binary
Boolean dan True/False
Mixed Integer Model: Beberapa variabel keputusan (tetapi
tidak semua) diharuskan mempunyai solusi integer.

2

Model Total Integer (1 of 2)
Toko mesin ingin membeli mesin pencetak dan mesin bubut
baru
Keuntungan marjinal: mesin cetak $100/hari; mesin bubut

$150/hari.
Batasan sumberdaya: $40,000, tempat tersedia 200 ft2.
Biaya pembelian mesin dan kebutuhan ruang:
Mesin

Kebutuhan Ruang
( ft2)

Harga beli

Pencetak

15

$8,000

Bubut

30

4,000
3

Model Total Integer (2 of 2)
Integer Programming Model:
Memaksimalkan Z = $100x1 + $150x2
dengan kendala:

8,000x1 + 4,000x2  $40,000
15x1 + 30x2  200 ft2

x1, x2  0 dan integer
x1 = jumlah mesin pencetak
x2 = jumlah mesin bubut

4

Model Integer 0-1 (1 of 2)
Pemilihan fasilitas rekreasi untuk memaksimalkan
penggunaan harian warga.

Batasan sumberdaya: anggaran $120,000; tanah 12 acres.
Batasan tambahan: salah satu dari kolam renang atau
lapangan tenis.
Data:
Fasilitas
Rekreasi

Penggunaan
(orang/hari)

Biaya ($)

Kebutuhan Tanah
(acres)

Kolam renang
Lapangan tenis
Lapangan atletik
Gymnasium

300
90
400
150

35,000
10,000
25,000
90,000

4
2
7
3

5

Model Integer 0-1 (2 of 2)
Integer Programming Model:
Memaksimalkan Z = 300x1 + 90x2 + 400x3 + 150x4

dengan kendala:

$35,000x1 + 10,000x2 + 25,000x3 + 90,000x4  $120,000
4x1 + 2x2 + 7x3 + 3x4  12 acres
x1 + x2  1 fasilitas

x1, x2, x3, x4 = 0 atau 1
x1 = pendiriian sebuah kolam renang
x2 = pendirian sebuah lapangan tenis
x3 = pendirian sebuah lapangan atletik
x4 = pendirian sebuah gymnasium
6

Model Integer Campuran (1 of 2)
Anggaran $250,000 tersedia untuk inverstasi dengan
pengembalian terbesar setelah setahun.
Data:
Harga villa $50,000/unit, $9,000 keuntungan jika dijual
setelah satu tahun.
Harga tanah $12,000/acre, $1,500 keuntungan jika dijual

setelah setahun.
Harga obligasi $8,000/bond, $1,000 keuntungan jika
dijual setalah setahun.
Tersedia hanya 4 villa, 15 acres tanah, dan 20 obligasi.

7

A Mixed Integer Model (2 of 2)
Integer Programming Model:
Memaksimalkan Z = $9,000x1 + 1,500x2 + 1,000x3
dengan kendala:

50,000x1 + 12,000x2 + 8,000x3  $250,000
x1  4 villa
x2  15 acres
x3  20 bond
x2  0
x1, x3  0 dan integer
x1 = villa yang dibeli
x2 = acre tanah yang dibeli

x3 = obligasi yang dibeli
8

Solusi Grafis Pemrograman Integer
Pembulatan solusi non-integer ke atas (ke bawah) dapat
menghasilkan solusi tak layak
Sebuah solusi layak mungkin ditemukan dengan
pembulatan tetapi tidak optimal (sub-optimal).
Apakah sebuah variabel dibulatkan ke atas atau ke bawah
tergantung pada hasil dan kendala yang ada.

9

Contoh Pemrograman Integer
Solusi Grafis Model Maksimasi
Maximize Z = $100x1 + $150x2
subject to:
8,000x1 + 4,000x2  $40,000
15x1 + 30x2  200 ft2
x1, x2  0 dan integer

Solusi Optimal:
Z = $1,055.56
x1 = 2.22 pencetak
x2 = 5.55 bubut
Kedua nilai ini dapat diperoleh dengan
pembualatan, tetapi nilai setiap fungsi
tetap perlu dicek ulang

Feasible Solution Space with Integer Solution Points

10

Branch and Bound Method
Pendekatan tradisional untuk pemecahan masalah
pemrograman integer.
Berdasarkan prinsip bahwa kumpulan solusi layak total
dapat dipecah menjadi sub-kumpulan solusi yang lebih
kecil.
Sub-kumpulan yang lebih kecil dievaluasi sampai solusi
terbaik ditemukan.

Metode ini sangat melelahkan dan sering kali meliputi
proses matematis yang kompleks.
Penggunaan alat bantu dapat dipakai (Excel and QM for
Windows).

11

Ringkasan Metode Branch and Bound
1. Dapatkan solusi simpleks optimal dari PL dg batasan integer
2. Tentukan solusi simpleks relaxed sebagai batas atas sedangkan
solusi hasil pembulatan ke bawah sebagai batas bawah pada
node 1
3. Pilih variabel dengan bagian pecahan terbesar untuk
percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini yang
mencerminkan pembagian nilai integer berupa batasan ≤ dan ≥
4. Ciptakan node baru, satu batasan ≤ dan satu batasan ≥
5. Selesaikan model PL relaxed dengan batasan baru yang
ditambahkan pada tiap node
6. Solusi simpleks relaxed adalah batas atas tiap node, dan solusi
integer maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah

batas bawah
7. Jika solusi integer layak dengan nilai batas atas terbesar
dihasilkan, maka solusi integer optimal tercapai. Jika solusi
integer belum ada, lakukan percabangan dari node dengan
batas atas terbesar
8. Ulangi langkah 3.
12

13

Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (1 of 5)
Recreational Facilities Example:
Maximize Z = 300x1 + 90x2 + 400x3 + 150x4
subject to:

$35,000x1 + 10,000x2 + 25,000x3 + 90,000x4  $120,000
4x1 + 2x2 + 7x3 + 3x4  12 acres
x1 + x2  1 facility

x1, x2, x3, x4 = 0 or 1

14

Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (2 of 5)

Exhibit 9.2

15

Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (3 of 5)

Instead, one could just
specify $C$12:$C$15
as “binary” (= ‘0’ or ‘1’).
Exhibit 9.3

16

Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (4 of 5)

To constrain a range of variables to be
integers, enter:

Exhibit 9.4

Instead,
specify the
“bin” what
optionyou
(= ‘0’put
or ‘1’),
… and one
notecould
thatjust
it doesn’t
matter
in
thus
the side
additional,
0” and
“≤ 1”not
constraints.
the avoiding
right-hand
field,“≥but
it must
be empty.

17

Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (5 of 5)

Exhibit 9.5

18