Distribusi Peluang Diskrit Page 2
pada percobaan akan menghasilkan suatu hasil numerik. Bilangan tersebut dapat dipandang sebagai nilai yang diperoleh suatu peubah acak.
B. Pengertian Distribusi Peluang Diskrit
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang
sampel diskrit sedangkan peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah variabel acak diskrit. Variabel acak diskrit X menentukan distribusi pe luang
apabila untuk nilai-nilai � = � , � , … , �
�
terdapat peluang p �
�
sehingga:
∑ �
�
= ,
� �−
px disebut fungsi peluang untuk variabel acak X pada harga X = x Suatu nilai yang diharapkan akan menjadi kejadian dapat dipandang sebagai nilai
harapan atau dinyatakan dengan X dibaca “ekspektasi”. Dimana nilai harapan suatu peubah acak dapat diperoleh dengan mengalikan tiap nilai peubah acak tersebut dengan
peluangnya dan menjumlahkan hasilnya . ∈ � = ∑ ��. ��
Jenis distribusi peluang diskrit antara lain Distribusi Seragam Uniform, Distribusi Binominal, Distribusi Multinominal, Distribusi Hypergeometrik, Distribusi Poisson.
1. Distribusi Seragam Uniform Diskrit
Edhy Sutanta 2005:74 menyatakan setiap kejadian mempunyai probabilitas atau peluang yang sama seragam
uniform.
Sedangkan menurut Budiyono 2009: 97 Distribusi uniform diskret merupakan distribusi variabel random diskret yang
mengasumsikan bahwa semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul.
Definisi 1:
Bila peubah acak X mendapat harga x
1
, x
2
, ..., x
n
, dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh :
� � = Keterangan :
Distribusi Peluang Diskrit Page 3
� � : Peluang terjadinya x �: harga variabel
∶banyaknya data pengamatan ukuran sampel
Contoh : Untuk merencanakan persediaan suatu barang x, suatu toko serba ada Toserba perlu
memperkirakan jumlah permintaan harian terhadap barang x. Menurut catatan penjualan, diketahui bahwa permintaan harian terhadap barang x adalah berkisar di
antara 0-5 unit. Permintaan ini memiliki fluktuasi secara acak, sehingga tidak bisa ditentukan peluang permintaannya. Dalam hal ini, maka permintaan terhadap barang x
dapat dimodelkan mengikuti distribusi uniform. Untuk empermudah penyelesaian contoh diatas, akan digunakan bantuan
perhitungan seperti ditampilkan pada Tabel 10.2.
Teorema 1
Rataan distribusi seragam diskrit �, adalah
= � = ∑
�. � � ,
� �=
dimana Ex= Ekspektasi x Varians distribusi seragam diskrit adalah
� = ∑ � − . � �
� �=
Distribusi Peluang Diskrit Page 4
Tabel 10.2 Perhitungan untuk distribusi uniform
∑ �
� Probabilitas Permintaan
� � �� �
� − � −
� �
6,25 1,04166
1 2,25
0,37500 2
0,25 0,04166
3 0,25
0,04166 4
2,25 0,37500
5 6,25
1,04166 Jumlah
17,5 2,9166
Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel 10.2 maka ekspektasi rata-rata permintaan per hari terhadap barang x, adalah sebagai berikut :
= � = ∑ �. � �
� �=
= = , �
ℎ � Sedangkan dengan pendekatan distribusi uniform, maka rata-rata permintaan
per hari terhadap barang x adalah sebgai berikut : � = ∑ � −
. � �
� �=
� = √∑ � −
. � �
� �=
= √ , = ,
�
.
2. Distribusi Binomial
Distribusi binomial menggambarkan distribusi probabilitas variabel acak diskrit yang hanya mempunyai dua nilai yang mengkin, misalnya berhasil atau gagal.
Sutanta: 2005, 76. Budiyono 2009 : 98 juga mengatakan bahwa Distribusi peluang binomial adalah distribusi peluang yang dihasilkan dari sebuah eksperimen yang
Distribusi Peluang Diskrit Page 5
sering dilakukan berulang-ulang, yang setiap kali hasil ulangan mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat disebut
sukses
dan
gaga l.
Sudjana 2005 : 130 juga berpendapat sama yaitu “ distribusi binom adalah distribusi yang dihasilkan dari
eksperimen yang hanya menghasilkan peristiwa A dan bukan A.
Ciri-ciri atau ka ra kteristik distribusi binomia l :
a. Percobaan diulang sebanyak n kali
b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas. Misal : “berhasil” atau
“gagal”, “ya” atau “tidak”, “success” atau “failed” c.
Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap, dimana p = 1
– q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1
– p d.
Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan X e.
Setiap ulangan bersifat bebas independent satu dengan lainnya. f.
Semakin banyak N maka peluang terjadinya suatu kejadian tertentu semakin kecil. Perlu diingat bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari
suatu permasalahan bisa dikategorikan sebagai kejadian “sukses atau berhasil”.
Definisi 2
Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acak binomial.
Untuk mencari peluang dengan distribusi binomial digunakan rumus : � � =
�
� �−�
Sedangkan koefisien binom dicari dengan rumus: =
− Sehingga didapatkan rumus :
� � = −
� �−�
Dengan � = , , , … , ; =
− − … . ; dan = berdasarkan
definisi, dalam distribusi binom dikenal parameter rata-rata dan simpangan baku �
∶ = �
� � ∶ � = √
Distribusi Peluang Diskrit Page 6
� � ∶ � =
Contoh : Dalam pelambungan sebuah mata uang tiga kali, didefinisikan X= banyaknya Angka
yang muncul. Berapa peluangnya muncul 2 buah Angka ? Jawab :
= Peluang muncul angka pada satu pelambungan = = 3 Banyaknya pelambungan, banyaknya pengulangan
� = 2 Banyaknya Angka yang diharapkan muncul � � =
�
� �−�
� � = = −
−
= =
Jadi peluang munculnya 2 buah Angka adalah
8
.
3. Distribusi Multinomial
Distribusi multinomial merupakan distribusi variabel acak diskrit dimana suatu percobaan dapat menghasilkan beberapa kejadian. Distribusi multinomial adalah
perluasan dari distribusi binomial Sudjana, 2005 :132. Budiyono 2009 : 101 menyatakan bahwa eksperimen binomial akan menjadi eksperimen multinomial jika
setiap percobaan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil. Dalam pelambungan sebuah dadu misalnya, akan terjadi 6 kemungkinan, yaitu muncul mata
1,2,3,4,5, atau 6 Spiegel, Murray R., 2004 : 35. Misalkan sebuah percobaan menghasilkan kejadian E1, E2, ……… , Ek dengan
peluang , , … ,
�
dan dilakukan percobaan sebanyak N kali maka peluang terjadinya x
1
peristiwa E
1
, x
2
peristiwa E
2
, …… x
k
peristiwa E
k
diantara N, ditentukan oleh :
Dimana � + � + ⋯ + �
�
= Distribusi ini merupakan perluasan distribusi binomial. Karena rumus diatas adalah
suku umum dalam ekspansi multinomial +
+ ⋯ +
� �
. � � , � , … , �
�
= � � … , �
� �
�
… . .
� �
�
Distribusi Peluang Diskrit Page 7
Contoh : Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru, dan 5 bola putih. Sebuah bola
diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi kedalam kotak. Diambil sebuah bola lagi, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi
kedalam kotak. Hal demikian dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan tersebut, berapa peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih ?
Jawab : � = ; � = ; � = ; = ; =
; = ; =
� ℎ,
� , �ℎ
= = ,
4. Distribusi Hipergeometrik
