Solusi Persamaan Boltzmann Dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik

SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN
NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN
PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

YOANITA HISTORIANI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Solusi Persamaan
Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik
dan Numerik adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun
kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan
di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini

Bogor, Agustus 2007

Yoanita Historiani
G551050141

ABSTRACT
YOANITA HISTORIANI. Exact Solution of the Boltzmann Equation with
Bobylev Initial Condition using Analitycal and Numerical Approach. Under the
supervision from ENDAR H. NUGRAHANI and SRI NURDIATI.
A gas flow may be modeled at either a microscopic or a macroscopic
level. The microscopic model recognizes the particular structure of the gas as
collection of discrete molecules and ideally provides position, velocity and state
of every molecule at all times. The position, velocity, and state of each molecules
can be modeled as a probability distribution function. The mathematical model at
this level is called Boltzmann equation. The macroscopic level recognizes some
physical properties like temperature, volume, average velocity, energy, and impul.
Mathematical model contained in Boltzmann equation is complicated,
involves high dimensional differential and integral form, so it is relatively difficult
to find a solution of this equation. This thesis use Bobylev initial condition which
takes a general form of normal distribution function.
Exact solution can be found by integrating the differential form of the left

hand side and evaluating the solution of the integral form in the right hand side, in
such a way that the simplest form of the Boltzmann equation can be obtained.
Furthermore, numerical solution of the Boltzmann equation is presented by
simulation using DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) methods.

ABSTRAK

YOANITA HISTORIANI. Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai
Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik. Dibimbing oleh
ENDAR H. NUGRAHANI dan SRI NURDIATI.
Pergerakan molekul pada suatu sistem gas dapat dimodelkan dari 2 sudut
pandang yang berbeda, yaitu secara mikroskopik dan makroskopik. Dari sudut
pandang mikroskopik, suatu sistem gas diamati sebagai sekumpulan molekul
tunggal yang identik yang saling berinteraksi satu dengan lainnya. Setiap molekul
gas berada pada posisi tertentu, kecepatan tertentu, pada saat t yang dimodelkan
dalam suatu fungsi distribusi peluang. Model matematik yang menggambarkan
evolusi distribusi peluang suatu molekul gas terhadap waktu, posisi, kecepatan
serta interaksi antar molekul dikenal dengan persamaan Boltzmann. Dari sudut
pandang makroskopik, gerak partikel dapat diamati secara lebih jelas dengan
melakukan pengukuran besaran fisika pada sistem, antara lain kecepatan rata-rata,

tekanan, temperatur, energi dan suhu.
Rumusan matematik persamaan Boltzmann melibatkan fungsi diferensial
dan integral dengan dimensi variabel bebas yang tinggi, sehingga persamaan ini
relatif sulit dicari solusi meskipun fungsi sebaran yang dipergunakan sebagai nilai
awal merupakan fungsi sebaran yang paling sederhana. Pada tesis ini, fungsi
sebaran yang dipilih sebagai nilai awal adalah fungsi distribusi Bobylev, yang
merupakan bentuk umum dari fungsi distribusi normal.
Solusi eksak diperoleh dengan mengintegralkan ruas kiri dan mengevaluasi
nilai dari integral ruas kanan, sedemikian sehingga diperoleh bentuk penyelesaian
persamaan Boltzmann yang sederhana. Di sisi lain, solusi numerik diperoleh
dengan membuat simulasi tumbukan molekul gas dengan menggunakan metode
DSMC (Direct Simulation Monte Carlo).

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2007
Hak Cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,
penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik
atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut
Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau
seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut
Pertanian Bogor.

SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN
NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN
PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

YOANITA HISTORIANI

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR

2007

Judul Tesis
Nama
NIM

: Solusi Persamaan Boltzmann Dengan Nilai Awal Bobylev
menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik
: Yoanita Historiani
: G551050141

Disetujui
Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Ketua

Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc
Anggota

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

Tanggal Ujian : 16 Agustus 2007

Dekan Sekolah Pascasarjana

Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS

Tanggal Lulus :

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya
ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih
pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2007 ini adalah Solusi
Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan

Pendekatan Analitik dan Numerik.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
dan Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc selaku pembimbing serta Bapak Dr. Ir. Putu
Purnaba, DEA yang telah banyak memberikan saran.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2007
Yoanita Historiani

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kebumen pada tanggal 29 Agustus 1982 sebagai
anak pertama dari pasangan Turisno dan Tri Rujiati. Pendidikan sarjana ditempuh
di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor, lulus pada tahun 2004.
Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif
Hidayatullah Jakarta sejak Agustus 2005. Mata kuliah yang diajarkan adalah
Matematika Dasar I dan Matematika Dasar II.

DAFTAR ISI
Halaman

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................. x
PENDAHULUAN
Latar Belakang ....................................................................................... 1
Tujuan Penelitian .................................................................................. 2
Batasan Penelitian ................................................................................. 2
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan Lioville(Persamaan Transport) ........................................... 4
Persamaan Boltzmann ........................................................................... 6
Besaran Makroskopik Gas .................................................................... 8
METODE ....................................................................................................... 10
HASIL DAN PEMBAHASAN
Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev ......... 11
Besaran Makroskopik Gas .................................................................... 15
Simulasi dengan Metode DSMC ........................................................... 16
KESIMPULAN DAN SARAN ...................................................................... 21
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 22
LAMPIRAN ................................................................................................... 23

viii

SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN
NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN
PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

YOANITA HISTORIANI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Solusi Persamaan
Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik
dan Numerik adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun
kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan
di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini

Bogor, Agustus 2007

Yoanita Historiani
G551050141

ABSTRACT
YOANITA HISTORIANI. Exact Solution of the Boltzmann Equation with
Bobylev Initial Condition using Analitycal and Numerical Approach. Under the
supervision from ENDAR H. NUGRAHANI and SRI NURDIATI.
A gas flow may be modeled at either a microscopic or a macroscopic
level. The microscopic model recognizes the particular structure of the gas as
collection of discrete molecules and ideally provides position, velocity and state
of every molecule at all times. The position, velocity, and state of each molecules
can be modeled as a probability distribution function. The mathematical model at
this level is called Boltzmann equation. The macroscopic level recognizes some
physical properties like temperature, volume, average velocity, energy, and impul.
Mathematical model contained in Boltzmann equation is complicated,
involves high dimensional differential and integral form, so it is relatively difficult
to find a solution of this equation. This thesis use Bobylev initial condition which

takes a general form of normal distribution function.
Exact solution can be found by integrating the differential form of the left
hand side and evaluating the solution of the integral form in the right hand side, in
such a way that the simplest form of the Boltzmann equation can be obtained.
Furthermore, numerical solution of the Boltzmann equation is presented by
simulation using DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) methods.

ABSTRAK

YOANITA HISTORIANI. Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai
Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik. Dibimbing oleh
ENDAR H. NUGRAHANI dan SRI NURDIATI.
Pergerakan molekul pada suatu sistem gas dapat dimodelkan dari 2 sudut
pandang yang berbeda, yaitu secara mikroskopik dan makroskopik. Dari sudut
pandang mikroskopik, suatu sistem gas diamati sebagai sekumpulan molekul
tunggal yang identik yang saling berinteraksi satu dengan lainnya. Setiap molekul
gas berada pada posisi tertentu, kecepatan tertentu, pada saat t yang dimodelkan
dalam suatu fungsi distribusi peluang. Model matematik yang menggambarkan
evolusi distribusi peluang suatu molekul gas terhadap waktu, posisi, kecepatan
serta interaksi antar molekul dikenal dengan persamaan Boltzmann. Dari sudut
pandang makroskopik, gerak partikel dapat diamati secara lebih jelas dengan
melakukan pengukuran besaran fisika pada sistem, antara lain kecepatan rata-rata,
tekanan, temperatur, energi dan suhu.
Rumusan matematik persamaan Boltzmann melibatkan fungsi diferensial
dan integral dengan dimensi variabel bebas yang tinggi, sehingga persamaan ini
relatif sulit dicari solusi meskipun fungsi sebaran yang dipergunakan sebagai nilai
awal merupakan fungsi sebaran yang paling sederhana. Pada tesis ini, fungsi
sebaran yang dipilih sebagai nilai awal adalah fungsi distribusi Bobylev, yang
merupakan bentuk umum dari fungsi distribusi normal.
Solusi eksak diperoleh dengan mengintegralkan ruas kiri dan mengevaluasi
nilai dari integral ruas kanan, sedemikian sehingga diperoleh bentuk penyelesaian
persamaan Boltzmann yang sederhana. Di sisi lain, solusi numerik diperoleh
dengan membuat simulasi tumbukan molekul gas dengan menggunakan metode
DSMC (Direct Simulation Monte Carlo).

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2007
Hak Cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,
penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik
atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut
Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau
seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut
Pertanian Bogor.

SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN
NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN
PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

YOANITA HISTORIANI

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

Judul Tesis
Nama
NIM

: Solusi Persamaan Boltzmann Dengan Nilai Awal Bobylev
menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik
: Yoanita Historiani
: G551050141

Disetujui
Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Ketua

Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc
Anggota

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

Tanggal Ujian : 16 Agustus 2007

Dekan Sekolah Pascasarjana

Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS

Tanggal Lulus :

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya
ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih
pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2007 ini adalah Solusi
Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan
Pendekatan Analitik dan Numerik.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
dan Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc selaku pembimbing serta Bapak Dr. Ir. Putu
Purnaba, DEA yang telah banyak memberikan saran.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2007
Yoanita Historiani

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kebumen pada tanggal 29 Agustus 1982 sebagai
anak pertama dari pasangan Turisno dan Tri Rujiati. Pendidikan sarjana ditempuh
di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor, lulus pada tahun 2004.
Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif
Hidayatullah Jakarta sejak Agustus 2005. Mata kuliah yang diajarkan adalah
Matematika Dasar I dan Matematika Dasar II.

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................. x
PENDAHULUAN
Latar Belakang ....................................................................................... 1
Tujuan Penelitian .................................................................................. 2
Batasan Penelitian ................................................................................. 2
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan Lioville(Persamaan Transport) ........................................... 4
Persamaan Boltzmann ........................................................................... 6
Besaran Makroskopik Gas .................................................................... 8
METODE ....................................................................................................... 10
HASIL DAN PEMBAHASAN
Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev ......... 11
Besaran Makroskopik Gas .................................................................... 15
Simulasi dengan Metode DSMC ........................................................... 16
KESIMPULAN DAN SARAN ...................................................................... 21
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 22
LAMPIRAN ................................................................................................... 23

viii

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Kurva solusi eksak dan numerik dengan nilai awal Bobylev ................ 18
2 Kurva komponen kecepatan x ................................................................ 19
3 Kurva komponen kecepatan y ................................................................ 20
4 Kurva komponen kecepatan z ................................................................ 20

ix

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Integral Gauss .......................................................................................... 24
2

Bukti Persamaan 10 .................................................................................. 25

3

Bukti Persamaan 11 .................................................................................. 25

4

Bukti Persamaan 26 .................................................................................. 26

5

Bukti

∫ ee

T

de =

S2

4π
I3
3

.......................................................................... 29

6 Bukti Persamaan 29 .................................................................................. 31
7 Bukti Persamaan 30 .................................................................................. 32
8 Bukti Persamaan 33 .................................................................................. 32
9 Bukti Persamaan 34 .................................................................................. 33
10 Bukti Persamaan 35 .................................................................................. 33
11 Bukti Persamaan 37 .................................................................................. 36
12 Bukti Persamaan 38 .................................................................................. 41
13 Bukti Persamaan 39 .................................................................................. 42
14 Bukti Persamaan 40 .................................................................................. 42
15 Bukti Persamaan 42 .................................................................................. 43
16 Bukti Persamaan 43 .................................................................................. 44
17 Bukti Persamaan

∫ ede = 0
S

..................................................................... 45

2

18 Bukti Persamaan Besaran Makroskopik .................................................. 45
19 Program Utama ........................................................................................ 51
20 Sub Routine DATAOS.m ........................................................................ 52
21 Sub Routine INITOS4.m ......................................................................... 52
22 Sub Routine SAMPIOS.m ....................................................................... 54
23 Sub Routine MOVEOS.m ........................................................................ 55
24 Sub Routine INDEXS.m .......................................................................... 56
25 Sub Routine COLLS4.m .......................................................................... 57
26 Sub Routine SAMPLEOS.m .................................................................... 58
27 Sub Routine OUTOS.m .......................................................................... 60
28 varinit.m .................................................................................................... 61

x

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Menurut teori molekuler benda, satu unit volume makroskopik gas
(misalkan 1 cm3) merupakan suatu sistem yang terdiri atas sejumlah besar
molekul (kira-kira sebanyak 10 20 buah molekul) yang bergerak dengan arah yang
tidak menentu. Karena jumlahnya yang sangat besar, maka secara matematis,
untuk memodelkan gerak dan sifat setiap molekul tidak mudah, sehingga perilaku
setiap molekul gas pada suatu sistem didekati dengan menggunakan sifat partikel.
Pergerakan partikel gas yang tidak melibatkan interaksi dengan partikel
lainnya disebut aliran. Model matematika yang menyatakan peristiwa ini dikenal
dengan persamaan transport. Di sisi lain, model pergerakan partikel yang
melibatkan interaksi dengan partikel gas lain disebut persamaan Boltzmann, yang
pertama kali diungkapkan oleh seorang ahli fisika bernama Ludwig Boltzmann
pada tahun 1898 (Cercignani 1975).
Persamaan Boltzmann merupakan persamaan diferensial integral yang
menggambarkan evolusi distribusi peluang suatu partikel gas sebagai fungsi dari
waktu, posisi dan kecepatannya, serta interaksi antar partikel karena adanya
tumbukan antar partikel gas. Persamaan Boltzmann telah dikenal luas karena
banyak aplikasi dan perluasannya antara lain dalam bidang fisika, biologi,
ekonomi, ekonofisika dan sosial. Pada bidang fisika, aplikasi dari solusi
persamaan Boltzmann dapat digolongkan menjadi dua jenis. Aplikasi yang
pertama berkaitan dengan penarikan kesimpulan mengenai sifat-sifat makroskopik
gas yang didekati dari sifat-sifat mikroskopiknya. Hasilnya memberi banyak
manfaat dalam bidang mekanika statistika, yaitu menjembatani perbedaan antara
sifat-sifat yang terdapat pada struktur atom benda dengan sifat benda pada tingkat
makroskopik. Aplikasi yang kedua berkaitan dengan pengembangan model untuk
jenis zat lain seperti zat padat dan zat cair (Bellomo & Pulvirenti 2000).
Penelitian awal mengenai persamaan Boltzmann yang dilakukan oleh
Maxwell-Boltzmann berhasil menjelaskan sifat-sifat makroskopik gas pada suatu
sistem, menghitung kekentalan zat, serta koefisien hantar panas antar partikel.

2

Besaran makroskopik gas adalah sifat-sifat gas yang dapat diamati secara fisis
pada suatu sistem, seperti suhu, tekanan, dan volume (Cercignani 1975).
Karena rumusan matematis persamaan Boltzmann melibatkan fungsi dengan
dimensi variabel bebas yang tinggi, maka persamaan ini relatif sulit dicari solusi,
meskipun fungsi sebaran yang dipergunakan sebagai nilai awal merupakan fungsi
sebaran yang paling sederhana. Fungsi sebaran yang pernah dipilih sebagai nilai
awal antara lain adalah fungsi sebaran Maxwell, fungsi sebaran Bobylev, fungsi
sebaran Bobylev Cercignani I ,serta fungsi sebaran Bobylev Cercignani II
(Nugrahani 2003).
Secara umum, terdapat 2 jenis solusi persamaan Boltzmann, yaitu solusi
eksak dan solusi numerik. Solusi eksak diperoleh dengan menyelesaikan
persamaan secara matematis, sedangkan solusi numerik diperoleh melalui suatu
simulasi. Salah satu metode yang banyak digunakan untuk melakukan simulasi
adalah metode Monte Carlo, sedemikian sehingga vektor posisi dan kecepatan
partikel dibangkitkan secara stokastik (Liboff 1990).
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Merekonstruksi solusi eksak persamaan Boltzmann dengan menggunakan
distribusi awal Bobylev.
2. Memanfaatkan solusi eksak persamaan Boltzmann untuk menghitung
besaran makroskopik gas.
3. Mencari solusi numerik dengan menggunakan simulasi aliran dan tumbukan
partikel gas dengan menggunakan metode Direct Simulation Monte Carlo.
Batasan Penelitian
Penelitian ini dibatasi oleh beberapa asumsi, antara lain:
1. Pengamatan gerak molekul hanya dilakukan pada gerak linear, dengan
mengabaikan gerak angular.
2. Sifat-sifat molekul gas didekati dengan menggunakan sifat partikel.
3. Pada sistem, gas dimodelkan sebagai gas ideal, tunggal dan identik.
4. Tumbukan yang terjadi adalah tumbukan antara 2 partikel.
5. Untuk kemudahan teknis, simulasi gerak dan posisi partikel gas sebelum dan
setelah tumbukan hanya dilakukan pada sumbu x saja.

3

TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 1 Gas
Gas adalah suatu sistem dinamik yang terdiri atas sejumlah besar N partikel
dengan massa partikel yang relatif kecil m.
(Cercignani 1975)
Definisi 2 Gas Ideal
Suatu gas dikatakan ideal jika energi potensial dari gaya intermolekulernya
diabaikan, meskipun partikel-partikel tersebut berada pada jarak yang lebih dekat
dari diameter partikel tersebut.
(Cercignani 1975)
Definisi 3 Gas Tunggal
Gas tunggal adalah gas yang molekulnya tidak mempunyai derajat bebas
internal, sedemikian sehingga derajat bebas yang dimiliki hanya berasal dari
vektor posisi dan vektor kecepatan.
(Cercignani 1975)
Definisi 4 Teori Kinetik
Teori kinetik adalah suatu cabang ilmu fisika yang mempelajari sifat-sifat
mikroskopik molekul dan interaksi yang berhubungan dengan sifat-sifat
makroskopik benda seperti hukum gas ideal. Asumsi-asumsi yang mendasari teori
kinetik adalah:
1. Jumlah molekul sangat banyak.
2. Molekul-molekul tersebut merupakan molekul tunggal yang identik.
3. Molekul bergerak secara acak.
4. Gerak molekul tidak melanggar hukum gerak Newton.
5. Molekul mengalami tumbukan elastis dengan molekul lainnya.
6. Gaya gravitasi antar molekul diabaikan.
7. Sifat-sifat molekul didekati dengan menggunakan sifat-sifat partikel
dengan tidak mengabaikan hukum-hukum mekanika klasik.

(Kibble & Berkshire 1996)

4

Definisi 5 Hukum Kekekalan Momentum
Misal terdapat 2 partikel yang bergerak pada suatu sistem. Massa partikel
pertama m1 bergerak dengan kecepatan v1 , serta massa partikel kedua m2
bergerak dengan kecepatan v 2 . Maka hukum kekekalan momentum menyatakan
bahwa:

m1v1 + m2 v2 = P = konstan.
(Kibble & Berkshire 1996)
Definisi 6 Hukum Kekekalan Energi
Misalkan suatu partikel yang bergerak mempunyai energi kinetik T dan
energi potensial P. Maka berlaku T + V = C = konstan.
(Kibble & Berkshire 1996)
Definisi 7 Fungsi Kepekatan Peluang
Misalkan X peubah acak satu dimensi dalam ruang Ω yang terdiri dari selang
atau gabungan selang. Misal terdapat fungsi f ( x ) tak negatif yang memenuhi:

∫ f (x )dx = 1 .

Ω

Jika fungsi peluang P( A) dengan A ∈ Ω dapat dinyatakan dalam bentuk f ( x )
sedemikian sehingga P( A) = Pr ( X ∈ Ω ) =

∫ f (x )dx , maka X merupakan peubah

Α

acak kontinu dan f ( x ) merupakan fungsi kepekatan peluang dari X.
(Hogg & Craig 1995)

Definisi 8 Persamaan Lioville (Persamaan Transport)
Misalkan pada suatu sistem terdapat N buah partikel gas ideal tunggal.
Misalkan setiap partikel berada pada posisi xi bergerak dengan kecepatan vi,
dengan i = 1, 2, ..., N . Maka setelah waktu t,

persamaan gerak dari partikel

tersebut dapat dituliskan sebagai:
dv i
= ai ,
dt
dx i
= vi ,
dt

dengan ai merupakan percepatan gerak partikel ke-i.

(1)

5

Pada sistem, partikel gas bergerak pada suatu bidang fase dengan dimensi
ruang 6N, yaitu 3N merupakan dimensi komponen vektor posisi xi dan 3N lainnya
merupakan dimensi dari komponen vektor kecepatan vi. Misalkan vektor z
menyatakan dimensi ruang 6N. Maka persamaan evolusi z terhadap waktu adalah:

dz i
= yi .
dt

(2)

Jika nilai awal z 0 diketahui untuk semua partikel gas, maka nilai zt untuk
semua partikel dapat diketahui, yaitu dengan menggunakan konsep persamaan
diferensial biasa. Akan tetapi, karena jumlah partikel gas yang terdapat pada
sistem tersebut sangat banyak, maka untuk mengidentifikasi posisi awal x0 dan
kecepatan awal v 0 dari setiap partikel akan menjadi sulit dilakukan dan
membutuhkan waktu yang tidak sedikit. Oleh karena itu, dirumuskan teknik lain
untuk menggambarkan posisi dan pergerakan awal partikel, yaitu dengan
f 0 (z ) = f (z , t = 0 ) yang menyatakan fungsi

menggunakan fungsi sebaran
kepekatan peluang pada saat t = 0.

Jika setiap partikel bergerak tanpa bertumbukan satu sama lain dan
banyaknya partikel yang keluar dari sistem sama dengan banyaknya partikel yang
masuk sistem, maka persamaan gerak partikel dapat dinyatakan sebagai:

∂f ∂t + ∂ ∂z ( fy ) = 0

(3)

yang dikenal sebagai persamaan Liouville atau persamaan aliran. Perhatikan
bahwa ∂ ∂z ( fy ) = y ∂f ∂z + f ∂ ∂z ( y ) , sehingga:

∂f ∂t + y ∂f ∂z + f ∂f ∂z ( y ) = 0 .

(4)

Oleh karena ∂ / ∂z y = 0 , maka persamaan (4) dapat dituliskan kembali dalam
bentuk: ∂f ∂t + y ∂f ∂z = 0 ,
atau :

(5)

N

N

i =1

i =1

∂f ∂t + ∑ (∂x i ∂t )(∂f ∂x i ) + ∑ (∂v i ∂t )(∂f ∂v i ) = 0,
N

N

i =1

i =1

∂f ∂t + ∑ v i (∂f ∂x i ) + ∑ a i (∂f ∂v i ) = 0
∂f / ∂t + v.∂f / ∂x + a.∂f / ∂v = 0

(6)
(Cercignani 1975)

6

Definisi 9 Persamaan Boltzmann
Pada persamaan Liouville, setiap partikel diasumsikan hanya bergerak, tanpa
bertumbukan satu dengan lainnya, sehingga nilai ruas kanan persamaan Liouville
bernilai nol. Jika pada sistem terjadi tumbukan antar 2 partikel, maka nilai ruas
kanan berubah, menjadi model matematis yang merepresentasikan tumbukan antar
2 partikel tersebut yang disebut collision integral dan dilambangkan I[ f, f],
dituliskan:
∂f
∂f
+v
= I[ f , f ]
∂t
∂x

(7)

Misalkan terdapat 2 buah partikel yang saling bertumbukan. Sebelum
tumbukan, partikel 1 melaju dengan kecepatan v , sedangkan partikel 2 melaju
dengan kecepatan w . Kecepatan partikel setelah tumbukan masing-masing v ' dan
w ' didefinisikan sebagai berikut:

v' =

v+w v−w
e.
+
2
2

(8)

w' =

v+w v−w
−
e.
2
2

(9)

Vektor e merupakan vektor normal bidang tumbukan yang dinyatakan dengan
e=

(x i − x j )
xi − x j

dengan i ≠ j , i , j = 1, 2 , ..., N sedemikian sehingga resultan kedua

vektor kecepatan setelah tumbukan memenuhi:

1. Hukum kekekalan momentum
v' + w' = v + w .

(10)

Bukti persamaan ini dapat dilihat pada Lampiran 2.

2. Hukum kekekalan energi
v'

2

+ w'

2

= v

2

2

+ w .

Bukti persamaan ini dapat dilihat pada Lampiran 3.

(11)

7

Dengan mengasumsikan bahwa

∂f
= 0 , maka persamaan (6) dapat
∂v

dituliskan sebagai:
∂f
∂f
+v
= I[ f , f ] ,
∂t
∂x

(12)

dengan:
I[ f , f ] =

∫ ∫ g (cos θ )[ f (v ) f ( w ) − f (v ) f (w )]dwde,
'

'

(13)

S 2 R3

dan
u = v – w,

g (cosθ ) = parameter tumbukan antar 2 partikel,
e = vektor normal tumbukan,
de = sin θ dθ dϕ,
x = vektor posisi partikel.
yang dikenal dengan persamaan Boltzmann.
(Cercignani 1975)

Definisi 10 Distribusi Kecepatan Maxwell
Menurut Maxwell, pada suatu sistem yang diam, distribusi kecepatan
partikel yang ada di dalamnya simetris di sekitar titik nol. Artinya, jumlah partikel
yang bergerak ke arah kanan dan ke arah kiri adalah sama, sedemikian sehingga
peluang untuk menemukan partikel yang bergerak dengan kecepatan sangat besar
adalah kecil sekali. Jika peristiwa tersebut digambarkan dalam bentuk kurva,
maka diperoleh suatu kurva yang menyerupai kurva sebaran normal, atau Gauss
exp(-x2). Distribusi kecepatan tersebut dikenal dengan distribusi kecepatan
Maxwell dan dinyatakan sebagai:
⎛ m ⎞
f (v ) = 4πn⎜
⎟
⎝ 2πkT ⎠

32

⎛ mv 2 ⎞
⎟.
v exp⎜ −
⎜ 2kT ⎟
⎠
⎝
2

(14)
(Krane 1992)

8

Definisi 11 Besaran Makroskopik Gas
Salah satu manfaat dari solusi persamaan Boltzmann adalah dapat
menjelaskan beberapa sifat makroskopik benda, khususnya gas dengan
menggunakan pandekatan mikroskopiknya. Sifat makroskopik gas adalah sifat gas
yang dapat teramati secara fisis. Sifat tersebut meliputi densitas, impuls, aliran
impuls, aliran energi, energi, volume, tekanan dan suhu. Sifat mikroskopik gas
berhubungan dengan struktur dan sifat atomik dari gas tersebut.
Misalkan f (t , x , v ) adalah fungsi kepekatan peluang partikel yang berada
pada posisi x dan bergerak dengan kecepatan v pada waktu t. Fungsi kepekatan
peluang di atas dapat dimanfaatkan untuk memperoleh besaran makroskopik.
1. Fungsi Densitas
Fungsi densitas (kerapatan) partikel pada ruang R 3 didefinisikan sebagai:

d (t , x ) =

∫ f (t , x, v )dv .
R

(15)

3

2. Impuls
Impuls merupakan hasil perkalian antara fungsi densitas dengan vektor
kecepatan massa (ξ ) . Kecepatan massa didefinisikan sebagai:

∫ vf (t , x, v )dv

3
ξ=R

∫

f (t , x , v )dv

,

(16)

R3

sehingga

d (t , x )ξ =

∫ f (t , x, v )dv

R3

m (t , x ) =

∫ vf (t , x, v )dv

R3

∫

f (t , x , v )dv

,

R3

∫ vf (t , x, v )dv .

(17)

R3

3. Aliran Impuls
M (t , x ) =

T
∫ vv f (t , x, v )dv .
R

3

(18)

9

4. Aliran Energi
r (t , x ) =

1
2

∫v v
R

2

f (t , x , v )dv .

(19)

3

5. Energi
E (t , x ) =

1
2

∫v

2

f (t , x , v )dv .

(20)

R3

6. Volume
V (t , x ) =

∫ vf (t , x, v )dv

m R3
=
.
d
(
)
f
t
d
,
,
x
v
v
∫

(21)

R3

7. Suhu
T (t , x ) =

1
3Gd

2
∫ v − V (t , x ) f (t , x, v )dv .

(22)

R3

dengan G adalah konstanta gas.

8. Tekanan
P(t , x ) =

1
3

2
∫ v − V (t , x ) f (t , x, v )dv

(23)

R3

(Cercignani 1975)

Definisi 12 Simulasi

Simulasi merupakan suatu proses membuat desain logika matematika dari
suatu sistem real dengan melibatkan batasan-batasan tertentu untuk memecahkan
suatu masalah.
(Pritsker 1999)
Definisi 13 Metode Monte Carlo

Metode Monte Carlo adalah suatu metode algoritma komputasi yang banyak
digunakan dalam simulasi untuk menggambarkan berbagai sistem pada bidang
matematika dan fisika dengan melibatkan bilangan acak sebagai pembangkit
variabel-variabel yang terdapat pada sistem.
(Bird 1990)

10

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini, persamaan Boltzmann disederhanakan menjadi
Persamaan Boltzmann spasial homogen, yaitu dengan menetapkan ∂f ∂x dari
persamaan (12) bernilai nol. Artinya, sebaran kecepatan f(v,t) setelah waktu t
dianggap tidak bergantung pada vektor posisinya. Karena ruas kiri persamaan
Boltzmann mengandung bentuk diferensial, maka solusi masalah tersebut sangat
bergantung pada nilai awal yang dipilih.
Langkah-langkah untuk mencari solusi eksak dan numerik persamaan
Boltzmann dapat dituliskan sebagai berikut:
1.

Memilih fungsi distribusi peluang tertentu sebagai nilai awal.

2.

Mencari solusi eksak persamaan Boltzmann dengan mengintegralkan ruas
kiri serta mengevaluasi integral ruas kanan Persamaan (12) dan (13),
sehingga diperoleh fungsi distribusi partikel gas pada saat t, t ≠ 0.

3.

Solusi numerik diperoleh dengan melakukan simulasi gerak dan tumbukan
partikel gas menggunakan metode DSMC (Direct Simulation Monte Carlo)
satu dimensi dengan asumsi bahwa gerak dan proses tumbukan hanya
diperhatikan dalam sumbu x saja (Bird 1994). Software yang digunakan
untuk melakukan simulasi adalah MATLAB 7.0.

4.

Dengan menggunakan metode Monte Carlo, vektor posisi dan kecepatan
molekul dibangkitkan secara stokastik.

5.

Selanjutnya,

solusi

persamaan

Boltzmann

yang

diperoleh

dapat

dipergunakan untuk menghitung beberapa besaran makroskopik gas, antara
lain fungsi densitas, kecepatan rata-rata, impuls, serta energi.

11

PEMBAHASAN
Pada karya ilmiah ini, persamaan Boltzmann yang akan dicari solusinya
adalah persamaan Boltzmann spasial homogen, yaitu persamaan Boltzmann
dengan ∂f ∂x bernilai nol, dituliskan:
∂f ∂t =

∫ ∫ g (cos θ )[ f (v ) f (w ) − f (v ) f (w )]dwde.
'

2

S R

'

(24)

3

Ruas kiri persamaan Boltzmann mengandung bentuk diferensial, sehingga
solusi masalah tersebut bergantung pada nilai awal yang dipilih. Selanjutnya akan
dicari solusi eksak dan solusi numerik dari persamaan Boltzmann dengan
menggunakan nilai awal Bobylev. Solusi numerik akan dicari dengan simulasi
menggunakan Metode DSMC satu dimensi.

Solusi Eksak Persamaan Boltzman dengan Nilai Awal Bobylev

Misalkan dipilih nilai awal Bobylev berikut:
2
2
f (v ,0) = f 0 (v ) = ( A0 + B0 v ) exp⎛⎜ − C0 v ⎞⎟ ,
⎝
⎠

(25)

dengan A0 , B0 ≥ 0 dan C 0 > 0 .
Selanjutnya, akan dicari nilai dan hubungan antara koefisien A0 , B0 dan C 0
dengan memanfaatkan sifat-sifat sebagai berikut:
1.

Karena f 0 (v ) merupakan fungsi kepekatan peluang, maka: ∫ f 0 (v )dv = 1 .

2.

3
1 v
f 0 (v )dv ,
Dari Persamaan (20), T = ∫
2
d
2

3.

β 0 = 2TC 0 − 1 .

2

Maka, dari sifat 1,2 dan 3 (lihat Lampiran 4) diperoleh:
3

⎡ (1 + β 0 ) 2 ⎤
⎡ (1 + β 0 ) ⎤ 2 ⎧
⎡ (1 + β 0 ) 2 3 ⎤ ⎫
f (v ,0) = F (v , β 0 ) = ⎢
v
v ⎥
1
+
−
β
exp
⎨
⎬
0
⎢− 2T
⎥
⎢ 2T
2 ⎥⎦ ⎭
⎣
⎣ 2πT ⎦ ⎩
⎦
⎣
(26)

12

dengan

β 0 = 2TC 0 − 1 ,

parameter

0 ≤ β0 ≤

2
3

menunjukkan

simpangan

kesetimbangan dari sebaran awal.
Selanjutnya, akan dicari solusi spasial homogen Persamaan Boltzmann,
yaitu fungsi kepekatan peluang partikel pada saat t, yaitu f (v, t ) = F (v , β (t )) ,
dengan β (t ) merupakan simpangan dari sebaran awal pada saat t dan β (0) = β 0 .
Pertama, akan dihitung nilai integral dari fungsi kerapatan partikel pada saat
t = 0 terhadap v. Dengan melakukan substitusi koordinat bola (lihat Lampiran 4),
diperoleh:

∫

π

f (0, v ) dv =

3

2

(2 A0 C0 + 3B0 ) .

5

(27)

2C 0 2

R3

Dengan demikian, fungsi kerapatan partikel pada waktu t didefinisikan sebagai:

∫

d=

R

f (t , v )dv =

π

3

2

5

(2 AC + 3B ) .

(28)

2C 2

3

Akan dicari nilai A, B, C yang memenuhi persamaan di atas. Nilai tersebut
dapat diperoleh dari dua fungsi lainnya, yaitu dari aliran impuls dan temperatur.
Dari Persamaan (18), aliran impuls didefinisikan sebagai:

M=

∫ vv
R

T

f (t , v )dv ,

3

sehingga M (aliran impuls) dapat dinyatakan dalam bentuk:
M =

π

3

4

2

(2 AC + 5B ) I
7

3,

(29)

C 2

Bukti persamaan ini dapat dilihat pada Lampiran 6. Di sisi lain, temperatur (T)
didefinisikan sebagai (lihat lampiran 7):
3

1
π 2 (2 AC + 5B )
T=
trM =
,
7
3d
4d
C 2
sedemikian sehingga:

(30)

13

3

dC 2 ⎛ 5
⎞
A=
− 3TC ⎟ ,
⎜
3 ⎝2
⎠
2

(31)

π

dan
5

B=

dC 2

π

3

(2TC − 1) .

(32)

2

Dengan demikian, fungsi kerapatan partikel pada saat t, f (t , v ) , dapat dinyatakan
sebagai:
f (t , v ) =

7
5
d ⎛
5 3 ⎞
⎜⎜ 2T v 2 C 2 − ⎛⎜ 3T + v 2 ⎞⎟C 2 + C 2 ⎟⎟ exp⎛⎜ − C v 2 ⎞⎟ ,
3
⎝
⎠
⎝
⎠
2
⎠
π 2⎝

(33)

sedemikian sehingga, fungsi sebaran partikel pada saat t sangat bergantung pada
kecepatan partikel tersebut.
Ruas kiri persamaan Boltzmann (24) merupakan turunan fungsi sebaran
partikel terhadap waktu t, dengan f (t , v ) pada persamaan (33) diperoleh:
1
⎡
4
2 15 ⎤
2
C 2 (1 − 2CT )⎢C 2 v − 5C v + ⎥ exp⎛⎜ − C v ⎞⎟ ∂C ∂t .
3
⎝
⎠
4⎦
⎣
2

d

∂f ∂t =

π

(34)

Selanjutnya, akan dicari nilai ruas kanan dari persamaan Boltzmann secara
bertahap sebagai berikut:
I[ f , f ] =

∫ ∫ g (cos θ )[ f (v ) f (w ) − f (v ) f (w )]dwde.
'

'

S 2 R3

2
⎛ 2
2
2⎞
2
2
f (v ' ) f ( w ' ) − f (v ) f ( w ) = B 2 ⎜⎜ v ' w ' − v w ⎟⎟ exp⎛⎜ − C ⎛⎜ v + w ⎞⎟ ⎞⎟
⎠⎠
⎝
⎝
⎝
⎠

= B 2 ⎡ U ,V
⎢⎣

2

2
2
2
− v U T eeT U ⎤ exp⎛⎜ − C ⎛⎜ v + w ⎞⎟ ⎞⎟.
⎥⎦
⎠⎠
⎝
⎝

(35)

Dengan memanfaatkan substitusi dan penyederhanaaan pada persamaan (8), (9)
dan (11), maka:
T
∫ g (cosθ )ee de = µI +
S

dengan:

2

UU T
v

2

(η − 3µ ),

(36)

14

π

π

0

0

v+w
U=
, µ = π ∫ g (cos θ )sin 3 θdθ ,η = 2π ∫ g (cos θ )sin θdθ .
2
Ruas kanan persamaan Boltzmann dapat dituliskan kembali dalam bentuk (lihat
Lampiran 11):
3

B 2π 2 µ ⎡ 2 4
2 15 ⎤
2
C v − 5C v + ⎥ exp⎛⎜ − C v ⎞⎟.
I( f , f ) =
⎢
7
⎠
⎝
4⎦
⎣
2C 2

(37)

Dengan mempergunakan bentuk baru ruas kanan (37) dan kiri persamaan
Boltzmann (34), diperoleh:
2
1
d
⎡
4
2 15 ⎤ −C v
C 2 (1 − 2CT )⎢C 2 v − 5C v + ⎥ e
∂C ∂t
3
4⎦
⎣
2
π
3
B 2π 2 µ
=
7
C 2

⎡ 2 4
2 15 ⎤
2⎞
⎛
⎢⎣C v − 5C v + 4 ⎥⎦ exp⎜⎝ − C v ⎟⎠,

∂C ∂t = −

dµ
C (2CT − 1) .
2

(38)

Substitusi β = 2TC − 1 dan α =

dµ
, menghasilkan:
2

∂β
= −α (β + 1)β .
∂t

(39)

Persamaan (39) merupakan persamaan diferensial biasa, sehingga solusinya
adalah:

β (t ) =

Ae −αt
(1 − Ae −αt ) , A konstanta.

(40)

Dengan melakukan substitusi t = 0, pada Persamaan (40), diperoleh:

A=

β0
β (0)
=
,
(1 + β (0)) (1 + β 0 )

(41)

sehingga,

β (t ) =

β 0 e −αt

1 + β 0 (1 − e −αt )

.

(42)

Jadi, solusi eksak persamaan Boltzmann homogen spasial mengambil bentuk yang
sama dengan fungsi awal f (v , β 0 ) dengan menggantikan β 0 dengan β (t ) , yaitu:

15

f (v , t ) = F (v , β (t ))
3

⎛ (1 + β (t )) 2 ⎞ (43)
⎡ (1 + β (t )) 2 3 ⎤ ⎫
⎡ (1 + β (t )) ⎤ 2 ⎧
(
)
exp
1
β
+
−
t
= d⎢
v
v ⎟,
⎜−
⎨
⎬
⎢⎣ 2T
2T
2 ⎥⎦ ⎭
⎠
⎝
⎣ 2πT ⎥⎦ ⎩
dengan β (t ) dari Persamaan (42) serta d > 0, T > 0, 0 < β t <

2
.
3

Besaran Makroskopik Gas

Jika fungsi sebaran partikel pada saat t diketahui, maka besaran
makroskopik dari masalah nilai awal Bobylev dapat dihitung, sebagai berikut:
1. Fungsi Densitas
d (t , x ) =

∫ f (t , x, v )dv

R3

⎡ (1+ β (t )) 2 ⎤
v ⎥
2T
⎦ dv

3

−
⎡ (1 + β (t )) 2 3 ⎤ ⎫ ⎢⎣
⎡ (1 + β (t )) ⎤ 2 ⎧
(
)
v
t
e
β
1
+
−
= ∫ d⎢
⎨
⎬
⎢ 2T
2πT ⎥⎦ ⎩
2 ⎥⎦ ⎭
⎣
3 ⎣
R

= 1.

2. Kecepatan Rata-rata:
V (t , x ) =

1
d

1
=
d

∫ vf (v, t )dv

R3

3

⎛ (1 + β (t )) 2 ⎞
⎡ (1 + β (t )) 2 3 ⎤ ⎫
⎡ (1 + β (t )) ⎤ 2 ⎧
∫ vd ⎢⎣ 2πT ⎥⎦ ⎨⎩1 + β (t )⎢⎣ 2T v − 2 ⎥⎦ ⎬⎭ exp⎜⎝ − 2T v ⎟⎠dv
3

R

= 0.
3. Aliran Impuls
M (t , x ) =

T
∫ vv f (t , x, v )dv

R3

=

3
T ⎡ (1 + β (t )) ⎤ 2 ⎧

∫ vv d ⎢⎣
3

R

= dTI 3 .

4. Aliran Energi

2πT

⎥⎦

⎡ (1+ β (t ))
v
2T

−
⎡ (1 + β (t )) 2 3 ⎤ ⎫ ⎢⎣
v − ⎥ ⎬e
⎨1 + β (t )⎢
2 ⎦⎭
⎣ 2T
⎩

2⎤

⎥
⎦ dv

16

r (t , x ) =

1
2

1
=
2

∫v v
R

2

f (t , x, v )dv

3

∫ vv

R3

3
2 ⎡ (1 + β (t )) ⎤ 2 ⎧

d⎢
⎣

⎡ (1 + β (t )) 2 3 ⎤ ⎫
⎛ (1 + β (t )) 2 ⎞
v − ⎥ ⎬ exp⎜ −
v ⎟dv
⎨1 + β (t )⎢
2T
2 ⎦⎭
⎠
⎣ 2T
⎝
⎩

⎥⎦

2πT

= 0.
5. Energi
E (t , x ) =

1
2

1
=
2
=

∫v
R

∫

R3

2

f (t , x , v )dv

3

3
2 ⎡ (1 + β (t )) ⎤ 2 ⎧

v d⎢
⎣

2πT

⎥
⎦

⎡ (1 + β (t )) 2 3 ⎤ ⎫
⎛ (1 + β (t )) 2 ⎞
v − ⎥ ⎬ exp⎜ −
v ⎟ dv
⎨1 + β (t )⎢
2T
2 ⎦⎭
⎣ 2T
⎝
⎠
⎩

3
dT .
2

Simulasi dengan menggunakan metode DSMC satu dimensi

Metode DSMC merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk
mensimulasikan mekanisme tumbukan secara langsung. Inti dari metode ini
adalah membuat representasi sederhana mengenai sebaran awal partikel, gerak,
tumbukan dan pemberian indeks terhadap setiap partikel. Seperti program
simulasi yang lainnya, program ini juga mengalami beberapa penyederhanaan,
antara lain pada jumlah partikel yang dijadikan subjek pengamatan dan pada
dimensi posisi yang digunakan. Posisi partikel diperhatikan hanya berdasarkan
sumbu x saja. Misalkan ruang yang dipergunakan sebagai sistem ada pada

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 dan 0 ≤ z ≤ 1 . Untuk memudahkan proses inisialisasi posisi
awal partikel, sumbu x dibagi menjadi beberapa sel dan setiap selnya dibagi lagi
menjadi beberapa sub sel (Bird 1994).
Proses simulasi dilakukan dengan menggunakan MATLAB 7.0. Program
utama diberi nama NSBIC.m, yaitu program untuk menguji prosedur tumbukan
pada gas seragam sederhana. Program NSBIC.m dibuat dengan algoritma sebagai
berikut:
1. Menentukan nilai awal variabel dan aliran partikel pada t = 0.
2. Menentukan nilai awal variabel sampel.

17

3. Mendeskripsikan pergerakan sejumlah partikel pada selang waktu tertentu.
4. Menentukan urutan partikel dalam sel dan sub sel.
5. Menghitung banyaknya tumbukan selama selang waktu tertentu.
6. Menentukan contoh aliran partikel.
7. Menampilkan hasil.
Sistem dibagi menjadi beberapa sel dan subsel. Pada simulasi kali ini, sistem
akan dibagi menjadi 50 sel dan 400 sub sel dengan jumlah partikel maksimal 1000
partikel. Secara keseluruhan, program cukup besar sehingga perlu dipecah
menjadi beberapa subroutine. Pada program NSBIC.m, terdapat 8 buah
subroutine yaitu sebagai berikut:
1. DATAOS.m
Subroutine ini berisi data awal yang berkaitan dengan sifat-sifat fisis
partikel gas seperti kerapatan, suhu, banyak partikel sebenarnya yang
disimulasikan oleh partikel simulasi, interval waktu (time step), jumlah
subsel pada masing-masing sel, massa serta diameter partikel, tetapan
kekentalan, serta scattering parameter.
2. INITOS4.m
Subroutine ini berisi nilai variabel awal dan sebaran partikel pada saat

t = 0 . Nilai awal yang didefinisikan antara lain adalah konstanta Boltzmann,
k = 1.3806e − 23 , collision cross section, informasi geometri setiap sel dan
sub sel (termasuk nomor sel dan sub sel), serta kecepatan awal masingmasing partikel.
3. SAMPIOS.m
SAMPIOS.m merupakan sub routine yang berisi inisialisasi seluruh
variabel sampling, antara lain: banyaknya tumbukan pada t = 0, jumlah
sampel, banyaknya partikel yang berpindah posisi, serta banyaknya partikel
yang terseleksi untuk bertumbukan dan terpisah lagi.
4. MOVEOS.m
MOVEOS.m merepresentasikan gerak perpindahan partikel dari satu
posisi ke posisi lainnya selama selang waktu tertentu berdasarkan posisi di
sumbu x, melakukan pendataan terhadap sel sebelum dan setelah tumbukan,
dengan asumsi tumbukan yang terjadi antar partikel dan dengan dinding

18

pembatas merupakan tumbukan lenting sempurna, sedemikian sehingga
gerakan pantulnya mengikuti sifat pantulan cermin.
5. INDEXS.m
Subroutine INDEX.m mengatur penomoran partikel berdasarkan
susunan sel dan sub selnya.
6. COLLS3.m
COLLS3.m merupakan subroutine yang mensimulasikan tumbukan
antara dua partikel, yaitu mengatur partikel partikel yang akan bertumbukan
serta menghitung kecepatan relatif partikel, sudut elevasi, azimuth, sudut
defleksi, serta kecepatan partikel setelah tumbukan.
7. SAMPLEOS.m
SAMPLEOS.m melakukan sample terhadap partikel dalam aliran.
8. OUTOS.m
OUTOS.m bertugas menampilkan hasil output pada setiap langkah
waktu tertentu secara terus menerus.

Hasil dari simulasi selama selang waktu t tertentu menghasilkan pola
sebaran sebagai berikut:

Gambar 1 Kurva sebaran kecepatan partikel hasil solusi eksak dan solusi
numerik dengan nilai awal Bobylev.

19

Kurva merah menunjukkan sebaran kecepatan yang diperoleh melalui solusi
eksak. Kurva biru menunjukkan solusi hasil simulasi.

Karena fungsi sebaran partikel terhadap kecepatan dan waktu dari hasil
simulasi telah diketahui, maka dihitung nilai beberapa besaran makroskopik,
antara lain:
1. Fungsi Kepekatan Peluang
Dengan menggunakan algoritma:
Density = sum(fPV)/1000,
Diperoleh Density = 1, yang sesuai dengan hasil yang diperoleh secara
eksak.
Keterangan:
fPV = frekuensi speed partikel.
1000 = jumlah partikel.

2. Kecepatan Rata-rata
Dari hasil simulasi diperoleh:
Vrata = [0.2407, 0.5707, 0.0044]
yang hasilnya mendekati nol, sesuai dengan hasil yang diperoleh secara
eksak.
Dibawah ini adalah kurva yang menunjukkan sebaran partikel
terhadap masing-masing komponen kecepatan partikel.

Gambar 2 Kurva sebaran komponen kecepatan x hasil simulasi.

20

Gambar 3 Kurva sebaran komponen kecepatan y hasil simulasi.

Gambar 4 Kurva sebaran komponen kecepatan z hasil simulasi.

21

KESIMPULAN DAN SARAN

Solusi eksak persamaan Boltzmann homogen spasial dengan nilai awal
Bobylev berhasil diperoleh dengan bentuk sebagai berikut:
(1+ β (t ))

⎡
2⎤
3
v ⎥
−
⎡ (1 + β (t )) ⎤ 2 ⎧
⎡ (1 + β (t )) 2 3 ⎤ ⎫ ⎢⎣
2T
⎦
f (v , t ) = F (v , β (t )) = d ⎢
v − ⎥ ⎬e
⎨1 + β (t )⎢
⎥
2 ⎦⎭
⎣ 2πT ⎦ ⎩
⎣ 2T
2
dengan d > 0, T > 0,0 < β (t ) < . Dari hasil tersebut, dapat dihitung nilai dari
3

beberapa besaran makroskopik seperti fungsi densitas, kecepatan rata-rata, impuls,
dan energi.
Solusi numerik persamaan Boltzmann dengan menggunakan metode
DSMC satu dimensi dapat diperoleh, sedemikian sehingga nilai dari beberapa
besaran makroskopik dapat dihitung, antara lain fungsi densitas dan rata-rata.
Selanjutnya, disarankan untuk menggunakan metode simulasi dengan
dimensi yang lebih tinggi agar hasil yang diperoleh mendekati keadaan
sebenarnya.

22

DAFTAR PUSTAKA
Bird, G.A. 1994. Molecular Gas Dynamics and The Direct Simulation of Gas
Flow. New York: Oxford University Press.
Bobylev, A.V. 1975. Exact Solutions of The Boltzmann Equation. Sov. Phys.
Dokl. 20(12):822-824.
Bollomo, Pulvirenti. 2000. Modelling in Applied Science. New York: Birkhaeuser
Boston.
Boltzmann, L. 1964. Lectures on Gas Theory. New York: Dover Publications,
Inc.
Cercignani, C.1975. Theory and Application of The Boltzmann Equation. London:
Scootish Academic Press.
Harris, S. 1971. An Introduction of The Boltzmann Equation. New York: Dover
Publications, Inc.
Kibble, Berkshire. 1996. Classical Mechanics. England: Addison Wesley
Longman Limited.
Krane, K. S. 1992. Fisika Modern. Wospakrik HJ, penerjemah; Jakarta: UI-Pres.
Liboff, R.L. 1990. Kinetic Theory. New York: Prentice-Hall, Inc
Nugrahani, E.H. Beitraege zur Numerik der Boltzmann Gleichung (Some
Contributions to Numerical Solution of the Boltzmann Equation) [disertasi].
Saarbruecken: Universitaet des Saarlandes; 2003.
Roy, B. N. 2002. Fundamentals of Classical and Statistical Thermodynamics.
West Sussex: John Willey & Sons, Ltd.

23

LAMPIRAN

24

Lampiran 1. Integral Gauss

Integral Gauss merupakan integral dari fungsi Gauss, yaitu fungsi yang
mengandung bentuk exp(-x2), yang sering muncul dalam mekanika statistik.

∫ exp(− x

Integral Tak Tentu dari

2

)dx tidak dapat dicari solusinya dengan

mengintegralkan seperti biasa. Misalkan:

∫ exp(− x

∞

I=

2

)dx,

(44)

−∞

Maka integral ini dapat dicari nilainya dengan menggunakan sifat fungsi
eksponensial. Bentuk I di atas dapat dituliskan kembali dengan menggunakan
variabel yang lain:

∫ exp(− y

∞

I=

2

)dy

(45)

−∞

Selanjutnya, dengan mengalikan persamaan (44) dan (45), diperoleh:

∫ exp(− x

∞

2

I =

2

−∞

∞ ∞

)dx ∫ exp(− y 2 )dy
∞

−∞

( ) ( )

= ∫ ∫ exp − x 2 exp − y 2 dxdy
−∞ −∞
∞ ∞

((

))

= ∫ ∫ exp − x 2 + y 2 dxdy
−∞ −∞

Integral lipat dua tersebut dapat dinyatakan dalam koordinat polar (r ,θ ) dengan

0 < r < ∞ , 0 < θ < 2π dan r 2 = x 2 + y 2 .
2

I =

2π ∞

∫ ∫ exp(− r

0 0
∞

2

)rdrdθ

( )

= 2π ∫ exp − r 2 rdr
0

( )

∞

⎡ 1
⎤
= 2π ⎢− exp − r 2 ⎥
⎣ 2
⎦0
=π

25

( )

∞

I=

Dengan demikian,

1

2
2
∫ exp − x dx = π 2 . Karena fungsi exp(-x )

−∞

simetris di sekitar 0, maka terdapat nilai yang sama antara x dan –x, sehingga

∫ exp(− x

∞

2

)dx =

1

π

0

2

.

2

∞

(

1

)

1 ⎛π ⎞2
Dengan cara yang sama, solusi untuk fungsi ∫ exp − ax 2 dx adalah ⎜ ⎟ .
2⎝ a ⎠
0

Lampiran 2. Bukti Persamaan 10

Persamaan 10:
v' + w' = v + w

Bukti:
v' + w' =

v+w v−w
v+w v−w
+
e+
−
e=v+w
2
2
2
2

Lampiran 3. Bukti Persamaan 11

Persamaan 11:
v

'2

+ w

'2

= v

2

+ w

2

Bukti:
v

' 2

+ w

' 2

v+w v−w
=
+
e
2
2

2

v+w v−w
+
−
e
2
2

2

2

2

2

2

⎛ v+w
= ⎜⎜
⎝ 2

⎞
⎛ v−w ⎞
v+w v−w
⎟ +2
⎜
⎟
e
+
,
⎟
⎜ 2 e⎟
2
2
⎝
⎠
⎠

⎛ v+w
+ ⎜⎜
⎝ 2

⎞
⎛ v−w ⎞
v+w v−w
⎜
⎟ −2
⎟
e
+
,
⎜