Solusi Analitik Dan Solusi Numerik Konduksi Panas Pada Arah Radial Dari Pembangkit Energi Berbentuk Silinder
SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KO NDUKSI PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI BERBENTUK SILINDER SKRIPSI NURZANNAH 090801014
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI BERBENTUK SILINDER SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains NURZANNAH 090801014
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
PERSETUJUAN
Judul Arah
Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas
: Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada
Radial dari Pembangkit Energi : Skripsi : Nurzannah : 090801014 : Sarjana (S1) Fisika : Fisika : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, 12 April 2014
Pembimbing :
Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si NIP : 197211152000121001
Disetujui Oleh Departemen Fisika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Marhaposan Situmorang NIP. 19551030198003100
PERNYATAAN
SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI
BERBENTUK SILINDER
SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 12 April 2014
Nurzannah 090801014
PENGHARGAAN
Alhamdulillahirabbil’alamin, segala puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT karena atas limpahan rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan study selama perkuliahan dan dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada Arah Radial dari Pembangkit Energi. Saya menyadari bahwa tidak akan pernah ada keberhasilan tanpa adanya dukungan, oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada mereka yang telah mendukung penulis bahkan sampai pada penyelesaian skiripsi ini.
1. Kepada kedua orang tua yang tercinta dan tersayang Bapak Karman dan Ibu Wagiyem, serta saudara-saudara yang tersayang Nurmahani, Musriadi, AmdKep, Miswadani, AmdKep, Wagianti, Sri Hariana, AmdKeb, Yuswiono, S.Pd, dan Suruandi, S.Pd yang telah memberikan doa dan dukungannya baik moril maupun materil selama penulis kuliah sampai penyelesaian skripsi ini.
2. Kepada Bapak Alm Drs. Tenang Ginting, M.S dan Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si selaku pembimbing penulis dalam menyelesaikan skiripsi ini yang selalu terbuka dalam memberikan bimbingan maupun motivasi dalam penulisan skripsi ini.
3. Kepada Bapak ibu dosen Departemen FISIKA USU, mulai dari Bapak Dr.Marhaposan Situmorang sebagai ketua departemen FISIKA USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris jurusan beserta staff pegawai di kantor Departemen FISIKA USU yang senantiasa membantu penulis dalam melengkapi administrasi.
4. Kepada Bapak Dr. Anwar Dharma Sembiring, M.S selaku dosen wali penulis, terima kasih untuk arahan dan bimbinganya.
5. Keluarga kepala laboratorium Fisika Inti USU Ibu Dra. Sudiati, M.Si, terima kasih untuk kesempatan mengembangkan diri sebagai seorang asisten dan menimba Ilmu Fisika secara praktek.
6. Kepada seseorang yang menempati ruang khusus di hati penulis Ferdy Aulia Mirda yang telah memberikan do’a, dukungan, dan membantu penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
7. Kepada Sylvia Nurul Aini beserta keluarga yang telah memberikan do’a dan dikungannya.
8. Kepada teman-teman di Fisika Stambuk Breafing : Fitri Yuniati, Arvilla Mikartini, Herdiana Purba, Zainaluddin Rambe, Ade Irma, Fadli Abul Hasan, Masria Pane, Valentina Ginting, Eldo Jones, Yosua Pinem, Esrawati Siregar, Septiana Xaveria, Andico Sihaloho, Andrian Anshari, Helen Manurung, Yenny Toguan, Resdina Silalahi, Emy Alemmita, Stevani Sigiro, Silviana Simbolon, Kalam Siregar, Istas Manalu, Rieni Kalesta, Suhartina Malau, Natanael Saragih, Wenny Yoweri Gulo, Timbul Mulya dan Poltak Simarmata yang telah memberikan kesan dan kenangan manis dan pahit bagi penulis selama masa perkuliahan. Yang tersayang Agusningsih, Monora Panca Bakara, Agus siahaan yang menjadi orang terdekat penulis selama menjalani perkuliahan di FISIKA USU. Dan teman-teman di Fisika Toeritis, Sabam Simbolon, Sukria Novianti, Sony, Enra Tambunan, dan Tanu Honggonegoro yang telah berbagi suka dan duka selama perkuliahan.
9. Untuk seluruh adik adik di FISIKA USU terkhusus untuk adik 2012 M. Fauzy, Sri Hani, adik 2011 Prahmadyana, Heni Setia Ningsih Rusell, adik 2010 Rumianto, untuk Okto, Bernike, percetakan kak Ana, kak Reni dan masih banyak lagi yang telah memberi dukungan dalam menyelesaiakan skripsi ini.
10. Dan kepada mereka yang tidak sebutkan namanya yang telah mendukung penulis , saya ucapkan terima kasih. Penulis menyadari dalam penulisan skiripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat diharapkan untuk penyempurnaan karya-karya penulis selanjutnya.
Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat terutama bagi penulis dan pembaca, terutama juga kepada mereka yang ingin melanjutkan penelitian ini. Assalamu’alaikum wr. Wb.
Medan, 12 April 2014
Penulis
SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI
BERBENTUK SILINDER
ABSTRAK
Telah dilakukan perhitungan secara analitik dan numerik dengan pendekatan finite difference pada persamaan konduksi kalor dengan sistem fisis pembangkit energi berbentuk silinder pada arah radial. Dalam tulisan ini diterangkan teknik solusi analitik dan solusi numerik untuk menentukan distribusi temperatur dan aliran kalor pada konduksi kalor dalam keadaan tunak berdimensi satu akibat pembangkit energi. Dalam suatu benda yang memiliki gradien temperatur maka akan terjadi perpindahan energi atau perambatan panas dari bagian yang bertemperatur tinggi ke bagian yang bertemperatur rendah. Perhitungan distribusi temperatur melibatkan persamaan diferensial parsial. Solusi analitik dan solusi numerik untuk menentukan distribusi temperatur dan aliran kalor pada konduksi panas dalam keadaan tunak berdimensi satu akibat pembangkit energi berbentuk silinder pada arah radial adalah dengan menggunakan metode beda hingga. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh galat antara solusi analitik dan solusi numerik, yaitu pada saat r = 0 galatnya 0.7 % dan pada saat r = b ralatnya 0.9 %.
Kata kunci : konduksi panas, silinder, metode beda hingga
ANALYTIC AND NUMERICAL SOLUTIONS ON THE HEAT CONDUCTION OF RADIAL DIRECTION FORM THE ENERGY GENERATING CYLINDER
ABSTRACT
Calculation has been done analytically and numerically by finite difference approach to the heat conduction equation with physical systems cylindrical energy generation in the radial direction. This paper presents analytic and numerical solution techniques for determining temperature distribution and heat flow in one dimensional steady state heat conduction with energy generation. A plate having temperature gradient will conduct energy transfer or heat transfer from high temperature side to low temperature side. Temperature distribution calculation involves partial differential equation. Analytical and numerical solutions to determine the temperature distribution and heat flow in steady-state heat conduction in a one-dimensional energy generation due to the particular object has a cylindrical shape is to use a finite difference method. The calculation of the results obtained by the error between the analytical solution and numerical solution, namely when r = 0 and the error 0.7% when r = b error 0.9%.
Key words: heat conduction, cylinder, finite difference method
DAFTAR ISI
Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Simbol
Bab 1
Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Batasan Masalah 1.3 Rumusan Masalah 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Manfaat Penelitian 1.6 Metode Penulisan 1.7 Sistematika Penulisan
Bab 2
Tinjauan Pustaka 2.1 Umum 2.2 Laju Perpindahan Panas 2.3 Aliran Panas Lewat Konduksi
Bab 3
2.4 Konduksi Pada Silinder 2.5 Metode Beda Hingga
2.5.1 Beda Maju 2.5.2 Beda Mundur 2.5.3 Beda Tengah Metodologi penelitian 3.1 Diagram Alir Penelitian
Bab 4
Hasil dan Pembahasan 4.1 Solusi Analitik
4.1.1 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan Temperatur Konstan
4.1.2 Fluks Panas 4.1.3 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit
Energi dan Konveksi 4.2 Solusi Numerik
4.2.1 Persamaan Konduksi Panas pada Koordinat Silinder 4.2.1 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder 4.1.3 Menentukan Syarat Batas
Bab 5 Kesimpulan dan Saran
Halaman
i ii iii v vi vii ix
1 1 2 2 2 3 3
5 5 7
8 9 11 11 12
13
14
14 16
17 19 20 20 23
4.1 Kesimpulan 4.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN A : Alfabet Yunani LAMPIRAN B : Penyelesaian Konduksi Secara Analitik LAMPIRAN C : Penyelesaian Konduksi Secara Numerik LAMPIRAN D : Kondisi Sistem Fisis
30 30
31
33 34 38 42
DAFTAR SIMBOL
Simbol-simbol yang digunakan dalam skripsi ini dan fungsinya:
r = Jari-jari k = Konduktivitas termal h = Koefisien pindah panas g = Energi panas elektrik T = Temperatur Tw = Temperatur permukaan T = Temperatur fluida
= Laju perpindahan panas q'' = Laju aliran panas melalui satuan luas q''' = Laju produksi panas persatuan volume A = Luas penampang H = Panjang silinder
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Solusi analitik untuk masalah konduksi panas seperti pada geometrik yang komplek, problem nonlinear, sistem termal yang meliputi coupling antara elemenelemen sangat rumit. Untuk menyelesaikan masalah konduksi panas satu dimensi
pada keadaan tunak dengan pembangkit energi adalah menentukan distribusi temperature dan aliran rata – rata panas pada medium dengan bentuk geometrinya diambil contoh yaitu; bidang datar, silinder.
Perambatan panas konduksi pada katagori sistem dengan bentuk fisik silinder adalah perambatan satu dimensi bilamana suhu benda hanya merupakan fungsi jarak radial dan tidak bergantung dari sudut azimut. Perambatan panas dipengaruhi sifat-sifat fisik medium yang dilalui diantaranya konduktivitas panas k, panas spesifik c dan kepadatan massa m yang dibangun dengan menganggap bahwa panas mengalir merambat secara kontinu. Penelitian ini bertujuan untuk melakukan kajian tentang model perambatan panas pada benda-benda dengan bentuk fisik silinder dengan memandang sebagai persoalan konduksi satu dimensi.
1.2 Batasan Masalah
Adapun batasan masalahnya adalah sebagai berikut: 1. Banyaknya bahan bakar, proses dan energi yang dihasilkan diabaikan. 2. Temperatur permukaan pada benda berbentuk silinder dianggap konstan. 3. Fluks panas terjadi pada arah radial saja. 4. Tidak memperhitungkan nilai konduktivitas termal
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah yang akan digunakan yaitu: 1. Bagaimana menentukan solusi analitik konduksi panas pada pembangkit
energi? 2. Bagaimana menentukan solusi numerik konduksi panas pada pembangkit
energi? 3. Bagimana perbandingan hasil penyelesaian dari solusi analitik dan solusi
numerik konduksi panas?
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah 1. Mendeskripsikan solusi analitik konduksi panas pada pembangkit energi. 2. Mendeskripsikan solusi numerik konduksi panas pada pembangkit energi. 3. Mendeskripsikan perbandingan hasil penyelesaian dari solusi analitik dan
solusi numerik konduksi panas pada pembangkit energi.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut : 1. Bagi penulis, sebagai tambahan informasi dan wawasan mengenai bagaimana
menentukan solusi analitik dan solusi numerik konduksi panas pada pembangkit energi. 2. Bagi pembaca, sebagai masukan dan sumbangan pemikiran untuk memecahkan permasalahan dalam menentukan distribusi temperature dan aliran panas pada konduksi panas dengan menggunakan metode beda hingga.
1.6 Metode Penulisan
Metode kajian pustaka dipilih dalam penelitian ini dengan menggunakan beberapa literatur dari berbagai sumber pustaka terkait. Kegiatan studi penelitian ini diuraikan secara lebih rinci dibawah ini.
1. Studi Literatur Merupakan tahap pengumpulan literatur mengenai : Perpindahan Panas, Konduksi, Konveksi, Fluks Panas, Koordinat Silinder, dan Metode Beda Hingga.
2. Pengkajian Literatur Merupakan tahap penyelesaian dengan permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian sehingga didapat informasi yang diinginkan.
3. Pengolahan Informasi Merupakan tahap untuk menganalisa informasi sehingga didapat informasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian.
4. Merangkum Kesimpulan Merupakan jawaban dari setiap permasalahan yang akhirnya suatu fakta ilmiah mengenai fenomena yang ditinjau.
5. Penulisan Laporan Merupakan tahap penulisan laporan penelitian yang telah dilakukan dalam bentuk skripsi.
1.7 Sistemetika Penulisan
Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut : BAB I Pedahuluan
Bab ini merupakan Latar Belakang, Rumusan Masalah, Batasan Masalah, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, Metode Penulisan, dan Sistematika Penulisan dari Tugas Akhir ini. BAB II Tinjauan Pustaka Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian ini.
BAB III Metodologi Penelitian Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan diagram alir dari penelitian.
BAB IV Hasil dan Pembahasan Bab ini mencakup hasil penelitian berupa penejelasan metode beda hingga yang digunakan untuk menentukan distribusi temperature pada benda berbentuk silinder.
BAB V Kesimpulan dan Saran Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari bab sebelumnya yaitu hasil dan pembahasan terkait dari tujuan penelitian. Dan juga saran yang diberikan untuk kajian lebih lanjut dari skripsi ini.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Umum
Perpindahan panas adalah perpindahan energi yang terjadi pada benda atau material yang bersuhu tinggi ke benda atau material yang bersuhu rendah, hingga tercapainya kesetimbangan panas. Kesetimbangan panas terjadi jika panas dari sumber panas sama dengan jumlah panas benda yang dipanaskan dengan panas yang disebarkan oleh benda tersebut ke medium sekitarnya. Proses perpindahan panas ini berlangsung dalam 3 mekanisme, yaitu:
1. Konduksi 2. Konveksi 3. Radiasi Dalam prakteknya ketiga proses perpindahan panas tersebut sering terjadi secara bersama-sama. Namun, dalam bab ini akan dijelaskan teori perpindahan panas secara konduksi.
2.2 Laju Perpindahan Panas
Konduksi adalah proses perpindahan panas dari suatu bagian benda padat atau material ke bagian lainnya. Perpindahan panas secara konduksi dapat berlangsung pada benda padat, umumnya logam.
Jika salah satu ujung sebuah batang logam diletakkan di atas nyala api, sedangkan ujung yang satu lagi dipegang, bagian batang yang dipegang ini suhunya akan naik, walaupun tidak kontak secara langsung dengan nyala api. Pada perpindahan panas secara konduksi tidak ada bahan dari logam yang berpindah. Yang terjadi adalah molekul-molekul logam yang diletakkan di atas nyala api membentur molekul-molekul yang berada di dekatnya dan memberikan sebagian panasnya. Molekul-molekul terdekat kembali membentur molekulmolekul terdekat lainnya dan
memberikan sebagian panasnya, dan begitu seterusnya di sepanjang bahan sehingga suhu logam naik.
Jika pada suatu logam terdapat perbedaan suhu, maka pada pada logam tersebut akan terjadi perpindahan panas dari bagian bersuhu tinggi ke bagian bersuhu rendah.
Besarnya laju perpindahan panas (q) berbanding lurus dengan luas bidang (A)
dan perbedaan suhu
pada logam tersebut seperti ditunjukkan pada Gambar
2-1. Secara matematis dinyatakan sebagai:
Gambar 2.1 Laju Perpindahan Panas Dengan memasukkan konstanta kesetaraan yang disebut konduktivitas thermal didapatkan persamaan berikut yang disebut juga dengan hukum Fourier tentang konduksi:
dimana :
= Laju perpindahan panas (W) k = Konduktivitas termal (W/m oC) A = Luas penampang (m2)
= Gradien suhu,yaitu laju perubahan suhu T dalam arah aliran x (oC/m)
Tanda minus (-) menunjukkan arah perpindahan panas terjadi dari bagian yang bersuhu tinggi ke bagian yang bersuhu rendah.
Nilai kondukitivitas thermal suatu bahan menunjukkan laju perpindahan panas yang mengalir dalam suatu bahan. Konduktivitas thermal kebanyakan bahan merupakan fungsi suhu, dan bertambah sedikit kalau suhu naik, akan tetapi variasinya
kecil dan sering kali diabaikan. Jika nilai konduktivitas thermal suatu bahan makin besar, maka makin besar juga panas yang mengalir melalui benda tersebut. Karena itu, bahan yang harga k-nya besar adalah penghantar panas yang baik, sedangkan bila knya kecil bahan itu kurang menghantar atau merupakan isolator.
2.3 Aliran Panas Lewat Konduksi
Dalam konduksi, panas ditransmisikan dari satu lokasi dalam badan ke lokasi lain juga dalam badan sebagai akibat dari perbedaan temperatur yang ada di dalam badan tidak ada gerakan makroskopik dari setiap bagian badan. Dengan mekanisme seperti inilah, akan ditunjukkan dalam pasal ini, panas yang dihasilkan dalam batang bahan bakar dipindahkan ke permukaan batang. Konveksi panas, sebaliknya, melibatkan perpindahan panas ke cairan atau gas, yang bergerak sebagai hasil dari perbedaan temperatur dan penolakan panas di lokasi lain. Jadi, panas yang di pindahkan dengan cara konduksi ke permukaan batang bahan bakar dibawa ke pendingin dan keluar dari sistem dengan cara konveksi. Hubungan dasar yang mengatur konduksi panas adalah hukum Fourier, yang untuk media isotropik ditulis sebagai
Laju produksi panas total di dalam V adalah sama dengan
Dimana : q'' : Laju aliran panas melalui satu satuan luas. T : Temperature. k : Sejumlah zat penting diberikan q''' : Laju produksi panas per satuan volume.
Hasil ini dapat diterapkan untuk beberapa masalah yang menarik dalam reaktor nuklir. Salah satu masalah sentral, seperti yang terlihat, adalah perhitungan jumlah panas yang dapat dipindahkan keluar dari batang bahan bakar dan akhirnya ke pendingin pada suatu temperature maksimum dalam bahan bakar. Temperatur bahan
bakar maksimal adalah suatu kondisi preset yang tidak boleh dilampaui untuk alasan keamanan. 2.4 Konduksi pada Silinder Arah perpindahan panas pada benda berbentuk silinder seperti tabung atau pipa adalah radial. Pada Gambar 2.4 ditunjukkan suatu pipa logam dengan jarijari dalam ri, jarijari luar ro, dan panjang L, perbedaan suhu permukaan dalam dengan permukaan luar adalah
Gambar 2.2 Aliran radial panas di dalam silinder Perpindahan panas pada elemen dr yang jaraknya r dari titik pusat adalah:
Luas bidang permukaan silinder berjari–jari r adalah Sehingga Bentuk umum persamaan konduksi panas silinder :
Konduksi panas pada arah radial :
Konduksi panas arah radial pada silinder dengan pembangkit energi :
2.5 Metode Beda Hingga (Finite Difference Method)
Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara umum metode beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam 1D (satu dimensi), domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga dimensi.
Berbeda dengan metode elemen hingga (Finite Element Method) yang memiliki banyak variasi bentuk elemennya, yaitu bentuk segi empat, segi tiga dan segi yang lain. Sedangkan metode beda hingga bentuk diskritisasi elemennya hanya berbentuk segi empat saja.
Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik, khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu (ruang dan waktu tinjauan) dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan (Anderson, 1984). Atau secara matematis dapat dituliskan sebagai:
Dengan h adalah r , subskrip i merupakan titik grid, superskrip n menunjukkan time step dan adalah reminder atau biasa disebut truncation error yang merupakan suku selanjutnya dari deret tersebut yang dapat dinyatakan sebagai berikut,
Metode ini akan membuat pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam grid atau kotak-kotak hitungan kecil yang secara
keseluruhan masih memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian-bagian yang kecil. Penerapan metode ini pada persamaan adveksi adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat batasnya dengan seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti daerah yang kontinu dengan suatu pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas yang kecil dan memberi nomor acuan kepada setiap subluas.
Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada waktu beriukutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang akan datang.
Berdasarkan ekspansi Taylor di atas (persamaan 2.12), terdapat tiga skema beda hingga yang biasa digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu beda maju, maju mundur, dan maju tengah. Berikut adalah skema beda hingga untuk koordinat silinder pada arah radial.
Gambar 2.3 Skema beda hingga pada arah radial koordinat silinder
2.5.1 Beda Maju Untuk beda maju, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser ke depan sebesar r. Berikut ekspansi Taylor :
Secara umum, symbol T/ r* r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai
fungsi T pada
jika r digeser sebesar r. Sementara symbol 2T/ r2
menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik tsb jika r digeser sebesar
r.
2.5.2 Beda Mundur Untuk beda mundur, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser ke belakang sebesar r. Berikut ekspansi Taylor :
Maka,
2.5.3 Beda Tengah Jenis beda hingga yang ketiga adalah beda tengah, di mana untuk mencari kemiringan dari fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan nilai fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.
----------------------- +
atau
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Diagram Alir Penelitian Berikut adalah diagram alir penelitian konduksi pada arah radial dari pembangkit energy berbentuk silinder.
Gambar 3.1 diagram alir penelitian konduksi
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Analitik Metode Analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah lazim. 4.1.1 Benda yang Berbebntuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan
Temperatur Permukaan Konstan Perhatikan suatu silinder panjang dengan jari-jari dalam r, dan panjang L, seperti pada gambar 4.1. Untuk silinder yang panjangnya sangat besar dibandingkan dengan diameternya, dapat diandaikan bahwa aliran kalor berlangsung menurut arah radial, sehingga koordinat ruang yang diperlukan untuk menentukan sistem ini adalah r .
Gambar 4.1 Konduksi panas radial pada silinder.
Pada gambar 4.2 benda silinder dengan radius r = b , di mana temperature permukaan disebut temperatur yang sama yaitu Tw, konduktiviti termal dan pembangkit energi konstan.
Gambar 4.2 Benda Silinder dengan Pembangkit Energi Persamaan konduksi panas, dimana :
Temperatur permukaan = Tw T(r) = Tw pada r = b Persamaan (4.3a) diselesaikan dengan integrasi pertama :
Untuk
maka distribusi temperature menjadi
Dengan mengintegrasikan persamaan (4.5), maka Untuk syarat batas pada temperature T(r) = Tw pada r = b, maka
Distribusi temperatur dari pers (4.5) dimasukkan ke pers (4.4) menjadi ;
4.1.2 Fluks Panas
Hukum dasar yang memberikan hubungan antara laju aliran panas dengan gradient temperatur, berdasarkan observasi eksperimen, yang secara umum dinamakan setelah ahli Matematika dan Fisika dari Perancis Joseph Fourier yang menggunakannya dalam teori analisanya tentang panas. Untuk material homogen, solid isotropic (contohnya: material yang konduktivitas termalnya tidak bergantung pada arah. Hukum Fourier diberikan dalam bentuk dimana gradient temperatur adalah normal vektor ke permukaan isothermal, vektor flux panas q(r,t) menggambarkan laju aliran panas per satuian waktu, per satuan luas dari permukaan isothermal pada arah yang mengalami penurunan temperatur, dan k adalah konduktiviats termal dari material yang positif secara kuantitas skalarnya. Jika vektor flux panas q(r,t) berada pada arah yang temperaturnya menurun, tanda minus pada persamaan (4.2) membuat laju aliran panas bernilai positif. Jika flux panas dalam W/m2 dan gradient temperatur adalah oC/m, konduktivitas termal bersatuan W/m oC.
Sehingga jelas bahwa laju aliran panas untuk gradient temperatur yang diberikan secara langsung proporsional terhadap konduktivitas termal dari material. Sehingga dalam analisa perpindahan panas konduksi, konduktifitas termal dari material adalah sifat yang sangat penting, yang mengontrol laju aliran panas dalam suatu medium.
Fluks panas di dalam medium didefinisikan sebagai berikut :
Untuk fluks panas pada batas permukaan adalah
Jika r = b maka fluks panas menjadi :
Jika temperatur tinggi terjadi ditengah silinder maka temperatur digaris tengah diperoleh dari pers (4.6) dengan menentukan r = 0 menjadi :
4.1.3 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan Konveksi
Konveksi adalah perpindahan panas oleh gerakan massa pada fluida dari suatu daerah ruang ke daerah lainnya. Perpindahan panas konveksi merupakan mekanisme perpindahan panas antara permukaan benda padat dengan fluida. Mekanisme fisis perpindahan panas konveksi berhubungan dengan proses konduksi. Guna menyatakan pengaruh konduksi secara menyeluruh digunakan hukum Newton tentang pendinginan, yaitu :
dimana:
= Laju perpindahan panas (W)
h = Koefisien perpindahan panas konveksi
A = Luas permukaan Tw = Suhu permukaan (oC)
= Suhu fluida (oC) Pada gambar 4.3, aplikasi energi pada disipasi energi secara konveksi yang berasal dari luar permukaan menuju ke dalam dengan temperatur yang konstan .
Konveksi Gambar 4.3 Benda berbentuk silinder dengan pembangkit energi ke kondisi batas
konveksi
Secara matematik dapat ditulis persamaan:
Persamaan (4.14a) diintegrasikan dan diaplikasikan ke syarat batas pers (4.14b) dengan menentukan C1 = 0 maka, Persamaan diatas diintegrasikan untuk mendapatkan distribusi temperatur pada C2 menjadi : Pers (4.14c) diintegrasikan dengan syarat batas r = b maka C2 menjadi :
Distribusi temperatur pada silinder menjadi :
Secara fisika koefisien perpindahan panas mempunyai 2 batasan yaitu : 1. Distribusi temperatur pada bidang datar (slab) pada koefisien perpindahan panas maka,
2. Koefisien perpindahan panas yang bernilai kecil di mana temperature T(r) menjadi tak terhingga, maka syarat batas pada pers (4.14b) menjadi :
Fluks panas didefenisikan menjadi :
Persamaan (4.14) disubtitusikan ke persamaan (4.19), maka menjadi :
4.2 Solusi Numerik Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *).
4.2.1 Persamaan Konduksi Panas pada Koordinat Silinder Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder adalah sebagai berikut.
Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder hanya dihitung pada arah radialnya saja, terlihat pada persamaan (4.23).
Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu :
4.2.2 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder Metode beda hingga yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan konduksi panas pada silinder adalah metode beda tengah. Gambar 4.4 Menunjukkan penggunaan metode beda hingga pada koordinat silinder.
Gambar 4.4 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder Pendekatan beda tengah untuk turunan parsial pada persamaan (4.22) adalah sebagai berikut
Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu : syarat batas dan , maka ;
Persamaan tersebut harus diturunkan untuk mendapatkan pendekatan orde dua. Dari persamaan (4.24), maka didapat;
Subtitusikan persamaan (4.25a) dan (4.25a) kedalam persamaan (4.27) untuk mendapatkan persamaan kesetmbangan panas.
Persamaan (4.28) dapat disederhanakan menjadi;
Bentuk beda hingga untuk persamaan energi dibagi kedalam M bagian, dan ketebalannya ( r) adalah ;
Pada Gambar 4.6, setiap bagian
berisi M + 1 pada lokasi berikut;
r = (m-1) ∆r
pada m = 1,2,…, M+1
Gambar 4.6 Seleksi Node pada Benda Berbentuk Silinder dengan node – node m =1 dan m = M+1 sebanding dengan pusat dan luar batas permukaan benda silinder, dan node m=2,3,…,M adalah node dalam (seperti gambar diatas). Untuk temperatur node M+1 dinyatakan sebagai;
pada m =1,2,…,M+1 2-15 Panas yang timbul pada element dengan ketebalan pada node m maka;
Dimana;
H = panjang silinder Dari persamaan (4.28) didapat kesetimbangan energi pada silinder ;
Atau
untuk untuk node m = 1 dengan radius maka;
Rata – rata panas yang timbul Dari persamaan (4.31), persamaan beda hingga untuk kesetimbangan konduksi panas pada tengah node m = 1, maka;
Pada syarat batas r = b maka perlu menentukan syarat batas temperatur , fluks panas dan konveksi. 4.2.3 Menentukan Syarat Batas
a. Syarat Batas Temperatur Jika temperatur pada batas permukaan di node M yang spesifik yang disebut maka; pada m = M + 1
b. Syarat Batas Fluks Panas Kesetimbangan energi pada batas node M+1 di r = b maka;
Dimana
Dari ekspresi diatas diperoleh;
Untuk m = M + 1 c. Syarat Batas Konveksi
Dimana
Subtitusikan persamaan (4.37)ke persamaan kesetimbangan energi dan persamaan bedahingga dengan syarat batas r = b pada m = M + 1 maka dapat ditulis sebagai berikut;
Contoh benda yang berbentuk silinder.
Benda sejenis chrome nikel yang berbentuk batang dengan diameter 10 cm,
konduktiviti termal
, energi yang timbul dari panas elektrik
dengan rata-rata
. Permukaan batang dipanasi secara konveksi dengan
koefisien perpindahan panas
pada temperatur
a. Tentukan distribusi temperatur secara analitik! b. Tentukanlah persamaan beda hingga jika radius batang dibagi kedalam 5
interval! c. Galat
Penyelesaian : Dik :
Dit : a. Secara Analitik b. Secara Numerik c. Galat
Jawab : a. Penyelesaian secara analitik Dari persamaan (4.17) : Maka, Pada saat r = 0
Pada saat r = 0.01
Pada saat r = 0.02
Pada saat r = 0.03
Pada saat r = 0.04
Pada saat r = b
b. Penyelesaian secara numerik M = 5, maka;
Persamaan beda hingga dipusat (4.35) pada node m =1 maka diperoleh; untuk m = 1
Persamaan beda hingga dari persamaan (4.32) untuk node m =2 s/d 5 maka diperoleh ; Hasil akhir persamaan beda hingga (4.39) untuk syarat batas konveksi pada node m = M+1 = 6 maka diperoleh;
Diperoleh persamaan berbentuk matrik 6 X 6 untuk 6 node temperatur Tm, m = 1 s/d 6.
Dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks;
Dari persamaan diatas diperoleh matriks tridiagonal, maka selanjutnya dengan menggunakan program aplikasi Matlab akan diperoleh temperaturnya dalam bidang silinder.
Tabel 4.1 Hasil distribusi temperature secara numerik
Node 1 2 3 4 5 6
Temperatur 1682.18 1666.55 1619.68 1541.55 1432.31 1291.78
c. Galat Berdasarkan hasil distribusi analitik dan numerik, maka diperoleh galatnya.
Tabel 4.2 Hasil galat dari distribusi temperatur secara analitik dan numerik
Node
R T analitik (oC) T numerik (oC) Galat (%)
1
0
1670.625
1682.18
2 0.01
1655
1666.55
3 0.02 1608.125 1619.68
4 0.03
1530
1541.55
5 0.04 1420.625 1432.31
6 0.05
1280
1291.78
0.7 0.7 0.7 0.7 0.8 0.9
Hasil Simulasi Numerik Penyelesaian masalah kajian perambatan panas dilakukan dengan simulasi komputer menggunakan software matematika MATLAB 7.10. Berdasarkan Tabel 4.2 maka diperoleh hasil simulasi numerik.
Gambar 5.1 Hasil Simulasi Distribusi suhu
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa:
1. Secara analitik bahan krom nikel memiliki temperatur permukaan isolasi pada
r = 0 diperoleh sebesar
, temperatur pada batas konveksi r = b
diperoleh sebesar
2. Secara numerik bahan krom nikel memiliki temperatur pemukaan isolasi r = 0
terjadi pada node m = 1 sebesar
, temperatur pada batas konveksi r
= b terjadi pada node m = 6 sebesar
3. Galat perambatan kalor antara solusi analitik dan solusi numerik pada bahan krom nikel adalah pada saat r = 0 galatnya 0.7 % dan pada saat r = b galatnya 0.9 %.
3.2 Saran Pada tulisan ini dalam menentukan perambatan panas pada arah radial dari benda berbentuk silinder. Oleh karena itu diharapkan untuk peneliti selanjutnya dapat menentukan perambatan panas pada arah radial dari benda berbentuk bola.
DAFTAR PUSTAKA
Ainur Rosidi, M. Juarsa. 2008. Analisa Distribusi Temperatur pada Btang Panas Bagian Uji heating 01. Batan : Pusat Pengembangan Teknologi dan Keselamatan Nuklir.
Buchori, luqman. Perpindahan Panas. Semarang : UNDIP Faires, J. Douglas. 1993. Numerical Method. Boston : PWS-KENT Publishing
Company. Handayanto, Agung. Persamaan Differensial Parsial dalam Koordinat Silindris
pada Masalah Konduksi Panas. Semarang : IKIP PGRI. Hill, J. M & Dewynne, J.N. 1987. Heat Conduction, Blackwell Scientific
Publications. Holman, J & P, Jasjfi E. 2002. Perpindahan Kalor. Erlangga. Klara, Syerly. 2008. Peningkatan Kreatifan Mahasiswa dengan Penerapan Metode
Student Centre Learning pada Mata Kuliah Perpindahan Panas. Makassar : Universitas Hasanuddin. Kreith, Frank. 2002. Principles of Heat Transfer. New York : Mc Graw – Hill Book Company New York. Nasution, Amrinsyah & Zakaria Hasballah. 2001. Metode Numerik dan Ilmu Rekayasa Sipil. Bandung : ITB Press. Ozisik, M. Necati. Heat Conduction. Jhon Willey & Sons. Purwadi, P K. 2001. Metode ADI dalam Penyelesaian Persoalan Perpindahan Panas Konduksi Benda Padat Tiga Dimensi Keadaan Tunak. Yogyakarta : Universitas Sananta Dharma. Putra S, M. Kelana. 2007. Rancangan Bangunan dan Analisa Perpindahan Panas pada Ketel Uap Bertenaga Listrik. Medan : USU. Putro, Paranto W S. Perancangan dan Simulasi Transfer Panas pada Material Pendingin Peralatan Listrik Jenis Heat Pipe dengan Metode Finite Element. Jakarta : FTI Institut Sains dan Teknologi Nasional. Rao, K. Sankara, 2001. Numerical Method for Scientists and Engineering. New Delhi: Prentice Hall of India.
Saragi, Elfrida. Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada Pembangkit Energi. Batan : Pusat Pengembangan Teknologi Informatika dan Komputasi.
Soehardjo. 1980. Matematika 3. Semarang : ITS Press. Susatio, Yerri. 2005. Metode Numerik Berbasis MathCAD. Yogyakarta : Andi. Tovani, Novan. 2008. Studi Model Numerik Konduksi Panas Lempeng Baja Silindris
yang Nerinteraksi dengan Laser. Bogor : ITB Tristono, Toni. 2011. Algoritma Simplifikasi Perambatan Panas Konduksi pada
Benda dengan Bentuk Bola. Universitas Merdeka Madiun. Yunus, Asyuri Darami. 2009. Perpindahan Panas dan Massa. Jakarta : Universitas
Darma Persada.
Alfabet Yunani
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu
LAMPIRAN A
Alfabet Yunani
Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon phi Chi Psi Omega
LAMPIRAN B
PENYELESAIAN KONDUKSI PANAS SECARA ANALITIK
1. Temperatur Konstan benda silinder dengan radius r = b , di mana temperature permukaan disebut temperatur yang sama yaitu Tw, konduktiviti termal dan pembangkit energi konstan.
Temperatur permukaan = Tw T(r) = Tw pada r = b Persamaan diatas dapat diperoleh persamaan (4.4) diselesaikan dengan mengintegrasi persamaan tersebut:
Untuk
maka distribusi temperature menjadi
Dengan mengintegrasikan persamaan (4.5), maka
Untuk syarat batas pada temperature T(r) = Tw pada r = b, maka Distribusi temperatur dari pers (B.5) dimasukkan ke pers (B.4) menjadi ;
2. Konveksi Secara matematik dapat ditulis persamaan:
Persamaan ( a)diintegrasikan dan diaplikasikan ke syarat batas pers ( b)dengan menentukan C1 = 0 maka,
Persamaan C2 menjadi :
diintegrasikan untuk mendapatkan distribusi temperatur pada
Persamaan ( c) diintegrasikan dengan syarat batas r = b maka C2 untuk
mendapatkan persamaan
menjadi :
Bagikan ruas kiri dan kanan dengan , sehingga menjadi;
Subtitusikan persamaan
pada persamaan
distribusi temperature pada silinder
menjadi :
untuk menentukan
LAMPIRAN C
PENYELESAIAN KONDUKSI PANAS SECARA NUMERIK
1. Temperatur Konstan Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu : syarat batas dan , maka ;
Pendekatan beda tengah untuk turunan parsial pada persamaan (C.21) adalah sebagai berikut
Subtitusikan persamaan dan kedalam persamaan (C.2) untuk
mendapatkan persamaan kesetmbangan panas untuk mendapatkan persamaan
persamaan energi dibagi kedalam M bagian, dan ketebalannya
( r) adalah ;
setiap bagian
berisi M + 1.
Persamaan
dikalikan dengan
, dan dapat disederhanakan menjadi;
untuk
Rata – rata panas yang timbul
Persamaan (4.35), didapat dengan menjumlahkan pesaman
dan ,
sehingga persamaan beda hingga untuk kesetimbangan konduksi panas pada
tengah node m = 1, adalah;
bagikan persamaan diatas dengan k, maka;
Kemudian kalikan persamaan diatas dengan 4, maka
2. Syarat Batas a. Fluks panas Kesetimbangan energi pada batas node M+1 di r = b maka;
Dimana
Dari ekspresi diatas diperoleh persamaan
;
Bagikan persamaan diatas dengan , maka;
Bagikan persamaan diatas dengan k, maka;
Bagikan persamaan diatas dengan M, maka;
Dari persamaan tersebut dapat disederhanakan, sehingga diperoleh
persamaan
;
Untuk m = M + 1 b. Konveksi
Dimana
Dari ekspresi diatas diperoleh persamaan Bagikan persamaan diatas dengan , maka;
Bagikan persamaan diatas dengan k, maka; Bagikan persamaan diatas dengan M, maka;
Penyelesaian : Dik :
LAMPIRAN D KONDISI SISTEM FISIS
Dit : a. Secara Analitik b. Secara Numerik c. Galat
Jawab : a. Penyelesaian secara analitik Dari persamaan (4.18) :
Maka, Pada saat r = 0
Pada saat r = 0.01 Pada saat r = 0.02
Pada saat r = 0.03 Pada saat r = 0.04 Pada saat r = b
b. Penyelesaian secara numerik M = 5, maka;
Persamaan beda hingga dipusat (4.35) pada node m =1 maka diperoleh; untuk m = 0
Persamaan beda hingga dari persamaan (4.32) untuk node m =2 s/d 5 maka diperoleh ; Untuk m = 2
Untuk m = 3
Untuk m = 4
Untuk m = 5 Hasil akhir persamaan beda hingga (4.39) untuk syarat batas konveksi pada node m = M+1 = 6 maka diperoleh;
Diperoleh persamaan berbentuk matrik 6 X 6 untuk 6 node temperatur Tm, m = 1 s/d 6.
Dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks;
Dari persamaan diatas diperoleh matrix tridiagonal maka dapat digunakan program Matlab untuk menentukan hasil temperatur dari setiap node.
Dari input diatas diperoleh temperatur dari setiap node, yaitu:
Node 1 2 3
Temperatur 1682.18 1666.55 1619.68
4 5 6
c. Galat
1541.55 1432.31 1291.78
Galat saat r = 0
Galat saat r = 0.01
Galat saat r = 0.02 Galat saat r = 0.03
Galat saat r = 0.04
Galat saat r = 0.05
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI BERBENTUK SILINDER SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains NURZANNAH 090801014
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
PERSETUJUAN
Judul Arah
Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas
: Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada
Radial dari Pembangkit Energi : Skripsi : Nurzannah : 090801014 : Sarjana (S1) Fisika : Fisika : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, 12 April 2014
Pembimbing :
Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si NIP : 197211152000121001
Disetujui Oleh Departemen Fisika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Marhaposan Situmorang NIP. 19551030198003100
PERNYATAAN
SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI
BERBENTUK SILINDER
SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 12 April 2014
Nurzannah 090801014
PENGHARGAAN
Alhamdulillahirabbil’alamin, segala puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT karena atas limpahan rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan study selama perkuliahan dan dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada Arah Radial dari Pembangkit Energi. Saya menyadari bahwa tidak akan pernah ada keberhasilan tanpa adanya dukungan, oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada mereka yang telah mendukung penulis bahkan sampai pada penyelesaian skiripsi ini.
1. Kepada kedua orang tua yang tercinta dan tersayang Bapak Karman dan Ibu Wagiyem, serta saudara-saudara yang tersayang Nurmahani, Musriadi, AmdKep, Miswadani, AmdKep, Wagianti, Sri Hariana, AmdKeb, Yuswiono, S.Pd, dan Suruandi, S.Pd yang telah memberikan doa dan dukungannya baik moril maupun materil selama penulis kuliah sampai penyelesaian skripsi ini.
2. Kepada Bapak Alm Drs. Tenang Ginting, M.S dan Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si selaku pembimbing penulis dalam menyelesaikan skiripsi ini yang selalu terbuka dalam memberikan bimbingan maupun motivasi dalam penulisan skripsi ini.
3. Kepada Bapak ibu dosen Departemen FISIKA USU, mulai dari Bapak Dr.Marhaposan Situmorang sebagai ketua departemen FISIKA USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris jurusan beserta staff pegawai di kantor Departemen FISIKA USU yang senantiasa membantu penulis dalam melengkapi administrasi.
4. Kepada Bapak Dr. Anwar Dharma Sembiring, M.S selaku dosen wali penulis, terima kasih untuk arahan dan bimbinganya.
5. Keluarga kepala laboratorium Fisika Inti USU Ibu Dra. Sudiati, M.Si, terima kasih untuk kesempatan mengembangkan diri sebagai seorang asisten dan menimba Ilmu Fisika secara praktek.
6. Kepada seseorang yang menempati ruang khusus di hati penulis Ferdy Aulia Mirda yang telah memberikan do’a, dukungan, dan membantu penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
7. Kepada Sylvia Nurul Aini beserta keluarga yang telah memberikan do’a dan dikungannya.
8. Kepada teman-teman di Fisika Stambuk Breafing : Fitri Yuniati, Arvilla Mikartini, Herdiana Purba, Zainaluddin Rambe, Ade Irma, Fadli Abul Hasan, Masria Pane, Valentina Ginting, Eldo Jones, Yosua Pinem, Esrawati Siregar, Septiana Xaveria, Andico Sihaloho, Andrian Anshari, Helen Manurung, Yenny Toguan, Resdina Silalahi, Emy Alemmita, Stevani Sigiro, Silviana Simbolon, Kalam Siregar, Istas Manalu, Rieni Kalesta, Suhartina Malau, Natanael Saragih, Wenny Yoweri Gulo, Timbul Mulya dan Poltak Simarmata yang telah memberikan kesan dan kenangan manis dan pahit bagi penulis selama masa perkuliahan. Yang tersayang Agusningsih, Monora Panca Bakara, Agus siahaan yang menjadi orang terdekat penulis selama menjalani perkuliahan di FISIKA USU. Dan teman-teman di Fisika Toeritis, Sabam Simbolon, Sukria Novianti, Sony, Enra Tambunan, dan Tanu Honggonegoro yang telah berbagi suka dan duka selama perkuliahan.
9. Untuk seluruh adik adik di FISIKA USU terkhusus untuk adik 2012 M. Fauzy, Sri Hani, adik 2011 Prahmadyana, Heni Setia Ningsih Rusell, adik 2010 Rumianto, untuk Okto, Bernike, percetakan kak Ana, kak Reni dan masih banyak lagi yang telah memberi dukungan dalam menyelesaiakan skripsi ini.
10. Dan kepada mereka yang tidak sebutkan namanya yang telah mendukung penulis , saya ucapkan terima kasih. Penulis menyadari dalam penulisan skiripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat diharapkan untuk penyempurnaan karya-karya penulis selanjutnya.
Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat terutama bagi penulis dan pembaca, terutama juga kepada mereka yang ingin melanjutkan penelitian ini. Assalamu’alaikum wr. Wb.
Medan, 12 April 2014
Penulis
SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI
BERBENTUK SILINDER
ABSTRAK
Telah dilakukan perhitungan secara analitik dan numerik dengan pendekatan finite difference pada persamaan konduksi kalor dengan sistem fisis pembangkit energi berbentuk silinder pada arah radial. Dalam tulisan ini diterangkan teknik solusi analitik dan solusi numerik untuk menentukan distribusi temperatur dan aliran kalor pada konduksi kalor dalam keadaan tunak berdimensi satu akibat pembangkit energi. Dalam suatu benda yang memiliki gradien temperatur maka akan terjadi perpindahan energi atau perambatan panas dari bagian yang bertemperatur tinggi ke bagian yang bertemperatur rendah. Perhitungan distribusi temperatur melibatkan persamaan diferensial parsial. Solusi analitik dan solusi numerik untuk menentukan distribusi temperatur dan aliran kalor pada konduksi panas dalam keadaan tunak berdimensi satu akibat pembangkit energi berbentuk silinder pada arah radial adalah dengan menggunakan metode beda hingga. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh galat antara solusi analitik dan solusi numerik, yaitu pada saat r = 0 galatnya 0.7 % dan pada saat r = b ralatnya 0.9 %.
Kata kunci : konduksi panas, silinder, metode beda hingga
ANALYTIC AND NUMERICAL SOLUTIONS ON THE HEAT CONDUCTION OF RADIAL DIRECTION FORM THE ENERGY GENERATING CYLINDER
ABSTRACT
Calculation has been done analytically and numerically by finite difference approach to the heat conduction equation with physical systems cylindrical energy generation in the radial direction. This paper presents analytic and numerical solution techniques for determining temperature distribution and heat flow in one dimensional steady state heat conduction with energy generation. A plate having temperature gradient will conduct energy transfer or heat transfer from high temperature side to low temperature side. Temperature distribution calculation involves partial differential equation. Analytical and numerical solutions to determine the temperature distribution and heat flow in steady-state heat conduction in a one-dimensional energy generation due to the particular object has a cylindrical shape is to use a finite difference method. The calculation of the results obtained by the error between the analytical solution and numerical solution, namely when r = 0 and the error 0.7% when r = b error 0.9%.
Key words: heat conduction, cylinder, finite difference method
DAFTAR ISI
Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Simbol
Bab 1
Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Batasan Masalah 1.3 Rumusan Masalah 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Manfaat Penelitian 1.6 Metode Penulisan 1.7 Sistematika Penulisan
Bab 2
Tinjauan Pustaka 2.1 Umum 2.2 Laju Perpindahan Panas 2.3 Aliran Panas Lewat Konduksi
Bab 3
2.4 Konduksi Pada Silinder 2.5 Metode Beda Hingga
2.5.1 Beda Maju 2.5.2 Beda Mundur 2.5.3 Beda Tengah Metodologi penelitian 3.1 Diagram Alir Penelitian
Bab 4
Hasil dan Pembahasan 4.1 Solusi Analitik
4.1.1 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan Temperatur Konstan
4.1.2 Fluks Panas 4.1.3 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit
Energi dan Konveksi 4.2 Solusi Numerik
4.2.1 Persamaan Konduksi Panas pada Koordinat Silinder 4.2.1 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder 4.1.3 Menentukan Syarat Batas
Bab 5 Kesimpulan dan Saran
Halaman
i ii iii v vi vii ix
1 1 2 2 2 3 3
5 5 7
8 9 11 11 12
13
14
14 16
17 19 20 20 23
4.1 Kesimpulan 4.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN A : Alfabet Yunani LAMPIRAN B : Penyelesaian Konduksi Secara Analitik LAMPIRAN C : Penyelesaian Konduksi Secara Numerik LAMPIRAN D : Kondisi Sistem Fisis
30 30
31
33 34 38 42
DAFTAR SIMBOL
Simbol-simbol yang digunakan dalam skripsi ini dan fungsinya:
r = Jari-jari k = Konduktivitas termal h = Koefisien pindah panas g = Energi panas elektrik T = Temperatur Tw = Temperatur permukaan T = Temperatur fluida
= Laju perpindahan panas q'' = Laju aliran panas melalui satuan luas q''' = Laju produksi panas persatuan volume A = Luas penampang H = Panjang silinder
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Solusi analitik untuk masalah konduksi panas seperti pada geometrik yang komplek, problem nonlinear, sistem termal yang meliputi coupling antara elemenelemen sangat rumit. Untuk menyelesaikan masalah konduksi panas satu dimensi
pada keadaan tunak dengan pembangkit energi adalah menentukan distribusi temperature dan aliran rata – rata panas pada medium dengan bentuk geometrinya diambil contoh yaitu; bidang datar, silinder.
Perambatan panas konduksi pada katagori sistem dengan bentuk fisik silinder adalah perambatan satu dimensi bilamana suhu benda hanya merupakan fungsi jarak radial dan tidak bergantung dari sudut azimut. Perambatan panas dipengaruhi sifat-sifat fisik medium yang dilalui diantaranya konduktivitas panas k, panas spesifik c dan kepadatan massa m yang dibangun dengan menganggap bahwa panas mengalir merambat secara kontinu. Penelitian ini bertujuan untuk melakukan kajian tentang model perambatan panas pada benda-benda dengan bentuk fisik silinder dengan memandang sebagai persoalan konduksi satu dimensi.
1.2 Batasan Masalah
Adapun batasan masalahnya adalah sebagai berikut: 1. Banyaknya bahan bakar, proses dan energi yang dihasilkan diabaikan. 2. Temperatur permukaan pada benda berbentuk silinder dianggap konstan. 3. Fluks panas terjadi pada arah radial saja. 4. Tidak memperhitungkan nilai konduktivitas termal
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah yang akan digunakan yaitu: 1. Bagaimana menentukan solusi analitik konduksi panas pada pembangkit
energi? 2. Bagaimana menentukan solusi numerik konduksi panas pada pembangkit
energi? 3. Bagimana perbandingan hasil penyelesaian dari solusi analitik dan solusi
numerik konduksi panas?
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah 1. Mendeskripsikan solusi analitik konduksi panas pada pembangkit energi. 2. Mendeskripsikan solusi numerik konduksi panas pada pembangkit energi. 3. Mendeskripsikan perbandingan hasil penyelesaian dari solusi analitik dan
solusi numerik konduksi panas pada pembangkit energi.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut : 1. Bagi penulis, sebagai tambahan informasi dan wawasan mengenai bagaimana
menentukan solusi analitik dan solusi numerik konduksi panas pada pembangkit energi. 2. Bagi pembaca, sebagai masukan dan sumbangan pemikiran untuk memecahkan permasalahan dalam menentukan distribusi temperature dan aliran panas pada konduksi panas dengan menggunakan metode beda hingga.
1.6 Metode Penulisan
Metode kajian pustaka dipilih dalam penelitian ini dengan menggunakan beberapa literatur dari berbagai sumber pustaka terkait. Kegiatan studi penelitian ini diuraikan secara lebih rinci dibawah ini.
1. Studi Literatur Merupakan tahap pengumpulan literatur mengenai : Perpindahan Panas, Konduksi, Konveksi, Fluks Panas, Koordinat Silinder, dan Metode Beda Hingga.
2. Pengkajian Literatur Merupakan tahap penyelesaian dengan permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian sehingga didapat informasi yang diinginkan.
3. Pengolahan Informasi Merupakan tahap untuk menganalisa informasi sehingga didapat informasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian.
4. Merangkum Kesimpulan Merupakan jawaban dari setiap permasalahan yang akhirnya suatu fakta ilmiah mengenai fenomena yang ditinjau.
5. Penulisan Laporan Merupakan tahap penulisan laporan penelitian yang telah dilakukan dalam bentuk skripsi.
1.7 Sistemetika Penulisan
Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut : BAB I Pedahuluan
Bab ini merupakan Latar Belakang, Rumusan Masalah, Batasan Masalah, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, Metode Penulisan, dan Sistematika Penulisan dari Tugas Akhir ini. BAB II Tinjauan Pustaka Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian ini.
BAB III Metodologi Penelitian Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan diagram alir dari penelitian.
BAB IV Hasil dan Pembahasan Bab ini mencakup hasil penelitian berupa penejelasan metode beda hingga yang digunakan untuk menentukan distribusi temperature pada benda berbentuk silinder.
BAB V Kesimpulan dan Saran Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari bab sebelumnya yaitu hasil dan pembahasan terkait dari tujuan penelitian. Dan juga saran yang diberikan untuk kajian lebih lanjut dari skripsi ini.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Umum
Perpindahan panas adalah perpindahan energi yang terjadi pada benda atau material yang bersuhu tinggi ke benda atau material yang bersuhu rendah, hingga tercapainya kesetimbangan panas. Kesetimbangan panas terjadi jika panas dari sumber panas sama dengan jumlah panas benda yang dipanaskan dengan panas yang disebarkan oleh benda tersebut ke medium sekitarnya. Proses perpindahan panas ini berlangsung dalam 3 mekanisme, yaitu:
1. Konduksi 2. Konveksi 3. Radiasi Dalam prakteknya ketiga proses perpindahan panas tersebut sering terjadi secara bersama-sama. Namun, dalam bab ini akan dijelaskan teori perpindahan panas secara konduksi.
2.2 Laju Perpindahan Panas
Konduksi adalah proses perpindahan panas dari suatu bagian benda padat atau material ke bagian lainnya. Perpindahan panas secara konduksi dapat berlangsung pada benda padat, umumnya logam.
Jika salah satu ujung sebuah batang logam diletakkan di atas nyala api, sedangkan ujung yang satu lagi dipegang, bagian batang yang dipegang ini suhunya akan naik, walaupun tidak kontak secara langsung dengan nyala api. Pada perpindahan panas secara konduksi tidak ada bahan dari logam yang berpindah. Yang terjadi adalah molekul-molekul logam yang diletakkan di atas nyala api membentur molekul-molekul yang berada di dekatnya dan memberikan sebagian panasnya. Molekul-molekul terdekat kembali membentur molekulmolekul terdekat lainnya dan
memberikan sebagian panasnya, dan begitu seterusnya di sepanjang bahan sehingga suhu logam naik.
Jika pada suatu logam terdapat perbedaan suhu, maka pada pada logam tersebut akan terjadi perpindahan panas dari bagian bersuhu tinggi ke bagian bersuhu rendah.
Besarnya laju perpindahan panas (q) berbanding lurus dengan luas bidang (A)
dan perbedaan suhu
pada logam tersebut seperti ditunjukkan pada Gambar
2-1. Secara matematis dinyatakan sebagai:
Gambar 2.1 Laju Perpindahan Panas Dengan memasukkan konstanta kesetaraan yang disebut konduktivitas thermal didapatkan persamaan berikut yang disebut juga dengan hukum Fourier tentang konduksi:
dimana :
= Laju perpindahan panas (W) k = Konduktivitas termal (W/m oC) A = Luas penampang (m2)
= Gradien suhu,yaitu laju perubahan suhu T dalam arah aliran x (oC/m)
Tanda minus (-) menunjukkan arah perpindahan panas terjadi dari bagian yang bersuhu tinggi ke bagian yang bersuhu rendah.
Nilai kondukitivitas thermal suatu bahan menunjukkan laju perpindahan panas yang mengalir dalam suatu bahan. Konduktivitas thermal kebanyakan bahan merupakan fungsi suhu, dan bertambah sedikit kalau suhu naik, akan tetapi variasinya
kecil dan sering kali diabaikan. Jika nilai konduktivitas thermal suatu bahan makin besar, maka makin besar juga panas yang mengalir melalui benda tersebut. Karena itu, bahan yang harga k-nya besar adalah penghantar panas yang baik, sedangkan bila knya kecil bahan itu kurang menghantar atau merupakan isolator.
2.3 Aliran Panas Lewat Konduksi
Dalam konduksi, panas ditransmisikan dari satu lokasi dalam badan ke lokasi lain juga dalam badan sebagai akibat dari perbedaan temperatur yang ada di dalam badan tidak ada gerakan makroskopik dari setiap bagian badan. Dengan mekanisme seperti inilah, akan ditunjukkan dalam pasal ini, panas yang dihasilkan dalam batang bahan bakar dipindahkan ke permukaan batang. Konveksi panas, sebaliknya, melibatkan perpindahan panas ke cairan atau gas, yang bergerak sebagai hasil dari perbedaan temperatur dan penolakan panas di lokasi lain. Jadi, panas yang di pindahkan dengan cara konduksi ke permukaan batang bahan bakar dibawa ke pendingin dan keluar dari sistem dengan cara konveksi. Hubungan dasar yang mengatur konduksi panas adalah hukum Fourier, yang untuk media isotropik ditulis sebagai
Laju produksi panas total di dalam V adalah sama dengan
Dimana : q'' : Laju aliran panas melalui satu satuan luas. T : Temperature. k : Sejumlah zat penting diberikan q''' : Laju produksi panas per satuan volume.
Hasil ini dapat diterapkan untuk beberapa masalah yang menarik dalam reaktor nuklir. Salah satu masalah sentral, seperti yang terlihat, adalah perhitungan jumlah panas yang dapat dipindahkan keluar dari batang bahan bakar dan akhirnya ke pendingin pada suatu temperature maksimum dalam bahan bakar. Temperatur bahan
bakar maksimal adalah suatu kondisi preset yang tidak boleh dilampaui untuk alasan keamanan. 2.4 Konduksi pada Silinder Arah perpindahan panas pada benda berbentuk silinder seperti tabung atau pipa adalah radial. Pada Gambar 2.4 ditunjukkan suatu pipa logam dengan jarijari dalam ri, jarijari luar ro, dan panjang L, perbedaan suhu permukaan dalam dengan permukaan luar adalah
Gambar 2.2 Aliran radial panas di dalam silinder Perpindahan panas pada elemen dr yang jaraknya r dari titik pusat adalah:
Luas bidang permukaan silinder berjari–jari r adalah Sehingga Bentuk umum persamaan konduksi panas silinder :
Konduksi panas pada arah radial :
Konduksi panas arah radial pada silinder dengan pembangkit energi :
2.5 Metode Beda Hingga (Finite Difference Method)
Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara umum metode beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam 1D (satu dimensi), domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga dimensi.
Berbeda dengan metode elemen hingga (Finite Element Method) yang memiliki banyak variasi bentuk elemennya, yaitu bentuk segi empat, segi tiga dan segi yang lain. Sedangkan metode beda hingga bentuk diskritisasi elemennya hanya berbentuk segi empat saja.
Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik, khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu (ruang dan waktu tinjauan) dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan (Anderson, 1984). Atau secara matematis dapat dituliskan sebagai:
Dengan h adalah r , subskrip i merupakan titik grid, superskrip n menunjukkan time step dan adalah reminder atau biasa disebut truncation error yang merupakan suku selanjutnya dari deret tersebut yang dapat dinyatakan sebagai berikut,
Metode ini akan membuat pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam grid atau kotak-kotak hitungan kecil yang secara
keseluruhan masih memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian-bagian yang kecil. Penerapan metode ini pada persamaan adveksi adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat batasnya dengan seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti daerah yang kontinu dengan suatu pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas yang kecil dan memberi nomor acuan kepada setiap subluas.
Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada waktu beriukutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang akan datang.
Berdasarkan ekspansi Taylor di atas (persamaan 2.12), terdapat tiga skema beda hingga yang biasa digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu beda maju, maju mundur, dan maju tengah. Berikut adalah skema beda hingga untuk koordinat silinder pada arah radial.
Gambar 2.3 Skema beda hingga pada arah radial koordinat silinder
2.5.1 Beda Maju Untuk beda maju, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser ke depan sebesar r. Berikut ekspansi Taylor :
Secara umum, symbol T/ r* r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai
fungsi T pada
jika r digeser sebesar r. Sementara symbol 2T/ r2
menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik tsb jika r digeser sebesar
r.
2.5.2 Beda Mundur Untuk beda mundur, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser ke belakang sebesar r. Berikut ekspansi Taylor :
Maka,
2.5.3 Beda Tengah Jenis beda hingga yang ketiga adalah beda tengah, di mana untuk mencari kemiringan dari fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan nilai fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.
----------------------- +
atau
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Diagram Alir Penelitian Berikut adalah diagram alir penelitian konduksi pada arah radial dari pembangkit energy berbentuk silinder.
Gambar 3.1 diagram alir penelitian konduksi
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Analitik Metode Analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah lazim. 4.1.1 Benda yang Berbebntuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan
Temperatur Permukaan Konstan Perhatikan suatu silinder panjang dengan jari-jari dalam r, dan panjang L, seperti pada gambar 4.1. Untuk silinder yang panjangnya sangat besar dibandingkan dengan diameternya, dapat diandaikan bahwa aliran kalor berlangsung menurut arah radial, sehingga koordinat ruang yang diperlukan untuk menentukan sistem ini adalah r .
Gambar 4.1 Konduksi panas radial pada silinder.
Pada gambar 4.2 benda silinder dengan radius r = b , di mana temperature permukaan disebut temperatur yang sama yaitu Tw, konduktiviti termal dan pembangkit energi konstan.
Gambar 4.2 Benda Silinder dengan Pembangkit Energi Persamaan konduksi panas, dimana :
Temperatur permukaan = Tw T(r) = Tw pada r = b Persamaan (4.3a) diselesaikan dengan integrasi pertama :
Untuk
maka distribusi temperature menjadi
Dengan mengintegrasikan persamaan (4.5), maka Untuk syarat batas pada temperature T(r) = Tw pada r = b, maka
Distribusi temperatur dari pers (4.5) dimasukkan ke pers (4.4) menjadi ;
4.1.2 Fluks Panas
Hukum dasar yang memberikan hubungan antara laju aliran panas dengan gradient temperatur, berdasarkan observasi eksperimen, yang secara umum dinamakan setelah ahli Matematika dan Fisika dari Perancis Joseph Fourier yang menggunakannya dalam teori analisanya tentang panas. Untuk material homogen, solid isotropic (contohnya: material yang konduktivitas termalnya tidak bergantung pada arah. Hukum Fourier diberikan dalam bentuk dimana gradient temperatur adalah normal vektor ke permukaan isothermal, vektor flux panas q(r,t) menggambarkan laju aliran panas per satuian waktu, per satuan luas dari permukaan isothermal pada arah yang mengalami penurunan temperatur, dan k adalah konduktiviats termal dari material yang positif secara kuantitas skalarnya. Jika vektor flux panas q(r,t) berada pada arah yang temperaturnya menurun, tanda minus pada persamaan (4.2) membuat laju aliran panas bernilai positif. Jika flux panas dalam W/m2 dan gradient temperatur adalah oC/m, konduktivitas termal bersatuan W/m oC.
Sehingga jelas bahwa laju aliran panas untuk gradient temperatur yang diberikan secara langsung proporsional terhadap konduktivitas termal dari material. Sehingga dalam analisa perpindahan panas konduksi, konduktifitas termal dari material adalah sifat yang sangat penting, yang mengontrol laju aliran panas dalam suatu medium.
Fluks panas di dalam medium didefinisikan sebagai berikut :
Untuk fluks panas pada batas permukaan adalah
Jika r = b maka fluks panas menjadi :
Jika temperatur tinggi terjadi ditengah silinder maka temperatur digaris tengah diperoleh dari pers (4.6) dengan menentukan r = 0 menjadi :
4.1.3 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan Konveksi
Konveksi adalah perpindahan panas oleh gerakan massa pada fluida dari suatu daerah ruang ke daerah lainnya. Perpindahan panas konveksi merupakan mekanisme perpindahan panas antara permukaan benda padat dengan fluida. Mekanisme fisis perpindahan panas konveksi berhubungan dengan proses konduksi. Guna menyatakan pengaruh konduksi secara menyeluruh digunakan hukum Newton tentang pendinginan, yaitu :
dimana:
= Laju perpindahan panas (W)
h = Koefisien perpindahan panas konveksi
A = Luas permukaan Tw = Suhu permukaan (oC)
= Suhu fluida (oC) Pada gambar 4.3, aplikasi energi pada disipasi energi secara konveksi yang berasal dari luar permukaan menuju ke dalam dengan temperatur yang konstan .
Konveksi Gambar 4.3 Benda berbentuk silinder dengan pembangkit energi ke kondisi batas
konveksi
Secara matematik dapat ditulis persamaan:
Persamaan (4.14a) diintegrasikan dan diaplikasikan ke syarat batas pers (4.14b) dengan menentukan C1 = 0 maka, Persamaan diatas diintegrasikan untuk mendapatkan distribusi temperatur pada C2 menjadi : Pers (4.14c) diintegrasikan dengan syarat batas r = b maka C2 menjadi :
Distribusi temperatur pada silinder menjadi :
Secara fisika koefisien perpindahan panas mempunyai 2 batasan yaitu : 1. Distribusi temperatur pada bidang datar (slab) pada koefisien perpindahan panas maka,
2. Koefisien perpindahan panas yang bernilai kecil di mana temperature T(r) menjadi tak terhingga, maka syarat batas pada pers (4.14b) menjadi :
Fluks panas didefenisikan menjadi :
Persamaan (4.14) disubtitusikan ke persamaan (4.19), maka menjadi :
4.2 Solusi Numerik Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *).
4.2.1 Persamaan Konduksi Panas pada Koordinat Silinder Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder adalah sebagai berikut.
Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder hanya dihitung pada arah radialnya saja, terlihat pada persamaan (4.23).
Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu :
4.2.2 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder Metode beda hingga yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan konduksi panas pada silinder adalah metode beda tengah. Gambar 4.4 Menunjukkan penggunaan metode beda hingga pada koordinat silinder.
Gambar 4.4 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder Pendekatan beda tengah untuk turunan parsial pada persamaan (4.22) adalah sebagai berikut
Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu : syarat batas dan , maka ;
Persamaan tersebut harus diturunkan untuk mendapatkan pendekatan orde dua. Dari persamaan (4.24), maka didapat;
Subtitusikan persamaan (4.25a) dan (4.25a) kedalam persamaan (4.27) untuk mendapatkan persamaan kesetmbangan panas.
Persamaan (4.28) dapat disederhanakan menjadi;
Bentuk beda hingga untuk persamaan energi dibagi kedalam M bagian, dan ketebalannya ( r) adalah ;
Pada Gambar 4.6, setiap bagian
berisi M + 1 pada lokasi berikut;
r = (m-1) ∆r
pada m = 1,2,…, M+1
Gambar 4.6 Seleksi Node pada Benda Berbentuk Silinder dengan node – node m =1 dan m = M+1 sebanding dengan pusat dan luar batas permukaan benda silinder, dan node m=2,3,…,M adalah node dalam (seperti gambar diatas). Untuk temperatur node M+1 dinyatakan sebagai;
pada m =1,2,…,M+1 2-15 Panas yang timbul pada element dengan ketebalan pada node m maka;
Dimana;
H = panjang silinder Dari persamaan (4.28) didapat kesetimbangan energi pada silinder ;
Atau
untuk untuk node m = 1 dengan radius maka;
Rata – rata panas yang timbul Dari persamaan (4.31), persamaan beda hingga untuk kesetimbangan konduksi panas pada tengah node m = 1, maka;
Pada syarat batas r = b maka perlu menentukan syarat batas temperatur , fluks panas dan konveksi. 4.2.3 Menentukan Syarat Batas
a. Syarat Batas Temperatur Jika temperatur pada batas permukaan di node M yang spesifik yang disebut maka; pada m = M + 1
b. Syarat Batas Fluks Panas Kesetimbangan energi pada batas node M+1 di r = b maka;
Dimana
Dari ekspresi diatas diperoleh;
Untuk m = M + 1 c. Syarat Batas Konveksi
Dimana
Subtitusikan persamaan (4.37)ke persamaan kesetimbangan energi dan persamaan bedahingga dengan syarat batas r = b pada m = M + 1 maka dapat ditulis sebagai berikut;
Contoh benda yang berbentuk silinder.
Benda sejenis chrome nikel yang berbentuk batang dengan diameter 10 cm,
konduktiviti termal
, energi yang timbul dari panas elektrik
dengan rata-rata
. Permukaan batang dipanasi secara konveksi dengan
koefisien perpindahan panas
pada temperatur
a. Tentukan distribusi temperatur secara analitik! b. Tentukanlah persamaan beda hingga jika radius batang dibagi kedalam 5
interval! c. Galat
Penyelesaian : Dik :
Dit : a. Secara Analitik b. Secara Numerik c. Galat
Jawab : a. Penyelesaian secara analitik Dari persamaan (4.17) : Maka, Pada saat r = 0
Pada saat r = 0.01
Pada saat r = 0.02
Pada saat r = 0.03
Pada saat r = 0.04
Pada saat r = b
b. Penyelesaian secara numerik M = 5, maka;
Persamaan beda hingga dipusat (4.35) pada node m =1 maka diperoleh; untuk m = 1
Persamaan beda hingga dari persamaan (4.32) untuk node m =2 s/d 5 maka diperoleh ; Hasil akhir persamaan beda hingga (4.39) untuk syarat batas konveksi pada node m = M+1 = 6 maka diperoleh;
Diperoleh persamaan berbentuk matrik 6 X 6 untuk 6 node temperatur Tm, m = 1 s/d 6.
Dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks;
Dari persamaan diatas diperoleh matriks tridiagonal, maka selanjutnya dengan menggunakan program aplikasi Matlab akan diperoleh temperaturnya dalam bidang silinder.
Tabel 4.1 Hasil distribusi temperature secara numerik
Node 1 2 3 4 5 6
Temperatur 1682.18 1666.55 1619.68 1541.55 1432.31 1291.78
c. Galat Berdasarkan hasil distribusi analitik dan numerik, maka diperoleh galatnya.
Tabel 4.2 Hasil galat dari distribusi temperatur secara analitik dan numerik
Node
R T analitik (oC) T numerik (oC) Galat (%)
1
0
1670.625
1682.18
2 0.01
1655
1666.55
3 0.02 1608.125 1619.68
4 0.03
1530
1541.55
5 0.04 1420.625 1432.31
6 0.05
1280
1291.78
0.7 0.7 0.7 0.7 0.8 0.9
Hasil Simulasi Numerik Penyelesaian masalah kajian perambatan panas dilakukan dengan simulasi komputer menggunakan software matematika MATLAB 7.10. Berdasarkan Tabel 4.2 maka diperoleh hasil simulasi numerik.
Gambar 5.1 Hasil Simulasi Distribusi suhu
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa:
1. Secara analitik bahan krom nikel memiliki temperatur permukaan isolasi pada
r = 0 diperoleh sebesar
, temperatur pada batas konveksi r = b
diperoleh sebesar
2. Secara numerik bahan krom nikel memiliki temperatur pemukaan isolasi r = 0
terjadi pada node m = 1 sebesar
, temperatur pada batas konveksi r
= b terjadi pada node m = 6 sebesar
3. Galat perambatan kalor antara solusi analitik dan solusi numerik pada bahan krom nikel adalah pada saat r = 0 galatnya 0.7 % dan pada saat r = b galatnya 0.9 %.
3.2 Saran Pada tulisan ini dalam menentukan perambatan panas pada arah radial dari benda berbentuk silinder. Oleh karena itu diharapkan untuk peneliti selanjutnya dapat menentukan perambatan panas pada arah radial dari benda berbentuk bola.
DAFTAR PUSTAKA
Ainur Rosidi, M. Juarsa. 2008. Analisa Distribusi Temperatur pada Btang Panas Bagian Uji heating 01. Batan : Pusat Pengembangan Teknologi dan Keselamatan Nuklir.
Buchori, luqman. Perpindahan Panas. Semarang : UNDIP Faires, J. Douglas. 1993. Numerical Method. Boston : PWS-KENT Publishing
Company. Handayanto, Agung. Persamaan Differensial Parsial dalam Koordinat Silindris
pada Masalah Konduksi Panas. Semarang : IKIP PGRI. Hill, J. M & Dewynne, J.N. 1987. Heat Conduction, Blackwell Scientific
Publications. Holman, J & P, Jasjfi E. 2002. Perpindahan Kalor. Erlangga. Klara, Syerly. 2008. Peningkatan Kreatifan Mahasiswa dengan Penerapan Metode
Student Centre Learning pada Mata Kuliah Perpindahan Panas. Makassar : Universitas Hasanuddin. Kreith, Frank. 2002. Principles of Heat Transfer. New York : Mc Graw – Hill Book Company New York. Nasution, Amrinsyah & Zakaria Hasballah. 2001. Metode Numerik dan Ilmu Rekayasa Sipil. Bandung : ITB Press. Ozisik, M. Necati. Heat Conduction. Jhon Willey & Sons. Purwadi, P K. 2001. Metode ADI dalam Penyelesaian Persoalan Perpindahan Panas Konduksi Benda Padat Tiga Dimensi Keadaan Tunak. Yogyakarta : Universitas Sananta Dharma. Putra S, M. Kelana. 2007. Rancangan Bangunan dan Analisa Perpindahan Panas pada Ketel Uap Bertenaga Listrik. Medan : USU. Putro, Paranto W S. Perancangan dan Simulasi Transfer Panas pada Material Pendingin Peralatan Listrik Jenis Heat Pipe dengan Metode Finite Element. Jakarta : FTI Institut Sains dan Teknologi Nasional. Rao, K. Sankara, 2001. Numerical Method for Scientists and Engineering. New Delhi: Prentice Hall of India.
Saragi, Elfrida. Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada Pembangkit Energi. Batan : Pusat Pengembangan Teknologi Informatika dan Komputasi.
Soehardjo. 1980. Matematika 3. Semarang : ITS Press. Susatio, Yerri. 2005. Metode Numerik Berbasis MathCAD. Yogyakarta : Andi. Tovani, Novan. 2008. Studi Model Numerik Konduksi Panas Lempeng Baja Silindris
yang Nerinteraksi dengan Laser. Bogor : ITB Tristono, Toni. 2011. Algoritma Simplifikasi Perambatan Panas Konduksi pada
Benda dengan Bentuk Bola. Universitas Merdeka Madiun. Yunus, Asyuri Darami. 2009. Perpindahan Panas dan Massa. Jakarta : Universitas
Darma Persada.
Alfabet Yunani
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu
LAMPIRAN A
Alfabet Yunani
Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon phi Chi Psi Omega
LAMPIRAN B
PENYELESAIAN KONDUKSI PANAS SECARA ANALITIK
1. Temperatur Konstan benda silinder dengan radius r = b , di mana temperature permukaan disebut temperatur yang sama yaitu Tw, konduktiviti termal dan pembangkit energi konstan.
Temperatur permukaan = Tw T(r) = Tw pada r = b Persamaan diatas dapat diperoleh persamaan (4.4) diselesaikan dengan mengintegrasi persamaan tersebut:
Untuk
maka distribusi temperature menjadi
Dengan mengintegrasikan persamaan (4.5), maka
Untuk syarat batas pada temperature T(r) = Tw pada r = b, maka Distribusi temperatur dari pers (B.5) dimasukkan ke pers (B.4) menjadi ;
2. Konveksi Secara matematik dapat ditulis persamaan:
Persamaan ( a)diintegrasikan dan diaplikasikan ke syarat batas pers ( b)dengan menentukan C1 = 0 maka,
Persamaan C2 menjadi :
diintegrasikan untuk mendapatkan distribusi temperatur pada
Persamaan ( c) diintegrasikan dengan syarat batas r = b maka C2 untuk
mendapatkan persamaan
menjadi :
Bagikan ruas kiri dan kanan dengan , sehingga menjadi;
Subtitusikan persamaan
pada persamaan
distribusi temperature pada silinder
menjadi :
untuk menentukan
LAMPIRAN C
PENYELESAIAN KONDUKSI PANAS SECARA NUMERIK
1. Temperatur Konstan Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu : syarat batas dan , maka ;
Pendekatan beda tengah untuk turunan parsial pada persamaan (C.21) adalah sebagai berikut
Subtitusikan persamaan dan kedalam persamaan (C.2) untuk
mendapatkan persamaan kesetmbangan panas untuk mendapatkan persamaan
persamaan energi dibagi kedalam M bagian, dan ketebalannya
( r) adalah ;
setiap bagian
berisi M + 1.
Persamaan
dikalikan dengan
, dan dapat disederhanakan menjadi;
untuk
Rata – rata panas yang timbul
Persamaan (4.35), didapat dengan menjumlahkan pesaman
dan ,
sehingga persamaan beda hingga untuk kesetimbangan konduksi panas pada
tengah node m = 1, adalah;
bagikan persamaan diatas dengan k, maka;
Kemudian kalikan persamaan diatas dengan 4, maka
2. Syarat Batas a. Fluks panas Kesetimbangan energi pada batas node M+1 di r = b maka;
Dimana
Dari ekspresi diatas diperoleh persamaan
;
Bagikan persamaan diatas dengan , maka;
Bagikan persamaan diatas dengan k, maka;
Bagikan persamaan diatas dengan M, maka;
Dari persamaan tersebut dapat disederhanakan, sehingga diperoleh
persamaan
;
Untuk m = M + 1 b. Konveksi
Dimana
Dari ekspresi diatas diperoleh persamaan Bagikan persamaan diatas dengan , maka;
Bagikan persamaan diatas dengan k, maka; Bagikan persamaan diatas dengan M, maka;
Penyelesaian : Dik :
LAMPIRAN D KONDISI SISTEM FISIS
Dit : a. Secara Analitik b. Secara Numerik c. Galat
Jawab : a. Penyelesaian secara analitik Dari persamaan (4.18) :
Maka, Pada saat r = 0
Pada saat r = 0.01 Pada saat r = 0.02
Pada saat r = 0.03 Pada saat r = 0.04 Pada saat r = b
b. Penyelesaian secara numerik M = 5, maka;
Persamaan beda hingga dipusat (4.35) pada node m =1 maka diperoleh; untuk m = 0
Persamaan beda hingga dari persamaan (4.32) untuk node m =2 s/d 5 maka diperoleh ; Untuk m = 2
Untuk m = 3
Untuk m = 4
Untuk m = 5 Hasil akhir persamaan beda hingga (4.39) untuk syarat batas konveksi pada node m = M+1 = 6 maka diperoleh;
Diperoleh persamaan berbentuk matrik 6 X 6 untuk 6 node temperatur Tm, m = 1 s/d 6.
Dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks;
Dari persamaan diatas diperoleh matrix tridiagonal maka dapat digunakan program Matlab untuk menentukan hasil temperatur dari setiap node.
Dari input diatas diperoleh temperatur dari setiap node, yaitu:
Node 1 2 3
Temperatur 1682.18 1666.55 1619.68
4 5 6
c. Galat
1541.55 1432.31 1291.78
Galat saat r = 0
Galat saat r = 0.01
Galat saat r = 0.02 Galat saat r = 0.03
Galat saat r = 0.04
Galat saat r = 0.05